上册第22章 一元二次方程 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（华东师大版）

第 22 章追梦综合演练卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 下列方程中,关于 x 的一元二次方程是(　 　 ) A. (x-1)(x-2)= 2 B. 1 x2 + 1 x = 2 C. ax2 +bx+c= 0 D. 3x2 -2y= 0 2. 将下列一元二次方程化成一般形式后,其中二次项系数是 3,一 次项系数是-6,常数项是 1 的方程是(　 　 ) A. 3x2 +1 = 6x B. 3x2 -1 = 6x C. 3x2 +6x= 1 D. 3x2 +6x= -1 3. 若关于 x 的方程(m+2)x |m | +2x-1 = 0 是一元二次方程,则 m= (　 　 ) A. -2 B. 2 C. -2 或 2 D. 1 4. 已知关于 x 的一元二次方程(a-1)x2 -2x+a2 -1 = 0 有一个根为 x= 0,则 a 的值为(　 　 ) A. 0 B. ±1 C. 1 D. -1 5. 数学文化情境·九章算术 《九章算术》 “勾股” 章有一题:“今有 户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈. 问户高、广各几何. ”大 意是说:已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸,门的对角线长 1 丈,那么门的高和宽各是多少(1 丈= 10 尺,1 尺 = 10 寸)? 若设 门的宽为 x 寸,则下列方程中,符合题意的是(　 　 ) A. x2 +12 = (x+0. 68) 2 B. x2 +(x+0. 68) 2 = 12 C. x2 +1002 = (x+68) 2 D. x2 +(x+68) 2 = 1002 6. 已知实数 a,b 同时满足 a2 + b2 - 11 = 0,a2 - 5b- 5 = 0,则 b 的 值是(　 　 ) A. 1 B. 1,-6 C. -1 D. -6 7. 已知菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 的长度是关于 x 的方程 x2 +px +q= 0 的两个实数根,则此菱形的面积可以表示为(　 　 ) A. 1 2 p B. - 1 2 p C. 1 2 q D. - 1 2 q 8. 已知等腰△ABC 的底边长为 3,两腰长恰好是关于 x 的一元二 次方程 1 2 kx2 -(k+3)x+6 = 0 的两根,则△ABC 的周长为(　 　 ) A. 6. 5 B. 7 C. 6. 5 或 7 D. 8 9. 有一块长 28cm、宽 20cm 的长方形纸片,要在它的四角截去四个 全等的小正方形,折成一个无盖的长方体盒子,使它的底面积为 180cm2,为了有效利用材料,则截去的小正方形的边长是(　 　 ) A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 10. 已知实数 m,n 满足条件 m2 -7m+2 = 0,n2 -7n+2 = 0,则 n m +m n 的 值是(　 　 ) A. 45 2 B. 15 2 C. 15 2 或 2 D. 45 2 或 2 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 中考新趋势·开放性试题 关于 x 的一元二次方程 x2 - 4x+c = 0 没有实数根,则 c 的值可以是　 　 　 　 . (写出一个即可) 12. 劳动生产情境·草坪修建 某广场准备修建一个面积为 200 平方 米的矩形草坪,它的长比宽多 20 米,设草坪的宽为 x 米,则可 列方程为　 　 　 　 　 　 　 　 . 13. 若方程 x2 +mx+1 = 0 和 x2 +x+m= 0 有公共根,则常数 m 的值是 　 　 　 　 . 14. 三角形的两边长分别为 3 和 6,第三边的长是方程 x2 -6x+8 = 0 的解,则此三角形的周长是　 　 　 　 . 15. 若关于 x 的方程 x2 -k | x | +4 = 0 有四个不同的解,则 k 的取值 范围是　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)解方程: (1)9(x-2) 2 = 121;　 　 　 　 (2)x2 -4x-1 = 0. 17. (8 分)已知关于 x 的方程 x2 +(2k-1)x+k2 -1 = 0 有两个实数根 x1,x2 . (1)求实数 k 的取值范围; (2)若 x1,x2 满足 x21 +x22 = 16+x1x2,求实数 k 的值. 18. 中考新趋势·新定义 (9 分)定义新运算:对于任意实数 m、n 都 有 m☆n = m2n+n,等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方 运算. 例如:-3☆2 = ( -3) 2 ×2+2 = 20. 根据以上知识解决问题: (1)x☆4 = 20,求 x; (2)若 2☆a 的值小于 0,请判断方程 2x2 -bx+a= 0 的根的情况. 19. (9 分)已知关于 x 的一元二次方程 mx2 -2x+2-m= 0. (1)求证:不论 m 为何值时,方程总有实数根; (2)当 m 为何整数时,方程有两个不相等的整数根. ·7· 20. 劳动生产情境·建造场地 (10 分)某农户借助家里长 25m 的墙 AB 建造面积为 450m2 的矩形区域来养鹌鹑,准备修建长为 65m 的篱笆,现有以下两种方案: 　 　 　 　 图 1 　 　 　 　 图 2 (1)如图 1,若选取墙 AB 的一部分作矩形的边,其他三边用篱 笆围成,则在墙 AB 上借用的 CF 的长度为多少? (2)如图 2,若全部借用 AB 的长度,并在 AB 的延长线上拓展 BF,构成矩形 ADEF,篱笆由 BF、EF、DE 和 AD 构成,求 BF 的长. 21. 日常生活情境·购买树苗 (10 分)某小区为了改善绿化环境,计 划购买 A、B 两种树苗共 100 棵,其中 A 树苗每棵 40 元,B 树苗 每棵 35 元,经测算购买两种树苗一共需要 3 800 元. (1)计划购买 A、B 两种树苗各多少棵? (2)在实际购买中,小区与商家协商:两种树苗的售价均下降 a 元(a<10),且每降低 1 元,小区就多购买 A 树苗 2 棵,B 树苗 3 棵. 小区实际购买这两种树苗的费用比原计划费用多了 300 元,则该小区实际购买 A、B 树苗共多少棵? 22. 学习生活情境·阅读理解 (10 分)【阅读与思考】如表是小亮同 学在数学杂志上看到的小片段,请仔细阅读并完成相应的任务. 一元二次方程根与系数的关系 通过学习用公式法解一元二次方程可以发现,一元二次方程的根 完全由它的系数确定,求根公式就是根与系数关系的一种形式. 除此以外,一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的 关系. 从因式分解的角度思考这个问题,若把一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0)的两个实数根分别记为 x1,x2,则有恒等式 ax2 +bx+c = a (x-x1)(x-x2),即 ax2 +bx+c = ax2 -a(x1 +x2) x+ax1x2 . 比较两边系 数可得:x1 +x2 = -　 　 　 　 ,x1x2 = 　 　 　 　 . 任务: (1)填空:x1 +x2 = -　 　 　 　 ,x1x2 = 　 　 　 　 ; (2)小亮同学利用求根公式进行推理,同样能够得出一元二次方 程两根之和、两根之积与系数之间的关系. 下面是小亮同学的部分 推理过程,请完成填空,并将推理和运算过程补充完整. 解:对于一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0),当 b2 -4ac≥0 时,有两 个实数根 x1 = 　 　 　 　 ,x2 = 　 　 　 　 ; …… (3)已知关于 x 的方程 2x2 +3mx+m2 = 0 的两根之和与两根之积的 和等于 2,直接写出 m 的值. 23. (11 分)综合与探究 如果关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0)有两个实数 根,且其中一个根比另一个根大 1,那么称这样的方程是“邻根 方程” . 例如:一元二次方程 x2 +x= 0 的两个根是 x1 = 0,x2 = -1, 则方程:x2 +x= 0 是“邻根方程” . (1)通过计算,判断下列方程是否是“邻根方程”: ①x2 +x-6 = 0; ②2x2 -2 5 x+2 = 0. (2)已知关于 x 的一元二次方程 x2 -(m-2) x-2m = 0(m 是常 数)是“邻根方程”,求 m 的值. (3)若关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+2 = 0(a、b 是常数,且 a< 0)是“邻根方程”,令 t= 16+b2,请化简 t . ·8· 23. 解:(1)①原式= 2 ×( 5 - 3 ) ( 5 + 3 )( 5 - 3 ) = 2( 5 - 3 ) ( 5 ) 2 -( 3 ) 2 = 5 - 3 . (3 分) ②原式= 5 -3 5 + 3 = ( 5 ) 2 -( 3 ) 2 5 + 3 = ( 5 + 3 )( 5 - 3 ) 5 + 3 = 5 - 3 . (6 分) (2)原式= 3 -1 2 + 5 - 3 2 + 7 - 5 2 +􀆺+ 99 - 97 2 (9 分) = 99 -1 2 = 3 11 -1 2 . (12 分) 第 22 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A B D D A C B C D 1. A 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】一元二次方程必须同时满足的三个条件: (1)方程是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)整理 后未知数的最高次数是 2. 2. A　 3. B　 4. D　 5. D 6. A　 【解析】由 a2 +b2 -11 = 0 得 a2 = 11-b2,所以 11-b2 -5b -5 = 0,解得 b1 = 1,b2 = -6,当 b = -6 时,a 2 = -25(舍去), 故选 A. 7. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】方程 ax2 +bx+c= 0,(a≠0)的两个根 x1,x2 存 在以下关系 x1 +x2 = - b a ,x1x2 = c a . 8. B　 【解析】由题意得 Δ=[-(k+3)] 2 -4× 1 2 k×6 = 0,解得 k= 3,此时方程 1 2 kx2 -( k+ 3) x+ 6 = 0 的根为 x1 = x2 = 2, △ABC 周长为 2+2+3 = 7,故选 B. 9. C　 【解析】设小正方形边长为 a,根据题意得(28- 2a) (20-2a)= 180,解得 a1 = 19(舍去),a2 = 5,故选 C. 10. D　 【解析】因为实数 m,n 满足 m2 -7m+2 = 0,n2 -7n+2 = 0,所以 m,n 为一元二次方程 x2 -7x+2 = 0 的两个实数 根. 当 m=n 时, n m + m n = 2;当 m,n 为一元二次方程 x2 - 7x+2 = 0 的两个不相等的实数根时,m+n = 7,mn = 2,所 以 n m + m n = (m+n) 2 -2mn mn = 7 2 -2×2 2 = 45 2 . 综上所述 n m + m n 的值是 2 或45 2 ,故选 D. 11. 5(答案不唯一)　 12. x(x+20)= 200 13. -2　 【解析】由题可知 x2 +mx+1 = x2 +x+m,解得 x = 1,代 入任一方程,得 m= -2. 14. 13　 【解析】解题中方程得 x1 = 2,x2 = 4,根据三角形三 边关系,第三边只能为 4,此时周长为 13. 15. k>4　 【解析】方程有四个不同的解,则 Δ = k2 -16>0,解 得 k<-4 或 k>4,当 k<-4 时,x2 -k | x | +4>0,所以 k>4. 16. 解:(1)方程两边同除以 9,得(x-2) 2 = 121 9 , (1 分) 直接开方,得 x-2 = ±11 3 , (3 分) 即 x1 = 17 3 ,x2 = - 5 3 . (4 分) (2)方程两边都加 5,得 x2 -4x+4 = 5,即 (x-2) 2 = 5, (5 分) 直接开方,得 x-2 = ± 5 , (7 分) 即 x1 = 5 +2,x2 = - 5 +2. (8 分) 17. 解:(1)根据题意得 Δ= (2k-1) 2 -4(k2 -1)≥0, (1 分) 化简得-4k+5≥0,即 k≤ 5 4 . (3 分) (2)由题可知 x1 +x2 = 1-2k,x1 ·x2 = k 2 -1, (5 分) ∴ x21 +x 2 2 = (x1 +x2 ) 2 -2x1x2 = 16+x1x2 . 即(1-2k) 2 -2(k2 -1)= 16+k2 -1, (6 分) 化简得(k-2) 2 = 16,∴ k1 = -2,k2 = 6. ∵ k≤ 5 4 ,∴ k= -2. (8 分) 18. 解:(1)∵ x☆4 = 20,∴ 4x2 +4 = 20,即 x2 = 4,解得 x1 = 2, x2 = -2; (4 分) (2)∵ 2☆a 的值小于 0,∴ 22 ×a+a= 5a<0,解得 a<0. (6 分) 在方程 2x2 -bx+a= 0 中,Δ = ( -b) 2 -8a = b2 -8a>0,∴ 方 程 2x2 -bx+a= 0 有两个不相等的实数根. (9 分) 19. (1)证明:∵ 在 mx2 -2x+2-m= 0 中, Δ= b2 -4ac= 4-4m(2-m)= 4m2 -8m+4 = 4(m-1) 2 ≥0, (2 分) ∴ 不论 m 为何值,方程总有实数根. (4 分) (2)解:原方程可转化为(x-1)(mx-2+m)= 0,∴ x1 = 1, x2 = 2-m m = 2 m -1. (6 分) 要使 x1 ,x2 均为整数, 2 m 必为整数,∴ m 只能取±1 和± 2, (7 分) 当 m= 1 时,Δ= 4(m-1) 2 = 0,此时方程有两个相等的实 根,舍去. ∴ m 的值为-1、-2 或 2. (9 分) 20. 解:(1)设 CF 的长为 xm,则 CD= 65 -x 2 (m), (2 分) 由题意得,x·65 -x 2 = 450, (4 分) 解得 x1 = 20,x2 = 45(舍去),∴ CF= 20m. (5 分) (2)设 BF 的长为 ym,则 AD= 65 -y-25-y 2 = 20-y(m), (7 分) 由题意得,(25+y)(20-y)= 450, (9 分) 解得 y1 = 5,y2 = -10(舍去),∴ BF= 5m. (10 分) 21. 解:(1)设购买 A 树苗 x 棵,B 树苗 y 棵. 根据题意,得 x+y= 100 40x+35y= 3800{ , (3 分) 解得 x= 60 y= 40.{ 即购买的 A 树苗 60 棵,B 树苗 40 棵. (5 分) (2)依题意,得(40-a) (60+ 2a) +(35-a) (40+ 3a) = 3800+300,整理得 a2 - 17a+ 60 = 0,解得 a1 = 5,a2 = 12 (不符合题意,舍去) (8 分) 60+2a+40+3a= 125(棵) . 即该小区实际购买 A、B 树苗 共 125 棵. (10 分) 22. 解:(1) b a 　 c a (4 分) (2) -b- b2 -4ac 2a 　 -b+ b2 -4ac 2a (6 分) (3)∵ a= 2,b= 3m,c =m2 ,∴ 方程 2x2 +3x-1 = 0 的两根 之和为- b a = -3m 2 ,两根之积为 c a =m 2 2 (8 分) ∵ 两根之和与两根之积的和等于 2,∴ - 3m 2 +m 2 2 = 2,解 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 3 页 得 m= -1 或 m= 4. (10 分) 23. 解:(1)①解方程得:(x+3)(x-2)= 0,∴ x1 = -3,x2 = 2, ∵ 2≠-3+1,∴ x2 +x-6 = 0 不是“邻根方程”; (2 分) ②x = 2 5 ± 20 -16 4 = 2 5 ±2 4 ,∴ x1 = 5 +1 2 ,x2 = 5 -1 2 , ∵ 5 +1 2 = 5 -1 2 +1,∴ 2x2 -2 5 x+2 = 0 是“邻根方程” . (4 分) (2)由 x2 -(m-2)x-2m = 0,因式分解得:(x-m) (x+2) = 0,∴ x1 =m,x2 = -2, (6 分) ∵ 方程是“邻根方程”,∴ m= -2+1 或 m= -2-1,∴ m= - 1 或-3. (7 分) (3)解方程 ax2 +bx+2 = 0 得:x1 = -b+ b2 -8a 2a , x2 = -b- b2 -8a 2a , (8 分) ∵ 关于 x 的方程 ax2 +bx+2 = 0(a、b 是常数,a<0)是“邻 根方程”,∴ -b+ b2 -8a 2a = -b- b 2 -8a 2a -1, (9 分) ∴ b 2 -8a a = -1,∴ b2 -8a = -a,等号两边平方得:b2 - 8a=a2 ,∴ b2 =a2 +8a=a(a+8),∵ a<0,∴ a≤-8,∵ t= 16 +b2 ,∴ t=a2 +8a+16 = (a+4) 2 , (10 分) ∵ a≤-8,∴ a+4<0, t = (a+4) 2 = -(a+4)= -a-4. (11 分) 第 23 章追梦阶段测试卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D C B C A B D C B 1. D　 2. D 3. C　 【解析】∵ AB = 2,点 C 是 AB 的黄金分割点,且 AC> BC,∴ AC= 5 -1 2 AB= 5 -1,故选 C. 4. B 5. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【方法点拨】相似多边形的面积比等于相似多边形相似 比的平方. 6. A 7. B　 【解析】∵ 将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍, ∴ 面积扩大为原来的 9 倍,∴ 扩大后长方形广告牌的成 本为:120×9 = 1 080(元) . 故选 B. 8. D 9. C　 【解析】过点 G 作 GN⊥AD 于点 N,延长 NG 交 BC 于 点 M,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD =BC,AD∥BC,∵ EF = 1 2 AD,∴ EF = 1 2 BC,∵ AD∥BC,NG⊥AD,∴ △EFG∽ △CBG,GM⊥BC,∴ GN ∶GM =EF ∶BC = 1 ∶2,又∵ MN = AB = 6,∴ GN= 2,GM= 4,∴ S△BCG = 1 2 ×10×4 = 20,∴ S△EFG = 1 2 ×5×2 = 5,S矩形ABCD = 6×10 = 60,∴ S阴影 = 60-20-5 = 35. 故选 C. 10. B　 【解析】过点 E 作 BC,AC 的垂线,垂足分别为 F,G, 设 BC= 4x,则 AC= 3x,∵ CE 是∠ACB 的平分线,∴ EF= EG,又∵ S△BCE = 32 3 ,S△ADE = 8 3 ,∴ AD = 1 4 BC = x,∴ CD = 2x,∵ 四边形 EFCG 是正方形,∴ EF=FC,∵ EF∥CD,∴ △BEF∽△BDC,∴ EF CD = BF BC ,即EF 2x = 4x-EF 4x ,解得 EF = 4 3 x,则 1 2 ×4x× 4 3 x= 32 3 ,解得 x = 2,则 BC = 4x = 8,故选 B. 11. 1. 6　 12. 87° 13. 2 ∶1　 【解析】∵ 矩形 ABCD 与矩形 EABF 相似,∴ AE AB = AB AD ,设 AB=a,即 1 2 AD a = a AD ,解得 AD= 2 a,∴ 相似比为 AD ∶AB= 2a ∶a= 2 ∶1. 14. 145　 【解析】如图所示,∵ ∠ABC = 70°,BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD = ∠DBC,又∵ 对角线 BD 是它的相似对角线,∴ △ABD∽△DBC, ∴ ∠A= ∠BDC,∠ADB= ∠C,∴ ∠A+∠C = ∠ADC,又∵ ∠A+∠C+∠ADC= 360°-70° = 290°,∴ ∠ADC= 145°. 15. 5 2 024 24 047 　 【解析】矩形 ABCD 的面积= 2×1 = 2,由勾股定理 得,AC= 22 +12 = 5,则矩形 ABCD 与矩形 AB1C1C 的 相似比为 2 ∶ 5,∵ 矩形 ABCD∽矩形 AB1C1C,∴ 矩形 AB1C1C 的面积= 2÷( 2 5 ) 2 = 5 2 ,同理,矩形 AB2C2C1 的 面积= 5 2 ÷( 2 5 ) 2 = 25 8 = 5 2 23 ,矩形 AB3C3C2 的面积 = 25 8 ÷ ( 2 5 ) 2 = 125 32 = 5 3 25 ,……则矩形 ABnCnCn-1 的面积为 5n 22n-1 , 则矩形 AB2 024C2 024C2 023 的面积为 52 024 24 047 . 16. 证明:∵ AD⊥BC 于点 D,∴ ∠ADB= ∠ADC= 90°, (2 分) ∴ ∠B+ ∠BAD = 90°,∵ ∠BAD+ ∠DAC = 90°,∴ ∠B = ∠DAC, (4 分) ∴ △ADB∽△CDA. (6 分) ∴ AD ∶CD=BD ∶AD,AD2 =CD·BD. (8 分) 17. 解:∵ b∥c,∴ OE EF =OB BC = 2 4 = 1 2 ,∵ EF = 5,∴ OE = 1 2 EF = 5 2 . (2 分) ∵ a∥c,∴ DO OF = AO OC = 1 2+4 = 1 6 , (4 分) ∴ DO= 1 6 OF= 1 6 ×( 5 2 +5)= 5 4 , (6 分) ∴ DE=DO+OE= 5 4 + 5 2 = 15 4 . (8 分) 18. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ ∠BAF = ∠AED, (3 分) 且∠C+∠D= 180°,又∵ ∠BFE+∠BFA = 180°,∠BFE = ∠C,∴ ∠BFA= ∠D, (6 分) ∴ △ABF∽△EAD. (8 分) 19. 解:过 E 作 EF⊥BC 的延长线于点 F,∵ ∠CDE = 135°, ∴ ∠EDF= 45°, (2 分) 设 EF 为 x 米,则 DF= x 米,DE= 2 x 米,∵ ∠B= ∠EFC = 90°,∠ACB= ∠ECD,∴ △ABC∽△EFC, (6 分) ∴ AB EF =BC FC ,即1. 5 x = 6 24+x ,解得 x= 8, (8 分) ∴ DE= 8 2 (米) . (9 分) 20. (1)证明:∵ CD⊥AB,∴ ∠ADC= ∠ACB= 90°, ∵ ∠A= ∠A, (2 分) ∴ △ACD∽△ABC,∴ AC AB =AD AC ,∴ AC2 =AB·AD; (4 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 4 页