铺路帮手-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

第十一章　 三角形 与三角形有关的线段 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:60 分 一、选择题(每题 3 分,共 21 分) 1. ( 安 阳 月 考) 有下列说法, 其中正确的 有(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　①等边三角形是等腰三角形;②等腰三角 形也可能是直角三角形;③三角形按边分 类可分为等腰三角形、等边三角形和三边 都不相等的三角形;④三角形按角分类可 分为锐角三角形、直角三角形和钝角三 角形. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 用一块含 30°角的透明直角三角板画已知 △ABC 的边 BC 上的高,下列三角板的摆放 位置正确的是(　 　 ) A. B. C. D. 3. 如果三角形的两条边长分别是 8 厘米、6 厘 米,那么第三边的长不可能是(　 　 ) A. 9 厘米 B. 4 厘米 C. 3 厘米 D. 2 厘米 4. 如图,在△ABC 中,AB= 15,BC= 9,BD 是 AC 边上的中线. 若 △ABD 的周长为 30, 则 △BCD 的周长是(　 　 ) A. 20 B. 24 C. 26 D. 28 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 5. 如图所示,在△ABC 中,点 D,E,F 分别为 BC,AD,CE 的中点,且△ABC = 8 cm2,则阴 影部分的面积为(　 　 ) A. 0. 5 B. 1 C. 1. 5 D. 2 6. [学科内融合](湖南中考)如图 1,将长为 6 的长方形纸片沿虚线折成 3 个小长方形,其 中左右两侧小长方形的宽相等,若要将其围 成如图 2 的三棱柱形物体,则图中 a 的值可 以是(　 　 ) 图 1 　 　 　 图 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. (重庆月考)在△ABC 中,AD 为中线,BE 为 角平分线, 则在以下等式中: ① ∠BAD = ∠CAD;②∠ABE = ∠CBE;③BD =DC;④AE =EC,其中正确的是(　 　 ) A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 二、填空题(每题 3 分,共 12 分) 8. 生活情境·木架 (昆明期中)图 1 是将木条 用钉子钉成的四边形和三角形木架,拉动 木架,观察图 2 中的变动情况,其中蕴含的 数学道理是 　 . 图 1 　 图 2 9. 设 a、b、c 是△ABC 的三边,化简: | a+b-c | - | a-c-b | + | c-a-b | = 　 　 　 　 . 10. 如图,在△ABC 中,CF、BE 分别是 AB、AC 边上的中线,若 AE = 2,AF = 3,且△ABC 的 周长为 15,那么 BC= 　 　 　 　 . 第 10 题图 　 　 　 第 11 题图 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 1 页 11. [教材习题 9 变式]如图,在△ABC 中,AD 是中线,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F. 若 AB= 6 cm,AC= 4 cm,则DE DF = 　 　 　 　 . 三、解答题(共 27 分) 12. 中考新趋势·过程纠错 (8 分)阅读两名同 学对下题的解答过程. 　 　 一个等腰三角形的周长为 28 cm,其 中一边长为 8 cm,则这个三角形另外两边 的长分别是多少? 　 　 李明说应这样解:设腰长为 x cm,则 2x+8 = 28,解得 x = 10,所以这个三角形另 外两边的长均为 10 cm. 　 　 张钢说应这样解:设底边长为 x cm, 则 2×8+x = 28,解得 x = 12,所以这个三角 形的另外两边的长分别为 8 cm,12 cm. 试判断李明与张钢两人的解答过程是否正 确,若正确,请写出判断的依据;若不正确, 请你写出正确的解答过程. 13. (9 分)已知△ABC 的周长为 33 cm,AD 是 BC 边上的中线,AB= 3 2 AC. (1)如图,当 AC= 10 cm 时,求 BD 的长; (2)若 AC= 12 cm,能否求出 DC 的长? 为 什么? 14. 数学思想·分类讨论 ( 10 分 ) 如 图, 在 △ABC 中, ∠C = 90°, AC = 8 cm, BC = 6 cm,AB= 10 cm. 若动点 P 从点 C 开始按 C→A→B→C 的 路 径 运 动, 且 速 度 为 2 cm / s. 设运动的时间为 t s. (1)当 t= 　 　 　 　 s 时,CP 把△ABC 的周 长分成相等的两部分; (2)当 t 为何值时,CP 把△ABC 的面积分 成相等的两部分? (3 ) 当 t 为 何 值 时, △BCP 的 面 积 为 12 cm2? 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 2 页 与三角形有关的角 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:60 分 一、选择题(每题 3 分,共 18 分) 1. 如果∠A= ∠B-∠C,那么△ABC 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 2. 如图,直线 a∥b,在 Rt△ABC 中,点 C 在直 线 a 上. 若∠1 = 58°,∠2 = 24°,则∠A 的度 数为(　 　 ) A. 56° B. 34° C. 36° D. 24° 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,已知在△ABC 中,∠A = 90°,∠1+∠2 的度数是(　 　 ) A. 180° B. 270° C. 360° D. 无法确定 4. 生活情境·路灯 (洛阳月考)图 1 是一路灯 的实物图,图 2 是该路灯的平面示意图,则 图 2 中∠CBN 的度数为(　 　 ) A. 130° B. 145° C. 150° D. 160° 图 1 　 图 2 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. 如图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的 度数为(　 　 ) A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° 6. 如图,在△ABC 中,角平分线 AD、BE、CF 相 交于点 H,过 H 点作 HG⊥AC,垂足为 G,那 么∠AHE 和∠CHG 的大小关系为(　 　 ) A. ∠AHE>∠CHG B. ∠AHE<∠CHG C. ∠AHE= ∠CHG D. 不一定 二、填空题(每题 3 分,共 12 分) 7. [教材习题 7 变式]如图,C 处在 B 处的北 偏西 40°方向,C 处在 A 处的北偏西 75°方 向,则∠ACB 的度数为　 　 　 　 . 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. 如果将一副三角板按如图方式叠放,那么 ∠1 等于　 　 　 　 . 9. 如图,△EFG 的三个顶点 E,G 和 F 分别在 平行线 AB,CD 上,FH 平分∠EFG,交线段 EG 于点 H. 若∠AEF = 36°,∠BEG = 57°,则 ∠EHF 的大小为　 　 　 　 . 第 9 题图 　 第 10 题图 10. 如图,E 为△ABC 的BC 边上一点,点D 在BA 的延长线上,DE 交 AC 于点 F. 若∠B = 46°, ∠C=30°,∠EFC=70°,则∠D=　 　 　 　 . 三、解答题(共 30 分) 11. (8 分) (广州期末)如图,在△ABC 中,AD 是高,AE、BF 是角平分线,它们相交于点 O,∠C= 70°. (1)∠AOB 的度数为　 　 　 　 ; (2)若∠ABC= 60°,求∠DAE 的度数. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 3 页 12. 生活情境·零件 (5 分) (巩义期末)一个 零件的形状如图,按规定∠A = 90°,∠B 和 ∠C 应分别是 32°和 21°,检验工人量得 ∠BDC= 149°,就判断这个零件不合格,运 用三角形的有关知识说出零件不合格的 理由. 13. (7 分)如图,在△ABC 中,∠B = ∠C,D 为 边 BC 上一点(不与点 B,C 重合),点 E 为 边 AC 上 一 点, ∠ADE = ∠AED, ∠BAC = 44°. (1)求∠C 的度数; (2)若∠ADE= 75°,求∠CDE 的度数. 14. 中考新趋势·新定义 (10 分)【概念认识】 如图①,在∠ABC 中,若∠ABD = ∠DBE = ∠EBC,则 BD, BE 叫作 ∠ABC 的 “ 三分 线” . 其中,BD 是“邻 AB 三分线”,BE 是 “邻 BC 三分线” . 【问题解决】 (1)如图②,在△ABC 中,∠A = 70°,∠B = 45°,若∠B 的三分线 BD 交 AC 于点 D,则 ∠BDC= 　 　 　 　 °; (2)如图③,在△ABC 中,BP、CP 分别是 ∠ABC 邻 AB 三分线和∠ACB 邻 AC 三分 线,且 BP⊥CP,求∠A 的度数; 【延伸推广】 (3)在△ABC 中,∠ACD 是△ABC 的外角, ∠B 的三分线所在的直线与∠ACD 的三分 线所在的直线交于点 P. 若∠A =m°,∠B = n°,直接写出∠BPC 的度数. (用含 m、n 的 代数式表示) 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 4 页 多边形及其内角和 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:60 分 一、选择题(每题 3 分,共 18 分) 1. (商丘月考)位于许昌襄城首山之上的文峰 塔建成于明嘉靖三十年,为外十三层、内七 层楼阁式建筑,平面呈正八边形. 下列图形 为正八边形的是(　 　 ) A. B. C. D. 2. 革命情境·红军帽 (北京期末)八角帽又称 “红军帽”,是红军的象征,也是中国工农红 军军服佩饰最显眼的部分之一,其帽顶近似 正八边形. 正八边形的一个内角的大小 为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 150° B. 140° C. 135° D. 120° 3. [教材数学活动变式]用完全相同的同一种 地板砖铺地面,要求不留缝隙,下列不能铺 满地面的是(　 　 ) A. 任意三角形地砖 B. 任意四边形地砖 C. 正六边形地砖 D. 正八边形地砖 4. 如图,在五边形 ABCDE 中,AB∥CD,∠A = 135°, ∠C = 60°, ∠D = 150°, 则 ∠E 的大 小为(　 　 ) A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. 如图,正五边形 ABCDE,DG 平分正五边形 的外角∠EDF,连接 BD,则∠BDG= (　 　 ) A. 144° B. 120° C. 114° D. 108° 6. 学习情境·程序框图 在一次中学生创客比 赛中,某八年级学生设计 了一款机器狗,机器狗运 行的程序如图所示. 将该 机器狗放置在平面上运 行至结束,它的移动距离 为(　 　 ) A. 12 米　 　 B. 8 米 C. 6 米 　 　 D. 无法确定 二、填空题(每题 3 分,共 9 分) 7. [教材练习 2 变式]多边形每一个内角都等 于 150°,则从此多边形一个顶点出发可引 　 　 　 　 条对角线. 8. 一个正五边形和一个正六边形都有一边在 直线 l 上,且有一个公共顶点 O,其摆放方 式如图所示,则∠1+∠2 = 　 　 　 °. 第 8 题图 　 第 9 题图 9. (四川模拟)如图,将四边形纸片 ABCD 沿 MN 折叠. 若∠1+∠2 = 130°,则∠B+∠C = 　 　 　 　 . 三、解答题(共 33 分) 10. [教材习题 2 变式] (6 分)求出下列图形 中 x 的值: (1) 　 (2) 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 5 页 11. (9 分)已知一个正多边形的边数为 n. (1)若这个正多边形的内角和的 1 4 比外角 和多 90°,求 n 的值; (2)若这个正多边形的一个内角为 108°, 求 n 的值; (3)若少算了一个内角得出一多边形的内 角和为 980°,求 n 的值. 12. (8 分)如图,在六边形 ABCDEF 中,AF∥ CD,AB∥DE, 且 ∠BAF = 100°, ∠BCD = 120°,求∠ABC 和∠D 的度数. 13. 核心素养·推理能力 (10 分)探究与发现: (1)如图 1,在△ADC 中,DP、CP 分别平分 ∠ADC 和∠ACD. ①若∠A= 70°,则∠P= 　 　 　 　 ; ②若∠A = α,用含有 α 的式子表示∠P 为 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)如图 2,在四边形 ABCD 中,DP、CP 分 别平分∠ADC 和∠BCD,试探究∠P 与∠A +∠B 的数量关系,并说明理由; (3)如图 3,在六边形 ABCDEF 中,DP、CP 分别平分 ∠EDC 和 ∠BCD,请直接写出 ∠P 与∠A+∠B+∠E+∠F 的数量关系. 图 1 　 图 2 　 图 3 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 6 页 第十二章　 全等三角形 全等三角形 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:70 分 一、选择题(每题 3 分,共 24 分) 1. 下列各组中的两个图形属于全等图形的 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. B. C. D. 2. [教材练习 2 变式] 如图,△AOC 与△BOD 全等,点 A 和点 B、点 C 和点 D 是对应顶点, 下列结论中错误的是(　 　 ) A. ∠A 与∠B 是对应角 B. ∠AOC 与∠BOD 是对应角 C. OC 与 OB 是对应边 D. OC 与 OD 是对应边 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. 图中的两个三角形全等,则∠1 等于(　 　 ) A. 45° B. 62° C. 73° D. 135° 4. 如图,若△ABC≌△DEF,B、E、C、F 在同一 直线上,BC= 7,EC= 4,则 CF 的长是(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. 如图,在△ABC 中,∠B = 80°,∠C = 30°. 若 △ABC≌△ADE,∠DAC = 35°,则∠EAC 的 度数为(　 　 ) A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 6. 已知△ABC≌△DEF,BC = EF = 6 m,△ABC 的面积为 18 m2, 则 EF 边上的高的长 是(　 　 ) A. 3 m B. 4 m C. 5 m D. 6 m 7. 三个全等三角形按如图的形式摆放,则∠1+ ∠2+∠3 的度数是(　 　 ) A. 90° B. 120° C. 135° D. 180° 8. 数学思想·分类讨论 已知有两个三角形全 等,若一个三角形三边的长分别为 3,5,7,另一 个三角形三边的长分别为 3,3a-2b,a+2b,则 a +b 的值为(　 　 ) A. 4　 　 B. 5　 　 C. 6 或 4　 　 D. 5 或 4 二、填空题(每题 3 分,共 12 分) 9. 如图,若把△ABC 绕点 A 旋转一定的角度得 到 △ADE, 则 图 中 全 等 的 三 角 形 记 为 　 　 　 　 　 　 ,∠BAC 的对应角为 　 　 　 , DE 的对应边为　 　 　 　 . 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,N,C,A 三点在同一直线上,N,B,M 三点在同一直线上, 在 △ABC 中, ∠A ∶ ∠ABC ∶ ∠ACB = 3 ∶ 5 ∶ 10, 若 △MNC ≌ △ABC,则∠BCM 的度数等于　 　 　 　 . 11. 如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AC,BC 上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则AB BC = 　 　 　 　 ,∠C 的度数为　 　 　 　 . 第 11 题图 　 　 第 12 题图 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 7 页 12. [学科内融合] 如图,在平面直角坐标系 中,△OAB 的顶点坐标分别是 A( -6,0),B (0,5),△OA′B′≌△AOB,若点 A′在 x 轴 上,则点 B′的坐标是　 　 　 　 . 三、解答题(共 34 分) 13. (8 分) 如图, △ABC≌ △ADE,分别延长 BC,ED 交于点 F, ∠BAC = 50°, ∠CAD = 60°,求∠F 的度数. 14. (8 分)如图,已知△ABF≌△CDE. (1)若∠B = 30°,∠DCF = 40°,求∠EFC 的 度数; (2)若 BD= 10,EF= 2,求 BF 的长. 15. (8 分)如图,A,E,C 三点在同一直线上,且 △ABC≌△DAE. (1)线段 DE,CE,BC 有怎样的数量关系? 请说明理由; (2)请你猜想△ADE 满足什么条件时,DE ∥BC,并证明. 16. (10 分)如图,点 B,C,D 在同一条直线上, ∠B = ∠D = 90°,△ABC≌ △CDE,AB = 7, BC= 24,CE= 25. (1)求△ABC 的周长; (2)求△ACE 的面积. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 8 页 三角形全等的判定 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:55 分 一、选择题(每题 3 分,共 18 分) 1. 已知在△ABC 和△A′B′C′中,AB = A′B′,AC =A′C′,下列条件中,不一定能得到△ABC≌ △A′B′C′的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. BC=B′C′ B. ∠A= ∠A′ C. ∠C= ∠C′ D. ∠B= ∠B′= 90° 2. 如图,点 F,C 在 BE 上,AC=DF,BF=EC,AB =DE,AC 与 DF 相交于点 G,则与 2∠DFE 相等的是(　 　 ) A. ∠A+∠D B. 3∠B C. 180°-∠FGC D. ∠ACE+∠B 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. 生活情境·配玻璃 (扬州中考)如图,小明家 仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了,需要 重新配一块. 小明通过电话给玻璃店老板提 供相关数据,为了方便表述,将该三角形记为 △ABC,提供下列各组元素的数据,配出来的 玻璃不一定符合要求的是(　 　 ) A. AB,BC,CA B. AB,BC,∠B C. AB,AC,∠B D. ∠A,∠B,BC 4. Rt△ABC、Rt△DEF 如图放置,其中∠ACB = ∠DFE= 90°,AB=DE 且 AB⊥DE,DE 与 AB 相交于点 G,DF 与 AB 相交于点 H. 若 DF = a,BC= b,CF= c,则 AE 的长为(　 　 ) A. a+c B. b+c C. a+b-c D. a-b+c 第 4 题图 　 　 　 　 　 　 第 5 题图 5. [教材习题 3 变式](信阳期末)在测量一个 小口圆形容器的壁厚时,小明用“ x 型转动 钳”按如图方法进行测量,其中 OA=OD,OB =OC,测得 AB= 5 厘米,EF= 7 厘米,圆形容 器的壁厚是(　 　 ) A. 1 厘米 B. 2 厘米 C. 5 厘米 D. 7 厘米 6. 学习情境·题目讨论 (北京期中)老师布置 的作业中有这么一道题: 　 　 如图,在△ABC 中,D 为 BC 的中点,若 AC = 3,AD = 4,则 AB 的长不可能是( 　 　 ) A. 5　 　 B. 7　 　 C. 8　 　 D. 9 甲同学认为 AB,AC,AD 这三条边不在同一 个三角形中,无法解答,老师给的题目有错 误. 乙同学认为可以从中点 D 出发,构造辅 助线,利用全等的知识解决. 丙同学认为可 以从点 C 作平行线,构造辅助线,利用全等 的知识解决. 你认为正确的是(　 　 ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 乙和丙 二、填空题(每题 3 分,共 9 分) 7. [教材练习 2 变式]如图,为测量 B 点到河 对面的目标 A 之间的距离,他们在 B 点同 侧选择了一点 C,测得∠ABC= 70°,∠ACB= 40°,然后在 M 处立了标杆,使∠CBM= 70°, ∠BCM= 40°,那么需要测量　 　 　 　 ,才能 测得 A、B 之间的距离,依据是: 　 . 第 7 题图 　 　 第 8 题图 8. 如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,点 D 在边 AC 上,DE⊥AB 于点 E,DC =DE,∠A = 32°, 则∠BDC 的度数为　 　 　 　 . 9. (洛阳期中)如图,EB 交 AC 于点 M,交 CF 于点 D,AB 交 FC 于点 N,∠E = ∠F = 90°, ∠B= ∠C,AE=AF,给出下列 结论:①∠1 = ∠2;②CD = DN;③△ACN≌ 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 9 页 △ABM;④ BE = CF. 其中正确的结论有 　 　 　 　 . (填序号) 三、解答题(共 28 分) 10. (8 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,点 D,E 在 BC 上(BD<BE),BD=CE. (1)求证:△ABD≌△ACE; (2)若∠ADE= 2∠B,BD= 2,求 AE 的长. 11. (9 分)如图,已知△ABC 和△CDE 均是直 角三角形,∠ACB = ∠CED = 90°,AC = CE, AB⊥CD 于点 F. (1)求证:△ABC≌△CDE; (2)若点 B 是 EC 的中点,DE = 10 cm,求 AC 的长. 12. 核心素养·推理能力 (11 分)一节数学课 后,老师布置了一道课后练习题: 如图,已知在 Rt△ABC 中,AB =BC,∠ABC = 90°,BO⊥AC 于点 O,点 P、D 分别在 AO 和 BC 上,PB =PD,DE⊥AC 于点 E,求证: △BPO≌△PDE. (1)理清思路,完成解答. 本题证明的思路可用下列框图表示: 根据上述思路,请你完整地书写本题的证 明过程; (2)特殊位置,证明结论. 若 PB 平分∠ABO,其余条件不变. 求证: AP=CD. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 10 页 角的平分线的性质 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:70 分 一、选择题(每题 3 分,共 18 分) 1. [教材例题变式]三角形内到三边的距离相 等的点是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 无法确定 2. 如图,OD 平分∠AOB,DE⊥AO 于点 E,DE = 4,点 F 是射线 OB 上的任意一点,则 DF 的长度不可能是(　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 如图, PM ⊥ OA, PN ⊥ OB, 若 PM = PN, ∠BOC= 30°,则∠AOB 的度数为(　 　 ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 50° 第 3 题图 　 第 4 题图 4. [教材练习 2 变式]如图,△ABC 的外角的 平分线 BD 与 CE 相交于点 P,若点 P 到 AC 的距离为 3,则点 P 到 AB 的距离为(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图,在四边形 ABCD 中,∠B = 90°,BC = 3, 连接 AC,AC⊥CD,垂足为 C,并且∠ACB = ∠D,点 E 是 AD 边上一动点,则 CE 的最小 值是(　 　 ) A. 1. 5 B. 3 C. 3. 5 D. 4 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 6. 如图,O 是△ABC 内一点,且 O 到三边 AB、 AC、BC 的距离 OF = OE = OD,若∠BAC = 70°,则∠DOC= (　 　 ) A. 35° B. 55° C. 62° D. 62. 5° 二、填空题(每题 3 分,共 9 分) 7. 如图,BD 是△ABC 的角平分 线,DE⊥AB 于点 E,△BDC 的 面积 为 24, BC = 12, 则 DE = 　 　 　 　 . 8. 如图,在四边形 ABCD 中,∠B= 90°,AD=BC = 4,AB= 6,若 AC 平分∠BAD,则四边形 AB- CD 的面积为　 　 　 　 . 第 8 题图 　 　 第 9 题图 9. 如图,在∠AOB 的边 OA,OB 上取点 M,N, 连接 MN,PM 平分∠AMN,PN 平分∠MNB, 若 MN= 2,△PMN 的面积是 2,△OMN 的面 积是 8,则△OMN 的周长是　 　 　 　 . 三、解答题(共 43 分) 10. [教材习题 6 变式] (6 分)如图是一块三 角形草坪,现要在草坪上建一个凉亭 P 供 大家休息,且凉亭 P 到草坪三边的距离相 等,利用直尺和圆规,确定凉亭 P 的位置. (保留作图痕迹,不写作法) 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 11 页 11. [教材习题 2 变式] (8 分)如图所示,AD 是△ABC 的中线,DF⊥AC,DE⊥AB,垂足 分 别 为 F, E, BE = CF. 求 证: AD 平 分∠BAC. 12. ( 10 分 ) 如 图, 在 △ABC 中, AD 平 分 ∠BAC,∠C = 90°,DE⊥AB 于点 E,点 F 在 AC 上,BD=DF. (1)求证:CF=EB; (2)若 AB= 12,AF= 8,求 CF 的长. 13. 核心素养·推理能力 ( 8 分) 如图,OC 是 ∠AOB 的平分线,P 是 OC 上的一点,PD ⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为 D、E,点 F 是 OC 上的另一点,连接 DF,EF. 求证:DF =EF. 14. (11 分)(渑池期末)已知 OM 是∠AOB 的 平分线,点 P 是射线 OM 上一点,点 C、D 分别在射线 OA、OB 上,连接 PC、PD. (1)如图 1,当 PC⊥OA,PD⊥OB 时,则 PC 与 PD 的数量关系是　 　 　 　 ; (2)如图 2,点 C、D 在射线 OA、OB 上滑 动,且∠AOB = 90°,当 PC⊥PD 时,PC 与 PD 在(1) 中的数量关系还成立吗? 说明 理由. 图 1 　 　 图 2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 12 页 第十三章　 轴对称 轴对称 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:65 分 一、选择题(每题 3 分,共 21 分) 1. 文化情境·民族特色 我国是一个历史悠久 的多民族国家,每个民族都有自己的特色 元素,针对各民族的特色元素,某设计师设 计了 56 幅“似图似字”的图案. 下面是其中 的四幅,其文字上方的图案是轴对称图形 的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 土家族 B. 东乡族 C. 汉族 D. 佤族 2. 如图,若△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对 称,则下列结论不一定正确的是(　 　 ) A. ∠BAC= ∠B′A′C′ B. △ABC≌△A′B′C′ C. 直线 l 垂直平分 AA′ D. BB′= 2AA′ 第 2 题图 　 　 　 　 　 第 3 题图 3. (禹州期中)如图所示的图形为轴对称图 形,该图形的对称轴条数为(　 　 ) A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 4. 学习情境·动手能力 (周口期中)用两个全 等的含 30°角的直角三角板以相等的边为 公共边进行不重叠拼图,能拼成的轴对称 图形的个数为(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图,DE 是△ABC 中 AC 边的垂直平分线, 若 BC = 6 cm,AB = 8 cm,则△EBC 的周长 为(　 　 ) A. 14 cm B. 18 cm C. 20 cm D. 22 cm 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 6. 如图, 在△ABC 中,AB、AC 的垂直平分线分 别交 BC 于点 F、 E, 若 ∠BAC = 110°, 则 ∠EAF 为(　 　 ) A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 7. 学习情境·作法判断 (漯河期中) 如图,在 △ABC 中,BC>AB>AC,甲,乙两人想在 BC 上取一点 P,使得∠APC = 2∠ABC;其作法 如下:(甲)作 AB 的中垂线,交 BC 于 P 点, 则 P 即为所求;(乙)以 B 为圆心,AB 长为 半径画弧,交 BC 于 P 点,则 P 即为所求;对 于两人的作法,下列判断正确的是(　 　 ) A. 两人皆正确 B. 两人皆错误 C. 甲正确,乙错误 D. 甲错误,乙正确 二、填空题(每题 3 分,共 12 分) 8. 生活情境·照镜子 (安阳期中)小红站在平 面镜前,通过镜子看到电子钟的示数如图所 示,这时的时刻应是　 　 　 　 . 第 8 题图 　 　 第 9 题图 9. (洛阳期中)如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于 D 点,BD = CD,若 BC = 6,AD = 5,则图中阴 影部分的面积为　 　 　 　 . 10. (深圳月考)如图,把一张长方形的纸按图 那样折叠后,B、D 两点落在 B′、D′点处,若 得 ∠AOB′ = 70°, 则 ∠B′ OG 的 度 数 为　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 13 页 第 10 题图 　 　 第 11 题图 11. 如图,∠AOB= 45°,点 P 在∠AOB 内,且 OP = 8,点 P 关于直线 OA 的对称点为 P1,点 P 关于直线 OB 的对称点为 P2,连接 OP1、 OP2、P1P2,则△OP1P2 面积等于　 　 　 　 . 三、解答题(共 32 分) 12. [教材习题 12 变式] (8 分)如图所示,CD 和 EF 是两条互相垂直的道路,A、B 是某 公司的两个销售点,公司要在 P 处修建一 个货运站,使 P 到两条道路的距离相等, 且到 A、B 两个销售点的距离相等,请作出 符合条件的点 P 的位置. (要求:尺规作 图,保留作图痕迹,不写作法) 13. (8 分) 如图, △ABC 与△ADE 关于直线 MN 对称,BC 与 DE 的交点 F 在直线 MN 上. 若 ED = 4 cm,FC = 1 cm,∠BAC = 76°, ∠EAC= 58°. (1)求出 BF 的长度; (2)求∠CAD 的度数; (3)连接 EC,线段 EC 与直线 MN 有什么 关系? 14. (8 分)如图,在△ABC 中,AD⊥BC,EF 垂 直平分 AC,交 AC 于点 F,交 BC 于点 E,且 BD=DE. (1)若∠BAE= 40°,求∠C 的度数; (2)若△ABC 周长为 13 cm,AC = 6 cm,求 DC 长. 15. (8 分)如图,Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,D 是 AC 上一点,BC =DC,过点 D 作 AC 的垂 线交 AB 于点 E,连接 BD 交于点 F. 求证: CE 垂直平分 BD. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 14 页 画轴对称图形 测试时间:20 分钟　 　 测试分数:30 分 一、选择题(每题 3 分,共 15 分) 1. [教材例题变式]如图,分别以直线 l 为对称 轴所作轴对称图形错误的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. (商丘期中)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P ( -3,5)关于 y 轴对称的点的坐标是(　 　 ) A. ( -3,-5) B. (3,-5) C. (3,5) D. (5,-3) 3. (濮阳期中) 点 P 关于 x 轴的对称点为 (a,-1),关于 y 轴的对称点为( - 2,b),那 么点 P 的坐标是(　 　 ) A. (a,-b) B. (b,a) C. ( -1,-2) D. (2,1) 4. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 位于第 二象限,点 A 的坐标是( -2,3),先把△ABC 向右平移 4 个单位长度得到△A1B1C1,再作 与△A1B1C1 关于 x 轴对称的△A2B2C2,则点 A 的对应点 A2 的坐标是(　 　 ) A. ( -3,2) B. (2,-3) C. (1,-2) D. ( -1,2) 5. [学科内融合] (云南模拟)若点 M(1-2m, m-1)关于 y 轴的对称点在第一象限,则 m 的取值范围在数轴上表示正确的是(　 　 ) A. B. C. D. 二、填空题(每题 3 分,共 6 分) 6. 如图,在棋盘中建立直角 坐标系 xOy,三颗棋子 A, O, B 的 位 置 分 别 是 ( -1,1),(0,0) 和(1,0) . 如果在其他格点位置添加 一颗棋子 C,使 A,O,B,C 四颗棋子连线后 成为一个轴对称图形,请写出所有满足条件 的棋子 C 的位置的坐标: 　 . 7. 学习情境·规律探索 如图,在平面直角坐标 系中,对△ABC 进行循环往复的轴对称变换, 若原来点 A 坐标是(a,b),则经过第 2 027 次 变换后所得的 A 点坐标是　 　 　 　 . 三、解答题(共 9 分) 8. (9 分)如图所示的正方形网格中,每个小正 方形的边长都为 1,△ABC,△EFD 的顶点 都在网格线的交点上,在图中建立平面直角 坐标系 xOy,使△ABC 与△EFD 关于 y 轴对 称,点 C 的坐标为( -1,1) . (1)在图中画出平面直角坐标系 xOy; (2) ①写出点 B 关于 x 轴的对称点 B1 的 坐标; ② 画 出 △ABC 关 于 x 轴 对 称 的 图 形 △A1B1C1,其中点 A 的对称点是 A1,点 C 的 对称点是 C1 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 15 页 等腰三角形 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:70 分 一、选择题(每题 3 分,共 24 分) 1. 如果等腰三角形一内角的度数是 80°,则这 个等腰三角形顶角的度数是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 100° B. 80° C. 50°或 80° D. 20°或 80° 2. 生活情境·衣架 如图,衣架框内部可以近似 看成一个等腰三角形, 记为等腰三角形 ABC,若 AB = AC = 26 cm,D 是 BC 的中点, ∠ABC= 30°,则 AD 的长为(　 　 ) A. 11 cm B. 12 cm C. 13 cm D. 14 cm 第 2 题图 　 第 3 题图 3. 生活情境·平板保护套 将一平板保护套展 开放置在水平桌面上,其侧面示意图如图 所示,若 AB=BC,∠DBA= 100°,则∠A 的度 数为(　 　 ) A. 40° B. 50° C. 80° D. 100° 4. [教材练习 1 变式]如图,在△ABC 中,AC = BC,∠C = 36°,AD 平分∠BAC,则图中等腰 三角形的个数是(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 5. 如图,在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,BD = AD=AC,E 为 CD 的中点,若∠CAE = 16°,则 ∠B 的大小为(　 　 ) A. 32° B. 36° C. 37° D. 74° 6. (漯河期中)等腰三角形一腰上的高与另一 腰的夹角是 20°,则顶角的度数为(　 　 ) A. 70°或 110° B. 50°或 110° C. 80°或 100° D. 70°或 100° 7. [教材习题 10 变式]如图,△ABC 的两个内 角的平分线 BO,CO 相交于点 O,过点 O 作 MN∥BC 分 别 交 AB, AC 于 点 M, N, 若 △AMN 的周长为 15,BC = 8,则△ABC 的周 长为(　 　 ) A. 15 B. 19 C. 23 D. 31 第 7 题图 　 第 8 题图 8. 如图,已知∠MON= 30°,点 A1,A2,A3,…,在 射线 ON 上,点 B1,B2,B3,…,在射线 OM 上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…,均为 等边三角形,若 OA1 = 2,则△A6B6A7 的边长 为(　 　 ) A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 二、填空题(每题 3 分,共 12 分) 9. [教材习题 6 变式] (重庆期末) 如图,在 △ABC 中,AB = AC,点 D,E 都在边 BC 上, ∠BAD = ∠CAE. 若 BD = 7, 则 CE 的 长 为　 　 　 　 . 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD=AE,若∠B = 55°,∠BAD= 50°,则∠EDC= 　 　 　 　 . 11. 一个等腰三角形的三边长分别为 12,a+2, 3a - 6 则 这 个 等 腰 三 角 形 的 周 长 为　 　 　 　 . 12. 如图,已知 AB = AC,AD 平 分 ∠BAC, ∠DEB = ∠EBC = 60°,若 BE = 5,DE = 2,则 BC= 　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 16 页 三、解答题(共 34 分) 13. (8 分)如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,AC=CB,F 是 AB 边上的中点,点 D、E 分别在 AC、BC 边上运动,且始终保持 AD =CE,连接 DE、DF、EF. (1)求证:△ADF≌△CEF; (2)试证明△DFE 是等腰直角三角形. 14. (8 分)如图,已知 AE⊥BC,∠ADB = 120°, ∠B= 40°,∠CAE= 30°. (1)求证:△ACD 为等边三角形; (2)求∠BAC 的度数. 15. (8 分)如图,已知△ABC,AB = AC,点 D 在 线段 BC 上,点 E 在线段 AC 上,设∠BAD= α,∠CDE=β. (1)如果∠B = 60°,α = 20°,β = 10°,那么 △ADE 是什么特殊三角形? 请说明理由; (2)猜想 α 与 β 之间有什么关系时,使得 AD=AE,并进行证明. 16. (10 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°, ∠A= 30°,BC= 12 cm. 动点 P 从点 A 出发, 沿 AB 向点 B 运动,动点 Q 从点 B 出发,沿 BC 向点 C 运动,如果动点 P 以 2 cm / s,Q 以 1 cm / s 的速度同时出发,设运动时间为 t(s),解答下列问题: (1) t 为多少时,△PBQ 是等边三角形? (2)P、Q 在运动过程中,△PBQ 的形状不 断发生变化,当 t 为多少时,△PBQ 是直角 三角形? 请说明理由. 　 　 备用图 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 17 页 最短路径问题 测试时间:20 分钟　 　 测试分数:30 分 一、选择题(每题 3 分,共 18 分) 1. [教材问题 2 变式]A,B 两地在一条河的两 岸,现在要在河上造一座桥 MN,能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短的是(假定河的两 岸是平行线,桥与河岸垂直)(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. 如图,在△ABC 中,AB =AC,AD、CE 是△ABC 的两条中线,P 是 AD 上一个动点,则下列线 段的长度等于 BP+EP 最小值的是(　 　 ) A. BC B. CE C. AD D. AC 第 2 题图 　 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,等腰△ABC 的底边 BC 的长为 4 cm,面 积为 16 cm2,腰 AB 的垂直平分线 EF 分别交 AB,AC 于点 E,F,若 D 为 BC 边上的中点,M 为线段 EF 上一动点,则△BDM 的周长最小 值为(　 　 ) A. 10 cm B. 15 cm C. 20 cm D. 25 cm 4. 如图,在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,过点 D 作 DE⊥BC 交 AB 于点 E,P 为 DC 上的一个 动点,连接 PA、PE,若 PA+PE 最小,则点 P 应该满足(　 　 ) A. PA=PC B. PA=PE C. ∠APE= 90° D. ∠APC= ∠DPE 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. 如图, 点 P 是 ∠AOB 内任意一点, OP = 5 cm,点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点, △PMN 周长的最小值是 5 cm,则∠AOB 的度数是(　 　 ) A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 6. (信阳二模)如图,点 E 在等边 △ABC 的边 BC 上,BE = 6,射 线 CD⊥BC 于点 C,点 P 是射 线 CD 上一动点,点 F 是线段 AB 上一动点,当 EP+PF 的值最小时,BF = 7,则 AC 为(　 　 ) A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 二、填空题(每题 3 分,共 6 分) 7. 如图,已知△ABC 为等边三角形,高 AH = 5 cm,P 为 AH 上一动点,D 为 AB 的中点, 则 PD+PB 的最小值为　 　 　 　 cm. 第 7 题图 　 　 　 　 第 8 题图 8. [学科内融合]在平面直角坐标系 xOy 中,A (1,3),B(3,-1),点 P 在 y 轴上,当 PA+PB 取得最小值时,点 P 的坐标为　 　 　 　 . 三、解答题(共 6 分) 9. 生活情境·铺设管道 (6 分) (1)如图 1,要在一条笔直的路边 l 上建一 个燃气站,向 l 同侧的 A、B 两个城镇分别铺 设管道输送燃气. 试确定燃气站的位置,使 铺设管道的路线最短; (2)如图 2,如果在 A、B 两个城镇之间规划 一个生态保护区,燃气管道不能穿过该区 域,试确定燃气站的位置,使铺设管道的路 线最短. 图 1 　 　 　 　 图 2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 18 页 第十四章　 整式的乘法与因式分解 整式的乘法 测试时间:20 分钟　 　 测试分数:45 分 一、选择题(每题 3 分,共 18 分) 1. 下列运算正确的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 4m-m= 3 B. 2m2·m3 = 2m5 C. ( -m3) 2 =m9 D. 2m6 ÷m2 = 2m3 2. 已知 a= -34,b= ( -3) 4,c= (23 ) 4,d= (22 ) 6, 则下列判断正确的是(　 　 ) A. a= b,c=d B. a= b,c≠d C. a≠b,c=d D. a≠b,c≠d 3. 若 2x =a,2y = b,则 22x+y 的值等于(　 　 ) A. a2b B. a2 +b C. 2a+b D. 2ab 4. 计算( 2 3 ) 2 025 ×( -1. 5) 2 026 ×( -1) 2 025 的结果 是(　 　 ) A. 2 3 B. 3 2 C. - 2 3 D. - 3 2 5. 如果单项式- 3x4m-ny2 与 1 3 x3ym+n 的和仍是 单项式,那么这两个单项式的积为(　 　 ) A. -x6y4 B. x6y4 C. x3y2 D. -3x3y2 6. 小轩计算一道整式乘法的题:(3x+2m) (5x -6),由于小轩将第一个多项式中的“ +2m” 抄成“ -2m”,得到的结果为 15x2 -78x+72, 则 m 的值为(　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题(每题 3 分,共 12 分) 7. 若 52a+3 · 5b-2 = 510, 则 2a + b 的 值 是　 　 　 　 . 8. 已知 2x = 8y+1,9y = 3x-9,则代数式 1 3 x+ 1 2 y 的 值为　 　 　 　 . 9. 学习情境·墨迹覆盖 数学课上,老师讲了单 项式乘多项式,放学回到家,李刚拿出课堂 笔记复习,发现一道题:-4xy(3y- 2x- 3) = -12xy2□+12xy,□的地方被墨水弄污了,你 认为□内应填写　 　 　 　 . 10. 学习情境·设置密码 如图,王老师把家里 的 wifi 密码设置成了数学问题. 小明同学 来王老师家做客,看到 wifi 图片,思索了一 会儿,输入密码,顺利地连接到了王老师家 里的网络,那么他输入的密码是　 　 　 　 . 三、解答题(共 15 分) 11. (7 分)先化简,再求值:[ 2x( x2y- xy2 ) + xy(xy-x2)] ÷x2y. 其中 x= 2 026,y= 2 025. 12. 文化情境·植树节 (8 分)3 月 12 日是我国 植树节,河南省定下了“五年增绿山川平 原,十年建成森林河南” 的目标. 如图,郑 州市有一块长(3a+b)米,宽为(2a+b)米的 长方形地块,规划部门计划将阴影部分进 行绿化,在中间正方形空白处建一座雕像. 绿化的面积是多少平方米? 并求出当 a = 5,b= 2 时的绿化面积. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 19 页 乘法公式 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:60 分 一、选择题(每题 3 分,共 18 分) 1. 下列计算能运用平方差公式的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. (m+n)( -m-n) B. (2x+3)(3x-2) C. (5a2 -b2c)(bc2 +5a2) D. ( 2 3 m2 - 3 4 n2)( - 2 3 m2 - 3 4 n2) 2. 计算( -a-b) 2 的结果是(　 　 ) A. a2 +b2 B. a2 -b2 C. a2 +2ab+b2 D. a2 -2ab+b2 3. 若 ( x - n) 2 = x2 + x + m, 则 m, n 的值分 别是(　 　 ) A. 1 4 ,- 1 2 B. 1 4 , 1 2 C. 1 2 , 1 4 D. - 1 2 , 1 4 4. 如果两数和的平方的结果是 x2 +(a- 1) x+ 25,那么 a 的值是(　 　 ) A. -9 B. -9 或 11 C. 9 或-11 D. 11 5. 学习情境·接力游戏 老师设计了接力游戏, 用合作的方式完成运算,规则是:每人只能 看到前一人给的式子,并进行一步计算,再 将结果传递给下一人,最后完成化简,过程 如图所示. 其中自己负责的一步出现错误的 是(　 　 ) A. 只有甲 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 6. 学习情境·拼正方形 现有甲、乙、丙三种不 同的纸片各 4 块(边长如图,a>b) . 嘉嘉准 备从中挑选一些纸片紧密拼接成一个正方 形,下列无法实现的方案是(　 　 ) A. 2 块甲、1 块乙、4 块丙 B. 1 块甲、4 块乙、4 块丙 C. 4 块甲、1 块乙、4 块丙 D. 1 块甲、1 块乙、2 块丙 二、填空题(每题 3 分,共 9 分) 7. (许昌期末) 计算: 2 0252 - 2 024 × 2 026 = 　 　 　 　 . 8. (商丘期末)若 x2 +2(m-3) x+16 是完全平 方式,则 m 的值等于　 　 　 　 . 9. 文化情境·杨辉三角 我国古代数学的许多 创新和发展都位居世界前列,如南宋数学家 杨辉(约 13 世纪)所著的《详解九章算术》 一书中,用如图的三角形解释二项和(A+ B) n 的展开式的各项系数,此三角形称为 “杨辉三角”,根据“杨辉三角”计算(A+B) 9 的展开式中第三项的系数为　 　 　 　 . 三、解答题(共 33 分) 10. (8 分)(1)a(3-2a) +2(a+1)(a-1); 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 20 页 (2)4(y+1) 2 -(2y+3)(2y-3) . 11. (8 分)已知 2a2 +3a-6 = 0,求式子 3a(2a+ 1) -(2a+1)(2a-1)的值. 12. 学科素养·阅读理解 (8 分)阅读材料后解 决问题. 小明遇到下面一个问题: 计算(2+1) ×(22 +1) ×(24 +1) ×(28 +1). 经过观察,小明发现如果将原式进行适当 的变形后可以出现特殊的结构,进而可以 应用平方差公式解决问题,具体解法如下: 　 (2+1) ×(22 +1) ×(24 +1) ×(28 +1) = (2-1)×(2+1)×(22+1)×(24+1)×(28+1) = (22 -1) ×(22 +1) ×(24 +1) ×(28 +1) = (24 -1) ×(24 +1) ×(28 +1) = (28 -1) ×(28 +1) = 216 -1. 请你根据小明解决问题的方法,试着计算 (3+1)×(32+1)×(34+1)×(38+1)×(316+1). 13. (9 分)如图①是一个长为 2a、宽为 2b 的 长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小 长方形,然后按图②的形状拼成一个正 方形. (1)观察图②. 请你直接写出下列三个式 子:(a+b) 2、(a-b) 2、ab 之间的等量关系式 为　 　 　 　 　 ; (2)若 m、n 均为实数,且 m+n = - 2,mn = -3,运用(1)所得到的公式求 m-n 的值; (3)如图③,S1、S2 分别表示边长为 x、y 的 正方形的面积,且 A、B、C 三点在一条直线 上,若 S1 +S2 = 20,x+y= 6,求图中阴影部分 的面积. 图① 　 图② 　 图③ 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 21 页 因式分解 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:70 分 一、选择题(每题 3 分,共 21 分) 1. 下列等式从左到右的变形,属于因式分解的 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. m(a+b)= ma+mb B. x2 +2x+1 = x(x+2) +1 C. x2 +x= x2(1+ 1 x ) D. x2 -9 = (x+3)(x-3) 2. 对于①a-2ab=a(1-2b),②(a+2) (a-1)= a2 + a - 2, 从左到右的变形, 表述正确的 是(　 　 ) A. ①是因式分解,②是乘法运算 B. ①是乘法运算,②是因式分解 C. ①②都是因式分解 D. ①②都是乘法运算 3. 下列各式中,不能用平方差公式分解因式的 是(　 　 ) A. -4a2 -b2 B. -4a2 +b2 C. a2 -b4 D. 9a2 -16b2 4. 把-a(x-y) -b(y-x) +c(x-y)分解因式,正 确的结果是(　 　 ) A. (x-y)( -a-b-c) B. (y-x)(a-b-c) C. -(x-y)(a+b+c) D. -(y-x)(a+b-c) 5. 若9a2(x-y) 2 -3a( y-x) 3 = M·(3a+x-y), 则 M 等于(　 　 ) A. y-x B. x-y C. 3a(x-y) 2 D. -3a(x-y) 6. 将下列多项式因式分解,结果中不含因式 (x+2)的是(　 　 ) A. 2x2 +4x B. 3x2 -12 C. x2 +x-6 D. (x-2) 2 +8(x-2) +16 7. 学习情境·编译密码 (南京模拟)小军是一 位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有 这样一条信息:x-y,a-b,c,x2 -y2,a,x+y,分 别对应下列六个字:我,学,数,练,习,爱. 现 将 ac(x2 -y2 ) -bc(x2 -y2 )因式分解,结果呈 现的密码信息可能是(　 　 ) A. 我爱练习 B. 我爱数学 C. 我爱学习 D. 练习数学 二、填空题(每题 3 分,共 15 分) 8. 多项式 12ab3c+8a3b 的公因式是　 　 　 　 . 9. 已知 a+b = 3,a-b = 5,则式子 a2 -b2 的值是 　 　 　 　 . 10. 已知三角形三边长 a,b,c 满足(a-b) 2 +(a -b) c = 0,则此三角形一定是 　 　 　 　 三 角形. 11. 已知长方形的边长为 a 和 b,周长为 12,面 积为 8,则 a2b+ab2 的值为　 　 　 　 . 12. 如图,将一张大长方形纸板按图中实线裁 剪成 9 块,其中有 2 块是边长为 a 厘米的 大正方形,2 块是边长都为 b 厘米的小正 方形,5 块是长为 a 厘米,宽为 b 厘米的相 同的小长方形,且 a>b. 观察图形,可以发 现代数式 2a2 + 5ab + 2b2 可以因式分解 为　 　 　 　 . 三、解答题(共 34 分) 13. (8 分)分解因式: (1)16(x-y) 2 -25(x+y) 2; 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 22 页 (2)(x2 +6x) 2 +18(x2 +6x) +81. 14. (8 分)已知 a+b= 1,ab = 1 4 ,利用因式分解 求 a(a+b)(a-b) -a(a+b) 2 的值. 15. 数学思想·整体思想 (9 分)(濮阳期末)先 阅读下列材料,再解答下列问题: 材料:因式分解:(x+y) 2 +2(x+y) +1. 解:将“x+y”看成整体,设 x+y =m,则原式 =m2 +2m+1 = (m+1) 2 . 再将 x+y=m 代入,得原式= (x+y+1) 2 . 上述解题用到的是“整体思想”,“整体思 想”是数学解题中常用的一种思想方法. 请你完成下列各题: (1)因式分解:1-2(x-y) +(x-y) 2; (2)因式分解:25(a+2) 2 -10(a+2) +1; (3)因式分解:(y2 -6y)(y2 -6y+18) +81. 16. 数学思想·类比思想 (9 分)问题情境:我 们知道形如 a2 ±2ab+b2 的式子称为完全平 方式. 对于一些不是完全平方式的多项式, 我们可做如下变形:先添加一个适当的项, 使式子中出现完全平方式,再减去这个项, 使整个式子的值不变,这种方法叫作配方 法. 配方法是一种重要的解决数学问题的 方法,不仅可以将有些看似不能分解的多 项式分解因式,还能解决一些与非负数有 关的问题及求代数式最大、最小值等问题. 例如:分解因式 x2 -2x-3. 解:原式= x2 -2x+1-1-3 = (x2 -2x+1) -4 = (x-1) 2 -4 = (x-1+2)(x-1-2) = (x+1)(x-3); 例如:求代数式 x2 +4x+6 的最小值. 解:原式= x2 +4x+4-4+6 = x2 +4x+4+2 = (x+2) 2 +2. ∵ (x+2) 2≥0, ∴ 当 x= -2 时,x2 +4x+6 有最小值是 2. 解决问题: (1)若多项式 x2 -10x+m 是一个完全平方 式,那么常数 m 的值为　 　 　 　 ; (2)分解因式:x2 +8x+7; (3) 求代数式 - x2 - 12x + 9 的最大或最 小值. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 23 页 第十五章　 分式 分式 测试时间:20 分钟　 　 测试分数:40 分 一、选择题(每题 3 分,共 12 分) 1. 下列各式中,分式的个数有(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　①3x+ 1 2 ;② 1 2 ;③-m +n 3 ;④ 3 x+3 ;⑤x +1 π A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 无 论 a 取 何 值, 下 列 分 式 总 有 意 义 的是(　 　 ) A. a +1 a2 B. a -1 a2 +1 C. 1 a2 -1 D. 1 a+1 3. 下 列 各 式 从 左 到 右 的 变 形 一 定 正 确 的是(　 　 ) A. A B = A·M B·M B. A B = A÷M B÷M C. b 2a = b+1 2a+1 D. 1 x+2 = 3 3x+6 4. 中考新趋势·新定义 如果一个分式的分子 或分母可以因式分解,且这个分式不可约 分,那么我们称这个分式为“和谐分式”,下 列分式中是和谐分式的是(　 　 ) A. x 2 -y2 (x+y) 2 B. x +y x2 -y2 C. x -2y x2 -y2 D. x -2 x2 +2 二、填空题(每题 3 分,共 9 分) 5. 有分别写有 x,x+1,x- 1 的三张卡片,若从 中任选一个作为分式 (　 　 ) x2 -1 的分子,使得 分式为最简分式,则应选择写有　 　 　 　 的 卡片. 6. 若 1 - | x | x2 -2x+1 = 0,则 1 x2 025 -1 = 　 　 　 　 . 7. 已知分式 2 3x2 -12 , 1 x-2 ,其中 m 是这两个分 式中分母的公因式,n 是这两个分式的最简 公分母,且 n m = 8,则 x= 　 　 　 　 . 三、解答题(共 19 分) 8. (9 分)已知分式 x -a 2x+b ,当 x = 4 时,分式没有 意义;当 x = - 3 时,分式的值为零. 求分式 a+b a-2b 的值. 9. 数学思想·类比思想 (10 分)我们知道:分 式和分数有着很多的相似点. 如类比分数的 基本性质,我们得到了分式的基本性质,等 等. 小学里,把分子比分母小的分数叫作真 分数. 类似的,我们把分子的次数小于分母 的次数的分式称为真分式,反之,称为假分 式. 对于任何一个假分式都可以化成整式与 真分式的和的形式,如x +1 x-1 = x-1+2 x-1 = x-1 x-1 + 2 x-1 = 1+ 2 x-1 . (1)下列分式中,属于真分式的是　 　 　 　 ; A. x 2 x-1 　 B. x -1 x+1 　 C. - 3 2x-1 　 D. x 2 +1 x2 -1 (2)将假分式m 2 +3 m+1 ,化成整式和真分式的和 的形式. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 24 页 分式的运算 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:65 分 一、选择题(每题 3 分,共 21 分) 1. 将 0. 000 000 001 用科学记数法表示为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1×10-8 B. 1×10-9 C. 10×10-10 D. 0. 1×10-8 2. 已 知 a + b = 2, ab = - 5, 则 a b + b a 的 值为(　 　 ) A. - 2 5 B. -19 5 C. -14 5 D. -24 5 3. 下列运算正确的是(　 　 ) A. 3b 4a · 2a 9b2 = b 6 B. 1 3ab ÷2b 2 3a = b 3 2 C. 1 2a +a-1 = 2 3a D. 1 a-1 - 1 a+1 = 2 a2 -1 4. (天津期末)若 a = - 0. 32,b = ( - 3) -3,c = ( - 1 3 ) -2,d= ( - 1 3 ) 0,则(　 　 ) A. a<b<c<d B. c<a<d<b C. a<d<c<b D. a<b<d<c 5. 中考新趋势·过程纠错 小沈对下面式子进 行化简整理: 　 a a+3 - 1 a2 -9 -a+1 a-3 = a(a-3) a2 -9 - 1 a2 -9 -(a+1)(a+3) a2 -9 　 第一步 = a(a-3)-1-(a+1)(a+3) a2 -9 　 第二步 = -7a-4 a2 -9 　 第三步 对于小沈的化简过程,你认为(　 　 ) A. 第一步错误 B. 第二步错误 C. 第三步错误 D. 没有错误 6. 如图,若约定:上方相邻两个代数式之和等 于两个代数式下方箭头共同指向的代数式, 则代数式 M 是(　 　 ) A. 2xy x+y B. 2xy x-y C. -2xy D. 2xy y-x 7. [学科内融合]如图,若 x 为正整数,则表示 (x-3) 2 x2 -6x+9 - 1 x+1 的值的点落在(　 　 ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 二、填空题(每题 3 分,共 12 分) 8. 计 算: ( - 1 3 ) -2 - ( - 1 ) 2 025 - ( π - 2 ) 0 = 　 　 　 　 . 9. 若 x+y= 1,且 x≠0,则(x+2xy +y2 x ) ÷x +y x 的值 为　 　 　 　 . 10. 生活情境·沙漠治理 杏花村有沙漠 30 km2, 若原计划每年治理 a km2,则治理全部沙漠需 要　 　 　 　 年. 为了尽快改善生态环境,杏花 村加大了治理力度,若实际每年比原计划多 治理 2 km2,则实际全部治理这些沙漠比原计 划可提前　 　 　 　 年. 11. 已知 a,b 为实数且满足 a≠-1,b≠-1,设 M= a a+1 + b b+1 ,N= 1 a+1 + 1 b+1 . ①若 ab= 1 时,M=N; ②若 ab>1 时,M>N; ③若 ab<1 时,M<N; ④若 a+b= 0,则 M·N≤0. 则上述四个结论正确的有　 　 　 个. 三、解答题(共 32 分) 12. (8 分)计算: (1)x 2 +4x x2 +2x - x 2 -4 x2 +4x+4 ; 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 25 页 (2) x -3 x2 -1 - 2 1+x . 13. (8 分)(新乡月考)化简求值:( 5 x-2 -x-2) ÷x 2 -6x+9 x-2 + x x-3 ,再从-1<x<4 的范围内选 取一个你喜欢的值代入求值. 14. 学习情境·游戏 (8 分)小明和小强一起做 分式的游戏,如图所示他们面前各有三张 牌(互相可以看到对方的牌),两人各自任 选两张牌分别做分子和分母,组成一个分 式,然后两人均取一个相同的 x 值,再计算 分式的值,值大者为胜. 为使分式有意义, 他们约定 x 是大于 3 的正整数. (1)小明组成的分式中值最大的分式是 　 　 　 　 ,小强组成的分式中值最大的分 式是　 　 　 　 ; (2)小强思考了一下,哈哈一笑,说:“虽然 我是三张带减号的牌,但最终我一定是胜 者. ”小强说的有道理吗? 请你通过计算 说明理由. 15. 学习情境·墨水覆盖 (8 分)小艺在作业本 上看到一个化简题,但不小心把墨水洒了, 遮住了原式子的一部分 ( 􀳡 + 2 a2 -2a+1 ) ÷a+1 a-1 . (1)小艺假定被墨水遮住的式子是 1 a-1 ,请 代入原式,先化简,然后再选取一个你喜欢 的 a 值代入求值; (2)若这道题的答案是 2a a2 -1 ,则被墨水遮 住的式子是多少? 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 26 页 分式方程 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:80 分 一、选择题(每题 3 分,共 21 分) 1. 下列方程是分式方程的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x -1 5 + 3 4 = 1 B. 3 π +2x= 3 C. 1 x-1 = 2 D. x +2 x +x+3 3 2. 若 x= 3 是分式方程a -2 x - 1 x-2 = 0 的解,则 a 的值是(　 　 ) A. 5 B. -5 C. 3 D. -3 3. 文化情境·《千里江山图》 (信阳期末)《千里 江山图》 是宋代王希孟的作品,如图,它的 局部画面装裱前是一个长为 2. 4 米,宽为 1. 4 米的长方形,装裱后,整幅图画宽与长 的比是 8 ∶13,且四周边衬的宽度相等. 则边 衬的宽度应是多少米? 设边衬的宽度为 x 米,根据题意可列方程(　 　 ) A. 1. 4 -x 2. 4-x = 8 13 B. 1. 4 +x 2. 4+x = 8 13 C. 1. 4 -2x 2. 4-2x = 8 13 D. 1. 4 +2x 2. 4+2x = 8 13 4. (安徽模拟)若关于 x 的方程 1 x2 -4 = m x-2 有 解,则 m 应满足(　 　 ) A. m≠0 B. m≠ 1 4 C. m≠0 且 m≠ 1 4 D. m 不存在 5. 若关于 x 的分式方程 2 x-3 +x+m 3-x = 1 无解,则 m 的值为(　 　 ) A. 3 B. 0 C. -1 D. -3 6. 生活情境·打字速度 甲打字员计划用若干 小时完成文稿的电脑输入工作,两小时后, 乙打字员协助此项工作,且乙打字员文稿电 脑输入的速度是甲的 1. 5 倍,结果提前 6 小 时完成任务. 则甲打宇员原计划完成此项工 作的时间是(　 　 ) A. 17 小时 B. 14 小时 C. 12 小时 D. 10 小时 7. (重庆一模)若关于 x 的方程 a x+1 +1=x +a x-1 的解 为负数,且关于 x 的不等式组 - 1 2 (x-a)>0 x-1≥2x -1 3 ì î í ï ïï ï ïï 无 解,则所有满足条件的整数 a 的值之积 是(　 　 ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题(每题 3 分,共 18 分) 8. 若 3 1+x 与 4 x 互 为 相 反 数, 则 x 的 值 为　 　 　 　 . 9. 关于 x 的分式方程 k -1 x2 -1 - 1 x-1 = k x+1 无解,则 k= 　 　 　 　 . 10. 生产情境·加工零件 甲、乙两人加工某种 零件,若单独工作,则乙比甲多用 12 天 才能完成. 若两人合作,8 天可以完成,设 甲单独完成工作需要 x 天, 则可得方 程　 　 　 　 　 　 　 　 . 11. 中考新趋势·新定义 (新乡期末)对于实数 a,b 定义一种新运算“⊗”:a⊗b = 1 a-b2 ,例 如,1⊗3 = 1 1-32 = - 1 8 . 则方程 x⊗2 = 2 x-4 -1 的解是　 　 　 　 . 12. (巩义期末)关于 x 的分式方程x +k x+1 + 2x x+1 = 1 的 解 为 非 正 数, 则 k 的 取 值 范 围 是　 　 　 　 . 13. 生活情境·骑车 甲、乙两地相距 50 km,A 骑自行车从甲地到乙地出发 3 小时 20 分 钟后,B 骑摩托车也从甲地去乙地. 已知 B 的速度是 A 的速度的 3 倍,结果两人同时 到达乙地. 则 A 的速度是　 　 　 　 km / h. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 27 页 三、解答题(共 41 分) 14. (10 分)解方程. (1) 3 x-2 +1 = x -3 2-x ;　 (2) 2 x+1 + 3 x-1 = 11 x2 -1 . 15. 中考新趋势·过程纠错 (9 分)请阅读下列 材料并回答问题: 在解分式方程 2 x+1 - 3 x-1 = 1 x2 -1 时,小明的 解法如下: 解:方程两边同乘以(x+1)(x-1),得 2(x- 1) -3 = 1① 去括号,得 2x-1 = 3+1② 解得 x= 5 2 检验:当 x= 5 2 时,(x+1)(x-1)≠0③ 所以 x= 5 2 是原分式方程的解④ (1)你认为小明在哪里出现了错误　 　 　 (只填序号); (2)针对小明解分式方程出现的错误和解 分式方程中的其他重要步骤,请你提出三 条解分式方程时的注意事项; (3)写出上述分式方程的正确解法. 16. 生活情境·混动汽车 (10 分) (林州期末) 随着人们环保意识的增强,混动汽车也成 了广大消费者的宠儿. 某品牌油电混合动 力汽车从甲地行驶到乙地,若完全用油做 动力行驶,则费用为 70 元;若完全用电做 动力行驶,则费用为 30 元,已知汽车行驶 中每千米用油费用比用电费用多 0. 4 元. (1)求:汽车行驶中每千米用电费用是多 少元? 甲、乙两地的距离是多少千米? (2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动 力行驶,且所需费用不超过 50 元,则至少 需要用电行驶多少千米? 17. (12 分)甲、乙两人做某种机械零件. (1)已知甲每小时比乙多做 6 个,甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个所用时间相等, 求甲、乙每小时各做零件多少个? (2)已知甲计划做零件 60 个,乙计划做零 件 100 个,甲、乙的速度比为 3 ∶ 4,结果甲 比乙提前 20 分钟完成任务,求乙每小时做 零件多少个? 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 28 页 期末测试前题组训练 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 选填题　 　 　 　 　 　 　 　 满分:66 分 一、选择题(每题 3 分,共 36 分) 1. 在由,甲,申,田,电这 5 个汉字中,不是轴对 称图形的共有(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 科技情境·微波 微波理论上可以在0. 000 003 秒内接收到相距约 1 千米的信息. 将数据 0. 000 003 用科学记数法表示为(　 　 ) A. 3×10-6 B. 0. 3×10-5 C. 3×10-7 D. 3×106 3. 如图,已知∠C = ∠D = 90°,添加 一个 条 件, 可 使 用 “ HL ” 判 定 Rt△ABC 与 Rt△ABD 全等. 以下 给出的条件适合的是(　 　 ) A. ∠ABC= ∠ABD B. ∠BAC= ∠BAD C. AC=AD D. AC=BC 4. 计算( a a-2 - a a+2 )·4 -a2 a 的结果是(　 　 ) A. 4 B. -4 C. 2a D. -2a 5. 当 k k-5 -2 与k +1 k 互为相反数时,k 等于(　 　 ) A. 6 5 B. 5 6 C. 3 2 D. 2 3 6. 多项式 mx2 -4m 与多项式 x2 -4x+4 的公因 式是(　 　 ) A. x-2 B. x+2 C. x2 -2 D. (x-2) 2 7. 已知 100x2 +kx+49 是完全平方式,则常数 k 可以取(　 　 ) A. ±70 B. ±140 C. ±14 D. ±4 900 8. 已知△ABC 在平面直角坐标系中的位置如 图所示,如果△A′B′C′与△ABC 关于 x 轴对 称,那么点 A 的对应点 A′的坐标为(　 　 ) A. (3,-3) B. ( -3,-3) C. (3,3) D. ( -3,3) 第 8 题图 　 　 第 9 题图 9. 生活情境·牛饮水 如图,牧童在 A 处放牛, 其家在 B 处,A,B 到河岸的距离分别为 AC 和 BD,且 AC = BD,若点 A 到河岸 CD 的中 点的距离是 500 米,则牧童从 A 处把牛牵到 河边饮水再回家,最短的距离是(　 　 ) A. 750 米 B. 1 000 米 C. 1 500 米 D. 2 000 米 10. 生活情境·植树 (厦门期末)某地为了响 应习总书记提出的“绿水青山就是金山银 山”的发展理念,计划在山坡上种植树木 6 000 棵. 由于志愿者的加入,实际每天植 树的数量比原计划增加了 25%,结果提前 3 天完成任务,列出方程6 000 x - 6 000 1. 25x = 3, 则 6 000 1. 25x 表示(　 　 ) 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 29 页 A. 志愿者加入后实际每天种植树木的 数量 B. 原计划每天种植树木的数量 C. 志愿者加入后实际完成树木种植的 天数 D. 原计划完成树木种植的天数 11. 如图,在△ABC 中,BC 的垂直平分线 EF 交∠ABC 的平分线 BD 于点 E,如果∠BAC = 60°, ∠ACE = 24°, 那么 ∠ECB 的大小 是(　 　 ) A. 24° B. 30° C. 32° D. 36° 第 11 题图 　 　 　 第 12 题图 12. 如图, 在 △ABC 中, ∠C = 90°, AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D,DE⊥AB 于点 E,则 下列结论:①AD 平分∠CDE;② ∠BAC = ∠BDE;③DE 平分∠ADB;④若 AC = 4BE, 则 S△ABC = 8S△BDE,其中正确的有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(每题 3 分,共 30 分) 13. ( -12x2y3z+3xy2) ÷( -3xy2)= 　 　 　 　 . 14. 若 xm = 2,xn = 3,则 x2m - 3 n = 　 　 　 　 . 15. 若(x+3)(x-p) = x2 +mx-27,则 m+p 的值 是　 　 　 　 . 16. 如图,P 为∠AOB 内一定点,M,N 分别是 射线 OA,OB 上一点,当△PMN 周长最小 时,∠MPN= 80°,则∠AOB= 　 　 　 　 . 第 16 题图 　 第 17 题图 17. 生活情境·屋架设计 如图是屋架设计图的 一部分,立柱 BC 垂直于横梁 AC,如果 AB = 10 m,∠A = 30°,那么立柱 BC 的长度是 　 　 　 　 米. 18. 已知 x = 1 是分式方程 1 x+1 = 3k x 的解,则实 数 k= 　 　 　 　 . 19. 若分式方程: 2 + 1 -kx x-2 = 1 2-x 无解, 则 k = 　 　 　 　 . 20. 若 A x+3 + B x-2 = 8x+9 x2 +x-6 ,那么 A、B 的值分别 是　 　 　 　 　 　 　 . 21. 生产情境·制作零件 甲、乙二人做某种机 械零件,已知甲是技术能手,每小时比乙多 做 3 个,甲做 30 个所用的时间与乙做 20 个所用的时间相等, 那么甲每小时做 　 　 　 　 个零件. 22. 在△ABC 中,CA = CB, ∠ACB= 120°,将一块足 够 大 的 直 角 三 角 尺 PMN(∠M= 90°,∠MPN = 30°)按如图所示 放置,顶点 P 在线段 AB 上滑动,三角尺的 直角边 PM 始终经过点 C,并且与 CB 的夹 角∠PCB=α,斜边 PN 交 AC 于点 D,在点 P 的滑动过程中,当△PCD 是等腰三角形时, α 的度数是　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学　 第 30 页 ∠CDG= ∠ADC-∠ADE = 120°-∠ADE,∠CBM = 120°- ∠DBF,∴ ∠CBM= ∠CDG. ∵ △DBC 是等边三角形,∴ CD = CB. 在 △CDG 和 △CBM 中, CD = CB, ∠CDG = ∠CBM,DG=BM,∴ △CDG≌△CBM(SAS),∴ ∠DCG = ∠BCM,CG=CM,∴ ∠GCM = ∠DCB = 60°,∴ △CGM 是 等边三角形,∴ CG=GM=BG+BM=BG+DG. ∵ (a+b) 2 = a2 +b2 +2ab= 9,∴ a+b = 3,∴ CG = 3. ∵ CH⊥BF,∴ GH = 1 2 CG= 3 2 . 16. 解:( 1) 原式 = 4x2y-4 ·3x2y÷ x-2y-4 = 12x4y-3 ÷ x-2y-4 = 12x6y; (4 分) (2)方程两边同乘 6x- 2 得,3(3x- 1) - 2 = 5,解得 x = 10 9 . 检验:当 x= 10 9 时,6x-2≠0. 所以原方程的解是 x = 10 9 . (8 分) 17. 解:原式 = x -2 x-1 ÷ (x-2)(x+2) (x+2) 2 = x-2 x-1 · (x +2) 2 (x-2)(x+2) = x+2 x-1 , (4 分) ∵ x= ( 1 3 ) -1 +1 = 3+1 = 4,∴ 当 x= 4 时,原式= 4 +2 4-1 = 2. (8 分) 18. 证明: ∵ ∠BCE = ∠DCA, ∴ ∠BCE + ∠ACE = ∠DCA + ∠ACE,即∠ACB= ∠ECD. (3 分) 在△ACB 和 △ECD 中, ∠A = ∠E, AC = EC, ∠ACB = ∠ECD,∴ △ACB≌△ECD(ASA) . ∴ ∠B= ∠D. (9 分) 19. 解:(1)如图 1,点 D 即为所求; (3 分) (2)如图 2,点 E、P 即为所求. (9 分) 图 1 　 图 2 20. ( 1) 解: ∵ ∠1 = ∠2, ∴ ∠1 + ∠ABF = ∠2 + ∠ABF = ∠ABC= 60°,∴ ∠3 = ∠1+∠ABF= 60°; (3 分) (2)证明:∵ AD⊥BC,∠ABC = 60°,∴ ∠1 = 30°. ∵ ∠1 = ∠2,∴ ∠ABE = ∠ABC- ∠2 = 60° - ∠1 = 30°, ∴ ∠1 = ∠ABE,∴ AF=BF,即△ABF 是等腰三角形; (7 分) (3)解:∵ AF= 8,∴ BF= 8. 在 Rt△BDF 中,∠2 = 30°,∴ DF= 1 2 BF= 4. (10 分) 21. 解:(1)设第一次购进了 x 件文具,则第二次购进了 2x 件文具. 依题意,得1 000 x = 2 500 2x - 2. 5. 解得 x = 100. 经 检验 x= 100 是原方程的解,且符合题意. 则 2x = 2×100 = 200. 故第二次购进了 200 件文具; (6 分) (2)[100×(1-3%)+200×(1-5%)]×15-1 000-2 500 = 805(元) . 即文具店老板在这两笔生意中盈利,盈利 805 元. (10 分) 22. 解:(1)SSS (2 分) (2)如图;　 (4 分) 证明:∵ CE⊥OB,DF⊥OA,∴ ∠CEO = ∠DFO = 90°. 在 △OCE 和 △ODF 中, ∠CEO= ∠DFO ∠COE= ∠DOF OC=OD{ , ∴ △OCE ≌ △ODF(AAS),∴ OE=OF. 在 Rt△OME 和Rt△OMF 中, OM=OM OE=OF{ ,∴ Rt△OME≌ Rt△OMF( HL),∴ ∠MOE = ∠MOF,∴ OM 平分∠AOB; (7 分) (3)AB+AD= 2AH (10 分) 【解析】过点 C 作 CF⊥AD 于点 F,则∠CFA = ∠CFD = 90°. ∵ CH⊥AB,∴ ∠CHA = 90°,∴ ∠CFA = ∠CHA. ∵ AC 平分∠BAD,∴ ∠CAH = ∠CAF. 在△CAH 和△CAF 中, ∠CHA= ∠CFA ∠CAH= ∠CAF AC=AC{ ,∴ △CAH≌△CAF(AAS),∴ AH = AF,CH = CF. ∵ ∠ABC + ∠D = 180°,∠ABC + ∠CBH = 180°, ∴ ∠CBH = ∠D. 在 △CDF 和 △CBH 中, ∠D= ∠CBH ∠CFD= ∠CHB CF=CH{ ,∴ △CDF ≌ △CBH ( AAS), ∴ DF = BH. ∵ AB+BH = AH,AD-DF = AF,∴ AB+BH+AD-DF = AH+AF,∴ AB+AD= 2AH. 23. 解:(1)DE=BD+CE (2 分) (2)作 AD⊥x 轴于点 D,BE⊥x 轴于点 E,则∠CDA = ∠BEC = 90°. ∵ △ABC 为等腰直角三角形, ∠ACB = 90°,∴ AC=CB,∠CAD= ∠BCE= 90°-∠ACD. (4 分) 在△CAD 和 △BCE 中, ∠CDA= ∠BEC ∠CAD= ∠BCE AC=CB{ , ∴ △CAD ≌ △BCE(AAS) . ∵ C(-2,0),B(1,2),∴ OC = 2,OE = 1, BE= 2,∴ AD=CE=OC+OE = 2+1 = 3,CD =BE = 2,∴ OD =OC+CD= 2+2 = 4,∴ 点 A 的坐标为(-4,3); (7 分) (3)(1)中的数量关系 DE=BD+CE 不变. (8 分) 证明:∵ ∠BAC = ∠BDA,∴ 180°-∠BDA-∠BAD = 180° -∠BAC-∠BAD,∴ ∠ABD = ∠CAE. 在△ABD 和△CAE 中, ∠BDA= ∠AEC ∠DBA= ∠EAC AB=CA{ ,∴ △ABD≌△CAE( AAS),∴ BD = AE,AD=CE,∴ DE=AE+AD=BD+CE. (11 分) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂《铺路帮手》答案 第十一章　 三角形 与三角形有关的线段 1. C　 2. D　 3. D 4. B　 【解析】 ∵ BD 是 AC 边上的中线,∴ AD = CD. ∵ △ABD 的周长为 30,∴ AB+BD+AD = 30. ∴ BD+AD = 30- AB= 30-15 = 15. ∴ △BCD 的周长为 BC+CD+BD = BC+ AD+BD= 9+15 = 24. 故选 B. 5. B　 【解析】 ∵ 点 D、E 分别是边 BC、AD 上的中点,∴ S△ACD = 1 2 S△ABC = 1 2 ×8 = 4(cm2),S△CED = 1 2 S△ACD = 1 2 ×4 = 2(cm2),∵ 点 F 是边 CE 的中点,∴ S△EDF = S△CFD = 1 2 × 2 = 1cm2 . 故选 B. 6. B　 【解析】设长为 6 的线段围成等腰三角形的腰长为 a,则底边长为 6- 2a,由题意得, 2a>6-2a6-2a>0{ ,解得 3 2 <a< 3. 故选 B. 7. D 8. 三角形具有稳定性,四边形不具有稳定性 9. 3a+b+3c　 【解析】∵ a,b,c 分别为△ABC 的三边,∴ a+b -c>0,a-c-b<0,c-a-b<0,∴ | a+b-c | - | a-c-b | + | c-a-b | =a+b-c+(a-c-b)-(c-a-b)= a+b-c+a-c-b-c+a+b = 3a +b-3c. 10. 5 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查的是三角形的中线的概念,根据三 角形的中线的概念分别求出 AC、AB,再根据三角形的周 长公式计算,得到答案. 11. 2 3 　 【解析】 ∵ △ABC 中,AD 为中线,∴ BD = DC. ∴ 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBR·数学　 第 15 页 S△ABD =S△ADC . ∵ DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F,AB = 6 cm,AC= 4 cm. ∴ 1 2 ·AB·DE = 1 2 ·AC·DF,∴ 1 2 × 6ED= 1 2 ×4DF,∴ DE DF = 4 6 = 2 3 . 12. 解:他们的解答过程都不正确. (1 分) 根据题意可知有两种情况:①当腰长为 8 cm,周长为 28 cm 时,底边长为 28- 8- 8 = 12( cm). ∵ 8 cm,8 cm, 12 cm 能够组成三角形,∴ 另外两边为 8 cm 和 12 cm. (4 分) ②当底边为 8 cm,周长为 28 cm 时,腰长为 = 10( cm). ∵ 10 cm,10 cm,8 cm 能够组成三角形,∴ 另外两边为 10 cm 和 10 cm. (7 分) 综上可知另外两边为 8 cm,12 cm 或 10 cm,10 cm. (8 分) 13. 解:(1) ∵ AB = 3 2 AC,AC = 10 cm,∴ AB = 15 cm. 又∵ △ABC 的周长是 33 cm,∴ BC= 8 cm. (2 分) ∵ AD 是 BC 边上的中线,∴ BD= 1 2 BC= 4 cm; (4 分) (2)不能, (5 分) ∵ AB= 3 2 AC,AC = 12 cm,∴ AB = 18 cm. 又∵ △ABC 的 周长是 33 cm,∴ BC= 3 cm. (7 分) ∵ AC+BC= 15<AB= 18,∴ 不能构成三角形 ABC,故不能 求出 DC 的长. (9 分) 14. 解:(1)6 (2 分) (2)当点 P 在 AB 中点时,CP 把△ABC 的面积分成相等 的两部分,此时 CA+AP= 8+5 = 13(cm),∴ 2t= 13,解得 t = 6. 5. 故当 t 为 6. 5 秒时,CP 把△ABC 的面积分成相 等的两部分; (5 分) (3)分两种情况:①当 P 在 AC 上时,∵ △BCP 的面积 = 12,∴ 1 2 ×6×CP= 12,∴ CP= 4,∴ 2t= 4,t= 2; (7 分) ②当 P 在 AB 上时,∵ △BCP 的面积 = 12 = △ABC 面积 的一半,∴ P 为 AB 中点,∴ 2t= 13,t= 6. 5. (9 分) 故 t 为 2 或 6. 5 秒时,△BCP 的面积为 12cm2 . (10 分) 与三角形有关的角 1. C 2. B　 【解析】∵ ∠1 = 58°,a∥b,∴ ∠3 = ∠1 = 58°. ∵ ∠2 = 24°,∠A= ∠3-∠2,∴ ∠A= 58°-24° = 34°. 故选 B. 3. B　 【解析】在△ABC 中,∠A = 90°,∴ ∠ACB+ ∠ABC = 90°. 又∵ ∠1+∠ACB = 180°,∠2+∠ABC = 180°,∴ ∠1+ ∠2 = 360°-∠ACB-∠ABC= 270°. 故选 B. 4. C　 5. B 6. C　 【解析】∵ AD、BE、CF 为△ABC 的角平分线,∴ 可设 ∠BAD= ∠CAD= x,∠ABE = ∠CBE = y,∠BCF = ∠ACF = z,∴ 2x+ 2y+ 2z = 180°,即 x+ y+ z = 90°. ∵ 在△AHB 中, ∠AHE= x+ y = 90° - z,在△CHG 中,∠CHG = 90° - z,∴ ∠AHE= ∠CHG. 故选 C. 7. 35°　 8. 105° 9. 75° 　 【解析】 ∵ ∠AEF = 36°,∠BEG = 57°,∴ ∠FEH = 180°-36°-57° = 87°. ∵ AB∥CD,∴ ∠EFG = ∠AEF = 36°. ∵ FH 平分∠EFG,∴ ∠EFH = 1 2 ∠EFG = 1 2 × 36° = 18°, ∴ ∠EHF= 180°-∠FEH-∠EFH= 180°-87°-18° = 75°. 10. 34° 　 【解析】∵ ∠B = 46°,∠C = 30°,∴ ∠DAC = ∠B+ ∠C= 76°. ∵ ∠EFC = 70°,∴ ∠AFD = 70°,∴ ∠D = 180° -∠DAC-∠AFD= 34°. 11. 解:(1)125° (3 分) (2)∵ 在△ABC 中,AD 是高,∠C = 70°,∠ABC = 60°,∴ ∠DAC = 90° - ∠C = 90° - 70° = 20°, ∠BAC = 180° - ∠ABC-∠C= 50°, (5 分) ∵ AE 是∠BAC 的平分线,∴ ∠CAE = 1 2 ∠BAC = 25°,∴ ∠DAE= ∠CAE-∠DAC= 25°-20° = 5°. (8 分) 12. 解:延长 CD 交 AB 于点 E,∵ ∠BEC 是△ACE 的一个外 角,∴ ∠BEC= ∠A+∠C= 90°+21° = 111°, (2 分) 同理∠BDC= ∠BEC+∠B= 111°+32° = 143°, (4 分) 而检验工人量得∠BDC= 149°,所以零件不合格. (5 分) 13. 解: ( 1) ∵ ∠BAC = 44°, ∴ ∠B + ∠C = 180° - ∠BAC = 180°-44° = 136°,∵ ∠B = ∠C,∴ 2∠C = 136°,∴ ∠C = 68°; (3 分) (2)∵ ∠ADE= ∠AED,∠ADE= 75°,∴ ∠AED= 75°, (5 分) ∵ ∠AED+∠CED = 180°,∴ ∠CED = 180°- 75° = 105°, ∵ ∠CDE+∠CED+∠C = 180°,∴ ∠CDE = 180°- 105°- 68° = 7°. (7 分) 14. 解:(1)85 或 100 (2 分) (2)∵ BP⊥CP,∴ ∠BPC = 90°,∴ ∠PBC+∠PCB = 90°, 又∵ BP、CP 分别是∠ABC 邻 AB 三分线和∠ACB 邻 AC 三分线,∴ ∠PBC = 2 3 ∠ABC,∠PCB = 2 3 ∠ACB,∴ 2 3 ∠ABC+ 2 3 ∠ACB = 90°, ∴ ∠ABC + ∠ACB = 135°. 在 △ABC 中,∠A= 180°-(∠ABC+∠ACB)= 45°; (5 分) (3)∠BPC 的度数为 2 3 m°或 1 3 m°或 2 3 m°+ 1 3 n°或 1 3 m°- 1 3 n°或 1 3 n°- 1 3 m°. (10 分) 【解析】分 4 种情况进行画图计算; 图① 　 图② 　 图③ 情况一:如图①,当 BP 和 CP 分别是“邻 AB 三分线”、 “邻 AC 三分线”时,∠BPC = 2 3 ∠A = 2 3 m°;情况二:如 图②,当 BP 和 CP 分别是“邻 BC 三分线”、“邻 CD 三 分线”时,∠BPC= 1 3 ∠A= 1 3 m°;情况三:如图③,当 BP 和 CP 分别是“邻 BC 三分线”、“邻 AC 三分线” 时, ∠BPC= 2 3 ∠A+ 1 3 ∠ABC= 2 3 m°+ 1 3 n°; 图④ 　 　 图⑤ 情况四:如图④、⑤,当 BP 和 CP 分别是“邻 AB 三分 线”、“邻 CD 三分线”时,①当 m>n 时,∠BPC = 1 3 ∠A- 1 3 ∠ABC= 1 3 m°- 1 3 n°;②当 m<n 时,∠P = 1 3 ∠ABC- 1 3 ∠A= 1 3 n°- 1 3 m°. 综上所述:∠BPC 的度数为: 2 3 m° 或 1 3 m°或 2 3 m°+ 1 3 n°或 1 3 m°- 1 3 n°或 1 3 n°- 1 3 m°. 多边形及其内角和 1. D　 2. C　 3. D　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查平面镶嵌问题,考查的知识点是:一 种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除 360°,任 意几种多边形能否进行镶嵌,看它们能否组成 360°的角. 4. D　 【解析】五边形内角和为 180°×(5-2)= 540°,∵ AB∥ CD,∴ ∠C+∠B= 180°. ∵ 五边形 ABCDE 中,∠A = 135°, ∠D= 150°,∴ ∠E = 540° - 180° - 135° - 150° = 75°. 故 选 D. 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBR·数学　 第 16 页 5. D　 【解析】∵ 五边形 ABCDE 是正五边形,∴ ∠EDF = 360°÷5 = 72°,∠CDE = ∠C = 180° - 72° = 108°. ∵ BC = DC,∴ ∠BDC= 180° -108° 2 = 36°,∴ ∠BDE= 108°-∠BDC = 108°-36° = 72°. ∵ DG 平分正五边形的外角∠EDF,∴ ∠EDG= ∠FDG = 1 2 ∠EDF = 1 2 × 72° = 36°,∴ ∠BDG = ∠BDE+∠EDG= 72°+36° = 108°. 故选 D. 6. B 7. 9　 8. 132 9. 115°　 【解析】 ∵ ∠1 + ∠2 = 130°,∴ ∠AMN+ ∠DNM = 360°-130° 2 = 115°, ∵ ∠A + ∠D + ( ∠AMN + ∠DNM) = 360°,∠A+∠D+(∠B+∠C)= 360°,∴ ∠B+∠C = ∠AMN +∠DNM= 115°. 10. 解:(1)由五边形的内角和为 540°得,90°+x°+(x-10)° +x°+(x+20)° = 540°,解得 x= 110; (3 分) (2)根据四边形的内角和为 360°得,x°+(x°+10) +90°+ 60° = 360°,解得 x= 100°. (6 分) 11. 解:(1)依题意,得(n-2)·180°× 1 4 = 360°+90°,解得 n = 12,即 n 的值为 12; (3 分) (2)∵ 正多边形的一个内角为 108°,∴ 这个正多边形的 外角为 72°,∵ 多边形的外角和为 360°,∴ n = 360° 72° = 5, 即 n 的值为 5; (6 分) ( 3) 设此多边形的内角和为 x,则有 980° < x < 980° + 180°,即 180°×5+80°<x<180°×6+80°,因为 x 为多边形 的内角和,所以它是 180°的倍数,所以 x = 180° × 6 = 1 080°. ∴ n= 6+2 = 8,即 n 的值为 8. (9 分) 12. 解:连接 AD, (1 分) ∵ AF∥CD,AB∥DE,∴ ∠FAD = ∠ADC,∠BAD = ∠ADE, ∴ ∠BAF= ∠CDE= 100°. (5 分) ∵ ∠ABC+∠DCB+∠BAD+∠ADC = 360°,又∵ ∠FAB = ∠FAD+∠BAD= ∠ADC+∠BAD = 100°,∴ ∠ABC = 360° -120°-100° = 140°. (8 分) 13. 解:(1)①125° (2 分) ②∠P= 90°+ 1 2 α (4 分) (2)∠P= 1 2 (∠A+∠B), (5 分) 理由如下: ∵ DP、 CP 分别平分 ∠ADC 和 ∠BCD, ∴ ∠CDP = 1 2 ∠ADC, ∠DCP = 1 2 ∠BCD. ∵ ∠A + ∠B + ∠BCD+∠ADC= 360°,∴ ∠BCD+∠ADC = 360°-( ∠A+ ∠B), ∵ ∠P + ∠PDC + ∠PCD = 180°, ∴ ∠P = 180° - (∠PDC+∠PCD)= 180°- 1 2 (∠ADC+∠BCD),∴ ∠P = 180°- 1 2 [360°-(∠A+∠B)] = 1 2 (∠A+∠B); (8 分) (3)∠P= 1 2 (∠A+∠B+∠E+∠F)-180°. (10 分) 第十二章　 全等三角形 全等三角形 1. B　 2. C　 3. C　 4. B 5. B　 【解析】∵ ∠B= 80°,∠C= 30°,∴ ∠BAC = 180°-80°- 30° = 70°. ∵ △ABC ≌ △ADE, ∴ ∠BAC = ∠DAE, ∴ ∠EAC= ∠DAE-∠DAC= 70°-35° = 35°. 故选 B. 6. D 7. D　 【解析】由图形,得∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3 +∠9+∠7 = 540°,∵ 三个全等三角形,∴ ∠4+∠9+∠6 = 180°. 又∵ ∠5+∠7+∠8 = 180°,∴ ∠1+∠2+∠3+ 180°+ 180° = 540°,∴ ∠1+∠2+∠3 的度数是 180°. 故选 D. 8. D　 【解析】∵ 两个三角形全等,∴ 3a-2b = 5,a+2b = 7 或 3a-2b= 7,a+2b= 5,解得 a= 3,b = 2 或 a = 3,b = 1,∴ a+b = 5 或 4. 故选 D. 9. △ABC≌△ADE　 ∠DAE　 BC 10. 20° 　 【解析】 ∵ 在 △ABC 中, ∠A ∶ ∠ABC ∶ ∠ACB = 3 ∶5 ∶10,∠A+∠ABC+∠ACB = 180°,∴ ∠A = 30°,∠ACB = 100°,∠ABC = 50°. ∵ △MNC≌ △ABC,∴ ∠NCM = ∠ACB= 100°,∠N = ∠ABC = 50°,BC = NC,∴ ∠NBC = ∠N = 50°, ∴ ∠BCN = 180° - ∠N - ∠NBC = 80°, ∴ ∠BCM= ∠MCN-∠BCN= 100°-80° = 20°. 11. 1 2 　 30°　 【解析】∵ △ADB≌△EDB≌△EDC,∴ AB = EB = EC,∠ABD = ∠EBD = ∠ECD,∠BED = ∠CED = ∠A,∴ AB BC = AB EB+EC = AB 2AB = 1 2 . ∵ ∠BED + ∠CED = 180°,∴ ∠BED = ∠CED = ∠A = 90°,∴ ∠ABD+∠EBD+ ∠ECD= 90°,∴ ∠ECD= 30°. 12. (6,-5) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】本题考查了坐标与图形的性质,全等三角形 的性质,根据点 A、B 的坐标求出 OA= 6,OB = 5,根据全等 三角形的性质得出 OA′ = OA = 6,A′B′ = OB = 5,再求出点 B′的坐标即可. 13. 解:∵ △ABC≌△ADE,∴ ∠EAD = ∠BAC = 50°,∠ACB = ∠E. (2 分) ∴ ∠B+∠E= ∠B+∠ACB= 180°-∠BAC= 130°. (5 分) ∵ ∠CAD = 60°, ∴ ∠BAE = 160°, ∴ ∠F = 360° - ∠B - ∠E-∠BAE= 70°. (8 分) 14. 解:(1)∵ △ABF≌△CDE,∴ ∠D = ∠B = 30°,∴ ∠EFC = ∠DCF+∠D= 70°; (3 分) (2)∵ △ABF≌△CDE,∴ BF =DE,∴ BF-EF =DE-EF, 即 BE=DF. (5 分) ∵ BD= 10,EF= 2,∴ BE= (10-2) ÷2 = 4. ∴ BF =BE+EF = 6. (8 分) 15. (1)解:DE=CE+BC. (1 分) 理由:∵ △ABC≌△DAE,∴ AE = BC,DE = AC. ∵ A,E,C 三点在同一直线上,∴ AC=AE+CE,∴ DE=CE+BC; (3 分) (2)当△ADE 满足∠AED= 90°时,DE∥BC. (4 分) 证明:∵ △ABC≌△DAE,∠AED = 90°,∴ ∠C = ∠AED = 90°,∠DEC= 180°-∠AED = 90°,∴ ∠C = ∠DEC. ∴ DE ∥BC,即当△ADE 满足∠AED= 90°时,DE∥BC. (8 分) 16. 解:(1)∵ △ABC≌△CDE,CE = 25,∴ AC = CE = 25. ∵ AB= 7,BC= 24,∴ △ABC 的周长 = AB+BC+AC = 7+ 24+ 25 = 56; (4 分) (2) ∵ ∠B = 90°, ∴ ∠ACB + ∠BAC = 90°. ∵ △ABC≌ △CDE,∴ ∠ECD= ∠BAC, (6 分) ∴ ∠ACB+∠ECD= 90°, (8 分) ∴ ∠ACE= 90°. ∵ AC = CE = 25,∴ △ACE 的面积 = 1 2 × 25×25 = 625 2 . (10 分) 三角形全等的判定 1. C 2. C　 【解析】∵ BF =EC, ∴ BF+FC =EC+FC, ∴ BC =EF, 在 △ABC 与 △DEF 中, AC=DF AB=DE BC=EF{ , ∴ △ABC ≌ △DEF (SSS), ∴ ∠ACB= ∠DFE,∴ 2∠DFE = ∠AGF = ∠DGC = 180°-∠FGC. 故选 C. 3. C 4. C　 【解析】∵ AB⊥DE,∴ ∠DGH = 90°,∵ ∠DFE = 90°, ∴ ∠AFH = ∠DGH,∵ ∠DHG = ∠AHF. ∴ ∠A = ∠D. 在 △ABC 与△DEF 中, ∠A= ∠D ∠ACB= ∠DFE= 90° AB=DE{ ,∴ △ABC≌ △DEF(AAS),∴ AC=DF,BC=EF. ∵ DF=a,BC= b,CF = c. ∴ AE=AC+EF-CF=DF+BC-CF=a+b-c. 故选 C. 5. A 　 【解析】 在 △AOB 和 △DOC 中,OA = OD,∠AOB = ∠DOC,BO=OC,∴ △AOB≌△DOC(SAS),∴ AB=CD = 5 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBR·数学　 第 17 页 厘米,∵ EF= 7 厘米,∴ 圆柱形容器的壁厚是 1 2 ×(7-5) = 1(厘米) . 故选 A. 6. D　 【解析】延长 AD 到点 E,使得 ED = AD = 4,则 AE = 2AD= 8,连接 EC,∵ D 是 BC 的中点,∴ BD = CD,在 △ABD 和△ECD 中,AD = ED,∠ADB = ∠EDC,BD = CD, ∴ △ABD≌△ECD(SAS),∴ AB = EC,在△ACE 中,AE- AC<EC<AE+AC,即 8-3<EC<8+3,∴ 5<EC<11,即 5<AB< 11,∴ AB 的长不可能是 5;过 C 作 CE∥AB 交 AD 的延长 线于点 E,则∠BAD = ∠E,∵ D 是 BC 的中点,∴ BD = CD, 在 △ABD 和 △ECD 中, ∠BAD = ∠E, ∠ADB = ∠EDC,BD = CD,∴ △ABD≌△ECD(AAS),∴ AB = EC, AD=ED= 4,∴ AE = 2AD = 8,在△ACE 中,同理得 5<EC< 11,∴ 5<AB<11,∴ AB 的长不可能是 5;综上所述,正确 的是乙和丙. 故选 D. 7. BM　 全等三角形的对应边相等 8. 61° 　 【解析】在 Rt△BCD 和 Rt△BED 中, BD=BDDC=DE{ ,∴ Rt△BCD≌Rt△BED(HL),∴ ∠CDB = ∠EDB. ∵ ∠CDE = ∠A+∠AED= 32°+90° = 122°,∴ ∠CDB= ∠EDB= 61°. 9. ①③④　 【解析】①在△ABE 和△ACF 中,∠E = ∠F,∠B = ∠C,AE = AF,∴ △ABE≌ △ACF (AAS),∴ ∠EAB = ∠FAC,∴ ∠EAB-∠BAC = ∠FAC-∠BAC,∴ ∠1 = ∠2. ①正确;没有条件可以证明 CD=DN,②错误;∵ △ABE≌ △ACF,∴ AB = AC,在△ACN 和△ABM 中,∠C = ∠B,AC =AB,∠CAB = ∠BAC,∴ △ACN≌ △ABM (ASA),③ 正 确;∵ △ABE≌△ACF,∴ BE=CF,④正确. ∴ 其中正确的 结论有①③④. 10. (1)证明:∵ AB=AC,∴ ∠B= ∠C, (1 分) 在△ABD 和△ACE 中, AB=AC ∠B= ∠C BD=CE{ , ∴ △ABD≌ △ACE (SAS); (4 分) (2)解:∵ ∠ADE= 2∠B,∴ ∠B= ∠BAD,BD=AD= 2. (6 分) ∵ △ABD≌△ACE,∴ AE=AD= 2. (8 分) 11. (1)证明:∵ AB⊥CD,∴ ∠FAC+∠ACF = 90°. ∵ ∠ACE = 90°,∴ ∠DCB+∠ACF= 90°,∴ ∠FAC= ∠DCB. (3 分) 在△ABC 和△CDE 中, ∠FAC= ∠DCB AC=CE ∠ACB= ∠CED= 90°{ ,∴ △ABC ≌△CDE(ASA); (5 分) (2)解:∵ △ABC≌△CDE,∴ DE=BC= 10cm. (7 分) ∵ 点 B 是 EC 的中点,∴ EC = 2BC = 20cm,∴ AC = EC = 20cm. (9 分) 12. 证明:(1)∵ AB=BC,∠ABC= 90°,∴ ∠C= 45°. ∵ BO⊥ AC,∴ ∠1 = 45°,∴ ∠1 = ∠C= 45°. (2 分) ∵ PB= PD,∴ ∠2 = ∠PBD. ∵ ∠3 = ∠PBC-∠1,∠4 = ∠2-∠C,∴ ∠3 = ∠4. (4 分) ∵ BO ⊥ AC, DE ⊥ AC, ∴ ∠BOP = ∠PED = 90°. 在△BPO 和△PDE 中, ∠3=∠4 ∠BOP=∠PED,∴ △BPO≌△PDE(AAS) BP=PD{ ; (5 分) (2)由(1),得∠3 = ∠4,∵ BP 平分∠ABO,∴ ∠ABP = ∠3,∴ ∠ABP= ∠4. (8 分) 在△ABP 和△CPD 中, ∠A= ∠C ∠ABP= ∠4 PB=DP{ ,∴ △ABP≌△CPD (AAS),∴ AP=CD. (11 分) 角的平分线的性质 1. C　 2. A 3. C　 【解析】∵ 点 P 在∠AOB 的内部,PM⊥AO,PN⊥OB, PM=PN,∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上,OC 平分∠AOB, ∵ ∠BOC= 30°,∴ ∠AOB= 60°. 故选 C. 4. C　 【解析】过点 P 作 PF⊥AC 于 F,PG⊥BC 于 G,PH⊥ AB 于 H,∵ △ABC 的外角平分线 BD 与 CE 相交于点 P, ∴ PF=PG= 3,PG=PH,∴ PF=PG=PH= 3. 故选 C. 5. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法点拨】本题综合考查了三角形的内角和定理,角的 和差,角平分线的性质定理,垂线段的定义等知识点,由 三角形的内角和定理和角的和差求出∠BAC = ∠DAC,角 平分线的性质定理得 BC=CH,垂线段定义证明 CH 最短, 最终求出 CE 的最小值. 6. D　 【解析】 ∵ ∠BAC = 70°,∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠BAC= 110°. 由题意得 OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB. ∵ OF=OE = OD,∴ BO 平分∠ABC,CO 平分∠ACB,DO 平 分 ∠BOC, ∴ ∠OBC = 1 2 ∠ABC, ∠OCB = 1 2 ∠ACB, ∠DOC= 1 2 ∠BOC,∴ ∠BOC= 180°-(∠OBC+∠OCB)= 180°- 1 2 (∠ABC+∠ACB)= 180°-55° = 125°,∴ ∠DOC = 62. 5°. 故选 D. 7. 4 8. 20 　 【解析】 过点 C 作 CE ⊥ AD 于点 E, ∵ AC 平分 ∠BAD,CE⊥AD,CB⊥AB,∴ CE=CB= 4,∴ 四边形 ABCD 的面积=S△ABC+S△ADC = 1 2 ×6×4+ 1 2 ×4×4 = 20. 9. 12　 【解析】过 P 作 PH⊥MN 与 H,PK⊥OB 于 K,PL⊥ AO 于 L,连接 PO,∵ PM 平分∠AMN,PN 平分∠MNB,∴ PL=PH,PK=PH,∴ PL =PK,∵ MN = 2,△PMN 的面积 = 1 2 MN·PH = 2,∴ PH = 2,∴ PK = PL = 2,∵ △POM 的面 积= 1 2 OM·PL,△PON 的面积 = 1 2 ON·PK,∴ △OMN 的面积+△PMN 的面积= △POM 的面积+△PON 的面积 = 1 2 (OM + ON) ·PK = 8 + 2 = 10,∴ OM + ON = 10,∴ △OMN 的周长=OM+ON+MN= 10+2 = 12. 10. 解:如图. (6 分) 11. 证明:∵ AD 是△ABC 的中线,∴ BD=CD. (1 分) 又∵ DF⊥AC,DE⊥AB,∴ ∠BED= ∠CFD= 90°, (3 分) ∴ 在 Rt△BDE 与 Rt△CDF 中, BD=CDBE=CF{ ,∴ Rt△BDE≌ Rt△CDF(HL), (6 分) ∴ DE=DF,∴ AD 平分∠BAC. (8 分) 12. (1)证明:∵ DE⊥AB 于点 E,∴ ∠DEB= 90°,又∵ AD 平 分∠BAC,∠C= 90°,∴ DC=DE, (2 分) 在 Rt△DCF 和 Rt△DEB 中, DF=DBDC=DE{ ,∴ Rt△DCF≌ Rt△DEB(HL),∴ CF=EB; (5 分) (2 ) 解: 在 Rt △ACD 和 Rt △AED 中, AD=ADCD=ED{ , ∴ Rt△ACD≌ Rt△AED(HL),∴ AC=AE. (7 分) 设 CF=BE= x,则 AE = AB-BE = 12-x,AC = AF+FC = 8+ x,即 12-x= 8+x,解得 x= 2. ∴ CF= 2. (10 分) 13. 证明:∵ OC 是∠AOB 的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,∴ PD=PE. (1 分) 在 Rt△OPD 和 Rt△OPE 中, OP=OPPD=PE{ ,∴ Rt△OPD≌Rt △OPE(HL),∴ OD=OE. (3 分) ∵ OC 是∠AOB 的平分线,∴ ∠DOF= ∠EOF, (5 分) 在△ODF 和△OEF 中, OD=OE ∠DOF= ∠EOF OF=OF{ , ∴ △ODF≌ 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBR·数学　 第 18 页 △OEF(SAS),∴ DF=EF. (8 分) 14. 解:(1)PC=PD (4 分) (2)成立. (5 分) 理由:过点 P 作 PE⊥OA 于点 E,PF⊥OB 于点 F, ∠PEC= ∠PFD= 90°. (6 分) ∵ OM 是∠AOB 的平分线,∴ PE = PF. ∵ ∠AOB = 90°, ∠CPD= 90°,∴ ∠PCE+∠PDO= 360°-90°-90° = 180°, 而∠PDO+∠PDF= 180°,∴ ∠PCE= ∠PDF, (8 分) 在△PCE 和 △PDF 中, ∠PCE= ∠PDF ∠PEC= ∠PFD PE=PF{ , ∴ △PCE ≌ △PDF(AAS), (9 分) ∴ PC=PD. (11 分) 第十三章　 轴对称 轴对称 1. B　 2. D　 3. C　 4. D 5. A　 【解析】 ∵ DE 是△ABC 中 AC 边的垂直平分线,∴ AE =CE. ∵ AB= 8cm,BC = 6cm,∴ △EBC 的周长 =BC+CE+ BE=BC+AB= 6+8 = 14(cm) . 故选 A. 6. B　 【解析】∵ ∠BAC = 110°,∴ ∠C+∠B = 70°. ∴ EG、FH 分别为△CAB 的垂直平分线,∴ EC = EA,FB = FA,∴ ∠EAC = ∠C,∠FAB = ∠B,∴ ∠EAC + ∠FAB = 70°,∴ ∠EAF= 40°. 故选 B. 7. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【方法点拨】本题考查了线段的垂直平分线的性质,三角 形外角的性质,正确地理解题意是解题的关键. 8. 12:08:51 9. 7. 5　 【解析】由题可得,△ABC 关于 AD 轴对称,阴影部 分的面积为三角形面积的一半,∵ S△ABC = 1 2 ×BC·AD = 1 2 ×6×5 = 15,∴ 阴影部分面积= 1 2 ×15 = 7. 5. 10. 55°　 【解析】根据折叠的性质得:∠B′OG = ∠BOG,∵ ∠AOB′=70°,∴ ∠BOB′=180°- ∠AOB′=110°,∴ ∠B′OG= 1 2 ×110°=55°. 11. 32　 【解析】∵ 点 P 关于 OA,OB 的对称点为 P1,P2,∴ OP1 =OP= OP2 = 8,∠P1OP2 = 2∠AOB = 90°,∴ S△OP1P2 = 1 2 OP1 ×OP2 = 32. 12. 解:如图,P′、P′′即为所求. (8 分) 13. 解:( 1) ∵ △ABC 与△ADE 关于直线 MN 对称,ED = 4 cm,FC = 1 cm,∴ BC = ED = 4 cm,∴ BF = BC -FC = 3 cm; (3 分) (2) ∵ △ABC 与△ADE 关于直线 MN 对称, ∠BAC = 76°,∠EAC = 58°,∴ ∠EAD = ∠BAC = 76°,∴ ∠CAD = ∠EAD-∠EAC= 76°-58° = 18°; (6 分) (3)直线 MN 垂直平分线段 EC. ∵ E,C 关于直线 MN 对 称,∴ 直线 MN 垂直平分线段 EC. (8 分) 14. 解:(1) ∵ AD⊥BC,且 BD = DE,∴ AD 垂直平分 BE. ∵ AD 垂直平分 BE,EF 垂直平分 AC,∴ AB = AE = EC,∴ ∠C= ∠CAE. (2 分) ∵ ∠BAE= 40°,∴ ∠AED= 70°,∴ ∠C= 1 2 ∠AED= 35°; (4 分) (2)∵ △ABC 周长为 13 cm,AC = 6 cm,BD = DE,AB = EC,∴ AB+BE+EC= 7 cm,即 2DE+2EC= 7 cm, (6 分) ∴ DC=DE+EC= 3. 5 cm. (8 分) 15. 证明:∵ ED⊥AC,∴ ∠EDC = ∠EBC = 90°. 在Rt△ECB 和 Rt △ECD 中, EC=ECBC=DC{ , ∴ Rt△ECB ≌ Rt△ECD (HL), (4 分) ∴ EB=ED. 又∵ BC=DC,∴ CE 垂直平分 BD. (8 分) 画轴对称图形 1. D　 2. C　 3. D　 4. B 5. B　 【解析】∵ 点 M(1-2m,m-1)关于 y 轴的对称点在第 一象限,∴ 点 M 在第二象限,∴ 1-2m<0①m-1>0②{ ,解不等式① 得,m>0. 5,解不等式②得,m>1,∴ m>1. 故选 B. 6. (-1,2),(2,1),(-1,-1),(0,-1) 7. (-a,b) 8. 解:(1)平面直角坐标系即为所求; (3 分) (2)①B1(-4,-2); (6 分) ②如图,△A1B1C1 即为所求. (9 分) 等腰三角形 1. D　 2. C　 3. B 4. C　 【解析】∵ AC = BC,∠C = 36°,∴ △ABC 是等腰三角 形,∠BAC = ∠ABC = 72°,∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠CAD = ∠BAD= ∠C= 36°,∴ △CAD 为等腰三角形,∠BDA= ∠C +∠CAD= 72° = ∠B,∴ △BAD 为等腰三角形,则图中等 腰三角形的个数是 3 个. 故选 C. 5. C　 【解析】∵ AD = AC,点 E 是 CD 的中点,∠CAE = 16°, ∴ AE⊥CD,∴ ∠AEC = 90°,∴ ∠C = 90°-∠CAE = 74°. ∵ AD= AC,∴ ∠ADC = ∠C = 74°. ∵ AD = BD, ∴ 2 ∠B = ∠ADC= 74°,∴ ∠B= 37°. 故选 C. 6. A 7. C　 【解析】∵ △ABC 的两个内角的平分线 BO,CO 相交 于点 O,∴ ∠ABO = ∠CBO,∠ACO = ∠BCO,∴ MN∥BC, ∴ ∠MOB = ∠CBO,∠NOC = ∠BCO,∠MOB = ∠MBO, ∠NCO= ∠NOC,∴ MO = MB,NO = NC,∴ MN = MB+NC, ∵ △AMN 的周长为 15,∴ AB + AC = 15,∵ BC = 8, ∴ △ABC 的周长为 15+8 = 23. . 故选 C. 8. C 　 【解析】 ∵ △A1B1A2 为等边三角形,∴ ∠B1A1A2 = 60°,A1B1 = A1A2,∴ ∠A1B1O = ∠B1A1A2 -∠MON = 60°- 30° = 30°,∴ ∠A1B1O = ∠MON,∴ A1B1 = OA1,∴ A1B1 = A1A2 =OA1,同理可得 A2B2 = A2A3 = OA2 = 2OA1,∴ A3B3 = A3A4 =OA3 = 2OA2 = 2 2·OA1,A4B4 =A4A5 =OA4 = 2OA3 = 2 3 ·OA1,∴ AnBn =AnAn+1 = 2 n-1·OA1 = 2 n,∴ △A6B6A7 的边 长:A6B6 = 2 6 = 64. 故选 C. 9. 7　 【解析】∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C,在△BAD 和△CAE 中,∠BAD = ∠CAE, AB = AC, ∠B = ∠C, ∴ △BAD ≌ △CAE(ASA),∴ BD=CE= 7. 10. 25°　 【解析】∵ AB = AC,AD = AE,∴ ∠B = ∠C,∠ADE = ∠AED. ∵ ∠ADC = ∠B + ∠BAD, ∴ ∠ADE = ∠ADC - ∠EDC= ∠B+∠BAD-∠EDC. ∵ ∠AED = ∠EDC+∠C, ∴ ∠B + ∠BAD - ∠EDC = ∠EDC + ∠C, ∴ ∠EDC = 1 2 ∠BAD= 1 2 ×50° = 25°. 11. 32 12. 7　 【解析】延长 ED 交 BC 于 M,延长 AD 交 BC 于 N,∵ AB=AC,AD 平分∠BAC,∴ AN⊥BC,BN = CN. ∵ ∠EBC = ∠DEB= 60°,∴ △BEM 为等边三角形,∴ BM = EM = BE= 5,∠EMB= 60°,∵ DE= 2,∴ DM = 3,∵ AN⊥BC,∴ 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBR·数学　 第 19 页 ∠DNM= 90°,∴ ∠NDM= 30°,∴ NM = 1 2 DM = 3 2 ,∴ BN =BM-MN= 5- 3 2 = 7 2 ,∴ BC= 2BN= 7. 13. 证明:(1)在等腰 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,AC =BC,∴ ∠A= ∠B= 45°. (2 分) 又∵ F 是 AB 的中点,∴ ∠ACF = ∠FCB = 45°,即∠A = ∠FCA= ∠FCB= 45°,且 AF=CF. (3 分) 在△ADF 和△CEF 中, AD =CE,∠A = ∠FCE,AF = CF, ∴ △ADF≌△CEF(SAS); (5 分) (2)由(1)知△ADF≌△CEF,∴ DF=FE,∴ △DFE 是等 腰三角形. (7 分) 又∵ ∠AFD= ∠CFE,∴ ∠AFD+∠DFC = ∠CFE+∠DFC = 90°,∴ △DFE 是等腰直角三角形. (8 分) 14. (1) 证明:∵ ∠ADB = 120°,∴ ∠ADC = 180 - ∠ADB = 180°-120° = 60°,∵ AE⊥BC,∴ ∠AEC = 90°,∴ ∠C+ ∠CAE= 90°. (2 分) ∵ ∠CAE= 30°,∴ ∠C= 90°-∠CAE = 90°-30° = 60°,∴ ∠ADC= ∠C= 60°,∴ △ACD 为等边三角形; (4 分) (2)解:由(1) 得∠C = 60°,∵ 在△ABC 中,∠B+ ∠C+ ∠BAC= 180°,∠B = 40°,∴ ∠BAC = 180° - ∠B- ∠C = 180°-40°-60° = 80°. (8 分) 15. (1)解:△ADE 是等腰三角形, (2 分) 理由:∵ AB= AC,∠B = 60°,∴ △ABC 是等边三角形,∴ ∠C= ∠BAC = 60°,∵ ∠BAD = 20°,∴ ∠DAE = ∠BAC- ∠BAD= 40°,∵ ∠AED 是△CDE 的一个外角,∴ ∠AED = ∠C+∠CDE = 70°,∴ ∠ADE = 180°-∠DAE-∠AED = 70°,∴ ∠ADE= ∠AED = 70°,∴ AD = AE,∴ △ADE 是等 腰三角形; (4 分) (2)当 α= 2β 时,使得 AD=AE. (6 分) 证明:∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C,∵ ∠ADC = ∠B+∠BAD, ∴ ∠ADE+∠CDE = ∠B+∠BAD,∴ ∠ADE+β = ∠B+α, ∵ α= 2β,∴ ∠ADE = ∠B+β,∵ ∠AED = ∠C+ ∠CDE = ∠C+β,∴ ∠ADE= ∠AED,∴ AD=AE. (8 分) 16. 解:(1)∵ 在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,∠A = 30°,∴ ∠B = 60°. ∵ BC= 12 cm,∴ AB= 24 cm. (2 分) 若△PBQ 是等边三角形,则 PB = BQ. 又∵ 点 P 的速度 为 2 cm / s,点 Q 的速度为 1 cm / s,∴ BP = (24- 2t) cm, BQ= t cm,即 24-2t= t,解得 t= 8,故 t 为 8s 时,△PBQ 是 等边三角形; (4 分) (2)当 t 为 6s 或48 5 s 时,△PBQ 是直角三角形. (5 分) 理由:由(1)得 BP = (24- 2t) cm,BQ = t cm;若∠PQB = 90°时,∠QPB= 30°,BP= 2BQ,即 24-2t= 2t,解得 t= 6; (7 分) 若∠QPB= 90°时,∠PQB = 30°,BP = 1 2 BQ,即 24- 2t = 1 2 t,解得 t = 48 5 . 综上所述,当 t 为 6s 或48 5 s 时,△PBQ 是直角三角形. (10 分) 最短路径问题 1. D　 2. B　 3. A 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【方法点拨】熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题 的关键. 连接 AD,由于△ABC 是等腰三角形,点 D 是 BC 边的中点,故 AD⊥BC,再根据三角形的面积公式求出 AD 的长,再根据 EF 是线段 AB 的垂直平分线可知,点 B 关 于直线 EF 的对称点为点 A,故 AD 的长为 BM+MD 的最 小值,由此即可得出结论. 4. D　 【解析】作点 E 关于直线 BC 的对称点 F,连接 AF 交 BC 于点 P,此时 PA + PE 的值最小,由对称性可知: ∠DPE= ∠DPF. ∵ ∠APC= ∠DPF,∴ ∠APC= ∠DPE,∴ PA+PE 最小时,点 P 应满足∠APC= ∠DPE. 故选 D. 5. B　 【解析】分别作点 P 关于 OA 所在直线、OB 所在直线 的对称点 D、C,连接 CD,分别交 OA、OB 于点 M、N,连接 OC、OD、PM、PN. 由对称知 PM = DM,OP = OD,∠DOA = ∠POA,PN=CN,OP = OC,∠COB = ∠POB,∴ OC = OP = OD,∠AOB= 1 2 ∠COD,∵ △PMN 周长的最小值是 5cm, ∴ CD= 5cm,∴ OC=OD=CD,∴ △OCD 是等边三角形,∴ ∠COD= 60°,∴ ∠AOB= 30°. 故选 B. 6. D　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,AC =BC,∠B = 60°, 作点 E 关于直线 CD 的对称点 G,过 G 作 GF⊥AB 于点 F,交 CD 于点 P,则此时,EP+PF 的值最小,∵ ∠B= 60°, ∠BFG = 90°,∴ ∠G= 30°, ∵ BF = 7,∴ BG = 2BF = 14. 又∵ BE= 6,∴ EG = 8,∴ CE = CG = 4,∴ AC = BC = 10. 故 选 D. 7. 5　 8. (0,2) 9. 解:(1)如图,点 P 即为所求; (3 分) (2)如图,点 P 即为所求. (6 分) 第十四章　 整式的乘法与因式分解 整式的乘法 1. B　 2. C　 3. A 4. D　 【解析】原式 = ( 2 3 ) 2025 ×(- 3 2 ) 2025 ×(- 3 2 )×(-1) 2025 =(-1)×(- 3 2 )×(-1)= - 3 2 . 故选 D. 5. A 6. C　 【解析】(3x- 2m) (5x- 6)= 15x2 - 18x- 10mx+ 12m = 15x2 -(18+10m)x+12m,∴ 15x2 -(18+10m)x+12m = 15x2 -78x+72,∴ 12m= 72,18+10m= 78,∴ m= 6. 故选 C. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【方法点拨】本题考查多项式乘多项式,解题的关键是熟 练运用多项式乘多项式的运算法则. 7. 9 8. 10　 【解析】∵ 2x = 8y+1 = 23(y+1) ,∴ x= 3(y+1) . ∵ 9y = 32y = 3x-9,∴ 2y= x-9,∴ x= 3(y+1)2y= x-9{ ,解得 x= 21 y= 6{ ,∴ 1 3 x+ 1 2 y = 1 3 ×21+ 1 2 ×6 = 10. 9. +8x2y　 10. yang8888 11. 解:原式 = (2x3y- 2x2y2 +x2y2 -x3y) ÷x2y = (x3y-x2y2 ) ÷ x2y= x-y, (4 分) 当 x= 2026,y= 2025 时,原式= 2026-2025 = 1. (7 分) 12. 解:S阴影 = (3a+b)(2a+b) -(a+b) 2 = 6a2 + 3ab+ 2ab+b2 - a2 -2ab- b2 = ( 5a2 + 3ab) (平方米), ∴ 绿化的面积是 (5a2 +3ab)平方米; (5 分) 当 a= 5,b= 2 时,原式= 5×25+3×5×2 = 155(平方米), (7 分) ∴ 当 a= 5,b= 2 时的绿化面积为 155 平方米. (8 分) 乘法公式 1. D　 2. C 3. A　 【解析】∵ (x-n) 2 = x2 -2nx+n2 = x2 +x+m,∴ -2n = 1, n2 =m,∴ n= - 1 2 ,m= 1 4 . 故选 A. 4. B　 5. B 6. A　 【解析】∵ a2 +4b2 + 4ab = (a+ 2b) 2,∴ 取 1 块甲、4 块 乙、4 块丙可以拼成一个正方形;∵ 4a2 +b2 + 4ab = (2a+ b) 2,∴ 取 4 块甲、1 块乙、4 块丙可以拼成一个正方形;∵ a2 +b2 +2ab=(a+b) 2,∴ 取 1 块甲、1 块乙、2 块丙可以拼 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBR·数学　 第 20 页 成一个正方形. ∴ 无法实现的方案是取 2 块甲、1 块乙、4 块丙. 故选 A. 7. 1　 8. 7 或-1 9. 36　 【解析】找规律发现(a+b) 3 的第三项系数为 3 = 1+ 2;(a+b) 4 的第三项系数为 6 = 1+2+3;(a+b) 5 的第三项 系数为 10 = 1+2+3+4;不难发现(a+b) n 的第三项系数为 1+2+3+…+(n-2)+(n-1),∴ (a+b) 9 第三项系数为 1+ 2+3+…+8 = 36. 10. 解:(1)原式= 3a-2a2 +2(a2 -1)= 3a-2a2 +2a2 -2 = 3a- 2; (4 分) (2)原式= 4(y2 +2y+1)-(4y2 -9) = 4y2 +8y+4-4y2 +9 = 8y+13. (8 分) 11. 解:原式= 6a2 +3a-4a2 +1 = 2a2 +3a+1, (4 分) ∵ 2a2 +3a-6 = 0,即 2a2 +3a= 6, (6 分) ∴ 原式= 6+1 = 7. (8 分) 12. 解:原式= 1 2 ×[(3-1)×(3+1) ×(32 +1) ×(34 +1) ×(38 + 1)×(316 +1)] = 1 2 ×[(32 -1)×(32 +1)×(34 +1)×(38 +1)×(316 +1)] = 1 2 ×[(34 -1)×(34 +1)×(38 +1)×(316 +1)] = 1 2 ×[(38 -1)×(38 +1)×(316 +1)] = 1 2 ×[(316 -1)×(316 +1)] = 3 32 -1 2 . (8 分) 13. 解:(1)(a+b) 2 -(a-b) 2 = 4ab (2 分) (2)∵ (m+n) 2 -(m-n) 2 = 4mn,∴ (m-n) 2 = (m+n) 2 - 4mn, (4 分) ∵ m+n= -2,mn= -3,∴ (m-n) 2 = (-2) 2 -4×( -3)= 16. ∴ m-n= ±4; (5 分) (3)∵ 四边形 ACDE,四边形 CFGB 是正方形,A、C、B 在 一条直线上,∴ ∠DCB= ∠ACF= 90°. ∵ S1 +S2 = 20,∴ x 2 +y2 = 20,∴ S阴影 =S△ACF+S△BCD = 1 2 x·y+ 1 2 x·y = x·y = 1 2 [(x+y) 2 -(x2 +y2 )] = 1 2 ×(62 -20)= 8. (9 分) 因式分解 1. D　 2. A 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查了因式分解,整式的乘法运算,熟知 因式分解的定义“将一个多项式化为几个整式的积的形 式叫因式分解”是解题关键. 3. A 4. B　 【解析】原式= -a(x-y)+b(x-y)+c(x-y)= (-a+b+ c)(x-y)= -(a-b-c)(x-y)= (a-b-c)(y-x) . 故选 B. 5. C　 6. C　 7. B 8. 4ab　 9. 15 10. 等腰　 【解析】∵ (a-b) 2 +(a-b)c= (a-b)(a-b+c)= 0, a-b+c≠0,a-b= 0,即 a= b,则此三角形为等腰三角形. 11. 48　 【解析】根据题意得 a+b = 6,ab = 8,所以 a2b+ab2 = ab(a+b)= 8×6 = 48. 12. (2a+b)(2b+a) 13. 解:(1)原式= [4(x-y)+5(x+y)][4(x-y)-5(x+y)] = (4x-4y+5x+5y)(4x-4y-5x-5y)= (9x+y)(-x-9y); (4 分) (2)原式= (x2 +6x+9) 2 = [(x+3) 2 ] 2 = (x+3) 4 . (8 分) 14. 解:原式 = a(a+b) [ a- b- ( a+ b)] = a( a+ b) ( - 2b) = -2ab(a+b), (4 分) ∵ a+b= 1,ab= 1 4 ,∴ 原式= -2× 1 4 ×1 = - 1 2 . (8 分) 15. 解:(1)设 x-y=m,原式= 1-2m+m2 = (1-m) 2 = [1-(x- y)] 2 = (1-x+y) 2 ; (3 分) (2)设 a+2 =m,原式= 25m2 -10m+1 = (5m-1) 2 = [5(a+ 2)-1] 2 = (5a+9) 2 ; (6 分) (3)设 y2 -6y=m,原式 =m(m+18) +81 =m2 +18m+81 = (m+9) 2 = (y2 -6y+9) 2 = (y-3) 4 . (9 分) 16. 解:(1)25 (2 分) (2)原式= x2 +8x+16-16+7 = (x2 +8x+16) -9 = (x+4) 2 - 9 = (x+4+3)(x+4-3)= (x+7)(x+1); (5 分) (3)原式 = -(x2 + 12x- 9) = -[(x2 + 12x+ 36) - 36- 9] = -[(x+6) 2 -45] = -(x+6) 2 +45, (7 分) ∵ -(x+ 6) 2 ≤0,∴ 当 x = - 6 时,-x2 - 12x+ 9 有最大值 45. (9 分) 第十五章　 分式 分式 1. A　 2. B　 3. D 4. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题属于新定义题目,考查最简分式,分式的 约分,掌握利用平方差公式 a2 -b2 = (a+b)(a-b)进行因 式分解是解题关键. 5. x 6. - 1 2 　 【解析】由题意,得 1- | x | = 0,x2 -2x+1≠0,解得 x = -1,则原式= - 1 2 . 7. 2 3 　 【解析】∵ 3x2 -12 = 3(x2 -4)= 3(x+2)(x-2),∴ m= x-2,n= 3(x+2)(x-2) . ∵ n m = 8,∴ 3(x +2)(x-2) x-2 = 3(x +2)= 8,∴ x= 2 3 . 8. 解:当 x= 4 时,分式 x -a 2x+b 没有意义,说明此时 2x+b= 0,则 b= -8; (3 分) 当 x= -3 时,分式 x -a 2x+b 的值为零,说明此时 x-a = 0,则 a = -3. (6 分) 把 a,b 的值代入 a +b a-2b ,得 -3-8 -3+16 = -11 13 . (9 分) 9. 解:(1)C (4 分) (2)m 2 +3 m+1 =m 2 -1+4 m+1 =m 2 -1 m+1 + 4 m+1 =m-1+ 4 m+1 . (10 分) 分式的运算 1. B 2. C 　 【解析】 ∵ a + b = 2, ab = - 5, ∴ 原 式 = a 2 +b2 ab = (a+b) 2 -2ab ab = 2 2 -2×(-5) -5 = -14 5 . 故选 C. 3. D　 4. D　 5. D 6. D　 【解析】由题意可知:M= x-y-x 2 +y2 x-y =(x-y) 2 -x2 -y2 x-y = -2xy x-y = 2xy y-x . 故选 D. 7. B 8. 9 9. 1　 【解析】原式 = x 2 +2xy+y2 x · x x+y = (x+y) 2 x · x x+y = x+y, 把 x+y= 1 代入得,原式= 1. 10. 30 a 　 60 a(a+2) 11. 2　 【解析】∵ M= a a+1 + b b+1 ,N = 1 a+1 + 1 b+1 ,∴ M-N = a a+1 + b b+1 -( 1 a+1 + 1 b+1 )= 2ab -2 (a+1)(b+1) ,①当 ab = 1 时,M-N = 0. ∴ M=N,故①正确;②当 ab>1 时,2ab>2,∴ 2ab-2> 0,当 a<0,b<0 时,(a+1)(b+1)>0 或(a+1)(b+1)<0, ∴ M-N>0 或 M-N<0,∴ M>N 或 M<N,故②错误;③当 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBR·数学　 第 21 页 ab<1 时,a 和 b 可能同号,也可能异号,∴ (a+1)(b+1) >0 或(a+1)(b+1)<0,而 2ab-2<0,∴ M>N 或 M<N,故 ③错误;④M·N = ( a a+1 + b b+1 )·( 1 a+1 + 1 b+1 )= a (a+1) 2 + a+b (a+1)(b+1) + b (b+1) 2 ,∵ a+b = 0,∴ 原式 = a (a+1) 2 + b (b+1) 2 = a(b+1) 2 +b(a+1) 2 (a+1) 2(b+1) 2 = 4ab (a+1) 2(b+1) 2 , ∵ a ≠ -1,b≠-1,∴ (a+1) 2 (b+1) 2 >0,∵ a+b = 0,∴ ab≤0,∴ M·N≤0,故④正确. 综上,正确的有 2 个. 12. 解:(1)原式= x(x +4) x(x+2) -(x+2)(x-2) (x+2) 2 = x+4 x+2 -x-2 x+2 = 6 x+2 ; (4 分) (2)原式= x -3 (x+1)(x-1) - 2(x-1) (x+1)(x-1) = -x-1 (x+1)(x-1) = - 1 x-1 = 1 1-x . (8 分) 13. 解:原式 = ( 5 x-2 -x 2 -4 x-2 ) ÷(x -3) 2 x-2 + x x-3 = -(x+3)(x-3) x-2 · x -2 (x-3) 2 + x x-3 = -x+3 x-3 + x x-3 = - 3 x-3 , (4 分) ∵ x≠2 且 x≠3,∴ 取 x= 1, (6 分) 则原式= - 3 1-3 = 3 2 . (答案不唯一) (8 分) 14. 解:(1)x +3 x+1 　 x -1 x-3 (2 分) (2)小强说的有道理, (3 分) 理由如下: ∵ x -1 x-3 - x+3 x+1 = (x-1)(x+1) (x-3)(x+1) - (x+3)(x-3) (x+1)(x-3) = 8 (x+1)(x-3) , (6 分) 当 x 是大于 3 的正整数时, ( x + 1 ) ( x - 3 ) > 0, ∴ 8 (x+1)(x-3) >0,∴ x -1 x-3 >x +3 x+1 . (8 分) 15. 解:(1) 由题意得:( 1 a-1 + 2 a2 -2a+1 ) ÷a +1 a-1 = a-1+2 (a-1) 2 · a-1 a+1 = a+1 (a-1) 2 ·a -1 a+1 = 1 a-1 . (2 分) ∵ a-1≠0,a+1≠0,∴ a≠1,a≠-1,∴ 当 a= 10 时,原式 = 1 10-1 = 1 9 ;(答案不唯一) (4 分) (2)由题意得: 2a a2 -1 ·a +1 a-1 - 2 a2 -2a+1 = 2a (a+1)(a-1) · a+1 a-1 - 2 (a-1) 2 = 2a-2 (a-1) 2 = 2 a-1 . (7 分) ∴ 被墨水遮住的式子是 2 a-1 . (8 分) 分式方程 1. C　 2. A　 3. D 4. C　 【解析】解分式方程,得 x = 1 m -2. ∵ 关 x 的方程 1 x2 -4 = m x-2 有解,∴ 1 m -2≠±2. ∴ m≠ 1 4 且 m≠0. 故选 C. 5. C 6. C　 【解析】设甲打字员原计划完成此项工作的时间是 x 小时,则甲的工作效率是 1 x ,乙的工作效率是甲的 1. 5 倍,即 3 2x ,依题意得x -6 x +3(x-6-2) 2x = 1,解得 x = 12,经检 验,x= 12 是所列分式方程的解,即甲打字员原计划完成 此项工作的时间是 12 小时. 故选 C. 7. C　 【解析】解分式方程,得 x= -2a-1. ∵ 分式方程的解为 负数,∴ -2a-1<0,∴ a>- 1 2 . ∵ 当 x = 1 时,a = -1;x = -1 时,a= 0,此时分式的分母为 0,∴ a>- 1 2 ,且 a≠0;将不等 式组整理得 x<a x≥2{ ,∵ 不等式组无解,∴ a≤2,∴ a 的取值 范围为- 1 2 <a≤2,且 a≠0. ∴ 满足条件的整数 a 的值为 1,2. ∴ 所有满足条件的整数 a 的值之积是 2. 故选 C. 8. - 4 7 9. 3 或 1 3 或-1　 【解析】方程两边都乘(x+1)(x-1),得 k- 1-(x+1)= k(x-1),化简得(k+1)x = 2k-2,当 k = -1 时, 此一元一次方程无解,即原方程无解. 又∵ 当 x= ±1 时原 方程无解,∴ 当 x= 1 时,k= 3,当 x= -1 时,k = 1 3 . 综上,k 的值为 3 或 1 3 或-1. 10. 8 x + 8 x+12 = 1 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【方法点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程,找 准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键. 11. x= 5 12. k≥1 且 k≠3　 【解析】去分母得 x+k+2x= x+1,解得 x = 1-k 2 ,由分式方程的解为非正数,得到1 -k 2 ≤0,且1 -k 2 ≠ -1,解得 k≥1 且 k≠3. 13. 10　 【解析】设 A 的速度为 x km / h,则 B 的速度为 3x km / h. 根据题意得方程50 x - 50 3x = 3 1 3 ,解得 x = 10. 经检 验,x= 10 是原方程的解. 故 A 的速度为 10km / h. 14. 解:(1)去分母,得 3+(x-2)= -(x-3), (2 分) 解得 x= 1, (4 分) 经检验,x= 1 是原方程的解; (5 分) (2)去分母,得 2(x-1)+3(x+1)= 11, (7 分) 解得 x= 2, (9 分) 经检验,x= 2 是原方程的解. (10 分) 15. 解:(1)①② (2 分) (2)①去分母时,注意方程中的每项都要乘以最简公分 母;②去括号时,注意正确运用去括号法则;③解整式 方程求出 x 要进行检验; (4 分) (3)去分母,得 2(x-1)-3(x+1)= 1. 去括号,得 2x-2-3x-3 = 1. 移项、合并同类项,得-x= 6. 解得 x= -6. (8 分) 经检验,x= 6 是原分式方程的解. (9 分) 16. 解:(1)设汽车行驶中每千米用电费用是 x 元,则每千 米用油费用为(x+0. 4)元,由题意,得 70 x+0. 4 = 30 x , (4 分) 解得 x= 0. 3,经检验,x= 0. 3 是原方程的解, (5 分) ∴ 汽车行驶中每千米用电费用是 0. 3 元,甲、乙两地的 距离是 30÷0. 3 = 100(千米); (6 分) (2)0. 3+0. 4 = 0. 7(元), (7 分) 设汽车用电行驶 ykm,由题意,得 0. 3y+0. 7(100-y) ≤ 50,解得 y≥50,所以至少需要用电行驶 50 千米. (10 分) 17. 解:(1)设乙每小时做 x 个,则甲每小时做(x+6)个,根 据题意 90 x+6 = 60 x ,解得 x= 12, (4 分) 经检验,x= 12 是原分式方程的解,且符合题意,则 x+6 = 18. 故甲每小时做 18 个,乙每小时做 12 个; (6 分) (2) 设甲每小时做 3x 个零件,则乙每小时做 4x 个零 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBR·数学　 第 22 页 件,根据题意60 3x +20 60 = 100 4x ,解得 x= 15, (10 分) 经检验,x= 15 是原分式方程的解,且符合题意,则 4×15 = 60(个) . 即乙每小时做 60 个. (12 分) 期末测试前题组训练 选填题 1. A　 2. A　 3. C　 4. B　 5. B　 【解析】根据题意得 k k-5 - 2+ k +1 k = 0,去分母得 k2 - 2k(k-5)+(k+1)(k-5)= 0,整理得 6k= 5,解得 k= 5 6 ,经 检验,k= 5 6 是原分式方程的解. 故选 B. 6. A　 7. B　 8. B　 9. B　 10. C 11. C　 【解析】∵ EF 是 BC 的垂直平分线,∴ BE = CE,∴ ∠EBC= ∠ECB. ∵ BD 是∠ABC 的平分线,∴ ∠ABD = ∠CBD,∴ ∠ABD = ∠DBC = ∠ECB. ∵ ∠BAC = 60°, ∠ACE= 24°,∴ ∠ECB = ∠ABD = ∠DBC = 1 3 (180°-60° -24°)= 32°. 故选 C. 12. B　 【解析】∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠DAC = ∠DAE. ∵ ∠C = 90°,DE⊥ AB,∴ ∠C = ∠DEA = 90°. ∵ AD = AD,∴ △DAC≌△DAE(AAS),∴ ∠CDA = ∠EDA,∴ ①AD 平 分∠CDE 正确;无法证明③DE 平分∠ADB;∵ BE+AE = AB,AE=AC,AC = 4BE,∴ AB = 5BE,AE = 4BE,∴ S△ADB = 5S△BDE,S△ADC = 4S△BDE,∴ S△ABC = 9S△BDE . ∴ ④错误;∵ ∠BDE = 90° - ∠B, ∠BAC = 90° - ∠B, ∴ ∠BDE = ∠BAC,∴ ②∠BAC= ∠BDE 正确. 故选 B. 13. 4xyz-1　 14. 4 27 15. 3　 【解析】∵ (x+3)(x-p)= x2 +3x-px-3p = x2 +(3-p)x -3p= x2 +mx-27,∴ 3-p=m,3p= 27,即 m= -6,p= 9,∴ m +p= 3. 16. 50°　 【解析】作 P 关于 OA,OB 的对称点 P1,P2,连接 OP1,OP2,则当 M,N 是 P1P2 与 OA,OB 的交点时, △PMN 的周长最短,连接 OP、P1P2,∵ PP1 关于 OA 对 称,∠MPN= 80°,∴ ∠P1OP= 2∠MOP,OP1 =OP,P1M = PM,∠OP1M = ∠OPM. 同理,∠P2OP = 2 ∠NOP,OP = OP2,∠OPN= ∠OP2N,∴ ∠P1OP2 = ∠P1OP+∠P2OP = 2( ∠MOP + ∠NOP) = 2 ∠AOB, OP1 = OP2 = OP. ∴ △P1OP2 是等腰三角形. ∴ ∠P1OP2 = 180°-80° = 100°, ∴ ∠AOB= 1 2 ∠P1OP2 = 50°. 17. 5　 18. 1 6 19. 1 或 2　 【解析】原方程整理,得(2-k) x = 2. 当 2-k = 0 时,此一元一次方程无解,即 k= 2 时,原分式方程无解. ∵ 分式方程无解,∴ x-2 = 0,解得 x= 2,把 x= 2 代入(2- k)x= 2,得 k= 1. ∴ k 的值为 1 或 2. 20. A= 3,B= 5　 21. 9 22. 45°或 0°或 90°　 【解析】∵ △PCD 是等腰三角形,∴ PC =PD 或 PC = CD 或 PD = CD. 当 PC = PD 时,∠PCD = ∠PDC= 1 2 (180°-30°)= 75°,∴ α = 120°-75° = 45°;当 PC=CD 时,∠CPD = ∠CDP = 30°,∴ ∠PCD = 180°- 2× 30° = 120°,∴ α= 120°-120° = 0°;当 PD =CD 时,∠PCD = ∠CPD= 30°,∴ α = 120°-30° = 90°. 综上,α 的度数是 45°或 0°或 90°. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】本题属于三角形综合题,考查了等腰三角形 的判定和性质,三角形的内角和定理,三角形 PCD 是等 腰三角形分三种情况考虑:当 PC=PD;PD=CD;PC =CD, 分别求出夹角 α 的大小即可. 期末测试前题组训练 解答题 1. 解:(1)原式= - 1 5 xy·(-9x4y2 )= 9 5 x5y3 ; (4 分) (2)原式= (a2 -4ab+4b2 +a2 -4b2 -4a2 +2ab)÷2a = (-2a2 -2ab)÷2a= -a-b. (8 分) 2. 解:(1)方程两边同乘(x+2) (x-1),得 x(x+2) -(x+2) (x-1)= 3, (3 分) 解得 x= 1. 检验:当 x = 1 时,(x+2) (x-1) = 0,所以原方 程无解; (5 分) (2)方程两边同乘(9x-3),得 2(3x-1) +3x = 1,解得 x = 1 3 . (8 分) 检验:当 x= 1 3 时,9x-3 = 0,所以原方程无解. (10 分) 3. 解:(1)A1(1,-1),B1(4,-2),C1(3,-4); (3 分) (2)如图,△A2B2C2 即为所求; (6 分) (3)(2,0) . 如图,点 P 即为所求. (9 分) 4. 解:(1)∵ (9-x)(x-6)= 1,(9-x)+(x-6)= 3. ∴ [(9-x) +(x-6)] 2 = 9,2(9-x) (x- 6) = 2,∴ (9-x) 2 +( x- 6) 2 + 2(9-x)(x-6)= 9,∴ (9-x) 2 +(6-x) 2 = 9-2 = 7; (4 分) (2)设 AC=a,BC=CF= b,∴ a+b= 6,a2 +b2 = 16, ∴ (a+b) 2 = 36,∴ a2 +b2 +2ab= 36,∴ ab= 10, (6 分) ∴ S△ACF = 1 2 ab= 1 2 ×10 = 5. (8 分) 5. 解:∠EDF = 90° - 1 2 α. 理由如下:在△ABC 中,∵ ∠A+ ∠B+∠C= 180°,∠A= ∠B,∠C=α,∴ ∠A= 90°- 1 2 α. (4 分) ∵ DE⊥AC,∴ ∠AED = 90°. 在 Rt△AED 中,∠A+∠ADE = 90°. 又∵ FD⊥AB,∴ ∠ADE+∠EDF = 90°,∴ ∠EDF = ∠A= 90°- 1 2 α. (8 分) 6. 解:(1)设购买一个 A 品牌垃圾桶需 x 元,则购买一个 B 品牌垃圾桶需(x+50)元,依题意,得4 000 x = 2× 3 000 x+50 ,解 得 x= 100, (4 分) 经检验,x= 100 是原方程的解,且符合题意, (5 分) ∴ x+50 = 150. 故购买一个 A 品牌垃圾桶需 100 元,购买 一个 B 品牌垃圾桶需 150 元; (6 分) (2)设该学校此次购买 m 个 B 品牌垃圾桶,则购买(50- m)个 A 品牌垃圾桶,依题意,得 100×0. 9(50-m) +150× (1+20%)m≤6 000,解得 m≤16 2 3 . (8 分) 因为 m 是正整数,所以 m 最大值是 16. 故该学校此次最 多可购买 16 个 B 品牌垃圾桶. (10 分) 7. 解:(1)④ (3 分) (2)60°≤∠BPC≤90°; (6 分) (3)∵ 点 P 是△ABC 关于顶点 A 的均分点,BC = 10,∴ BD=CD= 5. ∵ ∠BAC= 90°,∠C= 30°,∴ ∠ABC = 60°,AB = 1 2 BC= 5,∴ AB =BD. ∵ ∠ABC = 60°,∴ △ABD 是等边 三角形,∴ AD=AB= 5. ∵ BP⊥AD,∴ AP= 1 2 AD= 5 2 . (12 分) 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBR·数学　 第 23 页