第十四章 整式的乘法与因式分解 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

AD=BF,BE = EF,∴ AD = 2BE,⑤正确,故正确的结论 是:①③⑤. 16. 证明:∵ CD 平分∠ACB,∴ ∠BCD = ∠DCE. ∵ DE⊥AC, ∠ABC= 90°,∴ DE=BD,∠BDF= ∠CDE. (4 分) ∵ BF∥DE,∴ ∠CDE = ∠BFD,∴ ∠BDF = ∠BFD,∴ BD =BF,∴ DE=BF. (8 分) 17. 解:∵ AB = AC,∠BAC = 120°,∴ ∠B = ∠C = 1 2 ( 180° - ∠BAC)= 30°. (3 分) ∵ ∠BAP = 90°, ∴ ∠PAC = 120° - 90° = 30°, ∴ ∠C = ∠PAC,∴ AP=CP= 4cm. (6 分) 在 Rt△ABP 中,∵ ∠B= 30°,∴ BP= 2AP= 8cm. (9 分) 18. 解:(1)△A1B1C1 如图所示; (2 分) (2)(3,2)　 (4,-3)　 (1,-1) (5 分) (3)S△A1B1C1 = 3×5- 1 2 ×2×3- 1 2 ×1×5- 1 2 ×2×3 = 13 2 . (7 分) (4)如图,P 点即为所求. (9 分) 19. (1)证明:∵ AB∥CD,∴ ∠B = ∠C. 在△ABE 和△DCF 中,∠A = ∠D, ∠B = ∠C,AE = DF, ∴ △ABE≌ △DCF (AAS),∴ AB=CD; (5 分) (2)解:∵ AB=CD,AB=CF,∴ CF=CD,∴ ∠CFD= ∠D. (7 分) ∵ ∠C= ∠B= 30°,∠D= 1 2 ×(180°-30°)= 75°. (9 分) 20. 解:(1)AD 与 BE 垂直,理由如下:∵ BE 为∠ABC 的平 分线,∠BAC = 90°,DE⊥BC,∴ AE = ED. 又∵ BE = BE, ∴ △ABE≌△DBE,∴ AB=DB. (4 分) 又∵ BE 平分∠ABD,∴ AD⊥BE; (6 分) (2)由(1)知 AB = BD. 又∵ △ABC 是等腰直角三角形, ∠BAC= 90°,∴ ∠C= 45°. 又∵ ED⊥BC,∴ △DCE 为等 腰直角三角形,∴ DE = DC,即 AB+AE = BD+DC = BC = 10. (9 分) 21. ( 1) 证明: ∵ PR⊥ AB,PS⊥ AC,PR = PS, ∴ AP 平分 ∠BAC,∴ ∠BAP = ∠CAP. 又 ∵ AQ = PQ, ∴ ∠CAP = ∠APQ,∴ ∠BAP= ∠APQ,∴ QP∥AR; (5 分) (2)解:AR、AS 相等, (6 分) 理由如下:∵ PR⊥AB,PS⊥AC,∴ △APR 与△APS 为直 角三角形,在 Rt△APR 和 Rt△APS 中,AP=AP,PR=PS, ∴ Rt△APR≌Rt△APS(HL),∴ AR=AS. (10 分) 22. 解:(1)125° (2 分) (2)∠BPC= 90°- 1 2 ∠A, (3 分) 理由如下:∵ BP,CP 分别是外角∠DBC,∠ECB 的平分 线, ∴ ∠PBC + ∠PCB = 1 2 ( ∠DBC + ∠ECB ) = 1 2 (180°-∠ABC+180°-∠ACB) = 1 2 [ 360° - ( 180° - ∠A)] = 1 2 ( 180° + ∠A) . 在△PBC 中, ∠BPC = 180° - (∠PBC+∠PCB)= 180°- 1 2 (180°+∠A)= 90°- 1 2 ∠A; (6 分) (3)①∠BPC= 180°- 1 2 α; (8 分) ②当 0°<α< 180°时,△BPC 是钝角三角形;当 α = 180° 时,△BPC 是直角三角形;当 180° <α< 360°时,△BPC 是锐角三角形. (10 分) 23. 解:(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ. (1 分) 理由:当 t= 1 时,AP=BQ= 1,BP =AC = 3. 又∵ ∠A = ∠B = 90°,在△ACP 和△BPQ 中, AP=BQ ∠A= ∠B AC=BP{ ,∴ △ACP≌ △BPQ(SAS) . (3 分) ∴ ∠ACP= ∠BPQ,∴ ∠APC+∠BPQ = ∠APC+∠ACP = 90°,∴ ∠CPQ= 90°,即 PC⊥PQ; (5 分) (2)存在,此时分两种情况讨论. ①若△ACP≌△BPQ, 则 AC=BP,AP=BQ, 3 = 4-tt= xt{ ,解得 t= 1 x= 1{ ; (8 分) ②若△ACP≌△BQP,则 AC=BQ,AP=BP, 3 = xtt= 4-t{ ,解得 t= 2 x= 3 2 { . 综上所述,存在 t= 1x= 1{ 或 t= 2 x= 3 2 { ,使得△ACP 与 △BPQ 全等. (11 分) 第十四章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D D B A D D C C D 1. C　 2. D　 3. D　 4. B　 5. A 6. D　 【解析】A:原式 = -(x-y) 2;B:原式 = x2(x-y) 2;C:原 式=(x2 -3+1) 2 =(x2 -2) 2,D 无法分解. 故选 D. 7. D　 【解析】甲看错了 a 的值:x2 +ax+b=(x+6)(x-2)= x2 +4x-12,∴ b= -12. 乙看错了 b 的值:x2 +ax+b = (x-8)(x +4)= x2 -4x-32,∴ a= -4. ∴ x2 +ax+b 分解因式正确的结 果:x2 -4x-12 =(x-6)(x+2) . 故选 D. 8. C　 9. C 10. D　 【解析】题意可得:S2 = 4× 1 2 b(a+b)= 2b(a+b);S1 = (a+b) 2 -S2 =(a+b) 2 -(2ab+ 2b2)= a2 -b2 . ∵ S1 = S2,∴ 2b(a+b)= a2 -b2,∴ 2b(a+b)= (a-b)(a+b),∵ a+b>0, ∴ 2b=a-b,∴ a= 3b. 故选 D. 11. 4　 12. 175 13. 18　 【解析】∵ ab= 2,a-b = 3,∴ 原式 = ab(a2 - 2ab+b2) = ab(a-b) 2 = 2×32 = 18. 14. 10a-6b　 【解析】4a2 -4b2 = 4(a2 -b2)= 4(a-b)(a+b), ∵ 一边长为 a+b,∴ 另一边长为 4(a-b)= 4a-4b,∴ 周 长为 2×(a+b+4a-4b)= 10a-6b. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【方法点拨】本题主要考查了因式分解,直接利用提公因 式法和公式法因式分解得到另一边长,进而得出答案. 15. 6 16. 解:(1)原式= 4x2 -y2 +x2 +2xy+y2 -4x2 +2xy= x2 +4xy; (4 分) (2)原式= x5y11 ÷(- 1 8 x3y9 )= -8x2y2 . (8 分) 17. 解:(1)原式= (m+n)(m-n) +2(m-n)= (m-n) (m+n+ 2); (4 分) (2)原式= [2(x+y)+8(x-y)][2(x+y) -8(x-y)] = (10x-6y)(-6x+10y)= 4(5x-3y)(-3x+5y) . (8 分) 18. 解:(a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 =a2 -2ab+b2 +b2 -2bc+c2 +c2 -2ac+a2 = 2a2 +2b2 +2c2 -2ab-2bc-2ac; (4 分) ∵ a-b= 10,b-c= 5,∴ a-c = 15,∴ a2 +b2 +c2 -ab-bc-ca = 1 2 [(a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 ] = 1 2 ×[102 +52 +( -15) 2 ] = 175. (9 分) 19. 解:∵ A= (4x2 -2x+1)·(2x+1)= 8x3 -4x2 +2x+4x2 -2x+ 1 = 8x3 +1,∴ A+B= 8x3 +1+2x+1 = 8x3 +2x+2. (9 分) 20. 解:(1)a2 -6ab+9b2 -25 = (a-3b) 2 -25 = (a-3b-5) (a- 3b+5); (3 分) (2)x2 -4y2 -2x+4y= (x-2y)(x+2y)-2(x-2y)= (x-2y) (x+2y-2); (6 分) (3)△ABC 是等边三角形, (7 分) 理由如下:∵ a2 +c2 +2b2 -2ab-2bc = 0,∴ (a2 -2ab+b2 ) + (c2 -2bc+b2 )= 0,∴ (a-b) 2 +(b-c) 2 = 0. ∵ (a-b) 2 ≥0, 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBR·数学　 第 8 页 (b-c) 2 ≥0,∴ a-b= 0,且 b-c= 0,∴ a= b,且 b= c,∴ a= b = c,∴ △ABC 是等边三角形. (10 分) 21. 解:(1)①绿化的面积为:( 3a+ b) ( 2a+ b) - ( a+ b) 2 - a(3a+b-a-b)= (3a2 +3ab)(平方米); (3 分) ②∵ 3a2 +3ab = 3a(a+b) = a(3a+3b),∴ 所拼矩形相邻 两边的长分别为 3a 米和(a+b)米或矩形相邻两边的长 分别为 a 米和(3a+3b)米; (6 分) 所以要使所拼矩形面积最大,3a = a+b,所以 2a = b;若 3a2 +3ab=a(3a+3b),此时 a = 3a+ 3b,∴ 2a = - 3b,不符 合 a>0,b>0. 综上,要使所拼矩形面积最大,a 与 b 满足 2a= b; (9 分) (2)当 a= 3,b= 2,绿化面积是 3× 9+ 3× 3× 2 = 45(平方 米) . (10 分) 22. 解:(1)x3 -xy2 = x(x-y) (x+y),当 x = 16,y = 4 时,x-y = 12,x+y = 20,∴ 得到的数字密码为 161220 或 162012; (答案不唯一) (5 分) (2)当 x = 10 时,密码为 101213,且 x3 的系数为 1,由 (1)知 x+2 = 12,x+3 = 13, (7 分) x3 +(m-n)x2 +nx= x(x+2)(x+3)= x3 +5x2 +6x,∴ m-n = 5,n= 6,即:m= 11,n= 6. (10 分) 23. 解:(1)由图可知:S1 =a 2 -b2 ,S2 = 2b 2 -ab; (3 分) (2)S1 +S2 =a 2 -b2 +2b2 -ab=a2 +b2 -ab, (5 分) ∵ a-b= 8,ab= 13,∴ S1 +S2 = a 2 +b2 -ab = (a-b) 2 +ab = 64 +13 = 77; (7 分) (3)由图可知:S3 =a 2 +b2 - 1 2 b(a+b) - 1 2 a2 = 1 2 (a2 +b2 - ab), (9 分) ∵ S1 +S2 = 34,∴ S1 +S2 = a 2 -b2 +2b2 -ab = a2 +b2 -ab = 34, ∴ S3 = 1 2 ×34 = 17. (11 分) 第十五章追梦基础训练卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D D B B D C C D B 1. D　 2. D 3. D　 【解析】 x 2 -y2 (x-y) 2 = (x+y)(x-y) (x-y) 2 = x+y x-y = 6-2 6+2 = 1 2 . 故 选 D. 4. B　 5. B　 6. D 7. C　 【解析】∵ | x-4 | +(y-9) 2 = 0,∴ x-4 = 0,y-9 = 0,∴ x = 4,y= 9,∴ 原式= x(x +y) y2 · x 2y2 x(x-y) · 1 x2 = x+y x-y = 4+9 4-9 = - 13 5 . 故选 C. 8. C　 【解析】∵ 3x-1≠0,解得 x≠ 1 3 ,把 x = -a 代入分式 x+a 3x-1 中,当 x= -a 且-a≠ 1 3 时,即 a≠- 1 3 时,分式的值 为 0. 故选 C. 9. D 10. B　 【解析】 6x +12 x2 -x-6 = 6(x+2) (x-3)(x+2) = 6 x-3 ,∵ 分式 6x +12 x2 -x-6 的值为整数,∴ x-3 = ±1 或±2 或±3 或±6 且 x+2≠0,∴ 正整数 x= 4 或 2 或 5 或 1 或 6 或 9,共 6 个. 故选 B. 11. ±6　 【解析】由题意可知:n2 - 25 = 11,即 n2 = 36,故 n = ±6. 12. -m2 +2m-1 13. - 1 4 　 【解析】∵ 分式2(x -3) x2 +3 的值为 0,∴ 2(x-3)= 0,x2 +3 ≠ 0, ∴ x = 3. 则 2x x2 -1 ÷ 2x 1-x = 2x (x+1)(x-1) · 1 -x 2x = - 1 x+1 ,当 x= 3 时,原式= - 1 4 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查了分式值为零的条件,若分式的值 为零,需同时具备两个条件:(1)分子为 0;(2)分母不为 0. 这两个条件缺一不可. 14. 25 4 　 【解析 】 原 式 = (x +y) 2·(x-y) 2 4x2y2 ÷ (x-y) 2 x2y2 = (x+y) 2(x-y) 2 4x2y2 · x 2y2 (x-y) 2 = (x+y) 2 4 ,∵ x+ y = 5,∴ 原式 = 25 4 . 15. 8x2 -36x+16 或2x -1 x-4 　 【解析】∵ a·b = a2 -b2(a≥b) a+b a-b (a<b){ , 当 3x-5≥x+3 时,即 x≥4,(3x-5)·(x+3)= (3x-5) 2 - (x+3) 2 =(3x-5+x+3)(3x-5-x-3)= 8x2 -36x+16;当 3x -5<x+3,即 x< 4,(3x- 5)·( x+ 3)= (3x -5)+(x+3) (3x-5)-(x+3) = 4x-2 2x-8 = 2x-1 x-4 . 16. 解:(1)原式= x(y-x)· xy (x-y) 2 ·x -y x2 = -y; (4 分) (2)原式= (x -y) 2 (x+y) 2 · 1 (x-y) 3 ·(x +y) 2 x-y = 1 (x-y) 2 . (8 分) 17. 解:( 1) 原式 = (a +2)(a-2) (a+3) 2 · 2(a +3) a-2 = 2a+4 a+3 . 当 a = -5 时,原式= 2 ×(-5)+4 (-5)+3 = 3; (4 分) (2)由已知条件得(a+5) 2 + | b-3 | = 0,所以 a= -5,b= 3. (6 分) 原式= b 4 (a-b) 2 ·a(a -b) 2 b3 · b(a +b) (b+a)(b-a) = ab 2 b-a . 所以当 a= -5,b= 3 时,原式= ( -5)×32 3-(-5) = -45 8 . (10 分) 18. 解:原式= (x -1) 2 (x+1)(x-1) · x +1 x(x-1) ·x3 = x2 , (5 分) 所以当 x= 2 或 x= -2 时,原式= 4. (8 分) 19. 解:∵ x 2 -1 x2 +2x ÷x-1 x = (x+1)(x-1) x(x+2) · x x-1 = x+1 x+2 . (2 分) 解不等式 x+2<1,得 x<-1,解不等式 2(x-1)>-6,得 x> -2,∴ 原不等式组的解集是-2<x<-1. (6 分) ∴ x+1<0,x+2>0,∴ x +1 x+2 <0,即代数式的符号为负. (9 分) 20. 解:甲工程队修 900 m 所用时间为 900 a2 -4 天,乙工程队修 600 m 所用时间为 600 (a-2) 2 天. (4 分) 由题意可得: 900 a2 -4 ÷ 600 (a-2) 2 = 900 (a+2)(a-2) ·(a -2) 2 600 = 3a-6 2a+4 . 即甲工程队修 900m 所用时间是乙工程队修 600m 所用时间的3a -6 2a+4 倍. (9 分) 21. 解:(1)设被墨水污染的部分是 A,由题意得 x -4 x2 -9 ÷ A x-3 = x-4 (x+3)(x-3) ·x -3 A = x-4 A(x+3) = 1 x+3 ,所以 A = x- 4. 故 被墨水污染的部分为 x-4; (5 分) (2)不能, (6 分) 若 1 x+3 = 1 7 ,则 x= 4. (8 分) 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBR·数学　 第 9 页 第十四章追梦综合演练卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分:　 　 　 　 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 下列运算正确的是(　 　 ) A. a9 ÷a3 =a3 　 　 　 　 　 　 　 B. a3·a3·a3 = 3a3 C. 2a4·3a5 = 6a9 　 D. ( -a3) 4 =a7 2. 在① - a5 · ( - a) 2; ② ( - a6 ) ÷ ( - a3 ); ③ ( - a2 ) 3 · ( a3 ) 2; ④[ -( -a) 2] 5 中计算结果为-a1 0 的有(　 　 ) A. ①②　 　 　 　 B. ③④　 　 　 　 C. ②④　 　 　 　 D. ④ 3. 下列各式变形中,是因式分解的是(　 　 ) A. a2 -2ab+b2 -1 = (a-b) 2 -1 B. 2x2 +2x+1 = 2x(x+1) +1 C. (x+2)(x-2)= x2 -4 D. x4 -1 = (x2 +1)(x+1)(x-1) 4. 若关于 x 的多项式 x2 - 8x +m 是( x - 4) 2 的展开式,则 m 的 值为(　 　 ) A. 4 B. 16 C. ±4 D. ±16 5. 计算(x-y+z)(x+y-z)正确结果为(　 　 ) A. x2 -y2 +2yz-z2 B. x2 -2xy+y2 -z2 C. x2 +2xy+y2 -z2 D. x2 +y2 -2xy+z2 6. 下列各式中不能用完全平方公式分解因式的是(　 　 ) A. -x2 +2xy-y2 B. x4 -2x3y+x2y2 C. (x2 -3) 2 -2(3-x2) +1 D. x2 -xy+ 1 2 y2 7. 学习情境·过程纠错 因式分解 x2 +ax+b,甲看错了 a 的值,分解 的结果是(x+6)(x-2),乙看错了 b 的值,分解的结果为(x-8) (x+4),那么 x2 +ax+b 分解因式正确的结果为(　 　 ) A. (x+3)(x-4) B. (x+4)(x-3) C. (x+6)(x-2) D. (x+2)(x-6) 8. 若(x2 +px+8)与(x2 -3x+q)的乘积中不含 x3 和 x2 项,则 p,q 的 值为(　 　 ) A. p= 0,q= 0 B. p= -3,q= -1 C. p= 3,q= 1 D. p= -3,q= 1 9. 生活情境·拼剪正方形 如图,从边长为(a+1) cm 的正方形纸片 中剪去一个边长为(a-1) cm 的正方形(a>1),剩余部分沿虚线 又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),则该长方形的面积 是(　 　 ) A. 2 cm2 B. 2a cm2 C. 4a cm2 D. (a2 -1) cm2 10. 4 张长为 a,宽为 b(a>b)的长方形纸片,按如 图的方式拼成一个边长为(a+b)的正方形,图 中空白部分的面积为 S1,阴影部分的面积为 S2,若 S1 =S2,则 a,b 满足的关系式是(　 　 ) A. a= 1. 5b B. a= 2b C. a= 2. 5b D. a= 3b 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 计算: | -3 | +(π+1) 0 = 　 　 　 　 . 12. 已知 10m = 5,10n = 7,则 102m + n = 　 　 　 　 . 13. 已知 ab= 2,a-b= 3,则 a3b-2a2b2 +ab3 = 　 　 　 　 . 14. 已知长方形的面积为 4a2 -4b2,如果它的一边长为 a+b,则它的 周长为　 　 　 　 . 15. 文化情境·数学文化 刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家,他在 《九章算术注》中指出:“勾、股幂合为弦幂,明矣. ”也就是说,图 1 中直角三角形的三边 a、b、c 存在 a2 +b2 = c2 的关系. 他在书中 构造了一些基本图形来解决问题. 如图 2,分别将以 a 为边长的 正方形和 b 为边长的正方形置于以 c 为边长的大正方形的左下 角和右上角,若(c-a)(c-b)= 18,则 a+b-c= 　 　 　 　 . 图 1 　 　 　 　 　 　 图 2 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)计算: (1)(2x+y)(2x-y) +(x+y) 2 -2(2x2 -xy); (2)x3y5·x2y6 ÷( - 1 2 xy3) 3 . 17. (8 分)分解因式: (1)m2 -n2 +2m-2n;　 　 　 　 (2)4(x+y) 2 -64(x-y) 2 . 18. (9 分)已知代数式(a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2,且 a-b = 10,b-c = 5,求 a2 +b2 +c2 -ab-bc-ca 的值. ·71· 19. (9 分)已知 A,B 为多项式,B= 2x+1,计算 A+B 时,某学生把 A +B 看成了 A÷B,结果得 4x2 -2x+1,请你求出 A+B 的正确答案. 20. 学科素养·阅读理解 (10 分)阅读下列材料: 　 　 因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法,但有的多 项式仅用上述方法无法分解,如 x2 -2xy+y2 -16. 我们细心观察 这个式子就会发现,前三项符合完全平方公式,进行变形后可 以与第四项结合再运用平方差公式进行分解. 过程如下: 　 x2 -2xy+y2 -16 = (x-y) 2 -16 = (x-y+4)(x-y-4) . 这种因式分解的方法叫分组分解法. 利用这种分组的思想方法解决下列问题: (1)因式分解:a2 -6ab+9b2 -25; (2)因式分解:x2 -4y2 -2x+4y; (3) △ABC 三边 a, b, c 满足 a2 + c2 + 2b2 - 2ab - 2bc = 0,判断 △ABC 的形状并说明理由. 21. 生活情境·绿化 (10 分)如图,某市有一块长为(3a+b)米,宽 为(2a+b)米的长方形地块,规划部门计划将阴影部分进行绿 化,中间将修建一座雕像,左右两边修两条宽为 a 米的道路(a >0,b>0) . (1)①试用含 a,b 的代数式表示绿化的面积是多少平方米? ②假设阴影部分可以拼成一个矩形,请你求出所拼矩形相邻两 边的长;如果要使所拼矩形面积最大,求 a 与 b 满足的关系式; (2)若 a= 3,b= 2,请求出绿化面积. 22. 生活情境·密码 (10 分)在当今“互联网+”时代,有一种用“因 式分解法”生成密码的方法:将一个多项式因式分解,如将多 项式 x3 -x 分解结果为 x(x+1)(x-1) . 当 x= 20 时,x-1 = 19,x+ 1 = 21,此时可得到数字密码 201921,或者是 192021. (1)根据上述方法,当 x= 16,y = 4 时,对于多项式 x3 -xy2 分解 因式后可以形成哪些数字密码(写出两个即可)? (2)将多项式 x3+(m-n)x2 +nx 因式分解后,利用题目中所示的 方法,当 x= 10 时可以得到密码 101213,求 m,n 的值. 23. (11 分)将两个边长分别为 a 和 b 的正方形按图 1 所示方式放 置,其未叠合部分(阴影部分)的面积为 S1,若再在图 1 中大正 方形的右下角摆放一个边长为 b 的小正方形,如图 2,两个小 正方形叠合部分(阴影部分)的面积为 S2 . (1)分别用含 a,b 的代数式表示 S1,S2; (2)若 a-b= 8,ab= 13,求 S1 +S2 的值; (3)用含 a,b 的代数式表示图 3 中阴影部分的面积 S3,当 S1 + S2 = 34 时,求 S3 的值. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 ·81·