下册第27章 圆 追梦阶段测试卷(一)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（华东师大版）

第 27 章追梦阶段测试卷(一) 圆的认识及与圆有关的位置关系 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 下列说法正确的是(　 　 ) A. 弦是直径 B. 弧是半圆 C. 直径是圆中最长的弦 D. 半圆是圆中最长的弧 2. 已知☉O 的半径为 6 cm,圆心 O 到直线 a 的距离为 6 cm,则直 线 a 与☉O 的位置关系为(　 　 ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 3. 如图,A、B、C 是☉O 上的三个点,∠AOB = 58°,则∠BCA 的度 数是(　 　 ) A. 58° B. 42° C. 32° D. 29° 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,四边形 ABCD 的外接圆为☉O,BC = CD, ∠DAC = 35°, ∠ACD= 45°,则∠ADB 的度数为(　 　 ) A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 5. 如图,四边形 ABCD 内接于☉O,∠D= 100°,CE⊥AB 交☉O 于点 E,连结 OB、OE,则∠BOE 的度数为(　 　 ) A. 18° B. 20° C. 25° D. 40° 第 5 题图 　 　 　 　 　 　 第 7 题图 6. 在☉O 中,弦 AB 和 CD 相交于 P,且 AB⊥CD,如果 AP = 4,PB = 4,CP= 2,那么☉O 的直径为(　 　 ) A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 7. 如图,在△ABC 中,AB= 5,AC= 4,BC= 2,以 A 为圆心,AB 长为半 径作☉A,延长 BC 交☉A 于点 D,则 CD 长为(　 　 ) A. 5 B. 4 C. 9 2 D. 2 5 8. 如图,点 D,E 分别是☉O 的内接正三角形 ABC 的 AB,AC 边的 中点,若 DE= 1,则☉O 的直径为(　 　 ) A. 3 2 B. 3 C. 2 3 3 D. 4 3 3 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 9. 如图,已知 PA,PB 是☉O 的两条切线,A,B 为切点,线段 OP 交 ☉O 于点 M. 给出下列四种说法: ①PA=PB;　 ②OP⊥AB;　 ③四边形 OAPB 有外接圆;　 ④M 是 △AOP 外接圆的圆心. 其中正确说法的个数是(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图,四边形 ABCD 是☉O 的内接四边形,AD 与 BC 的延长线 交于点 E,BA 与 CD 的延长线交于点 F,∠DCE = 85°,∠F = 28°,则∠E 的度数为(　 　 ) A. 38° B. 48° C. 58° D. 68° 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 如图,AB 是☉O 的直径,点 C,D,E 都在☉O 上,∠1 = 55°,则 ∠2 = 　 　 　 　 °. 第 11 题图 　 　 第 12 题图 　 　 第 13 题图 12. 数学情境·古代文化 我国古代数学经典著作《九章算术》中记 载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小. 以锯锯之,深一寸,锯道长一尺. 问径几何?”意思是:今有一圆柱 形木材,埋在墙壁中,不知其大小.用锯去锯这木材,锯口深 ED= 1 寸,锯道长 AB= 1 尺(1 尺= 10 寸) . 问这根圆柱形木材的直径 是　 　 　 　 寸. 13. 如图,▱ABCD 的两边 AB、BC 分别切☉O 于点 A、C,若∠B = 50°,则∠DAE= 　 　 　 　 . 14. 如图,∠ABC 是直角,在射线 BC 上取一点 O 为圆心,以 1 2 BO 长为半径画圆,射线 BA 绕点 B 顺时针旋转　 　 　 　 时与☉O 相切. 第 14 题图 　 　 　 第 15 题图 15. 如图,在△ABC 中,∠C= 90°,AC = 3,BC = 4,则△ABC 的内切圆半径 r= 　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)如图,有一圆形展厅,在其圆形边缘上的点 A 处安装了 一台监视器,它的监控角度是 65°. 为了监控整个展厅,最少需 在圆形边缘上安装这样的监视器多少台? 17. (8 分)如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,点 O 为 BC 边上一点, 以点 O 为圆心,OB 长为半径的☉O 与边 AB 相交于点 D,连结 DC,当 DC 为☉O 的切线时. (1)求证:DC=AC; (2)若 DC=DB,☉O 的半径为 1,请直接写出 DC 的长为 　 . ·33· 18. (9 分)如图,在△ABC 中,AC = BC,☉O 经过 B、C 两点,交 BA 延长线于点 E,过点 E 作☉O 的切线交 CA 的延长线于点 F,且 EF∥OC. (1)求证:∠BAC= 45°; (2)设 CO 交 AB 于点 G,若 BC= 7,sinF= 3 5 ,求 CG 的值. 19. (10 分)如图,AB 是☉O 的直径,AB= 6,OC⊥AB,OC = 5,BC 与 ☉O 交于点 D,点 E 是 BD ( 的中点,EF∥BC,交 OC 的延长线于 点 F. (1)求证:EF 是☉O 的切线; (2)若 CG∥OD,交 AB 于点 G,求 CG 的长. 20. (10 分)如图,在△ACD 的外接圆中,弦 AB 平分∠DAC,AC = AD,过点 B 作圆的切线 BE,交 AD 的延长线于点 E. (1)求证:CD∥BE; (2)已知 AC= 5,sin∠CAB= 3 5 ,求 BE 的长. 21. (10 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,D 为 BC 上一点,以 AD 为直径的☉O 经过点 C,交 AB 于点 E,且 AC = AE,CF 为 ☉O 的直径,连结 FE 并延长交 BC 于点 G,连结 AF. (1)求证:四边形 ADGF 是平行四边形; (2)若AF BC = 3 8 ,BE= 4,求☉O 的直径. 22. (10 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,AE 是 BC 边上的高,BM 平 分∠ABC 交 AE 于点 M,经过 B,M 两点的☉O 交 BC 于点 G,交 AB 于点 F,FB 为☉O 的直径. (1)求证:AM 是☉O 的切线; (2)当 BC= 10,AE= 12 时,求 AM 的长度. 23. (10 分)如图,四边形 ABCD 内接于圆,∠ABC= 60°,对角线 DB 平分∠ADC. (1)求证:△ABC 是等边三角形; (2)过点 B 作 BE∥CD 交 DA 的延长线于点 E,若 AD = 2,DC = 3,求△BDE 的面积. ·43· (2)∵ ∠A = 60°,∴ ∠B = 120°. ∵ BE = BF,∴ ∠BEF = ∠BFE= 30°. 过点 B 作 BM⊥EF 于点 M,则 EF = 2EM, EM= 3 2 x. ∴ EF= 3x. (5 分) ∵ DH = DG, ∴ ∠DHG = ∠DGH = 180° -120° 2 = 30°, ∴ ∠EHG= 90°.同理可得∠HEF = ∠EFG = ∠HGF = 90°,∴ 四边形 HEFG 是矩形. (7 分) ∴ S矩形EFGH =HE·EF= 3x(a-x)= - 3x 2 + 3ax, (8 分) 当 x= - 3a -2 3 = 1 2 a 时,函数有最大值为 S矩形EFGH = - 3 × ( 1 2 a) 2 + 3a× 1 2 a= 3 4 a2 . (9 分) 19. 解:(1)当 1≤x<50 时, y= (200-2x)(x+40-30)= -2x2 +180x+2 000; (2 分) 当 50≤ x ≤ 90 时, y = ( 200 - 2x) ( 90 - 30) = -120x + 12 000, 综上所述,y= -2x 2 +180x+2 000(1≤x<50) -120x+12 000(50≤x≤90){ . (4 分) (2)当 1≤x<50 时,二次函数开口向下,二次函数对称 轴为 x= 45,当 x= 45 时,y最大 = -2×45 2 +180×45+2 000 = 6 050; (6 分) 当 50≤x≤90 时,y 随 x 的增大而减小,当 x= 50 时,y最大 = 6 000. (8 分) ∵ 6 050>6 000,∴ 销售该商品第 45 天时,当天销售利 润最大,最大利润是 6 050 元. (9 分) 20. 解:设 AB= xm,围成的花圃面积为 Sm2 , 则 BC 长为(24-3x)m, (1 分) (1)根据题意,得 x(24-3x) = 45,整理,得 x2 - 8x+ 15 = 0,解得 x= 3 或 x= 5. (3 分) 当 x= 3 时,BC= 24-9 = 15>10 不成立, (4 分) 当 x= 5 时,BC= 24-15 = 9<10 成立,∴ AB 长为 5m. (5 分) (2)由题意,得 S= 24x-3x2 = -3(x-4) 2 +48, (7 分) ∵ 墙的最大可用长度为 10m,即 0<24-3x≤10,∴ 14 3 ≤x <8. (8 分) ∵ 对称轴 x= 4,开口向下,∴ 当 x = 14 3 m 时,花圃面积最 大,最大面积为:24×14 3 -3×( 14 3 ) 2 = 140 3 (m2 ) . (9 分) 21. 解:(1)将二次函数 y = - 3 5 x2 + 3x+ 1 化成 y = - 3 5 ( x- 5 2 ) 2 +19 4 , (3 分) 当 x= 5 2 时,y 有最大值,y最大值 = 19 4 = 4. 75,因此,演员弹 跳离地面的最大高度是 4. 75 米. (5 分) (2)能表演成功. (6 分) 理由是:当 x= 4 时,y= - 3 5 ×42 +3×4+1 = 3. 4. (8 分) 即点 B(4,3. 4)在抛物线 y= - 3 5 x2 +3x+1 上,因此,能表 演成功. (10 分) 22. 解:(1)设对称轴与 x 轴的交点为点 M. ∵ 顶点为 D(1, m),DM∥y 轴,∴ tan∠ODM = tan∠COD = 1 3 ,则 m = 3, 则抛物线的表达式为:y=a(x-1) 2 +3, (3 分) 将 C(0,2)代入得,a+ 3 = 2,解得 a = - 1,故抛物线的表 达式为:y= -(x-1) 2 +3 = -x2 +2x+2. (5 分) (2)设抛物线向上平移 n(n> 0)个单位,则函数表达式 为:y= -x2 +2x+2+n, (7 分) 令 y= 0,则 x1 = 1+ n+3 ,x2 = 1- n+3 (舍去), (8 分) 令 x= 0,则 y= 2+n,∵ OA=OB,∴ 1+ n+3 = 2+n,解得 n = 1 或-2(舍去), (9 分) 则点 A 的坐标为(3,0),故点 E 的坐标为(3,-1) . (10 分) 23. 解:(1)该二次函数图象的对称轴是 x = 2a 2a = 1,把 P(4, -6)代入抛物线得 16a-8a-2 = -6,解得 a = - 1 2 ,∴ y = - 1 2 x2 +x-2. (2 分) ∴ 抛物线的顶点坐标的纵坐标为- 1 2 × 12 + 1- 2 = - 3 2 , 故抛物线的顶点坐标为(1,- 3 2 ) . (3 分) (2) ∵ 该二次函数的图象开口向上,对称轴为直线 x = 1,-1≤x≤5,∴ 当 x= 5 时,y 的值最大,即 M(5,11 2 ),当 x= 1 时,y 的值最小. (4 分) 把 M(5,11 2 )代入 y=ax2 -2ax-2,解得 a= 1 2 , (5 分) ∴ 该二次函数的表达式为 y= 1 2 x2 -x-2. (6 分) 当 x= 1 时,y= - 5 2 ,∴ N(1,- 5 2 ) . (7 分) (3)当 t≤x1 ≤t+1,x2 ≥3 时,均满足 y1 ≥y2 ,可知抛物线 开口向下,对称轴为直线 x= 1, (8 分) ∵ 点 A ( x1 , y1 )、 B ( x2 , y2 ) 在 该 函 数 图 象 上, ∴ t+1≤3 t≥1-(3-1){ , (10 分) ∴ -1≤t≤2. (11 分) 第 27 章追梦阶段测试卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B D C B D C D C A 1. C 2. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法指导】设圆的半径为 r,圆心到直线的距离为 d,当 d<r 时,直线和圆相交;当 d = r 时,直线和圆相切;当 d>r 时,直线和圆相离. 3. D　 4. C　 5. B　 6. D 7. C　 【解析】过点 A 作 AE⊥BD 于点 E,连结 AD,∴ AD = AB= 5,根据垂径定理,得 DE =BE,∴ CE =BE-BC =DE- 2,根据勾股定理,得 AD2 -DE2 = AC2 -CE2,∴ 52 -DE2 = 42 -(DE-2) 2,解得 DE = 13 4 ,∴ CD =DE+CE = 2DE-2 = 9 2 . 故选 C. 8. D　 【解析】连结 OB、OC,作 OF⊥BC 于点 F,则 BF =CF = 1 2 BC,∵ 点 D,E 分别是 AB,AC 边的中点,∴ BC = 2DE = 2,由圆周角定理得,∠BOC = 2∠A = 120°,∴ ∠OBF = 30°,∴ OB= BF cos∠OBF = 1 3 2 = 2 3 3 ,∴ ☉O 的直径为 2OB = 2×2 3 3 = 4 3 3 . 故选 D. 9. C　 【解析】∵ PA,PB 是☉O 的两条切线,A,B 为切点,∴ PA=PB,∴ ①正确;∵ OA = OB,PA = PB,∴ OP 垂直平分 AB,∴ ②正确;∵ PA,PB 是☉O 的两条切线,A,B 为切 点,∴ OA⊥PA,OB⊥PB,∴ ∠OAP= ∠OBP= 90°,∴ 点 A、 B 在以 OP 为直径的圆上,∴ 四边形 OAPB 有外接圆,∴ 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 18 页 ③正确;∵ 只有当∠APO = 30°时,OP = 2OA,此时 PM = OM,M 才是△AOP 外接圆的圆心,∴ M 不一定为△AOP 外接圆的圆心,∴ ④错误. 故选 C. 10. A　 【解析】∠B= ∠DCE-∠F = 57°,∵ 四边形 ABCD 是 ☉O 的内接四边形,∴ ∠EDC = ∠B = 57°,∴ ∠E = 180° -∠DCE-∠EDC= 38°. 故选 A. 11. 35　 12. 26　 13. 15°　 14. 60°或 120° 15. 1　 【解析】在△ABC 中,∠C = 90°,AC = 3,BC = 4,根据 勾股定理,得 AB = 5,设△ABC 的内切圆与三条边的切 点分别为 D、E、F,连结 OD、OE、OF,∴ OD⊥AB,OE⊥ BC,OF⊥AC,可得矩形 EOFC,∵ OE=OF,∴ 矩形 EOFC 是正方形,∴ CE=CF= r,∴ AF=AD = AC-FC = 3-r,BE = BD=BC-CE= 4-r,∵ AD+BD=AB,∴ 3-r+4-r= 5,解得 r = 1. 则△ABC 的内切圆半径 r= 1. 16. 解:∵ ∠A= 65°,∴ 圆周角∠A 所对的弧所对的圆心角 是 130°, (4 分) ∴ 360°÷130° = 2 10 13 . (7 分) ∴ 为了监控整个展厅,最少需在圆形边缘上安装这样 的监视器 3 台. (8 分) 17. 证明:(1)连结 OD,∵ CD 是☉O 的切线, ∴ CD⊥OD,∴ ∠ODC= 90°, ∴ ∠BDO+∠ADC= 90°. (2 分) ∵ ∠ACB= 90°,∴ ∠A+∠OBD= 90°. (4 分) ∵ OB=OD,∴ ∠OBD= ∠ODB, ∴ ∠A= ∠ADC,∴ CD=AC; (6 分) (2) 3 (8 分) 18. (1)证明:连结 OE,∵ FE 是☉O 的切线,∴ OE⊥EF,∴ ∠FEO= 90°. (1 分) ∵ EF∥OC,∴ ∠COE= ∠FEO= 90°, (2 分) ∴ ∠ABC= 1 2 ∠COE= 45°. (3 分) ∵ AC=BC,∴ ∠BAC= ∠ABC= 45°. (4 分) (2)解:过点 G 作 GM⊥AC 于点 M,∵ EF∥OC,∴ ∠OCF = ∠F,∴ sin∠OCF= sinF= 3 5 . (6 分) 设 GM= 3x,则 CM= 4x,CG= 5x. ∵ ∠BAC= ∠ABC= 45°, ∴ △ABC 和△AMG 是等腰直角三角形, (7 分) ∴ AC=BC= 7,AM=GM= 3x,∴ 3x+4x= 7, (8 分) 解得 x= 1,CG= 5x= 5. (9 分) 19. (1)证明:连结 OE,交 BD 于点 H,∵ 点 E 是 BD ( 的中 点,OE 是半径,∴ OE⊥BD. (2 分) ∵ EF∥BC,∴ OE⊥EF. (4 分) 又∵ OE 是半径,∴ EF 是☉O 的切线. (5 分) (2)解:∵ AB 是☉O 的直径,AB= 6,OC⊥AB, ∴ OB= 3,∴ BC= OB2 +OC2 = 9+25 = 34 . (6 分) ∵ S△OBC = 1 2 ×OB×OC= 1 2 ×BC×OH, ∴ OH= 3 ×5 34 = 15 34 34 . (7 分) ∵ cos∠OBC=OB BC =BH OB ,∴ 3 34 =BH 3 , ∴ BH= 9 34 34 ,∴ BD= 2BH= 9 34 17 . (9 分) ∵ CG∥OD,∴ OD CG =BD BC ,∴ 3 CG = 9 34 17 34 ,∴ CG= 17 3 . (10 分) 20. 证明:(1)设 AB 与 CD 的交点为 F. ∵ AC = AD,AB 平分 ∠DAC,∴ AB⊥CD,DF=CF,∴ AB 是直径. (3 分) ∵ BE 是△ACD 的外接圆的切线,∴ BE⊥AB,∴ CD∥ BE. (5 分) (2)∵ AC= 5,sin∠CAB= 3 5 =CF AC ,∴ CF = 3 =DF,∴ AF = AD2 -DF2 = 25-9 = 4. (7 分) 连结 BD,∵ AB 是直径,∴ ∠ADB = 90°,则 cos∠DAB = AD AB = AF AD ,∴ AB= 5 ×5 4 = 25 4 . (8 分) ∵ tan∠DAB=BE AB =DF AF ,∴ BE 25 4 = 3 4 ,∴ BE= 75 16 . (10 分) 21. (1)证明:连结 CE. ∵ AC=AE,∴ AC ( =AE ( ,∴ AD⊥CE. (1 分) ∵ CF 是直径,∴ ∠CEF= 90°,∴ FG⊥CE,∴ AD∥FG. (2 分) ∵ CF,AD 是直径,∴ ∠ACD = ∠CAF = 90°,∴ ∠CAF+ ∠ACD= 180°,∴ AF∥BC, (4 分) ∴ 四边形 ADGF 是平行四边形. (5 分) (2)解:∵ ∠AOF= ∠COD,∴ AF ( =CD ( ,∴ AF=CD. (6 分) ∵ 四边形 ADGF 是平行四边形,∴ AF=DG. ∵ AF ∶BC= 3 ∶8,∴ BG ∶DG= 2 ∶3. (7 分) ∵ EG∥AD,∴ BE AE =BG GD = 2 3 . (8 分) ∵ BE= 4,∴ AE=AC= 6, ∴ AB= 10,BC= AB2 -AC2 = 102 -62 = 8. (9 分) ∵ CD=DG,BG ∶DG= 2 ∶3,∴ CD=GD= 3,BG= 2, ∴ AD = AC2 +CD2 = 62 +32 = 3 5 . 即☉O 的直径为 3 5 . (10 分) 22. (1)证明:连结 OM. ∵ OB=OM,∴ ∠OBM= ∠OMB, (1 分) 又∵ BM 平分∠ABC, ∴ ∠OBM = ∠EBM, ∴ ∠EBM = ∠OMB,∴ OM∥BE. (3 分) ∵ AE⊥BC,∴ OM⊥AE, (4 分) 又∵ OM 是半径,∴ AE 与☉O 相切. (5 分) (2)解:∵ AB = AC,AE 是 BC 边上的高,∴ BE = 1 2 BC = 5,∴ AB= BE2 +AE2 = 52 +122 = 13. (7 分) ∵ OM∥BE,∴ △AOM∽△ABE, (8 分) ∴ AO AB =AM AE =OM BE ,∴ 13 -OB 13 =AM 12 =OB 5 ,解得 AM= 26 3 . (10 分) 23. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 内接于圆,∴ ∠ABC+∠ADC = 180°. (1 分) ∵ ∠ABC= 60°,∴ ∠ADC= 120°. (2 分) ∵ DB 平分∠ADC,∴ ∠ADB = ∠CDB = 60°,∴ ∠ACB = ∠ADB= 60°,∠BAC = ∠CDB = 60°,∴ △ABC 是等边三 角形. (4 分) (2)解:过点 A 作 AM⊥CD,垂足为点M,过点 B 作 BN⊥ AC,垂足为点 N. ∴ ∠AMD = 90°. ∵ ∠ADC = 120°, ∴ ∠DAM = 30°, ∴ DM = 1 2 AD = 1, AM = AD2 -DM2 = 22 -12 = 3 . ∵ CD= 3,∴ CM=CD+DM= 1+3 = 4,S△ACD = 1 2 CD·AM= 1 2 ×3× 3 = 3 3 2 . (6 分) 在 Rt △AMC 中, ∠AMD = 90°, ∴ AC = AM2 +CM2 = 3+16 = 19 . ∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB=BC =AC = 19 ,∴ BN= 3 2 BC = 57 2 ,∴ S△ABC = 1 2 × 19 × 57 2 = 19 3 4 ,∴ 四边形 ABCD 的面积= 19 3 4 +3 3 2 = 25 3 4 . (7 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 19 页 ∵ BE∥CD,∴ ∠E+ ∠ADC = 180°. ∵ ∠ADC = 120°,∴ ∠E= 60°,∴ ∠E = ∠BDC,∵ 四边形 ABCD 内接于圆, ∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°. ∵ ∠BAD + ∠EAB = 180°, ∴ ∠EAB = ∠BCD, 在 △EAB 和 △DCB 中 ∠E= ∠BDC ∠EAB= ∠DCB AB=BC{ ,∴ △EAB≌△DCB,∴ △BDE 的面积 =四边形 ABCD 的面积= 25 3 4 . (10 分) 第 27 章追梦阶段测试卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D B A D D C A B D 1. C　 2. D　 3. B　 【解析】如图,过 A 作 AC⊥OB 于点 C,∵ 圆的内接正十二边形的圆心角为 360° 12 = 30°,OA= 1,∴ AC= 1 2 OA= 1 2 ,∴ S△OAB = 1 2 × 1× 1 2 = 1 4 ,∴ 这个圆内接正十二边形的面积为 12× 1 4 = 3. 故选 B. 4. A　 【解析】连结 CD、OC、OD. ∵ C,D 是以 AB 为直径的 半圆的三等分点,∴ ∠AOC = ∠COD = ∠DOB = 60°,AC = CD,∵ 弧 CD 的长为 1 3 π,∴ 60π·r 180 = 1 3 π,解得 r = 1. 又 ∵ OC= OD,∴ △COD 是等边三角形. ∴ ∠CDO = ∠DOB = 60°, ∴ CD∥AB, ∴ S△ACD = S△OCD, ∴ S阴影 = S扇形OCD = 60π×12 360 = π 6 . 故选 A. 5. D 6. D　 【解析】∵ ∠AOC ∶ ∠AOD ∶ ∠DOB = 2 ∶7 ∶11,∠AOD+ ∠DOB = 180°,∴ ∠AOD = 7 7+11 × 180° = 70°,∠DOB = 110°,∠COA = 20°,∴ ∠COD = ∠COA+ ∠AOD = 90°. ∵ OD=OC,CD= 4,∴ 2OD2 = 42,∴ OD = 2 2,∴ CD ( 的长是 90π×2 2 180 = 2 π. 故选 D. 7. C 8. A　 【解析】S阴 = 6×[4× 3 2 ×4× 1 2 +( 4 2 ) 2 π× 1 2 - 1 6 π×42] = 24 3 -4π. 故选 A. 9. B　 【解析】连结 OA、OB、OD,过 O 作 OH⊥AB 于点 H,则 AH=BH= 1 2 AB,∵ 等边三角形 ABC 和正方形 ADEF 都内 接于☉O,∴ ∠AOB= 120°,∠AOD= 90°. ∵ OA=OD =OB, ∴ ∠AOH= ∠BOH = 1 2 × 120° = 60°,∴ AD = 2 OA,AH = OA·sin60° = 3 2 OA,∴ AB = 2AH = 3 OA,∴ AD AB = 2OA 3OA = 2 3 . 故选 B. 10. D　 【解析】如图 1,△ABC 为☉O 的内接正三角形,作 OM⊥BC 于点 M,连结 OB. ∵ ∠OBC = 1 2 ∠ABC = 30°, ∴ OM= 1 2 OB= 2;如图 2,四边形 ABCD 为☉O 的内接正 方形, 作 ON ⊥ DC 于 点 N, 连 结 OD. ∵ ∠ODC = 1 2 ∠ADC= 45°,∴ ON = DN = 2 2 OD = 2 2;如图 3,六边 形 ABCDEF 为☉O 的内接正六边形,作 OH⊥DE 于点 H,连结 OE,∵ ∠OED = 1 2 ∠FED = 60°,∴ EH = 1 2 OE = 2,OH= 3EH= 2 3,∴ 半径为 4 的圆的内接正三角形、 正方形、正六边形的边心距分别为 2,2 2,2 3,∵ 22 + (2 2 ) 2 = (2 3 ) 2,∴ 以三条边心距为边所作的三角形 为直角三角形,∴ 该三角形的面积 = 1 2 ×2×2 2 = 2 2 . 故选 D. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 11. 1　 12. 2 3 13. 2π 3 　 【解析】连结 OC. ∵ AB⊥CD,CD= 2 3,∴ BC ( =BD ( , CE=DE= 3,∴ ∠COB = ∠BOD. ∵ ∠BOD = 2∠BCD = 60°,∴ ∠COB = 60°. ∵ OC = OB = OD,∴ △OBC,△OBD 都是等边三角形,∴ OC=BC =BD =OD,∴ 四边形 OCBD 是菱形,∴ OC∥BD,∴ S△BDC = S△BOD,∴ S阴影 = S扇形OBD,∵ OD= ED sin60° = 2,∴ S阴影 = 60·π×22 360 = 2π 3 . 14. π 4 15. 8π 3 -2 3 - 2　 【解析】连结 OF、BF,∵ 点 E 为 AB 的中 点,AO∥DF,∴ BD OD =BE AE = 1,即 D 为 OB 的中点,∴ DF 为 线段 OB 的垂直平分线,∴ OF = BF. 又∵ OF = OB,∴ △BOF 为等边三角形,∴ ∠BOF = 60°. ∵ OA = OB,∴ ∠ABO= 45°,∴ △BDE 为等腰直角三角形. ∵ S扇形BOF = 60π×42 360 = 8π 3 ,S△BDE = BD·DE 2 = 1 2 × 2 × 2 = 2, S△DOF = OD·DF 2 = 1 2 × 2 × 2 3 = 2 3,∴ S阴影 = S扇形BOF - S△DOF - S△BDE = 8π 3 -2 3 -2. 16. 解:(1) ∵ AB ( 的半径 OA = 2,OC⊥AB 于点 C,∠AOC = 60°,∴ AC=OA·sin60° = 2× 3 2 = 3 , (2 分) ∴ AB= 2AC= 2 3 . (4 分) (2)∵ OC⊥AB,∠AOC= 60°,∴ ∠AOB= 120°. (6 分) ∵ OA= 2,∴ AB ( 的长是:120π ×2 180 = 4π 3 . (8 分) 17. 解:连结 AC,∵ AB=CB,∠ABC= 90°, ∴ AC 是☉O 的直径,即 AC= 2, (2 分) ∴ AB=BC= 2 , (4 分) ∴ 扇形的面积为:90π ×( 2 ) 2 360 = π 2 . (8 分) 18. (1)证明:在☉O 中,∠BAC= ∠CPB,∠ABC= ∠APC. (2 分) 又∵ ∠APC= ∠CPB= 60°,∴ ∠ABC= ∠BAC= 60°, (4 分) ∴ △ABC 为等边三角形. (5 分) (2)解:过 O 作 OD⊥BC 于点 D,连结 OB, 则∠OBD= 30°,∠ODB= 90°, (7 分) ∵ OB= 2,∴ OD= 1,∴ 等边△ABC 的边心距为 1. (9 分) 19. (1)证明:∵ DE⊥BC,∴ ∠DEB= 90°,∴ ∠A= ∠DEB. (1 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 20 页