第二十四章 圆 追梦阶段测试卷(二)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

第二十四章追梦阶段测试卷(二) 正多边形和圆及弧长和扇形面积 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 如果圆锥的底面半径为 3, 母线长为 6, 那么它的侧面积 等于(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 9π B. 18π C. 24π D. 36π 2. 若一个圆锥侧面展开图的圆心角是 270°,圆锥母线 l 与底面半 径 r 之间的函数关系图象大致是(　 　 ) A B C D 3. 已知一扇形的圆心角为 60°,半径为 5,则以此扇形为侧面的圆 锥的底面圆的周长为(　 　 ) A. 5 3 π B. 10π C. 5 6 π D. 1 6 π 4. 如图,A、B、C、D 为一个正多边形的顶点,若∠ADB = 15°,则该正多边形的边数为(　 　 ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. 已知圆内接正三角形的面积为 3 3 ,则边心距是(　 　 ) A. 2 B. 1 C. 3 D. 3 2 6. 如图,在菱形 ABCD 中,∠B = 70°,AB = 3,以 AD 为直径 的☉O 交 CD 于点 E,则弧 DE 的长为(　 　 ) A. 1 3 π B. 2 3 π C. 7 6 π D. 4 3 π 第 6 题图 　 　 　 　 　 第 7 题图 7. 如图,在单位长度为 1 米的平面直角坐标系中,曲线是由半径为 2 米,圆心角为 120°的弧 AB 多次复制并首尾连接而成. 现有一 点 P 从 A(A 为坐标原点)点出发,以每秒 2 3 π 米的速度沿曲线 向右运动,则在第 2026 秒时点 P 的纵坐标为(　 　 ) A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 8. 如图,从一块直径是 2 的圆形铁片上剪出一个圆心角为 90°的扇 形,将剪下来的扇形围成一个圆锥. 那么这个圆锥的底面圆的半 径是(　 　 ) A. π 4 B. 2 4 C. 1 2 D. 1 第 8 题图 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 第 10 题图 9. 如图,在 Rt△AOB 中,∠AOB = 90°,OA = 2,OB = 1,将 Rt△AOB 绕点 O 顺时针旋转 90°后得 Rt△FOE,将线段 EF 绕点 E 逆时针 旋转 90°后得线段 ED,分别以 O,E 为圆心,OA、ED 长为半径画 弧 AF 和弧 DF,连接 AD,则图中阴影部分面积是(　 　 ) A. π B. π+5 C. 14 -π 4 D. 10 -π 4 10. 如图,在圆内接正六边形 ABCDEF 中,BD,EC 交于点 G,已知 半径为 3,则 EG 的长为(　 　 ) A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 6 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 如图,正方形 ABCD 是☉O 的内接正方形,点 P 是劣弧 CD ( 上 不同于点 C 的任意一点,则∠BPC 的度数是　 　 　 　 度. 第 11 题图 　 　 　 　 第 12 题图 　 　 　 　 第 13 题图 12. 如图,正方形的边长为 2,以各边长为直径在正方形内画半圆, 则图中阴影部分的面积为　 　 　 　 . 13. 文化情境·传统文化 中国扇文化有着深厚的文化底蕴,是民族 文化的一个组成部分. 历来中国有“制扇王国”之称. 折扇是一 种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子; 用时须撒开,成半规形,聚头散尾. 如图,扇形纸扇完全打开后, 外侧两竹条 AB,AC 夹角为 150°,AB 的长为 18cm,BD 的长为 9cm,则 DE ( 的长为　 　 　 　 cm. 14. 如图所示的曲边三角形可按下述方法作出:作等边三角形 ABC;分别以点 A,B,C 为圆心,以 AB 的长为半径作 BC ( ,AC ( , AB ( . 三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形,如果一个曲边 三角形的周长为 2π,那么这个曲边三角形的面积是　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 　 　 第 15 题图 15. 如图,在扇形 AOB 中,∠AOB= 90°,点 C 为半径 OA 的中点,以点 O 为圆心,OC 的长为半径作弧 CD 交 OB 于点 D,点 E 为弧 AB 的中点,连接 CE、DE.若 OA= 4,则阴影部分的面积为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)如图,将弧长为 6π,圆心角为 120 度的扇形纸片 AOB 围 成圆锥形纸帽,使扇形的两条半径 OA 与 OB 重合(接缝粘连部 分忽略不计),求圆锥的底面圆半径及圆锥的侧面积. 17. (8 分)如图,AB 是☉O 的直径,点 C 为☉O 上一点,CF 为☉O 的切线,OE⊥AB 于点 O,分别交 AC,CF 于点 D,E 两点. (1)求证:ED=EC; (2)若 EC= 1,∠A= 30°,求图中阴影部分的周长. ·51· 18. (8 分)已知☉O 和☉O 上的一点 A. (1)作☉O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH; (2)在(1)题的作图中,如果点 E 在弧 AD 上,求证:DE 是☉O 内接正十二边形的一边. 19. (9 分)光明灯具厂生产一批台灯罩,如图的阴影部分为灯罩的 侧面展开图. 已知半径 OA、OC 分别为 36cm、 12cm, ∠AOB = 135°. (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边(花边的宽度忽略不计), 需要多长的花边? (2)求灯罩的侧面积(接缝不计) . (以上计算结果保留 π) 20. (10 分)如图,已知 AB 是☉O 的直径,C,D 是☉O 上的点,OC∥ BD,交 AD 于点 E,连接 BC. (1)求证:AE=ED; (2)若 AB= 10,∠CBD= 36°,求 AC ( 的长. 21. (10 分)如图所示,AB 是☉O 的直径,∠B = 30°,弦 BC = 6, ∠ACB 的平分线交☉O 于点 D,连接 AD. (1)求直径 AB 的长; (2)求阴影部分的面积(结果保留 π) . 22. (10 分)如图,AB 是☉O 的直径,CD 切☉O 于点 C,AD 交☉O 于点 E,AC 平分∠BAD,连接 BE. (1)求证:CD⊥ED; (2)若 CD= 4,AE= 2,求☉O 的半径. 23. (12 分)如图,已知 AB 是☉O 的直径,PC 切☉O 于点 P,过 A 作直线 AC⊥PC 交☉O 于另一点 D,连接 PA、PB. (1)求证:AP 平分∠CAB; (2)若 P 是直径 AB 上方半圆弧上一动点,☉O 的半径为 2,则: ①当 AP ( 的长为多少时,以 A,O,P,C 为顶点的四边形是正 方形; ②当弦 AP 的长度为多少时,以 A、D、O、P 为顶点的四边形是 菱形. ·61· S四边形ABDC =S△AED = 4,∴ 1 2 ·AD2 = 4,∴ AD= 2 2 . (11 分) 第二十四章追梦阶段测试卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A A D B A C B D C 1. B 2. A　 【解析】根据题意得 2πr= 270·π·l 180 ,所以 l = 4 3 r( r> 0),即 l 与 r 为正比例函数关系,其图象在第一象限. 故 选 A. 3. A　 4. D　 【解析】设正多边形的外接圆为☉O,连接 OA,OB,∵ ∠ADB= 15°,∴ ∠AOB= 2∠ADB= 30°,而 360°÷30° = 12, ∴ 这个正多边形为正十二边形. 故选 D. 5. B　 【解析】设正三角形的边心距为 x,则其半径为 2x,边 长为 2 3 x,因为圆内接正三角形的面积为 3 3,所以 1 2 × 2 3 x(x+2x)= 3 3,解得 x = 1 或-1(舍去) . 所以边心距 为 1. 故选 B. 6. A　 【解析】连接 OE,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ ∠D = ∠B= 70°,AD = AB = 3,∴ OA = OD = 1. 5. ∵ OD = OE,∴ ∠OED= ∠ODE = 70°,∴ ∠DOE = 180°- 2× 70° = 40°,∴ DE ( 的长= 40π ×1. 5 180 = 1 3 π. 故选 A. 7. C　 【解析】AB ( = 120π×2 180 = 4π 3 , 4 3 π÷ 2 3 π = 2(秒),2026÷2 = 1013,故在第 2026 秒时点 P 的纵坐标为 0. 故选 C. 8. B　 【解析】∵ ☉O 的直径为 2,则半径是 1,连接 BC、AO, 根据题意知 BC⊥AO,AO = BO = 1,在 Rt△ABO 中,AB = OB2 +OA2 = 2,即扇形的对应半径 R = 2,弧长 l = 90π× 2 180 = 2 2 π,设圆锥底面圆半径为 r,则有 2πr= 2 2 π, 解得 r= 2 4 . 故选 B. 9. D　 【解析】作 DH⊥AE 于点 H,∵ ∠AOB = 90°,OA = 2, OB = 1, ∴ AB = OA2 +OB2 = 5 . 由 旋 转 得 △EOF ≌ △BOA,∴ ∠OAB = ∠EFO. ∵ ∠FEO+ ∠EFO = ∠FEO+ ∠HED= 90°,∴ ∠EFO = ∠HED,∴ ∠HED = ∠OAB. ∵ ∠DHE = ∠AOB = 90°, DE = AB, ∴ △DHE ≌ △BOA (AAS), ∴ DH = OB = 1, S阴影 = S△ADE + S△EOF + S扇形AOF - S扇形DEF = 1 2 ×3×1+ 1 2 ×1×2+90·π ×22 360 -90·π×5 360 = 10-π 4 . 故选 D. 10. C　 【解析】连接 FD 交 EC 于 H,在圆内接正六边形 AB- CDEF 中,FE=ED=DC =CB,∠FED = ∠EDC = ∠DCB = 120°,∴ ∠EFD = ∠EDF = ∠ECD = ∠CED = ∠CBD = ∠BDC= 30°,∴ CG = DG,DH = EH,∴ ∠GDH = ∠DGH = ∠DHG= 60°,∴ CG=GH=DG=DH=EH,连接 OE,OD 交 EC 于 N,则 OD⊥EC,∠DOE = 60°,∵ OD = 3,∴ EN = 3 3 2 ,∴ EC= 2EN= 3 3,∴ EG= 2 3 EC= 2 3 . 故选 C. 11. 45 12. 2π - 4 　 【解析】如图,连接 PA、PB、OP. 则 S半圆O = π·12 2 = π 2 ,S△ABP = 1 2 ×AB·OP = 1 2 × 2 × 1 = 1, 由 题 意, 得 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 = 4(S半圆O-S△ABP)= 4( π 2 -1)= 2π-4. 13. 15 2 π　 【解析】∵ AB = 18cm,BD = 9cm,∠DAE = 150°,∴ AD= 9cm,∴ DE ( 的长为 150×π×9 180 = 15 2 π(cm) . 14. 2π- 2 3 　 【解析】设等边三角形 ABC 的边长为 r,∴ 60·π·r 180 = 2π 3 ,解得 r= 2,即正三角形的边长为 2,∴ 这 个曲边三角形的面积 = 2× 3 ÷ 2+( 60·π×4 360 - 3 ) × 3 = 2π-2 3 . 15. 4π-4 2 　 【解析】连接 AB,CD,OE,OE 交 CD 于点 J. ∵ OC=AC,OD=DB,∴ CD∥AB. ∵ AE ( =BE ( ,∴ OE⊥AB,∴ CD ⊥ OE. ∵ ∠COD = 90°, ∴ CD = OC2 +OD2 = 22 +22 = 2 2,∴ S四边形OCED = 1 2 ·CD·OE = 4 2,∴ S阴 =S扇形AOB-S四边形OCED = 1 4 ·π·42 -4 2 = 4π-4 2 . 16. 解:设圆锥的底面圆的半径为 r,则 2πr= 6π,解得 r= 3, (2 分) 设扇形 AOB 的半径为 R,则120·π·R 180 = 6π,解得 R = 9, (5 分) ∴ 圆锥的侧面积= 1 2 ×6π×9 = 27π. (8 分) 17. (1)证明:连接 OC. ∵ CF 为☉O 的切线,∴ OC⊥CE,∴ ∠OCA+ ∠ACE = 90°. ∵ OE⊥AB, ∴ ∠OAC + ∠ODA = 90°. ∵ OA= OC,∴ ∠OAC = ∠OCA,∴ ∠ACE = ∠ODA = ∠CDE,∴ ED=EC; (4 分) (2)解:设 OE 交劣弧 AC 于点 H,∵ ∠A = 30°,∠AOD = 90°,∴ ∠ADO = ∠CDE = ∠ACE = 60°,∴ ∠CED = 60°, ∠EOC= 30°. ∵ ∠OCE= 90°,EC= 1,∴ OC = 3 ,OE = 2, ∴ OH= OC = 3 ,∴ EH = OE-OH = 2 - 3 ,CH ( 的长 l = 30π× 3 180 = 3 π 6 , (7 分) ∴ 图中阴影部分的周长=CE+EH+l = 1+2- 3 + 3 π 6 = 3 - 3 + 3 π 6 . (8 分) 18. (1)正方形 ABCD 和正六边形 AEFCGH 如图所示: (4 分) (2)证明:连接 OE、DE. ∵ ∠AOD = 360° 4 = 90°,∠AOE = 360° 6 = 60°,∴ ∠DOE = ∠AOD-∠AOE = 30°. ∵ 360°÷30° = 12,∴ DE 为☉O 的内接正十二边形的一边. (8 分) 19. 解:(1)AB ( 的长= 135π ×36 180 = 27π,CD ( 的长 = 135π ×12 180 = 9π,∴ 花边的总长度= (2π×36-27π) +(2π×12-9π) = 60π(cm); (4 分) (2) S扇形OAB = 135π×362 360 = 486π, S扇形OCD = 135π×122 360 = 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 10 页 54π,S侧 = S阴影 = ( π× 36 2 -S扇形OAB ) -( π× 12 2 -S扇形OCD ) = 720π(cm2 ) . (9 分) 20. 证明:(1)∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ADB= 90°. (2 分) ∵ OC∥BD,∴ ∠AEO= ∠ADB = 90°,即 OC⊥AD,∴ AE = ED; (5 分) (2)∵ OC⊥AD,∴ AC ( = CD ( ,∴ ∠ABC = ∠CBD = 36°,∴ ∠AOC= 2∠ABC= 2×36° = 72°,∴ AC ( = 72π×5 180 = 2π. (10 分) 21. 解:(1)∵ AB 为☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°, (1 分) ∵ ∠B= 30°,∴ AB= 2AC. (2 分) ∵ AB2 =AC2 +BC2 ,∴ AB2 = 1 4 AB2 +62 ,∴ AB= 4 3 . (5 分) (2)连接 OD. ∵ AB= 4 3 ,∴ OA=OD= 2 3 . (6 分) ∵ CD 平分 ∠ACB, ∠ACB = 90°, ∴ ∠ACD = 45°, ∴ ∠AOD= 2∠ACD= 90°, (8 分) ∴ S△AOD = 1 2 OA·OD= 6,S扇形AOD = 1 4 ·π·OD2 = 3π,∴ 阴影部分的面积=S扇形AOD-S△AOD = 3π-6. (10 分) 22. (1)证明:连接 OC,交 BE 于点 F,由 DC 是切线得 OC⊥ DC. 又∵ OA=OC,∴ ∠OAC = ∠OCA. ∵ AC 平分∠BAD, ∴ ∠DAC= ∠OAC,∴ ∠OCA= ∠DAC,∴ OC∥AD,∴ ∠D = ∠OCD= 90°,即 CD⊥ED. (5 分) (2) 解:∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠AEB = 90°. ∵ ∠D = 90°,∴ ∠AEB = ∠D,∴ BE∥CD. ∵ OC⊥CD, ∴ OC⊥ BE,∴ EF=BF. ∵ OC∥ED,∴ 四边形 EFCD 是矩形, (7 分) ∴ EF=CD= 4,∴ BE = 8,∴ AB = AE2 +BE2 = 2 17 . ∴ ☉O 的半径为 17 . (10 分) 23. (1)证明:∵ PC 切☉O 于点 P,∴ OP⊥PC. ∵ AC⊥PC, ∴ AC∥OP,∴ ∠CAP = ∠APO. ∵ OP = OA, ∴ ∠OAP = ∠OPA,∴ ∠CAP= ∠OAP,∴ AP 平分∠CAB; (4 分) (2)解:①当∠AOP= 90°,四边形 AOPC 为矩形,∵ OA = OP,∴ 矩形 AOPC 为正方形,∴ AP ( 的长为 90×π×22 360 = π; (8 分) ②当 AD = AP = OP = OD 时, 四边形 ADOP 为菱形, △AOP 和△AOD 为等边三角形,则∠AOP = 60°,AP = OP= 2;当 AD=DP =PO =OA 时,四边形 ADPO 为菱形, △AOD 和△DOP 为等边三角形,则∠AOP = 120°,则 AP = 2 3 . (12 分) 第二十四章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B B B C C A D D 1. C　 2. B　 【解析】因为关于 x 的方程 2x2 -2 2 x+m-1 = 0 有实 数根,所以 Δ=(-2 2) 2 -4×2×(m-1)≥0,解得 m≤2,又 因为☉O 的半径为 2,所以直线与圆相切或相交. 故选 B. 3. B　 4. B　 5. B　 【解析】连接 OD,∵ OB =DE,OB =OD,∴ DO =DE,∴ ∠E= ∠DOE. ∵ ∠ODC = ∠DOE+∠E,∴ ∠ODC = 2∠E, 而 OC = OD,∴ ∠C = ∠ODC,∴ ∠C = 2∠E,∴ ∠AOC = ∠C+∠E= 3∠E,∴ ∠E = 1 3 ∠AOC = 1 3 ×84° = 28°. 故选 B. 6. C　 【解析】由圆内接四边形的性质可得,∠ADC+∠B = 180°,∴ ∠B = 180° - ∠ADC = 50°, ∴ ∠AOC = 2 ∠B = 100°,∴ 这块玉石的面积= 100π ×32 360 = 5 2 πcm2 . 故选 C. 7. C　 【解析】由题意知:PQ 垂直平分 BC,∴ PQ⊥BC,BD = CD= 1 2 BC= 5. ∵ E 在圆上,∴ OE=OC,OD =OE-DE =OC -1. 在 Rt△OCD 中,OD2 +CD2 = OC2,∴ (OC- 1) 2 + 52 = OC2,解得 OC= 13. 故选 C. 8. A　 9. D　 【解析】∵ AB 是直径,CE ( =CB ( ,∴ OC⊥BE,故 A 正确; ∵ ∠COE = ∠COB,∠EAC = ∠CAB,∠COB = 2∠CAB,∴ ∠COE = 2 ∠CAB, 故 C 正 确; ∵ OA = OC, ∴ ∠OAC = ∠OCA,∴ ∠EAC = ∠OCA,∴ CO∥AE,故 B 正确;只有当 AE ( =CE ( 时,OD⊥AC,故 D 错误. 故选 D. 10. D　 【解析】连接 OD,AR,∵ △PQR 是☉O 的内接正三 角形,∴ ∠PRQ= 60°,∴ ∠POQ = 2×∠PRQ = 120°. ∵ 四 边形 ABCD 是☉O 的内接正方形,∴ AO = DO,∠AOD = 90°. ∵ BC∥RQ,AD∥BC,∴ AD∥QR,∴ ∠ARQ = ∠DAR, ∴ AQ ( =DR ( . ∵ △PQR 是等边三角形,∴ PQ =PR,∴ PQ ( = PR ( ,∴ AP ( = PD ( ,∴ ∠AOP = 1 2 ∠AOD = 45°,∴ ∠AOQ = ∠POQ-∠AOP= 120°-45° = 75°. 故选 D. 11. 10π 12. 9π 4 - 9 2 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【归纳总结】解决与扇形的面积有关的题目时,关键是得 到扇形半径的长度,对于不规则的图形面积,要进行转 化成几个规则图形的面积的和或差来求解. 13. 160° 14. (2 025 2 , 3 2 ) 　 【解析】设第 n 秒运动到 Pn( n 为自然 数),观察发现规律:P1 ( 1 2 , 3 2 ),P2 ( 1, 0),P3 ( 3 2 , - 3 2 ),P4(2,0),P5( 5 2 , 3 2 ),…,∴ P 点的横坐标为 n 2 , 纵坐标四个一循环,∵ 2 025÷4 = 506……1,∴ P2 025 坐标 为(2 025 2 , 3 2 ) . 15. 2 5 -2　 【解析】连接 BE,BD. 由题意得 BD= 22 +42 = 2 5 . ∵ ∠MBN = 90°,MN = 4,EM = NE,∴ BE = 1 2 MN = 2,∴ 点 E 的运动轨迹是以 B 为圆心,2 为半径的弧,∴ 当点 E 落在线段 BD 上时,DE 的值最小,∴ DE 的最小 值为 2 5 -2. 16. 解:∵ AB 为☉O 直径,∴ ∠ADB = 90°. ∵ ∠ACD = 25°, ∠ACD= ∠B,∴ ∠B= 25°. ∴ ∠BAD= 90°-∠B= 65°. (8 分) 17. 证明:连接 AC,∵ AB = CD,∴ AB ( = CD ( ,∴ AB ( +BD ( = BD ( + CD ( ,即 AD ( =CB ( ,∴ ∠C= ∠A,∴ PA=PC. (8 分) 18. 解:设圆心为 O,半径为 r,过点 O 作 OH⊥AD 于点 H,连 接 FO,则 EH=FH= 1 2 EF = 8. 在 Rt△FHO 中,r2 -(16- r) 2 = 82 ,解得 r= 10. ∴ 这个球的半径是 10 厘米. (8 分) 19. 解:(1)连接 OA,由题意得:AD= 1 2 AB= 30(米),OD= ( r 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 11 页