追梦专项总结突破卷(三)轴对称-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

追梦专项总结突破卷(三) 轴对称 题型一　 轴对称 1. 下列图形是轴对称图形的是(　 　 ) A. 　 　 B. 　 　 C. 　 　 D. 2. 如图,△ABC 中,D 点在 BC 上,将 D 点分别以 AB、AC 为对称轴, 画出对称点 E、F,并连接 AE、AF,根据图中标示的角度,∠EAF 的度数为(　 　 ) A. 126°　 　 　 　 B. 128°　 　 　 　 C. 130°　 　 　 　 D. 132° 第 2 题图 　 　 　 　 第 4 题图 3. 已知点 P(a,3),Q( -2,b)关于 y 轴对称,则a -b a+b = (　 　 ) A. -5 B. 5 C. - 1 5 D. 1 5 4. 学习情境·规律探索 如图,已知平行四边形 OABC 的顶点 O (0,0),B(2,2),C(1. 6,0. 8) . 将平行四边形先沿着 y 轴进行第 一次轴对称变换,所得图形再沿着 x 轴进行第二次轴对称变换, 轴对称变换的对称轴遵循 y 轴、x 轴、y 轴、x 轴的规律进行,则经 过第 2 024 次变换后,平行四边形顶点 A 的坐标　 　 　 　 . 5. 学习情境·画图 如图,已知 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 3,BC = 4,在如图的平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(0,1),点 B 的坐 标为( -3,5),AC 与 x 轴平行. (1)点 C 的坐标为　 　 　 　 ; (2)在如图的平面直角坐标系中作出△ABC 关于 y 轴对称的 △A1B1C1,并在图中标出 B1,C1 两点的坐标; (3)若△A2B2C2 与△ABC 关于 x 轴对称,则△A2B2C2 的各顶点 的坐标分别为　 　 　 　 　 　 　 　 . 题型二　 角平分线与线段的垂直平分线的综合 6. 如图,在△ABC 中,∠BAC = 90°,∠ABC = 2∠C,BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E,AD⊥BE 于点 D,下列结论不正确的是(　 　 ) A. AC-BE=AE B. BE=CE C. ∠DAB= ∠C D. BC= 4AD 7. 如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的角平分线,FE 垂直平分 AD, 垂足为 E,EF 交 BC 的延长线于点 F,若∠CAF = 50°,求∠B 的 度数. 8. 如图,在△ABC 中,AC⊥BC,AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于点 E. 求 证:直线 AD 是 CE 的垂直平分线. 9. 如图,△ABC 的外角∠DAC 的平分线交 BC 边的垂直平分线于 点 P,PD⊥AB 于点 D,PE⊥AC 于点 E. 求证:BD=CE. 题型三　 等腰三角形的分类讨论 10. 数学思想·分类讨论 等腰三角形的周长为 20 cm,一边为 8 cm, 则腰长为(　 　 ) A. 4 cm　 　 　 　 　 　 　 　 　 B. 8 cm C. 4 cm 或 8 cm D. 6 cm 或 8 cm 11. 已知等腰△ABC 中,∠A= 50°,则∠B 的度数为(　 　 ) A. 50° B. 65° C. 50°或 65° D. 50°或 80°或 65° 12. 等腰三角形的一个角的外角为 110°,则这个等腰三角形的顶 角度数为(　 　 ) A. 110° B. 110°或 70° C. 70°或 40° D. 40° 13. 若等腰三角形两边长分别是 2 和 6,则它的周长是(　 　 ) A. 10　 　 　 　 B. 14　 　 　 　 C. 10 或 14　 　 　 　 D. 8 14. 已知平面直角坐标系中有 A(2,2)、B(4,0)两点,若在坐标轴 上取点 C,使△ABC 为等腰三角形,则满足条件的点 C 的个数 是(　 　 ) A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个 15. 如图,已知点 A(2,2),在 x 轴上确定一点 P,使得△AOP 为等 腰三角形,则满足条件的点 P 共有(　 　 ) A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个 ·72· 16. 已知等腰三角形的三边长分别为 m-2,2m+1,8,求等腰三角形 的周长. 17. 已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40°,求这 个等腰三角形顶角的度数. 题型四　 构造等腰三角形 18. 如图,△ABC 中,AB = AC,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 的延长线 上,BD=CE,试说明 DF=EF 的理由. 19. 如图,在△ABC 中,∠BAC = 120°,AD⊥BC 于点 D,且 AB+BD = DC. 求∠C 的度数. 20. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A= 90°,BE 是角平分线,CD⊥BE 交 BE 的延长线于点 D,求证:BE= 2CD. 题型五　 最短路径问题 21. 生活情境·铺设管道 如图,河道 m 的同侧 有 M、N 两个村庄,计划铺设一条管道将河 水引至 M,N 两地,下面的四个方案中,管 道长度最短的是(　 　 ) A. 　 　 　 　 　 B. C. D. 22. 如图,等腰△ABC 的底边 BC 长为 6,面积是 24,E 为腰 AB 的垂 直平分线 MN 上一动点. 点 D 为 BC 的中点,则△BDE 的周长 的最小值为(　 　 ) A. 6　 　 　 　 　 　 B. 8　 　 　 　 　 　 C. 10　 　 　 　 　 　 D. 11 　 　 　 　 　 第 22 题图　 　 　 　 　 　 　 　 第 23 题图 23. 如图,等边△ABC 中,BD⊥AC 于点 D,QD= 1. 5,点 P、Q 分别为 AB、AD 上的两个定点且 BP = AQ = 2,在 BD 上有一动点 E 使 PE+QE 最短,则 PE+QE 的最小值为(　 　 ) A. 3. 5 B. 4 C. 5 D. 6 24. 生活情境·文艺晚会 某班举行文艺晚会,桌子按如图所示摆成 两直排(图中的 AO,BO),AO 桌面上摆满了桔子,BO 桌面上摆 满了糖果,站在 C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到 D 处座位上. 请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路 程最短. 25. 如图,AB⊥BC,AD⊥DC,∠BAD = 100°,在 BC、CD 上分别找一 点 M、N,当△AMN 周长最小时,求∠MAN 的度数是多少? 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ·82· 点 N. ∴ ∠EMI = ∠GNI = 90°. 由(1) 和(2) 的结论可知 EM=AH=GN. 在△EMI 和△GNI 中, ∠EIM= ∠GIN ∠EMI= ∠GNI EM=GN{ ,∴ △EMI≌△GNI (AAS),∴ EI=GI,∴ I 是 EG 的中点. 追梦专项总结突破卷(三) 1. C　 2. D　 3. C　 4. (0. 4,1. 2) 5. 解:(1)(-3,1) (2)△A1B1C1 及点 B1 ,C1 坐标,如图所示; (3)A2(0,-1),B2(-3,-5),C2(-3,-1) 6. C　 【解析】C. ∵ ∠BAC = 90°,∠ABC = 2∠C,∴ ∠ABC+ ∠C= 90°,∴ 2∠C+∠C = 90°,∴ ∠C = 30°,∠ABC = 60°, ∵ BE 平分 ∠ABC 交 AC 于点 E, ∴ ∠EBC = ∠EBA = 1 2 ∠ABC= 30°,∵ AD⊥BE 于点 D,∴ ∠ADB = 90°,∴ ∠DAB= 90°-∠EBA= 90°-30° = 60°,∴ ∠DAB≠∠C. 故 选 C. 7. 解:∵ EF 垂直平分 AD,∴ AF =DF,∴ ∠ADF = ∠DAF,∵ ∠ADF= ∠B+∠BAD,∠DAF= ∠CAF+∠CAD,又∵ AD 平 分∠BAC,∴ ∠BAD= ∠CAD,∴ ∠B= ∠CAF= 50°. 8. 证明:∵ DE⊥AB,AC⊥BC,∴ ∠AED = ∠ACB = 90°. 又∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠DAE = ∠DAC. 在△AED 和△ACD 中, ∠AED= ∠ACD ∠DAE= ∠DAC AD=AD{ ,∴ △AED≌ △ACD( AAS),∴ AE = AC. ∵ AD 平分∠BAC,DE⊥AB,AC⊥BC,∴ DE = DC,∴ AD 平分线段 EC,即直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线. 9. 证明:连接 BP、CP,∵ 点 P 在 BC 的垂直平分线上,∴ BP =CP,∵ AP 是∠DAC 的平分线,PD⊥AB,PE⊥AC,∴ DP =EP. 在 Rt△BDP 和 Rt△CEP 中, BP=CPDP=EP{ ,∴ Rt△BDP ≌Rt△CEP(HL),∴ BD=CE. 10. D　 11. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角 和定理,分∠A 是顶角和底角两种情况进行讨论,即可得 到∠B 度数. 12. C　 【解析】当这个外角为顶角的外角时,则顶角为 180° -110° = 70°;当这个外角为底角的外角时,顶角为 180° -70°-70° = 40°. 故选 C. 13. B　 14. A　 15. B 16. 解:分三种情况:当 m-2 = 2m+1 时,解得 m= -3,∴ m-2 = -5(舍去);当 m-2 = 8 时,解得 m = 10,∴ 2m+1 = 21, ∴ 三边长分别为:8,21,8,∵ 8+ 8 = 16< 21,∴ 不能组成 三角形;当 2m+1 = 8 时,解得 m = 3. 5,∴ m-2 = 1. 5,∴ 三边长分别为:1. 5,8,8,∴ 等腰三角形的周长 = 1. 5+8 ×2 = 17. 5. 综上所述:等腰三角形的周长为 17. 5. 17. 解:如图 1,当等腰三角形为锐角三角形,∵ BD⊥AC, ∠ABD= 40°,∴ ∠A= 50°,即顶角的度数为 50°. 如图 2, 当等腰三角形为钝角三角形,∵ BD⊥AC,∠DBA = 40°, ∴ ∠BAD= 50°,∴ ∠BAC= 130°. 综上,这个等腰三角形 顶角的度数为 50°或 130°. 图 1 　 　 图 2 18. 解:过点 D 作 DG∥AC 交 BC 于点 G,∵ AB=AC,∴ ∠B= ∠ACB,∵ DG∥AC,∴ ∠DGB = ∠ACB,∠GDF = ∠E,∴ ∠B= ∠DGB, ∴ BD = DG. ∵ BD = CE, ∴ DG = CE. 在 △DGF 和 △ECF 中, ∠GFD= ∠CFE ∠GDF= ∠E GD=CE{ , ∴ △DGF ≌ △ECF(AAS),∴ DF=EF. 19. 解:在 DC 上截取 DH,使得 DH = DB,连接 AH. ∵ BD = DH,AD⊥BH,∴ AB = AH,∵ AB+BD = DC,DC = DH+HC, ∴ AB=CH = AH,∴ ∠B = ∠AHD,∠C = ∠HAC. 设∠C = x,∠AHB= ∠B = 2x,∵ ∠B+∠C+∠BAC = 180°,∴ 3x+ 120° = 180°,∴ x= 20°,∴ ∠C= 20° . 20. 证明:延长 BA 和 CD 交于点 Q, ∵ ∠CAQ = ∠BAE = ∠BDC= 90°,∴ ∠ACQ+∠Q= 90°,∠ABE+∠Q = 90°,∴ ∠ACQ = ∠ABE, 在 △ABE 和 △ACQ 中, ∠ABE= ∠ACQ AB=AC ∠BAE= ∠CAQ{ ,∴ △ABE≌△ACQ(ASA),∴ BE =CQ, ∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠QBD = ∠CBD,∵ ∠BDC = 90°, ∴ ∠BDC = ∠BDQ = 90°, 在 △QDB 和 △CDB 中, ∠QBD= ∠CBD BD=BD ∠BDQ= ∠BDC{ ,∴ △QDB ≌ △CDB ( ASA), ∴ CD = DQ,∴ BE=CQ= 2CD. 21. C 22. D　 【解析】连接 AD,∵ △ABC 是等腰三角形,点 D 是 BC 边的中点,∴ AD⊥BC,∴ S△ABC = 1 2 BC·AD = 1 2 ×6× AD= 24,解得 AD= 8,∵ MN 是线段 AB 的垂直平分线, ∴ 点 B 关于直线 MN 的对称点为点 A,∴ AD 的长为 BE +ED 的最小值,∴ △BDE 的周长最短 = AD+ 1 2 BC = 8+ 1 2 ×6 = 8+3 = 11. 故选 D. 23. C　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ BA=BC,∵ BD⊥ AC,AQ= 2,QD= 1. 5,∴ AD =DC = AQ+QD = 3. 5. 作点 Q 关于 BD 的对称点 Q′,连接 PQ′交 BD 于点 E,连接 QE, 此时 PE+EQ 的值最小. 最小值 PE+QE=PE+EQ′=PQ′, ∵ AQ= 2,AD=DC = 3. 5,QD =DQ′ = 1. 5,BP = 2,∴ AP = AQ′= 5,∵ ∠A= 60°,∴ △APQ′是等边三角形,∴ PQ′ = PA= 5,∴ PE+QE 的最小值为 5. 故选 C. 24. 解:如图所示,当小明所走路线为 CM-MN-ND 时,其所 走的总路程最短. 25. 解:作 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A′,A″,连接 A′A″,交 BC 于点 M,交 CD 于点 N,连接 AM,AN. 则 A′A″即为 △AMN 的周长最小值. ∵ ∠DAB = 100°, ∴ ∠AA′M + ∠A″= 180°-∠BAD= 80°,∵ ∠MA′A = ∠MAA′,∠NAD = ∠A″,且 ∠MA′ A + ∠MAA′ = ∠AMN, ∠NAD + ∠A″ = ∠ANM,∴ ∠AMN+∠ANM = ∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+ ∠A″= 2(∠AA′M+∠A″)= 2×80° = 160°,∠MAN = 180°- 160° = 20°. 故当 △AMN 周长最小时, ∠MAN 的度数 是 20°. 追梦专项总结突破卷(四) 1. B 2. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【易错提醒】不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆,相 同点都是底数不变,不同点是同底数幂的乘法转化为指 数的加法运算,而幂的乘方转化为指数的乘法运算. 3. B　 4. 6a2 -2a+1　 5. 3a-1 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBR·数学　 第 13 页