第二十四章 圆 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

第二十四章追梦综合演练卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 如图,四边形 ABCD 内接于☉O,若它的一个外角∠DCE = 65°, ∠ABC= 68°,则∠A 的度数为(　 　 ) A. 112° B. 68° C. 65° D. 52° 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 第 3 题图 2. 设☉O 的半径为 2,圆心 O 到直线 l 的距离 OP=m,且 m 使得关 于 x 的方程 2x2 -2 2 x+m-1 = 0 有实数根,则直线 l 与☉O 的位 置关系为(　 　 ) A. 相离或相切 B. 相切或相交 C. 相离或相交 D. 无法确定 3. 如图,AB 是☉O 的直径,点 D 在☉O 上,若∠AOC = 120°,则∠D 的度数是(　 　 ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 45° 4. 若正方形的边长为 6,则其外接圆的半径为(　 　 ) A. 3 B. 3 2 C. 6 D. 6 2 5. 如图,☉O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线交于点 E,若 DE=OB,∠AOC= 84°,则∠E 等于(　 　 ) A. 42° B. 28° C. 21° D. 20° 第 5 题图 　 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 　 第 7 题图 6. 生产劳动情境·切割玉石 鸳鸯玉,是指产于甘肃武山县鸳鸯镇 一带的超基性岩石,又名蛇纹石玉,因其结构细密,质地细腻坚 韧,抗压、抗折、抗风化性好,可琢性强,光泽晶莹,而成为玉雕 工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料. 如图是 一个半径为 3 cm 的半圆形的鸳鸯玉石,AB 是半圆 O 的直径, C,D 是弧上两点. 若∠ADC= 130°,张师傅在这块玉石上切割了 一块扇形玉石(阴影部分)做吊坠,则这块玉石的面积是(　 　 ) A. 3 2 π cm2 B. 2π cm2 C. 5 2 π cm2 D. 9 2 π cm2 7. 如图,某考古学家要修复一面残破的铜镜,欲找到其圆心并确定 其半径,按以下步骤操作:①作弦 AB,分别以 A,B 为圆心,大于 1 2 AB 的长为半径画弧,两弧相交于点 M,N,作直线 MN;②作弦 BC,分别以 B,C 为圆心,大于 1 2 BC 的长为半径画弧,两弧相交 于点 P,Q,作直线 PQ. 直线 MN,PQ 的交点 O 即为圆心. 连接 OC,OC 即为半径. 若直线 PQ 交 BC 于点 D,交 BC ( 于点 E,且 BC = 10,DE= 1,则铜镜的半径 OC 长是(　 　 ) A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 8. 如图,在☉O 中,AB,AC 为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB, OE⊥AC,垂足分别为 D,E,若 AB= 4,则☉O 的半径是(　 　 ) A. 2 2 B. 2 C. 3 D. 4 2 第 8 题图 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 第 10 题图 9. 如图,已知 AB 是☉O 的直径,AD 切☉O 于点 A,CE ( =CB ( . 则下列 结论中不一定正确的是(　 　 ) A. OC⊥BE B. OC∥AE C. ∠COE= 2∠BAC D. OD⊥AC 10. 如图,△PQR 是☉O 的内接正三角形,四边形 ABCD 是☉O 的内接正方形,BC∥QR,则∠AOQ= (　 　 ) A. 60° B. 65° C. 72° D. 75° 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 一个圆锥的母线长为 5cm,底面半径为 2cm,那么这个圆锥的 侧面积为　 　 　 　 cm2 . 12. 如图,在扇形 AOB 中,∠AOB = 90°,正方形 CDEF 的顶点 C 是 弧 AB 的中点,点 D 在 OB 上,点 E 在 OB 的延长线上,当正方 形 CDEF 的边长为 3 时,阴影部分的面积为　 　 　 　 . 第 12 题图 　 　 　 　 第 13 题图 13. 如图,在☉O 中,点 A、B、C 在☉O 上,且∠ACB = 100°,则∠α = 　 　 　 　 . 14. 平面直角坐标系中,若干个半径为 1,圆心角为 60°的扇形组成 的图形如图所示,点 P 从原点 O 出发,向右沿箭头所指方向作 上下起伏运动,点 P 在直线上运动的速度为每秒 1 个单位长 度,在弧线上运动的速度为每秒π 3 个单位长度,则 2 025 秒时, 点 P 的坐标是　 　 　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 　 　 第 15 题图 15. 有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位 于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最小时捕捉. 把墙面、梯 子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图, ∠ABC= 90°,点 M,N 分别在射线 BA,BC 上,MN 长度始终保持 不变,MN= 4,E 为 MN 的中点,点 D 到 BA,BC 的距离分别为 4 和 2. 在 此 滑 动 过 程 中, 猫 与 老 鼠 的 距 离 DE 的 最 小 值为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)如图,AB 是☉O 的直径,∠ACD= 25°,求∠BAD 的度数. 17. (8 分)如图,☉O 的弦 AB、CD 的延长线相交于点 P,且 AB = CD. 求证:PA=PC. ·71· 18. (8 分)把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,如图所 示. 已知 EF=CD= 16 厘米,求出这个球的半径. 19. (10 分)如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度 AB= 60 米,拱高 PD= 18 米. (1)求圆弧所在的圆的半径 r 的长; (2)当洪水泛滥到跨度只有 30 米时,要采取紧急措施,若拱顶 离水面只有 4 米,即 PE= 4 米时,是否要采取紧急措施? 20. (10 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠B= 30°,∠ACB= 90°,AB= 4. 延 长 CA 到 O,使 AO=AC,以 O 为圆心,OA 长为半径作☉O 交 BA 延长线于点 D,连接 OD、CD. (1)求扇形 OAD 的面积. (2)判断 CD 所在直线与☉O 的位置关系,并说明理由. 21. (10 分)如图,AB 是☉O 的弦,AB = 2,点 C 在优弧 AB 上运动, 且∠ACB= 30°. (1)求☉O 的半径; (2)设点 C 到直线 AB 的距离为 x,图中阴影部分的面积为 y, 求 y 与 x 之间的函数关系,并写出自变量 x 的取值范围. 22. (10 分)如图,已知 AB 是圆 O 的直径,AC、BC 是圆 O 的弦,OM ∥AC 交圆 O 于点M,交 BC 于点 E,过点 B 作圆 O 的切线交 OE 的延长线于点 D,连接 DC 并延长交 BA 的延长线于点 F. (1)求证:DC 是圆 O 的切线; (2)当∠BAC= 　 　 　 　 时,四边形 OBMC 为菱形. 23. 中考新考法·尺规作图 (11 分)在学习完《切线的性质与判定》 后,数学老师布置一题:“已知:如图所示,☉O 及☉O 外一点 P. 求作:直线 PQ,使 PQ 与☉O 相切于点 Q. ”李蕾同学经过探 索,给出了如下的一种作图方法: ①连接 OP,分别以 O、P 为圆心,以大于 1 2 OP 的长为半径作 弧,两弧分别交于 A、B 两点(A、B 分别位于直线 OP 的上下两 侧);②作直线 AB,AB 交 OP 于点 C;③以点 C 为圆心,CO 为半 径作☉C,☉C 交☉O 于点 Q(点 Q 位于直线 OP 的上侧);④连 接 PQ,PQ 交 AB 于点 D,则直线 PQ 即为所求. (1)请按照步骤完成作图,并准确标注字母(尺规作图,保留作 图痕迹); (2)结合图形,说明 PQ 是☉O 切线的理由; (3)若☉O 半径为 2,OP= 6. 依据作图痕迹求 QD 的长. ·81· 54π,S侧 = S阴影 = ( π× 36 2 -S扇形OAB ) -( π× 12 2 -S扇形OCD ) = 720π(cm2 ) . (9 分) 20. 证明:(1)∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ADB= 90°. (2 分) ∵ OC∥BD,∴ ∠AEO= ∠ADB = 90°,即 OC⊥AD,∴ AE = ED; (5 分) (2)∵ OC⊥AD,∴ AC ( = CD ( ,∴ ∠ABC = ∠CBD = 36°,∴ ∠AOC= 2∠ABC= 2×36° = 72°,∴ AC ( = 72π×5 180 = 2π. (10 分) 21. 解:(1)∵ AB 为☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°, (1 分) ∵ ∠B= 30°,∴ AB= 2AC. (2 分) ∵ AB2 =AC2 +BC2 ,∴ AB2 = 1 4 AB2 +62 ,∴ AB= 4 3 . (5 分) (2)连接 OD. ∵ AB= 4 3 ,∴ OA=OD= 2 3 . (6 分) ∵ CD 平分 ∠ACB, ∠ACB = 90°, ∴ ∠ACD = 45°, ∴ ∠AOD= 2∠ACD= 90°, (8 分) ∴ S△AOD = 1 2 OA·OD= 6,S扇形AOD = 1 4 ·π·OD2 = 3π,∴ 阴影部分的面积=S扇形AOD-S△AOD = 3π-6. (10 分) 22. (1)证明:连接 OC,交 BE 于点 F,由 DC 是切线得 OC⊥ DC. 又∵ OA=OC,∴ ∠OAC = ∠OCA. ∵ AC 平分∠BAD, ∴ ∠DAC= ∠OAC,∴ ∠OCA= ∠DAC,∴ OC∥AD,∴ ∠D = ∠OCD= 90°,即 CD⊥ED. (5 分) (2) 解:∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠AEB = 90°. ∵ ∠D = 90°,∴ ∠AEB = ∠D,∴ BE∥CD. ∵ OC⊥CD, ∴ OC⊥ BE,∴ EF=BF. ∵ OC∥ED,∴ 四边形 EFCD 是矩形, (7 分) ∴ EF=CD= 4,∴ BE = 8,∴ AB = AE2 +BE2 = 2 17 . ∴ ☉O 的半径为 17 . (10 分) 23. (1)证明:∵ PC 切☉O 于点 P,∴ OP⊥PC. ∵ AC⊥PC, ∴ AC∥OP,∴ ∠CAP = ∠APO. ∵ OP = OA, ∴ ∠OAP = ∠OPA,∴ ∠CAP= ∠OAP,∴ AP 平分∠CAB; (4 分) (2)解:①当∠AOP= 90°,四边形 AOPC 为矩形,∵ OA = OP,∴ 矩形 AOPC 为正方形,∴ AP ( 的长为 90×π×22 360 = π; (8 分) ②当 AD = AP = OP = OD 时, 四边形 ADOP 为菱形, △AOP 和△AOD 为等边三角形,则∠AOP = 60°,AP = OP= 2;当 AD=DP =PO =OA 时,四边形 ADPO 为菱形, △AOD 和△DOP 为等边三角形,则∠AOP = 120°,则 AP = 2 3 . (12 分) 第二十四章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B B B C C A D D 1. C　 2. B　 【解析】因为关于 x 的方程 2x2 -2 2 x+m-1 = 0 有实 数根,所以 Δ=(-2 2) 2 -4×2×(m-1)≥0,解得 m≤2,又 因为☉O 的半径为 2,所以直线与圆相切或相交. 故选 B. 3. B　 4. B　 5. B　 【解析】连接 OD,∵ OB =DE,OB =OD,∴ DO =DE,∴ ∠E= ∠DOE. ∵ ∠ODC = ∠DOE+∠E,∴ ∠ODC = 2∠E, 而 OC = OD,∴ ∠C = ∠ODC,∴ ∠C = 2∠E,∴ ∠AOC = ∠C+∠E= 3∠E,∴ ∠E = 1 3 ∠AOC = 1 3 ×84° = 28°. 故选 B. 6. C　 【解析】由圆内接四边形的性质可得,∠ADC+∠B = 180°,∴ ∠B = 180° - ∠ADC = 50°, ∴ ∠AOC = 2 ∠B = 100°,∴ 这块玉石的面积= 100π ×32 360 = 5 2 πcm2 . 故选 C. 7. C　 【解析】由题意知:PQ 垂直平分 BC,∴ PQ⊥BC,BD = CD= 1 2 BC= 5. ∵ E 在圆上,∴ OE=OC,OD =OE-DE =OC -1. 在 Rt△OCD 中,OD2 +CD2 = OC2,∴ (OC- 1) 2 + 52 = OC2,解得 OC= 13. 故选 C. 8. A　 9. D　 【解析】∵ AB 是直径,CE ( =CB ( ,∴ OC⊥BE,故 A 正确; ∵ ∠COE = ∠COB,∠EAC = ∠CAB,∠COB = 2∠CAB,∴ ∠COE = 2 ∠CAB, 故 C 正 确; ∵ OA = OC, ∴ ∠OAC = ∠OCA,∴ ∠EAC = ∠OCA,∴ CO∥AE,故 B 正确;只有当 AE ( =CE ( 时,OD⊥AC,故 D 错误. 故选 D. 10. D　 【解析】连接 OD,AR,∵ △PQR 是☉O 的内接正三 角形,∴ ∠PRQ= 60°,∴ ∠POQ = 2×∠PRQ = 120°. ∵ 四 边形 ABCD 是☉O 的内接正方形,∴ AO = DO,∠AOD = 90°. ∵ BC∥RQ,AD∥BC,∴ AD∥QR,∴ ∠ARQ = ∠DAR, ∴ AQ ( =DR ( . ∵ △PQR 是等边三角形,∴ PQ =PR,∴ PQ ( = PR ( ,∴ AP ( = PD ( ,∴ ∠AOP = 1 2 ∠AOD = 45°,∴ ∠AOQ = ∠POQ-∠AOP= 120°-45° = 75°. 故选 D. 11. 10π 12. 9π 4 - 9 2 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【归纳总结】解决与扇形的面积有关的题目时,关键是得 到扇形半径的长度,对于不规则的图形面积,要进行转 化成几个规则图形的面积的和或差来求解. 13. 160° 14. (2 025 2 , 3 2 ) 　 【解析】设第 n 秒运动到 Pn( n 为自然 数),观察发现规律:P1 ( 1 2 , 3 2 ),P2 ( 1, 0),P3 ( 3 2 , - 3 2 ),P4(2,0),P5( 5 2 , 3 2 ),…,∴ P 点的横坐标为 n 2 , 纵坐标四个一循环,∵ 2 025÷4 = 506……1,∴ P2 025 坐标 为(2 025 2 , 3 2 ) . 15. 2 5 -2　 【解析】连接 BE,BD. 由题意得 BD= 22 +42 = 2 5 . ∵ ∠MBN = 90°,MN = 4,EM = NE,∴ BE = 1 2 MN = 2,∴ 点 E 的运动轨迹是以 B 为圆心,2 为半径的弧,∴ 当点 E 落在线段 BD 上时,DE 的值最小,∴ DE 的最小 值为 2 5 -2. 16. 解:∵ AB 为☉O 直径,∴ ∠ADB = 90°. ∵ ∠ACD = 25°, ∠ACD= ∠B,∴ ∠B= 25°. ∴ ∠BAD= 90°-∠B= 65°. (8 分) 17. 证明:连接 AC,∵ AB = CD,∴ AB ( = CD ( ,∴ AB ( +BD ( = BD ( + CD ( ,即 AD ( =CB ( ,∴ ∠C= ∠A,∴ PA=PC. (8 分) 18. 解:设圆心为 O,半径为 r,过点 O 作 OH⊥AD 于点 H,连 接 FO,则 EH=FH= 1 2 EF = 8. 在 Rt△FHO 中,r2 -(16- r) 2 = 82 ,解得 r= 10. ∴ 这个球的半径是 10 厘米. (8 分) 19. 解:(1)连接 OA,由题意得:AD= 1 2 AB= 30(米),OD= ( r 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 11 页 -18),在 Rt△ADO 中,有 r2 = 302 +( r-18) 2 ,解得 r = 34 米; (5 分) (2) 连接 OA′,∵ OE = OP-PE = 30 米,∴ 在 Rt△A′EO 中,A′E2 =A′O2 -OE2 ,即:A′E2 = 342 -302 ,解得 A′E = 16. ∴ A′B′= 32 米. ∵ A′B′ = 32> 30,∴ 不需要采取紧急措 施. (10 分) 20. (1)证明:∵ AB= 4,∠ACB = 90°,∠B = 30°,∴ AO = AC = 1 2 AB= 2. ∠OAD= ∠BAC= 60°. (2 分) ∵ OD=OA,∴ △OAD 是等边三角形, (3 分) ∴ ∠AOD= 60°,∴ S扇形AOD = 60·π×22 360 = 2π 3 ; (5 分) (2)CD 所在直线与☉O 相切, (6 分) 理由:∵ △OAD 是等边三角形,∴ AD=OA=AC,∠ODA= ∠O= 60°,∴ ∠ADC= ∠ACD= 1 2 ∠OAD = 30°,∴ ∠ODC = 60°+30° = 90°,即 OD⊥DC. ∴ CD 是☉O 的切线. (10 分) 21. 解:(1)∵ ∠ACB = 30°,∴ ∠AOB = 60°,又∵ OA =OB,∴ △AOB 是等边三角形,∴ ☉O 的半径是 2; (4 分) (2)∵ 点 C 到直线 AB 的距离为 x,∴ △CAB 的面积为 1 2 ×2×x= x, (6 分) 弓形 AB 的面积 = 扇形 AOB 的面积- △AOB 的面积 = 60π×22 360 - 3 = 2 3 π- 3 . (8 分) ∴ y= x+ 2 3 π- 3 (0≤x≤2+ 3 ) . (10 分) 22. (1) 证明:∵ OM∥AC,∴ ∠OEB = ∠ACB. ∵ AB 是圆 O 的直径,∴ ∠OEB = ∠ACB = 90°,∴ OD⊥BC, ∴ CE = BE. (3 分) 在 Rt△CED 和 Rt△BED 中,CE =BE,∠CED = ∠BED, ED=ED,∴ △CED≌△BED. ∴ ∠DBE= ∠DCE. (5 分) 又∵ OC=OB,∴ ∠OBE = ∠OCE,即∠DBO = ∠OCD. ∵ DB 为圆 O 的切线,∴ ∠DBO= 90°,∴ ∠OCD= ∠DBO = 90°,即 OC⊥DC. ∴ DC 是圆 O 的切线; (7 分) (2)60° (10 分) 23. 解:(1)按照步骤完成作图如下; (3 分) (2)连接 OQ. 由作图可知:OP 为☉C 的直径,∴ ∠OQP = 90°,∴ OQ⊥PQ. ∵ OQ 为☉O 的半径,∴ 直线 PQ 为 ☉O 的切线; (6 分) (3) 连接 OD. ∵ OQ = 2,OP = 6,在 Rt△OPQ 中,PQ = OP2 -OQ2 = 4 2 . 由图知 AB 为 OP 的垂直平分线,∴ OD=PD. 设 QD= x,则 OD=PD= 4 2 -x. (8 分) 在 Rt△OQD 中,OD2 =OQ2 +QD2 ,∴ (4 2 -x) 2 = 22 +x2 , 解得 x= 7 2 4 ,故 QD 的长为7 2 4 . (11 分) 第二十五章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D C B C B D B B C 1. C 2. D　 【解析】AB= 62 +82 = 10,∴ 小正方形的面积 = 102 - 4× 1 2 ×6×8 = 4,∴ 针扎在小正方形 GHEF 部分的概率 = 4 100 = 1 25 . 故选 D. 3. C　 4. B　 5. C 6. B　 【解析】画树状图如下: 由树状图可知共有 12 种等可能结果,其中点 P 落在直 线 y= -x+1 上的有(-2,3)、(- 1,2)、(2,- 1)、(3,- 2), 所以点 P 落在直线 y= -x+1 上的概率是 4 12 = 1 3 . 故选 B. 7. D　 8. B　 9. B　 10. C　 【解析】把开关 K1、K2、K3 分别记为 1、2、3,画树状图 如下: 共有 6 种等可能的结果,其中能使灯泡发光的结果有 4 种,即(K1,K3),(K1,K2),(K3,K1),(K2,K1),∴ 能使灯 泡发光的概率为 4 6 = 2 3 故选 C. 11. 0. 5 12. 5　 【解析】设袋子中白球有 n 个,根据题意,得 n 4+n = 20%,解得 n= 1,经检验 n = 1 是分式方程的解,所以估 计口袋中的球大约有 4+1 = 5 个. 13. 1 2 　 14. 1 000　 15. 2 π 　 【解析】∵ 正方形的边长为 2,∴ ☉O 的半径为 2, P(豆子落在正方形内的概率)= 2 ×2 π( 2) 2 = 2 π . 16. 解:(1) 1 4 (3 分) (2)画树状图如下: (6 分) 共有 16 种等可能的结果,其中她们两人购买不同特产 的有 12 种结果,∴ 她们两人购买不同特产的概率为12 16 = 3 4 . (8 分) 17. 解:(1)四瓶溶液中有两瓶呈碱性,∴ P(滴入其中结果 变红)= 2 4 = 1 2 ; (3 分) (2)设四瓶溶液分别为 A,B,C,D. 列表如下: (6 分) A B C D A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 由列表可知,共有 12 种等可能的情况,其中两瓶溶液 1 瓶变红、1 瓶不变色的有 8 种,所以 P(2 瓶溶液中 1 瓶 变红、1 瓶不变色)= 8 12 = 2 3 . (8 分) 18. 解:(1) 1 2 (3 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 12 页