上册第23章 图形的相似 追梦阶段测试卷(一)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（华东师大版）

第 23 章追梦阶段测试卷(一) 成比例线段及相似三角形 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 若 a b = c d 成立,那么下列式子一定成立的是(　 　 ) A. a +1 b+1 = c+1 d+1 B. ac bc = c 2 dc C. b a = d c D. ad= bc 2. 如图,直线 l1∥l2∥l3,直线 AC 和 DF 被 l1,l2,l3 所截,AB= 5,AC= 11,EF= 4,则 DE 的长为(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 10 3 3. 数学文化情境·黄金分割 已知点 C 是 AB 的黄金分割点(AC> BC),若 AB= 2,则 AC 等于(　 　 ) A. 5 +1 B. 5 -1 2 C. 5 -1 D. 5 +1 2 4. 下列结论中,错误的有(　 　 ) ①所有的菱形都相似; ②放大镜下的图形与原图形不一定相似; ③等边三角形都相似; ④有一个角为 110 度的两个等腰三角形相似; ⑤所有的矩形不一定都相似. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 5. 如果两个相似正五边形的边长比为 1 ∶ 10, 则它们的面积 比为(　 　 ) A. 1 ∶2 B. 1 ∶5 C. 1 ∶100 D. 1 ∶10 6. 如图,已知△ACD∽△ADB,AC= 4,AD= 2,则 AB 的长为(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第 6 题图 　 　 　 　 　 　 第 8 题图 7. 生产劳动情境·制作广告牌 制作一块 3m× 2m 的长方形广告牌 的成本是 120 元,在平均每平方米制作成本相同的情况下,若将 此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍,那么扩大后长方形广告 牌的成本是(　 　 ) A. 360 元 B. 1 080 元 C. 720 元 D. 2 160 元 8. 如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,连结 AD,点 F 在线段 AD 上,EF∥BD,且交 AB 于点 E,FH∥AC,且交 CD 于点 H,则下 列结论一定正确的是(　 　 ) A. AB AE = AF AD B. DH CH =DF AD C. FH AC =EF BD D. AE BE =CH DH 9. 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 6,BC = 10,点 E、F 在 AD 边上,BF 和 CE 交于点 G,若 EF= 1 2 AD,则图中阴影部分的面积为(　 　 ) A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,AC⊥BC,AC ∶ BC = 3 ∶ 4,D 是 AC 上一点,连结 BD,与 ∠ACB 的平分线交于点 E,连结 AE,若 S△ADE = 8 3 ,S△BCE = 32 3 ,则 BC= (　 　 ) A. 4 B. 8 C. 5 D. 10 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 四边形 ABCD 和四边形 A′B′C′D′是相似图形,点 A、B、C、D 分 别与点 A′、B′、C′、D′对应,已知 BC = 3,CD = 2. 4,B′C′= 2,那么 C′D′的长是　 　 　 　 . 12. 若如图所示的两个四边形相似,则∠α 的度数是　 　 　 　 . 第 12 题图 　 　 第 13 题图 　 　 第 15 题图 13. 如图,E,F 分别为矩形 ABCD 的边 AD,BC 的中点,若矩形 AB- CD 与矩形 EABF 相似,则相似比等于　 　 　 　 . 14. 中考新趋势·新定义 定义:我们知道,四边形的一条对角线把 这个四边形分成两个三角形,如果这两个三角形相似但不全 等,我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线. 在四 边形 ABCD 中,对角线 BD 是它的相似对角线,∠ABC= 70°,BD 平分∠ABC,那么∠ADC= 　 　 　 度. 15. 如图,在矩形 ABCD 中,AD= 2,CD = 1,连结 AC,以对角线 AC 为 边,按逆时针方向作矩形 ABCD 的相似矩形 AB1C1C,再连结 AC1,以对角线 AC1 为边作矩形 AB1C1C 的相似矩形 AB2C2C1,…, 按此规律继续下去,则矩形 AB2 024C2 024C2 023 的面积为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)如图,在△ABC 中,∠CAB = 90°,AD⊥BC 于点 D,求证: AD2 =CD·BD. 17. (8 分)如图,a∥b∥c,直线 m,n 交于点 O,且分别与直线 a,b,c 交于点 A、B、C 和点 D、E、F,已知 OA= 1,OB= 2,BC= 4,EF= 5, 求 DE 的长度. ·9· 18. (8 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 DC 上一点,连结 AE,F 为 AE 上一点,且∠BFE= ∠C,求证:△ABF∽△EAD. 19. 生产劳动情境·测距离 (9 分)如图,小华和同伴春游时,发现在 某地小山坡的点 E 处有一棵小桃树,他们想利用皮尺、测倾器 和平面镜测量小桃树到山脚下的距离(即 DE 的长度),小华站 在点 B 处,让同伴移动平面镜至点 C 处,此时小华在平面镜内 可以看到点 E,且测得 BC = 6 米,CD = 24 米,∠CDE = 135°. 已 知小华的身高 AB = 1. 5 米,请根据以上数据,求 DE 的长度. (结果保留根号) 20. (10 分)在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,D 为 AB 边上一点,且 CD ⊥AB. (1)求证:AC2 =AB·AD; (2)若△ABC 为任意三角形,试问:在 AB 边上(不包括 A、B 两 个顶点)是否仍存在一点 D,使 AC2 = AB·AD,若存在,请加以 证明;若不存在,请说明理由. 21. (10 分)如图所示,AD、BC 为两路灯,身高相同的小明、小亮站 在两路灯之间,两人相距 6. 5m,小明站在 P 处,小亮站在 Q 处,小明在路灯 C 下的影长为 2m,已知小明身高 1. 8m,路灯 BC 高 9m. (1)计算小亮在路灯 D 下的影长; (2)计算路灯 AD 的高. 22. (11 分)如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格中,△ABC 和 △DEF 的顶点都在格点上,P1,P2,P3,P4,P5 是△DEF 边上的 5 个格点,请按要求完成下列各题: (1)试证明△ABC 为直角三角形; (2)判断△ABC 和△DEF 是否相似,并说明理由; (3)画一个三角形,使它的三个顶点为 P1,P2,P3,P4,P5 中的 3 个格点并且与△ABC 相似,并予以证明. 23. 学习生活情境·问题的探究 (11 分)某校九年级数学兴趣小组 在探究相似多边形问题时,他们提出了下面两个观点: 观点一:将外面大三角形按图(1)的方式向内缩小,得到新三 角形,它们对应的边间距都为 1,则新三角形与原三角形相似. 观点二:将邻边为 6 和 10 的矩形按图(2)的方式向内缩小,得 到新的矩形,它们对应的边间距都为 1,则新矩形与原矩形 相似. 图(1) 　 图(2) 　 图(3) 请回答下列问题: (1)你认为上述两个观点是否正确? 请说明理由; (2)如图(3),已知△ABC,AC = 6,BC = 8,AB = 10,将△ABC 按 图(3)的方式向外扩张,得到△DEF,它们对应的边间距都为 m,DE= 15,求△DEF 的面积. ·01· 得 m= -1 或 m= 4. (10 分) 23. 解:(1)①解方程得:(x+3)(x-2)= 0,∴ x1 = -3,x2 = 2, ∵ 2≠-3+1,∴ x2 +x-6 = 0 不是“邻根方程”; (2 分) ②x = 2 5 ± 20 -16 4 = 2 5 ±2 4 ,∴ x1 = 5 +1 2 ,x2 = 5 -1 2 , ∵ 5 +1 2 = 5 -1 2 +1,∴ 2x2 -2 5 x+2 = 0 是“邻根方程” . (4 分) (2)由 x2 -(m-2)x-2m = 0,因式分解得:(x-m) (x+2) = 0,∴ x1 =m,x2 = -2, (6 分) ∵ 方程是“邻根方程”,∴ m= -2+1 或 m= -2-1,∴ m= - 1 或-3. (7 分) (3)解方程 ax2 +bx+2 = 0 得:x1 = -b+ b2 -8a 2a , x2 = -b- b2 -8a 2a , (8 分) ∵ 关于 x 的方程 ax2 +bx+2 = 0(a、b 是常数,a<0)是“邻 根方程”,∴ -b+ b2 -8a 2a = -b- b 2 -8a 2a -1, (9 分) ∴ b 2 -8a a = -1,∴ b2 -8a = -a,等号两边平方得:b2 - 8a=a2 ,∴ b2 =a2 +8a=a(a+8),∵ a<0,∴ a≤-8,∵ t= 16 +b2 ,∴ t=a2 +8a+16 = (a+4) 2 , (10 分) ∵ a≤-8,∴ a+4<0, t = (a+4) 2 = -(a+4)= -a-4. (11 分) 第 23 章追梦阶段测试卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D C B C A B D C B 1. D　 2. D 3. C　 【解析】∵ AB = 2,点 C 是 AB 的黄金分割点,且 AC> BC,∴ AC= 5 -1 2 AB= 5 -1,故选 C. 4. B 5. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【方法点拨】相似多边形的面积比等于相似多边形相似 比的平方. 6. A 7. B　 【解析】∵ 将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍, ∴ 面积扩大为原来的 9 倍,∴ 扩大后长方形广告牌的成 本为:120×9 = 1 080(元) . 故选 B. 8. D 9. C　 【解析】过点 G 作 GN⊥AD 于点 N,延长 NG 交 BC 于 点 M,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD =BC,AD∥BC,∵ EF = 1 2 AD,∴ EF = 1 2 BC,∵ AD∥BC,NG⊥AD,∴ △EFG∽ △CBG,GM⊥BC,∴ GN ∶GM =EF ∶BC = 1 ∶2,又∵ MN = AB = 6,∴ GN= 2,GM= 4,∴ S△BCG = 1 2 ×10×4 = 20,∴ S△EFG = 1 2 ×5×2 = 5,S矩形ABCD = 6×10 = 60,∴ S阴影 = 60-20-5 = 35. 故选 C. 10. B　 【解析】过点 E 作 BC,AC 的垂线,垂足分别为 F,G, 设 BC= 4x,则 AC= 3x,∵ CE 是∠ACB 的平分线,∴ EF= EG,又∵ S△BCE = 32 3 ,S△ADE = 8 3 ,∴ AD = 1 4 BC = x,∴ CD = 2x,∵ 四边形 EFCG 是正方形,∴ EF=FC,∵ EF∥CD,∴ △BEF∽△BDC,∴ EF CD = BF BC ,即EF 2x = 4x-EF 4x ,解得 EF = 4 3 x,则 1 2 ×4x× 4 3 x= 32 3 ,解得 x = 2,则 BC = 4x = 8,故选 B. 11. 1. 6　 12. 87° 13. 2 ∶1　 【解析】∵ 矩形 ABCD 与矩形 EABF 相似,∴ AE AB = AB AD ,设 AB=a,即 1 2 AD a = a AD ,解得 AD= 2 a,∴ 相似比为 AD ∶AB= 2a ∶a= 2 ∶1. 14. 145　 【解析】如图所示,∵ ∠ABC = 70°,BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD = ∠DBC,又∵ 对角线 BD 是它的相似对角线,∴ △ABD∽△DBC, ∴ ∠A= ∠BDC,∠ADB= ∠C,∴ ∠A+∠C = ∠ADC,又∵ ∠A+∠C+∠ADC= 360°-70° = 290°,∴ ∠ADC= 145°. 15. 5 2 024 24 047 　 【解析】矩形 ABCD 的面积= 2×1 = 2,由勾股定理 得,AC= 22 +12 = 5,则矩形 ABCD 与矩形 AB1C1C 的 相似比为 2 ∶ 5,∵ 矩形 ABCD∽矩形 AB1C1C,∴ 矩形 AB1C1C 的面积= 2÷( 2 5 ) 2 = 5 2 ,同理,矩形 AB2C2C1 的 面积= 5 2 ÷( 2 5 ) 2 = 25 8 = 5 2 23 ,矩形 AB3C3C2 的面积 = 25 8 ÷ ( 2 5 ) 2 = 125 32 = 5 3 25 ,……则矩形 ABnCnCn-1 的面积为 5n 22n-1 , 则矩形 AB2 024C2 024C2 023 的面积为 52 024 24 047 . 16. 证明:∵ AD⊥BC 于点 D,∴ ∠ADB= ∠ADC= 90°, (2 分) ∴ ∠B+ ∠BAD = 90°,∵ ∠BAD+ ∠DAC = 90°,∴ ∠B = ∠DAC, (4 分) ∴ △ADB∽△CDA. (6 分) ∴ AD ∶CD=BD ∶AD,AD2 =CD·BD. (8 分) 17. 解:∵ b∥c,∴ OE EF =OB BC = 2 4 = 1 2 ,∵ EF = 5,∴ OE = 1 2 EF = 5 2 . (2 分) ∵ a∥c,∴ DO OF = AO OC = 1 2+4 = 1 6 , (4 分) ∴ DO= 1 6 OF= 1 6 ×( 5 2 +5)= 5 4 , (6 分) ∴ DE=DO+OE= 5 4 + 5 2 = 15 4 . (8 分) 18. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ ∠BAF = ∠AED, (3 分) 且∠C+∠D= 180°,又∵ ∠BFE+∠BFA = 180°,∠BFE = ∠C,∴ ∠BFA= ∠D, (6 分) ∴ △ABF∽△EAD. (8 分) 19. 解:过 E 作 EF⊥BC 的延长线于点 F,∵ ∠CDE = 135°, ∴ ∠EDF= 45°, (2 分) 设 EF 为 x 米,则 DF= x 米,DE= 2 x 米,∵ ∠B= ∠EFC = 90°,∠ACB= ∠ECD,∴ △ABC∽△EFC, (6 分) ∴ AB EF =BC FC ,即1. 5 x = 6 24+x ,解得 x= 8, (8 分) ∴ DE= 8 2 (米) . (9 分) 20. (1)证明:∵ CD⊥AB,∴ ∠ADC= ∠ACB= 90°, ∵ ∠A= ∠A, (2 分) ∴ △ACD∽△ABC,∴ AC AB =AD AC ,∴ AC2 =AB·AD; (4 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 4 页 (2)解:存在, (5 分) 证明:过点 C 作∠ACD= ∠B 交 AB 于点 D,∵ ∠A= ∠A, ∴ △ACD∽△ABC, (8 分) ∴ AC AB =AD AC ,∴ AC2 =AB·AD. (10 分) 21. 解:(1)∵ EP⊥AB,CB⊥AB,∴ ∠EPA = ∠CBA = 90°,∵ ∠EAP= ∠CAB,∴ △EAP∽△CAB, (2 分) ∴ EP BC =AP AB ,∴ 1. 8 9 = 2 AB , (4 分) ∴ AB= 10m, BQ = 10-2-6. 5 = 1. 5(m),即小亮在路灯 D 下的影长为 1. 5m; (5 分) (2) ∵ FQ⊥AB,DA⊥AB, ∴ ∠FQB = ∠DAB = 90°, ∵ ∠FBQ= ∠DBA,∴ △BFQ∽△BDA, (7 分) ∴ FQ DA =BQ AB ,∴ 1. 8 DA = 1. 5 10 , (9 分) ∴ DA= 12m. (10 分) 22. (1)证明:∵ AC2 = 5,BC2 = 25,AB2 = 20,∴ BC2 = AB2 + AC2 . (2 分) ∴ △ABC 是直角三角形; (3 分) (2)解:△DEF 和△ABC 相似. (4 分) 理由如下:由勾股定理得:BC = 5,DE = 4 2 ,DF = 2 2 , EF= 2 10 ,AB= 2 5 ,AC= 5 , (5 分) ∴ AB DE = AC DF =BC EF = 10 4 , (6 分) ∴ △DEF∽△ABC. (7 分) ( 3 ) 解: 如 图, 连 结 P2P5 , P2P4 ,P4P5 , 由勾股定理得: AB = 2 5 , AC = 5 , BC = 5, P2P5 = 10 ,P2P4 = 2 ,P4P5 = 2 2 ,∴ P2P5 BC = P4P5 AB = P2P4 AC = 10 5 , (10 分) ∴ △ABC∽△P4P5P2 . (11 分) 23. 解:(1)观点一正确;观点二不正确. (2 分) 理由:①设原三角形为△ABC,新三角形为△DEF. 连结 并延长 AD,交 CF 的延长线于点 O,∵ △ABC 和△DEF 对应的边的距离都为 1,∴ AB∥DE,AC∥DF,∴ ∠FDO = ∠CAO, ∠ODE = ∠OAB, ∴ ∠FDO + ∠ODE = ∠CAO + ∠OAB, 即 ∠FDE = ∠CAB, 同理 ∠DEF = ∠ABC, ∴ △ABC∽△DEF,∴ 观点一正确; (4 分) ②由题意可知,原矩形的邻边为 6 和 10,则新矩形邻边 为 4 和 8,∵ 6 4 = 3 2 ,10 8 = 5 4 ,∴ 6 4 ≠10 8 ,∴ 新矩形与原 矩形不相似,∴ 观点二不正确. (6 分) (2)∵ AC= 6,BC= 8,AB= 10,∴ △ABC 是直角三角形, (7 分) ∴ ∠ACB = 90°. 由( 1) 知△ABC∽ △DEF, ∴ ∠DFE = 90°,AC DF =BC EF = AB DE = 10 15 ,∴ 6 DF = 2 3 , 8 EF = 2 3 ,∴ DF = 9, EF= 12, (9 分) ∴ S△DEF = 1 2 ×9×12 = 54. (11 分) 第 23 章追梦阶段测试卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C B C D A D C D C 1. D　 2. C　 3. B　 4. C 5. D　 【解析】∵ △ABC 和△A1B1C1 为位似图形,点 O 是它 们的位似中心,点 A 为线段 OA1 的中点,∴ S△ABC S△A1B1C1 = ( 1 2 ) 2 = 1 4 = 2 S△A1B1C1 ,∴ S△A1B1C1 = 8. 故选 D. 6. A　 【解析】∵ △ABC 是△DEF 以点 O 为位似中心经过 位似变换得到的,∴ AC∥FD,△ABC∽△DEF,∵ △ABC 与△DEF 的周长之比为 2 ∶ 3,∴ AC DF = 2 3 ,∵ AC∥FD,∴ △AOC∽△DOF,∴ OA OD = AC DF = 2 3 ,故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【方法点拨】位似图形上任意一对对应点到位似中心的 距离之比等于相似比. 7. D 8. C　 【解析】∵ 等边三角形 OAB 的边长为 4,点 A 在第二 象限内,∴ 点 A 坐标为(-2 3,2),B(0,4) . ∵ 平移后点 A′的横坐标为 6 3,∴ 平移规律为点 A 向右平移 8 3 个 单位,向下平移 8 个单位可得点 A′,∴ 点 B′的坐标为 (8 3,-4),故选 C. 9. D　 【解析】∵ 点 B 的坐标为(3,0),把三角形 OAB 沿 x 轴向右平移 2 个单位长度,∴ BE = 2,BC = 3 - 2 = 1,∵ S△DBE = 3,∴ △DBE 和△ACB 的高为 3,∴ 图中阴影部分 的面积为= 1×3× 1 2 = 3 2 . 故选 D. 10. C　 【解析】把第一个点(1,0)作为第一列,(2,1)和(2, 0)作为第二列,依此类推,则第一列有一个数,第二列 有 2 个数,…,第 n 列有 n 个数. 则 n 列共有n(n +1) 2 个 数,并且在奇数列点的顺序是由上到下,偶数列点的顺 序是由下到上. 因为n(n +1) 2 = 120,n= 15,则第 120 个数 在第 15 列,由下到上是第 1 个数. 因而第 120 个点的坐 标是(15,0) . 故选 C. 11. 8　 12. 128　 16 13. y= - 8 x 　 【解析】由题意得 A′坐标为:(- 4,2)或(4,- 2),∵ A′恰在某一反比例函数图象上,∴ 该反比例函数 解析式为:y= - 8 x . 14. (4,3)　 【解析】∵ 把△OAB 沿 x 轴向右平移到△ECD, ∴ 四边形 ABDC 是平行四边形,∴ AC =BD,A 和 C 的纵 坐标相同,∵ 四边形 ABDC 的面积为 9,点 A 的坐标为 (1,3),∴ 3AC= 9,∴ AC= 3,∴ C(4,3) . 15. 82 　 【解析】∵ 点 M,N,F 分别为 AB,AE,BE 的中点, ∴ MF,MN 都是△ABE 的中位线,∴ MF∥AE,MN∥BE, ∴ 四边形 EFMN 是平行四边形,∠AEB = ∠NMF = 45°, 又∵ AB⊥AE,∴ ∠ABE= 45°,∴ △ABE 是等腰直角三角 形,∴ AB=AE. ∵ BC⊥CD,DE⊥CD,又∵ ∠ABC+∠BAC = 90°,∠EAD+∠BAC = 90°,∴ ∠ABC = ∠EAD. ∵ ∠C = ∠D = 90°,∴ △ABC≌△EAD,∴ BC = AD = 4,CA = DE = 5,∴ Rt△ABC 中,AB = 42 +52 = 41,∴ 在等腰直角 三角形 ABE 中,BE= ( 41) 2 +( 41) 2 = 82 . 16. 解:(1)如图所示: (4 分) (2)太空飞梭 ( 0, 0), 秦岭历险 ( 0, 400), 魔幻城堡 (400,-200),南门(0,-500),丛林飞龙(-200,-100) . (8 分) 17. 解:如图所示:点 P 即为所求, (3 分) 证明:∵ MN 是 AC 的垂直平分线,交 BC 于点 P,∴ AP = 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 5 页