追梦专项总结突破卷(二)三角形-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（沪科版）

粽子每箱 35 元,购进乙品牌粽子每箱 40 元; (2)w= (40-35)a+(50-40)(200-a)= 2 000-5a. 12. 解:(1)设大货车有 x 辆,小货车有 y 辆,根据题意得: x+y= 15 12x+8y= 152{ ,解得 x= 8 y= 7{ . ∴ 大货车有 8 辆,小货车有 7 辆. (2)y= 800x+900(8-x)+400(10-x)+600[7-(10-x)] = 100x+9 400(3≤x≤8,且 x 为整数) . (3)∵ y = 100x+ 9 400,k = 100> 0,∴ y 随 x 的增大而增 大,∴ 当 x = 3 时,y 最小,最小值为 y = 100× 3+ 9 400 = 9 700(元) . 故使总运费最少的调配方案是:3 辆大货 车、7 辆小货车前往 A 村;5 辆大货车前往 B 村. 最少运 费为 9 700 元. 追梦专项总结突破卷(二) 三角形 1. C 2. 解:(1)∵ S△ABC = 1 2 BC·AD = 1 2 AC·BE,AC = 6,BC = 9, ∴ 1 2 ×9·AD= 1 2 ×6·BE,∴ 3AD= 2BE,∴ AD BE = 2 3 ; (2)由(1)得AD BE = 2 3 ,∵ BE= 8,∴ AD= 16 3 . 3. 解:∵ DB 为△ABC 的中线,∴ AD =CD. 设 AD =CD = x,则 AB = 2x. 当 x+2x= 12,解得 x= 4,BC+x= 15,解得 BC= 11, 此时△ABC 的三边长为:AB = AC = 8,BC = 11;当 x+ 2x = 15,BC+x= 12,解得 x = 5,BC = 7,此时△ABC 的三边长 为:AB=AC= 10,BC = 7. 故△ABC 的三边长为 8、8、11 或 10、10、7. 4. 解:(1)∵ ∠BAC= 90°,AM 是边 BC 上的高,∴ 1 2 AB·AC = 1 2 BC·AM, ∴ AM = 5 ×12 13 = 60 13 ( cm),即 AM 的长度 为 60 13 cm; (2)由题意,得 S△ ABC = 1 2 AB·AC = 30(cm2 ). 又∵ AN 是 △ABC 的中线, S△ ABN = S△ ANC, ∴ S△ ABN = 1 2 S△ ABC = 15 (cm2 ),∴ △ABN 的面积是 15cm2 ; (3)∵ AN 为 BC 边上的中线,∴ BN =NC,∴ AC+AN+CN- (AB+BN+AN) = AC-AB = 12 - 5 = 7 ( cm),即△ACN 和 △ABN 的周长的差是 7cm. 5. 35　 6. ①②③ 7. 45°　 【解析】∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠ABE = 1 2 ∠ABC. ∵ AF 平分∠BAD,∴ ∠FAB = 1 2 ∠DAB. ∵ ∠BAD = ∠C + ∠ABC= 90°+∠ABC,∴ ∠FAB = 1 2 (90°+∠ABC)= 45°+ 1 2 ∠ABC. 又 ∵ ∠FAB = ∠E + ∠ABE,∴ ∠E = ∠FAB - ∠ABE= 45°+ 1 2 ∠ABC- 1 2 ∠ABC= 45°. 8. 解: ( 1) ∵ ∠ECD = ∠B + ∠E, ∠B = 35°, ∠E = 25°, ∴ ∠ECD= 60°,∵ EC 平分∠ACD,∴ ∠ACE = ∠ECD = 60°, ∴ ∠BAC= ∠ACE+∠E= 85°; (2) ∠BAC = ∠B+ 2∠E. 理由:∵ ∠BAC = ∠ACE+ ∠E, ∠ECD= ∠ACE = ∠B+∠E,∴ ∠BAC = ∠B+∠E+∠E = ∠B+2∠E. 9. 解:(1)∠ACB= 45°; (2)∠ACB 的度数不改变. 理由:∵ AD 平分∠BAN,BC 平 分∠ABM,∴ ∠NAD= ∠BAD = 1 2 ∠BAN,∠ABC = ∠MBC = 1 2 ∠ABM. ∵ ∠BAO + ∠ABO = 180° - α, ∴ ∠CAB + ∠CBA= 1 2 (∠BAN+∠ABM)= 1 2 (180°+α) = 90°+ 1 2 α. ∴ ∠ACB= 180°-(∠CAB+∠CBA)= 90°- 1 2 α. 10. D 11. C　 【解析】①当 48°就是“友好角”时,α = 48°;②当 β = 48°时,则 1 2 α = 48°,∴ α = 96°;③当 48°既不是 α 也不 是 β 时,则 α+β+48° = 180°,∴ α+ 1 2 α+48° = 180°,解得 α= 88°;综上所述:这个“友好三角形”的“友好角 α”的 度数为 48°或 96°或 88°. 故选 C. 12. 解:(1)110 (2)∵ AD、BE 分别平分∠BAC 和∠ABC,∴ ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4,又∵ ∠C = 60°,∴ ∠BAC+∠ABC = 180°-∠C = 180°-60° = 120°,∴ ∠1+∠2+∠3+∠4 = 120°,∴ 2∠1 +2∠3 = 120°,∴ ∠1+∠3 = 60°,由图知△ABF 与△DEF 为对顶三角形,∴ ∠1+∠3 = ∠ADE+∠BED = 60°①,又 ∵ ∠ADE 比∠BED 大 6°,∴ ∠ADE-∠BED= 6°②,联立 ① ② 得 ∠ADE+∠BED= 60°∠ADE-∠BED= 6°{ , 解得 ∠ADE= 33° ∠BED= 27°{ , ∴ ∠BED= 27°. 13. C 　 【解析】如图,设 AC 交 DA′于 F. 由折叠得:∠A = ∠A′,∵ ∠BDA′ = ∠A+ ∠AFD,∠AFD = ∠A′+ ∠CEA′, ∵ ∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA′= γ,∴ ∠BDA′= γ = α+α+ β= 2α+β. 故选 C. 14. C　 【解析】∵ ∠ACB = 90°,∴ ∠A+∠B = 90°. ∵ △CDB′ 是由△CDB 翻折得到的,∴ ∠CB′D = ∠B. ∵ ∠CB′D = ∠A+∠ADB′= ∠A+20°,∴ ∠B = ∠A+20°,∴ ∠A+∠A+ 20° = 90°,解得∠A= 35°. 故选 C. 15. 解:(1)∠ABD= ∠CBD　 BC⊥AE (2) ∠DBF = ∠BDF, 理由如下: 由 ( 1) 得: ∠CBD = ∠FBD,AE ⊥ BC, AE ⊥ DF, ∴ DF∥BC, ∴ ∠CBD = ∠FDB,∴ ∠DBF= ∠BDF; (3)∠BDC= 103°. 16. 解:(1)29° (2) ∵ ∠BEC′ = 42°, ∠ADC′ = 20°, ∴ ∠CEC′ = 180° - ∠BEC′= 138°,∠CDC′= 180°-∠ADC′= 160°,由折叠得 ∠CDE= ∠C′DE = 1 2 ∠CDC′ = 80°,∠DEC = ∠DEC′ = 1 2 ∠CEC′= 69°,∴ ∠C= 180°-∠EDC-∠DEC= 31°; (3)∵ ∠BEC′= x,∠ADC′ = y,∴ ∠CEC′ = 180°-x,由折 叠得∠CDE = ∠C′DE = 1 2 (180°+∠ADC′) = 90°+ 1 2 y, ∠DEC= ∠DEC′= 1 2 ∠CEC′ = 90°- 1 2 x,∴ ∠C = 180°- ∠EDC-∠DEC= 180°-(90°+ 1 2 y) -(90°- 1 2 x) = 1 2 x- 1 2 y. 追梦专项总结突破卷(三) 全等三角形的常考类型 1. 证明:∵ ∠C= ∠D = 90°,∴ △ABC 与△ABD 为直角三角 形, 在 Rt △BAD 和 Rt△ABC 中, BA=ABAD=BC{ , ∴ Rt△BAD≌Rt△ABC(HL),∴ ∠BAD= ∠ABC,∴ EA=EB. 2. 解:(1)因为 AB = AC,BE =CD,所以 AB-BE = AC-CD,即 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBK·数学　 第 12 页 追梦专项总结突破卷(二) 三角形 题型一　 三角形中等面积法的应用 1. 如图,已知在 Rt△ABC 中,∠ABC= 90°,点 D 沿 BC 自 B 向 C 运 动(点 D 与点 B、C 不重合),作 BE⊥AD 于点 E,CF⊥AD 于点 F,则 BE+CF 的值(　 　 ) A. 不变 B. 增大 C. 减小 D. 先变大再变小 2. 如图,在△ABC 中,AD、BE 分别是 BC、AC 上的高,BC = 9,AC = 6. (1)求 AD ∶BE 的值; (2)若 BE= 8,求 AD 的长. 题型二　 三角形中线段的相关应用 3. 在△ABC 中,AB=AC,DB 为△ABC 的中线,且 BD 将△ABC 周长 分为 12 与 15 两部分,求三角形各边长. 4. 如图,已知 AM,AN 分别是△ABC 的高和中线,AB = 5 cm,AC = 12 cm,BC= 13 cm,∠BAC= 90°. 试求: (1)AM 的长; (2)△ABN 的面积; (3)△ACN 和△ABN 的周长差. 题型三　 三角形角平分线的应用 5. 如图,BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线,CP 是△ACB 的外角的平 分线,如果∠ABP= 15°,∠ACP= 50°,则∠P= 　 　 　 　 °. 第 5 题图 　 　 第 6 题图 　 　 第 7 题图 6. 如图,∠ABC = ∠ACB,AD、BD、CD 分别是∠EAC、∠ABC、∠ACF 的平 分 线. 以 下 结 论: ① AD ∥BC; ② ∠BDC = 1 2 ∠BAC; ③∠ADC= 90°-∠ABD;④ BD 平分 ∠ADC. 其中正确的结论 有　 　 　 　 　 　 . 7. 如图,在△ABC 中,∠C = 90°,BE 平分∠ABC,AF 平分∠BAD, BE 与 FA 交于点 E,则∠E 的度数为 　 　 　 　 . 8. 如图,CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线,且 CE 交 BA 的延长 线于点 E. (1)若∠B= 35°,∠E= 25°,求∠BAC 的度数; (2)请你写出∠BAC、∠B、∠E 三个角之间存在的等量关系,并 说明理由. 9. 已知∠MON,点 A、B 分别在射线 ON,OM 上移动(不与点 O 重 合),AD 平分∠BAN,BC 平分∠ABM,射线 AD,BC 相交于点 C. (1)如图 1,若∠MON = 90°,试猜想∠ACB 的度数,并直接写出 结果; (2)如图 2,若∠MON = α,问:当点 A,B 在射线 ON,OM 上运动 的过程中,∠ACB 的度数是否改变? 若不改变,求出其值(用含 α 的式子表示);若改变,请说明理由. 图 1 　 　 图 2 ·32· 题型四　 三角形的内角和问题 10. 如图,在△ABC 中,D 为 BC 延长线上一点,作 DH⊥AB 于点 H,交 AC 于点 E,则下列说法正确的是(　 　 ) A. ∠A+∠ACB= 90° B. ∠B+∠D>90° C. ∠A= ∠D D. ∠ACB-∠AEH= ∠D 11. 数学思想·分类思想 当三角形中一个内角 β 是另外一个内角 α 的 1 2 时,我们称此三角形为“友好三角形” . 如果“一个友好三 角形”中有一个内角为 48°,那么这个“友好三角形”的“友好角 α”的度数为(　 　 ) A. 96°或 24°　 　 　 　 　 　 　 　 B. 96°或 48° C. 48°或 88°或 96° D. 48°或 96°或 108° 12. 新趋势·新定义 我们将内角互为对顶角的两个三角形称为 “对顶三角形” . 例如, 在图 1 中, △AOB 的内角 ∠AOB 与 △COD 的内角∠COD 互为对顶角,则△AOB 与△COD 为“对 顶三角形”,根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性 质:∠A+∠B= ∠C+∠D. (1)如图 1,在“对顶三角形”△AOB 与△COD 中,∠AOB= 70°, 则∠C+∠D= 　 　 　 　 °; (2)如图 2,在△ABC 中,AD、BE 分别平分∠BAC 和∠ABC,若 ∠C= 60°,∠ADE 比∠BED 大 6°,求∠BED 的度数. 题型五　 三角形折叠中的角度问题 13. 如图,将一张三角形纸片 ABC 的三角折叠,使点 A 落在△ABC 的 A′处折痕为 DE,若∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA′=γ,那么下列 式子中正确的是(　 　 ) A. γ= 180°-α-β B. γ=α+2β C. γ= 2α+β D. γ=α+β 第 13 题图 　 　 第 14 题图 14. 如图所示,在△ABC 中,∠ACB = 90°,点 D 在 AB 上,将△BDC 沿 CD 折叠,点 B 落在 AC 边上的点 B′处,若∠ADB′ = 20°,则 ∠A 的度数为(　 　 ) A. 20°　 　 　 B. 25°　 　 　 C. 35°　 　 　 D. 40° 15.综合与实践 综合与实践课上,老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开 展数学活动. (1)操作判断 操作一:折叠三角形纸片,使 BC 与 BA 边在一条直线上,得到 折痕 BD; 操作二:折叠三角形纸片,得到折痕 AE,使 B,C,E 三点在一条 直线上. 完成以上操作后把纸片展平,如图 1,判断∠ABD 和∠CBD 的 大小关系是　 　 　 　 ,直线 BC,AE 的位置关系是　 　 　 　 ; (2)深入探究 操作三:折叠三角形纸片,使点 A 落在折痕 AE 上,得到折痕 DF,把纸片展平. 根据以上操作,如图 2,判断∠DBF 和∠BDF 是否相等,并说明理由; (3)结论应用 如图 1,已知∠ABC = 58°,∠ACB = 48°,请直接写出∠BDC 的 度数. 16. 在三角形纸片中,点 D,E 分别在边 AC,BC 上,将∠C 沿 DE 折 叠,点 C 落在点 C′的位置. (1)如图 1,当点C落在边BC上时,若∠ADC′=58°,∠C=　 　 　 　 ; (2)如图 2,当点 C 落在△ABC 内部时,且∠BEC′= 42°,∠ADC′ = 20°,求∠C 的度数; (3)如图 3,当点 C 落在△ABC 外部时,若设∠BEC′的度数为 x,∠ADC′的度数为 y,请求出∠C 与 x、y 之间的数量关系. 图 1 　 图 2 　 图 3 ·42·