第二十一章 一元二次方程 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

第二十一章追梦综合演练卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 下列方程是关于 x 的一元二次方程的是(　 ) A. ax2 +bx+c= 0 B. x2 + 2 x2 = 0 C. 2x2 +3x+1 = 0 D. x2 +y+2 = 0 2. 一元二次方程 x2 -x-2 = 0 的解是(　 　 ) A. x1 = 1,x2 = 2 B. x1 = 1,x2 = -2 C. x1 = -1,x2 = -2 D. x1 = -1,x2 = 2 3. 若 x = a 是方程 2x2 -x-6 = 0 的一个解,则代数式 4a2 - 2a 的值 为(　 　 ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 4. 关于 x 的一元二次方程(a-3)x2 - 17 x+1 = 0 有实数根,则实数 a 满足(　 　 ) A. a<29 4 B. a≥29 4 C. a≤29 4 且 a≠3 D. a≥29 4 且 a≠3 5. 文化情境·数学文化 《九章算术》 “勾股”章有一题:“今有户高 多于广六尺八寸,两隅相去适一丈. 问户高、广各几何. ”大意是 说:已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸,门的对角线长 1 丈,那 么门的高和宽各是多少(1 丈 = 10 尺,1 尺 = 10 寸)? 若设门的 宽为 x 寸,则下列方程中,符合题意的是(　 　 ) A. x2 +12 = (x+0. 68) 2 B. x2 +(x+0. 68) 2 = 12 C. x2 +1002 = (x+68) 2 D. x2 +(x+68) 2 = 1002 6. 若三角形三边的长均能使代数式( x-9) ( x-4)的值为零,则此 三角形的周长是(　 　 ) A. 27 或 12 B. 17 或 22 C. 27 或 22 或 12 D. 27 或 17 或 22 7. 为响应“足球进校园”的号召,某校组织足球比赛,赛制为单循 环形式(每两个队之间都要比赛一场),计划安排 28 场比赛,则 参赛的足球队个数为(　 　 ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 定义新运算“a※b”:对于任意实数 a、b,都有 a※b = (a+b) (a- b) -1,例 4※2 = (4+2)(4-2) -1 = 12-1 = 11. 则方程 x※1 = x 的 根的情况为(　 　 ) A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 9. 学科素养·整体思想 关于 x 的方程 a(x+m) 2 +b = 0 的解是 x1 = -2,x2 = 1(a,m,b 均为常数,a≠0),则方程 a( -x-m+1) 2 +b = 0 的解是(　 　 ) A. -1 和 0 B. -3 和 2 C. -3 和 0 D. -1 和 2 10. 文化情境·数学文化 欧几里得的《原本》记 载,形如 x2 +ax = b2 的方程的图解法如图: 画 Rt△ABC,使∠ACB = 90°,BC = a 2 ,AC = b,再在斜边 AB 上截取 BD= a 2 . 则该方程的一个正根是(　 　 ) A. AC 的长 B. AD 的长 C. BC 的长 D. CD 的长 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 已知关于 x 的一元二次方程(a+c)x2 +2bx+(a-c) = 0,其中 a、 b、c 分别为△ABC 三边的长. 如果 x = -1 是方程的根,则△ABC 是　 　 　 　 三角形. 12. 方程(m+ 2) x |m | + 3mx+ 4 = 0 是关于 x 的一元二次方程,则 m = 　 　 　 　 . 13. 直线 y= x+a 不经过第二象限,则关于 x 的方程 ax2 +2x +1 = 0 的实数解有　 　 　 　 个. 14. 跨学科试题·语文 《念奴娇·赤壁怀古》,在苏轼笔 下,周瑜年少有为,文采风流,雄姿英发,谈笑间,樯橹灰飞烟 灭,然天妒英才,英年早逝,欣赏下面改编的诗歌,“大江东去 浪淘尽,千古风流数人物,而立之年督东吴,早逝英年两位数, 十位恰小个位三,个位平方与寿符. ”则这位风流人物去世的 年龄是　 　 　 　 . 15. 一元二次方程 x2 +4x+1 = 0 的两个根是 x1,x2,则 x2 x1 - x1 x2 的值为 　 　 　 　 . (其中 x2 >x1) 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)解方程: (1)x2 +2x-1 = 0; (2)(x-1) 2 = 3(x-1) . 17. (8 分)下面是小明同学解一元二次方程 2x2 -2 = 3x 的过程,请 认真阅读并完成相应的任务. 2x2 -2 = 3x. 解:二次项系数化为 1,得 x2 -1 = 3 2 x,……………………第一步 移项,得 x2 - 3 2 x= 1,………………………………… 第二步 配方,得 x2 - 3 2 x+ 9 4 = 1,……………………………… 第三步 变形,得(x- 3 2 ) 2 = 1,………………………………… 第四步 开方,得 x- 3 2 = ±1,……………………………………第五步 解得 x1 = 1 2 ,x2 = 5 2 …………………………………… 第六步 (1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降 次”为两个一元一次方程,体现的数学思想是　 　 　 　 ,其中 “配方法”依据的一个数学公式是　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)上述解题过程,从第　 　 　 　 步开始出现错误,请写出正 确的解答过程. 18. 【创新题】(8 分)阅读下面的材料并解答后面的问题: 小力:能求出 x2 +4x+3 的最小值吗? 如果能,其最小值是多少? 小强:能,求解过程如下: 因为 x2 +4x+3 = x2 +4x+4-4+3 = (x2 +4x+4) +( -4+3) = (x+2) 2 -1, 而(x+2) 2≥0, 所以 x2 +4x+3 的最小值是-1. ·1· 问题:你能否求出 x2 -8x+5 的最小值? 如果能,请仿照上例写 出你的求解过程. 19. (10 分)关于 x 的一元二次方程 x2 +(2k+1)x+k2 +1 = 0. (1)当方程有一个根为-1 时,求 k 的值及另一个根; (2)当方程有两个不相等的实数根时,求 k 的取值范围; (3)若方程有两个实数根 x1,x2,且满足 x1 2 +x2 2 = 5,求 k 的值. 20. (10 分)甲、乙两个机器人分别从相距 70 m 的 A、B 两个位置同 时相向运动. 甲第 1 分钟走 2 m,以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置? (2)如果甲、乙到达 A 或 B 后立即折返,甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙继续按照每分钟 5 m 的速度行走,那么开始 运动后多少分钟第二次同时到达同一位置? 21. (10 分)如图,在△ABC 中,∠B = 90°,AB = 6 cm,BC = 8 cm,动 点 P 从点 A 沿 AB 边向 B 以 1 cm / s 的速度移动(不与点 B 重 合);动点 Q 从点 B 沿 BC 边向 C 以 2 cm / s 的速度移动(不与 点 C 重合) . (1)设时间为 t,则 BP= 　 　 　 　 cm,BQ= 　 　 　 　 cm; (2)如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发,出发多少秒后,四边形 APQC 的面积为 16 cm2? 22. 社会发展情境·技术改造 (10 分)铝加工是巩义经济的支柱产 业之一,巩义某铝板厂通过技术改造升级,使铝板生产规模不 断扩大. 该厂 7 月份生产铝板 1. 92 万吨,9 月份生产铝板 3 万吨. (1)求 8,9 月份产量的平均增长率; (2)若 9 月份每吨铝板的利润为 2 000 元,10 月份每吨铝板的 利润比 9 月增加 a%,10 月份铝板产量比上月增加 2a%,则 10 月份铝板项目月利润达到 7 920 万元. 求 a 的值. 23. (11 分)综合与探究 如果关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0)有两个实数 根,且其中一个根比另一个根大 1,那么称这样的方程是“邻根 方程” . 例如:一元二次方程 x2 +x= 0 的两个根是 x1 = 0,x2 = -1, 则方程:x2 +x= 0 是“邻根方程” . (1)通过计算,判断下列方程是否是“邻根方程”: ①x2 +x-6 = 0; ②2x2 -2 5 x+2 = 0. (2)已知关于 x 的一元二次方程 x2 -(m-2) x-2m = 0(m 是常 数)是“邻根方程”,求 m 的值. (3)若关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+2 = 0(a、b 是常数,且 a< 0)是“邻根方程”,令 t= 16+b2,请化简 t . ·2· 　 　 答案详解详析　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 第二十一章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D C C D C C C D B 1. C　 【解析】根据一元二次方程的定义可知 2x2 +3x+1 = 0 是一元二次方程. 故选 C. 2. D　 【解析】解 x2 -x-2 = 0,得 x1 = -1,x2 = 2. 故选 D. 3. C　 【解析】将 x=a 代入 2x2 -x-6 = 0,得 2a2 -a= 6,则 4a2 -2a= 2(2a2 -a)= 12. 故选 C. 4. C　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】一元二次方程有实数根包括一元二次方程 有两个相等的实数根和两个不相等的实数根这两种情 况,此时 Δ≥0,不要漏掉等号. 5. D　 6. C　 【解析】令(x-9)(x-4)= 0,则 x-9 = 0 或 x-4 = 0,解 得 x1 = 9,x2 = 4. ①当三边长为 4,4,9 时,不能构成三角 形;②当三边长为 9,9,4 时,周长为 22;③当三边长为 9, 9,9 或 4,4,4 时,周长为 27 或 12. 综上,三角形的周长为 22 或 27 或 12. 故选 C. 7. C　 【解析】设参赛的足球队为 x 个. 根据题意得x(x -1) 2 = 28. 解得 x1 = 8,x2 = - 7(不合题意,舍去) . 故参赛的足 球队为 8 个. 故选 C. 8. C　 9. D　 【解析】∵ a(-x-m+1) 2 +b = 0,∴ a(x+m-1) 2 +b = 0. 又∵ 关于 x 的方程 a(x+m) 2 +b= 0 的解是 x1 = -2,x2 = 1, ∴ x-1 = -2 或 x-1 = 1,解得 x3 = -1,x4 = 2. 故选 D. 10. B　 【解析】根据勾股定理,得(AD+ a 2 ) 2 = b2 +( a 2 ) 2,整 理得 AD2 +aAD = b2,∴ x = AD,则该方程的一个正根是 AD 的长. 故选 B. 11. 等腰　 【解析】把 x= -1 代入方程得 a+c-2b+a-c= 0,所 以 a= b,所以△ABC 为等腰三角形. 12. 2　 【解析】由题意得 m+2≠0 且 |m | = 2,解得 m= 2. 13. 1 或 2　 【解析】∵ 直线 y = x+a 不经过第二象限,∴ a≤ 0,当 a= 0 时,关于 x 的方程 ax2 +2x+1 = 0 是一元一次 方程,解为 x= - 1 2 ,当 a<0 时,关于 x 的方程 ax2 +2x+1 = 0 是一元二次方程,∵ Δ = 22 - 4a> 0,∴ 方程有两个不 相等的实数根. 14. 36　 【解析】假设周瑜去世时年龄的个位数字是 x,则可 列方程为 10(x-3)+x= x2,解得 x1 = 5,x2 = 6,当 x= 5 时, 十位数字是 2,即是 25,与“而立之年督东吴”不符,故 舍去. 当 x= 6 时,年龄为 36. ∴ 周瑜去世时 36 岁. 15. -8 3 　 【解析】根据题意,得 x1 +x2 = - 4,x1x2 = 1,所以 x2 x1 - x1 x2 = x22 -x 2 1 x1x2 = (x1 +x2)(x2 -x1) x1x2 = (x1 +x2) (x2 +x1) 2 -4x1x2 x1x2 = -4× (-4) 2 -4×1 1 = -8 3 . 16. 解:(1)移项,得 x2 +2x= 1. (1 分) 配方,得 x2 +2x+1 = 2,∴ (x+1) 2 = 2. (2 分) 由此可得 x+1 = ± 2 , (3 分) 故 x1 = 2 -1,x2 = - 2 -1; (4 分) (2)移项,得(x-1) 2 -3(x-1)= 0. (5 分) 因式分解,得(x-1)(x-1-3)= 0. (7 分) 于是得 x-1 = 0,或 x-4 = 0,故 x1 = 1,x2 = 4. (8 分) 17. 解:(1)转化思想　 a2 ±2ab+b2 = (a±b) 2 (3 分) (2)三　 (4 分) 解:二次项系数化为 1,得 x2 -1 = 3 2 x. 移项,得 x2 - 3 2 x = 1. 配方,得 x2 - 3 2 x+ 9 16 = 1+ 9 16 . 变形,得(x- 3 4 ) 2 = 25 16 . 开方,得 x- 3 4 = ± 5 4 . 解得 x1 = 2,x2 = - 1 2 . (8 分) 18. 解:能. x2 -8x+5 = x2 -8x+16-16+5 = (x2 -8x+16) +( -16 +5)= (x-4) 2 -11, (4 分) ∵ (x-4) 2 ≥0,∴ (x-4) 2 -11≥-11,∴ x2 -8x+5 的最小 值为-11. (8 分) 19. 解:(1) 把 x = - 1 代入,得( - 1) 2 -(2k+ 1) + k2 + 1 = 0, 解得 k= 1, (1 分) 即原方程为:x2 +3x+2 = 0,∴ x1 ·x2 = 2,∵ x1 = -1,∴ x2 = -2. (3 分) (2)根据题意,得:Δ= (2k+ 1) 2 - 4(k2 + 1) = 4k- 3> 0,解 得:k> 3 4 . (6 分) (3)根据题意得 x1 +x2 = -2k-1,x1 ·x2 = k 2 +1,∵ x21 +x 2 2 = 5,∴ (x1 +x2 ) 2 -2x1 ·x2 = ( -2k-1) 2 -2(k2 +1)= 5,整理 得 k2 +2k-3 = 0,解得 k1 = -3,k2 = 1. (9 分) ∵ 方程有两个实数根时,k≥ 3 4 ,∴ k= 1. (10 分) 20. 解:(1)设 n 分钟后第 1 次相遇,依题意,有n(n +3) 2 +5n = 70,整理得 n2 +13n-140 = 0, (3 分) 解得 n1 = 7,n2 = -20(不符合题意,舍去),故甲、乙开始 运动后 7 分钟第一次同时到达同一位置; (5 分) (2)设 m 分钟后第 2 次相遇,依题意,有m(m +3) 2 +5m= 3×70,整理得 m2 +13m-420 = 0, (8 分) 解得 m1 = 15,m2 = -28(不符合题意,舍去),故开始运动 后 15 分钟第二次同时到达同一位置. (10 分) 21. 解:(1)(6-t)　 2t (4 分) (2)设 t 秒后,四边形 APQC 的面积为 16cm2 ,∴ S△ABC - S△BPQ = 16,∴ 1 2 AB·BC- 1 2 PB·BQ = 16,即 1 2 × 6× 8- 1 2 (6-t)×2t= 16, (7 分) 解得 t1 = 2,t2 = 4,当 t= 4 时,BQ= 2×4 = 8,∵ Q 不与点 C 重合,∴ t= 4 不合题意. 舍去,故 2 秒后,四边形 APQC 的面积为 16cm2 . (10 分) 22. 解:(1)设 8,9 月份产量的平均增长率为 x. 根据题意, 得 1. 92(1+x) 2 = 3, (3 分) 解得 x1 = 0. 25,x2 = -2. 25(舍去) . ∴ 8,9 月份产量的平 均增长率为 25%; (5 分) (2) 由题意,得 2 000 ( 1 + a%) × 30 000 ( 1 + 2a%) = 79 200 000, (8 分) 解得 a1 = 10,a2 = -160(舍去) . ∴ a 的值为 10. (10 分) 23. 解:(1)①解方程得:(x+3)(x-2)= 0,∴ x1 = -3,x2 = 2, ∵ 2≠-3+1,∴ x2 +x-6 = 0 不是“邻根方程”; (2 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 1 页 ②x = 2 5 ± 20 -16 4 = 2 5 ±2 4 ,∴ x1 = 5 +1 2 ,x2 = 5 -1 2 , ∵ 5 +1 2 = 5 -1 2 +1,∴ 2x2 -2 5 x+2 = 0 是“邻根方程” . (4 分) (2)整理,得(x-m)(x+2)= 0,∴ x1 =m,x2 = -2, (5 分) ∵ 方程是“邻根方程”,∴ m = -2+1 或 m = -2-1,∴ m = -1 或-3. (7 分) (3) 解方程 ax2 + bx + 2 = 0 得: x1 = -b+ b2 -8a 2a , x2 = -b- b2 -8a 2a , (8 分) ∵ 关于 x 的方程 ax2 +bx+2 = 0(a、b 是常数,且 a<0)是 “邻根方程”, ∴ -b+ b2 -8a 2a + 1 = -b- b2 -8a 2a , ∴ b2 -8a a = -1,∴ b2 -8a = -a,等号两边平方得:b2 -8a =a2 ,∴ b2 =a2 +8a=a(a+8),∵ a<0,∴ a≤-8, (10 分) ∵ t= 16+b2 ,∴ t=a2 +8a+16 = (a+4) 2 ,当 a≤-8 时, t = (a+4) 2 = -(a+4)= -a-4. (11 分) 第二十二章追梦阶段测试卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B B B B C D C B A 1. A　 2. B 3. B　 【解析】y= -x2 +2x+1 = -(x-1) 2 +2,∴ 抛物线的对称 轴为直线 x= 1. ∵ a= -1<0,∴ 当 x>1 时,y 随 x 的增大而 减小. 故选 B. 4. B　 5. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　【方法点拨】比较二次函数值大小的方法 (1)代入比较法:将几个点的横坐标分别代入二次函数 解析式,求出对应函数值,再比较函数值大小; (2)图象比较法:当点在对称轴同侧,直接根据增减性比 较,当点不在对称轴同侧,利用二次函数图象对称性,将 点转化到对称轴同侧,再根据增减性比较. 6. C　 【解析】∵ 抛物线开口向下,∴ a<0. ∵ 抛物线与 y 轴 交于正半轴,∴ c>0,∵ 对称轴在 y 轴左边,- b 2a <0,∴ b< 0,abc>0. ∵ - b 2a >-1,∴ b 2a <1,∴ b>2a. 当 x = 1 时,y<0, ∴ a+b+c<0. 故选 C. 7. D　 8. C　 【解析】B. 由表格可知,该函数的对称轴是直线 x= -3-2 2 = - 5 2 ;A. 该抛物线开口向上,在 x = - 5 2 时,y 取得 最小值;D. 当 x>- 5 2 时,y 随 x 的增大而增大. 故选 C. 9. B　 10. A　 【解析】由题可得,顶点坐标为(0,a),开口向下,由 二次函数对称性可知:函数的对称轴为 y 轴,当区域 W 内恰有 7 个整点时,这七个整数点坐标分别为(1,1), (1,2),(0,1),(0,2),(0,3),(- 1,1),(- 1,2),因此 a 的取值范围为 3<a≤4. 故选 A. 11. y= 2x2 　 12. -2 13. S= -x2 +20x 14. (4,3)　 【解析】∵ y= 3x2 -6x+4 = 3(x-1) 2 +1,∴ 抛物线 的顶点坐标为(1,1),平移后得到点的坐标为(4,3) . 15. (3,2) 　 (55,58 3 ) 　 【解析】设直线 AB 的解析式为 y = kx+b,则 -3k+b= 0, b= 1,{ 解得 k = 1 3 ,b = 1,∴ 直线 AB 的解 析式为 y= 1 3 x+1. ∵ 抛物线 C2 的顶点坐标的横坐标为 3,且顶点在直线 AB 上,∴ 抛物线 C2 的顶点坐标为(3, 2) . ∵ 对称轴与 x 轴的交点的横坐标依次为 2,3,5,8, 13,…,∴ 每个数都是前两个数的和. ∴ 抛物线 C8 的顶 点坐标的横坐标为 55. ∴ 抛物线 C8 的顶点坐标为(55, 58 3 ) . 16. 解:(1)把(2,-3)代入 y = x2 +bx-3,得 4+2b-3 = -3,解 得 b= -2,则抛物线的解析式为 y= x2 -2x-3; (4 分) (2)∵ y= x2 -2x-3 = (x-1) 2 -4, (5 分) ∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线 x = 1,顶点坐标为 (1,-4) . (8 分) 17. 解:(1)y= (x-2) 2 +1; (3 分) (2)对称轴为直线 x= 2,顶点坐标为(2,1); (6 分) (3)∵ 图象开口向上,对称轴为 x = 2,∴ 当 x>2 时,y 随 x 的增大而增大. (9 分) 18. 解:(1)由表可知,对称轴是直线 x= - 1 2 ,设二次函数的 表达式是 y=a(x+ 1 2 ) 2 +k, (1 分) 把点(-2,0)和点(0,- 2)代入,得 a(-2+ 1 2 ) 2 +k= 0, a(0+ 1 2 ) 2 +k= -2 ì î í ï ï ï ï , 解得 a= 1,k= - 9 4 , (3 分) y= (x+ 1 2 ) 2 - 9 4 = x2 +x-2,所以该二次函数的表达式是 y= x2 +x-2; (5 分) (2)当 y= 4 时,x2 +x-2 = 4,解得 x= -3 或 2, (7 分) 所以当 y≥4 时,自变量 x 的取值范围是 x≤-3 或 x≥ 2. (9 分) 19. 解:(1)根据题意得 a-b+c= 0 c= 5 a+b+c= 8 { ,解得 a= -1 b= 4 c= 5 { ,所以二次 函数解析式为 y= -x2 +4x+5; (4 分) (2)y= -x2 +4x+5 = -(x-2) 2 +9,则 M 点坐标为(2,9), (6 分) 设直线 MC 的解析式为 y=mx+n,把 M(2,9)和 C(0,5) 代入得 2m+n= 9 n= 5{ ,解得 m= 2, n= 5,{ 所以直线 MC 的解析式 为 y= 2x+5. (9 分) 20. 解:(1)设抛物线的表达式为 y=a(x-1) 2 -4,将(2,-3) 代入上式得-3 =a-4,解得 a= 1,故抛物线的表达式为 y = (x-1) 2 -4; (3 分) (2)对于 y= (x-1) 2 -4,令 x= 0,则 y= -3,令 y= 0,则 x= -1 或 3,故 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3),设直线 BC 的 表达式为:y = mx+ t,则 t = -3 0 = 3m+t{ ,解得 m= 1 t= -3{ ,故直线 BC 的表达式为 y= x-3, (5 分) 分别过点 A、P 作 BC 的平行线,分别交 y 轴于点 M、N, ∵ △BCP 的面积为△ABC 的一半,故 MC= 2NC,∵ OB = OC= 3,∴ 直线 BC 和 x 轴的夹角为 45°,则直线 AM、PN 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 2 页