下册第27章 圆 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（华东师大版）

第 27 章追梦综合演练卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 如图,△ABC 内接于☉O,∠ACB= 90°,过点 C 的切线交 AB 的延 长线于点 P,∠P= 28°. 则∠CAB= (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 62° B. 31° C. 28° D. 56° 第 1 题图 　 　 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,已知 AB 是☉O 的直径,☉O 的半径为 1,BD = 3 ,则sinC 的值等于(　 　 ) A. 1 2 B. 3 2 C. 3 3 D. 2 2 3. 如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位:cm),则这个几何 体的侧面积为(　 　 ) A. 48πcm2 B. 24πcm2 C. 12πcm2 D. 9πcm2 第 3 题图 　 　 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,正方形 ABCD 的边长为 4,以点 A 为圆心,AD 为半径,画圆 弧 DE 得到扇形 DAE(点 E 在对角线 AC 上) . 若扇形 DAE 正好 是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径是(　 　 ) A. 2 B. 1 C. 2 2 D. 1 2 5. 已知☉O 的半径为 3,△ABC 内接于☉O,且 BC = 3 3 . 则∠A 的 度数为(　 　 ) A. 60° B. 120° C. 60°或 120° D. 不能确定 6. 如图,△PQR 是☉O 的内接正三角形,四边形 ABCD 是☉O 的内 接正方形,BC∥QR,则∠QOB 的度数是(　 　 ) A. 30° B. 20° C. 18° D. 15° 第 6 题图 　 　 　 　 第 7 题图 　 　 7. 如图,PA、PB 为☉O 的切线,切点分别为 A、B,PO 交 AB 于点 C, PO 的延长线交☉O 于点 D.下列结论不一定成立的是(　 　 ) A. △BPA 为等腰三角形 B. AB 与 PD 相互垂直平分 C. 点 A、B 都在以 PO 为直径的圆上 D. PC 为△BPA 的边 AB 上的中线 8. 如图,☉O 的半径为 5,若∠AOB 与∠COD 互补,弦 CD = 6,则点 O 到弦 AB 的距离为(　 　 ) A. 6 B. 8 C. 3 D. 4 第 8 题图 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 第 10 题图 9. 如图,六边形 ABCDEF 是正六边形,点 P 是边 AF 的中点,PC, PD 分别与 BE 交于点 M,N,则 S△PBM ∶S四边形MCDN 的值为(　 　 ) A. 1 2 B. 3 2 C. 3 3 D. 2 3 10. 如图,四边形 ABCD 内接于☉O,AB=CB,∠BAC= 30°,BD= 3 , 则 AD+CD 的值为(　 　 ) A. 3 B. 2 3 C. 3 +1 D. 不确定 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 如图,四边形 ABCD 内接于☉O,且四边形 OABC 是平行四边 形,则∠D= 　 　 　 　 . 第 11 题图 　 　 　 　 第 12 题图 　 　 　 　 第 13 题图 12. 小明家有一个如图所示的闹钟,他观察发现圆心角∠AOB = 90°,测得 ACB ( 的长为 36 cm,则 ADB ( 的长为　 　 　 　 cm. 13. 如图,若正六边形 ABCDEF 边长为 1,连结对角线 AC,AD. 则 △ACD 的周长为　 　 　 　 . 14. 如图,在△ABC 中,∠ABC = 90°,AB =BC = 2,以点 C 为圆心,线 段 CA 的长为半径作 AD ( ,交 CB 的延长线于点 D,则阴影部分 的面积为　 　 　 　 (结果保留 π) . 第 14 题图 　 　 第 15 题图 15. 如图,点 P 为☉O 外一点,过点 P 作☉O 的切线 PA、PB,点 A、B 为切点,连结 AO 并延长交 PB 的延长线于点 C,过点 C 作 CD ⊥PO,交 PO 的延长线于点 D. 已知 PA = 6,AC = 8,则 CD 的长 为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (7 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,∠ACB = 45°,AD⊥BC,☉O 经过 A,C,D 三点,求证:AB 是☉O 的切线. 17. (8 分)如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 2,以点 C 为圆心,CD 长为半径画弧,求弧 BD 的长以及扇形 BCD 的面积. ·73· 18. (8 分)如图,点 A,B,C 在直径为 2 的☉O 上,∠BAC = 45°,求 图中阴影部分的面积. (结果中保留 π) 19. (8 分)如图,在△ABC 中,AB = 5,AC = 3,BC = 4,将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 30°后得到△ADE,点 B 经过的路线为弧 BD,求 图中阴影部分的面积. 20. (10 分)如图,点 C 在以 AB 为直径的半圆☉O 上,AC = BC. 以 点 B 为圆心,BC 的长为半径画圆弧交 AB 于点 D. (1)求∠ABC 的度数; (2)若 AB= 4,求阴影部分的面积. 21. (10 分)如图,在△ABC 中,AC =BC,D 是 AB 上一点,☉O 经过 点 A、C、D,交 BC 于点 E,过点 D 作 DF∥BC,交☉O 于点 F. 求证:(1)四边形 DBCF 是平行四边形; (2)AF=EF. 22. (12 分)如图,已知△ABD 的外接圆为☉O,AD 是☉O 的直径, 过点 B 作☉O 的切线交 DA 的延长线于点 E,点 C 为 BD ( 上一 点,连结 BC、CD,且∠E= ∠DBC. (1)求证:∠ADB= ∠CDB; (2)若 EB= 8,CD= 3,tan∠ABE= 2 3 ,求☉O 的半径. 23. (12 分)如图,已知 AB 是☉O 的直径,直线 BC 与☉O 相切于点 B,过点 A 作 AD∥OC 交☉O 于点 D,连结 CD. (1)求证:CD 是☉O 的切线; (2)若 AD= 4,直径 AB= 12,求线段 BC 的长. ·83· ∵ AC∥BD,∴ ∠ACB= ∠EBD. (2 分) ∵ BC=BD,∴ △ABC≌△EDB. (4 分) (2)解:∵ CD=BD=BC,∴ △BCD 为等边三角形, ∴ ∠CBD= 60°,∠ABC= 90°-∠CBD= 30°. (5 分) ∵ AC= 3,∴ BC= 2AC= 6, (7 分) ∴ 线段 BC 扫过的面积= 60·π ×62 360 = 6π. (9 分) 20. (1) 证明:连结 OD. ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ADB = 90°. (2 分) ∵ OC∥BD,∴ ∠AEO= ∠ADB= 90°, (3 分) 即 OC⊥AD. ∵ OA=OD,∴ AE=ED. (5 分) (2)∵ OC∥BD,∴ ∠OCB = ∠CBD = 30°. ∵ OC = OB,∴ ∠OCB= ∠OBC= 30°,∴ ∠AOC= ∠OCB+∠OBC= 60°. (7 分) ∵ ∠COD= 2∠CBD= 60°,∴ ∠AOD = 120°. ∵ AB = 6,∴ BD= 3,AD= 3 3 , (8 分) ∵ OA=OB,AE=ED,∴ OE= 1 2 BD = 3 2 ,∴ S阴影 = S扇形AOD - S△AOD = 120·π×32 360 - 1 2 ×3 3 × 3 2 = 3π-9 3 4 . (10 分) 21. 解:(1)30 (2 分) (2)作 CQ⊥AB 于点 Q,在 Rt△AQC 中,sin∠QAC =QC AC , ∴ QC=AC·sin∠QAC≈10×0. 98 = 9. 8, (6 分) 在 Rt△BQC 中,∠ABC = 30°,∴ BC = 2QC = 19. 6,∴ GC =BC-BG= 9. 6. (10 分) 22. (1)证明:∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形,∴ AB = BC = CD=DE = EF = FA,∠A = ∠ABC = ∠C = ∠D = ∠DEF = ∠F. 由题意得 AP=DQ,PF=QC, (2 分) 在△ABP 和△DEQ 中, AB=DE ∠A= ∠D AP=DQ { ,∴ △ABP≌△DEQ, ∴ BP=EQ,同理可证 PE=QB, (4 分) ∴ 四边形 PEQB 为平行四边形. (5 分) (2) 解:连结 BE、OA、BD、AE,则∠AOB = 360° 6 = 60°. ∵ OA=OB,∴ △AOB 是等边三角形. ∴ AB=OA= 6,BE= 2OB= 12, (6 分) 当 t= 0 时,点 P 与 A 重合,Q 与 D 重合,四边形 PBQE 即为四边形 ABDE,如图 1 所示,则∠EAF = ∠AEF = 30°,∴ ∠BAE= 120°-30° = 90°,∴ 此时四边形 ABDE 是 矩形,即四边形 PBQE 是矩形. (7 分) 当 t= 6 时,点 P 与 F 重合,Q 与 C 重合,四边形 PBQE 即为四边形 FBCE,如图 2 所示. 同理可知 ∠BPE= 90°,此时四边形 PBQE 是矩形. (8 分) 综上所述,t= 0s 或 6s 时,四边形 PBQE 是 矩形, ∴ AE = 122 -62 = 6 3 , ∴ 矩形 PBQE 的面积 = 矩形 ABDE 的面积 = AB×AE = 6× 6 3 = 36 3 . ∵ 正六边形 ABCDEF 的面积 = 6×△AOB 的面积 = 6× 1 4 ×矩形 ABDE 的面积 = 6× 1 4 ×36 3 = 54 3 ,∴ 矩 形 PBQE 的面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比= 2 3 . (10 分) 23. (1)证明:连结 DE,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AC⊥ BD,OB=OD=OC,∴ EB =ED,∠ODC = ∠OCD = 45°,∴ ∠EBD= ∠EDB, (2 分) ∵ 点 P 是弧 AD 的中点,∴ ∠PBD = 1 2 ∠ABD = 1 2 × 1 2 ∠AOD= 22. 5°,∴ ∠EDC = ∠CDO+∠ODE = 45°+22. 5° = 67. 5°,∴ ∠CED = 180°-∠DCE-∠CDE = 180°- 45°- 67. 5° = 67. 5°,∴ ∠CED= ∠EDC,∴ CE=CD; (5 分) (2) 解:连结 DE,DP, ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠BAD= ∠EOD= 90°,OA=OD,∴ ∠P= ∠BAD= 90°. (6 分) ∵ PE=OE,DE=DE,∴ Rt△PDE≌Rt△ODE,∴ ∠PDE= ∠EDB, (7 分) 由(1)知∠PBD= ∠EDB,∴ ∠PBD= ∠EDB= ∠PDE, (8 分) ∵ ∠PBD+ ∠EDB+ ∠PDE = 90°,∴ ∠EDB = 30°,DE = 2OE,∴ OD= DE2 -OE2 = 3OE, (9 分) ∴ OD=OA=OC= 3OE,∴ AE=OA-OE= ( 3 -1)OE,EC =OE+OC= ( 3 +1)OE,∴ AE EC = 3 -1 3 +1 = 2- 3 . (11 分) 第 27 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A B D C D B C A A 1. B 2. A　 【解析】连结 AD,∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ADB = 90°,在 Rt△ABD 中,☉O 的半径为 1,BD = 3,∴ AB = 2, ∴ AD = AB2 -BD2 = 1. ∵ ∠B = ∠C,∴ sinC = sinB = AD AB = 1 2 . 故选 A. 3. B 4. D　 【解析】设圆锥的底面圆的半径为 r,根据题意可知: AD=AE= 4,∠DAE= 45°,∴ 2πr= 45 ×π×4 180 ,解得 r= 1 2 . 故 选 D. 5. C　 【解析】连结 BO 并延长交☉O 于 D,连结 CD,则 ∠BCD= 90°. ∵ BC= 3 3,BD= 6,sinD=BC BD = 3 2 ,∴ ∠D = 60°. 当点 A 在优弧 BC 上时,∠A = ∠D = 60°;当点 A 在 劣弧 BC 上时,∠A = 180°- 60° = 120°. 综上所述,∠A 的 度数为 60°或 120°. 故选 C. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】当点 A 在优弧 BC 上时,连接 BO 并延长交 ☉O 于 D,连接 CD,根据三角函数的定义和圆周角定理 即可得到∠A = ∠D = 60°,当点 A 在劣弧 BC 上时,求得 ∠A′= 180°-60° = 120°,于是得到结论. 6. D　 【解析】连结 OA. ∵ △PQR 是等边三角形,∴ PQ ( = PR ( ,∴ OP⊥QR. ∵ AD∥BC∥QR,∴ OP⊥AD,∴ AP ( = PD ( , ∴ ∠AOP= 45°. ∵ △PQR 是等边三角形,四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠POQ= 120°,∠AOB= 90°,∴ ∠AOQ= 120° -45° = 75°,∴ ∠BOQ = ∠AOB-∠AOQ = 90°- 75° = 15°. 故选 D. 7. B　 【解析】A. ∵ PA、PB 为圆 O 的切线,∴ PA = PB,∴ △BPA 是等腰三角形,故 A 选项不符合题意. B. 由圆的 对称性可知:PD 垂直平分 AB,但 AB 不一定平分 PD,故 B 选项符合题意. C. 连结 OB、OA,∵ PA、PB 为圆 O 的切 线,∴ ∠OBP= ∠OAP= 90°,∴ 点 A、B、P 在以 OP 为直径 的圆上,故 C 选项不符合题意. D. ∵ PA=PB,PD⊥AB,∴ PC 为△BPA 的边 AB 上的中线,故 D 选项不符合题意. 故选 B. 8. C　 【解析】延长 CO 交☉O 于点 E,连结 DE,过 O 作 OF ⊥DE 于点 F,OH⊥CD 于点 H,OG⊥AB 于点 G,线段 OG 的长是点 O 到弦 AB 的距离,∵ ∠COD 和∠DOE 互补, ∠COD 和∠AOB 互补,∴ ∠DOE= ∠AOB,∴ DE = AB,OF =OG,∵ OH⊥DC,CD = 6,OH 过点 O,∴ DH =HC = 1 2 DC = 3, ∠OHD = ∠OHC = 90°, 由 勾 股 定 理 得: OH = 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 21 页 OD2 -DH2 = 52 -32 = 4. ∵ OC =OE,DH = HC,OH = 4, ∴ DE= 2OH = 8. ∵ OF⊥DE,OF 过点 O,∴ DF = EF = 1 2 DE= 4. 在 Rt△DFO 中,由勾股定理得:OF = OD2 -DF2 = 52 -42 = 3,∴ OG=OF = 3,即 O 到 AB 的距离是 3. 故 选 C. 9. A　 【解析】设正六边形的边长为 a,则 S△PCD = 1 2 ×a× 3a = 3 2 a2,S四边形BCDE = 3 × 3 4 a2 = 3 3 4 a2,由题意知 MN 是 △PCD 的中位线,∴ S△PMN = 1 4 S△PCD = 3 8 a2,∴ S四边形MNDC = 3 2 a2 - 3 8 a2 = 3 3 8 a2, ∴ S△BMC = S△DNE = 1 2 (3 3 4 a2 -3 3 8 a2)= 3 3 16 a2 . ∵ PM = CM,∴ S△PBM = S△BMC = 3 3 16 a2,∴ S△PBM ∶S四边形MCDN = 3 3 16 a2 ∶ 3 3 8 a2 = 1 ∶ 2. 故选 A. 10. A　 【解析】过点 B 作 BE⊥AD 于点 E,BF⊥DC 交 DC 的延长线于点 F. ∵ AB = BC,∴ AB ( = BC ( ,∴ ∠BDE = ∠BDF. ∵ ∠DEB = ∠DFB = 90°,DB = DB,∴ △BDE≌ △BDF,∴ BE=BF,DE = DF. ∵ ∠AEB = ∠F = 90°,BA = BC,∴ Rt△BEA≌Rt△BFC,∴ AE =CF,∴ AD+DC =DE+ AE+DF-CF = 2DF. ∵ ∠BDF = ∠BAC = 30°,BD = 3,∴ DF=BD·cos30° = 3 2 ,∴ DA+DC= 2DF= 3. 故选 A. 11. 60°　 12. 12 13. 3+ 3 　 【解析】∵ 在正六边形 ABCDEF 中,AB =BC =CD = 1,∠B = ∠BCD = 120°,∴ ∠ACB = ∠BAC = 30°,∴ ∠ACD= 90°. ∵ ∠CDA= ∠EDA= 60°,∴ ∠CAD = 30°,∴ AD= 2CD= 2,AC= 3CD= 3,∴ △ACD 的周长=AD+AC +CD= 3+ 3 . 14. π - 2 　 【解析】 ∵ AB = CB = 2,∠ABC = 90°, ∴ AC = AB2 +BC2 = 22 +22 = 2 2,∠C = ∠BAC = 45°. ∴ S阴影 =S扇形CAD-S△ACB = 45·π·(2 2) 2 360 - 1 2 ×2×2 = π-2. 15. 2 5 　 【解析】连结 OB,∵ PA、PB 为☉O 的切线,∴ PB = PA= 6,OB⊥PC,OA⊥PA,∴ ∠CAP = ∠CBO = 90°,在 Rt △APC 中,PC= 62 +82 = 10,∴ BC =PC-PB = 4,设☉O 的半径为 r,则 OA=OB= r,OC= 8-r,在 Rt△BCO 中,42 + r2 =(8-r) 2,解得 r= 3,∴ OA= 3,OC= 5. 在 Rt△OPA 中, OP= 32 +62 = 3 5,∵ CD⊥PO,∴ ∠CDO = 90°. ∵ ∠COD= ∠POA,∠CDO= ∠PAO,∴ △COD∽△POA,∴ CD ∶PA=OC ∶OP,即 CD ∶6 = 5 ∶3 5,∴ CD= 2 5 . 16. 证明:∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠ACB = 45°,∴ ∠BAC = 90°, ∴ AC⊥BA. (2 分) ∵ AD⊥BC,∴ ∠ADC= 90°. (3 分) ∵ ☉O 经过 A,C,D 三点,∴ AC 为☉O 的直径. (5 分) ∵ 点 A 在☉O 上,∴ BA 经过半径 OA 外端上的点且垂 直于半径 OA,∴ AB 是☉O 的切线. (7 分) 17. 解:∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形,∴ ∠BCD= 120°, (2 分) ∴ 弧 BD 的长为120·π ×2 180 = 4π 3 , (5 分) 扇形 BCD 的面积为120·π ×22 360 = 4π 3 . (8 分) 18. 解:连结 OB、OC,∵ ∠BAC = 45°,∴ ∠BOC = 2∠BAC = 90°. (3 分) ∵ OB= OC = 1 2 × 2 = 1, ∴ 阴影部分的面积 = S扇形BOC - S△BOC = 90π×12 360 - 1 2 ×1×1 = 1 4 π- 1 2 . (8 分) 19. 解:根据旋转可知: ∠DAB = 30°, △AED≌ △ACB, ∴ S△AED =S△ACB, (3 分) ∴ 图中阴影部分的面积 = S扇形DAB +S△AED -S△ACB = S扇形DAB = 30π×5 2 360 = 25 12 π. (8 分) 20. 解:(1)∵ AB 为半圆☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°. (2 分) ∵ AC=BC,∴ ∠ABC= 45°. (4 分) (2)∵ ∠ACB= 90°,AB= 4,∴ AC=BC= 2 2 , (6 分) ∴ 阴影部分的面积 = S△ABC - S扇形BCD = 1 2 × 2 2 × 2 2 - 45·π·(2 2 ) 2 360 = 4-π. (10 分) 21. 证明:(1)∵ AC=BC,∴ ∠BAC= ∠B. (1 分) ∵ DF∥BC,∴ ∠ADF= ∠B. (2 分) ∵ ∠BAC= ∠CFD,∴ ∠ADF= ∠CFD,∴ BD∥CF. (4 分) ∵ DF∥BC,∴ 四边形 DBCF 是平行四边形; (5 分) (2)连结 AE,∵ ∠ADF = ∠B,∠ADF = ∠AEF,∴ ∠AEF = ∠B. (6 分) ∵ 四边形 AECF 是☉O 的内接四边形,∴ ∠ECF+∠EAF = 180°. (7 分) ∵ BD∥CF, ∴ ∠ECF + ∠B = 180°, ∴ ∠EAF = ∠B, ∴ ∠AEF= ∠EAF,∴ AF=EF. (10 分) 22. (1)证明:∵ BE 为☉O 的切线,∴ OB⊥BE,∴ ∠OBE = 90°,即∠ABE+∠OBA= 90°. (1 分) ∵ OA=OB,∴ ∠OBA= ∠OAB,∴ ∠ABE+∠OAB= 90°. (2 分) ∵ AD 是☉O 的直径,∴ ∠OAB+∠ADB= 90°,∴ ∠ABE= ∠ADB. (3 分) ∵ 四边形 ABCD 的外接圆为☉O,∴ ∠EAB= ∠C, (4 分) ∴ ∠ABE + ∠E = ∠DBC + ∠BDC. ∵ ∠E = ∠DBC, ∴ ∠ABE= ∠BDC,∴ ∠ADB= ∠BDC; (6 分) (2)解:∵ ∠ABE = ∠BDC = ∠ADB,∴ tan∠ABE = 2 3 = tan∠ADB= AB DB ,∴ 设 AB= 2x,DB= 3x. (8 分) ∵ ∠ABE= ∠BDC,∠EAB = ∠DCB,∴ △AEB∽△CBD, ∴ AB CD =BE BD ,∴ 2x 3 = 8 3x ,∴ x = 2,x = -2(舍去) . ∴ AB = 4, DB= 6, (10 分) ∴ AD = AB2 +DB2 = 16+36 = 2 13 ,∴ ☉O 的半径 为 13 . (12 分) 23. (1)证明:连结 OD,∵ OA=OD,∴ ∠ODA= ∠OAD. (1 分) ∵ AD∥CO, ∴ ∠COD = ∠ODA, ∠COB = ∠OAD. ∴ ∠COD= ∠COB. (2 分) ∵ OD = OB,OC = OC, ∴ △ODC≌ △OBC. ∴ ∠ODC = ∠OBC. (3 分) ∵ BC 是☉O 的切线且 OB 为半径,∴ ∠CBO = 90°. ∴ ∠CDO= 90°. ∴ OD⊥CD. (5 分) 又∵ CD 经过半径 OD 的外端点 D,∴ CD 为☉O 的切 线; (6 分) (2)解:连结 BD,∵ AB 是直径,∴ ∠ADB= 90°. (7 分) 在 Rt△ADB 中,BD= AB2 -AD2 = 122 -42 = 8 2 , (8 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 22 页 ∵ ∠ADB= ∠OBC = 90°,且∠COB = ∠BAD,∴ △ADB∽ △OBC. (10 分) ∴ AD OB =DB BC ,即 4 6 = 8 2 BC . ∴ BC= 12 2 . (12 分) 追梦期中达标测试卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B B C A D D C A C 1. D　 2. B　 3. B　 4. C 5. A　 【解析】∵ 函数 y=x2 是以 y 轴为对称轴,开口向上的 抛物线,∴ 横坐标离 y 轴越远,函数值越大. ∵ |1 | < | - 2 | < | -2 | ,∴ y1 <y3 <y2 . 故选 A. 6. D　 7. D　 8. C 9. A　 【解析】∵ 一次函数 y= -x+b 的图象经过第一、二、四 象限,且与 y 轴交于正半轴,则 b>0,反比例函数 y= k x 的 图象经过第一、三象限,则 k>0,∴ 函数 y = x2 -bx+k-1 的 图象开口向上,对称轴为直线 x = b 2 > 0,由图象可知,反 比例函数 y= k x 与一次函数 y = -x+b 的图象有两个交点 (1,k)和(k,1),∴ -1+b= k,∴ b= k+1,∴ 对于函数 y= x2 - bx+k-1,当 x= 1 时,y= 1-b+k-1 = -1,∴ 函数 y = x2 -bx+k -1 的图象过点(1,-1),∵ 反比例函数 y= k x 与一次函数 y= -x+b 的图象有两个交点,∴ 方程 k x = -x+b 有两个不 相等的实数根,∴ Δ= b2 -4k= (k+1) 2 -4k = (k-1) 2 >0,∴ k-1≠0,∴ 当 x= 0 时,y = k-1≠0,∴ 函数 y = x2 -bx+k-1 的图象不过原点,∴ 符合以上条件的只有 A 选项. 故选 A. 10. C　 【解析】∵ 在△ABC 中,∠C = 90°,∠ABC = 30°,AC = 6,∴ AB = 2AC = 12,∠CAB = 60°,∴ S阴影 = 60·π×AB2 360 - 60·π×AC2 360 = 60·π×12 2 360 -60·π×6 2 360 = 18π. 故选 C. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法指导】本题考查了扇形的面积的计算,解决此题的 关键是根据题目中旋转的角度判断阴影部分的组成,可 知该阴影部分的面积为两个扇形面积的差,分别计算出 两个扇形的面积,相减即可得到阴影部分的面积. 11. m≤1　 12. 50π 13. 2 3 　 【解析】连结 AC,∵ PA,PB 是切线,∴ PA =PB. 又 ∵ ∠P= 60°,∴ △ABP 是等边三角形,∴ AB =PB,∠ABP = 60°. 又∵ CB⊥PB,∴ ∠ABC= 30°. ∵ BC 是直径,∴ BC = 4,∠BAC= 90°. ∴ AB = BC·cos30° = 4× 3 2 = 2 3 . ∴ PB= 2 3 . 14. 2　 【解析】连结 AO. 设 BC=a,CD= b,∵ BD 是☉O 的直 径,∴ ∠BAD= ∠BCD= 90°,∴ BD = a2 +b2 . ∵ CA 平分 ∠BCD,∴ AB ( = AD ( ,∠ACB = ∠ACD = 45°,∴ AB = AD,∴ △ABD 是等腰直角三角形,∴ AO⊥BD,∴ 四边形 ABCD 的面积 = S△ABD +S△BCD = 1 2 a2 +b2 × 1 2 a2 +b2 + 1 2 ab = 1 4 (a2 +b2)+ 1 2 ab = 1 4 (a+b) 2 = 2,∴ a+b = 2 2 (负值舍 去) . 过点 B 作 BE⊥AC 于点 E,过点 D 作 DF⊥AC 于点 F,则△CBE 和△CDF 是等腰直角三角形,∴ BE = 2 2 BC = 2 2 a,DF= 2 2 CD= 2 2 b,∴ 四边形 ABCD 的面积=S△ABC +S△ACD = 1 2 AC·BE+ 1 2 AC·DF = 1 2 (BE+DF)·AC = 1 2 × 2 2 (a+b)·AC= 2 4 ×2 2·AC= 2,∴ AC= 2. 15. 45° 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法指导】连接 AD,作 DM⊥AB 于 M,根据抛物线的解 析式求得与坐标轴的交点坐标,进而求得 D 的坐标,即 可得到 AM =DM = 2,从而求得∠BAD = 45°,根据圆周角 定理即可求得∠BED 的度数. 16. 解:(1)如图所示. (3 分) (2)①抛物线与 x 轴交于( -1,0)和(3,0),与 y 轴交于 点(0,3),②当 y>0 时,-1<x<3,③当 x>1 时,y 随 x 的 增大而减小. (答案不唯一) (6 分) 17. 解:连结 OB. ∵ PB 是☉O 切线, ∴ PB⊥OB,∴ ∠PBO= 90°, (4 分) 在 Rt△POB 中,OB= 1,OP= 2, ∴ PB= OP2 -OB2 = 22 -12 = 3 . (8 分) 18. (1)证明:连结 OA,∵ AB = AC,∠BAC = 120°,∴ ∠B = ∠C= 30°. (2 分) ∵ OA=OC,∴ ∠OAC= ∠C= 30°,∴ ∠OAB = 120°-30° = 90°,∴ AB⊥OA,∴ AB 是☉O 的切线. (5 分) (2)解:∵ 直径 EF⊥AC,∴ AG=CG= 1 2 AC= 4. (6 分) ∵ ∠OAC= 30°,∴ OG= 3 3 AG= 4 3 3 , ∴ OA= 2OG= 8 3 3 . (8 分) ∵ ∠OAB= 90°,∠B= 30°,∴ BO = 2OA= 2OD,∴ BD =OA = 8 3 3 . (10 分) 19. (1)证明:∵ AB⊥CD,AB 过点 O,∴ BC ( =BD ( , ∴ ∠BCD= ∠CAB. (3 分) ∵ OA=OC,∴ ∠CAB= ∠ACO,∴ ∠ACO= ∠BCD. (5 分) (2) 解:∵ AB⊥CD,AB 过点 O,CD = 8m,∴ CE = DE = 4m. (6 分) 在 Rt △CEB 中, 由勾股定理, 得 BC = CE2 +BE2 = 42 +22 = 2 5 (m), (7 分) ∵ AB 为直径,AB⊥CD,∴ ∠BCA= ∠CEB= 90°. (8 分) ∵ ∠B= ∠B,∴ △BEC∽△BCA,∴ BC BE =BA BC , ∴ BA=BC 2 BE = (2 5 ) 2 2 = 10(m),即☉O 的直径是 10m. (10 分) 20. 解:(1)根据题意得,y= - 1 2 x+50(0<x≤20) . (2 分) (2)根据题意得,(40+x)(- 1 2 x+50)= 2 250, (4 分) 解得 x1 = 50,x2 = 10,∵ 每件利润不能超过 60 元,∴ x = 10. (6 分) (3)根据题意得,w = (40+x) ( - 1 2 x+50)= - 1 2 x2 +30x+ 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 23 页