上册第23章 图形的相似 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（华东师大版）

第 23 章追梦综合演练卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 若 a 5 = b 8 ,则b -a a 等于(　 　 ) A. 3 5 B. 5 3 C. 8 5 D. 5 8 2. 如图,直线 a∥b∥c,分别交直线 m,n 于点 A,B,C,D,E,F,若 AB = 2,BC= 4,DE= 3,则 EF 的长是(　 　 ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 第 2 题图 　 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,点 D,E 分别在△ABC 的边 AB,AC 上,且 DE∥BC,若 AD= 2,DB= 3,AC= 10,则 AE 等于(　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知△ABC∽△DEF,△ABC 与△DEF 面积之比为 1 ∶4. 若 BC = 1,则 EF 的长是(　 　 ) A. 2 B. 2 C. 4 D. 16 5. 生产劳动情境·加工零件 如图,有一块形状为直角三角形的斜 板余料 ABC. 已知∠A = 90°,AB = 6cm,AC = 8cm,要把它加工成 一个形状为▱DEFG 的工件,使 GF 在 BC 上,D,E 两点分别在 AB,AC 上,且 DE= 5cm,则▱DEFG 的面积为(　 　 ) A. 24cm2 B. 12cm2 C. 9cm2 D. 6cm2 第 5 题图 　 第 6 题图 　 第 7 题图 6. 如图,△ABC 以点 O 为旋转中心,旋转 180°后得到△A′B′C′. ED 是△ABC 的中位线,经旋转后为线段 E′D′. 已知 E′D′= 2,则 BC 的值是(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 7. 如图,在△ABC 中,AB = AC = 8,BC = 10,点 D,E,F 分别是 AB, AC,BC 的中点,则四边形 BDEF 的周长为　 　 ) A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 8. 若两个相似多边形的面积之比为 4 ∶9,则这两个多边形的周长 之比为(　 　 ) A. 2 ∶ 3 B. 2 ∶3 C. 4 ∶9 D. 16 ∶81 9. 如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 DA 的延长线上,且 AE = 1 3 AD,连结 CE 交 BD 于点 F,交 AB 于点 G,则 S△BGC ∶S四边形ADCG 的值是(　 　 ) A. 3 5 B. 5 3 C. 5 7 D. 3 4 10. 如图,在平面直角坐标系中,已知点 O( 0,0),A( 0,2),B( 1, 0),点 P 是反比例函数 y = - 1 x 图象上的一个动点,过点 P 作 PQ⊥x 轴,垂足为 Q. 若以点 O、P、Q 为顶点的三角形与△OAB 相似,则相应的点 P 共有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,CD 是 AB 边上的高,已知 AB= 25,BC= 15,则 BD= 　 　 　 　 . 第 11 题图 　 　 第 12 题图 　 　 第 13 题图 12. 如图,P 是▱ABCD 的边 AD 上一点,E、F 分别是 PB、PC 的中 点,若▱ABCD 的面积为 16cm2,则△PEF 的面积(阴影部分) 是　 　 　 　 cm2 . 13. 如图,菱形 ABCD 的周长为 12,∠DAB= 60°,对角线 AC 上有两 点 E 和 F(点 E 在点 F 的左侧),且要使四边形 DEBF 与菱形 ABCD 相似,则 AE 的长为　 　 　 　 . 14. 如图,正方形 ABCD 和正方形 EFCG 的边长分别为 6 和 2,点 F,G 分别在边 BC,CD 上,P 为 AE 的中点,连结 PG,则 PG 的长 为　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 第 15 题图 15. 如图,已知 A1(1,0)、A2(1,1)、A3( - 1,1)、A4( - 1,- 1)、A5(2, -1)…则点 A2 024 的坐标为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)如图,E 是矩形 ABCD 的边 CB 上的一点,AF⊥DE 于点 F,AB= 3,AD= 2,CE= 1. 求 DF 的长度. 17. (9 分)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正 方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC 的顶点均在格点上,点 B 的坐标为(1,0) . (1)在图 1 中画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1,直接写出 点 C 的对应点 C1 的坐标; (2)在图 2 中,以点 O 为位似中心,将△ABC 放大,使放大后的 △A2B2C2 与△ABC 的对应边的比为 2 ∶1(画出一种即可) . 直接 写出点 C 的对应点 C2 的坐标. 图 1 　 　 　 　 图 2 ·31· 18. (9 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,点 P 在 BC 上. (1)求作△PCD,使点 D 在 AC 上,且△PCD∽△ABP;(要求:尺 规作图,保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)的条件下,若∠APC= 2∠ABC. 求证:PD∥AB. 19. 学习生活情境·测量高度 (9 分)国际会议中心作为首届金熊猫 奖举办地,位于天府总部商务核心区,是全球首例公园城市发 展综合体,同时是亚洲最大的单体木制结构建筑,可同时容纳 9 000 人参会. 小明利用硬纸板自制 Rt△CEF 测量国际会议中 心 AG 的高度,他们通过调整位置,使斜边 CF 与点 B 在同一直 线上(如图所示),另一条直角边 CE 与会议中心顶点 A 在同一 直线上,目测点到地面的距离 CD = 2 米,到会议中心的水平距 离 BC= 32 米. 已知 CE= 0. 8 米,CF= 1 米,求会议中心 AG 的高 度. 图 1 　 　 　 　 图 2 20. (10 分)如图,点 D 是△ABC 边 BC 上一点,连结 AD,过 AD 上 点 E 作 EF∥BD,交 AB 于点 F,过点 F 作 FG∥AC 交 BC 于点 G, 已知 AE ED = 3 2 ,BG= 4. (1)求 CG 的长; (2)若 CD= 2,在上述条件和结论下,求 EF 的长. 21. (10 分)如图,将矩形 ABCD 沿 CM 折叠,使点 D 落在 AB 边上 的点 E 处. (1)求证:△AEM∽△BCE; (2)若 AB= 10,BC= 8,求四边形 ABCM 的面积. 22. (10 分)如图所示,过△ABC 的顶点 C 作任一直线与边 AB 及 中线 AD 分别交于点 F 和 E,过点 D 作 DM∥FC 交 AB 于点 M. (1)若 S△AEF ∶S四边形MDEF = 2 ∶3,求 AE ∶ED; (2)求证:AE·FB= 2AF·ED. 23. 跨学科试题·物理 (10 分)图 1 是凸透镜成像示意图,蜡烛 AC 发出的光线 CE 平行于直线 AB,经凸透镜 MN 折射后,过焦点 F,并与过凸透镜中心 O 的光线 CO 交于点 D,从而得到像 BD. 其中,物距 AO=u,像距 BO = v,焦距 OF = f,四边形 AOEC 是矩 形,DB⊥AB,MN⊥AB. (1)如图 2,当蜡烛 AC 在离凸透镜中心一倍焦距处时,即 u= f, 请用所学的数学知识说明此时“不成像”; (2)若蜡烛 AC 的长为 5cm,物距 u = 15cm,焦距 f = 10cm,求像 距 v 和像 BD 的长. 　 　 　 　 ·41· CP,∴ ∠C= ∠PAC, (5 分) ∵ AB=AC,∴ ∠B= ∠C,∴ ∠B= ∠C= ∠PAC, (7 分) ∴ △ABC∽△PAC. (8 分) 18. 证明:取 BC 中点 G,连结 EG、FG, (1 分) ∵ E,G 为 AB、BC 中点,∴ EG= 1 2 AC,EG∥AC, (3 分) ∴ ∠FEG= ∠OQP,同理,FG= 1 2 BD,FG∥BD, ∴ ∠EFG= ∠OPQ. (5 分) ∵ AC=BD,∴ EG=FG,∴ ∠FEG= ∠EFG, ∴ ∠OPQ= ∠OQP,∴ OP=OQ. (8 分) 19. 解:(1)如图所示:△A1B1C1 即为所求; (4 分) (2)如图所示:△A2B2C2 即为所求, (7 分) △A2B2C2 的面积为:4×6- 1 2 ×2×6- 1 2 ×2×4- 1 2 ×2×4 = 10. (10 分) 20. ( 1 ) 证明: ∵ AE 平分 ∠BAC, BE ⊥ AE, ∴ ∠BAE = ∠DAE,∠AEB = ∠AED = 90°. ∵ AE = AE, ∴ △AEB≌ △AED, (2 分) ∴ BE=ED,AD=AB. (3 分) ∵ BF=FC,∴ EF= 1 2 CD= 1 2 (AC-AD)= 1 2 (AC-AB) . (5 分) (2)解:分别延长 BE、AC 交于点 H, (6 分) 在△AEB 和△AEH 中, ∠BAE= ∠HAE AE=AE ∠AEB= ∠AEH= 90° { ,∴ △AEB ≌△AEH. ∴ BE=EH,AH=AB= 9. (8 分) ∵ BE=EH,BF=FC,∴ EF= 1 2 CH= 1 2 (AH-AC)= 2. (10 分) 21. (1) 证明: ∵ NM⊥BC,NP⊥MN,PQ⊥BC, ∴ 四边形 PQMN 为矩形, (1 分) ∵ 四边形 P′Q′M′N′是正方形,∴ PN∥P′N′,∴ P′N′ PN = BN′ BN . ∵ MN∥M′N′,∴ M′N′ MN = BN′ BN ,∴ P′N′ PN = M′N′ MN ,而 P′ N′=M′N′,∴ PN=MN, (3 分) ∴ 四边形 PQMN 为正方形; (4 分) (2)解:作 AD⊥BC 于点 D,AD 交 PN 于点 E,∵ △ABC 的面积= 1. 5,∠BAC = 90°,∴ 1 2 AB·AC = 1. 5,∴ AB = 2,∴ BC= 22 +1. 52 = 2. 5,∵ 1 2 BC·AD = 1. 5,∴ AD = 2×1. 5 2. 5 = 6 5 , (6 分) 设 PN = x,则 PQ = DE = x,AE = 6 5 - x, ∵ PN∥BC, ∴ △APN∽△ABC,∴ AE AD =PN BC ,即 6 5 -x 6 5 = x 2. 5 , (8 分) 解得 x= 30 37 ,即 PN 的长为30 37 m. (10 分) 22. 解:(1)点 B1 的坐标为(- 3 3 2 ,- 3 2 ) . (2 分) (2)过 A1 作 A1P⊥x 轴交于点 P,∴ A1P∥y 轴. 由题意可 知,∠AOA1 = 30°,∴ ∠A1OP = 60°. ∵ A( 0,2),∴ OA = OA1 = 2,∴ 在 Rt△A1OP 中,OP= 1 2 OA1 = 1,A1P = 3 ,∴ A1(-1, 3 ) . (5 分) ∵ A1P∥y 轴,∴ △CDO∽△CA1P. ∴ CO CP = DO A1P . (7 分) ∵ C(2,0),∴ 2 2+1 = DO 3 ,解得 DO = 2 3 3 ,∴ D( 0, 2 3 3 ) . (10 分) 23. 解:(1)∵ ∠ABC= 90°,FG⊥BC,∴ AB∥FG,∴ △CFG∽ △CAB, (2 分) 且对应点连线相交于点 C,即△ABC 与△FGC 是位似图 形,位似中心是点 C. (4 分) ∵ 在矩形 ABCD 中,AO=OB=DO=OC,又∵ OE⊥BC,∴ BE=EC,∴ F 为△BDC 的重心, (6 分) ∴ CF= 2 3 OC = 1 3 AC. ∴ AC CF = 3 1 . 即△ABC 和△FGC 的 相似比是 3 ∶1. (8 分) (2)CI ∶BC 的值为 1 4 . (11 分) 第 23 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B B B B C B B A D 1. A 2. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【概念回顾】两条直线被一组平行线所截,所得的对应线 段成比例. 3. B 4. B　 【解析】△ABC 与△DEF 面积比为 1 ∶4,∴ BC ∶EF= 1 ∶ 2,∵ BC= 1,∴ EF= 2. 故选 B. 5. B　 【解析】过点 A 作 AH⊥BC,垂足为 H,交 DE 于点 M, ∵ ∠A= 90°,AB = 6cm,AC = 8cm,∴ BC = AB2 +AC2 = 10 (cm),AH= 6×8÷10 = 4. 8(cm) . ∵ 四边形 DEFG 是平行 四边形,∴ DE∥BC,∴ △ADE∽△ABC,∴ DE BC = AM AH ,∴ AM = 2. 4cm,MH= 4. 8- 2. 4 = 2. 4( cm) . ∴ ▱DEFG 面积为 DE×MH= 5×2. 4 = 12(cm2) . 故选 B. 6. C　 7. B　 8. B 9. A　 【解析】∵ AE= 1 3 AD,∴ AE= 1 4 ED,由题意知 AE = 1 3 AD= 1 3 BC,△EAG∽△EDC∽△CBG,∴ S△EAG ∶S△BGC = 1 ∶ 9,S△EAG ∶S△EDC = 1 ∶16,∴ S△BGC ∶S四边形ADCG = 9 ∶(16-1)= 9 ∶ 15 = 3 5 . 故选 A. 10. D　 【解析】∵ 点 P 在反比例函数 y = - 1 x 的图象上,∴ 设点 P( x,y),当△PQO∽△AOB 时,则PQ AO = OQ BO ,又∵ PQ= y,OQ= -x,OA= 2,OB = 1,即 y 2 = -x 1 ,即 y = -2x. ∵ xy= -1,∴ - 2x2 = -1,∴ x = ± 2 2 ,∴ 点 P( 2 2 ,- 2 ),或 (- 2 2 , 2);同理,当△PQO∽△BOA 时,P(- 2, 2 2 )或 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 6 页 ( 2,- 2 2 ) . 综上,相应的点 P 共有 4 个. 故选 D. 11. 9 12. 2 　 【解析 】 ∵ ▱ABCD 的 面 积 为 16cm2, ∴ S△PBC = 1 2 S▱ABCD = 8. ∵ E、F 分别是 PB、PC 的中点,∴ EF∥ BC,且 EF= 1 2 BC,∴ △PEF∽△PBC,∴ S△PEF S△PBC = (EF BC ) 2, 即 S△PEF 8 = 1 4 ,∴ S△PEF = 2. 13. 3 　 【解析】连结 BD 交 AC 于点 O,∵ 四边形 ABCD 是 菱形,周长为 12,∴ AB = BC = CD = AD = 3,BD⊥AC. ∵ ∠DAB= 60°,∴ ∠DAO= 1 2 ∠DAB= 30°,∴ OD = 1 2 AD = 3 2 ,AO= 3OD= 3 3 2 . ∵ 四边形 DEBF 与菱形 ABCD 相 似,∴ ∠EDF= ∠DAB= 60°,∠EDO= 1 2 ∠EDF = 30°,∴ OE= 3 3 OD= 3 2 ,∴ AE=OA-OE= 3 3 2 - 3 2 = 3 . 14. 2 5 　 【解析】延长 GE 交 AB 于点 O,作 PH⊥OE 于点 H,则 PH∥AB,∵ P 是 AE 中点,∴ PH OA =PE AE = 1 2 . ∴ PH = 1 2 OA= 1 2 ×(6-2)= 2. ∵ ∠OAE= 45°,OA=OE = 4,同理 HE = PH = 2,∴ HG = HE+EG = 4,∴ PG = PH2 +HG2 = 2 5 . 15. (-506,- 506) 　 【解析】由图形以及叙述可知各个点 (除 A1 点外)都位于象限的角平分线上,第一象限数满 足 4n-2,第二象限数满足 4n- 1,第三象限数满足 4n, 第四象限数满足 4n+1,2 024 = 4×506,故点 A2024 在第三 象限,所以点 A2 024 坐标为(-506,-506) . 16. 解:在矩形 ABCD 中, ∵ CD = AB = 3,CE = 1, ∴ DE = CE2 +CD2 = 10 . ∵ AF ⊥ DE, ∴ ∠DFA = ∠DCE = 90°,∴ ∠DAF+∠ADF = 90°. ∵ ∠ADF+∠EDC = 90°,∴ ∠DAF= ∠EDC,∴ △DAF∽△EDC, (4 分) ∴ DF CE = AD DE ,∵ CE = 1,∴ DF 1 = 2 10 ,∴ DF = 10 5 ,∴ DF 的长度为 10 5 . (8 分) 17. (1)如图 1 所示, (3 分) C1(-3,1) (4 分) (2)如图 2 所示, (8 分) C2 (-6,-2)(答案不唯一) (9 分) 18. (1)解:如图: (4 分) (2)证明:∵ ∠APC = 2∠ABC,∠APC = ∠ABC+∠BAP, ∴ ∠ABC= ∠BAP. (7 分) ∵ △PCD∽△ABP,∴ ∠DPC= ∠BAP, ∴ ∠ABC= ∠DPC,∴ PD∥AB. (9 分) 19. 解:由题意,得 CD = BG = 2 米,∠CEF = ∠ABC = 90°,∵ ∠ACB= ∠ECF,∴ △CEF∽△CBA, (3 分) ∴ CE CB =CF CA ,∴ 0. 8 32 = 1 CA ,解得 AC= 40, (6 分) ∴ AB= AC2 -BC2 = 24(米),∴ AG =AB+BG = 24+2 = 26 (米),∴ 会议中心 AG 的高度为 26 米. (9 分) 20. 解:(1) ∵ EF∥BD,∴ AF FB = AE ED = 3 2 ,∵ FG∥AC,∴ BG CG = BF AF = 2 3 , (2 分) ∵ BG= 4,∴ CG= 6. (4 分) (2)∵ CD= 2,CG= 6,∴ DG=CG-CD= 4, (6 分) ∵ BG= 4,∴ BD=BG+DG= 8,∵ AF BF = 3 2 ,∴ AF AB = 3 5 , (8 分) ∵ EF∥BD,∴ EF BD =AF AB ,∴ EF 8 = 3 5 ,∴ EF= 24 5 . (10 分) 21. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ ∠A = ∠B = ∠D = 90°. (1 分) 由题意得: ∠CEM = ∠D = 90°, ∴ ∠AME + ∠AEM = ∠AEM+∠BEC,∴ ∠AME= ∠BEC,∴ △AEM∽△BCE. (4 分) (2)解:∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ CD = AB = 10. 由题意 得:CE=CD = 10. 由勾股定理得:BE2 = CE2 -BC2 ,而 BC = 8,∴ BE= 6,AE= 10-6 = 4. (6 分) 由题意得:ME = MD(设为 λ),则 AM = 8-λ. 由勾股定 理:λ2 = 42 +(8-λ) 2 ,解得 λ= 5, (8 分) ∴ S四边形ABCM =S矩形ABCD-S△CDM = 10×8- 1 2 ×10×5 = 55. 即四 边形 ABCM 的面积= 55. (10 分) 22. (1)解:∵ EF∥DM,∴ △AEF∽△ADM, (2 分) ∵ S△AEF ∶S四边形MDEF = 2 ∶3,∴ AE AD = 2 2+3 = 2 5 , (3 分) ∴ AE ED = 2 5 - 2 = 10 +2 3 . (5 分) (2)证明:∵ DC=DB,DM∥CF,∴ FM=MB= 1 2 FB, (6 分) ∴ AE ∶ED=AF ∶FM,即 AE ∶ED=AF ∶ 1 2 FB, (8 分) ∴ AE ∶ED= 2AF ∶FB,∴ AE·FB= 2AF·ED. (10 分) 23. 解:( 1) ∵ 四边形 AOEC 是矩形,∴ AC = EO,∠CAO = ∠AOE = 90°,∴ ∠EOF = 180°-∠AOE = 90°,∴ ∠CAO = ∠EOF= 90°,∵ AO =OF,∴ △CAO≌△EOF( S. A. S. ), ∴ ∠COA= ∠EFO,∴ CO∥EF,∴ CO 与 EF 没有交点,∴ 此时“不成像”; (4 分) (2)∵ CA⊥AB,DB⊥AB,MN⊥AB,∴ ∠CAO = ∠DBO = ∠EOF= 90°,∵ ∠COA = ∠BOD,∴ △CAO∽△DBO,∴ CA AO =DB BO ,∴ 5 15 =DB BO ,∴ BO= 3BD, (7 分) ∵ ∠EFO= ∠DFB,∴ △EFO∽△DFB,∴ EO OF =BD BF ,∴ 5 10 = BD OB-10 ,∴ 5 10 = BD 3BD-10 ,解得 BD= 10, (9 分) ∴ BO= 3BD= 30(cm),∴ 像距 v 为 30cm,像 BD 的长为 10cm. (10 分) 追梦期中达标测试卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D B A C D B C A B 1. A　 2. D 3. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【易错提醒】成比例线段 a、b、c、d 是有顺序的,不能随便 更改位置. 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 7 页