下册第27章 圆 追梦阶段测试卷(二)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（华东师大版）

第 27 章追梦阶段测试卷(二) 圆中的计算问题及正多边形和圆 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3 ,BC = 2,以点 A 为圆心,AD 长为 半径画弧交边 BC 于点 E,连结 AE,则 DE ( 的长为(　 　 ) A. 4π 3 B. π C. 2π 3 D. π 3 第 1 题图 　 　 第 3 题图 　 　 第 4 题图 2. 如果圆锥的母线长为 5cm,底面半径为 4cm,那么这个圆锥的侧 面积为(　 　 ) A. 10cm2 B. 10πcm2 C. 20cm2 D. 20πcm2 3. 传统文化情境·割圆术 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”, 利用圆的内接正多边形来确定圆周率,开创了中国数学发展史 上圆周率研究的新纪元. 某同学在学习“割圆术”的过程中,作 了一个如图所示的圆内接正十二边形. 若☉O 的半径为 1,则这 个圆内接正十二边形的面积为(　 　 ) A. 1 B. 3 C. π D. 2π 4. 如图,已知点 C,D 是以 AB 为直径的半圆的三等分点,弧 CD 的 长为 1 3 π,则图中阴影部分的面积为(　 　 ) A. 1 6 π B. 3 16 π C. 1 24 π D. 1 12 π+ 3 4 5. 若正多边形的中心角为 72°,则该正多边形的边数为(　 　 ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 6. 如图,AB 是☉O 的直径,CD 是弦,点 C,D 在直径 AB 的两侧. 若 ∠AOC ∶∠AOD ∶∠DOB= 2 ∶7 ∶11,CD= 4,则 CD ( 的长为(　 　 ) A. 2π B. 4π C. 2 π 2 D. 2 π 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 7. 在学习了圆后,数学兴趣小组的同学开始了对 正五边形拼接的图案设计,小明将有公共顶点 O 的两个边长为 4 的正五边形(不重叠),以点 O 为圆心,4 为半径作弧,构成一个“盛装芭蕾”形图案(阴影部 分),则这个“盛装芭蕾”形图案的面积为(　 　 ) A. 24 5 π B. 28 5 π C. 32 5 π D. 36 5 π 8. 如图,圆内接正六边形的边长为 4,以其各边为直径作半圆,则 图中阴影部分的面积为(　 　 ) A. 24 3 -4π B. 12 3 +4π C. 24 3 +8π D. 24 3 +4π 9. 如图,等边三角形 ABC 和正方形 ADEF 都内接于☉O,则 AD ∶ AB= (　 　 ) A. 2 2 ∶ 3 B. 2 ∶ 3 C. 3 ∶ 2 D. 3 ∶2 2 10. 以半径为 4 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距 为三边作三角形,则该三角形的面积是(　 　 ) A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 2 2 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 将面积为 3πcm2 的扇形围成一个圆锥的侧面,若扇形的圆心 角是 120°,则该圆锥底面圆的半径为　 　 　 　 cm. 12. 如图,正六边形螺帽的边长是 2 cm,这个扳手的开口 a(单位为 cm)的值为　 　 　 　 . 第 12 题图 　 　 　 第 13 题图 　 　 　 第 15 题图 13. 如图,AB 是☉O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 E,∠BCD = 30°, CD= 2 3 ,则阴影部分面积 S阴影 = 　 　 　 　 . 14. 已知圆锥的底面周长是π 2 分米,母线长为 1 分米,则圆锥的侧 面积是　 　 　 　 平方分米. 15. 如图,扇形 AOB 中 OB= 4,∠AOB= 90°,点 E 为 AB 的 中点,过点 E 作 AO 的平行线 DF,则阴影部分的面 积为 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)如图,AB ( 的半径 OA= 2,OC⊥AB 于点 C,∠AOC= 60°. (1)求弦 AB 的长;　 (2)求 AB ( 的长. 17. (8 分)如图,从一块直径为 2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角 为 90°的扇形,求此扇形的面积. ·53· 18. (9 分) 如图,A,P,B,C 是☉O 上的四个点, ∠APC = ∠CPB = 60°. (1)求证:△ABC 是等边三角形; (2)若☉O 的半径为 2,求等边△ABC 的边心距. 19. (9 分)如图,已知在 Rt△ABC 中,∠A = 90°,将斜边 BC 绕点 B 顺时针方向旋转至 BD,使 BD∥AC,过点 D 作 DE⊥BC 于点 E. (1)求证:△ABC≌△EDB; (2)若 CD=BD,AC= 3,求在上述旋转过程中,线段 BC 扫过的 面积. 20. (10 分)如图,已知 AB 是☉O 的直径,C,D 是☉O 上的点,OC∥ BD,交 AD 于点 E,连结 BC. (1)求证:AE=ED; (2)若 AB= 6,∠CBD= 30°,求图中阴影部分的面积. 21. (10 分)如图 1 所示,在三角形纸片 ABC 中,∠BAC = 78°,AC = 10. 数学实践课上,小敏用 5 张这样的三角形纸片拼成了一个 内外都是正五边形的图形(如图 2 所示),并通过上网查到以 下几个数据:sin78°≈0. 98,cos78°≈0. 21,tan78°≈4. 7. 请你帮 助她解决下列问题: (1)∠ABC= 　 　 　 　 °; (2)求正五边形 GHMNC 的边 GC 的长. 22. (10 分)中心为 O 的正六边形 ABCDEF 的边长为 6cm,点 P,Q 同时分别从 A,D 两点出发,以 1cm / s 的速度沿 AF,DC 向终点 F,C 运动,连结 PB,PE,QB,QE,设运动时间为 t(s) . (1)求证:四边形 PBQE 为平行四边形; (2)求矩形 PBQE 的面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比. 23. (11 分)已知,正方形 ABCD 内接于☉O,点 P 是弧 AD 上一点, 连结 BP 与 AC 交于点 E. (1)如图 1,若点 P 是弧 AD 的中点,求证:CE=CD; (2)如图 2,若 PE=OE,求AE EC 的值. 图 1 　 　 图 2 ·63· ∵ BE∥CD,∴ ∠E+ ∠ADC = 180°. ∵ ∠ADC = 120°,∴ ∠E= 60°,∴ ∠E = ∠BDC,∵ 四边形 ABCD 内接于圆, ∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°. ∵ ∠BAD + ∠EAB = 180°, ∴ ∠EAB = ∠BCD, 在 △EAB 和 △DCB 中 ∠E= ∠BDC ∠EAB= ∠DCB AB=BC{ ,∴ △EAB≌△DCB,∴ △BDE 的面积 =四边形 ABCD 的面积= 25 3 4 . (10 分) 第 27 章追梦阶段测试卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D B A D D C A B D 1. C　 2. D　 3. B　 【解析】如图,过 A 作 AC⊥OB 于点 C,∵ 圆的内接正十二边形的圆心角为 360° 12 = 30°,OA= 1,∴ AC= 1 2 OA= 1 2 ,∴ S△OAB = 1 2 × 1× 1 2 = 1 4 ,∴ 这个圆内接正十二边形的面积为 12× 1 4 = 3. 故选 B. 4. A　 【解析】连结 CD、OC、OD. ∵ C,D 是以 AB 为直径的 半圆的三等分点,∴ ∠AOC = ∠COD = ∠DOB = 60°,AC = CD,∵ 弧 CD 的长为 1 3 π,∴ 60π·r 180 = 1 3 π,解得 r = 1. 又 ∵ OC= OD,∴ △COD 是等边三角形. ∴ ∠CDO = ∠DOB = 60°, ∴ CD∥AB, ∴ S△ACD = S△OCD, ∴ S阴影 = S扇形OCD = 60π×12 360 = π 6 . 故选 A. 5. D 6. D　 【解析】∵ ∠AOC ∶ ∠AOD ∶ ∠DOB = 2 ∶7 ∶11,∠AOD+ ∠DOB = 180°,∴ ∠AOD = 7 7+11 × 180° = 70°,∠DOB = 110°,∠COA = 20°,∴ ∠COD = ∠COA+ ∠AOD = 90°. ∵ OD=OC,CD= 4,∴ 2OD2 = 42,∴ OD = 2 2,∴ CD ( 的长是 90π×2 2 180 = 2 π. 故选 D. 7. C 8. A　 【解析】S阴 = 6×[4× 3 2 ×4× 1 2 +( 4 2 ) 2 π× 1 2 - 1 6 π×42] = 24 3 -4π. 故选 A. 9. B　 【解析】连结 OA、OB、OD,过 O 作 OH⊥AB 于点 H,则 AH=BH= 1 2 AB,∵ 等边三角形 ABC 和正方形 ADEF 都内 接于☉O,∴ ∠AOB= 120°,∠AOD= 90°. ∵ OA=OD =OB, ∴ ∠AOH= ∠BOH = 1 2 × 120° = 60°,∴ AD = 2 OA,AH = OA·sin60° = 3 2 OA,∴ AB = 2AH = 3 OA,∴ AD AB = 2OA 3OA = 2 3 . 故选 B. 10. D　 【解析】如图 1,△ABC 为☉O 的内接正三角形,作 OM⊥BC 于点 M,连结 OB. ∵ ∠OBC = 1 2 ∠ABC = 30°, ∴ OM= 1 2 OB= 2;如图 2,四边形 ABCD 为☉O 的内接正 方形, 作 ON ⊥ DC 于 点 N, 连 结 OD. ∵ ∠ODC = 1 2 ∠ADC= 45°,∴ ON = DN = 2 2 OD = 2 2;如图 3,六边 形 ABCDEF 为☉O 的内接正六边形,作 OH⊥DE 于点 H,连结 OE,∵ ∠OED = 1 2 ∠FED = 60°,∴ EH = 1 2 OE = 2,OH= 3EH= 2 3,∴ 半径为 4 的圆的内接正三角形、 正方形、正六边形的边心距分别为 2,2 2,2 3,∵ 22 + (2 2 ) 2 = (2 3 ) 2,∴ 以三条边心距为边所作的三角形 为直角三角形,∴ 该三角形的面积 = 1 2 ×2×2 2 = 2 2 . 故选 D. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 11. 1　 12. 2 3 13. 2π 3 　 【解析】连结 OC. ∵ AB⊥CD,CD= 2 3,∴ BC ( =BD ( , CE=DE= 3,∴ ∠COB = ∠BOD. ∵ ∠BOD = 2∠BCD = 60°,∴ ∠COB = 60°. ∵ OC = OB = OD,∴ △OBC,△OBD 都是等边三角形,∴ OC=BC =BD =OD,∴ 四边形 OCBD 是菱形,∴ OC∥BD,∴ S△BDC = S△BOD,∴ S阴影 = S扇形OBD,∵ OD= ED sin60° = 2,∴ S阴影 = 60·π×22 360 = 2π 3 . 14. π 4 15. 8π 3 -2 3 - 2　 【解析】连结 OF、BF,∵ 点 E 为 AB 的中 点,AO∥DF,∴ BD OD =BE AE = 1,即 D 为 OB 的中点,∴ DF 为 线段 OB 的垂直平分线,∴ OF = BF. 又∵ OF = OB,∴ △BOF 为等边三角形,∴ ∠BOF = 60°. ∵ OA = OB,∴ ∠ABO= 45°,∴ △BDE 为等腰直角三角形. ∵ S扇形BOF = 60π×42 360 = 8π 3 ,S△BDE = BD·DE 2 = 1 2 × 2 × 2 = 2, S△DOF = OD·DF 2 = 1 2 × 2 × 2 3 = 2 3,∴ S阴影 = S扇形BOF - S△DOF - S△BDE = 8π 3 -2 3 -2. 16. 解:(1) ∵ AB ( 的半径 OA = 2,OC⊥AB 于点 C,∠AOC = 60°,∴ AC=OA·sin60° = 2× 3 2 = 3 , (2 分) ∴ AB= 2AC= 2 3 . (4 分) (2)∵ OC⊥AB,∠AOC= 60°,∴ ∠AOB= 120°. (6 分) ∵ OA= 2,∴ AB ( 的长是:120π ×2 180 = 4π 3 . (8 分) 17. 解:连结 AC,∵ AB=CB,∠ABC= 90°, ∴ AC 是☉O 的直径,即 AC= 2, (2 分) ∴ AB=BC= 2 , (4 分) ∴ 扇形的面积为:90π ×( 2 ) 2 360 = π 2 . (8 分) 18. (1)证明:在☉O 中,∠BAC= ∠CPB,∠ABC= ∠APC. (2 分) 又∵ ∠APC= ∠CPB= 60°,∴ ∠ABC= ∠BAC= 60°, (4 分) ∴ △ABC 为等边三角形. (5 分) (2)解:过 O 作 OD⊥BC 于点 D,连结 OB, 则∠OBD= 30°,∠ODB= 90°, (7 分) ∵ OB= 2,∴ OD= 1,∴ 等边△ABC 的边心距为 1. (9 分) 19. (1)证明:∵ DE⊥BC,∴ ∠DEB= 90°,∴ ∠A= ∠DEB. (1 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 20 页 ∵ AC∥BD,∴ ∠ACB= ∠EBD. (2 分) ∵ BC=BD,∴ △ABC≌△EDB. (4 分) (2)解:∵ CD=BD=BC,∴ △BCD 为等边三角形, ∴ ∠CBD= 60°,∠ABC= 90°-∠CBD= 30°. (5 分) ∵ AC= 3,∴ BC= 2AC= 6, (7 分) ∴ 线段 BC 扫过的面积= 60·π ×62 360 = 6π. (9 分) 20. (1) 证明:连结 OD. ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ADB = 90°. (2 分) ∵ OC∥BD,∴ ∠AEO= ∠ADB= 90°, (3 分) 即 OC⊥AD. ∵ OA=OD,∴ AE=ED. (5 分) (2)∵ OC∥BD,∴ ∠OCB = ∠CBD = 30°. ∵ OC = OB,∴ ∠OCB= ∠OBC= 30°,∴ ∠AOC= ∠OCB+∠OBC= 60°. (7 分) ∵ ∠COD= 2∠CBD= 60°,∴ ∠AOD = 120°. ∵ AB = 6,∴ BD= 3,AD= 3 3 , (8 分) ∵ OA=OB,AE=ED,∴ OE= 1 2 BD = 3 2 ,∴ S阴影 = S扇形AOD - S△AOD = 120·π×32 360 - 1 2 ×3 3 × 3 2 = 3π-9 3 4 . (10 分) 21. 解:(1)30 (2 分) (2)作 CQ⊥AB 于点 Q,在 Rt△AQC 中,sin∠QAC =QC AC , ∴ QC=AC·sin∠QAC≈10×0. 98 = 9. 8, (6 分) 在 Rt△BQC 中,∠ABC = 30°,∴ BC = 2QC = 19. 6,∴ GC =BC-BG= 9. 6. (10 分) 22. (1)证明:∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形,∴ AB = BC = CD=DE = EF = FA,∠A = ∠ABC = ∠C = ∠D = ∠DEF = ∠F. 由题意得 AP=DQ,PF=QC, (2 分) 在△ABP 和△DEQ 中, AB=DE ∠A= ∠D AP=DQ { ,∴ △ABP≌△DEQ, ∴ BP=EQ,同理可证 PE=QB, (4 分) ∴ 四边形 PEQB 为平行四边形. (5 分) (2) 解:连结 BE、OA、BD、AE,则∠AOB = 360° 6 = 60°. ∵ OA=OB,∴ △AOB 是等边三角形. ∴ AB=OA= 6,BE= 2OB= 12, (6 分) 当 t= 0 时,点 P 与 A 重合,Q 与 D 重合,四边形 PBQE 即为四边形 ABDE,如图 1 所示,则∠EAF = ∠AEF = 30°,∴ ∠BAE= 120°-30° = 90°,∴ 此时四边形 ABDE 是 矩形,即四边形 PBQE 是矩形. (7 分) 当 t= 6 时,点 P 与 F 重合,Q 与 C 重合,四边形 PBQE 即为四边形 FBCE,如图 2 所示. 同理可知 ∠BPE= 90°,此时四边形 PBQE 是矩形. (8 分) 综上所述,t= 0s 或 6s 时,四边形 PBQE 是 矩形, ∴ AE = 122 -62 = 6 3 , ∴ 矩形 PBQE 的面积 = 矩形 ABDE 的面积 = AB×AE = 6× 6 3 = 36 3 . ∵ 正六边形 ABCDEF 的面积 = 6×△AOB 的面积 = 6× 1 4 ×矩形 ABDE 的面积 = 6× 1 4 ×36 3 = 54 3 ,∴ 矩 形 PBQE 的面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比= 2 3 . (10 分) 23. (1)证明:连结 DE,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AC⊥ BD,OB=OD=OC,∴ EB =ED,∠ODC = ∠OCD = 45°,∴ ∠EBD= ∠EDB, (2 分) ∵ 点 P 是弧 AD 的中点,∴ ∠PBD = 1 2 ∠ABD = 1 2 × 1 2 ∠AOD= 22. 5°,∴ ∠EDC = ∠CDO+∠ODE = 45°+22. 5° = 67. 5°,∴ ∠CED = 180°-∠DCE-∠CDE = 180°- 45°- 67. 5° = 67. 5°,∴ ∠CED= ∠EDC,∴ CE=CD; (5 分) (2) 解:连结 DE,DP, ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠BAD= ∠EOD= 90°,OA=OD,∴ ∠P= ∠BAD= 90°. (6 分) ∵ PE=OE,DE=DE,∴ Rt△PDE≌Rt△ODE,∴ ∠PDE= ∠EDB, (7 分) 由(1)知∠PBD= ∠EDB,∴ ∠PBD= ∠EDB= ∠PDE, (8 分) ∵ ∠PBD+ ∠EDB+ ∠PDE = 90°,∴ ∠EDB = 30°,DE = 2OE,∴ OD= DE2 -OE2 = 3OE, (9 分) ∴ OD=OA=OC= 3OE,∴ AE=OA-OE= ( 3 -1)OE,EC =OE+OC= ( 3 +1)OE,∴ AE EC = 3 -1 3 +1 = 2- 3 . (11 分) 第 27 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A B D C D B C A A 1. B 2. A　 【解析】连结 AD,∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ADB = 90°,在 Rt△ABD 中,☉O 的半径为 1,BD = 3,∴ AB = 2, ∴ AD = AB2 -BD2 = 1. ∵ ∠B = ∠C,∴ sinC = sinB = AD AB = 1 2 . 故选 A. 3. B 4. D　 【解析】设圆锥的底面圆的半径为 r,根据题意可知: AD=AE= 4,∠DAE= 45°,∴ 2πr= 45 ×π×4 180 ,解得 r= 1 2 . 故 选 D. 5. C　 【解析】连结 BO 并延长交☉O 于 D,连结 CD,则 ∠BCD= 90°. ∵ BC= 3 3,BD= 6,sinD=BC BD = 3 2 ,∴ ∠D = 60°. 当点 A 在优弧 BC 上时,∠A = ∠D = 60°;当点 A 在 劣弧 BC 上时,∠A = 180°- 60° = 120°. 综上所述,∠A 的 度数为 60°或 120°. 故选 C. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】当点 A 在优弧 BC 上时,连接 BO 并延长交 ☉O 于 D,连接 CD,根据三角函数的定义和圆周角定理 即可得到∠A = ∠D = 60°,当点 A 在劣弧 BC 上时,求得 ∠A′= 180°-60° = 120°,于是得到结论. 6. D　 【解析】连结 OA. ∵ △PQR 是等边三角形,∴ PQ ( = PR ( ,∴ OP⊥QR. ∵ AD∥BC∥QR,∴ OP⊥AD,∴ AP ( = PD ( , ∴ ∠AOP= 45°. ∵ △PQR 是等边三角形,四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠POQ= 120°,∠AOB= 90°,∴ ∠AOQ= 120° -45° = 75°,∴ ∠BOQ = ∠AOB-∠AOQ = 90°- 75° = 15°. 故选 D. 7. B　 【解析】A. ∵ PA、PB 为圆 O 的切线,∴ PA = PB,∴ △BPA 是等腰三角形,故 A 选项不符合题意. B. 由圆的 对称性可知:PD 垂直平分 AB,但 AB 不一定平分 PD,故 B 选项符合题意. C. 连结 OB、OA,∵ PA、PB 为圆 O 的切 线,∴ ∠OBP= ∠OAP= 90°,∴ 点 A、B、P 在以 OP 为直径 的圆上,故 C 选项不符合题意. D. ∵ PA=PB,PD⊥AB,∴ PC 为△BPA 的边 AB 上的中线,故 D 选项不符合题意. 故选 B. 8. C　 【解析】延长 CO 交☉O 于点 E,连结 DE,过 O 作 OF ⊥DE 于点 F,OH⊥CD 于点 H,OG⊥AB 于点 G,线段 OG 的长是点 O 到弦 AB 的距离,∵ ∠COD 和∠DOE 互补, ∠COD 和∠AOB 互补,∴ ∠DOE= ∠AOB,∴ DE = AB,OF =OG,∵ OH⊥DC,CD = 6,OH 过点 O,∴ DH =HC = 1 2 DC = 3, ∠OHD = ∠OHC = 90°, 由 勾 股 定 理 得: OH = 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 21 页