第二十七章 相似 追梦阶段测试卷(一)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

第二十七章追梦阶段测试卷(一) 图形的相似及相似三角形的判定 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 下列四组线段中,不构成比例线段的一组是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1cm,2cm,3cm,6cm B. 2cm,3cm,4cm,6cm C. 1cm, 2 cm, 3 cm, 6 cm D. 1cm,2cm,3cm,4cm 2. 下列说法正确的是(　 　 ) A. 两个等腰三角形一定相似 B. 两个等边三角形一定相似 C. 两个矩形一定相似 D. 两个直角三角形一定相似 3. 如图,AD∥BE∥CF,AB= 3,BC= 6,DE= 2,则 DF 的值为(　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 　 第 5 题图 4. 如图,∠1=∠2,则下列各式不能说明△ABC∽△ADE 的是(　 　 ) A. ∠D= ∠B B. AD AB =DE BC C. AD AB =AE AC D. ∠E= ∠C 5. 如图,已知△ABC 和△ABD 都是☉O 的内接三角形,AC 和 BD 相交于点 E,则与△ADE 相似的三角形是(　 　 ) A. △BCE B. △ABC C. △ABD D. △ABE 6. 已知 a, b, c 为△ABC 的三边,且 2a b+c = 2b a+c = 2c a+b = k,则 k 的 值为(　 　 ) A. 1 B. 1 2 或 1 C. -2 D. 1 或-2 7. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AD=BD,CE= 2BE. 过 B 作 BF∥ CD 交 AE 的延长线于点 F. 当 BF= 1 时,AB 的长为(　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 第 7 题图 　 　 　 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,在矩形 ABCD 中,点 E 为 AD 上一点,且 AB = 8,AE = 3,BC = 4,点 P 为 AB 边上一动点,连接 PC、PE,若△PAE 与△PBC 是 相似三角形,则满足条件的点 P 的个数为(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,则下列四个条件 中:①∠AED= ∠B;②DE∥BC;③AD AC =AE AB ;④AD·BC=DE·AC, 能满足△ADE∽△ACB 的条件有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,一张矩形纸片 ABCD 的长 BC= xcm,宽 AB= ycm,以宽 AB 为边剪去一个最大的正方形 ABEF,若剩下的矩形 ECDF 与原 矩形 ABCD 相似,则 x y 的值为(　 　 ) A. 5 -1 2 B. 5 +1 2 C. 2 D. 2 +1 2 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 如果 a b = c d = 2 3 ,其中 b+2d≠0,那么a +2c b+2d = 　 　 　 　 . 12. 已知四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′相似,边 AB 与边 A′B′是对 应边,S四边形ABCD ∶ S四边形A′B′C′D′ = 2 ∶ 4,AB= 2,则 A′B′=　 　 　 　 . 13. 如图,AB∥CD∥EF,点 C,D 分别在 BE,AF 上,如果 BC= 4,CE= 6,AF= 8,那么 DF 的长　 　 　 　 . 第 13 题图 　 　 　 　 第 14 题图 14. 动点探究问题 如图,在△ABC 中,AB = 8,AC = 16,点 P 从点 A 出发,沿 AB 方向以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动,同 时点 Q 从点 C 出发,沿 CA 方向以每秒 3 个单位长度的速度向 点 A 运动,其中一点到达终点,则另一点也随之停止运动,当 △ABC 与以 A、P、Q 为顶点的三角形相似时,运动时间为　 　 　 　 秒. 15. 如图,在△ABC 中,CD 是高,CE 为∠ACB 的平分线. 若 AC = 15, BC = 20,CD = 12,则 CE 的长等 于　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)一块长 3m,宽 1. 5m 的矩形黑板 ABCD,如图所示,镶在 其外围的木质边框宽 7. 5cm,边框的内外边缘所成的矩形 AB- CD 与矩形 A′B′C′D′相似吗? 为什么? 17. (8 分)如图,E,F 分别为矩形 ABCD 的边 AD,BC 的中点,若矩 形 ABCD∽矩形 EABF,AB= 1. 求矩形 ABCD 的面积. 18. (9 分)如图,直线 PQ 经过菱形 ABCD 的顶点 C,分别交边 AB 和 AD 的延长线于点 P 和 Q,BP= 1 2 AB,求证:DQ= 2AB. ·52· 19. (9 分)如图,AB 是☉O 的直径,D,E 为☉O 上位于 AB 异侧的 两点,连接 BD 并延长至点 C,使得 CD=BD,连接 AC 交☉O 于 点 F,连接 AE,DE,DF. (1)若∠C= 64°,则∠AED= 　 　 　 　 (度); (2)连接 AD,设 AB 交 DE 于点 G,当 E 是 AB ( 的中点时,证明: △EDA∽△EAG. 20. (10 分)如图,点 D 是△ABC 边 BC 上一点,连接 AD,过 AD 上 点 E 作 EF∥BD,交 AB 于点 F,过点 F 作 FG∥AC 交 BC 于点 G, 已知 AE ED = 3 2 ,BG= 4. (1)求 CG 的长; (2)若 CD= 2,在上述条件和结论下,求 EF 的长. 21. (10 分)如图,四边形 ABCD 为平行四边形,AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E,过点 E 作 EF∥AB,交 AD 于点 F,连接 BF. (1)求证:BF 平分∠ABC; (2)若 AB= 6,且四边形 ABCD∽四边形 CEFD,求 BC 长. 22. (10 分)如图,在△ABC 中,∠C = 90°,AC = 6cm,BC = 8cm,点 P 从点 A 出发沿边 AC 向点 C 以 1cm / s 的速度移动,点 Q 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 以 2cm / s 的速度移动,当其中一点到达终 点时,另一点也随之停止运动. (1) 如果点 P,Q 同时出发, 经过几秒钟时 △PCQ 的面积 为 8cm2? (2)如果点 P,Q 同时出发,经过几秒钟时以 P、C、Q 为顶点的 三角形与△ABC 相似? 23. (11 分)如图,△ABC 是等边三角形,点 D,E 分别在 BC,AC 上, 且 BD=CE,AD 与 BE 相交于点 F. (1)证明:△ABD≌△BCE; (2)证明:△ABE∽△FAE; (3)若 AF= 7,DF= 1,求 BD 的长. ·62· k x ,将 C(20,45)代入得:45 = k 20 ,解得 k= 900,∴ 反比例 函数的解析式为 y= 900 x . 当 x = 45 时,y = 900 45 = 20,∴ D (45,20),∴ A(0,20),即点 A 对应的指标值为 20; (5 分) (2)设当 0≤x<10 时,AB 的解析式为 y = mx+n,将点 A (0,20)、B(10,45) 代入得: 20 =n 45 = 10m+n{ ,解得 m= 5 2 n= 20 { , ∴ AB 的解析式为 y = 5 2 x+ 20. 当 y≥36 时, 5 2 x+ 20≥ 36,解得 x≥ 32 5 . 由(1) 得反比例函数的解析式为 y = 900 x ,当 y≥36 时,900 x ≥36,解得 x≤25,∴ 32 5 ≤x≤25 时,注意力指标都不低于 36,而 25- 32 5 = 93 5 >17,∴ 张老 师能经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解 时,注意力指标都不低于 36. (10 分) 22. 解:(1)∵ y= 1 -2m x 的图象在第一、选择题三象限,∴ 1- 2m>0,∴ m< 1 2 ; (3 分) (2)∵ 四边形 ABOD 为平行四边形,∴ AD∥OB,AD =OB = 2,∴ D 点坐标为(2,3), (5 分) ∴ 1-2m= 2×3 = 6,∴ 该反比例函数的解析式为 y= 6 x ; (7 分) (3)∵ x1 >x2 >0,∴ E,F 两点都在第一象限,又∵ 该反比 例函数在每一个象限内,函数值 y 都随 x 的增大而减 小,∴ y1 <y2 . (10 分) 23. 解:(1)∵ OB= 3,OA= 4,∴ AB= 5,B(3,0) . (1 分) 把 B(3,0)代入 y= 2x+b 得,0 = 2×3+b,∴ b = -6,∴ 一次 函数的解析式为 y= 2x-6. (3 分) ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD=AB = 5,∵ AD∥x 轴,∴ D (5,4),∴ k = 5× 4 = 20,∴ 反比例函数的解析式为 y = 20 x ; (5 分) (2)将 y = 20 x y= 2x-6 { 联立,解得 x= -2y= -10{ 或 x= 5y= 4{ , ∴ E(-2,-10) . (7 分) 过点 P 作 x 轴的平行线交 CE 于 Q,∵ BC = AD = 5,∴ C (8,0),∴ 直线 CE 的解析式为 y= x-8,设 P(m,2m-6), 则 Q(2m+2,2m-6),∵ △CDE 被这条平行线分成面积 相等的两部分,∴ S△PEQ = 1 2 S△CDE,∴ 1 2 (2m+2-m) [10 +(2m-6)] = 1 2 ×( 1 2 × 5× 10+ 1 2 × 5× 4),解得 m = - 2± 70 2 ,当 m= -2- 70 2 时,不合题意,∴ m= -2+ 70 2 ,∴ P(-2+ 70 2 ,-10+ 70 ) . (11 分) 第二十七章追梦阶段测试卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B D B A A B C B B 1. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【方法点拨】判断四条线段是否成比例,首先要统一单 位,并把四条线段按由小到大的顺序排列(或由大到小 的顺序排列),然后分别计算前两条线段和后两条线段 的长度之比是否相等或首尾两项的积是否等于中间两 项的积,若相等,则成比例,若不相等,则不成比例. 2. B　 3. D　 4. B　 5. A 6. A　 【解析】根据题意,得 2a= k(b+c),2b = k(a+c),2c = k (a+b),∴ 2(a+b+c)= 2k(a+b+c) . ∵ a、b、c 为△ABC 的 三边,∴ a+b+c≠0,∴ k= 1. 故选 A. 7. B　 【解析】设 CD、AE 交于点 O. ∵ BF∥CD,∴ △CEO∽ △BEF,∴ BF CO =BE CE . ∵ BF = 1,CE = 2BE,∴ CO = 2. ∵ BF∥ CD,∴ OD BF =AD AB . ∵ AD=BD,∴ OD = 1 2 BF = 1 2 ,∴ CD =CO +OD= 5 2 . ∵ ∠C= 90°,AD=BD,∴ AB= 2CD= 5. 故选 B. 8. C　 【解析】设 AP= x,则 BP = 8-x,当△PAE∽△PBC 时, AE BC =PA PB ,即 3 4 = x 8-x ,解得 x = 24 7 ;当△PAE∽△CBP 时, AE PB =PA BC ,即 3 8-x = x 4 ,解得 x = 2 或 6,即满足条件的点 P 的个数有 3 个. 故选 C. 9. B　 10. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD=BC = xcm. ∵ 四边形 ABEF 是正方形,∴ AF = AB = ycm,∴ DF =EC = (x -y)cm. ∵ 矩形 FDCE 与原矩形 ADCB 相似,∴ DF ∶AB = CD ∶AD,即x -y y = y x ,∴ x y = 5 +1 2 . 故选 B. 11. 2 3 　 12. 2 2 　 13. 24 5 14. 4 或16 7 　 【解析】设运动时间为 t 秒. AP = 2t,CQ = 3t,AQ =AC-CQ = 16- 3t,当△ABC∽△APQ,AP AB = AQ AC ,即 2t 8 = 16-3t 16 ,解得 t = 16 7 ;当△ACB∽△APQ,AP AC = AQ AB ,即 2t 16 = 16-3t 8 ,解得 t= 4. 故运动时间为 4 或16 7 秒. 15. 60 2 7 　 【解析】由勾股定理知 AD = 9,BD = 16,所以 AB = AD+BD=25.故由勾股定理的逆定理知△ACB 为直角三角 形,且∠ACB = 90°. 作 EF⊥BC,垂足为 F. 设 EF = x,由 ∠ECF= 1 2 ∠ACB=45°,得 CF=x,于是 BF=20-x. 由于 EF ∥AC,所以EF AC = BF BC ,即 x 15 = 20-x 20 ,解得 x = 60 7 . 所以 CE = x2+x2 = 2x= 60 2 7 . 16. 解:不相似. (2 分) 理由: 内边缘的矩形 ABCD 长 AD = 300cm, 宽 AB = 150cm,外边缘的矩形长 A′D′= 315cm,宽 A′B′= 165cm. (4 分) ∵ AD A′D′ = 300 315 , AB A′B′ = 150 165 = 300 330 , AD A′D′ ≠ AB A′B′ , (7 分) 所以内外边缘所成的两个矩形不相似. (8 分) 17. 解:由矩形 ABCD∽矩形 EABF 可得AE AB = AB BC , (2 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 16 页 设 AE= x,则 AD=BC= 2x,∴ x 1 = 1 2x , (4 分) x2 = 1 2 ,x= ± 2 2 . ∵ AE>0,∴ AE= 2 2 . ∴ BC= 2x = 2× 2 2 = 2 , (6 分) ∴ S矩形ABCD =BC×AB= 2 ×1 = 2 . (8 分) 18. 证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ BC∥AD,CD∥AB,AB = DA=BC=CD, (3 分) ∴ BP AB =CP QC = DA DQ = 1 2 . (7 分) ∵ AB=AD,∴ DQ AB = 2,∴ DQ= 2AB. (9 分) 19. 解:(1)64 (3 分) (2)∵ E 是 AB ( 的中点,∴ AE ( =BE ( ,∴ ∠EAG= ∠ADE. (6 分) ∵ ∠AEG= ∠DEA,∴ △EDA∽△EAG. (9 分) 20. 解:(1)∵ EF∥BD,∴ AF FB = AE ED = 3 2 . (2 分) ∵ FG∥AC,∴ BG CG =BF AF = 2 3 . (4 分) ∵ BG= 4,∴ CG= 6; (5 分) (2)∵ CD= 2,CG= 6,∴ DG=CG-CD= 4. (6 分) ∵ BG= 4,∴ BD=BG+DG= 8. ∵ AF BF = 3 2 ,∴ AF AB = 3 5 . (8 分) ∵ EF∥BD,∴ EF BD =AF AB ,∴ EF 8 = 3 5 ,∴ EF= 24 5 . (10 分) 21. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,∴ ∠FAE= ∠AEB. ∵ EF∥AB,∴ 四边形 ABEF 是平行四边 形. (2 分) ∵ AE 平分∠BAD,∴ ∠FAE= ∠BAE,∴ ∠BAE= ∠AEB, (3 分) ∴ AB=EB,∴ 四边形 ABEF 是菱形,∴ BF 平分∠ABC; (5 分) (2)解:∵ 四边形 ABEF 为菱形,∴ BE=AB=CD= 6. (6 分) ∵ 四边形 ABCD∽四边形 CEFD,∴ AB CE =BC CD , (8 分) 即 6 BC-6 =BC 6 ,解得 BC= 3±3 5 (负值舍去),∴ BC = 3+ 3 5 . (10 分) 22. 解:(1)设 xs 后,可使△PCQ 的面积为 8cm2 . 由题意得, AP= xcm,PC= (6-x)cm,CQ= 2xcm, (1 分) 则 1 2 (6-x)·2x= 8,整理得 x2 -6x+8 = 0,解得 x1 = 2,x2 = 4. (3 分) 所以 P、Q 同时出发,2s 或 4s 后可使△PCQ 的面积为 8cm2 . (4 分) (2)设 t 秒后以 P、C、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似, 则 PC= (6-t)cm,CQ= 2tcm. 当△PCQ∽△ACB 时,PC AC = QC BC ,即6 -t 6 = 2t 8 ,解得 t= 12 5 ; (7 分) 当△PCQ∽△BCA 时,PC BC = QC AC ,即6 -t 8 = 2t 6 ,解得 t = 18 11 . 综上所述,经过12 5 秒或 18 11 秒时,以 P、C、Q 为顶点的三 角形与△ABC 相似. (10 分) 23. 解: ( 1) 证明: ∵ △ABC 是等边三角形, ∴ AB = BC, ∠ABD = ∠BCE, 在 △ABD 与 △BCE 中 AB=BC ∠ABC= ∠C= 60° BD=CE { ,∴ △ABD≌△BCE; (4 分) (2)证明:由(1)得:∠BAD = ∠CBE. ∵ ∠ABC = ∠BAC, ∴ ∠ABE = ∠EAF. 又 ∵ ∠BEA = ∠AEF, ∴ △ABE ∽ △FAE; (7 分) (3) ∵ ∠BAD = ∠CBE, ∠BDA = ∠FDB, ∴ △ABD ∽ △BFD, (9 分) ∴ AD BD =BD DF ,∴ BD2 =AD·DF= (AF+DF)·DF = 8,∴ BD = 2 2 . (11 分) 第二十七章追梦阶段测试卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D D C A C C A D D 1. C　 2. D 3. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【方法点拨】相似三角形对应线段的比等于相似比,周长 的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方. 4. C　 5. A　 【解析】∵ l∥HC,CD⊥l,OH⊥l,∴ 四边形 OHCD 是矩 形,∴ OH=CD. ∵ AB∥OH,∴ △ABF1 ∽△HOF1,∴ BF1 OF1 = AB OH = 3 2 . ∵ OF1 =OF2,∴ BF1 OF2 = 3 2 . 故选 A. 6. C　 【解析】由点 D 的画法可知 AD 平分∠OAB. ∵ △OPA ∽ △OAB, ∴ ∠OAP = ∠OBA = 1 2 ∠OAB. ∵ ∠OAB + ∠OBA= 90°,∴ ∠OAB = 60°,∠OAP = 30°,∴ AP = 2OP. 在 Rt△OAP 中,∠AOP= 90°,∴ OA = 2 = AP2 -OP2 = 3 OP,∴ OP= 2 3 3 ,∴ 点 P 的坐标为(2 3 3 ,0) . 故选 C. 7. C　 【解析】∵ O 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,∴ DO=BO. 又∵ E 为 OD 的中点,∴ DE= 1 4 DB,∴ DE ∶EB = 1 ∶3. 又∵ AB∥DC,∴ △DFE∽△BAE,∴ S△DEF S△BAE = ( 1 3 ) 2 = 1 9 ,∴ S△DEF = 1 9 S△BAE . ∵ S△AOB S△ABE = 2 3 ,∴ S△AOB = 2 3 S△BAE,∴ S△DEF:S△AOB = 1 9 S△BAE 2 3 S△BAE = 1 ∶6. 故选 C. 8. A　 9. D　 【解析】过点 D 作 DE⊥AO 于 E,∵ 点 D 是 BO 的中 点,∴ AD=BD=DO= 3,∴ BO = 6. ∵ DE⊥AO,AB⊥AO,∴ AB∥DE,∴ DO BO = DE AB = EO AO = 1 2 ,∴ AB = 2DE,AO = 2EO. ∵ S△DEO = 1 2 DE×EO = 1 2 ,∴ S△ABO = 1 2 AB×AO = 2. ∵ AB2 + AO2 =OB2 = 36,∴ (AB+AO) 2 = 36+ 8 = 44,∴ AB+AO = 2 11,∴ △ABO 的周长=AO+BO+AB= 6+2 11 . 故选 D. 10. D 　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ OB = OC, ∠OBC= ∠OCD= 45°,∠BOC= 90°. ∵ ∠BOE+∠EOC = 90°,∠EOC+∠COF= 90°,∴ ∠BOE = ∠COF. 在△OBE 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 17 页