上册第23章 图形的相似 追梦阶段测试卷(二)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（华东师大版）

第 23 章追梦阶段测试卷(二) 中位线、位似图形和图形与坐标 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 如图,M、N 分别是△ABC 的边 AB、AC 的中点,若∠A = 65°, ∠ANM= 45°,则∠B= (　 　 ) A. 20° B. 45° C. 65° D. 70° 第 1 题图 　 　 第 2 题图 　 　 第 3 题图 2. 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD = 1 2 BC,CD = BC,点 E,F 分别是 BD,CD 的中点,连结 AE,EF,AF,若 BC = 2,AF = 8 5 ,则 BD= (　 　 ) A. 3 5 B. 9 5 C. 12 5 D. 3 3. 军事活动情境·确定位置 如图所示,某战役中缴获的敌人防御 工事坐标地图碎片,依稀可见,一号暗堡的坐标为(4,2),四号 暗堡的坐标为( -2,4),原有情报得知:敌军指挥部的坐标为(0, 0),你认为敌军指挥部的位置大约是(　 　 ) A. A 处 B. B 处 C. C 处 D. D 处 4. 日常生活情境·测量距离 如图,为了测量池塘边 A、B 两地之间 的距离,在线段 AB 的同侧取一点 C,连结 CA 并延长至点 D,连 结 CB 并延长至点 E,使得 A、B 分别是 CD、CE 的中点,若 DE = 18m,则线段 AB 的长度是(　 　 ) A. 12m B. 10m C. 9m D. 8m 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 5. 如图,△ABC 和△A1B1C1 为位似图形,点 O 是它们的位似中心, 点 A 为线段 OA1 的中点,若 S△ABC = 2,则 S△A1B1C1 = (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 如图,△ABC 是△DEF 以点 O 为位似中心经过位似变换得到的,若 △ABC 与△DEF 的周长之比为 2 ∶3,则 OA 与 OD 之比为(　 　 ) A. 2 ∶3 B. 3 ∶2 C. 2 ∶5 D. 3 ∶5 7. 如图,△ABC 与△A′B′C′是以点 O 为位似中心的位似图形,若 AB ∶A′B′= 1 ∶2,则△AOC 与△A′OC′的面积之比为(　 　 ) A. 1 ∶ 2 B. 1 ∶2 C. 1 ∶3 D. 1 ∶4 第 7 题图 　 　 第 8 题图 　 　 第 9 题图 8. 如图,在平面直角坐标系中,等边三角形 OAB 的边长为 4,点 A 在第二象限内,将△OAB 沿射线 AO 平移后得到△O′A′B′,平移 后点 A′的横坐标为 6 3 ,则点 B′的坐标为(　 　 ) A. (8 3 ,-4 3 ) B. (8,-4 3 ) C. (8 3 ,-4) D. (8,-4) 9. 如图,三角形 OAB 的边 OB 在 x 轴的正半轴上,点 O 是原点,点 B 的坐标为(3,0),把三角形 OAB 沿 x 轴向右平移 2 个单位长 度,得到三角形 CDE,连结 AC,DB,若三角形 DBE 的面积为 3, 则图中阴影部分的面积为(　 　 ) A. 1 2 B. 1 C. 2 D. 3 2 10. 学习生活情境·探究规律 如图,在平面直角坐标系中,有若干 个整数点,其顺序按图中方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1), (3,2),(3,1),(3,0),……,根据这个规律探索可得,第 120 个 点的坐标为(　 　 ) A. (16,0) B. (15,14) C. (15,0) D. (14,13) 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 一个周长为 16cm 的三角形,由它的三条中位线构成的新三角 形的周长为　 　 　 　 cm. 12. 一个长 4cm、宽 2cm 的长方形按 4 ∶1放大,得到的新的图形的 面积是　 　 　 　 cm2,是原图形面积的　 　 　 　 倍. 13. 在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是(-2,1),以原点 O 为位似中 心,把线段 OA 放大为原来的 2 倍,点 A 的对应点为 A′. 若点 A′恰 在某一反比例函数图象上,则该反比例函数解析式为　 　 　 　 . 14. 如图,点 A 的坐标为(1,3),点 B 在 x 轴上,把△OAB 沿 x 轴向 右平移到△ECD,若四边形 ABDC 的面积为 9,则点 C 的坐标为 　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 　 　 第 15 题图 15. 如图,在四边形 BCDE 中,BC⊥CD,DE⊥CD,AB⊥ AE,垂足分别为 C,D,A,BC≠AC,点 M,N,F 分别为 AB,AE,BE 的中点,连结 MN,MF,NF. 当 BC= 4,DE= 5,∠FMN = 45°时,则 BE 的长为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. 中考新考法·新情境 (8 分)国庆假期期间,笑笑所在的学习小 组组织了到方特梦幻王国的游园活动,笑笑和乐乐对着景区示 意图(如图所示) 讨论景点位置:(图中小正方形边长代表 100m) 笑笑说:“西游传说坐标(300,300) . ” 乐乐说:“华夏五千年坐标( -100,-400) . ” 若他们二人所说的位置都正确, (1)在图中建立适当的平面直角坐标系 xOy; (2)用坐标描述其他地点的位置. ·11· 17. (8 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,请你利用尺规在 BC 边上求 一点 P,使△ABC∽△PAC(不写画法保留作图痕迹),并求证 △ABC∽△PAC. 18. (8 分)已知:如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC =BD,E,F 为 AB、CD 中点,连结 EF 交 BD、AC 于点 P、Q,求证:OP=OQ. 19. (10 分)如图,在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格 中,按要求画出△A1B1C1 和△A2B2C2 . (1)先作△ABC 关于直线 l 成轴对称的图形,再向上平移 1 个 单位,得到△A1B1C1; (2)以图中的 O 为位似中心,将△A1B1C1 作位似变换,且放大 到原来的两倍,得到△A2B2C2,并求出△A2B2C2 的面积. 20. (10 分)在△ABC 中,AE 平分∠BAC,BE⊥AE 于点 E,点 F 是 BC 的中点. 图 1 　 　 　 　 　 　 图 2 (1)如图 1,BE 的延长线与 AC 边相交于点 D,求证:EF= 1 2 (AC -AB); (2)如图 2,在△ABC 中,AB= 9,AC= 5,求线段 EF 的长. 21. (10 分)如图,在△ABC 中,P′是边 AB 上一点,四边形 P′Q′M′ N′是正方形,点 Q′,M′在边 BC 上,点 N′在△ABC 内. 连结 BN′, 并延长交 AC 于点 N,NM⊥BC 于点 M,NP⊥MN 交 AB 于点 P, PQ⊥BC 于点 Q. (1)求证:四边形 PQMN 为正方形; (2) 若∠A = 90°,AC = 1. 5m, △ABC 的面积 = 1. 5m2 . 求 PN 的长. 　 　 　 备用图 22. (10 分)如图所示,在平面直角坐标系中 A(0,2),点 B( -3,0) . △AOB 绕点 O 逆时针旋转 30°得到△A1OB1 . (1)直接写出点 B1 的坐标; (2)点 C(2,0),连结 CA1 交 OA 于点 D,求点 D 的坐标. 23. (11 分)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O. (1)过点 O 作 OE⊥BC 于点 E,连结 DE 交 OC 于点 F,作 FG⊥ BC 于点 G,则△ABC 和△FGC 是位似图形吗? 若是,请写出位 似中心,并求出相似比;若不是,请说明理由. (2)连结 DG 交 OC 于点 H,作 HI⊥BC 于点 I,试确定 CI ∶BC 的 值. (直接写出结果) ·21· (2)解:存在, (5 分) 证明:过点 C 作∠ACD= ∠B 交 AB 于点 D,∵ ∠A= ∠A, ∴ △ACD∽△ABC, (8 分) ∴ AC AB =AD AC ,∴ AC2 =AB·AD. (10 分) 21. 解:(1)∵ EP⊥AB,CB⊥AB,∴ ∠EPA = ∠CBA = 90°,∵ ∠EAP= ∠CAB,∴ △EAP∽△CAB, (2 分) ∴ EP BC =AP AB ,∴ 1. 8 9 = 2 AB , (4 分) ∴ AB= 10m, BQ = 10-2-6. 5 = 1. 5(m),即小亮在路灯 D 下的影长为 1. 5m; (5 分) (2) ∵ FQ⊥AB,DA⊥AB, ∴ ∠FQB = ∠DAB = 90°, ∵ ∠FBQ= ∠DBA,∴ △BFQ∽△BDA, (7 分) ∴ FQ DA =BQ AB ,∴ 1. 8 DA = 1. 5 10 , (9 分) ∴ DA= 12m. (10 分) 22. (1)证明:∵ AC2 = 5,BC2 = 25,AB2 = 20,∴ BC2 = AB2 + AC2 . (2 分) ∴ △ABC 是直角三角形; (3 分) (2)解:△DEF 和△ABC 相似. (4 分) 理由如下:由勾股定理得:BC = 5,DE = 4 2 ,DF = 2 2 , EF= 2 10 ,AB= 2 5 ,AC= 5 , (5 分) ∴ AB DE = AC DF =BC EF = 10 4 , (6 分) ∴ △DEF∽△ABC. (7 分) ( 3 ) 解: 如 图, 连 结 P2P5 , P2P4 ,P4P5 , 由勾股定理得: AB = 2 5 , AC = 5 , BC = 5, P2P5 = 10 ,P2P4 = 2 ,P4P5 = 2 2 ,∴ P2P5 BC = P4P5 AB = P2P4 AC = 10 5 , (10 分) ∴ △ABC∽△P4P5P2 . (11 分) 23. 解:(1)观点一正确;观点二不正确. (2 分) 理由:①设原三角形为△ABC,新三角形为△DEF. 连结 并延长 AD,交 CF 的延长线于点 O,∵ △ABC 和△DEF 对应的边的距离都为 1,∴ AB∥DE,AC∥DF,∴ ∠FDO = ∠CAO, ∠ODE = ∠OAB, ∴ ∠FDO + ∠ODE = ∠CAO + ∠OAB, 即 ∠FDE = ∠CAB, 同理 ∠DEF = ∠ABC, ∴ △ABC∽△DEF,∴ 观点一正确; (4 分) ②由题意可知,原矩形的邻边为 6 和 10,则新矩形邻边 为 4 和 8,∵ 6 4 = 3 2 ,10 8 = 5 4 ,∴ 6 4 ≠10 8 ,∴ 新矩形与原 矩形不相似,∴ 观点二不正确. (6 分) (2)∵ AC= 6,BC= 8,AB= 10,∴ △ABC 是直角三角形, (7 分) ∴ ∠ACB = 90°. 由( 1) 知△ABC∽ △DEF, ∴ ∠DFE = 90°,AC DF =BC EF = AB DE = 10 15 ,∴ 6 DF = 2 3 , 8 EF = 2 3 ,∴ DF = 9, EF= 12, (9 分) ∴ S△DEF = 1 2 ×9×12 = 54. (11 分) 第 23 章追梦阶段测试卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C B C D A D C D C 1. D　 2. C　 3. B　 4. C 5. D　 【解析】∵ △ABC 和△A1B1C1 为位似图形,点 O 是它 们的位似中心,点 A 为线段 OA1 的中点,∴ S△ABC S△A1B1C1 = ( 1 2 ) 2 = 1 4 = 2 S△A1B1C1 ,∴ S△A1B1C1 = 8. 故选 D. 6. A　 【解析】∵ △ABC 是△DEF 以点 O 为位似中心经过 位似变换得到的,∴ AC∥FD,△ABC∽△DEF,∵ △ABC 与△DEF 的周长之比为 2 ∶ 3,∴ AC DF = 2 3 ,∵ AC∥FD,∴ △AOC∽△DOF,∴ OA OD = AC DF = 2 3 ,故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【方法点拨】位似图形上任意一对对应点到位似中心的 距离之比等于相似比. 7. D 8. C　 【解析】∵ 等边三角形 OAB 的边长为 4,点 A 在第二 象限内,∴ 点 A 坐标为(-2 3,2),B(0,4) . ∵ 平移后点 A′的横坐标为 6 3,∴ 平移规律为点 A 向右平移 8 3 个 单位,向下平移 8 个单位可得点 A′,∴ 点 B′的坐标为 (8 3,-4),故选 C. 9. D　 【解析】∵ 点 B 的坐标为(3,0),把三角形 OAB 沿 x 轴向右平移 2 个单位长度,∴ BE = 2,BC = 3 - 2 = 1,∵ S△DBE = 3,∴ △DBE 和△ACB 的高为 3,∴ 图中阴影部分 的面积为= 1×3× 1 2 = 3 2 . 故选 D. 10. C　 【解析】把第一个点(1,0)作为第一列,(2,1)和(2, 0)作为第二列,依此类推,则第一列有一个数,第二列 有 2 个数,…,第 n 列有 n 个数. 则 n 列共有n(n +1) 2 个 数,并且在奇数列点的顺序是由上到下,偶数列点的顺 序是由下到上. 因为n(n +1) 2 = 120,n= 15,则第 120 个数 在第 15 列,由下到上是第 1 个数. 因而第 120 个点的坐 标是(15,0) . 故选 C. 11. 8　 12. 128　 16 13. y= - 8 x 　 【解析】由题意得 A′坐标为:(- 4,2)或(4,- 2),∵ A′恰在某一反比例函数图象上,∴ 该反比例函数 解析式为:y= - 8 x . 14. (4,3)　 【解析】∵ 把△OAB 沿 x 轴向右平移到△ECD, ∴ 四边形 ABDC 是平行四边形,∴ AC =BD,A 和 C 的纵 坐标相同,∵ 四边形 ABDC 的面积为 9,点 A 的坐标为 (1,3),∴ 3AC= 9,∴ AC= 3,∴ C(4,3) . 15. 82 　 【解析】∵ 点 M,N,F 分别为 AB,AE,BE 的中点, ∴ MF,MN 都是△ABE 的中位线,∴ MF∥AE,MN∥BE, ∴ 四边形 EFMN 是平行四边形,∠AEB = ∠NMF = 45°, 又∵ AB⊥AE,∴ ∠ABE= 45°,∴ △ABE 是等腰直角三角 形,∴ AB=AE. ∵ BC⊥CD,DE⊥CD,又∵ ∠ABC+∠BAC = 90°,∠EAD+∠BAC = 90°,∴ ∠ABC = ∠EAD. ∵ ∠C = ∠D = 90°,∴ △ABC≌△EAD,∴ BC = AD = 4,CA = DE = 5,∴ Rt△ABC 中,AB = 42 +52 = 41,∴ 在等腰直角 三角形 ABE 中,BE= ( 41) 2 +( 41) 2 = 82 . 16. 解:(1)如图所示: (4 分) (2)太空飞梭 ( 0, 0), 秦岭历险 ( 0, 400), 魔幻城堡 (400,-200),南门(0,-500),丛林飞龙(-200,-100) . (8 分) 17. 解:如图所示:点 P 即为所求, (3 分) 证明:∵ MN 是 AC 的垂直平分线,交 BC 于点 P,∴ AP = 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 5 页 CP,∴ ∠C= ∠PAC, (5 分) ∵ AB=AC,∴ ∠B= ∠C,∴ ∠B= ∠C= ∠PAC, (7 分) ∴ △ABC∽△PAC. (8 分) 18. 证明:取 BC 中点 G,连结 EG、FG, (1 分) ∵ E,G 为 AB、BC 中点,∴ EG= 1 2 AC,EG∥AC, (3 分) ∴ ∠FEG= ∠OQP,同理,FG= 1 2 BD,FG∥BD, ∴ ∠EFG= ∠OPQ. (5 分) ∵ AC=BD,∴ EG=FG,∴ ∠FEG= ∠EFG, ∴ ∠OPQ= ∠OQP,∴ OP=OQ. (8 分) 19. 解:(1)如图所示:△A1B1C1 即为所求; (4 分) (2)如图所示:△A2B2C2 即为所求, (7 分) △A2B2C2 的面积为:4×6- 1 2 ×2×6- 1 2 ×2×4- 1 2 ×2×4 = 10. (10 分) 20. ( 1 ) 证明: ∵ AE 平分 ∠BAC, BE ⊥ AE, ∴ ∠BAE = ∠DAE,∠AEB = ∠AED = 90°. ∵ AE = AE, ∴ △AEB≌ △AED, (2 分) ∴ BE=ED,AD=AB. (3 分) ∵ BF=FC,∴ EF= 1 2 CD= 1 2 (AC-AD)= 1 2 (AC-AB) . (5 分) (2)解:分别延长 BE、AC 交于点 H, (6 分) 在△AEB 和△AEH 中, ∠BAE= ∠HAE AE=AE ∠AEB= ∠AEH= 90° { ,∴ △AEB ≌△AEH. ∴ BE=EH,AH=AB= 9. (8 分) ∵ BE=EH,BF=FC,∴ EF= 1 2 CH= 1 2 (AH-AC)= 2. (10 分) 21. (1) 证明: ∵ NM⊥BC,NP⊥MN,PQ⊥BC, ∴ 四边形 PQMN 为矩形, (1 分) ∵ 四边形 P′Q′M′N′是正方形,∴ PN∥P′N′,∴ P′N′ PN = BN′ BN . ∵ MN∥M′N′,∴ M′N′ MN = BN′ BN ,∴ P′N′ PN = M′N′ MN ,而 P′ N′=M′N′,∴ PN=MN, (3 分) ∴ 四边形 PQMN 为正方形; (4 分) (2)解:作 AD⊥BC 于点 D,AD 交 PN 于点 E,∵ △ABC 的面积= 1. 5,∠BAC = 90°,∴ 1 2 AB·AC = 1. 5,∴ AB = 2,∴ BC= 22 +1. 52 = 2. 5,∵ 1 2 BC·AD = 1. 5,∴ AD = 2×1. 5 2. 5 = 6 5 , (6 分) 设 PN = x,则 PQ = DE = x,AE = 6 5 - x, ∵ PN∥BC, ∴ △APN∽△ABC,∴ AE AD =PN BC ,即 6 5 -x 6 5 = x 2. 5 , (8 分) 解得 x= 30 37 ,即 PN 的长为30 37 m. (10 分) 22. 解:(1)点 B1 的坐标为(- 3 3 2 ,- 3 2 ) . (2 分) (2)过 A1 作 A1P⊥x 轴交于点 P,∴ A1P∥y 轴. 由题意可 知,∠AOA1 = 30°,∴ ∠A1OP = 60°. ∵ A( 0,2),∴ OA = OA1 = 2,∴ 在 Rt△A1OP 中,OP= 1 2 OA1 = 1,A1P = 3 ,∴ A1(-1, 3 ) . (5 分) ∵ A1P∥y 轴,∴ △CDO∽△CA1P. ∴ CO CP = DO A1P . (7 分) ∵ C(2,0),∴ 2 2+1 = DO 3 ,解得 DO = 2 3 3 ,∴ D( 0, 2 3 3 ) . (10 分) 23. 解:(1)∵ ∠ABC= 90°,FG⊥BC,∴ AB∥FG,∴ △CFG∽ △CAB, (2 分) 且对应点连线相交于点 C,即△ABC 与△FGC 是位似图 形,位似中心是点 C. (4 分) ∵ 在矩形 ABCD 中,AO=OB=DO=OC,又∵ OE⊥BC,∴ BE=EC,∴ F 为△BDC 的重心, (6 分) ∴ CF= 2 3 OC = 1 3 AC. ∴ AC CF = 3 1 . 即△ABC 和△FGC 的 相似比是 3 ∶1. (8 分) (2)CI ∶BC 的值为 1 4 . (11 分) 第 23 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B B B B C B B A D 1. A 2. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【概念回顾】两条直线被一组平行线所截,所得的对应线 段成比例. 3. B 4. B　 【解析】△ABC 与△DEF 面积比为 1 ∶4,∴ BC ∶EF= 1 ∶ 2,∵ BC= 1,∴ EF= 2. 故选 B. 5. B　 【解析】过点 A 作 AH⊥BC,垂足为 H,交 DE 于点 M, ∵ ∠A= 90°,AB = 6cm,AC = 8cm,∴ BC = AB2 +AC2 = 10 (cm),AH= 6×8÷10 = 4. 8(cm) . ∵ 四边形 DEFG 是平行 四边形,∴ DE∥BC,∴ △ADE∽△ABC,∴ DE BC = AM AH ,∴ AM = 2. 4cm,MH= 4. 8- 2. 4 = 2. 4( cm) . ∴ ▱DEFG 面积为 DE×MH= 5×2. 4 = 12(cm2) . 故选 B. 6. C　 7. B　 8. B 9. A　 【解析】∵ AE= 1 3 AD,∴ AE= 1 4 ED,由题意知 AE = 1 3 AD= 1 3 BC,△EAG∽△EDC∽△CBG,∴ S△EAG ∶S△BGC = 1 ∶ 9,S△EAG ∶S△EDC = 1 ∶16,∴ S△BGC ∶S四边形ADCG = 9 ∶(16-1)= 9 ∶ 15 = 3 5 . 故选 A. 10. D　 【解析】∵ 点 P 在反比例函数 y = - 1 x 的图象上,∴ 设点 P( x,y),当△PQO∽△AOB 时,则PQ AO = OQ BO ,又∵ PQ= y,OQ= -x,OA= 2,OB = 1,即 y 2 = -x 1 ,即 y = -2x. ∵ xy= -1,∴ - 2x2 = -1,∴ x = ± 2 2 ,∴ 点 P( 2 2 ,- 2 ),或 (- 2 2 , 2);同理,当△PQO∽△BOA 时,P(- 2, 2 2 )或 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 6 页