第十五章 分式 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

22. 解:(1)根据题意得: 3 1+x - x 1+x = 7,去分母得 3-x= 7+7x, 解得 x= - 1 2 . 检验:把 x= - 1 2 代入得 1+x≠0,∴ 分式方 程的解为 x= - 1 2 ; (5 分) (2)若“■”是-1,则有 3 1+x - x 1+x = -1,去分母得 3-x= -1 -x,无解; (7 分) 若“■”是 0,则有3 -x 1+x = 0,得 3-x= 0,解得 x= 3,检验:把 x= 3 代入得 1+x≠0,∴ 分式方程的解为 x= 3. (10 分) 23. 解:(1)90 (2 分) (2)设原计划每天修 xkm,则实际每天修 x(1+ 20%) = 1. 2xkm,根据题意,得90 +30 x -90+30 1. 2x = 5,解得 x= 4,经检 验:x= 4 是原方程的解, (7 分) 4×90 +30 1. 2×4 = 100(万元),故完成工程后,一共付给工程队 的费用是 100 万元. (11 分) 第十五章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C C D D C B D B C 1. B 2. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】用科学记数法表示小于 1 的正数时,要注意 小数点位置的变化,即小数点向右移了几位,10 的指数 就是负几. 3. C　 4. D　 5. D 6. C　 【解析】解方程得 m-3 = x-1,解得 x =m-2,由题意得 m-2≥0,解得 m≥2. ∵ 当 x = 1 时,方程无解,即 m-2≠ 1,m≠3,∴ m 的取值范围是 m≥2 且 m≠3. 故选 C. 7. B　 8. D 9. B 　 【 解 析 】 4x -9 (3x+2)(x-1) = A(x-1)-B(3x+2) (3x+2)(x-1) = (A-3B)x-(A+2B) (3x+2)(x-1) ,∴ A-3B = 4,A+ 2B = 9,∴ A = 7,B = 1. 故选 B. 10. C　 【解析】点 P(2a-1,a-2)关于 x 轴的对称点是(2a- 1,2-a),且在第一象限内,∴ 2a-1>02-a>0{ ,∴ 1 2 <a<2. ∵ a 为整数,∴ a= 1,把 a= 1 代入分式方程x +1 x-a = 2 得,x +1 x-1 = 2,解得 x= 3,经检验 x= 3 是分式方程的解. 故选 C. 11. x(x+3)(x-3) 12. 1 3 　 【解析】由题意知 2x x-1 -x-1 x = 1,解得 x = 1 3 ,经检验 x= 1 3 是原分式方程的解. 13. x≠- 1 2 且 x≠-2　 14. 120 x -3 = 120 (1+ 1 4 )x 15. 19　 【解析】由3y -2 2 ≥2y+1 得,y≤-4,由y -a 3 <1 得,y<a +3,∵ 不等式组的解集为 y≤- 4,∴ a+ 3>- 4,∴ a>- 7, 解分式方程 1-x x-3 +4 = a 3-x 得 x= 11 -a 3 ,∵ 方程的解是非负 整数,∴ 11-a 是 3 的倍数,∵ 11 -a 3 ≠3,∴ a≠2,∴ a 的 取值为-4,-1,5,8,11,∴ 所有满足条件的整数 a 的值 之和是 19. 16. 解:(1)原式 = 4- 1+ 81× 10-8 ÷(9× 10-10 ) = 4- 1+ 900 = 903; (4 分) (2 ) 原 式 = (x -y) 2 +4xy x-y · (x +y) 2 -4xy x+y = (x+y) 2 x-y · (x-y) 2 x+y = x2 -y2 . (8 分) 17. 解:(1)方程的两边同乘(y2 -1),得 4-(y-3) (y+1) +y2 -1 = 0,解得 y= -3. 检验:当 y= -3 时,y2 -1 = 8≠0. 所以 y= -3 是原分式方程的解; (4 分) (2)方程两边同乘 x2 ,得 2(x+ 1) 2 -x(x+ 1) = x2 . 化简, 得 2x2 +4x+2-x2 -x = x2 ,解得 x = - 2 3 . 检验:当 x = - 2 3 时,x2 ≠0,所以 x= - 2 3 是原分式方程的解. (8 分) 18. 解:原式= x 2 -4-x2 +x x(x-2) ·(x -2) 2 x-4 = x-2 x . (3 分) 由 3x+7>1 得 x>-2,∴ 负整数解为 x= -1. (6 分) 当 x= -1 时,原式= -1-2 -1 = 3. (8 分) 19. 解:由题意得 2 x-1 - 1 1-x = 1. (5 分) 解得 x= 4,经检验 x= 4 是分式方程的解. ∴ x 的值为 4. (9 分) 20. 解:(1)方程两边乘(x-3),得 x = 2(x-3) +a,整理,得 x = 6-a①. ∵ x = 3 时,原方程无解,但却是方程①的解, ∴ 将 x= 3 代入①,得 a= 3; (5 分) (2)方程两边同乘 y(y-1),得 y2 -m = (y-1) (y-1),整 理,得 2y= 1+m②. 因为 y = 0 和 y = 1 时原方程无解,所 以将 y= 0 和 y= 1 分别代入方程②,得 0 = 1+m,即 m= - 1;2 = 1+m,即 m= 1. 综上所述,m = -1 或 m = 1 时,方程 无解. (10 分) 21. 解:将方程 y y2 -9 + 1 3-y = 3 y+3 的两边同乘 y2 - 9,得 y-(y+ 3)= 3(y-3),解得 y = 2. 经检验,y = 2 是原分式方程的 解. (5 分) 所以 k= 2. 所以x +3 2 = x+2 3 -1. 解得 x= -11. (10 分) 22. 解:(1)设每个乙种商品的进价为 x 元,则每个甲种商 品的进价为(x-2)元,根据题意,得 80 x-2 = 100 x ,解得 x = 10,经检验,x= 10 是原方程的解,10-2 = 8(元) . (4 分) 故每个甲种商品的进价为 8 元,每个乙种商品的进价 为 10 元; (5 分) (2)设购进乙种商品 y 个,则购进甲种商品(3y-5)个. 由题意,得 3y-5+y≤95,解得 y≤25. 故商场最多购进乙 种商品 25 个; (7 分) (3)由(2)知,(12-8)(3y-5)+(15-10)y>380,解得 y> 23 9 17 . (9 分) ∵ y 为整数,y≤25. ∴ y= 24 或 25. ∴ 共有 2 种方案. 方案一:购进甲种商品 67 个,乙种商品 24 个; 方案二:购进甲种商品 70 个,乙种商品 25 个. (11 分) 23. 解:(1)由分母为 x-1,可设 2x2 +3x+6 = (x-1)(2x+a) + b. 因为( x - 1) ( 2x + a) + b = 2x2 + ax - 2x - a + b = 2x2 + (a-2)x-a+b,所以 2x2 +3x+6 = 2x2 +(a-2)x-a+b,所以 a-2 = 3 -a+b= 6{ , 解 得 a= 5 b= 11{ , 所 以 2x2 +3x+6 x-1 = (x-1)(2x+5)+11 x-1 = 2x+5+ 11 x-1 ; (5 分) (2)由分母为 x+2,可设 5x2 +9x-3 = (x+2) (5x+a) +b, 因为(x+2)(5x+a) +b = 5x2 +ax+ 10x+ 2a+b = 5x2 +(a+ 10)x+2a+b,所以 5x2 +9x-3 = 5x2 +(a+10)x+2a+b,所以 a+10= 9 2a+b= -3{ , 解 得 a= -1 b= -1{ , 所 以 5x2 +9x-3 x+2 = (x+2)(5x-1)-1 x+2 = 5x-1- 1 x+2 , (8 分) 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBR·数学　 第 11 页 所以 5m-11+ 1 n-6 = 5x-1- 1 x+2 ,因此 5m-11 = 5x-1,n-6 = -x-2,所以 m= x+2,n= -x+4,所以 m2 +2n2 +6mn= (x+ 2) 2 +2(-x+4) 2 +6(x+2) ( -x+4) = -3x2 +84,因为 x2 ≥ 0,所以-3x2 ≤0,所以-3x2 +84≤84,所以 m2 + 2n2 + 6mn 的最大值为 84. (11 分) 追梦专项总结突破卷(一) 1. C 2. 解:(1)∵ S△ABC = 1 2 BC·AD = 1 2 AC·BE,AC = 6,BC = 9, ∴ 1 2 ×9·AD= 1 2 ×6·BE,∴ 3AD= 2BE,∴ AD BE = 2 3 ; (2)由(1)得AD BE = 2 3 ,∵ BE= 8,∴ AD= 16 3 . 3. 35 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查了三角形的外角性质和角平分线的 定义,注意:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和. 4. ①②③　 【解析】∵ AD 平分∠EAC,∴ ∠EAC = 2∠EAD, ∵ ∠EAC = ∠ABC + ∠ACB,∠ABC = ∠ACB,∴ ∠EAD = ∠ABC,∴ AD∥BC, 即 ① 正 确; ∵ BD、 CD 分 别 平 分 ∠ABC、∠ACF,∴ ∠DCF = 1 2 ∠ACF,∠DBC = 1 2 ∠ABC, ∴ ∠BDC = ∠DCF - ∠DBC = 1 2 ( ∠ACF - ∠ABC ) = 1 2 ∠BAC,即②正确;∵ AD、CD 分别平分∠EAC、∠ACF, ∴ ∠DAC = 1 2 ∠EAC = 1 2 ( ∠ABC + ∠ACB), ∠ACD = 1 2 ∠ACF = 1 2 ( ∠ABC + ∠BAC ), ∴ ∠ADC = 180° - (∠DAC+ ∠ACD) = 180° - 1 2 (∠EAC+ ∠ACF) = 180° - 1 2 (∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC) = 90° - 1 2 ∠ABC = 90°-∠ABD,即③正确;根据题目中条件无法证明 BD 平 分∠ADC,即④错误. ∴ 正确的结论有①②③. 5. 45°　 【解析】∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠ABE = 1 2 ∠ABC. ∵ AF 平分∠BAD,∴ ∠FAB = 1 2 ∠DAB. ∵ ∠BAD = ∠C + ∠ABC= 90°+∠ABC,∴ ∠FAB = 1 2 (90°+∠ABC)= 45°+ 1 2 ∠ABC. 又 ∵ ∠FAB = ∠E + ∠ABE,∴ ∠E = ∠FAB - ∠ABE= 45°+ 1 2 ∠ABC- 1 2 ∠ABC= 45°. 6. 解: ( 1) ∵ ∠ECD = ∠B + ∠E, ∠B = 35°, ∠E = 25°, ∴ ∠ECD= 60°,∵ EC 平分∠ACD,∴ ∠ACE = ∠ECD = 60°, ∴ ∠BAC= ∠ACE+∠E= 85°; (2) ∠BAC = ∠B+ 2∠E. 理由:∵ ∠BAC = ∠ACE+ ∠E, ∠ECD= ∠ACE = ∠B+∠E,∴ ∠BAC = ∠B+∠E+∠E = ∠B+2∠E. 7. 解:感知:∵ ∠B= 40°,∠C= 70°,∴ ∠BAC = 70°,∵ AD 平 分∠BAC, ∴ ∠BAD = ∠CAD = 35°, ∴ ∠ADE = ∠B + ∠BAD= 75°,∵ AE⊥BC,∴ ∠AEB = 90°,∴ ∠DAE = 90°- ∠ADE= 15°; 探究:∵ ∠ADE = 75°,FE⊥BC,∴ ∠DFE = 90° - ∠ADE = 15°; 拓展:∠DAE 的度数不变. 理由: ∵ AE 平分∠BEC, ∴ ∠AEB= ∠AEC,∴ ∠C+∠CAE = ∠B+∠BAE,∵ ∠CAE = ∠CAD-∠DAE,∠BAE= ∠BAD+∠DAE,∴ ∠C+∠CAD- ∠DAE = ∠B + ∠BAD + ∠DAE, ∵ AD 平分 ∠BAC, ∴ ∠BAD= ∠CAD,∴ 2∠DAE = ∠C-∠B = 30°,∴ ∠DAE = 15°. ∴ ∠DAE 的度数不变. 8. B　 9. B　 10. 40°　 11. 36° 12. 解:∵ 四边形 ABCD 中,∠ABC+ ∠BCD = 360° - ( ∠A+ ∠D)= 360°-α,∵ PB 和 PC 分别为∠ABC、∠BCD 的平 分线, ∴ ∠PBC + ∠PCB = 1 2 ( ∠ABC + ∠BCD) = 1 2 (360°-α)= 180°- 1 2 α,则∠P = 180°-(∠PBC+∠PCB) = 1 2 α. 追梦专项总结突破卷(二) 1. 证明:∵ ∠C= ∠D = 90°,∴ △ABC 与△ABD 为直角三角 形, 在 Rt △BAD 和 Rt△ABC 中, BA=ABAD=BC{ , ∴ Rt△BAD≌Rt△ABC(HL),∴ ∠BAD= ∠ABC,∴ EA=EB. 2. 证明:∵ ∠BAD = ∠BCD = 90°,在 Rt△ABD 和 Rt△CBD 中, BD=BDAB=BC{ ,∴ Rt△ABD≌Rt△CBD( HL),∴ AD = CD, ∵ AE⊥EF 于点 E,CF⊥EF 于点 F,∴ ∠E= ∠F = 90°,在 Rt △ADE 和 Rt △CDF 中, AD=CDAE=CF{ , ∴ Rt △ADE ≌ Rt△CDF(HL),∴ DE=DF,即点 D 是 EF 的中点. 3. 证明:∵ 点 C 是 AE 的中点,∴ AC = CE,∵ BC∥DE,∴ ∠ACB = ∠E,在 △ACB 和 △CED 中, AC=CE ∠ACB= ∠E CB=ED{ , ∴ △ACB≌△CED(SAS),∴ AB=CD. 4. 证明: ∵ O 是 BC 的中点, ∴ OB = OC, ∵ AD⊥BC, ∴ ∠AOB = ∠COD = 90°, 在 Rt △AOB 和 Rt △DOC 中, AB=DC OB=OC{ ,Rt△AOB≌Rt△DOC(HL),∴ AO=OD. 5. 证明:(1) ①∵ △ABC 和△ADE 是等边三角形,∴ ∠BAC = ∠DAE = 60°, AB = AC, AD = AE. ∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE-∠DAC,∴ ∠BAD = ∠EAC. 在△ABD 和△ACE 中 AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE{ ,∴ △ABD≌△ACE(SAS); ②结论 BC=DC+CE 成立; (2)BC+CD = CE. ∵ △ABC 和△ADE 是等边三角形,∴ ∠BAC= ∠DAE= 60°,AB = AC,AD = AE. ∴ ∠BAC+∠DAC = ∠DAE+∠DAC,∴ ∠BAD = ∠EAC. 在△ABD 和△ACE 中 AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE{ , ∴ △ABD≌ △ACE ( SAS) . ∴ BD = CE. ∵ BD=BC+CD,∴ CE=BC+CD. 6. 解:由题意,得 AC = BC,∠ACB = 90°. ∵ AD⊥DE,BE⊥ DE,∴ ∠ADC = ∠CEB = 90°, ∴ ∠ACD + ∠BCE = 90°, ∠ACD + ∠DAC = 90°, ∴ ∠BCE = ∠DAC, 在 △ADC 和 △CEB 中, ∠ADC= ∠CEB ∠DAC= ∠ECB AC=BC{ ,∴ △ADC≌ △CEB( AAS), ∴ AD=EC= 2×3 = 6cm,DC=BE= 7×2 = 14cm,∴ DE=DC+ CE= 20cm,故两堵木墙之间的距离为 20 cm. 7. (1)证明:∵ BD⊥直线 l,CE⊥直线 l,∴ ∠BDA= ∠CEA= 90°. ∵ ∠BAC = 90°,∴ ∠BAD+ ∠CAE = 90°. ∵ ∠BAD+ ∠ABD= 90°,∴ ∠CAE = ∠ABD. 在△ADB 和△CEA 中, ∠ABD= ∠CAE ∠BDA= ∠AEC AB=CA{ ,∴ △ADB≌△CEA( AAS),∴ AE = BD, AD=CE,∴ DE=AE+AD=BD+CE; (2)DE=BD+CE 成立. 证明如下:∵ ∠BDA = ∠BAC = α, ∴ ∠DBA+∠BAD = ∠BAD+∠CAE = 180°-α,∴ ∠DBA = ∠CAE, 在 △ADB 和 △CEA 中, ∠BDA= ∠AEC ∠DBA= ∠EAC AB=AC{ , ∴ △ADB≌△CEA(AAS),∴ AE =BD,AD = CE,∴ DE = AE+ AD=BD+CE. (3)证明:过 E 作 EM⊥HI 于点 M,GN⊥HI 的延长线于 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBR·数学　 第 12 页 第十五章追梦综合演练卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分:　 　 　 　 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 下列式子- x 5 , 1 a+b , y x+3y ,m -n 10 ,m +6 m 中,分式共有(　 　 ) A. 2 个　 　 　 　 B. 3 个　 　 　 　 C. 4 个　 　 　 　 D. 5 个 2. 科技情境·HEPS 储存环 国家重大科技基础设施高能同步辐射 光源(HEPS)加速器储存环最后一台磁铁安装就位,HEPS 储存 环是世界上第三大光源加速器,其发射度小于 0. 06 纳米( nm) ·弧度. 已知 1nm = 1 × 10-9m. 将 0. 06nm 用科学记数法表示 应为(　 　 ) A. 0. 6×10-10m B. 6×10-10m C. 6×10-11m D. 0. 06×10-9m 3. 把分式方程 2 x - x x+1 = 1 化为整式方程正确的是(　 　 ) A. 2(x+1) -x2 = 1 B. 2(x+1) +x2 = 1 C. 2(x+1) -x2 = x(x+1) D. 2x-(x+1)= x(x+1) 4. 下列约分正确的是(　 　 ) A. a 6b2 a3b4 =a 2 b2 B. a +b a2 +b2 = 1 a+b C. x +3 x2 -9 = 3 x-3 D. (a -b) 2 -a+b = b-a 5. 化简(1- 2 x+1 ) ÷ 1 x2 -1 的结果是(　 　 ) A. 1 (x+1) 2 B. 1 (x-1) 2 C. (x+1) 2 D. (x-1) 2 6. 已知关于 x 的分式方程 m x-1 + 3 1-x = 1 的解是非负数,则 m 的取值 范围是(　 　 ) A. m>2 B. m≥2 C. m≥2 且 m≠3 D. m>2 且 m≠3 7. 中考新趋势·过程纠错 小明和小亮解答“解分式方程:2x +3 x = 1- x-1 x ”的过程如下,对他们的解答过程有以下判断,判断正确的 是(　 　 ) 小明的解法: 解:去分母,得 2x+3 = 1-(x-1),① 去括号,得 2x+3 = 1-x+1,② 移项,得 2x+x= 1+1-3,③ 合并同类项,得 3x= -1,④ 系数化为 1,得 x= - 1 3 ,⑤ 经检验 x= - 1 3 是原分式方程的解. ⑥ 小亮的解法: 解:去分母,得 2x+3 = x-(x-1),① 去括号,得 2x+3 = x-x+1,② 移项,得 2x= -3+1,③ 合并同类项,得 2x= -2,④ 系数化为 1,得 x= -1,⑤ 经检验 x= -1 是原分式方程的解. ⑥ A. 小明正确,小亮错误 B. 小明错误,小亮正确 C. 两人都正确 D. 两人都错误 8. 生活情境·修路 现有甲、乙两队修路,甲队修路 1 000 m,乙队修 路 1 200 m,若　 　 　 　 ,且比甲提前一天完成任务. 设甲队每天 修路 x m,根据题意可列出方程1 000 x = 1 200 2x-30 +1,则横线上应填 写的条件为(　 　 ) A. 甲队每天修路比乙队的 2 倍多 30 m B. 甲队每天修路比乙队的 2 倍少 30 m C. 乙队每天修路比甲队的 2 倍多 30 m D. 乙队每天修路比甲队的 2 倍少 30 m 9. 若分式 4x -9 (3x+2)(x-1) = A 3x+2 - B x-1 (A、B 为常数),则 A、B 的 值为(　 　 ) A. A= 4,B= -9 B. A= 7,B= 1 C. A= 1,B= 7 D. A= -35,B= 13 10. [学科内融合]已知,点 P(2a-1,a-2)关于 x 轴的对称点在第 一象限内,且 a 为整数,则关于 x 的分式方程 x +1 x-a = 2 的解 是(　 　 ) A. 5 B. 1 C. 3 D. 不能确定 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 分式 1 x2 -3x 与 2 x2 -9 的最简公分母是　 　 　 　 . 12. 当 x= 　 　 　 　 时,分式 2x x-1 的值比分式 x-1 x 的值大 1. 13. 若代数式(x+2)0- 3 2x+1 有意义,则 x 的取值范围是　 　 　 　 . 14. 生活情境·春游 一组学生乘汽车去春游,预计共需车费 120 元,后来人数增加了 1 4 ,费用仍不变,这样每人少摊 3 元,原来 这组学生的人数是多少? 设原来学生人数为 x 人,依题意可列 方程　 　 　 　 　 　 　 　 . 15. [学科内融合]若关于 y 的不等式组 3y-2 2 ≥2y+1 y-a 3 <1 ì î í ï ïï ï ïï 的解集为 y≤ -4,且关于 x 的分式方程1 -x x-3 +4 = a 3-x 的解是非负整数,则所有 满足条件的整数 a 的值之和是　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)计算: (1)( 1 2 ) - 2 -( 1 5 +2 ) 0 +(3×10- 2) 4 ÷(3×10- 5) 2; (2)(x-y+4xy x-y )·(x+y-4xy x+y ) . 17. (8 分)解下列分式方程: (1) 4 y2 -1 +y-3 1-y +1 = 0;　 　 　 (2)2(x +1) 2 x2 -x+1 x = 1. 18. (8 分)先化简,再求值: (x +2 x -x-1 x-2 ) ÷ x -4 x2 -4x+4 ,其中 x 是不等式 3x+7>1 的负整数解. ·32· 19. 中考新趋势·新定义 (9 分)符号 a　 b c　 d 称为二阶行列式,规定 它的运算法则为: a　 b c　 d = ad-bc. 请你根据上述规定求出下列 等式中 x 的值: 2 1 1 1-x 1 x-1 = 1. 20. (10 分)(1)当 a 为何值时,方程 x x-3 = 2+ a x-3 无解? (2)当 m 为何值时,方程 y y-1 - m y2 -y = y-1 y 无解? 21. (10 分)已知方程 y y2 -9 + 1 3-y = 3 y+3 的解为 y= k,求关于 x 的方程 x+3 2 = x+k 3 -1 的解. 22. 生活情境·销售 (11 分)某商场准备购进甲、乙两种商品进行 销售,若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少 2 元,且用 80 元购进甲商品的数量与用 100 元购进乙商品的数量相同. (1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元? (2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的 3 倍少 5 个,且购进甲、乙两种商品的总数量不超过 95 个,则商场最多 购进乙商品多少个? (3)在( 2) 的条件下,如果甲、乙两种商品的售价分别是 12 元 /个和 15 元 /个,且将购进的甲、乙两种商品全部售出后,可 使销售两种商品的总利润超过 380 元,那么该商场购进甲、乙 两种商品有哪几种方案? 23. 学科素养·阅读理解 (11 分)阅读下面的材料,并解答后面的 问题. 材料:将分式3x 2 +4x-1 x+1 拆分成一个整式与一个分式(分子为整 数)的和(差)的形式. 解:由分母为 x+1,可设 3x2 +4x-1 = (x+1)(3x+a) +b. 因为(x+1)(3x+a) +b = 3x2 +ax+3x+a+b = 3x2 +(a+3) x+a +b, 所以 3x2 +4x-1 = 3x2 +(a+3)x+a+b. 所以 a+3 = 4 a+b= -1{ ,解得 a= 1 b= -2{ . 所以 3x2 +4x-1 x+1 = (x+1)(3x+1) -2 x+1 = (x+1)(3x+1) x+1 - 2 x+1 = 3x+1- 2 x+1 . 这样,分式就被拆分成了一个整式 3x+1 与一个分式 2 x+1 的 差的形式. 根据你的理解解决下列问题: (1)请将分式2x 2 +3x+6 x-1 拆分成一个整式与一个分式(分子为整 数)的和(差)的形式; (2)若分式5x 2 +9x-3 x+2 拆分成一个整式与一个分式(分子为整 数)的和(差)的形式为:5m- 11 + 1 n-6 ,求 m2 + 2n2 + 6mn 的最 大值. ·42·