追梦专项总结突破卷(一)平面直角坐标系-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（沪科版）

追梦专项总结突破卷(一) 平面直角坐标系 题型一　 平面直角坐标系中图形面积的计算 1. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的面积是(　 　 ) A. 2　 　 　 　 　 B. 4　 　 　 　 　 C. 6　 　 　 　 　 D. 8 第 1 题图 　 　 　 第 3 题图 2. 已知 A,B 两点的坐标分别为(3,4),(2,0),点 P 是 x 轴上的一 点,且三角形 ABP 的面积为 6. 则点 P 的坐标为　 　 　 　 　 　 . 3. 如图,在平面直角坐标系中,点 A( -1,0),B(2,0),C(0,2),点 D 在坐标轴上. 若三角形 BCD 的面积与三角形 ABC 的面积相等 且点 D 不与点 A 重合,则点 D 的坐标为　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 4. 某兴趣小组遇到这样一个问题:在△ABC 中,AB = 13 ,BC = 5, AC= 26 ,求△ABC 的面积. 为了解决问题,他们在网格纸上建 立了平面直角坐标系,并根据边长作出了△ABC,进而得到 △ABC 的三个顶点的坐标为 A(0,5),B( -3,3),C(1,0) . 这样 就可以轻松地求出△ABC 的面积. (1)请写出△ABC 的面积为　 　 　 　 ; (2)画出△ABC 关于 y 轴对称的△AB′C′,并写出点 B′,C′的 坐标. 5. 如图,在平面直角坐标系中,已知 A(3,0),B(4,3),将线段 OA 平移至 CB,连接 OC,AB,BC. (1)求出点 C 的坐标; (2)点 D 在 x 轴上从点 O 沿正方向运动,点 D 在运动过程中是 否存在△ODC 的面积是△ABD 的面积的 3 倍? 如果存在,请求 出点 D 的坐标;如果不存在,请说明理由. 　 　 备用图 题型二　 平面直角坐标系中点的变化规律 6. 如图,动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动, 第 1 次从原点运动到点( -1,1),第 2 次接着运动到点( -2,0), 第 3 次接着运动到点( - 3,2),…,按这样的运动规律,经过第 2 024 次运动后,动点 P 的坐标是(　 　 ) A. (2 024,0) B. ( -2 024,0) C. ( -2 024,2) D. (2 024,2) 7. 如图,一只跳蚤在第一象限及 x 轴、y 轴上跳动,在第 1 秒钟,它 从原点跳动到(0,1),然后接着按图中箭头所示方向跳动[即 (0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0) →…],且每秒跳动一个单位长 度,那么第 35 秒时跳蚤所在位置的坐标是(　 　 ) A. (4,0) B. (5,0) C. (0,5) D. (5,5) 第 7 题图 　 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(1,1),B( -1,1),C( -1, -2),D(1,-2),一智能机器人从点 A 出发,以每秒 1 个单位长 度的速度,沿 AB→BC→CD→DA 方向匀速循环前行. 当机器人 前行了 2 024 秒时,其所在位置的点的坐标为(　 　 ) A. (1,1) B. ( -1,-1) C. ( -1,0) D. (1,-1) 与一次函数的相关问题 题型一　 与一次函数的相关问题 1. 一次函数 y= kx+5 的图象如图所示,则使式子(k-1) 0 有意义的 k 的值可能为(　 　 ) A. -3 B. 1 C. -2 D. 2 2. 将直线 y = 4 3 x- 4 向上平移 5 个单位长度,所得直线的表达式 为(　 　 ) A. y= 4 3 x-1 B. y= 4 3 x+1 C. y= - 4 3 x+1 D. y= - 4 3 x-1 3. 如果函数 y= (2-k)x+5 是关于 x 的一次函数,且 y 随 x 的值增 大而减小,那么 k 的值不可能为(　 　 ) A. 1 B. 2. 5 C. 3 D. 4 4. 已知 A( -1,a),B(2,b)两点都在关于 x 的一次函数 y= -x+m 的 图象上,则 a,b 的大小关系为(　 　 ) A. a≥b B. a>b C. a<b D. 无法确定 5. 一次函数 y= -mx+1-m 的图象经过第一、二、四象限,则 m 的值 可以是(　 　 ) A. 1 B. 1 2 C. - 1 2 D. -1 6. 两条直线 y1 =ax+b 与 y2 = bx+a(a≠0,b≠0)在同一平面直角坐 标系中的图象可能是(　 　 ) A. B. C. D. ·12· 7. 已知一次函数 y= kx+4(k≠0)的图象经过点 A,且 y 随 x 的增大 而增大,则点 A 的坐标可以是(　 　 ) A. (1,2) B. (2,4) C. (3,5) D. (4,0) 8. 问题:探究函数 y= - | x | +4 的图象与性质. 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验,对函数 y = - | x | +4 的 图象与性质进行了探究: (1)在函数 y = - | x | +4 中,自变量 x 可以是任意实数,如表是 y 与 x 的几组对应值. x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a … ①表格中 a 的值为　 　 　 　 ; ②若(b,-8)为该函数图象上的点,则 b= 　 　 　 　 ; (2) 在平面直角坐标系中,描出表中的各点,画出该函数的 图象; (3)结合图象回答下列问题: ①函数的最大值为　 　 　 　 ; ②写出该函数的一条性质. 题型二　 与几何图形有关的问题 9. 如图,在直角坐标系中,点 A(2,2),B(4,4)是第一象限角平分 线上的两点,在 x 轴上取一点 C,连接 AB,BC,AC 使得三角形 ABC 的周长最小,则此时点 C 的坐标为　 　 　 　 . 10. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y= -x+6 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 B、C 两点,与正比例函数 y = 1 2 x 的图象交于 点 A. (1)求 A、B、C 三点的坐标; (2)求△OAC 的面积; (3)若动点 M 在射线 AC 上运动,当△OMC 的面积是△OAC 的 面积的 1 2 时,求出此时点 M 的坐标. 题型三　 与实际应用有关的问题 11. 某超市基于对市场行情的调查,了解到端午节甲乙两种品牌的 粽子销路比较好. 买 40 箱甲品牌粽子和 15 箱乙品牌粽子花去 2 000 元, 买 20 箱甲品牌粽子和 30 箱乙品牌粽子花去 1 900 元. (1)请求出购进这两种品牌粽子每箱的价格分别是多少元? (2)该超市在端午节前夕共购进了这两种品牌粽子 200 箱,甲 品牌粽子每箱以 40 元价格出售,乙品牌粽子每箱以 50 元的价 格出售,获得的利润为 w 元. 设购进的甲品牌粽子箱数为 a 箱, 求 w 关于 a 的函数关系式. 12. 某市政府现决定运送 152 箱鱼苗到 A、B 两村养殖,若用大小 货车共 15 辆,则恰好能一次性运完这批鱼苗. 已知大小货车的 载货能力分别为 12 箱 /辆和 8 箱 /辆,其运往 A、B 两村的费用 如下表: 　 　 　 目的地 车型　 　 　 A 村(元 / 辆) B 村(元 / 辆) 大货车 800 900 小货车 400 600 (1)求这 15 辆车中大小货车各多少辆? (2)现安排其中 10 辆货车前往 A 村,其余货车前往 B 村. 设前 往 A 村的大货车为 x 辆,前往 A、B 两村总费用为 y 元,试求出 y 与 x 的函数关系式,并直接写出自变量 x 的取值范围; (3)在(2)的条件下,请你写出使总费用最少的货车调配方案, 并求出最少费用. ·22· ∴ AP=AB+BP= 30+15 = 45(海里),∴ 航行的时间为 45 ÷15 = 3(时),8 时+3 时 = 11 时. 答:若这条船继续向正 北航行,上午 11 时小船与灯塔 C 的距离最短. 20. 解:(1) ∵ l1 垂直平分 AB,∴ DB = DA,同理 EA = EC,∴ BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA= 10; (2)点 O 在边 BC 的垂直平分线上,理由:连接 AO,BO, CO,∵ l1 与 l2 是 AB,AC 的垂直平分线,∴ AO=BO,CO= AO,∴ OB=OC,∴ 点 O 在边 BC 的垂直平分线上. 21. 解:(1)∵ △ABC 和△ADE 关于直线 MN 对称,ED = 15, BF= 9,∴ EF=CF,BF=DF= 9,ED=CB= 15,∴ EF=ED- DF=ED-BF= 15-9 = 6; (2) ∵ △ABC 和△ADE 关于直线 MN 对称, ∠ABC = 35°,∠AED= 65°,∠BAE= 16°,∴ ∠AED = ∠ACB = 65°, ∴ ∠BAC = 180°-∠ABC-∠ACB = 180°-35°-65° = 80°. ∵ ∠BAE = 16°,∴ ∠EAC = ∠BAC-∠BAE = 80° - 16° = 64°. ∵ 线段 AE 与 AC 关于直线 MN 对称,∴ ∠EAN = ∠CAN= 1 2 ∠EAC = 1 2 × 64° = 32°,∴ ∠BAN = ∠BAE+ ∠EAN= 16°+32° = 48°,∴ ∠BFN = ∠ABC+∠BAN = 35° +48° = 83°; (3)平行,理由:∵ MN⊥EC,MN⊥BD,∴ EC∥BD. 22. 解:(1) 每一张三角形纸片能剪成两个等腰三角形, 如图: 甲 　 　 乙 甲中,将 60°角分成 40°和 20°两个角; 乙中,将 105°角分成 35°和 70°两个角; (2)当三角形是直角三角形时,斜边的中线能将三角形 分成两个等腰三角形; 当三角形中一个角是另一个角的 2 倍时,一定能分成 两个等腰三角形; 当三角形中有一个角是另一个角的 3 倍时,一定能分 成两个等腰三角形. 　 　 23. 解:(1)= (2)= 　 理由如下,过点 E 作 EF∥BC,交 AC 于点 F,∵ △ABC 为等边三角形,∴ △AEF 为等边三角形,∴ AE = EF,BE=CF. ∵ ED=EC,∴ ∠D = ∠ECD. ∵ ∠DEB = 60° - ∠D, ∠ECF = 60° - ∠ECD, ∴ ∠DEB = ∠ECF, 在 △DBE 和 △EFC 中, DE=CE ∠DEB= ∠ECF BE=FC{ , ∴ △DBE ≌ △EFC(SAS),∴ DB=EF,则 AE=DB; (3)点 E 在 AB 延长线上时,作 EF∥BC,交 AC 延长线于 点 F, 则 △AEF 为等边三角形, 同理可得 △DBE ≌ △EFC. ∵ AB = 1,AE = 2,∴ BC = 1. ∵ DB = EF = AE = 2, 则 CD=BC+DB= 3. 追梦专项总结突破卷(一) 平面直角坐标系 1. B　 2. (-1,0)或(5,0) 3. (5,0)或(0,-1)或(0,5) 　 【解析】∵ 点 A(-1,0),B(2, 0),C(0,2),∴ AB= 3,OC=OB= 2,∴ S△ABC = 1 2 ×3×2 = 3. 当点 D 在 x 轴上时,S△BCD = 1 2 BD·OC = 1 2 BD×2 = 3,∴ BD= 3,∵ 点 D 不与点 A 重合,∴ 点 D 的坐标为(5,0); 当点 D 在 y 轴上时,S△BCD = 1 2 CD·OB = 1 2 CD×2 = 3,∴ CD= 3,∴ 点 D 的坐标为(0,- 1)或(0,5) . 综上所述,点 D 的坐标为(5,0)或(0,-1)或(0,5) . 4. 解:(1)8. 5 (2)如图,△AB′C′即为所求. B′(3,3),C′(-1,0). 5. 解:(1)∵ A(3,0),B(4,3),将线段 OA 平移至 CB,∴ OA = 3,BC∥OA,BC=OA,∴ 点 C(1,3); (2) 存在,当点 D 在线段 OA 上时,则 AD = 3 -OD, ∵ △ODC 的面积是△ABD 的面积的 3 倍,∴ 1 2 ×OD×3 = 3× 1 2 (3-OD)×3,∴ OD= 9 4 ,∴ 点 D( 9 4 ,0);当点 D 在线段 OA 的延长线上时,AD=OD-3,∴ 1 2 ×OD×3 = 3× 1 2 (OD- 3)×3,∴ OD= 9 2 ,∴ 点 D( 9 2 ,0) . 综上所述:点 D 坐标为 ( 9 4 ,0)或( 9 2 ,0). 6. B　 7. B 8. B　 【解析】由点 A(1,1),B(- 1,1),C(- 1,- 2),D(1, -2),可知四边形 ABCD 是长方形,AB=CD = 2,CB = AD = 3,∴ 机器人从点 A 出发沿着 A-B-C-D 回到点 A 所走路 程是:2+2+3+3 = 10,∵ 2 024÷10 = 202……4,∴ 第 2 024 秒时,机器人所在点的坐标为(-1,-1) . 故选 B. 与一次函数的相关问题 1. D　 2. B　 3. A　 4. B　 5. B　 6. A　 7. C 8. 解:(1)①0　 ②-12 或 12 (2)函数图象如图所示; (3)①4　 ②函数 y = - | x | + 4 的图象关于 y 轴对称. (答案不唯一) 9. ( 8 3 ,0)　 【解析】作 B 关于 x 轴的对称点 B′,连接 AB′ 交 x 轴于点 C,则此时△ABC 的周长最小. 设直线 AB′的 表达式为 y= kx+b. 将 B′(4,-4),A(2,2)代入得 k = -3,b = 8. ∴ y= -3x+8. 令 y= 0,得 x= 8 3 . 故 C( 8 3 ,0) . 10. 解:(1)在 y= -x+6 中,令 x= 0 得 y= 6,令 y = 0 得 x = 6, ∴ B(6,0),C(0,6) . 由 y= -x+6 y= 1 2 x{ 得 x= 4y= 2{ ,∴ A(4,2); (2)∵ C(0,6),∴ OC= 6,∴ S△ OAC = 1 2 OC·xA = 1 2 ×6×4 = 12; (3)由题意,得 1 2 OC· | xM | = 1 2 S△ OAC = 6,即 1 2 × 6· | xM | = 6,∴ | xM | = 2. ∴ xM = 2 或 xM = -2. 当 xM = 2 时,在 y= -x+6 中令 x= 2,得 y = 4,∴ M(2,4),当 xM = - 2 时, 在 y= -x+ 6 中令 x = - 2,得 y = 8,∴ M(-2,8) . 综上所 述,点 M 的坐标为:(2,4)或(-2,8) . 11. 解:(1)设甲品牌粽子每箱 x 元,乙品牌粽子每箱 y 元, 由题意得 40x+15y= 2 000 20x+30y= 1 900{ ,解得 x= 35 y= 40{ ,故购进甲品牌 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBK·数学　 第 11 页 粽子每箱 35 元,购进乙品牌粽子每箱 40 元; (2)w= (40-35)a+(50-40)(200-a)= 2 000-5a. 12. 解:(1)设大货车有 x 辆,小货车有 y 辆,根据题意得: x+y= 15 12x+8y= 152{ ,解得 x= 8 y= 7{ . ∴ 大货车有 8 辆,小货车有 7 辆. (2)y= 800x+900(8-x)+400(10-x)+600[7-(10-x)] = 100x+9 400(3≤x≤8,且 x 为整数) . (3)∵ y = 100x+ 9 400,k = 100> 0,∴ y 随 x 的增大而增 大,∴ 当 x = 3 时,y 最小,最小值为 y = 100× 3+ 9 400 = 9 700(元) . 故使总运费最少的调配方案是:3 辆大货 车、7 辆小货车前往 A 村;5 辆大货车前往 B 村. 最少运 费为 9 700 元. 追梦专项总结突破卷(二) 三角形 1. C 2. 解:(1)∵ S△ABC = 1 2 BC·AD = 1 2 AC·BE,AC = 6,BC = 9, ∴ 1 2 ×9·AD= 1 2 ×6·BE,∴ 3AD= 2BE,∴ AD BE = 2 3 ; (2)由(1)得AD BE = 2 3 ,∵ BE= 8,∴ AD= 16 3 . 3. 解:∵ DB 为△ABC 的中线,∴ AD =CD. 设 AD =CD = x,则 AB = 2x. 当 x+2x= 12,解得 x= 4,BC+x= 15,解得 BC= 11, 此时△ABC 的三边长为:AB = AC = 8,BC = 11;当 x+ 2x = 15,BC+x= 12,解得 x = 5,BC = 7,此时△ABC 的三边长 为:AB=AC= 10,BC = 7. 故△ABC 的三边长为 8、8、11 或 10、10、7. 4. 解:(1)∵ ∠BAC= 90°,AM 是边 BC 上的高,∴ 1 2 AB·AC = 1 2 BC·AM, ∴ AM = 5 ×12 13 = 60 13 ( cm),即 AM 的长度 为 60 13 cm; (2)由题意,得 S△ ABC = 1 2 AB·AC = 30(cm2 ). 又∵ AN 是 △ABC 的中线, S△ ABN = S△ ANC, ∴ S△ ABN = 1 2 S△ ABC = 15 (cm2 ),∴ △ABN 的面积是 15cm2 ; (3)∵ AN 为 BC 边上的中线,∴ BN =NC,∴ AC+AN+CN- (AB+BN+AN) = AC-AB = 12 - 5 = 7 ( cm),即△ACN 和 △ABN 的周长的差是 7cm. 5. 35　 6. ①②③ 7. 45°　 【解析】∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠ABE = 1 2 ∠ABC. ∵ AF 平分∠BAD,∴ ∠FAB = 1 2 ∠DAB. ∵ ∠BAD = ∠C + ∠ABC= 90°+∠ABC,∴ ∠FAB = 1 2 (90°+∠ABC)= 45°+ 1 2 ∠ABC. 又 ∵ ∠FAB = ∠E + ∠ABE,∴ ∠E = ∠FAB - ∠ABE= 45°+ 1 2 ∠ABC- 1 2 ∠ABC= 45°. 8. 解: ( 1) ∵ ∠ECD = ∠B + ∠E, ∠B = 35°, ∠E = 25°, ∴ ∠ECD= 60°,∵ EC 平分∠ACD,∴ ∠ACE = ∠ECD = 60°, ∴ ∠BAC= ∠ACE+∠E= 85°; (2) ∠BAC = ∠B+ 2∠E. 理由:∵ ∠BAC = ∠ACE+ ∠E, ∠ECD= ∠ACE = ∠B+∠E,∴ ∠BAC = ∠B+∠E+∠E = ∠B+2∠E. 9. 解:(1)∠ACB= 45°; (2)∠ACB 的度数不改变. 理由:∵ AD 平分∠BAN,BC 平 分∠ABM,∴ ∠NAD= ∠BAD = 1 2 ∠BAN,∠ABC = ∠MBC = 1 2 ∠ABM. ∵ ∠BAO + ∠ABO = 180° - α, ∴ ∠CAB + ∠CBA= 1 2 (∠BAN+∠ABM)= 1 2 (180°+α) = 90°+ 1 2 α. ∴ ∠ACB= 180°-(∠CAB+∠CBA)= 90°- 1 2 α. 10. D 11. C　 【解析】①当 48°就是“友好角”时,α = 48°;②当 β = 48°时,则 1 2 α = 48°,∴ α = 96°;③当 48°既不是 α 也不 是 β 时,则 α+β+48° = 180°,∴ α+ 1 2 α+48° = 180°,解得 α= 88°;综上所述:这个“友好三角形”的“友好角 α”的 度数为 48°或 96°或 88°. 故选 C. 12. 解:(1)110 (2)∵ AD、BE 分别平分∠BAC 和∠ABC,∴ ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4,又∵ ∠C = 60°,∴ ∠BAC+∠ABC = 180°-∠C = 180°-60° = 120°,∴ ∠1+∠2+∠3+∠4 = 120°,∴ 2∠1 +2∠3 = 120°,∴ ∠1+∠3 = 60°,由图知△ABF 与△DEF 为对顶三角形,∴ ∠1+∠3 = ∠ADE+∠BED = 60°①,又 ∵ ∠ADE 比∠BED 大 6°,∴ ∠ADE-∠BED= 6°②,联立 ① ② 得 ∠ADE+∠BED= 60°∠ADE-∠BED= 6°{ , 解得 ∠ADE= 33° ∠BED= 27°{ , ∴ ∠BED= 27°. 13. C 　 【解析】如图,设 AC 交 DA′于 F. 由折叠得:∠A = ∠A′,∵ ∠BDA′ = ∠A+ ∠AFD,∠AFD = ∠A′+ ∠CEA′, ∵ ∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA′= γ,∴ ∠BDA′= γ = α+α+ β= 2α+β. 故选 C. 14. C　 【解析】∵ ∠ACB = 90°,∴ ∠A+∠B = 90°. ∵ △CDB′ 是由△CDB 翻折得到的,∴ ∠CB′D = ∠B. ∵ ∠CB′D = ∠A+∠ADB′= ∠A+20°,∴ ∠B = ∠A+20°,∴ ∠A+∠A+ 20° = 90°,解得∠A= 35°. 故选 C. 15. 解:(1)∠ABD= ∠CBD　 BC⊥AE (2) ∠DBF = ∠BDF, 理由如下: 由 ( 1) 得: ∠CBD = ∠FBD,AE ⊥ BC, AE ⊥ DF, ∴ DF∥BC, ∴ ∠CBD = ∠FDB,∴ ∠DBF= ∠BDF; (3)∠BDC= 103°. 16. 解:(1)29° (2) ∵ ∠BEC′ = 42°, ∠ADC′ = 20°, ∴ ∠CEC′ = 180° - ∠BEC′= 138°,∠CDC′= 180°-∠ADC′= 160°,由折叠得 ∠CDE= ∠C′DE = 1 2 ∠CDC′ = 80°,∠DEC = ∠DEC′ = 1 2 ∠CEC′= 69°,∴ ∠C= 180°-∠EDC-∠DEC= 31°; (3)∵ ∠BEC′= x,∠ADC′ = y,∴ ∠CEC′ = 180°-x,由折 叠得∠CDE = ∠C′DE = 1 2 (180°+∠ADC′) = 90°+ 1 2 y, ∠DEC= ∠DEC′= 1 2 ∠CEC′ = 90°- 1 2 x,∴ ∠C = 180°- ∠EDC-∠DEC= 180°-(90°+ 1 2 y) -(90°- 1 2 x) = 1 2 x- 1 2 y. 追梦专项总结突破卷(三) 全等三角形的常考类型 1. 证明:∵ ∠C= ∠D = 90°,∴ △ABC 与△ABD 为直角三角 形, 在 Rt △BAD 和 Rt△ABC 中, BA=ABAD=BC{ , ∴ Rt△BAD≌Rt△ABC(HL),∴ ∠BAD= ∠ABC,∴ EA=EB. 2. 解:(1)因为 AB = AC,BE =CD,所以 AB-BE = AC-CD,即 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBK·数学　 第 12 页