铺路帮手-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（沪科版）

第 11 章　 平面直角坐标系 平面直角坐标系 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:85 分 一、选择题(每小题 4 分,共 28 分) 1. 下列能够准确表示合肥市地理位置的 是(　 　 ) A. 离北京市 1 017. 9 千米 B. 在安徽省 C. 在黄山的西北 D. 东经 117°,北纬 32° 2. 热点情境·课程标准 李老师和张老师一起 去参加市教育局组织的“解读《义务教育数 学课程标准(2022 年版)》”的培训,如果李 老师的位置在报告厅的“2 排 5 号”如果用 (2,5) 表示, 那么 “ 5 排 2 号” 应该表示 为(　 　 ) A. (2,5)　 　 　 B. (5,2) C. ( -5,-2) D. ( -2,-5) 3. 在平面直角坐标系中,点 M(-3,6)在(　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图,以长方形 OCAB 的顶点 O 为原点建立 直角坐标系,点 B、C 分别在 x、y 轴上,若 OB= 5,OC= 3,则点 A 可以表示为(　 　 ) A. ( -5,3) B. (5,-3) C. ( -3,5) D. (3,-5) 5. 若点 M(x,y)的坐标满足关系式 xy = 0(x≠ y),则点 M 在(　 　 ) A. 原点 B. x 轴上 C. y 轴上 D. x 轴或 y 轴上(除原点) 6. 在平面直角坐标系中,点 P 在第三象限,点 P 到 x 轴的距离是 2,到 y 轴的距离是 3,则 点 P 的坐标为(　 　 ) A. (2,-3) B. ( -2,3) C. ( -3,-2) D. ( -3,2) 7. 学习情境·规律探究 如图,在一个单位为 1 的方格纸上,△A1A2A3,△A3A4A5,△A5A6A7, …,是斜边在 x 轴上,斜边长分别为 2,4,6, …的等腰直角三角形. 若△A1A2A3 的顶点 坐标分别为 A1(2,0),A2(1,-1),A3(0,0), 则依 图 中 所 示 规 律, A2 024 的 纵 坐 标 为(　 　 ) A. -1 008 B. -1 010 C. 1 012 D. -1 012 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 8. 新趋势·结论开放 若点 P(2a-3,3)在第二 象限,则 a 的值可以等于 　 　 　 　 　 　 　 . (写出一个即可) 9. 已知点 M 坐标为( -4,-7),点 M 到 x 轴距 离为　 　 　 　 . 10. 在平面直角坐标系中,点(a2 +1,-1)一定 在第　 　 　 　 象限. 11. 跨学科试题·英语 如图,O 对应的有序数 对为(1,3),有一个英文单词的字母顺序 对应如图中的有序数对分别为(1,2),(5, 1),(5,2),(5,2),(1,3),请你把这个英 文 单 词 写 出 来 或 者 翻 译 成 中 文 为　 　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 1 页 三、解答题(共 37 分) 12. (9 分)在下面的平面直角坐标系中,完成 下列各题: (1)写出图中 A,B,C,D 各点的坐标; (2)描出点 E(1,0),F( -1,3),G( -3,0), H( -1,-3); (3)顺次连接 A,B,C,D 各点,围成的封闭 图形是什么图形,并计算它的面积. 13. (6 分)如图是学校的平面示意图,已知旗 杆的位置是( -2,3),实验室的位置是(1, 4). (1)根据所给条件建立适当的平面直角坐 标系,并用坐标表示食堂、图书馆的位置; (2)已知办公楼的位置是( -2,1),教学楼 的位置是(2,2),在图中标出办公楼和教 学楼的位置. 14. (12 分)已知点 P(2a-2,a+5),解答下列 各题. (1)点 P 在 x 轴上,求出点 P 的坐标; (2)点 Q 的坐标为(4,5),直线 PQ∥y 轴, 求出点 P 的坐标; (3)若点 P 在第三象限,且到两坐标轴的 距离之和为 15,求点 P 的坐标; (4)若点 P 在第二象限,且它到 x 轴、y 轴 的距离相等,求 a2024 +2024 的值. 15. 新趋势·新定义 (10 分)在平面直角坐标 系中,对于点 P、Q 两点给出如下定义:若 点 P 到 x,y 轴的距离的较大值等于点 Q 到 x,y 轴的距离的较大值,则称 P、Q 两点 为“等距点” . 如点 P( - 2,5)和点 Q( - 5, -1)就是等距点. (1)已知点 B 的坐标是( -4,2),点 C 的坐 标是(m- 1,m),若点 B 与点 C 是“等距 点”,求点 C 的坐标; (2)若点 D(3,4+k)与点 E(2k-5,6)是“等 距点”,求 k 的值. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 2 页 图形与坐标平移变化 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:70 分 一、选择题(每小题 4 分,共 28 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 将点 A( -2,3)平移到点 B(1,-2)处,正确 的移法是(　 　 ) A. 向右平移 3 个单位,向上平移 5 个单位 B. 向左平移 3 个单位,向下平移 5 个单位 C. 向右平移 3 个单位,向下平移 5 个单位 D. 向左平移 3 个单位,向上平移 5 个单位 2. 将点 A(2,1)水平向左平移 2 个单位得到点 A′,则点 A′的坐标是(　 　 ) A. (2,3) B. (2,-1) C. (4,1) D. (0,1) 3. 已知线段 CD 是由线段 AB 平移得到的,点 A( -1,4)的对应点为 C(4,7),则点 B( -4, -1)的对应点 D 的坐标为(　 　 ) A. (1,2) B. (2,9) C. (5,3) D. ( -9,-4) 4. 在如图所示的正方形网格中,三角形 ABC 经过平移后得到三角形 A1B1C1,已知在 AC 上一点 P(2. 4,2)平移后的对应点为 P1,则 P1 点的坐标为(　 　 ) A. (1. 4,-1) B. (1. 5,2) C. ( -1. 6,-1) D. (2. 4,1) 5. 如图,已知 A 点坐标( 1,2),B 点坐标( 3, 0),将三角形 OAB 沿 x 轴正方向平移,使 B 平移到点 E,得到三角形 DCE,若点 C 的坐 标为(2,2),则线段 OE 的值为(　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 在平面直角坐标系中,将点 M(a+1,3-a)向 右平移 1 个单位得到点 N,若点 N 在 y 轴 上,则点 M 的坐标为(　 　 ) A. (1,5) B. ( -1,3) C. ( -1,5) D. (1,3) 7. 在平面直角坐标系中,将点 A(m-1,n+2)先 向右平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位, 得到点 A′. 若点 A′位于第四象限,则 m、n 的 取值范围分别是(　 　 ) A. m>0,n<0 B. m>1,n<2 C. m>1,n<0 D. m>-2,n<-4 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8. 在平面直角坐标系中,三角形 ABC 的三个 顶点的横坐标保持不变,纵坐标都减去 2 个 单位,则得到的新三角形与原三角形相比向 　 　 　 　 平移了　 　 　 　 个单位. 9. 平面直角坐标系中,点 M( x,y) 在第二象 限,且点 M 到 x 轴和 y 轴的距离分别为 4, 5. 若把点 M 向右平移 3 个单位,则平移后 对应点 M′的坐标为　 　 　 　 . 10. 将点 A 先向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位后与点 B(1,-2)重合,则点 A 的 坐标为　 　 　 　 三、解答题(共 27 分) 11. (7 分)如图,在平面直角坐标系中,点 A、 B、C 的坐标分别为 A(2,- 1),B(4,3),C (1,2) . 将△ABC 先向左平移 4 个单位,再 向下平移 2 个单位得到△A1B1C1 . (1)请在图中画出△A1B1C1; (2) 写出平移后的△A1B1C1 三个顶点的 坐标; A1(　 　 　 ,　 　 　 ) 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 3 页 B1(　 　 　 ,　 　 　 ) C1(　 　 　 ,　 　 　 ) (3)求三角形 ABC 的面积. 12. (8 分)在平面直角坐标系中,三角形 ABC 经过平移得到三角形 A′B′C′,位置如图 所示. (1)分别写出点 A,A′的坐标: A　 　 　 　 　 ,A′　 　 　 　 　 ; (2)请说明三角形 A′B′C′是由三角形 ABC 经过怎样的平移得到的; (3)若点 M(m,4-n)是三角形 ABC 内部一 点,则平移后对应点 M′的坐标为(2n-8,m -4),求 m 和 n 的值. 13. 新趋势·新定义 (12 分)在平面直角坐标 系 xOy 中,对于点 P,给出如下定义: 点 P 的“甲变换”:将点 P 向左平移 1 个单 位,再向上平移 2 个单位; 点 P 的“乙变换”:将点 P 向右平移 2 个单 位,再向下平移 1 个单位. (1)若对点 A(2,1)进行 1 次“甲变换”后 得到点的坐标为　 　 　 　 ,若对点 B 进行 1 次“乙变换”后得到点(2,1),则点 B 的 坐标为　 　 　 　 ; (2)若对点 C(m,0) 进行 1 次“甲变换”, 再进行 2 次“乙变换”后,所得到的点 D 落 在 y 轴上,求 m 的值及点 D 的坐标; (3)若对点 P( - 10,1) 进行“甲变换” 和 “乙变换”共计 10 次后得到点 Q,恰好落在 x 轴上,直接写出点 Q 的坐标. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 4 页 第 12 章　 一次函数 函数的相关概念 测试时间:20 分钟　 　 测试分数:35 分 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1. 一根蜡烛原长 a 厘米,点燃后燃烧时间为 t 分钟,所剩余蜡烛的长为 y 厘米,其中是变 量的是(　 　 ) A. a,t,y　 　 B. y　 　 C. t,y　 　 D. a,y 2. 下列各图 y 是 x 的函数的是(　 　 ) A. B. C. D. 3. 函数 y = x +2 x-1 的自变量 x 的取值范围 是(　 　 ) A. x≥-2 B. -2≤x<1 C. x>1 D. x≥-2 且 x≠1 4. 跨学科试题·物理 某校八年级数学兴趣小 组利用同一块长为 1 米的光滑木板,测量小 车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底 部所用的时间,支撑物的高度 h( cm) 与小 车下滑时间 t(s)之间的关系如下表所示: 支撑物 高度 h(cm) 10 20 30 40 50 60 70 小车下 滑时间 t(s) 4. 23 3. 00 2. 45 2. 13 1. 89 1. 71 1. 59 根据表格所提供的信息,下列说法中错误的 是(　 　 ) A. 支撑物的高度为 50 cm,小车下滑的时间 为 1. 89 s B. 支撑物的高度 h 越大,小车下滑时间 越短 C. 若支撑物的高度每增加 10 cm,则对应的 小车下滑时间的变化情况都相同 D. 若小车下滑的时间为 2. 5 s,则支撑物的 高度在 20 cm 至 30 cm 之间 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5. 跨学科试题·语文 宋代词人蒋捷曾在《一剪 梅·舟过吴江》中提到:“流光容易把人抛, 红了樱桃,绿了芭蕉”. 昭通鲁甸樱桃上市 后,每千克樱桃 16 元,则购买樱桃的费用 y (元) 与樱桃重量 x ( kg) 之间的关系式 是　 　 　 　 　 　 . 6. [教材阅读与思考变式]按如图所示的程序 计算 y 的值,若输入的 x 值为-3,则输出 y 的结果为　 　 　 . 三、解答题(共 9 分) 7. (9 分)经过实验获得两个变量 x(x>0),y(y >0)的一组对应值如下表,请你在如图的直 角坐标系中,画出相应函数的图象. x 1 2 3 4 5 6 y 6 2. 9 2 1. 5 1. 2 1 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 5 页 一次函数的图象与性质 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:75 分 一、选择题(每小题 4 分,共 24 分) 1. 下列函数中,y 是 x 的一次函数的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. y= 2 x B. y= x2 +2 C. y= 3+2x D. y= - 5 x 2. 下面四个点中有一个点和其他三个点不在 同一个正比例函数图象上,这个点是(　 　 ) A. ( -1,2) B. (1,-2) C. ( -2,4) D. (2,-1) 3. 对于一次函数 y = 2x- 2,下列结论正确的 是(　 　 ) A. 它的图象必经过点( -1,2) B. 当 x>1 时,y<0 C. y 的值随 x 值的增大而增大 D. 它的图象经过第一、二、三象限 4. 已知点( -3,y1),(1,y2),( -2,y3 )都在直线 y = 2x - 1 上, 则 y1, y2, y3 的 大 小 关 系 是(　 　 ) A. y2 <y3 <y1 B. y2 <y1 <y3 C. y1 <y3 <y2 D. y3 <y2 <y1 5. 学科内融合 一次函数 y= (2m-1)x+3 的值 随 x 的增大而增大,则点 P( -m,m)所在象 限是(　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 直线 l1:y = kx+b 和 l2:y = bx-k 在同一平面 直角坐标系中的图象可能是(　 　 ) A. B. C. D. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7. 若函数 y = (m+1)xm 2-3 是正比例函数,且图 象在第一、三象限,则 m= 　 　 　 　 . 8. [教材例 1 变式]如图,三个正比例函数的 图象分别对应的解析式是:①y = ax,②y = bx,③y= cx,请用“ >”表示 a,b,c 的不等关 系　 　 　 　 　 　 . 9. 若将一次函数 y= -2x+6 的图象向下平移 n (n>0)个单位长度后恰好经过点( -1,-2), 则 n 的值为　 　 　 　 . 三、解答题(共 36 分) 10. (6 分)已知 y 是关于 x 的一次函数,点(1, 5),( -2,-4)在函数图象上. (1)求该函数的解析式; (2)当 x= 3 时,求 y 的值. 11. (9 分)已知一次函数 y= (2m+1)x-m-1. (1)若该函数图象经过(1,1),求 m 的值; (2)若函数图象在 y 轴上的截距为 3,求一 次函数的表达式; 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 6 页 (3)在(2)的前提下,当-3≤x≤2 时,求函 数的最大值. 12. (9 分)已知直线 AB:y = kx+b 经过点 B(1, 4)、A(5,0)两点,且与直线 y = 2x-4 交于 点 C. (1) 求直线 AB 的解析式并求出点 C 的 坐标; (2)求出直线 y = kx+b、直线 y = 2x-4 及 y 轴所围成的三角形面积; (3)现有一点 P 在直线 AB 上,过点 P 作 PQ∥y 轴交直线 y = 2x- 4 于点 Q,若线段 PQ 的长为 3,求点 P 的坐标. 13. (12 分)阅读如下材料,然后解答后面的 问题: 已知直线 l1:y= -2x-2 和直线 l2:y = -2x+ 4 如图所示,可以看到直线 l1∥l2,且直线 l2 可以由直线 l1 向上平移 6 个单位长度得 到,直线 l2 可以由直线 l1 向右平移 3 个单 位长度得到. 这样,求直线 l2 的函数表达 式,可以由直线 l1 的函数表达式直接得 到. 即:如果将直线 l1 向上平移 6 个单位 长度后得到 l2, l2 的函数表达式为: y = -2x-2+6,即 y = -2x+4;如果将直线 l1 向 右平移 3 个单位长度后得到的 l2,l2 的函 数表达式为:y = - 2( x- 3) - 2,即 y = - 2x +4. (1) 将直线 y = 2x- 3 向上平移 2 个单位 长度 后 所 得 的 直 线 的 函 数 表 达 式 是　 　 　 　 　 　 ; (2)将直线 y= 3x+1 向右平移 m(m>0)个 单位长度后所得的直线的函数表达式 是　 　 　 　 　 　 ; (3)已知将直线 y = 1 2 x+1 向左平移 n(n> 0)个单位长度后得到直线 y = 1 2 x+5,求 n 的值. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 7 页 一次函数的应用 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:50 分 一、选择题(每小题 4 分,共 8 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 跨学科试题·物理 学完一次函数的知识后, 某数学兴趣小组通过实验估计某液体的沸 点,经过几次测量,得到如下数据. 时间 t / s 0 10 20 30 液体温度 y / ℃ 15 25 35 45 当加热 70 s 时,该液体刚好沸腾,则其沸点 温度是(　 　 ) A. 100 ℃ B. 90 ℃ C. 85 ℃ D. 95 ℃ 2. 文化情境·传统文化 象棋起源于中国,中国 象棋文化历史悠久. 如图所示是某次对弈的 残图,如果建立平面直角坐标系,使棋子 “帅”位于点( -2,-1)的位置,则在同一坐 标系下,经过棋子“帅”和“马”所在的点的 一次函数解析式为(　 　 ) A. y= x+1 B. y= x-1 C. y= 2x+1 D. y= 2x-1 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3. 某市出租车白天的收费起步价为 14 元,即 路程不超过 3 公里时收费 14 元,超过部分 每公里收费 2. 4 元. 如果乘客白天乘坐出租 车的路程 x(x>3)公里,乘车费为 y 元,那么 y 与 x 之间的关系式为　 　 　 　 　 　 . 4. 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发,沿 同一公路相向而行. 轿车出发 2. 4 h 后休 息,直至与货车相遇后,以原速度继续行驶, 设两车出发时间为 x(单位:h),货车、轿车 与甲地的距离为 y1 (单位:km),y2 (单位: km),图中的线段 OA、折线 BCDE 分别表示 y1,y2 与 x 之间的函数关系. (1)货车行驶的速度为　 　 　 　 km / h; (2)两车出发　 　 　 　 　 　 h 时,两车相距 150 km. 三、解答题(共 32 分) 5. (10 分)水果店张三以每千克 2 元的价格购 进某种水果若干千克,销售一部分后,根据 市场行情降价销售,销售额 y(元)与销售量 x(千克)之间的关系如图所示. (1)求销售额 y(元)与销售量 x(千克)之间 的函数表达式; (2)求当销售量为 30 千克时,张三销售这 种水果的销售额; (3)当销售量为多少千克时,张三销售这种 水果的利润为 150 元. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 8 页 6. (10 分)如图,l1,l2 分别表示一种白炽灯和 一种节能灯的费用 y(费用 = 灯的售价+电 费,单位:元)与照明时间 x( h)之间的函数 图象,假设两种灯的使用寿命都是 2 000 h, 照明效果一样. 根据图象解答下列问题: (1)分别求出直线 l1 和直线 l2 的解析式; (2) 当照明时间为多少时,两种灯的费用 相同? 7. (12 分)某园区准备进行二次绿化,计划购 进 A,B 两种绿化树,经调查可知购进 5 棵 A 种绿化树和 10 棵 B 种绿化树共需 1 100 元,购进 10 棵 A 种绿化树和 8 棵 B 种绿化 树共需 1 600 元. (1)求 A,B 两种绿化树每棵的价格; (2)若最终决定购买 A,B 两种绿化树共 24 棵,且 A 种绿化树的数量不少于 B 种绿化 树数量的 3 倍,请你设计一种费用最低的购 买方案,并求出最低费用. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 9 页 一次函数与方程和不等式 测试时间:20 分钟　 　 测试分数:40 分 一、选择题(每小题 4 分,共 12 分) 1. 一次函数 y = ax+b(a≠0) 过点 A(0,1),B (2, 0), 则关于 x 的方程 ax + b = 0 的解 为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x= 0 B. x= 1 C. x= 2 D. x= 3 2. 已知直线 l1:y= kx+b 与直线 l2:y= -2x+4 交 于点 C ( m, 2), 则方程组 y= kx+b y= -2x+4{ 的解 是(　 　 ) A. x= 1 y= 2{ B. x= -1 y= 2{ C. x= 2 y= 1{ D. x= 2 y= -1{ 3. 已知关于 x,y 的方程组 y= -x+b y= -3x+2{ 的解是 x= -1 y=m{ ,则直线 y = -x+b 与 y = -3x+2 的交 点在(　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 新趋势·结论开放 点 A 是第二象限内一点, 且 A 的坐标(x,y)是二元一次方程 2x+y = 5 的一组解,请你写出满足条件的点 A 坐标 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 (写出一个即可). 5. 已知方程 2x+1 = -x+4 的解是 x = 1,则在同 一平面直角坐标系中直线 y= 2x+1 与 y= -x +4 的交点坐标是　 　 　 　 . 6. 已知一次函数 y= kx+b 的图象如图所示,当 x>1 时,y 的取值范围是　 　 　 　 . 三、解答题(共 13 分) 7. (13 分)【课本再现】八年级上册教材中我 们曾探究过“以方程 3x+2y = 6 的解为坐标 (x 的值为横坐标、y 的值为纵坐标)的点的 特性”,了解了二元一次方程的解与其图象 上点的坐标的关系. 规定:以方程 3x-2y = 6 的解为坐标的所有 点的全体叫做方程 3x+2y= 6 的图象; 结论:一般地,任何一个二元一次方程的图 象都是一条直线. 示例:如图 1,我们在画方程 x-y = 0 的图象 时,可以取点 A( -1,-1)和 B(2,2),作出直 线 AB. 图 1 图 2 【解决问题】 (1)请你在图 2 所给的平面直 角 坐 标 系 中 画 出 二 元 一 次 方 程 组 2x+y= 4 x-y= -1{ 中的两个二元一次方程的图象; (2) 观察图象, 两条直线的交点坐标为 　 　 　 　 ,由此你得出这个二元一次方程组 的解是　 　 　 　 ; (3)在同一平面直角坐标系中,二元一次方 程 y= x+3 的图象 l1 和 y= x-1 的图象 l2,如 图 3 所示. 请根据图象,直接判断方程组 x-y= -3 x-y= 1{ 的解的情况　 　 　 　 . 图 3 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 10 页 专题　 一次函数与面积相关问题 类型 1　 直接利用面积公式求图形面积 解题模型 当所求三角形的一边在坐标轴上时,如图 1, S△ABC = 1 2 | xC - xB | · | yA | ; 如 图 2, S△ABC = 1 2 | yC -yB |· | xA | . 图 1 　 　 图 2 1. (8 分)如图,一次函数 y= x+3 的图象 l1 与 x 轴相交于点 B,与过点 A(3,0)的一次函数 的图象 l2 相交于点 C(1,m) . (1)求一次函数图象 l2 相应的函数表达式; (2)求△ABC 的面积. 类型 2　 利用和差法求图形面积 解题模型 如图 1,S△ABC = S△ADC +S△ADB 或 S△ABC = S△ACE - S△BCE;如图 2,S△ABC = S△ADC +S△ADB 或 S△ABC = S△ABE-S△BEC . 图 1 　 　 图 2 2. (9 分)如图,已知一次函数 y = kx+b 的图象 经过 A( -2,-1),B(1,3)两点,并且交 x 轴 于点 C,交 y 轴于点 D. (1)求一次函数的解析式; (2)求点 C 和点 D 的坐标; (3)求△AOB 的面积. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 11 页 类型 3　 由图形面积求特定量或点的坐标 解题方法 由图形的面积为定值求点的坐标的一般解题 步骤:①设出要求的点的坐标,一般用一个未 知数表示;②用含有未知数的式子表示出已 知图形的面积;③由已知图形的面积为定值 列出关于未知数的方程;④解方程求出未知 数的值,即可得到关于点的坐标. 注意:在解 决一次函数与面积问题时,注意分类讨论思 想的运用. 3. (8 分)在平面直角坐标系中,直线 l1:y = -x +2 与 x 轴,y 轴分别交于 A、B 两点,直线 l2 经过点 A,与 y 轴交于点 C(0,-4) . (1)求直线 l2 的解析式; (2)点 P 为直线 l1 上的一个动点. 若△PAC 的面积等于 10 时,请求出点 P 的坐标. 4. (10 分)如图,在平面直角坐标系中,已知 A ( -1,0),B (3,0) . 若存在一点 M ( -2,m) (m<0), (1)点 M 到 x 轴距离为　 　 　 　 ,到 y 轴距 离为　 　 　 　 ,求△ABM 的面积(用含 m 的 式子表示); (2) 当 m= -2 时,在 y 轴上有一点 P,使得 △MOP 的面积等于△ABM 的面积,请求出 点 P 的坐标. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 12 页 第 13 章　 三角形中的边角关系、命题与证明 三角形中的边、角关系及重要线段 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:75 分 一、选择题(每小题 4 分,共 32 分) 1. 下列说法中正确的有(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　①等边三角形是等腰三角形;②等腰三角形 也可能是直角三角形;③三角形按边分类可 分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相 等的三角形;④三角形按角分类可分为锐角 三角形、直角三角形和钝角三角形. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 如果三角形的两条边长分别是 8 厘米、6 厘 米,那么第三边的长不可能是(　 　 ) A. 9 厘米 B. 4 厘米 C. 3 厘米 D. 2 厘米 3. [教材习题 2 变式]如果∠A = ∠B-∠C,那 么△ABC 是(　 　 ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 4. 用一块透明的直角三角板画已知△ABC 的 边 BC 上的高,下列三角板的摆放位置正确 的是(　 　 ) A. B. C. D. 5. 如图,在△ABC 中,∠C = 90°,D,E 是 AC 上 两点,且 AE=DE,BD 平分∠EBC,那么下列 说法中不正确的是(　 　 ) A. BE 是 △ABD 的 中线 B. ∠1 = ∠2 = ∠3 C. BD 是△BCE 的角平分线 D. BC 是△BDE 的高 6. 如图所示,点 O 是△ABC 内一点,OA、OC 分 别平分 ∠BAC、 ∠BCA, ∠B = 64°, 则 ∠O = (　 　 ) A. 116° B. 122° C. 136° D. 152° 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. 如图所示,在△ABC 中,点 D,E,F 分别为 BC,AD,CE 的中点,且△ABC = 8 cm2,则阴 影部分的面积为(　 　 ) A. 0. 5cm2 B. 1cm2 C. 1. 5cm2 D. 2cm2 8. 在△ABC 中,AD 为中线,BE 为角平分线,则 在以下等式中:①∠BAD = ∠CAD;②∠ABE = ∠CBE;③BD = DC;④AE = EC,其中正确 的是(　 　 ) A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 9. 设 a、b、c 是△ABC 的三边,化简: | a+b-c | - | a-c-b | + | c-a-b | = 　 　 　 　 . 10. 如图,在△ABC 中,CF、BE 分别是 AB、AC 边上的中线,若 AE = 2,AF = 3,且△ABC 的 周长为 15,那么 BC= 　 　 　 　 . 第 10 题图 　 　 　 第 11 题图 11. [教材复习题 9 变式]如图,在△ABC 中,AD 是中线,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F.若 AB=6 cm,AC=4 cm,则DE DF =　 　 　 　 . 三、解答题(共 28 分) 12. 新趋势·过程纠错 (8 分)阅读两名同学对 下题的解答过程. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 13 页 　 　 一个等腰三角形的周长为 28 cm,其 中一边长为 8 cm,则这个三角形另外两边 的长分别是多少? 　 　 李明说应这样解:设腰长为 x cm,则 2x+8 = 28,解得 x = 10,所以这个三角形另 外两边的长均为 10 cm. 　 　 张钢说应这样解:设底边长为 x cm, 则 2×8+x = 28,解得 x = 12,所以这个三角 形的另外两边的长分别为 8 cm,12 cm. 试判断李明与张钢两人的解答过程是否正 确,若正确,请写出判断的依据;若不正确, 请你写出正确的解答过程. 13. (10 分)如图,在△ABC 中,AD,AF 分别为 △ABC 的中线和高,BE 为△ABD 的角平 分线. (1)若∠BED = 60°,∠BAD = 40°,求∠BAF 的大小; (2) 若△ABC 的面积为 40,BD = 5,求 AF 的长. 14. 数学思想·分类思想 ( 10 分 ) 如 图, 在 △ABC 中, ∠C = 90°, AC = 8 cm, BC = 6 cm,AB= 10 cm. 若动点 P 从点 C 开始按 C→A→B→C 的 路 径 运 动, 且 速 度 为 2 cm / s. 设运动的时间为 t s. (1)当 t= 　 　 　 　 s 时,CP 把△ABC 的周 长分成相等的两部分; (2)当 t 为何值时,CP 把△ABC 的面积分 成相等的两部分? (3 ) 当 t 为 何 值 时, △BCP 的 面 积 为 12 cm2? 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 14 页 命题与证明 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:85 分 一、选择题(每小题 4 分,共 20 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. “同角或等角的补角相等”是(　 　 ) A. 定义 B. 条件 C. 定理 D. 基本事实 2. 下列命题是假命题的是(　 　 ) A. 两直线平行,同旁内角相等 B. 如果 a= b,那么 a2 = b2 C. 钝角三角形中有两个锐角 D. 对顶角相等 3. 对假命题“若 a>b,则 | a | > | b | ” 举一个反 例,符合要求的反例可以是(　 　 ) A. a= 2,b= -2 B. a= -2,b= 2 C. a= 2,b= 1 D. a= -2,b= 0 4. 生活情境·路灯 图 1 是一路灯的实物图,图 2 是该路灯的平面示意图,则图 2 中∠CBN 的度数为(　 　 ) A. 130° B. 145° C. 150° D. 160° 图 1 　 图 2 第 4 题图 　 第 5 题图 5. 如图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的 度数为(　 　 ) A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6. 新趋势·结论开放 任写一个你所学过的基 本事实: 　 . 7. 如果将一副三角板按如图方式叠放,那么 ∠1 等于　 　 　 　 . 第 7 题图 　 　 第 8 题图 8. 如图,E 为△ABC 的 BC 边上一点,点 D 在 BA 的延长线上,DE 交 AC 于点 F. 若∠B = 46°, ∠C=30°,∠EFC=70°,则∠D=　 　 　 　 . 三、解答题(共 50 分) 9. (9 分)命题“平行于同一条直线的两条直 线平行” . (1)将这个命题改写成“如果 p,那么 q”的 形式; (2)写出这个命题的条件和结论; (3)判断该命题的真假. 10. (9 分)(1)完成下面的推理说明: 已知: 如图, BE∥CF, BE、 CF 分别平分 ∠ABC 和∠BCD. 求证:AB∥CD. 证明:∵ BE、CF 分别平分∠ABC 和∠BCD (已知), ∴ ∠1 = 1 2 ∠　 　 　 　 ,∠2 = 1 2 ∠　 　 　 　 (角平分线的定义 ) . ∵ BE∥CF(已知 ), ∴ ∠1 = ∠2(　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ) . ∴ 1 2 ∠ABC= 1 2 ∠BCD(　 　 　 　 ) . ∴ ∠ABC= ∠BCD(　 　 　 　 ) . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 15 页 ∴ AB∥CD(　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ) . (2)说出(1)的推理中运用了哪两个互逆 的真命题. 11. 生活情境·零件 (9 分)一个零件的形状如 图,按规定∠A = 90°,∠B 和∠C 应分别是 32°和 21°,检验工人量得∠BDC = 149°,就 判断这个零件不合格,运用三角形的有关 知识说出零件不合格的理由. 12. (10 分)我们已经在小学通过剪拼的方法, 知道“三角形内角和等于 180°”这一结论, 但这种实验得到的结论仍需要严格的证 明,小明同学利用所学的平行线的相关知 识,采用两种方法,通过添加辅助线进行证 明,请你选择其中一种方法完成证明. 已知: 如图, 三角形 ABC, 求 证: ∠A + ∠ABC+∠ACB= 180°. 方法一:证明:如图, 过点 A 作 DE∥BC. 方法二:证明:如图, 过点 C 作 CD∥AB, 延长 BC 到点 E. 13. (13 分)探索归纳: 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 (1)如图 1,已知△ABC 中∠A = 90°,若沿 图中虚线剪去∠A,则∠1+∠2 = 　 　 　 　 ; (2)如图 2,已知△ABC 中∠A = 30°,剪去 ∠A 后成四边形,求∠1+∠2 的度数; (3)如图 2,根据(1)与(2)的求解过程,你 归纳猜想 ∠1 + ∠2 与 ∠A 的数量关系 是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (4)若没有剪掉,而是把它折成如图 3 所 示的形状,试探究∠1 +∠2 与∠A 的数量 关系,并说明理由. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 16 页 第 14 章　 全等三角形 全等三角形及其性质 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:85 分 一、选择题(每小题 4 分,满分 32 分) 1. 下列各组中的两个图形属于全等形的 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. B. C. D. 2. [教材练习 2 变式] 如图,△AOC 与△BOD 全等,点 A 和点 B、点 C 和点 D 是对应顶点, 下列结论中错误的是(　 　 ) A. ∠A 与∠B 是对应角 B. OC 与 OD 是对应边 C. OC 与 OB 是对应边 D. ∠AOC 与∠BOD 是对应角 3. 图中的两个三角形全等,则∠1 等于(　 　 ) A. 45° B. 62° C. 73° D. 135° 4. 如图,若△ABC≌△DEF,B、E、C、F 在同一 直线上,BC= 7,EC= 4,则 CF 的长是(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 5. 如图,在△ABC 中,∠B = 80°,∠C = 30°. 若 △ABC≌△ADE,∠DAC = 35°,则∠EAC 的 度数为(　 　 ) A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 6. 已知△ABC≌△DEF,BC = EF = 6 m,△ABC 的面积为 18 m2, 则 EF 边上的高的长 是(　 　 ) A. 3 m B. 4 m C. 5 m D. 6 m 7. 三个全等三角形按如图的形式摆放,则∠1+ ∠2+∠3 的度数是(　 　 ) A. 90° B. 120° C. 135° D. 180° 8. 数学思想·分类讨论 已知有两个三角形全 等,若一个三角形三边的长分别为 3,5,7, 另一个三角形三边的长分别为 3,3a-2b,a+ 2b,则 a+b 的值为(　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 或 4 D. 5 或 4 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9. 如图,若把△ABC 绕点 A 旋转一定的角度得 到 △ADE, 则 图 中 全 等 的 三 角 形 记 为 　 　 　 　 　 　 ,∠BAC 的对应角为 　 　 　 , DE 的对应边为　 　 　 　 . 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,N,C,A 三点在同一直线上,N,B,M 三 点 在 同 一 直 线 上, 在 △ABC 中, ∠A ∶∠ABC ∶∠ACB = 3 ∶ 5 ∶ 10,若△MNC≌ △ABC,则∠BCM 的度数等于　 　 　 　 . 11. 如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AC,BC 上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则AB BC = 　 　 　 　 ,∠C 的度数为　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 17 页 第 11 题图 　 　 第 12 题图 12. 学科内融合 如图,在平面直角坐标系中, △OAB 的顶点坐标分别是 A( -6,0),B(0, 5),△OA′B′≌△AOB,若点 A′在 x 轴上,则 点 B′的坐标是　 　 　 　 . 三、解答题(共 33 分) 13. (8 分) 如图, △ABC≌ △ADE,分别延长 BC,ED 交于点 F, ∠BAC = 50°, ∠CAD = 60°,求∠F 的度数. 14. (8 分)如图,已知△ABF≌△CDE. (1)若∠B = 30°,∠DCF = 40°,求∠EFC 的 度数; (2)若 BD= 10,EF= 2,求 BF 的长. 15. (8 分)如图,A,E,C 三点在同一直线上,且 △ABC≌△DAE. (1)线段 DE,CE,BC 有怎样的数量关系? 请说明理由; (2)请你猜想△ADE 满足什么条件时,DE ∥BC,并证明. 16. (9 分)如图,点 B,C,D 在同一条直线上, ∠B = ∠D = 90°,△ABC≌ △CDE,AB = 7, BC= 24,CE= 25. (1)求△ABC 的周长; (2)求△ACE 的面积. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 18 页 三角形全等的判定 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:70 分 一、选择题(每小题 4 分,共 24 分) 1. 已知在△ABC 和△A′B′C′中,AB = A′B′,AC =A′C′,下列条件中,不一定能得到△ABC≌ △A′B′C′的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. BC=B′C′ B. ∠A= ∠A′ C. ∠C= ∠C′ D. ∠B= ∠B′= 90° 2. 如图,点 F,C 在 BE 上,AC=DF,BF=EC,AB =DE,AC 与 DF 相交于点 G,则与 2∠DFE 相等的是(　 　 ) A. ∠A+∠D B. 3∠B C. 180°-∠FGC D. ∠ACE+∠B 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. 如图,AD 是△ABC 的中线,以点 D 为圆心, AD 的长为半径画弧,交 AD 的延长线于点 E. 连接 BE,下列结论不一定成立的是(　 　 ) A. △ADC≌△EDB B. AD=BD C. ∠C= ∠DBE D. AC∥BE 4. Rt△ABC、Rt△DEF 如图放置,其中∠ACB = ∠DFE= 90°,AB=DE 且 AB⊥DE,DE 与 AB 相交于点 G,DF 与 AB 相交于点 H. 若 DF = a,BC= b,CF= c,则 AE 的长为(　 　 ) A. a+c B. b+c C. a+b-c D. a-b+c 第 4 题图 　 　 　 　 　 　 第 5 题图 5. [教材习题 3 变式]在测量一个小口圆形容 器的壁厚时,小明用“x 型转动钳”按如图方 法进行测量,其中 OA = OD,OB = OC,测得 AB= 5 厘米,EF = 7 厘米,圆形容器的壁厚 是(　 　 ) A. 1 厘米 B. 2 厘米 C. 5 厘米 D. 7 厘米 6. 学习情境·题目讨论 老师布置的作业中有 这么一道题: 　 　 如图,在△ABC 中,D 为 BC 的中点,若 AC = 3,AD = 4,则 AB 的长不可能是( 　 　 ) A. 5　 　 B. 7　 　 C. 8　 　 D. 9 甲同学认为 AB,AC,AD 这三条边不在同一 个三角形中,无法解答,老师给的题目有错 误. 乙同学认为可以从中点 D 出发,构造辅 助线,利用全等的知识解决. 丙同学认为可 以从点 C 作平行线,构造辅助线,利用全等 的知识解决. 你认为正确的是(　 　 ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 乙和丙 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7. 生活情境·木架 图 1 是将木条用钉子钉成 的四边形和三角形木架,拉动木架,观察图 2 中的变动情况, 其中蕴含的数学道理 是　 　 　 　 　 　 　 　 . 图 1 　 图 2 8. [教材练习 2 变式]如图,为测量 B 点到河 对面的目标 A 之间的距离,在 B 点同侧选 择了一点 C,测得∠ABC= 70°,∠ACB= 40°, 然后在 M 处立了标杆, 使 ∠CBM = 70°, ∠BCM = 40°,那么需要测量 BM,才能测得 A、B 之间的距离,依据是:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 第 8 题图 　 　 第 9 题图 9. 如图,∠ACB = 90°,AC = 2BC = 4,动点 P 从 点 A 出发(不含点 A)以 2 个单位长度 /秒的 速度沿射线 AC 运动,点 Q 为射线 CB 上一 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 19 页 动点,且始终保持 PQ = AB,当点 P 运动 秒时,△ABC 与以点 P,Q,C 为顶 点的三角形全等. 三、解答题(共 31 分) 10. (8 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,点 D,E 在 BC 上(BD<BE),BD =CE. 求证:△ABD ≌△ACE. 11. (9 分)如图,已知△ABC 和△CDE 均是直 角三角形,∠ACB = ∠CED = 90°,AC = CE, AB⊥CD 于点 F. (1)求证:△ABC≌△CDE; (2)若点 B 是 EC 的中点,DE = 10 cm,求 AC 的长. 12. 核心素养·推理能力 (14 分)一节数学课 后,老师布置了一道课后练习题: 如图,已知在 Rt△ABC 中,AB =BC,∠ABC = 90°,BO⊥AC 于点 O,点 P、D 分别在 AO 和 BC 上,PB =PD,DE⊥AC 于点 E,求证: △BPO≌△PDE. 　 　 　 　 备用图 (1)理清思路,完成解答. 本题证明的思路可用下列框图表示: 根据上述思路,请你完整地书写本题的证 明过程; (2)特殊位置,证明结论. 若 PB 平分∠ABO,其余条件不变. 求证: AP=CD. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 20 页 专题　 构造全等三角形的常用辅助线 方法 1　 利用“角平分线”构造全等三角形 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 方法指导:因为角平分线本身已经具备 全等三角形的三个条件中的两个(角相 等和公共边相等),故在处理角平分线问 题时,常作以下辅助线构造全等三角形: (1)在角的两边截取两条相等的线段; (2)过角平分线上的一点作角两边的垂 线段. 1. (10 分)如图,∠AOB = 90°,OC 是∠AOB 的 角平分线. 把直角三角尺的直角顶点落在 OC 的任意一点 P 上,使三角尺的两条直角 边分别与 OA、OB 相交于点 E、F. 如图①,若 PE⊥OA,PF⊥OB,则 PE = PF. 把三角尺绕 点 P 旋转一定角度(如图②),那么 PE =PF 是否仍成立? 请说明理由. ① 　 　 ② 方法 2　 利用“截长补短法”构造全等三角形 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 方法指导:截长补短法的具体做法:在某 一条线段上截取一条线段与特定线段相 等,或将某条线段延长,使之与特定线段 相等,再利用全等三角形的性质加以说 明. 当条件中出现角平分线时,又体现了 方法 1 中的构造全等三角形. 这种方法适 用于证明线段的和、差、倍、分等关系. 2. ( 10 分) 如图, ∠A + ∠D = 180°,BE 平分 ∠ABC,CE 平分∠BCD,点 E 在 AD 上. (1)探讨线段 AB、CD 和 BC 之间的等量关 系,并说明理由; (2)探讨线段 BE 与 CE 之间的位置关系, 并说明理由. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 21 页 3. (10 分)(1)如图 1,在四边形 ABCD 中,AB =AD,∠B+∠D = 180°,E、F 分别是 BC、CD 上的点,∠EAF= 1 2 ∠BAD,试探究图中线段 BE、EF、FD 之间的数量关系; (2)如图 2,已知在四边形 ABCD 中,∠ABC +∠ADC= 180°,AB = AD,若点 E 在 CB 的延 长线上,点 F 在 CD 的延长线上,仍然满足 (1)中的结论,请求出∠EAF 与∠DAB 的数 量关系. 图 1 　 　 图 2 方法 3　 利用“倍长中线法”构造全等三角形 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 方法指导:将中线延长一倍,然后利用 “SAS”判定三角形全等. 4. (10 分)【阅读理解】 课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问 题:如图 1,△ABC 中,若 AB = 8,AC = 6,求 BC 边上的中线 AD 的取值范围. 小明在组 内经过合作交流,得到了如下的解决方法: 延长 AD 到点 E,使 DE = AD,请根据小明的 方法思考: 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　(1)求得 AD 的取值范围是　 　 　 　 . A. 6<AD<8 B. 6≤AD≤8 C. 1<AD<7 D. 1≤AD≤7 【方法感悟】 解题时,条件中若出现“中点” “中线”字样, 可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散 的已知条件和所求证的结论集合到同一个 三角形中. 【问题解决】 (2)如图 2,已知:CD = AB,∠BDA = ∠BAD, AE 是△ABD 的中线,求证:∠C= ∠BAE. 图 1 　 　 图 2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 22 页 第 15 章　 轴对称图形与等腰三角形 轴对称图形 测试时间:60 分钟　 测试分数:90 分 一、选择题(每小题 4 分,满分 24 分) 1. 某新能源汽车热销海外,其王朝系列尤其受 欢迎,该系列秦、汉、唐、宋、元五大车型是以 我国五个朝代命名,每个车型都有自己对应 的汉字篆体 Logo,下列 Logo 中,是轴对称图 形的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. 如图,△ABC 与△A′B′C′关于直 线 l 对称,∠A= 54°,∠C′= 26°, 则∠B 等于(　 　 ) A. 36° B. 154° C. 80° D. 100° 3. 如图,将长方形 ABCD 沿 AE 折叠,得到如图 所示的图形,已知∠CEF = 56°,则∠AED 的 度数是(　 　 ) A. 62° B. 50° C. 75° D. 55° 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. 如图,已知 AD 所在直线是△ABC 的对称 轴,点 E、F 是 AD 上的两点,若△ABC 的面 积为 18. 则图中阴影部分的面积是(　 　 ) A. 6 B. 12 C. 9 D. 无法确定 5. 如图,在长方形 ABCD 中,AB = 10,BC = 5,点 E、F 分别在 AB、CD 上,将长方形 ABCD 沿 EF 折叠,使点 A,D 分别落在长方形 ABCD 外部的点 A1、D1 处,则阴影部分图形的周长 为(　 　 ) A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 第 5 题图 　 第 6 题图 6. 如图,弹性小球从点 P 出发,沿所示方向运 动,每当小球碰到长方形的边时反弹,反弹 时射入的直线与射出直线关于过反弹点垂 直长方形边的直线对称. 小球从 P 点出发 第 1 次碰到长方形边上的点记为 A 点,第 2 次碰到长方形边上的点记为 B 点,……第 2 024 次 碰 到 长 方 形 边 上 的 点 为 图 中 的(　 　 ) A. A 点 B. B 点 C. C 点 D. D 点 二、填空题(每小题 5 分,满分 20 分) 7. 看镜子里有一个数“ ”,这个数实 际是　 　 　 　 . 8. 如图,两个三角形通过适当摆放,可关于某 条直线成轴对称,则 x= 　 　 　 　 °. 　 9. 如图,Rt△ABC 中,∠BAC = 90°,∠C = 40°, 沿 AD 折叠,使点 B 折到 BC 边上 B′处,则 ∠CAB′= 　 　 　 　 . 第 9 题图 　 　 第 10 题图 10. 如图,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = 12, AC= 16,BC = 20,将△ABC 沿射线 BM 折 叠,使点 A 与 BC 边上的点 D 重合,E 是射 线 BM 上一动点,则△CDE 周长的最小值 为　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 23 页 三、解答题(共 46 分) 11. (8 分)如图,五边形 ABCDE 是轴对称图 形,线段 AF 所在直线为对称轴,找出图中 所有相等的线段和相等的角. 12. (8 分)请在网格中完成下列问题: (1)在图 1 中画出△ABC 关于直线 PQ 成 轴对称的△A′B′C′; (2) 在图 2 中画出△ABC 与△DEF 的对 称轴. 图 1 　 　 图 2 13. (9 分)如图,△ABC 和△ADE 关于直线 l 对称,已知 AB = 15,DE = 10,∠D = 70°. 求 ∠B 的度数及 BC,AD 的长度. 14. (10 分)如图的三角形纸板中,AB = 8 cm, BC= 6 cm,AC= 5 cm,沿过点 B 的直线折叠 这个三角形,使点 C 落在 AB 边的点 E 处, 折痕为 BD. (1)求△AED 的周长; (2) 若∠C = 100°,∠A = 50°,求∠BDE 的 度数. 15. (11 分)如图,P 在∠AOB 内,点 M,N 分别 是点 P 关于 AO,BO 的对称点,MN 分别交 OA,OB 于 E,F. (1 ) 若 △PEF 的周长是 10 cm, 求 MN 的长; (2) 连接 OM、 ON, 若 ∠AOB = 30°, 试求 ∠MON 的度数. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 24 页 线段的垂直平分线、等腰三角形及角的平分线 测试时间:70 分钟　 　 测试分数:90 分 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1. 如果等腰三角形一内角的度数是 80°,则这 个等腰三角形顶角的度数是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 100° B. 80° C. 50°或 80° D. 20°或 80° 2. 生活情境·衣架 如图,衣架框内部可以近似 看成一个等腰三角形, 记为等腰三角形 ABC,若 AB = AC = 26 cm,D 是 BC 的中点, ∠ABC= 30°,则 AD 的长为(　 　 ) A. 11 cm B. 12 cm C. 13 cm D. 14 cm 第 2 题图 　 第 3 题图 3. 如图,DE 是△ABC 中 AC 边的垂直平分线, 若 BC = 6 cm,AB = 8 cm,则△EBC 的周长 为(　 　 ) A. 14 cm B. 18 cm C. 20 cm D. 22 cm 4. 生活情境·平板保护套 将一平板保护套展 开放置在水平桌面上,其侧面示意图如图 所示,若 AB=BC,∠DBA= 100°,则∠A 的度 数为(　 　 ) A. 40° B. 50° C. 80° D. 100° 第 4 题图 　 第 5 题图 5. 如图,OD 平分∠AOB,DE⊥AO 于点 E,DE = 4,点 F 是射线 OB 上的任意一点,则 DF 的长度不可能是(　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图,在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,BD = AD=AC,E 为 CD 的中点,若∠CAE = 16°,则 ∠B 的大小为(　 　 ) A. 32° B. 36° C. 37° D. 74° 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. 如图,在四边形 ABCD 中,∠B = 90°,BC = 3, 连接 AC,AC⊥CD,垂足为 C,并且∠ACB = ∠D,点 E 是 AD 边上一动点,则 CE 的最小 值是(　 　 ) A. 1. 5 B. 3 C. 3. 5 D. 4 8. 学习情境·作法判断 如图,在△ABC 中,BC >AB>AC,甲,乙两人想在 BC 上取一点 P, 使得∠APC= 2∠ABC;其作法如下:(甲)作 AB 的中垂线,交 BC 于 P 点,则 P 即为所 求;(乙)以 B 为圆心,AB 长为半径画弧,交 BC 于 P 点,则 P 即为所求;对于两人的作 法,下列判断正确的是(　 　 ) A. 两人皆正确 B. 两人皆错误 C. 甲正确,乙错误 D. 甲错误,乙正确 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 9. 如图,△ABC 的两个内角的平分线 BO,CO 相交于点 O,过点 O 作 MN∥BC 分别交 AB, AC 于点 M,N,若△AMN 的周长为 15,BC = 8,则△ABC 的周长为(　 　 ) A. 15 B. 19 C. 23 D. 31 10. 如图,已知∠MON = 30°,点 A1,A2,A3,…, 在射线 ON 上,点 B1,B2,B3, …,在射线 OM 上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…, 均为等边三角形,若 OA1 = 2,则△A6B6A7 的边长为(　 　 ) A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 25 页 二、填空题(每小题 5 分,满分 20 分) 11. [教材习题 6 变式] (重庆期末)如图,在 △ABC 中,AB=AC,点 D,E 都在边 BC 上, ∠BAD = ∠CAE. 若 BD = 7, 则 CE 的长 为　 　 　 　 . 第 11 题图 　 　 　 第 12 题图 12. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD=AE,若∠B = 55°,∠BAD= 50°,则∠EDC= 　 　 　 　 . 13. 如图,已知 AB=AC,AD 平分∠BAC,∠DEB = ∠EBC = 60°,若 BE = 5,DE = 2,则 BC = 　 　 　 　 . 第 13 题图 　 　 　 第 14 题图 14. 如图,把一张长方形的纸按图那样折叠后, B、D 两点落在 B′、D′点处,若得∠AOB′ = 70°,则∠B′OG 的度数为　 　 　 　 . 三、解答题(共 30 分) 15. [教材习题 2 变式] (8 分)如图所示,AD 是△ABC 的中线,DF⊥AC,DE⊥AB,垂足 分 别 为 F, E, BE = CF. 求 证: AD 平 分∠BAC. 16. (10 分)如图,在△ABC 中,AD⊥BC,EF 垂 直平分 AC,交 AC 于点 F,交 BC 于点 E,且 BD=DE. (1)若∠BAE= 40°,求∠C 的度数; (2)若△ABC 周长为 13 cm,AC = 6 cm,求 DC 长. 17. (12 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°, ∠A= 30°,BC= 12 cm. 动点 P 从点 A 出发, 沿 AB 向点 B 运动,动点 Q 从点 B 出发,沿 BC 向点 C 运动,如果动点 P 以 2 cm / s,Q 以 1 cm / s 的速度同时出发,设运动时间为 t(s),解答下列问题: (1) t 为多少时,△PBQ 是等边三角形? (2)P、Q 在运动过程中,△PBQ 的形状不 断发生变化,当 t 为多少时,△PBQ 是直角 三角形? 请说明理由. 　 　 备用图 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 26 页 期末测试前题组训练 选填题 测试时间:40 分钟　 测试分数:83 分 一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1. 若点 P 的坐标为 ( - 2024, 2025),则点 P 在(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下 列 四 个 图 案 中, 是 轴 对 称 图 形 的 是 (　 　 ) A. B. C. D. 3. 如图,已知∠C = ∠D = 90°,添加一个条件, 可使用“HL” 判定Rt△ABC 与 Rt△ABD 全 等. 以下给出的条件适合的是(　 　 ) A. ∠ABC= ∠ABD B. ∠BAC= ∠BAD C. AC=AD D. AC=BC 4. 数学思想·分类讨论 若等腰三角形的一边 长是 4 cm,周长是 20 cm,则这个等腰三角 形的底边长是(　 　 ) A. 8 cm B. 12 cm C. 4 cm 或 12 cm D. 4 cm 5. 若一次函数 y = 2x+ 1 的图象经过点( - 3, y1 ), ( 4, y2 ), 则 y1 与 y2 的 大 小 关 系 是(　 　 ) A. y1 <y2 B. y1 >y2 C. y1≤y2 D. y1≥y2 6. 下图中,表示一次函数 y = ax+b 与正比例函 数 y=abx(其中 a、b 为常数,且 ab≠0)的大 致图象,其中表示正确的是(　 　 ) A. B. C. D. 7. 在一次“寻宝” 游戏中,寻宝人已经找到两 个标志点 A( -1,2)和 B(2,1),则藏宝处点 C 的坐标应为(　 　 ) A. (1,-1) B. (1,0) C. ( -1,1) D. (0,-1) 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,直线 y1 = x+b 与 y2 = kx-1 相交于点 P, 若点 P 的横坐标为- 1,那么关于 x 的不等 式(1-k)x+(b+1)≥0 的解集为(　 　 ) A. x<-1 B. x>-1 C. x≤-1 D. x≥-1 9. 如图,已知 AD 是△ABC 的角平分线,CE 是 △ABC 的高,AD,CE 相交于点 P,∠BAC = 66°, ∠BCE = 40°, 则 ∠ADC 的 度 数 为(　 　 ) A. 83° B. 86° C. 73° D. 77° 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 27 页 10. 如图,在△ABC 中,BC 的垂直平分线 EF 交∠ABC 的平分线 BD 于点 E,如果∠BAC = 60°, ∠ACE = 24°, 那么 ∠ECB 的大小 是(　 　 ) A. 24° B. 30° C. 32° D. 36° 11. 某快递公司每天上午 8:00- 9:00 为集中 揽件和派件时段,甲仓库用来揽收快件,乙 仓库用来派发快件,该时段内甲、乙两仓库 的快件数量 y(件)与时间 x(分)之间的函 数图象如图所示,那么当两仓库快递件数 相同时,此刻的时间为(　 　 ) A. 8:10 B. 8:15 C. 8:20 D. 8:25 第 11 题图 　 　 　 第 12 题图 12. 如图, 在 △ABC 中, ∠C = 90°, AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D,DE⊥AB 于点 E,则 下列结论:①AD 平分∠CDE;② ∠BAC = ∠BDE;③DE 平分∠ADB;④若 AC = 4BE, 则 S△ABC = 8S△BDE,其中正确的有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(每小题 5 分,共 35 分) 13. 写出命题“如果 a>b,那么 a2 >b2 ” 的逆命 题: 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 14. 将点 P(m+2,2m-3)向下平移 1 个单位, 向左平移 3 个单位得到点 Q,点 Q 恰好落 在 y 轴上,则点 Q 的坐标是　 　 　 　 . 15. 如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,∠B = 60°, CD⊥AB,AB= 6,则 AD= 　 　 　 　 . 第 15 题图 　 　 　 第 17 题图 16. 新趋势·新定义 新定义:函数图象上任意 一点 P(x,y),y-x 称为该点的“坐标差”, 函数图象上所有点的“坐标差”的最大值 称为该函数的“特征值” . 一次函数 y = -2x +1( -3≤x≤1)的“特征值”是　 　 　 　 . 17. 如图,P 为∠AOB 内一定点,M,N 分别是 射线 OA,OB 上一点,当△PMN 周长最小 时,∠MPN= 80°,则∠AOB= 　 　 　 　 . 18. 已知一次函数 y= kx-4-k(k≠0) . (1)无论 k 取何非零的值,一次函数的图 象都 经 过 一 定 点, 则 这 个 点 的 坐 标 是　 　 　 　 ; (2)在平面直角坐标系中有一条线段 AB, 其中 A( -1,2),B(4,1),若这个一次函数 的图象与线段 AB 相交,则 k 的取值范围是 　 　 　 　 　 　 . 19. 如图,在等边△ABC 中,AO ⊥BC,垂足为点 O,且 OA = 8,E 是线段 OA 上的一个动 点,连接 BE,线段 BF 与线段 BE 关于直线 AB 对称. ( 1 ) 连 接 AF, 则 ∠EAF 的 度 数 为　 　 　 　 ; (2)连接 OF,当 OF 的长取得最小值时, AF 的长为　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 28 页 期末测试前题组训练 简单解答题 测试时间:40 分钟　 测试分数:60 分 1. (8 分)已知 y+1 与 x-2 成正比例,当 x = 1 时,y= 0. (1)求 y 与 x 之间的关系式; (2)求(1)中的函数图象与坐标轴围成的三 角形的面积. 2. (8 分)如图,在湖泊的岸边有 A,B 两点,难 以直接量出 A,B 两点间的距离. 你能设计 一种量出 A,B 两点之间距离的方案吗? 说 明你这样设计的理由. 3. (8 分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1,1),B(3,4),C (4,2) . (1) 在图中画出△ABC 关于 x 轴对称的 △A1B1C1; (2)通过平移,使 C1 移动到原点 O 的位置, 画出平移后的△A2B2C2 . (3)在△ABC 中有一点 P(m,n),则经过以 上两次变换后点 P 的对应点 P2 的坐标为 　 　 　 　 . 4. (8 分)如图,点 E 在△ABC 的边 AC 上. 下 面有四个条件: ①AE=BC;②AD∥BC;③∠D = ∠BAC;④DE =AB. 请你从中选择三个作为题设,余下的 一个作为结论,写出一个真命题,并加以 证明. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 29 页 5. (8 分) 如图,在△ABC 中, ∠B = 30°, ∠C = 40°. (1)尺规作图:①作边 AB 的垂直平分线交 BC 于点 D; ②连接 AD,作∠CAD 的平分线交 BC 于点 E;(要求:保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)所作的图中,求∠DAE 的度数. 6. (10 分)已知点 P( -3a-4,2+a),解答下列 各题: (1)若点 P 在 x 轴上,试求出点 P 的坐标; (2)若 Q(5,8),且 PQ∥y 轴,试求出点 P 的 坐标. 7. (10 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,点 D、 E、F 分别在 AB、BC、AC 边上,且 BE = CF, BD=CE. (1)求证:△DEF 是等腰三角形; (2)当∠A= 50°时,求∠DEF 的度数. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·ZBK·八年级数学上　 第 30 页 =β. 图 1 　 　 图 2 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂《铺路帮手》答案 第 11 章　 平面直角坐标系 平面直角坐标系 1. D　 2. B　 3. B　 4. A 5. D　 【解析】因为 xy= 0,x≠y,所以 x = 0 或 y = 0,则点 M 在 x 轴上或 y 轴上(除原点),故选 D. 6. C 7. C　 【解析】观察图形可以看出 A1 ~A4,A5 ~A8,…,每 4 个 为一组,因为 2024÷4 = 506,所以 A2024 在第一象限,纵坐 标为 506×2 = 1012. 故选 C. 8. 1(答案不唯一) 　 9. 7　 10. 四　 11. 你好(或 HELLO) 12. 解:( 1) 由题意得 A ( 2,3),B ( 2, - 3),C ( - 4, - 3), D(-4,3); (2)如图所示; (3)四边形 ABCD 是正方形,如图所示. 它的面积是 6×6 = 36. 13. 解:(1) 平面直角坐标系如图所示,食堂的位置( - 5, 5),图书馆的位置(2,5); (2)办公楼和教学楼的位置如图所示. 14. 解:(1)因为点 P 在 x 轴上,所以 P 点的纵坐标为 0,所 以 a+5 = 0,解得 a = -5,所以 2a-2 = -12,所以 P( -12, 0); (2)因为直线 PQ∥y 轴,所以 2a-2 = 4,解得 a = 3,所以 a+5 = 8,所以 P(4,8); (3)因为点 P 在第三象限,所以 2a-2<0,a+5< 0,又因 为点 P 到两坐标轴的距离之和为 15,所以 | 2a-2 | + | a+ 5 | = 15,即 2- 2a-a- 5 = 15,解得 a = - 6,所以 2a- 2 = -14,a+5 = -1,故点 P 的坐标为(-14,-1); (4)因为点 P 在第二象限,且它到 x 轴、y 轴的距离相 等,所以 2a-2+a+ 5 = 0. 解得 a = - 1. 所以 a2024 + 2024 = (-1) 2024 +2024 = 2025. 15. 解:(1)由题意,可分两种情况:① |m-1 | = | -4 | ,解得 m = -3 或 5(不合题意,舍去);② |m | = | -4 | ,解得 m= -4 (不合题意,舍去) 或 m = 4,综上所述,点 C 的坐标为 (-4,-3)或(3,4); (2)由题意,可分两种情况:①当 | 2k-5 | ≥6 时, | 4+k | = | 2k-5 | ,所以 4+k= 2k- 5 或 4+k = -(2k- 5),解得 k = 9 或 k= 1 3 (不合题意,舍去);②当 | 2k-5 | <6 时, | 4+k | = 6,所以 4+k= 6 或 4+k= -6,解得 k= 2 或 k= -10(不合题 意,舍去);综上所述,k= 2 或 k= 9. 图形与坐标平移变化 1. C　 2. D 3. A　 【解析】因为线段 CD 是由线段 AB 平移得到的,而点 A(-1,4)的对应点为 C(4,7),所以由 A 点平移到 C 点的 横坐标增加 5,纵坐标增加 3,则点 B(-4,-1)的对应点 D 的坐标为(1,2) . 故选 A. 4. C　 【解析】因为 A(2,4),A1(-2,1),所以三角形 ABC 向 左平移 4 个单位,向下平移 3 个单位后得到三角形 A1B1C1,所以 AC 上一点 P(2. 4,2)平移后的对应点 P1 的坐标为(-1. 6,-1) . 故选 C. 5. B　 【解析】因为 A 点(1,2)平移后得点 C(2,2),所以三 角形 OAB 沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度,因为 B(3, 0),所以 OB= 3,因为 BE= 1,所以 OE=OB+BE= 3+1 = 4. 故选 B. 6. C　 【解析】因为把点 M(a+1,3-a)向右平移 1 个单位后 得到的点 N 在 y 轴上,所以 a+1+1 = 0,解得 a= -2,所以 点 M 坐标为(-1,5) . 故选 C. 7. D　 【解析】由题意得 m-1+3>0n+2+2<0{ ,所以 m>-2 n<-4{ . 故选 D. 8. 下　 2 9. (-2,4)　 【解析】因为点 M(x,y)到 x 轴和 y 轴的距离分 别为 4,5,所以 | y | = 4, | x | = 5,因为点 M(x,y)在第二象 限,所以 x= -5,y= 4,所以M(-5,4),因为把点M 向右平 移 3 个单位得到点 M′,所以 M′的坐标为(-5+3,4),即 (-2,4) . 10. (5,-4)　 【解析】因为点 A 按如下方式进行平移:先向 上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位后与点 B(1,2) 重合,所以 B(1,-2)向下平移 2 个单位,再向右平移 4 个单位得到 A(5,-4) . 11. 解:(1)如图所示三角形 A1B1C1 即为所求; (2)-2 -3　 0 1　 -3 0 (3)三角形 ABC 的面积= 3×4- 1 2 ×3×1- 1 2 ×3×1- 1 2 ×2 ×4 = 5. 12. 解:(1)(1,0)　 (-4,4) (2)三角形 A′B′C′是由三角形 ABC 向左平移 5 个单位, 向上平移 4 个单位得到; (3)由题意得 m-5 = 2n-84-n+4 =m-4{ ,解得 m= 7 n= 5{ . 13. 解:(1)(1,3)　 (0,2) (2)由题意得 m+(-1)+2×2 = 0,解得 m = -3,所以点 D 的纵坐标为:0+2×1+2×(-1)= 0,所以 D(0,0); (3)(1,0). 第 12 章　 一次函数 函数的相关概念 1. C　 2. D　 3. D 4. C　 【解析】A. 由表格可知,当 h= 50cm 时,t= 1. 89s,故 A 正确;B. 通过观察表格可得,支撑物的高度 h 越大,小车 下滑时间越小,故 B 正确;C. 通过观察表格,当支撑物的 高度每增加 10cm,对应小车下滑时间的变化情况不相 同,故 C 错误;D. 若小车下滑时间为 2. 5s,通过表格容易 判断出支撑物的高度在 20cm~ 30cm 之间,故 D 正确;故 选 C. 5. y= 16x　 6. -3 7. 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBK·数学　 第 17 页 一次函数的图象与性质 1. C　 2. D　 3. C 4. C　 【解析】因为直线 y = 2x-1,k = 2>0,所以 y 随 x 的增 大而增大,因为-3<-2<1,所以 y1 <y3 <y2,故选 C. 5. B　 【解析】由题意,得 2m-1>0,解得 m> 1 2 ,所以 P(-m, m)在第二象限. 故选 B. 6. A　 【解析】A. 因为直线 l1:经过第一、二、三象限,所以 k >0,b>0,所以-k<0. 所以直线 l2 经过第一、三、四象限. 故选 A. 7. 2　 【解析】由题意,得 m2 -3 = 1,且 m+1≠0,解得 m= ±2. 因为图象在第一、三象限,所以 m+1>0,所以 m>-1,所以 m= 2. 8. b>a>c 9. 10　 【解析】由题意,得平移后的一次函数解析式为 y = -2x+6-n,根据题意,将点(-1,-2)代入 y = -2x+6-n,得 2+6-n= -2,解得 n= 10. 10. 解:(1)设该函数的解析式为 y = kx+b,把(1,5),( - 2, -4)代入得 k+b= 5-2k+b= -4{ ,解得 k= 3 b= 2{ ,所以该函数的解析 式为 y= 3x+2; (2)当 x= 3 时,y= 3×3+2 = 11,所以 y 的值为 11. 11. 解:(1)把(1,1)代入 y= (2m+1)x-m-1 得 2m+1-m-1 = 1,解得 m= 1,即 m 的值为 1; (2)因为函数图象在 y 轴上的截距为 3,所以-m-1 = 3, 解得 m= -4. 所以一次函数的表达式为 y= -7x+3; (3)当 x= -3 时,y= -7x+3 = 24;当 x = 2 时,y = -7x+3 = -11,所以当-3≤x≤2 时,函数的最大值为 24. 12. 解:(1)把(1,4),(5,0)分别代入 y = kx+b 得 4 = k+b0 = 5k+b{ , 解得 k= -1b= 5{ ,所以直线 AB 解析式为 y= -x+5,由-x+5 = 2x-4 解得 x= 3,把 x= 3 代入 y= 2x-4 中得 y= 2,所以 C 点坐标(3,2); (2)因为直线 y= 2x- 4 交 y 轴于(0,- 4),直线 AB 交 y 轴于(0,5),所以三角形的面积为 1 2 ×(5+4)×3 = 27 2 ; (3)设 P(x,-x+5),则 Q(x,2x-4) . 当 x≤3 时,PQ = -x +5-(2x-4)= 3,解得 x= 2,所以 P 点坐标(2,3);当 x>3 时,PQ= 2x-4-( -x+ 5) = 3,解得 x = 4,所以 P 点坐标 (4,1),故点 P 的坐标为(2,3)或(4,1) . 13. 解:(1)y= 2x-1 (2)y= 3x-3m+1 (3)因为将直线 y = 1 2 x+1 向左平移 n(n>0)个单位长 度后得到直线 y= 1 2 (x+n) +1,即 y = 1 2 x+ 1 2 n+1,所以 1 2 n+1 = 5,解得 n= 8. 一次函数的应用 1. C　 【解析】根据表中 y 随 t 的变化而变化的趋势知 y 与 t 成一次函数关系,设 y= kt+b,根据题意得 b= 1510k+b= 25{ ,解 得 k= 1 b= 15{ ,所以 y= t+15,当 t= 70 时,y= 1×70+15 = 85,即 当加热 70s 时,该液体沸腾了,小明估计这种液体的沸点 温度是 85℃ ,故选 C. 2. A 3. y= 2. 4x+6. 8 4. (1)75　 (2)2. 25 或 4. 75　 【解析】(1)由图象可得,货 车行驶的速度为:600÷8 = 75(km / h);(2)由题意可求得 OA 所在直线的表达式为 y= 75x,则 y= 300 时,x= 4,所以 点 D 的坐标为(4,300),因为轿车在休息前 2. 4h 行驶 300km,休息后按原速度行驶,所以轿车行驶后 300km 需 2. 4h,所以点 E 坐标为(6. 4,0) . 设线段 DE 所在直线的 函数表达式为 y= kx+b,将点 D(4,300),E(6. 4,0)代入 可求得线段 DE 所在直线的函数表达式为 y = - 125x+ 800;设 BC 段的函数表达式为 y= -125x+n,将 B(0,600) 代入可求得线段 BC 的函数表达式为 y = -125x+600,① 当轿车休息前与货车相距 150km 时,- 125x+ 600- 75x = 150,解得 x= 2. 25;②当轿车休息后与货车相距 150km 时,75x-(-125x+800)= 150,解得 x = 4. 75. 故两车出发 2. 25 小时或 4. 75 小时后相距 150km. 5. 解:(1)设销售额 y(元)与销售量 x(千克)之间的函数表 达式为 y= kx+b(k≠0) . 当 0≤x≤40 时,将(0,0),(40, 160)代入 y= kx+b 得 b= 040k+b= 160{ ,解得 k= 4 b= 0{ ,所以此时 y 与 x 之间的函数表达式为 y = 4x;当 x> 40 时,将(40, 160), ( 80, 260) 代入 y = kx + b 得 40k+b= 16080k+b= 260{ , 解得 k= 2. 5 b= 60{ ,所以此时 y 与 x 之间的函数表达式为 y = 2. 5x+ 60. 综上所述,销售额 y(元)与销售量 x(千克)之间的函 数表达式为 y= 4x(0≤x≤40)2. 5k+60(x>40){ ; (2)当 x = 30 时,y = 4×30 = 120. 答:当销售量为 30 千克 时,张三销售这种水果的销售额为 120 元; (3)当 0≤x≤40 时,销售单价为 4 元,此时获得的最大 利润为(4-2)×40 = 80(元),因为 80<150,所以 x>40. 当 x>40 时,销售单价为 2. 5 元. 依题意得 80+(2. 5-2) (x- 40)= 150,解得 x= 180. 答:当销售量为 180 千克时,张三 销售这种水果的利润为 150 元. 6. 解:(1)设 l1 的解析式为 y1 = k1x+b1 ,l2 的解析式为 y2 = k2x+b2 . 因为由图可知 l1 过点(0,2),(500,17),代入 y1 = k1x+b1 得 b1 = 2 500k1 +b1 = 17{ ,解得 k1 = 0. 03 b1 = 2{ ,所以 y1 = 0. 03x +2(0≤x≤2 000);由图可知 l2 过点(0,20),(500,26), 同理 y2 = 0. 012x+20(0≤x≤2 000); (2)两种灯的费用相同,即 y1 = y2 ,则 0. 03x+2 = 0. 012x+ 20,解得 x= 1 000,即当照明时间为 1 000h 时,两种灯的 费用相同. 7. 解:(1)设 A 种绿化树每棵 x 元,B 种绿化树每棵 y 元. 依 题意得 5x+10y= 1 100 10x+8y= 1 600{ ,解得 x= 120 y= 50{ ,即 A 种绿化树每 棵 120 元,B 种绿化树每棵 50 元; (2)设购买 B 种绿化树数量 m 棵,则购买 A 种绿化树数 量(24-m)棵. 依题意得:24-m≥3m,解得 m≤6,设实际 付款总额是 w 元,则 w = 120 × ( 24 -m) + 50m = - 70m+ 2880,w= -70m+2 880. 因为-70<0,所以 w 随 m 增大而 减小,所以当 m= 6 时,w最小 = -70×6+2 880 = 2460(元) . 即当购买 A 种绿化树 18 棵,B 种绿化树 6 棵时,所需费 用最少,最少费用为 2 460 元. 一次函数与方程和不等式 1. C　 2. A 3. B　 【解析】将 x= -1 代入 y= -3x+2,得 y = 3+2 = 5,所以 交点坐标为(-1,5),所以交点在第二象限. 故选 B. 4. (-1,7)(答案不唯一) 5. (1,3)　 【解析】因为 x = 1 是方程 2x+1 = -x+4 的解,所 以 y= 2×1+1 = 3,所以交点坐标为(1,3) . 6. y>0 7. (1)如图所示即为所求. (2)(1,2)　 x= 1y= 2{ (3)无解 专题　 一次函数与面积相关问题 1. 解:(1)因为点 C(1,m)在一次函数 y= x+3 的图象上,所 以 m= 1+3 = 4,所以点 C(1,4) . 设一次函数图象 l2 相应 的函数表达式为 y= kx+b,把点 A(3,0),C(1,4)代入得 3k+b= 0 k+b= 4{ ,解得 k= -2 b= 6{ ,所以一次函数图象 l2 相应的函 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBK·数学　 第 18 页 数表达式 y= -2x+6; (2)因为一次函数 y= x+3 的图象 l1 与 x 轴交于点 B,所 以当 y= 0 时,0 = x+3,解得 x= -3,所以 B(-3,0) . 因为 A (3,0),C(1,4),所以 AB= 6,所以 S△ABC = 1 2 ×6×4 = 12. 2. 解:( 1 ) 把 A ( - 2, - 1 ), B ( 1, 3 ) 代入 y = kx + b 得 -2k+b= -1 k+b= 3{ ,解得 k= 4 3 b= 5 3 ì î í ï ï ïï . 所以一次函数解析式为 y = 4 3 x+ 5 3 ; (2)令 y= 0,则 0 = 4 3 x+ 5 3 ,解得 x = - 5 4 ,所以 C 点的坐 标为(- 5 4 ,0),把 x= 0 代入 y = 4 3 x+ 5 3 得 y = 5 3 ,所以 D 点坐标为(0, 5 3 ); (3)S△AOB =S△AOD+S△BOD = 1 2 × 5 3 ×2+ 1 2 × 5 3 ×1 = 5 2 . 3. 解:(1)设直线 l2 的解析式为 y= kx+b. 因为直线 l1 :y= -x +2 与 x 轴,y 轴分别交于 A、B 两点,所以令 x = 0,得 y = 2,故 B(0,2),令 y = 0,得 x = 2,故 A(2,0) . 因为直线 l2 经过点 A,与 y 轴交于点 C(0,- 4),所以 2k+b= 0b= -4{ ,所以 k= 2 b= -4{ ,所以直线 l2 的解析式为 y= 2x-4; (2)由题意得 BC = 6,设点 P 的横坐标为 t,所以 S△PAC = 1 2 · | xA -xP | ·BC = 1 2 × | 2 - t | × 6 = 10,所以 t = - 4 3 或 t = 16 3 . 因 为 点 P 为 直 线 l1 上 的 一 个 动 点, 所以 P(- 4 3 ,10 3 )或( 16 3 ,-10 3 ) . 4. 解:(1)-m　 2　 过 M 作 ME⊥x 轴于 E,则 ME = -m. ∵ A( - 1,0),B(3, 0),∴ AB= 4,∴ S△ABM = 1 2 AB×ME= 1 2 ×4×(-m)= -2m; (2)设 P(0,n),当 m = -2 时,M( -2,-2),S△ABM = -2m = 4. 根据题意,得 1 2 | n | ×2 = 4,解得 n = ±4,∴ 符合条件的 点 P 坐标是(0,-4)或(0,4) . 第 13 章　 三角形中的边角关系、命题与证明 三角形中的边、角关系及重要线段 1. C　 2. D　 3. C　 4. D　 5. B 6. B 　 【解析】在△ABC 中,∠B = 64°,∴ ∠BAC+ ∠BCA = 180°-∠B= 180°-64° = 116°. ∵ OA、OC 分别平分∠BAC、 ∠BCA, ∴ ∠OAC = 1 2 ∠BAC, ∠OCA = 1 2 ∠BCA, ∴ ∠OAC + ∠OCA = 1 2 ∠BAC + 1 2 ∠BCA = 1 2 ( ∠BAC + ∠BCA)= 1 2 × 116° = 58°. 在△OAC 中,∠OAC+∠OCA = 58°,∴ ∠O= 180°-(∠OAC+∠OCA)= 180°-58° = 122°. 故选 B. 7. B　 【解析】 ∵ 点 D、E 分别是边 BC、AD 上的中点,∴ S△ACD = 1 2 S△ABC = 1 2 ×8 = 4(cm2),S△CED = 1 2 S△ACD = 1 2 ×4 = 2(cm2),∵ 点 F 是边 CE 的中点,∴ S△EDF = S△CFD = 1 2 × 2 = 1cm2 . 故选 B. 8. D 9. 3a+b-3c　 【解析】∵ a,b,c 分别为△ABC 的三边,∴ a+b -c>0,a-c-b<0,c-a-b<0,∴ | a+b-c | - | a-c-b | + | c-a-b | =a+b-c+(a-c-b)-(c-a-b)= a+b-c+a-c-b-c+a+b = 3a +b-3c. 10. 5 11. 2 3 　 【解析】 ∵ △ABC 中,AD 为中线,∴ BD = DC. ∴ S△ABD =S△ADC . ∵ DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F,AB = 6cm,AC= 4cm. ∴ 1 2 ·AB·DE = 1 2 ·AC·DF,∴ 1 2 × 6ED= 1 2 ×4DF,∴ DE DF = 4 6 = 2 3 . 12. 解:他们的解答过程都不正确. 根据题意可知,有两种 情况:①当腰长为 8cm,周长为 28cm 时,底边长为 28-8 -8 = 12(cm). ∵ 8cm,8cm,12cm 能够组成三角形,∴ 另 外两边为 8cm 和 12cm. ②当底边为 8cm,周长为 28cm 时,腰长为(28-8÷2) = 10(cm). ∵ 10cm,10cm,8cm 能 够组成三角形,∴ 另外两边为 10cm 和 10cm. 综上可知, 另外两边为 8cm,12cm 或 10cm,10cm. 13. 解:(1)∵ ∠BED = 60°,∴ ∠BEA = 180°-∠BED = 120°. ∵ ∠BAE= 40°,∴ ∠ABE = 180° -∠BAE-∠BEA = 20°, ∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠ABC= 2∠ABE = 40°,∵ AF 为高, ∴ ∠AFB= 90°,∴ ∠BAF= 90°-∠ABF= 90°-40° = 50°; (2)∵ AD 为中线,∴ BC= 2BD = 10,∵ S△ABC = 1 2 AF·BC = 40,∴ AF= 2 ×40 10 = 8. 14. 解:(1)6 (2)当点 P 在 AB 中点时,CP 把△ABC 的面积分成相等 的两部分,此时 CA+AP= 8+5 = 13(cm),∴ 2t= 13,解得 t = 6. 5. 故当 t 为 6. 5 秒时,CP 把△ABC 的面积分成相 等的两部分; (3)分两种情况:①当 P 在 AC 上时,∵ △BCP 的面积 = 12cm2 ,∴ 1 2 ×6×CP= 12,∴ CP= 4,∴ 2t = 4,t = 2;②当 P 在 AB 上时,∵ △BCP 的面积= 12 = △ABC 面积的一半, ∴ P 为 AB 中点,∴ 2t = 13,t = 6. 5. 故 t 为 2 秒或 6. 5 秒 时,△BCP 的面积为 12cm2 . 命题与证明 1. C　 2. A　 3. A　 4. C　 5. B 6. 两直线平行,同位角相等(答案不唯一) 7. 105° 8. 34°　 【解析】∵ ∠B= 46°,∠C= 30°,∴ ∠DAC= ∠B+∠C = 76°. ∵ ∠EFC = 70°,∴ ∠AFD = 70°,∴ ∠D = 180° - ∠DAC-∠AFD= 34°. 9. 解:(1)将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成 “如果 p,那 q”的形式为:如果两条直线平行于同一条直 线,那么这两条直线平行; (2)条件:两条直线平行于同一条直线,结论:这两条直 线平行; (3)“平行于同一条直线的两条直线平行”是真命题. 10. 解:(1)ABC　 BCD　 两直线平行,内错角相等　 等量代 换　 等式的性质　 内错角相等,两直线平行 (2)两个互逆的真命题为:两直线平行,内错角相等和 内错角相等,两直线平行. 11. 解:延长 CD 交 AB 于点 E,∵ ∠BEC 是△ACE 的一个外 角,∴ ∠BEC= ∠A+∠C= 90°+21° = 111°,同理∠BDC = ∠BEC+∠B= 111°+32° = 143°,而检验工人量得∠BDC = 149°,所以零件不合格. 12. 解:选方法一:证明:过点 A 作 DE∥BC,∵ DE∥BC,∴ ∠BAD= ∠B,∠CAE = ∠C,∵ ∠BAD+∠BAC+∠CAE = 180°,∴ ∠BAC+∠B+∠C= 180°. 13. 解:(1)270° (2)设虚线与 AB、AC 分别交于点 E、F. 在△AEF 中,由 外角性质可知:∠1 = ∠A+∠EFA,∠2 = ∠A+∠AEF. ∵ ∠A= 30°,∴ ∠1+∠2 = ( ∠A+ ∠EFA+ ∠AEF) + ∠A = 180°+30° = 210°; (3)∠1+∠2 = 180°+∠A (4)∠1+∠2 = 2∠A. 理由如下:设虚线与 AB、AC 分别交 于点 E、F. ∵ △EFP 是由△EFA 折叠得到的,∴ ∠AFE =∠PFE,∠AEF= ∠PEF. ∴ ∠1 = 180°- 2∠AEF,∠2 = 180°-2∠AFE. ∴ ∠1+∠2 = 360°- 2( ∠AFE+∠AEF) . 又∵ ∠AFE + ∠AEF = 180° - ∠A, ∴ ∠1 + ∠2 = 360° - 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBK·数学　 第 19 页 2(180°-∠A)= 2∠A. 第 14 章　 全等三角形 全等三角形及其性质 1. B　 2. C　 3. C　 4. B 5. B　 【解析】∵ ∠B= 80°,∠C= 30°,∴ ∠BAC = 180°-80°- 30° = 70°. ∵ △ABC ≌ △ADE, ∴ ∠BAC = ∠DAE, ∴ ∠EAC= ∠DAE-∠DAC= 70°-35° = 35°. 故选 B. 6. D　 7. D 8. D　 【解析】∵ 两个三角形全等,∴ 3a-2b = 5,a+2b = 7 或 3a-2b= 7,a+2b= 5,解得 a= 3,b = 2 或 a = 3,b = 1,∴ a+b = 5 或 4. 故选 D. 9. △ABC≌△ADE　 ∠DAE　 BC 10. 20° 　 【解析】 ∵ 在 △ABC 中, ∠A ∶ ∠ABC ∶ ∠ACB = 3 ∶5 ∶10,∠A+∠ABC+∠ACB = 180°,∴ ∠A = 30°,∠ACB = 100°,∠ABC = 50°. ∵ △MNC≌ △ABC,∴ ∠NCM = ∠ACB= 100°,∠N = ∠ABC = 50°,BC = NC,∴ ∠NBC = ∠N = 50°, ∴ ∠BCN = 180° - ∠N - ∠NBC = 80°, ∴ ∠BCM= ∠MCN-∠BCN= 100°-80° = 20°. 11. 1 2 　 30° 　 【解析】∵ △ADB≌△EDB≌△EDC,∴ AB = EB = EC,∠ABD = ∠EBD = ∠ECD,∠BED = ∠CED = ∠A,∴ AB BC = AB EB+EC = AB 2AB = 1 2 . ∵ ∠BED + ∠CED = 180°,∴ ∠BED = ∠CED = ∠A = 90°,∴ ∠ABD+∠EBD+ ∠ECD= 90°,∴ ∠ECD= 30°. 12. (6,-5) 13. 解:∵ △ABC≌△ADE,∴ ∠EAD = ∠BAC = 50°,∠ACB = ∠E. ∴ ∠B+∠E= ∠B+∠ACB = 180°-∠BAC = 130°. ∵ ∠CAD= 60°, ∴ ∠BAE = 160°,连接 AF, ∠B + ∠BAF + ∠BFA = 180°, ∠E + ∠EAF + ∠AFE = 180°, ∴ ∠B + ∠BAF+∠BFA+∠E+∠EAF+∠AFE = ∠B+∠BAE+∠E +∠BFE = 360°, ∴ ∠BFE = 360° - ∠B - ∠E - ∠BAE = 70°. 14. 解:(1)∵ △ABF≌△CDE,∴ ∠D = ∠B = 30°,∴ ∠EFC = ∠DCF+∠D= 70°; (2)∵ △ABF≌△CDE,∴ BF =DE,∴ BF-EF =DE-EF, 即 BE=DF. ∵ BD= 10,EF = 2,∴ BE = (10-2) ÷2 = 4. ∴ BF=BE+EF= 6. 15. (1) 解:DE = CE+BC. 理由:∵ △ABC≌△DAE,∴ AE = BC,DE=AC. ∵ A,E,C 三点在同一直线上,∴ AC = AE+ CE,∴ DE=CE+BC; (2) 当△ADE 满足∠AED = 90°时,DE∥BC. 证明: ∵ △ABC≌ △DAE, ∴ ∠C = ∠AED, DE∥BC, ∴ ∠C = ∠DEC, ∠CED = ∠AED. ∵ ∠CED + ∠AED = 180°, ∠CED= ∠AED = 90°,即当△ADE 满足∠AED = 90°时, DE∥BC. 16. 解:(1)∵ △ABC≌△CDE,CE = 25,∴ AC = CE = 25. ∵ AB= 7,BC= 24,∴ △ABC 的周长 = AB+BC+AC = 7+ 24+ 25 = 56; (2) ∵ ∠B = 90°, ∴ ∠ACB + ∠BAC = 90°. ∵ △ABC≌ △CDE,∴ ∠ECD = ∠BAC,∴ ∠ACB+ ∠ECD = 90°,∴ ∠ACE= 90°. ∵ AC=CE= 25,∴ △ACE 的面积 = 1 2 ×25× 25 = 625 2 . 三角形全等的判定 1. C　 2. C　 3. B 4. C　 【解析】∵ AB⊥DE,∴ ∠DGH = 90°,∵ ∠DFE = 90°, ∴ ∠AFH = ∠DGH,∵ ∠DHG = ∠AHF. ∴ ∠A = ∠D. 在 △ABC 与△DEF 中, ∠A= ∠D ∠ACB= ∠DFE= 90° AB=DE{ ,∴ △ABC≌ △DEF(AAS),∴ AC=DF,BC=EF. ∵ DF = a,BC = b,CF = c. ∴ AE=AC+EF-CF=DF+BC-CF=a+b-c. 故选 C. 5. A 6. D　 【解析】延长 AD 到点 E,使得 ED = AD = 4,则 AE = 2AD= 8,连接 EC,∵ D 是 BC 的中点,∴ BD = CD,又∵ ∠ADB= ∠EDC,AD=ED,∴ △ABD≌△ECD(SAS),∴ AB =EC,在△ACE 中,AE-AC<EC<AE+AC,即 8-3<EC< 8+ 3,∴ 5<EC<11,即 5<AB<11,∴ AB 的长不可能是 5;过 C 作 CE∥AB 交 AD 的延长线于点 E,则∠BAD = ∠E,∵ D 是 BC 的中点,∴ BD = CD,又∵ ∠BAD = ∠E,∠ADB = ∠EDC,∴ △ABD≌△ECD(AAS),∴ AB = EC,AD = ED = 4,∴ AE = 2AD = 8,在△ACE 中,同理得 5<EC< 11,∴ 5< AB<11,∴ AB 的长不可能是 5;综上所述,正确的是乙和 丙. 故选 D. 7. 三角形具有稳定性 8. 全等三角形的对应边相等 9. 1 或 3 或 4　 【解析】设运动时间为 t 秒. ∵ AC = 2BC = 4, ∴ BC= 2. ①若△CAB≌△CQP,则 BC = PC. 当 0 < t≤2 时,PC= 4-2t,∴ 4-2t = 2,解得 t = 1;当 t>2 时,PC = 2t- 4,∴ 2t- 4 = 2,解得 t = 3;② 若△CAB≌△CPQ,则 AC = PC= 4,当 0<t≤2 时,4-2t= 4,解得 t= 0 (不符合题意,舍 去);当 t>2 时,2t-4 = 4,解得 t = 4. 综上所述,满足条件 的 t 的值为 1 或 3 或 4 . 10. 证明:∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C,在△ABD 和△ACE 中, AB=AC ∠B= ∠C BD=CE{ ,∴ △ABD≌△ACE(SAS) . 11. (1)证明:∵ AB⊥CD,∴ ∠FAC+∠ACF = 90°. ∵ ∠ACE = 90°, ∴ ∠DCB + ∠ACF = 90°, ∴ ∠FAC = ∠DCB. 在 △ABC 和△CDE 中, ∠FAC= ∠DCB AC=CE ∠ACB= ∠CED= 90°{ ,∴ △ABC≌ △CDE(ASA); (2)解:∵ △ABC≌△CDE,∴ DE =BC = 10cm. ∵ 点 B 是 EC 的中点,∴ EC= 2BC= 20cm,∴ AC=EC= 20cm. 12. 证明:(1)∵ AB=BC,∠ABC=90°,∴ ∠C=45°. ∵ BO⊥AC, ∴ ∠1=45°,∴ ∠1 = ∠C = 45°. ∵ PB =PD,∴ ∠2 = ∠PBD. ∵ ∠3= ∠PBC-∠1,∠4 = ∠2-∠C,∴ ∠3 = ∠4. ∵ BO⊥ AC,DE⊥AC,∴ ∠BOP = ∠PED = 90°. 在△BPO 和△PDE 中, ∠3=∠4 ∠BOP=∠PED,∴ △BPO≌△PDE(AAS) BP=PD{ ; (2)由(1),得∠3 = ∠4,∵ BP 平分∠ABO,∴ ∠ABP = ∠3, ∴ ∠ABP = ∠4. 在 △ABP 和 △CPD 中, ∠A= ∠C ∠ABP= ∠4 PB=DP{ ,∴ △ABP≌△CPD(AAS),∴ AP=CD. 专题　 构造全等三角形的常用辅助线 1. 解:PE=PF 仍成立. 理由如下: 过 P 点作 PM⊥OA 于点 M,PN⊥ OB 于点 N, ∵ OC 是 ∠AOB 的角平分线, ∴ ∠AOP = ∠BOP, 在 △OPM 和 △OPN 中, ∠PMO= ∠PNO= 90° ∠AOP= ∠BOP OP=OP{ ,△OPM≌ △OPN ( AAS) ∴ PM = PN,∵ ∠PMO = ∠PNO = ∠MON = 90°,∴ ∠MPN = 90°, ∵ ∠MPE+∠EPN = 90°,∠EPN+∠NPF = 90°,∴ ∠MPE = ∠NPF,在 △PME 和 △PNF 中, ∠PME= ∠PNF PM=PN ∠MPE= ∠NPF{ , ∴ △PME≌△PNF(ASA),∴ PE=PF. 2. 解:(1)BC=CD+AB;在 BC 上截取 BF = AB,连接 EF,∵ BE 是∠ABC 的平分线,∴ ∠ABE = ∠EBF. 又∵ AB =BF, BE=BE,∴ △ABE≌△FBE(SAS),∴ ∠A= ∠BFE. ∵ ∠A +∠D = 180°,∠BFE+ ∠EFC = 180°,∴ ∠D = ∠EFC,∵ CE 平分 ∠BCD, ∴ ∠DCE = ∠FCE, 又 ∵ CE = CE, ∴ △ECF≌△ECD(AAS),∴ CD = CF,∴ BC = BF+FC = AB +CD. (2)BE⊥CE;理由如下:∵ ∠A+∠D= 180°,∴ AB∥CD,∴ ∠ABC + ∠DCB = 180°. ∵ BE 平 分 ∠ABC, CE 平 分 ∠BCD, ∴ ∠EBC = 1 2 ∠ABC, ∠ECB = 1 2 ∠BCD, ∴ ∠EBC+∠ECB = 1 2 ( ∠ABC+ ∠BCD) = 90°,∴ ∠BEC = 180°-(∠EBC+∠ECB)= 180°-90° = 90°,∴ BE⊥CE. 3. 解:(1) 延长 FD 到点 G,使 DG = BE,连接 AG. ∵ ∠B+ ∠ADC= 180°,∠ADC+∠ADG = 180°,∴ ∠B = ∠ADG. 在 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBK·数学　 第 20 页 △ABE 和 △ADG 中, AB=AD ∠B= ∠ADG BE=DG{ , ∴ △ABE ≌ △ADG (SAS),∴ AE = AG,∠BAE = ∠DAG. ∵ ∠BAD = ∠BAE+ ∠EAD,∠EAG = ∠EAD + ∠DAG, ∴ ∠BAD = ∠EAG. ∵ ∠EAF = 1 2 ∠BAD, ∴ ∠EAF = 1 2 ∠EAG, ∴ ∠EAF = ∠GAF. 在△AEF 和△AGF 中, AE=AG ∠EAF= ∠GAF AF=AF{ ,∴ △AEF ≌△AGF(SAS),∴ EF =FG. ∵ GF = GD+DF = DF+BE,∴ EF=BE+DF; (2)在 DC 延长线上取一点 G,使得 DG =BE,连接 AG. ∵ ∠ABC+∠ADC = 180°,∠ABC+∠ABE = 180°,∴ ∠ADC = ∠ABE. 在 △ABE 和 △ADG 中, AB=AD ∠ABE= ∠ADG BE=DG{ , ∴ △ABE≌△ADG(SAS),∴ AG = AE,∠DAG = ∠BAE. ∵ EF =BE+DF,∴ EF = DG+DF = GF. 在△AEF 和△AGF 中, AE=AG AF=AF EF=GF{ ,∴ △AEF≌△AGF(SSS),∴ ∠FAE = ∠FAG. ∵ ∠FAE+ ∠FAG + ∠GAE = 360°, ∴ 2 ∠FAE + ( ∠GAB + ∠BAE)= 360°,∴ 2∠FAE+( ∠GAB+∠DAG) = 360°,即 2∠FAE+∠DAB= 360°,∴ ∠EAF= 180°- 1 2 ∠DAB. 4. 解:(1)C (2) 证明:延长 AE 到 F,使 EF = AE,连接 DF,∵ AE 是 △ABD 的 中 线, ∴ BE = ED. 在 △ABE 与 △FDE 中, BE=DE ∠AEB= ∠FED AE=FE{ ,∴ △ABE≌ △FDE( SAS),∴ AB = DF, ∠BAE= ∠EFD. ∵ ∠ADB 是△ADC 的外角,∴ ∠DAC+ ∠ACD = ∠ADB = ∠BAD, ∵ ∠BAE + ∠EAD = ∠BAD, ∠BAE= ∠EFD,∴ ∠EFD+ ∠EAD = ∠DAC + ∠ACD, ∴ ∠ADF = ∠ADC. ∵ AB = DC, ∴ DF = DC. 在 △ADF 与 △ADC 中, AD=AD ∠ADF= ∠ADC FD=CD{ ,∴ △ADF≌△ADC(SAS),∴ ∠C= ∠AFD= ∠BAE. 第 15 章　 轴对称图形与等腰三角形 轴对称图形 1. D 2. D　 【解析】因为△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称,所以 ∠C= ∠C′ = 26°,在△ABC 中,∠B = 180° - ∠A- ∠C = 180°-54°-26° = 100°. 故选 D. 3. A 　 【解析】 根据题意,由折叠的性质 可 知 ∠AED = ∠AEF,因为∠AED+∠AEF+∠CEF = 180°,所以∠AED = ∠AEF = 1 2 (180° -∠CEF) = 1 2 ×(180° - 56°) = 62°. 故 选 A. 4. C 5. D　 【解析】根据折叠的性质,得 A1E =AE,A1D1 =AD,D1F =DF. 则阴影部分的周长=长方形的周长 = 2×(10+5)= 30. 故选 D. 6. B　 【解析】如图所示,经过 6 次 反弹后小球回到出发点 P,因为 2024÷6 = 337……2,所以当小球 第 2024 次碰到长方形的边时为 第 338 个循环组的第 2 次反弹, 所以第 2024 次碰到长方形的边 时的点为图中的点 B. 故选 B. 7. 2505　 8. 75 9. 10°　 【解析】在 Rt△ABC 中,∠BAC = 90°,∠C = 40°,所 以∠B = 50°. 由折叠可得, ∠AB′ D = ∠B = 50°,所 以 ∠BAB′= 80°,所以∠CAB′ = ∠BAC- ∠BAB′ = 90° - 80° = 10°. 10. 24　 【解析】设 BM 与 AC 的交点为点 F,连接 AE. 由折 叠的性质得:BD = AB = 12,DF = AF,DE = AE,∠BDF = ∠BAF,所以 CD=BC-BD = 20-12 = 8,所以△CDE 的周 长=CD+DE+CE = 8+AE+CE. 要使△CDE 周长最小,只 需 AE+CE 最小,当点 E 与点 F 重合时,AE+CE 取最小 值,最小值为 AC,△CDE 的周长= 8+AC= 8+16 = 24. 11. 解:相等的线段:AB=AE,CB=DE,CF=DF; 相等的角:∠B= ∠E,∠C = ∠D,∠BAF = ∠EAF,∠AFD = ∠AFC. 12. 解:(1)如图 1,△A′B′C′即为所求. (2)如图 2,直线 l 即为所求的对称轴. 图 1 　 　 图 2 13. 解:因为△ABC 和△ADE 关于直线 l 对称,所以 AB = AD,BC=DE,∠B = ∠D. 又因为 AB = 15,DE = 10,∠D = 70°,所以∠B= 70°,BC= 10,AD= 15. 14. 解:(1)由折叠的性质得:BE =BC = 6cm,DE = DC,所以 AE=AB-BE=AB-BC= 8-6 = 2(cm),所以△AED 的周长 =AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE= 5+2 = 7(cm); (2) 由折叠的性质得 ∠C = ∠DEB = 100°, ∠BDE = ∠CDB. 因为 ∠BED = 100°, 所以 ∠AED = 80°, 所以 ∠ADE= 180° - 50° - 80° = 50°. 所以∠BDE = ∠CDB = 180°-50° 2 = 65°. 15. 解:(1) 因为点 M,N 分别是点 P 关于 AO,BO 的对称 点,所以 EM=EP,FP=FN. 因为△PEF 的周长是 10cm, 所以 PE+EF+PF = 10cm,所以 EM+EF+FN = 10cm,即 MN= 10cm; (2)连接 OP. 因为点 M,N 分别是点 P 关于 AO,BO 的 对称点, 所以 ∠AOM = ∠AOP, ∠BON = ∠BOP, 所以 ∠MON= ∠AOM+∠AOP+∠BOP+∠BON = 2( ∠AOP+ ∠BOP)= 2∠AOB= 60°. 线段的垂直平分线、等腰三角形及角的平分线 1. D　 2. C 3. A　 【解析】 ∵ DE 是△ABC 中 AC 边的垂直平分线,∴ AE =CE. ∵ AB= 8cm,BC = 6cm,∴ △EBC 的周长 =BC+CE+ BE=BC+AB= 6+8 = 14(cm) . 故选 A. 4. B　 5. A 6. C　 【解析】∵ AD = AC,点 E 是 CD 的中点,∠CAE = 16°, ∴ AE⊥CD,∴ ∠AEC = 90°,∴ ∠C = 90°-∠CAE = 74°. ∵ AD= AC,∴ ∠ADC = ∠C = 74°. ∵ AD = BD, ∴ 2 ∠B = ∠ADC= 74°,∴ ∠B= 37°. 故选 C. 7. B　 8. C 9. C　 【解析】∵ △ABC 的两个内角的平分线 BO,CO 相交 于点 O,∴ ∠ABO = ∠CBO,∠ACO = ∠BCO,∵ MN∥BC, ∴ ∠MOB = ∠CBO,∠NOC = ∠BCO,∠MOB = ∠MBO, ∠NCO= ∠NOC,∴ MO = MB,NO = NC,∴ MN = MB+NC, ∵ △AMN 的周长为 15,∴ AB + AC = 15,∵ BC = 8, ∴ △ABC 的周长为 15+8 = 23. 故选 C. 10. C　 【解析】∵ △A1B1A2 为等边三角形,∴ ∠B1A1A2 = 60°,A1B1 =A1A2,∴ ∠A1B1O = ∠B1A1A2 -∠MON = 60°- 30° = 30°,∴ ∠A1B1O = ∠MON,∴ A1B1 = OA1,∴ A1B1 = A1A2 =OA1,同理可得 A2B2 =A2A3 =OA2 = 2OA1,∴ A3B3 = A3A4 =OA3 = 2OA2 = 2 2 ·OA1,A4B4 = A4A5 = OA4 = 2OA3 = 23·OA1,∴ AnBn = AnAn+1 = 2 n-1 ·OA1 = 2 n,∴ △A6B6A7 的边长:A6B6 = 2 6 = 64. 故选 C. 11. 7 12. 25°　 【解析】∵ AB = AC,AD = AE,∴ ∠B = ∠C,∠ADE = ∠AED. ∵ ∠ADC = ∠B + ∠BAD, ∴ ∠ADE = ∠ADC - ∠EDC= ∠B+∠BAD-∠EDC. ∵ ∠AED = ∠EDC+∠C, ∴ ∠B + ∠BAD - ∠EDC = ∠EDC + ∠C, ∴ ∠EDC = 1 2 ∠BAD= 1 2 ×50° = 25°. 13. 7 14. 55°　 【解析】根据折叠的性质得:∠B′OG = ∠BOG,∵ 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBK·数学　 第 21 页 ∠AOB′ = 70°, ∴ ∠BOB′ = 180° - ∠AOB′ = 110°, ∴ ∠B′OG= 1 2 ×110° = 55°. 15. 证明:∵ AD 是△ABC 的中线,∴ BD =CD. 又∵ DF⊥AC, DE⊥ AB, ∴ ∠BED = ∠CFD = 90°, ∴ 在 Rt △BDE 与 Rt△CDF 中, BD=CDBE=CF{ ,∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴ DE=DF,∴ AD 平分∠BAC. 16. 解:(1)∵ AD⊥BC,且 BD = DE,∴ AD 垂直平分 BE. ∵ AD 垂直平分 BE,EF 垂直平分 AC,∴ AB = AE = EC,∴ ∠B= ∠AED,∠C = ∠CAE. ∵ ∠BAE = 40°,∴ ∠AED = 70°,∴ ∠C= 1 2 ∠AED= 35°; (2)∵ △ABC 周长为 13cm,AC = 6cm,BD =DE,AB =EC, ∴ AB+BE+EC= 7cm,即 2DE+2EC= 7cm,∴ DC =DE+EC = 3. 5cm. 17. 解:(1)∵ 在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,∠A = 30°,∴ ∠B = 60°. ∵ BC = 12cm,∴ AB = 24cm. 若△PBQ 是等边三角 形,则 PB=BQ. 又∵ 点 P 的速度为 2 cm / s,点 Q 的速度 为 1 cm / s,∴ BP= (24-2t)cm,BQ = tcm,即 24-2t = t,解 得 t= 8,故 t 为 8s 时,△PBQ 是等边三角形; (2)当 t 为 6s 或48 5 s 时,△PBQ 是直角三角形. 理由:由 (1)得 BP = ( 24 - 2t) cm,BQ = tcm;若∠PQB = 90°时, ∠QPB= 30°,BP = 2BQ,即 24 - 2t = 2t,解得 t = 6;若 ∠QPB= 90°时, ∠PQB = 30°,BP = 1 2 BQ,即 24 - 2t = 1 2 t,解得 t = 48 5 . 综上所述,当 t 为 6s 或48 5 s 时,△PBQ 是直角三角形. 期末测试前题组训练 选填题 1. B　 2. D　 3. C 4. D　 【解析】当 4cm 是底边长时,腰长为 8,4,8,8 能组成 三角形,则底边长为 4cm;当 4cm 是腰长时,另外两边分 别为 4cm,12cm,4+4<12,不能够组成三角形. 则三角形 的底边长为 4cm. 故选 D. 5. A　 6. A　 7. A　 8. D 9. A　 【解析】∵ AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC = 66°,∴ ∠BAD= ∠CAD= 1 2 ∠BAC= 33°,∵ CE 是△ABC 的高,∴ ∠BEC= 90°,∵ ∠BCE = 40°,∴ ∠B = 50°,∴ ∠ADC = ∠BAD+∠B= 33°+50° = 83°. 故选 A. 10. C　 【解析】∵ EF 是 BC 的垂直平分线,∴ BE = CE,∴ ∠EBC= ∠ECB. ∵ BD 是∠ABC 的平分线,∴ ∠ABD = ∠CBD,∴ ∠ABD = ∠DBC = ∠ECB. ∵ ∠BAC = 60°, ∠ACE= 24°,∴ ∠ECB = ∠ABD = ∠DBC = 1 3 (180°-60° -24°)= 32°. 故选 C. 11. C　 【解析】设甲仓库的快件数量 y(件)与时间 x(分) 之间的函数关系式为:y1 = k1x+ 40,根据题意得:60k1 + 40 = 400,解得 k1 = 6,∴ y1 = 6x+ 40;设乙仓库的快件数 量 y(件)与时间 x(分)之间的函数关系式为:y2 = k2x+ 240,根据题意得:60k2 +240 = 0,解得 k2 = -4,∴ y2 = -4x +240,联立, y1 = 6x+40 y2 = -4x+240{ 解得, x= 20 y= 160{ ,∴ 此刻的时间 为 8:20. 故选 C. 12. B　 【解析】∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠DAC = ∠DAE. ∵ ∠C = 90°,DE⊥ AB,∴ ∠C = ∠DEA = 90°. ∵ AD = AD,∴ △DAC≌△DAE(AAS),∴ ∠CDA= ∠EDA,∴ ①AD 平分 ∠CDE 正确;无法证明③DE 平分∠ADB;∵ BE+AE = AB,AE=AC,AC = 4BE,∴ AB = 5BE,AE = 4BE,∴ S△ADB = 5S△BDE,S△ADC = 4S△BDE,∴ S△ABC = 9S△BDE . ∴ ④错误;∵ ∠BDE = 90° - ∠B, ∠BAC = 90° - ∠B, ∴ ∠BDE = ∠BAC,∴ ②∠BAC= ∠BDE 正确. 故选 B. 13. 如果 a2 >b2 ,那么 a>b 14. (0,-2)　 15. 9 2 　 16. 10　 17. 50° 18. (1)(1,-4)　 (2)k≤-3 或 k≥ 5 3 　 【解析】(1)y= kx-4 -k=(x-1)k-4,当 x = 1 时,y = -4,∴ 无论 k 取何值,该 函数的图象总经过定点(1,-4);(2)把 A(-1,2)代入 y = kx-4-k 得-k-4-k= 2,解得 k= -3;把 B(4,1)代入 y = kx-4-k 得 4k-4-k= 1,解得 k = 5 3 ,所以当一次函数 y = kx-4-k 的图象与线段 AB 有交点时,k≤-3 或 k≥ 5 3 . 19. (1)60°　 (2) 4　 【解析】 (1)∵ △ABC 是等边三角形, 且 AO ⊥ BC, ∴ ∠EAB = 1 2 ∠BAC = 30°, 由 题 意 知, △AFB ≌ △AEB ( SAS), ∴ ∠FAB = ∠EAB = 30°, ∴ ∠FAE= 60°;( 2) 延长 AF 至点 P,使 AP = AO,由题意 知,点 F 在线段 AP 上运动,当 OF⊥AP 时,OF 最短,此 时∠AOF= 30°. 又∵ OA= 8,∴ AF= 1 2 OA= 4. 期末测试前题组训练 简单解答题 1. 解:(1)设 y+1 = k(x-2),把 x= 1,y= 0 代入得 k×(1-2)= 1,解得 k= -1,∴ y+1 = -(x-2),∴ y 与 x 之间的关系式 为 y= -x+1; (2)当 x= 0 时,y= 1. 当 y= 0 时,x= 1. ∴ 函数 y = -x+1 与 x 轴的交点坐标为(1,0),与 y 轴的交点坐标为(0,1),∴ 函数 y= -x+1 的图象与坐标轴围成的三角形的面积= 1 2 ×1×1 = 1 2 . 2. 解:能. 在岸上任选一点 C,连接 AC,并延长 AC 至 A′,使 A′C = AC;连接 BC,并延长 BC 至 B′,使 B′C = BC,连接 A′B′. 量出 A′B′的长度,就是 A、B 两点之间的距离. 理由 如下: ∵ 在 △ABC 与 △A′ B′ C 中, AC=A′C ∠ACB=A′CB′ BC=B′C { , ∴ △ABC≌△A′B′C(SAS),∴ A′B′=AB. 3. 解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求; (2)如图所示,△A2B2C2 即为所求. (3)(m-4,-n+2) 4. 解:将①②③作为题设,④作为结论可写出一个真命题: 已知:如图,在△AED 和△CBA 中,AE =BC,AD∥BC,∠D = ∠BAC; 求证:DE=AB. 证明:∵ AD∥BC,∴ ∠DAB+∠B = 180°,即∠DAE+∠BAC +∠B = 180°. 又 ∵ ∠DAE + ∠D + ∠AED = 180°, ∠D = ∠BAC, ∴ ∠AED = ∠B, 在 △DEA 和 △ABC 中, ∠D= ∠BAC AE=BC ∠AED= ∠B { ,∴ △ABC≌△DEA(ASA),∴ DE=AB. 5. 解:(1)①如图,直线 FD 即为所求. ②射线 AE 即为所求. 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBK·数学　 第 22 页 (2)∵ DF 垂直平分线段 AB,∴ DB=DA,∴ ∠DAB= ∠B = 30°. ∵ ∠C = 40°,∴ ∠BAC = 180° - 30° - 40° = 110°, ∴ ∠CAD= 110°- 30° = 80°. ∵ AE 平分∠DAC,∴ ∠DAE = 1 2 ∠DAC= 40°. 6. 解:(1)∵ 点 P 在 x 轴上,∴ 2+a= 0,∴ a= -2,∴ -3a-4 = 2,∴ P(2,0); (2)∵ Q(5,8),且 PQ∥y 轴,∴ -3a-4 = 5,a= -3,∴ 2+a= -1,P(5,-1). 7. (1) 证明:∵ AB = AC, ∴ ∠B = ∠C,在△BDE 和△CEF 中, BD=CE ∠B= ∠C BE=CF{ ,∴ △BDE≌△CEF(SAS),∴ DE = EF,∴ △DEF 是等腰三角形; (2)解:∵ △BDE≌△CEF,∴ ∠BDE = ∠CEF,∴ ∠BED+ ∠CEF = ∠BED + ∠BDE. ∵ ∠B + ( ∠BED + ∠BDE) = 180°,∠DEF+(∠BED+∠BDE) = 180°,∴ ∠B = ∠DEF. ∵ ∠A = 50°,AB = AC,∴ ∠B = 1 2 ( 180° - 50°) = 65°,∴ ∠DEF= 65°. 期末测试前题组训练 中档解答题 1. 解:(1)80 (2)根据题意可知,DE 为客轮行驶的函数图象. 设 y2 = k2x + b2 , 将 坐 标 D ( 0, 80 ) 和 E ( 40, 0 ) 代 入, 得 80 = b1 0 = 40k1 +b1{ ,解得 k1 = -2 b1 = 80{ . ∴ y2 与 x 之间的函数表达式 为 y2 = -2x+80(0≤x≤40) . (3)32 (4)若两船相距 35km:①当 0≤x≤40 时, | y1 -y2 | = 35, 即 | 5 2 x-80 | = 35,解得 x= 18 或 46(不符合题意,舍去); ②当 40<x≤160 时, | y1 -y2 | = 1 2 x= 35,解得 x= 70. 综上, 两船出发 18min 或 70min 时相距 35km. 2. 解:(1)由题意可知,装运丙种物资的车辆数为(30-x- y)辆,∴ 8x+6y+4(30-x-y)= 150,经整理,得 y = 15-2x, ∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y= 15-2x. (2)由(1)得,装运丙种物资的车辆数为(x+15)辆,根据 题意,得 x≥3 15-2x≥3 x+15≥3{ ,解得 3≤x≤6,∵ x 为整数,∴ x = 3、 4、5 或 6. 当 x= 3 时,y= 15-2×3 = 9,30-3-9 = 18(辆);当 x= 4 时,y= 15-2×4 = 7,30-4-7 = 19(辆);当 x = 5 时,y = 15-2×5 = 5,30-5-5 = 20(辆);当 x = 6 时,y = 15-2×6 = 3,30-6-3 = 21(辆),∴ 车辆的安排方案有 4 种:①装运 甲种物资的车辆数为 3 辆,装运乙种物资的车辆数为 9 辆,装运丙种物资的车辆数为 18 辆;②装运甲种物资的 车辆数为 4 辆,装运乙种物资的车辆数为 7 辆,装运丙种 物资的车辆数为 19 辆;③装运甲种物资的车辆数为 5 辆,装运乙种物资的车辆数为 5 辆,装运丙种物资的车 辆数为 20 辆;④装运甲种物资的车辆数为 6 辆,装运乙 种物资的车辆数为 3 辆, 装运丙种物资的车辆数为 21 辆. 3. (1)证明:∵ AC = EC,BC = DC,∠ACB = ∠ECD,∴ △ACB ≌△ECD,∴ ∠A= ∠E,∴ AB∥DE; (2)解:当 0≤ t≤5 时,AP = 2t;当 5≤ t≤10 时,AP = 20 -2t; (3)解:当线段 PQ 经过点 C 时,则∠ACP = ∠ECQ. 又∵ AC=EC,∠A = ∠E,∴ △ACP≌△ECQ,∴ AP = EQ. ∵ DE =AB= 10cm,QD = tcm,∴ EQ = (10- t) cm,∴ 2t = 10- t 或 20-2t= 10-t,∴ t= 10 3 或 t= 10. 4. (1)证明:连接 BD,过点 D 作 DM⊥AB 于点 M,DN⊥BC 于点 N,则∠DMB= ∠DNB = ∠DNF = 90°. ∵ △ABC 是等 边三角形,D 为 AC 的中点, ∴ ∠ABC = 60°, BD 平分 ∠ABC,∴ DM = DN, ∠MDN = ∠MDB + ∠NDB = 360° - ∠DMB-∠DNB- ∠DBM-DBN = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°,∴ ∠MDN = ∠EDF,即∠MDE + ∠EDN = ∠NDF + ∠EDN, ∴ ∠MDE = ∠NDF, 在 △DME 和 △DNF 中, ∠DME= ∠DNF DM=DN ∠MDE= ∠NDF{ ,∴ △DME≌△DNF(ASA),∴ DE=DF; (2)证明:取 AB 的中点 K,连接 DK,则 AK= 1 2 AB. ∵ D 为 AC 的中点,∴ AD=CD = 1 2 AC,∴ AK = AD,∵ △ABC 是等 边三角形,∠A= ∠B= ∠C= 60°,∴ △AKD 是等边三角形 ∴ DK=AK= 1 2 AB. 设 AE=a,则 BE= 3a,∴ AB=AE+BE=a +3a = 4a,∴ AK =BK = 2a. AB = AC =BC = 4a,∴ DK = AD = AK=CD= 2a,∴ AE = EK = a,∴ DE⊥AK,∴ ∠BED = 90°. 连接 BD, ∵ ∠BED + ∠EDB + ∠EBD + ∠DBF + ∠FDB + ∠DFB = 360°, ∴ ∠BFD = 90°, ∴ ∠CFD = 90°. 在 Rt△CFD 中,∠C = 60°,∴ ∠CDF = 90°- 60° = 30°,∴ CF = 1 2 CD= 1 2 ×2a=a,∴ CF= 1 4 BC. (3)解:如图(3),取 AB 的中点 K,连接 DK,则 AK =BK = 1 2 AB,∵ D 为 AC 的中点,∴ AD =CD = 1 2 AC,∵ AB = AC, ∠A= 60°,∴ △ADK 是等边三角形,∴ DK=AK,设 BE = a, 则 AE= 3a,∴ AB=AE+BE= 3a+a= 4a,∴ AK =BK = 1 2 ×4a = 2a,∴ BE=EK= a,∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ACB = 60°,AB = AC =BC = 4a,∴ ∠DCF = 180°-60° = 120°,AK = AD=DK=CD,∴ △ADK 是等边三角形,∴ ∠ADK = ∠AKD = 60°,∴ ∠DKE = ∠KDC = 180°- 60° = 120°,∴ ∠DKE = ∠DCF,∠EDF = ∠KDC, 即 ∠CDE + ∠CDF = ∠CDE + ∠KDE, ∴ ∠KDE = ∠CDF, 在 △EDK 和 △FDC 中, ∠KDE= ∠CDF DK=CD ∠DKE= ∠DCF{ ,∴ △EDK≌△FDC(ASA),∴ EK =CF = a,∴ CF BC = a 4a = 1 4 ; (4) n -1 2n+2 　 【解析】如图(4),连接 BD,过点 D 作 DM⊥ AB 于点 M,DN⊥BC 于点 N,∴ ∠DMA = ∠DNC = 90°,同 (1)得:DM =DN,△DME≌△DNF(ASA),∴ EM = NF,∵ D 为 AC 的中点, ∴ AD = CD = 1 2 AC,在 Rt △DMA 和 Rt△DNC 中, AD=CDDM=DN{ ,∴ Rt△DMA≌Rt△DNC(HL),∴ AM=CN,设 AE=a,则 BE=na,∴ AB = AE+BE = a+na = (n +1)a,∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠A= 60°,AB =BC =AC =(n+ 1) a,∴ ∠ADM = 30°,∴ AM = CN = 1 2 AD = 1 4 AC = n+1 4 a,∴ EM=FN=AE-AM = a-n +1 4 a = 3 -n 4 a,∴ CF =CN- FN=n +1 4 a-3 -n 4 a=n -1 2 a,∴ CF BC = n-1 2 a (n+1)a = n-1 2n+2 . 图(3) 　 　 图(4) 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBK·数学　 第 23 页