上册追梦期中达标测试卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（华东师大版）

追梦期中达标测试卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 下列式子为最简二次根式的是(　 　 ) A. a2 +b2 B. a2 C. 12a D. 1 2 2. 下列计算正确的是(　 　 ) A. 2 3 +2 2 = 2 5 B. 5 3 ×5 2 = 5 6 C. 1 2 2 = 2 2 D. 8 ÷ 2 = 2 3. 下列各组中的四条线段成比例的是(　 　 ) A. a= 2,b= 3,c= 4,d= 1 B. a= 2,b= 5 ,c= 2 3 ,d= 15 C. a= 4,b= 6,c= 5,d= 10 D. a= 2 ,b= 3,c= 2,d= 3 4. 关于 x 的一元二次方程 x2 + 2 ( m - 1) x + m2 = 0 的根的情 况是(　 　 ) A. 无法确定 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 5. 甲、乙、丙、丁四位同学在这一学期 4 次数学测试中平均成绩都是 95 分,方差分别是 s2甲 = 2. 2,s2乙 = 1. 8,s2丙 = 3. 3,s2丁 =a,a 是整数,且 使得关于 x 的一元二次方程(a-2)x2 +4x-1 = 0 有两个不相等的 实数根,若丁同学的成绩最稳定,则 a 的取值可以是(　 　 ) A. 3 B. 2 C. 1 D. -1 6. 生产劳动情境·销售额 为促进消费,某市政府开展发放政府补 贴消费的“消费券活动”,某超市的月销售额逐步增加,据统计, 4 月份的销售额为 200 万元,接下来 5 月、6 月的增长率相同,6 月份 的 销 售 额 为 500 万 元. 若 设 5 月、 6 月 的 增 长 率 为 x,则(　 　 ) A. 200(1+x)= 500 B. 200+200(1+x)= 500 C. 200(1+2x)= 500 D. 200(1+x) 2 = 500 7. 如图,△ABC 和△A1B1C1 是以点 O 为位似中心的位似三角形, 若 C1 为 OC 的中点,且 S△A1B1C1 = 3,则△ABC 的面积为(　 　 ) A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 8. 如图,在四边形 ABCD 中,∠A = 90°,AB = 3 ,AD = 1,点 M,N 分 别是边 BC,AB 上的动点(含端点,但点 M 不与点 B 重合),点 E,F 分别是线段 DM,MN 的中点, 则线段 EF 长度的最大 值为(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 1 D. 3 2 9. 如图,点 A 在线段 BD 上,在 BD 的同侧作等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt △ADE,CD 与 BE、AE 分别交于点 P,M,连结 AP.对于下列结论: ①△BAE∽△CAD;②MP·MD=MA·ME;③2CB2 =CP·CM. 其 中正确的是(　 　 ) A. ①②③ B. ① C. ①② D. ②③ 10. 如图,在 Rt△AOB 中,∠AOB = 90°,OA = 3,OB = 4,将△AOB 沿 x 轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转,分别得图 ②,图③,则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是(　 　 ) A. (28,4) B. (36,0) C. (39,0) D. (91 2 , 3 2 3 ) 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. a +1 a-1 中 a 的取值范围是　 　 　 　 . 12. 若 m 是一元二次方程 x2 -2x-1 = 0 的根,则代数式 2m-m2 的值 为 　 　 　 　 . 13. 如图,D、E 分别为△ABC 的边 BA、CA 延长线上的点,且 DE∥ BC. 如果DE BC = 3 5 ,CE= 16,那么 AC 的长为　 　 　 　 . 第 13 题图 　 　 　 第 14 题图 14. 日常生活情境·测距离 如图,在某小区内拐角处的一段道路 上,有一儿童在 C 处玩耍,一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一 侧的 A 处驶来(CM⊥DM,BD⊥DM,BC 与 DM 相交于点 O),已 知 OM= 4 米,CO = 5 米,DO = 3 米,AO = 73 米,则汽车从 A 处 前行的距离 AB= 　 　 　 　 米时,才能发现 C 处的儿童. 15. 在平面直角坐标系中,已知 A(1,4),B(5,2),将线段 AB 平移 后得线段 CD,若 C(3,-1),则 D 的坐标是　 　 　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)计算: (1)3 5 + 20 - 8 +4 2 ;　 　 　 (2) 12 × 32 3 ÷ 3 3 . 17. (8 分)解下列方程: (1)(x-1)(x-3)= 8;　 　 　 (2)2(x-3) 2 = x2 -9. 18. (9 分)已知关于 x 的一元二次方程(a+c) x2 +2bx+(a-c) = 0, 其中 a,b,c 分别为△ABC 三边的长. (1)如果 x = - 1 是方程的根,试判断△ABC 的形状,并说明 理由; (2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并 说明理由; (3)如果△ABC 是等边三角形,试求这个一元二次方程的根. ·51· 19. (9 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,点 D 是边 AB 上的点,DE∥ BC 交 AC 于点 E,连结 BE,点 F、G、H 分别为 BE、DE、BC 的 中点. (1)求证:FG=FH; (2)当∠A 为多少度时,FG⊥FH? 并说明理由. 20. 中考新考法·新定义 (10 分)如果一元二次方程的两根相差 1, 那么该方程称为“差 1 方程” . 例如 x2 +x= 0 是“差 1 方程” . (1)判断下列方程 x2 -5x-6 = 0 是否为“差 1 方程”; (2)已知关于 x 的方程 x2 -(m-1)x-m= 0(m 是常数)是“差 1 方程”,求 m 的值; (3)若关于 x 的方程 ax2 +bx+1 = 0(a,b 是常数,a>0)是“差 1 方程”,设 t= 10a-b2,求 t 的最大值. 21. 生产劳动情境·销售汽车 (10 分)某汽车销售公司 4 月份销售 某厂家的汽车,在一定范围内每部汽车的进价与销售量有如下 关系:若当月仅售出 1 辆汽车,则该部汽车的进价为 25 万元, 每多售出 1 辆,所有售出的汽车的进价均降低 0. 2 万元 /辆. 月 底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在 10 辆以 内(含 10 辆),每辆返利 0. 6 万元;销售量在 10 辆以上,每辆返 利 1. 2 万元. (1)若该公司当月售出 3 辆汽车,则每辆汽车的进价为　 　 　 万元; (2)若该公司当月售出 5 辆汽车,且每辆汽车售价为 m 万元,则该 销售公司该月盈利　 　 　 　 万元(用含 m 的代数式表示); (3)如果汽车的售价为 25. 6 万元 /辆,该公司计划当月盈利 16. 8 万元,那么需要售出多少辆汽车? (盈利=销售利润+返利) 22. 中考新考法·新情境 (10 分)下表是小明进行数学学科项目化 学习时候的记录表,填写活动报告的部分内容. 项目主题:测量 河流的宽度. 项目探究:河流宽度不能直接测量,需要借助一些工具,比如: 小镜子,标杆,皮尺,自制的直角三角形模板…,各组确定方案 后,选择测量工具,画出测量示意图,并进行实地测量,得到具 体数据,从而计算出河流的宽度. 项目成果:下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量 数据: 题目 测量河流宽度 AB 目标示意图 测量数据 BC= 1. 6m,BD= 10m,DE= 2. 0m 请你参与这个项目学习,并完成下列任务 (1)任务一:请你借助小明的测量数据,计算河流的宽度 AB; (2)任务二:请你写出这个方案中求河流的宽度时用的数学知 识　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 (定出一条即可); (3)任务三:请你再设计一个与小明不同的测量方案,并画图 简要说明一下. 23. (11 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC= 2BC= 8,点 D、E 分别在边 BC、AC 上,且 DE∥AB,将△CDE 绕点 C 按顺时针方 向旋转,记旋转角为 α. (1)问题发现 ①当 α= 0°时,AE BD = 　 　 　 　 ; ②当 α= 180°时,AE BD = 　 　 　 　 . (2)拓展探究 试判断:当 0°≤α<360°时,AE BD 的大小有无变化? 请仅就图 2 的 情形给出证明. (3)问题解决 当 CE=BC,△EDC 旋转至 A,D,C 三点共线时,直接写出线段 AD 的长. 图 1 　 　 图 2 ·61· ( 2,- 2 2 ) . 综上,相应的点 P 共有 4 个. 故选 D. 11. 9 12. 2 　 【解析 】 ∵ ▱ABCD 的 面 积 为 16cm2, ∴ S△PBC = 1 2 S▱ABCD = 8. ∵ E、F 分别是 PB、PC 的中点,∴ EF∥ BC,且 EF= 1 2 BC,∴ △PEF∽△PBC,∴ S△PEF S△PBC = (EF BC ) 2, 即 S△PEF 8 = 1 4 ,∴ S△PEF = 2. 13. 3 　 【解析】连结 BD 交 AC 于点 O,∵ 四边形 ABCD 是 菱形,周长为 12,∴ AB = BC = CD = AD = 3,BD⊥AC. ∵ ∠DAB= 60°,∴ ∠DAO= 1 2 ∠DAB= 30°,∴ OD = 1 2 AD = 3 2 ,AO= 3OD= 3 3 2 . ∵ 四边形 DEBF 与菱形 ABCD 相 似,∴ ∠EDF= ∠DAB= 60°,∠EDO= 1 2 ∠EDF = 30°,∴ OE= 3 3 OD= 3 2 ,∴ AE=OA-OE= 3 3 2 - 3 2 = 3 . 14. 2 5 　 【解析】延长 GE 交 AB 于点 O,作 PH⊥OE 于点 H,则 PH∥AB,∵ P 是 AE 中点,∴ PH OA =PE AE = 1 2 . ∴ PH = 1 2 OA= 1 2 ×(6-2)= 2. ∵ ∠OAE= 45°,OA=OE = 4,同理 HE = PH = 2,∴ HG = HE+EG = 4,∴ PG = PH2 +HG2 = 2 5 . 15. (-506,- 506) 　 【解析】由图形以及叙述可知各个点 (除 A1 点外)都位于象限的角平分线上,第一象限数满 足 4n-2,第二象限数满足 4n- 1,第三象限数满足 4n, 第四象限数满足 4n+1,2 024 = 4×506,故点 A2024 在第三 象限,所以点 A2 024 坐标为(-506,-506) . 16. 解:在矩形 ABCD 中, ∵ CD = AB = 3,CE = 1, ∴ DE = CE2 +CD2 = 10 . ∵ AF ⊥ DE, ∴ ∠DFA = ∠DCE = 90°,∴ ∠DAF+∠ADF = 90°. ∵ ∠ADF+∠EDC = 90°,∴ ∠DAF= ∠EDC,∴ △DAF∽△EDC, (4 分) ∴ DF CE = AD DE ,∵ CE = 1,∴ DF 1 = 2 10 ,∴ DF = 10 5 ,∴ DF 的长度为 10 5 . (8 分) 17. (1)如图 1 所示, (3 分) C1(-3,1) (4 分) (2)如图 2 所示, (8 分) C2 (-6,-2)(答案不唯一) (9 分) 18. (1)解:如图: (4 分) (2)证明:∵ ∠APC = 2∠ABC,∠APC = ∠ABC+∠BAP, ∴ ∠ABC= ∠BAP. (7 分) ∵ △PCD∽△ABP,∴ ∠DPC= ∠BAP, ∴ ∠ABC= ∠DPC,∴ PD∥AB. (9 分) 19. 解:由题意,得 CD = BG = 2 米,∠CEF = ∠ABC = 90°,∵ ∠ACB= ∠ECF,∴ △CEF∽△CBA, (3 分) ∴ CE CB =CF CA ,∴ 0. 8 32 = 1 CA ,解得 AC= 40, (6 分) ∴ AB= AC2 -BC2 = 24(米),∴ AG =AB+BG = 24+2 = 26 (米),∴ 会议中心 AG 的高度为 26 米. (9 分) 20. 解:(1) ∵ EF∥BD,∴ AF FB = AE ED = 3 2 ,∵ FG∥AC,∴ BG CG = BF AF = 2 3 , (2 分) ∵ BG= 4,∴ CG= 6. (4 分) (2)∵ CD= 2,CG= 6,∴ DG=CG-CD= 4, (6 分) ∵ BG= 4,∴ BD=BG+DG= 8,∵ AF BF = 3 2 ,∴ AF AB = 3 5 , (8 分) ∵ EF∥BD,∴ EF BD =AF AB ,∴ EF 8 = 3 5 ,∴ EF= 24 5 . (10 分) 21. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ ∠A = ∠B = ∠D = 90°. (1 分) 由题意得: ∠CEM = ∠D = 90°, ∴ ∠AME + ∠AEM = ∠AEM+∠BEC,∴ ∠AME= ∠BEC,∴ △AEM∽△BCE. (4 分) (2)解:∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ CD = AB = 10. 由题意 得:CE=CD = 10. 由勾股定理得:BE2 = CE2 -BC2 ,而 BC = 8,∴ BE= 6,AE= 10-6 = 4. (6 分) 由题意得:ME = MD(设为 λ),则 AM = 8-λ. 由勾股定 理:λ2 = 42 +(8-λ) 2 ,解得 λ= 5, (8 分) ∴ S四边形ABCM =S矩形ABCD-S△CDM = 10×8- 1 2 ×10×5 = 55. 即四 边形 ABCM 的面积= 55. (10 分) 22. (1)解:∵ EF∥DM,∴ △AEF∽△ADM, (2 分) ∵ S△AEF ∶S四边形MDEF = 2 ∶3,∴ AE AD = 2 2+3 = 2 5 , (3 分) ∴ AE ED = 2 5 - 2 = 10 +2 3 . (5 分) (2)证明:∵ DC=DB,DM∥CF,∴ FM=MB= 1 2 FB, (6 分) ∴ AE ∶ED=AF ∶FM,即 AE ∶ED=AF ∶ 1 2 FB, (8 分) ∴ AE ∶ED= 2AF ∶FB,∴ AE·FB= 2AF·ED. (10 分) 23. 解:( 1) ∵ 四边形 AOEC 是矩形,∴ AC = EO,∠CAO = ∠AOE = 90°,∴ ∠EOF = 180°-∠AOE = 90°,∴ ∠CAO = ∠EOF= 90°,∵ AO =OF,∴ △CAO≌△EOF( S. A. S. ), ∴ ∠COA= ∠EFO,∴ CO∥EF,∴ CO 与 EF 没有交点,∴ 此时“不成像”; (4 分) (2)∵ CA⊥AB,DB⊥AB,MN⊥AB,∴ ∠CAO = ∠DBO = ∠EOF= 90°,∵ ∠COA = ∠BOD,∴ △CAO∽△DBO,∴ CA AO =DB BO ,∴ 5 15 =DB BO ,∴ BO= 3BD, (7 分) ∵ ∠EFO= ∠DFB,∴ △EFO∽△DFB,∴ EO OF =BD BF ,∴ 5 10 = BD OB-10 ,∴ 5 10 = BD 3BD-10 ,解得 BD= 10, (9 分) ∴ BO= 3BD= 30(cm),∴ 像距 v 为 30cm,像 BD 的长为 10cm. (10 分) 追梦期中达标测试卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D B A C D B C A B 1. A　 2. D 3. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【易错提醒】成比例线段 a、b、c、d 是有顺序的,不能随便 更改位置. 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 7 页 4. A 5. C　 【解析】∵ 丁同学的成绩最稳定,∴ a<1. 8,而 a 为整 数,∴ a= 1 或 0,∵ 关于 x 的方程(a-2)x2 +4x-1 = 0 有两 个不相等的实数根,∴ a-2≠0 且 Δ = 42 + 4(a- 2) > 0,解 得 a>-2 且 a≠2,∴ a 的值为 0 或 1. 故选 C. 6. D 7. B　 【解析】∵ △ABC 和△A1B1C1 是以点 O 为位似中心 的位似三角形,∴ AC∥A1C1,∵ C1 为 OC 的中点,∴ A1C1 AC = OC1 OC = 1 2 ,∴ S△A1B1C1 S△ABC = ( 1 2 ) 2 = 1 4 ,∵ S△A1B1C1 = 3,∴ △ABC 的面积= 12. 故选 B. 8. C　 【解析】∵ 点 E,F 分别是线段 DM,MN 的中点,∴ ED =EM,MF=FN,∴ EF= 1 2 DN,∴ DN 最大时,EF 最大,∵ N 与 B 重合时 DN 最大,此时 DN =DB = AD2 +AB2 = 2, ∴ EF 的最大值为 1. 故选 C. 9. A　 【解析】由题得 AC = 2 AB,AD = 2 AE,∴ AC AB = AD AE . ∵ ∠BAC= ∠EAD,∴ ∠BAE= ∠CAD,∴ △BAE∽△CAD,所 以① 正 确. ∴ ∠BEA = ∠CDA. ∵ ∠PME = ∠AMD, ∴ △PME∽△AMD,∴ MP MA = ME MD ,∴ MP·MD =MA·ME,所 以②正确. 由②知MP ME = MA MD ,∵ ∠PMA= ∠DME,∴ △PMA ∽△EMD, ∴ ∠APD = ∠AED = 90°. ∵ ∠CAE = 180° - ∠BAC-∠EAD = 90°,∴ △CAP∽ △CMA,∴ AC2 = CP· CM. ∵ AC= 2BC,∴ 2CB2 =CP·CM,所以③正确.故选 A. 10. B 　 【解析】 ∵ ∠AOB = 90°,OA = 3,OB = 4, ∴ AB = OA2 +OB2 = 32 +42 = 5,根据图形,每 3 个图形为一 个循环组,3+ 5+ 4 = 12,所以,图⑨的直角顶点在 x 轴 上,横坐标为 12×3 = 36,所以,图⑨的顶点坐标为(36, 0),又∵ 图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合,∴ 图 ⑩的直角顶点的坐标为(36,0) . 故选 B. 11. a≥-1 且 a≠1 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 【易错提醒】使 a +1 a-1 在实数范围内有意义,除 a+1 有 意义外还要注意分母不能为零. 12. -1　 【解析】∵ m 是一元二次方程 x2 -2x-1 = 0 的根,∴ m2 -2m-1= 0,∴ m2 -2m= 1,∴ 2m-m2 = -(m2 -2m)= -1. 13. 10　 【解析】∵ DE∥BC,∴ △DEA∽△BCA,∴ DE BC = AE AC = 3 5 ,∴ 设 AE= 3a,AC= 5a,∴ CE=AE+AC = 8a= 16,∴ a= 2,∴ AC= 5×2 = 10. 14. 5. 75 　 【解析 】 在 Rt △CMO 中 由 题 意, 得 CM = CO2 -OM2 = 52 -42 = 3m, ∵ ∠BOD = ∠MOC, ∠BDO= ∠CMO= 90°,∴ △BDO∽△CMO,∴ BD CM = DO MO , ∴ BD 3 = 3 4 ,∴ BD= 2. 25m,在 Rt△AOD 中,OA = 73 m, ∴ AD= OA2 -OD2 = 8m,∴ AB = 8-2. 25 = 5. 75(m),∴ 汽车从 A 处前行 5. 75 米,才能发现 C 处的儿童. 15. (7,-3) 或( - 1,1) 　 【解析】若 A 与 C 对应,则 D(7, -3),若 B 与 C 对应,则 D(-1,1) . 16. 解:(1)原式= 3 5 +2 5 -2 2 +4 2 (2 分) = 5 5 +2 2 ; (4 分) (2)原式= 2 3 ×4 2 3 × 3 (6 分) = 8 2 . (8 分) 17. 解:(1)整理,得 x2 -4x-5 = 0, (2 分) 分解因式,得(x-5)(x+1)= 0,则 x-5 = 0 或 x+1 = 0,解 得 x1 = 5,x2 = -1; (4 分) (2)整理,得 x2 -12x+27 = 0, (6 分) 分解因式,得(x-3)(x-9)= 0,则 x-3 = 0 或 x-9 = 0,解 得 x1 = 3,x2 = 9. (8 分) 18. 解:(1)△ABC 是等腰三角形; (1 分) 理由:把 x= -1 代入方程得 a+c-2b+a-c= 0,则 a= b,所 以△ABC 为等腰三角形; (3 分) (2)△ABC 为直角三角形; (4 分) 理由:根据题意得 Δ= (2b) 2 -4(a+c)(a-c)= 0,即 b2 +c2 =a2 ,所以△ABC 为直角三角形; (6 分) (3)∵ △ABC 为等边三角形,∴ a= b= c,∴ 方程化为 x2 + x= 0,解得 x1 = 0,x2 = -1. (9 分) 19. (1)证明:∵ AB=AC,∴ ∠ABC= ∠ACB. (1 分) ∵ DE∥BC,∴ ∠ADE= ∠ABC,∠AED = ∠ACB,∴ ∠ADE = ∠AED,∴ AD = AE,∴ DB = EC. ∵ 点 F、G、H 分别为 BE、DE、BC 的中点,∴ FG 是△EDB 的中位线,FH 是 △BCE 的中位线, (3 分) ∴ FG= 1 2 BD,FH= 1 2 CE,∴ FG=FH; (4 分) (2)解:∠A= 90°时,FG⊥FH. (5 分) 理由:延长 FG 交 AC 于点 N,∵ FG 是△EDB 的中位线, FH 是△BCE 的中位线,∴ FH∥AC,FN∥AB. (8 分) ∵ FG⊥FH,∴ ∠A = ∠FNE = 90°,∴ 当∠A = ∠FNE = 90°时,FG⊥FH. (9 分) 20. 解:(1)(x+1)(x-6)= 0,x= -1 或 x = 6,∵ 1≠6-( -1), ∴ x2 -5x-6 = 0 不是“差 1 方程”; (3 分) (2)由题意,得(x-m)(x+1)= 0,∴ x =m 或 x = -1,∵ 方 程 x2 -(m-1)x-m= 0(m 是常数)是“差 1 方程”,∴ m= -1+1 或 m= -1-1,∴ m= 0 或-2; (6 分) (3)由题可得:Δ = b2 - 4a× 1 = b2 - 4a> 0∴ 解方程得 x = -b± b2 -4a 2a , (7 分) ∵ 关于 x 的方程 ax2 +bx+1 = 0(a、b 是常数,a>0)是“差 1 方程”,∴ -b+ b2 -4a 2a - -b- b 2 -4a 2a = 1,∴ b2 = a2 + 4a,∵ t= 10a-b2 ,∴ t= 6a-a2 = -(a-3) 2 +9,∵ a>0,∴ a= 3 时,t 的最大值为 9. (10 分) 21. 解:(1)24. 6 (2 分) (2)(5m-118) (4 分) (3)设需要售出 x 辆汽车,由题意可知,每辆汽车的销 售利润为:25. 6-[25- 0. 2( x- 1)] = ( 0. 2x+ 0. 4) (万 元), (6 分) 当 0≤x≤10,根据题意,得 x·(0. 2x+0. 4)+0. 6x= 16. 8, 整理,得 x2 +5x-84 = 0,解这个方程,得 x1 = -12(不合题 意,舍去),x2 = 7, (8 分) 当 x>10 时,根据题意,得 x·(0. 2x+0. 4)+1. 2x= 16. 8, 整理,得 x2 +8x-84 = 0,解这个方程,得 x1 = -14(不合题 意,舍去),x2 = 6,因为 6<10,所以 x2 = 6 舍去. 故需要售 出 7 辆汽车. (10 分) 22. 解:(1)由题知,BC∥DE∴ △ABC∽△ADE. ∴ AB AD = BC DE , 又 BC= 1. 6m,BD= 10m,DE= 2. 0m,∴ AB AB+10 = 1. 6 2. 0 解得 AB= 40. 答:河流的宽度 AB 为 40m. (5 分) (2)相似三角形的对应边成比例(答案不唯一) (6 分) (3)在河对岸找一个参照物 A,站在 A 的 正对面 B 的位置,沿着河岸向东走一段 距离,到达 C 处,在 C 处竖立一竹竿,然 后继续向东行走到 D 处,使得 CD = BC, 再沿着与河岸垂直的位置行走,当走到 与 A、C 共线时停下,位置记为 E,这时 DE 的长度即表示河流的宽度. (答案不唯一) . (10 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 8 页 23. 解:(1)①2 (2 分) ②2 (4 分) 【解析】①当 α= 0°时,AE BD = AC BC = 2,②当 α = 180°时,如 图 1 所示:AE′ BD′ = AC BC = 2. 图 1 　 图 2 　 图 3 (2)旋转过程中,AE BD 的大小无变化, (5 分) ∵ ∠ACE + ∠BCE = ∠BCE + ∠BCD = 90°, ∴ ∠ACE = ∠BCD. AC BC =CE CD ∴ △ACE∽△BCD, (6 分) ∴ AE BD = AC BC = 2, (8 分) 故当 0°≤α<360°时,AE BD 的大小无变化; (9 分) (3)线段 AD 的长为 10 或 6. (11 分) 【解析】当△CED 旋转到如图 2 位置 A,D,C 三点共线 时(BC 右侧),由题意得:AB = 82 +42 = 4 5,由 AC BC = AB BD′ = 2, 得 BD′ = 2 5, 由 勾 股 定 理 得: CD′ = (2 5) 2 -42 = 2,AD′=AC+CD′= 8+2 = 10;当△CED 旋 转到如图 3 位置 A,D,C 三点共线时(BC 左侧),此时, BC=CE=CE′= 4,DE 是△ABC 的中位线,∴ ED =D′E′= 1 2 AB= 2 5,由勾股定理得:CD′= (2 5) 2 -42 = 2,AD′ =AC-CD′= 8-2 = 6,故线段 AD 的长为 10 或 6. 第 24 章追梦阶段测试卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A B D B B B C C B 1. C　 2. A　 3. B　 4. D 5. B　 【解析】∵ 在 Rt△ABC 中,CD 是斜边上的中线,∴ CD =AD = 1 2 AB, ∴ ∠DCA = ∠A = 25°, ∴ ∠CDE = ∠A + ∠DCA = 50°. ∵ CE 是斜边上的高线, ∴ CE ⊥ AB, ∴ ∠CED= 90°,∴ ∠DCE= 90°-50° = 40°,故选 B. 6. B　 【解析】过点 P 作 PD⊥OB 于点 D,∵ PM =PN,MN = 2cm,∴ MD = ND = 1cm. ∵ PD⊥OB,∴ ∠PDO = 90°. ∵ ∠POB= 60°,∴ ∠OPD= 30°,∴ OD = 1 2 OP. ∵ OP = 8cm, ∴ OD= 4cm,∴ OM=OD-MD= 3cm,故选 B. 7. B　 8. C 9. C　 【解析】(1) sin(- 30°)= -sin30° = - 1 2 ,故正确;(2) cos2x= cos(x+x) = cosxcosx-sinxsinx = cos2x-sin2x,故正 确;(3)cos(x-y)= cos[ x+(-y)] = cosxcos(-y) -sinxsin (-y)= cosxcosy+sinxsiny,故正确;(4) cos15° = cos(45° - 30°)= cos45° cos30° + sin45° sin30° = 2 2 × 3 2 + 2 2 × 1 2 = 6 + 2 4 ,故错误. 所以正确的结论有 3 个,故选 C. 10. B　 【解析】连结 AD,作 EF⊥BC 于点 F,∵ AB = AC, ∠BAC = 120°,D 为 BC 的中点,∴ AD⊥BC,AD 平分 ∠BAC,∠B = ∠C = 30°. 在 Rt △ABD 中,BD = 1 2 BC = 3,∠B= 30°,∴ AB = BD cos30° = 2. ∴ AD = 1 2 AB = 1. ∵ AE = 1 4 AB,∴ BE AB = 3 4 . ∵ EF⊥BC,AD⊥BC,∴ EF∥AD,∴ △BEF∽△BAD,∴ EF AD = BE AB ,∴ EF 1 = 3 4 ,∴ EF = 3 4 ,∴ S△BDE = 1 2 ×BD×EF= 1 2 × 3 × 3 4 = 3 3 8 ,故选 B. 11. 3+ 2 12. 75°　 【解析】∵ | sinA- 3 2 | +(1-tanB) 2 = 0,∴ sinA- 3 2 = 0,1-tanB = 0,∴ sinA = 3 2 ,tanB = 1,∴ ∠A = 60°,∠B = 45°,∴ ∠C= 180°-∠A-∠B= 75°. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 【解题技巧】根据 | sinA- 3 2 | +(1-tanB) 2 = 0,得到 sinA = 3 2 ,tanB= 1,推出∠A = 60°,∠B = 45°,再根据三角形内 角和求出∠C 的度数. 13. 70　 14. 8 15. 2 2 　 【解析】连接 AB,∵ OA2 = 12 +32 = 10,AB2 = 12 +32 = 10,OB2 = 22 + 42 = 20,∴ OA2 + AB2 = OB2,OA = AB,∴ △AOB 是等腰直角三角形,即∠OAB = 90°,∴ ∠AOB = 45°,∴ cos∠AOB= cos45° = 2 2 . 16. 解:(1)原式= 2× 1 2 +3× 1 2 -4×1 (1 分) = 1+ 3 2 -4 = - 3 2 ; (3 分) (2)原式= ( 3 2 ) 2 1+ 1 2 +( 3 ) 2 (4 分) = 7 2 . (6 分) 17. 解:(1)∵ 2sin(A+13°)= 1,∴ sin(A+13°)= 1 2 , (1 分) ∴ A+13° = 30°, (2 分) ∴ A= 17°,∴ 锐角 A 的度数为 17°; (4 分) (2)∵ 3tanα- 3 = 0,∴ tanα= 3 3 , (6 分) ∴ α= 30°,∴ 锐角 α 的度数为 30°. (8 分) 18. 证明:在△ABC 中,∵ AB=AC,∠BAC= 120°, ∴ ∠B= ∠C= 30°. (3 分) 又∵ AD⊥AC,∴ ∠DAC= 90°. (6 分) ∴ CD= 2AD. (9 分) 19. 证明:∵ OG 平分∠MON,∴ ∠MOG= ∠NOG. (2 分) ∵ AB⊥OG 于点 B,∴ ∠ABO= 90°. (4 分) ∵ C 为线段 OA 中点,∴ BC= 1 2 AO=CO, (6 分) ∴ ∠MOG= ∠CBO,∴ ∠NOG= ∠CBO, (8 分) ∴ BC∥ON. (10 分) 20. 解:由题意可知:∠BAC = ∠EDF = 90°,∠BCA = ∠EFD. ∴ △ABC∽△DEF. (4 分) ∴ AB DE = AC DF ,即 80 DE = 60 900 ,∴ DE= 1200cm = 12m. (8 分) 所以学校旗杆的高度是 12m. (9 分) 21. 解:∵ 60km / h = 50 3 m / s,一辆以 60km / h 匀速行驶的汽车 经过公路段的时间是 3s,则 BC= = 50 3 ×3 = 50m, (4 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 9 页