第15章 轴对称图形与等腰三角形 追梦基础训练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（沪科版）

∠ADG+ ∠ADC = 180°, ∴ ∠B = ∠ADG. 在 △ABE 和 △ADG 中, BE=DG ∠B= ∠ADG AB=AD{ ,∴ △ABE≌ △ADG( SAS),∴ AE =AG,∠BAE = ∠DAG. ∵ ∠EAF = 1 2 ∠BAD,∴ ∠GAF = ∠DAG+∠DAF = ∠BAE+∠DAF = ∠EAF. 在△AEF 和 △AGF 中, AE=AG ∠EAF= ∠GAF AF=AF{ ,∴ △AEF≌ △AGF( SAS), ∴ EF=FG,∴ EF=DG+FD=BE+DF. 图 2 　 　 图 3 【结论运用】: 解:如图 3,连接 EF,延长 AE、BF 交于点 C,∵ ∠AOB = 30°+90°+(90°- 70°) = 140°,∠EOF = 70°,∴ ∠EOF = 1 2 ∠AOB. ∵ OA = OB, ∠OAC + ∠OBC = ( 90° - 30°) + (70°+50°)= 180°,∴ 符合探索延伸中的条件,∴ 结论 EF=AE+BF 成立,即 EF = 1. 5×(60+80)= 210(海里), 故此时两舰艇之间的距离是 210 海里. 第 15 章追梦基础训练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C A C D A A C C B 1. D　 2. C 3. A　 【解析】A. ∵ ∠A= 50°,∠B= 80°,∴ ∠C= 180°-∠A- ∠B= 50°,∴ ∠A= ∠C,∴ △ABC 为等腰三角形. 故选 A. 4. C　 5. D　 6. A 7. A　 【解析】过点 D 作 DF⊥AC,∵ AD 是△ABC 的角平分 线,DE⊥AB,∴ DE=DF= 2,∴ S△ABC = S△ABD +S△ADC = 1 2 AB ·DE+ 1 2 AC·DF= 1 2 ×4×2+ 1 2 AC×2 = 7,解得 AC = 3. 故 选 A. 8. C　 9. C 10. B　 【解析】作 M 关于 OB 的对称点 M′,N 关于 OA 的对 称点 N′,连接 M′N′交 OA 于点 Q,交 OB 于点 P,则 MP+ PQ+QN 最小,易知∠OPM = ∠OPM′ = ∠NPQ,∠OQP = ∠AQN′= ∠AQN. ∵ ∠OQN= 180°-30°-∠ONQ,∠OPM = ∠NPQ= 30°+∠OQP,∠OQP = ∠AQN = 30°+∠ONQ, ∴ β+α= 180°-30°-∠ONQ+30°+30°+∠ONQ = 210°. 故 选 B. 11. -2　 12. 105° 13. 5cm　 【解析】作 M 关于 OC 的对称点 P,过 P 作 PN⊥ OA 于点 N,交 OC 于 Q,此时 QM + QN 的值最小,∵ ∠AOB= 30°,OC 平分∠AOB,M 在 OA 上,∴ OA、OB 关 于 OC 对称,∴ 点 P 在 OB 上,∴ OP =OM = 10cm,QM = PQ,∠PNO= 90°,∵ PN= 1 2 OP = 1 2 ×10 = 5(cm),∴ QM +QN=PQ+QN=PN= 5cm. 14. (1)4　 (2)2　 【解析】(1)∵ D 为线段 BC 中点,∴ BD = CD,∵ △ABC 是 等 边 三 角 形, ∴ ∠BAD = ∠DAC = 1 2 ∠BAC= 30°,∵ △ACD 和△ACE 关于直线 AC 对称, ∴ AD = AE,∠DAC = ∠EAC = 30°,∴ ∠DAE = 60°, ∴ △ADE 是等边三角形,∴ DE = AD = 4;(2) ∵ △ACD 和 △ACE 关于直线 AC 对称,∴ △ACD≌△ACE,∴ CE = CD,∠ACD= ∠ACE,AE=AD = 4,∵ BF =CD,∴ CE =BF, ∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°,AC = CB,∴ ∠ACD= ∠FBC = 120°,∴ ∠ACE = ∠FBC = 120°, 在 △ACE 和 △CBF 中, AC=BC ∠ACE= ∠CBF CE=BF{ , ∴ △ACE ≌ △CBF(SAS),∴ AE = CF,∵ ∠BCE = ∠ACE- ∠ACB = 60°,∴ ∠BCE + ∠FBC = 180°, ∴ BF∥CE, ∴ ∠F = ∠FCE, 在 △CEP 和 △FBP 中, ∠CPE= ∠FPB ∠FCE= ∠F CE=BF{ , ∴ △CEP≌△FBP(AAS),∴ CP =FP,∴ CP = 1 2 CF = 1 2 AE = 2. 15. 证明:∵ CE 平分∠BCD,∴ ∠BCE = ∠DCE,∵ ∠AEC = ∠B+∠BCE,∠ACE = ∠DCE+ ∠ACD,∠B = ∠ACD,∴ ∠AEC= ∠ACE,∴ AE = AC,∴ △AEC 是等腰三角形,∵ EF=CF,∴ AF 平分∠CAE. 16. 解:由题意,得 EB=EC,则△ABE 的周长=AB+BE+AE = AB+AE+EC =AB+AC = 14cm,∵ AC = 8cm,∴ AB = 14-8 = 6(cm). 17. (1) 证明:∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C. 在△DBE 和△ECF 中,BE = CF, ∠B = ∠C, BD = CE, ∴ △DBE ≌ △ECF (SAS),∴ DE=EF,∴ △DEF 是等腰三角形; (2)解:由(1)可知△DBE≌△ECF,∴ ∠1 = ∠3. ∵ ∠A +∠B+ ∠C = 180°,∠A = 40°,∠B = ∠C,∴ ∠B = 1 2 × (180° - 40°) = 70°, ∴ ∠1 + ∠2 = 110°, ∴ ∠3 + ∠2 = 110°,∴ ∠DEF= 70°. 18. 解:(1)△A1B1C1 如图所示; (2)连接 B1C 交 DE 于点 P,则 P 点就是所求的点,如图 所示; (3)Q 为 AC1(或 CA1 )与 DE 的交点,如图所示. 19. 证明:(1)∵ Rt△ABC 中,∠BAC= 30°,∴ AB= 2BC. 又∵ △ABE 是等边三角形,EF⊥AB,∴ AE =BA,AB = 2AF,∴ AF=BC. 在 Rt△AFE 和 Rt△BCA 中,AE = BA,AF = BC, ∴ Rt△AFE≌Rt△BCA(HL),∴ AC=EF; (2)∵ △ACD 是等边三角形,∴ ∠DAC = 60°,AC = AD, ∴ ∠DAB= ∠DAC+∠BAC= 90°. 又∵ ∠AFE = 90°,∴ EF ∥AD. ∵ AC=EF,AC=AD,∴ EF=AD. 20. 解:(1)OA=OB=OC; (2)△OMN 为等腰直角三角形. 证明:连接 AO,∵ AC = AB,OC = OB, ∴ AO⊥BC,即∠AOB = 90°,且∠CAO = ∠BAO. 又∵ ∠BAC = 90°,∴ ∠CAO = 45°, ∵ AC = AB, ∠BAC= 90°,∴ ∠B = 45°,∴ ∠NAO = ∠B. 在△AON 与 △BOM 中,AO=BO,∠NAO = ∠B,AN =BM,∴ △AON≌ △BOM,∴ ON=OM,∠NOA = ∠MOB,∴ ∠NOA+∠AOM = ∠MOB+ ∠AOM,∴ ∠NOM = ∠AOB = 90°,∴ △OMN 是等腰直角三角形. 21. 证明:(1) ∵ AC = BC,∠ACB = 90°,∴ ∠BAC = ∠ABC = 45°,∵ ∠CAD = ∠CBD = 15°,∴ ∠BAD = ∠ABD = 30°, ∴ AD = BD. 又∵ AC = BC,∠CAD = ∠CBD,∴ △ADC≌ △BDC ( SAS), ∴ ∠ACD = ∠BCD = 45°, ∴ ∠ADC = ∠BDC= 120°. ∵ ∠ADC+∠CDE= 180°,∴ ∠CDE = 60°, ∴ ∠BDE= 120°-60° = 60°,∴ ∠BDE = ∠CDE,即 DE 平 分∠BDC; (2)连接 CM,∵ DC = DM,∠CDE = 60°,∴ △CDM 为等 边三角形,∴ ∠CMD = 60°,CD = CM,∴ ∠CME = 120°, ∴ ∠CME= ∠BDC. ∵ CE=CA,∴ ∠CAE = ∠E. ∵ ∠CAE = ∠CBD,∴ ∠E= ∠CBD,在△CME 和△CDB 中,∠E = ∠CBD,∠CME = ∠CDB,CM = CD, ∴ △CME≌ △CDB (AAS),∴ ME=BD. 22. (1)证明:由旋转的性质,得△APC≌△BDC,PC = DC, 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBK·数学　 第 9 页 ∠PCD= 60°,∴ △DPC 是等边三角形; (2)解:△DPB 是直角三角形,理由如下:由旋转,得 ∠BDC= ∠APC = 150°,又由( 1) 知△DPC 是等边三角 形,∴ ∠PDC= 60°,∴ ∠BDP = ∠BDC-∠PDC = 90°,∴ △DPB 是直角三角形; (3)解:设∠APC = x,则∠BPD = 200° - x, ∠BDP = x - 60°,①若 PD=PB,则(200°-x) +2(x-60°) = 180°,∴ x = 100°;②若 PD =DB,则 2(200°-x) +(x-60°) = 180°, ∴ x= 160°;③若 PB=DB,则 200°-x= x-60°,∴ x= 130°; 综上所述,∠APC 的度数是 100°,160°或 130°. 23. 解:(1)设点 M、N 运动 x 秒后,M、N 两点重合,x+ 10 = 2x,解得 x= 10; (2)设点 M、N 运动 t 秒后,可得到等边三角形 AMN,AM = t,AN=AB-BN= 10-2t. ∵ 三角形 AMN 是等边三角形, ∴ t= 10-2t,解得 t= 10 3 ,∴ 点 M、N 运动10 3 秒后,可得到 等边三角形 AMN; (3)当点 M、N 在 BC 边上运动时,可以得到以 MN 为底 边的等腰三角形,由(1)知 10 秒时 M、N 两点重合,恰 好在 C 处,假设△AMN 是等腰三角形,∴ AN = AM,∴ ∠AMN = ∠ANM,∴ ∠AMC = ∠ANB. ∵ AB =BC = AC,∴ △ACB 是等边三角形,∴ ∠C = ∠B. 在△ACM 和△ABN 中, ∠C= ∠B ∠AMC= ∠ANB AC=AB{ ,∴ △ACM≌△ABN(AAS),∴ CM = BN. 设此时M、N 运动的时间为 y,则 CM= y-10,NB= 30 -2y,∴ y-10 = 30-2y,解得 y = 40 3 . 故假设成立. ∴ 当点 M、N 在 BC 边上运动时,能得到以 MN 为底边的等腰 △AMN,此时 M、N 运动的时间为40 3 秒. 第 15 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C A D C B C A B 1. A　 2. C　 3. C 4. A 　 【解析】 ∵ ∠ACB = 60°,∴ ∠BCF = 180° - ∠ACB = 120°,∵ ∠CBF = 50°,∴ ∠BFC = 180°-∠BCF-∠CBF = 10°,∵ FB 为∠CFD 的平分线,∴ ∠DFB = ∠CFB = 1 2 ∠CFD,即 ∠CFD = 2 ∠CFB = 20°,在 △FCB 和 △FDB 中, DF=CF ∠DFB= ∠CFB BF=BF{ ,∴ △FCB≌△FDB(SAS),∴ ∠D = ∠BCF= 120°,∴ ∠A= 180°-∠D-∠CFD= 40°. 故选 A. 5. D　 【解析】当 3cm 是腰长时,3,3,5 能组成三角形,当 5cm 是腰长时,5,5,3 能够组成三角形. 则三角形的周长 为 11cm 或 13cm. 故选 D. 6. C　 【解析】由作法得 MN 垂直平分 AB,则 DA = DB,∴ ∠DAB = ∠B = 15°, ∴ ∠ADC = ∠DAB + ∠B = 30°, 在 Rt△ACD 中,AD= 2AC= 2. 故选 C. 7. B　 【解析】延长 AP 交 BC 于 E. ∵ BP 平分∠ABC,∴ ∠ABP= ∠EBP,∵ AP⊥BP,∴ ∠APB = ∠EPB = 90°,在 △ABP 和△EBP 中, ∠ABP= ∠EBP BP=BP ∠APB= ∠EPB{ ,∴ △ABP≌△EBP (ASA),∴ AP =PE,∴ S△ABP = S△EBP,S△ACP = S△ECP,∴ S△PBC = 1 2 S△ABC = 1 2 ×8 = 4cm2 . 故选 B. 8. C　 【解析】∵ AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴ DE = DF;∵ AB = AC,AD 平分∠BAC,∴ AD⊥BC,BD = CD;在 Rt △ADE 和 Rt △ADF 中, AD=ADDE=DF{ , ∴ Rt △ADE ≌ Rt△ADF(HL),∴ AE = AF. 又∵ DE =DF,∴ AD 垂直平分 EF,故 A、B、D 不符合题意;只有∠BAD = 30°时,AD = 2DE. 故选 C. 9. A 10. B　 【解析】 ∵ △ABC 为等腰直角三角形,∴ ∠ABC = ∠C= 45°. ∵ Rt△ABD 折叠得到 Rt△EBD,∴ ∠DBE = 1 2 ∠ABC = 22. 5°,DE = AD = a,∠DEB = 90°,∴ △DCE 为等腰直角三角形,∴ CE = DE = a,∠CDE = 45°. ∵ Rt△DC′E 由 Rt△DCE 折叠得到,∴ ∠C′DE = ∠CDE = 45°,∠DC′ E = 45°, ∴ ∠BDC′ = ∠DC′ E - ∠DBE = 22. 5°,∴ DC′不平分∠BDE,所以①错误;∵ BE = AB = AC =AD+CD =DE+CD = a+b,CE =DE = a,∴ BC =BE+CE =a + a + b = 2a + b,所以 ② 正确;∵ ∠DBC = ∠BDC′ = 22. 5°,∴ △BDC′是等腰三角形,所以③正确;∵ △CED 的周长=DE+EC+DC = a+a+b = 2a+b,∴ △CED 的周长 等于 BC 的长,所以④正确. 故选 B. 11. (3,0)　 12. 5 13. 10 13 或 8 5 　 【解析】当∠A 为顶角时,∠B = ∠C = 1 2 (180° -∠A)= 65°,∴ 它的特征值 k = 50 65 = 10 13 ;当∠A 为底角 时,顶角= 180°-2∠A= 80°,∴ 它的特征值 k= 80 50 = 8 5 . 14. (1) 40° 　 ( 2) 16 　 【解析】 ( 1) 因为 PA = PB,所以 ∠PAB = ∠B = 25°, 在 △ABC 中, ∠ACB = 90°, 所 以 ∠PAC= 180°-90°-25°-25° = 40°;(2)因为 PA=PB,BC = 8,所以 AP+CP = BP+CP = BC = 8,由作图可知:AP = AQ,因为∠ACB= 90°,所以 CP=CQ,所以△APQ 的周长 为:AP+CP+AQ+CQ= 2(AP+CP)= 2×8 = 16. 15. 证明:∵ AB=AC,∴ ∠B = ∠ACB. ∵ EF∥AC,∴ ∠EFB = ∠ACB,∴ ∠B= ∠EFB,∴ BE=EF. ∵ EF∥AC,∴ ∠FEO = ∠D, ∠EFO = ∠DCO. 又 ∵ OE = OD, ∴ △COD ≌ △FOE(AAS),∴ CD=EF. 又∵ BE=EF,∴ CD=BE. 16. 解:(1)∵ DF 是 AB 的垂直平分线,∴ AF=BF. ∵ AB+BC = 6,AB=AC,∴ △BCF 的周长为 =BC+CF+BF =BC+CF +AF=BC+AC=AB+BC= 6; (2)∵ AB=AC,∠A = 40°,∴ ∠ACB = ∠ABC = 1 2 (180°- 40°)= 70°. ∵ AB 的垂直平分线 DE 交 BC 延长线于 E, ∴ ∠BDE= 90°,∴ ∠E= 90°-∠ABC= 20°. 17. (1)解:∵ DB =DE,∴ ∠E = ∠DBE. ∵ △ABC 是等边三 角形,∴ ∠ACB = ∠ABC = 60°. ∵ △ABC 是等边三角形, BD 是高, ∴ ∠DBC = 30°, ∴ ∠E = ∠DBE = 30°, ∴ ∠BDE= 120°; (2)证明:∵ ∠ACB = 60°,∠E = 30°,∴ ∠CDE = ∠ACB- ∠E= 30°,∴ ∠CDE= ∠E,∴ CD =CE,∴ △CED 是等腰 三角形. 18. 解:(1)①如图,射线 AD 即为所求; ②如图,线段 AE 即为所求. (2)∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠CAD = 1 2 ∠BAC. ∵ ∠BAC = 180°-∠B-∠C = 180°- 40°- 70° = 70°,∴ ∠CAD = 35°. ∵ AE⊥BC,∴ ∠CAE = 90°-∠C = 20°,∴ ∠DAE = 35°- 20° = 15°. 19. 解:(1) 由题意得:AB = 15× 2 = 30(海里) . ∵ ∠NBC = 60°,∠NAC = 30°,∴ ∠ACB = ∠NBC- ∠NAC = 30°,∴ ∠ACB= ∠NAC,∴ AB =BC = 30 (海里),∴ 从海岛 B 到 灯塔 C 的距离为 30 海里; (2)过点 C 作 CP⊥AB 于点 P,∴ 根据垂线段最短,线段 CP 的长为小船与灯塔 C 的最短距离,∠BPC = 90°. 又 ∵ ∠NBC= 60°,∴ ∠PCB= 180°-∠BPC-∠CBP= 30°. 在 Rt△CBP 中,∠BCP= 30°,∴ PB = 1 2 BC = 15(海里), 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBK·数学　 第 10 页 第 15 章追梦基础训练卷 测试时间:120 分钟　 　 测试分数:150 分　 　 得分: 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 每小题都给出 A、B、C、D 四个选项,其中只有一个是正确的. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 生活情境·交通标志 下列四个交通标志图中为轴对称图形的 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. 如图,有 A,B,C 三个居民小区的位置呈三角形,现决定在三个 小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则 超市应建在(　 　 ) A. 边 AC,BC 两条高的交点处 B. 边 AC,BC 两条中线的交点处 C. 边 AC,BC 两条垂直平分线的交点处 D. ∠ABC,∠ACB 两条角平分线的交点处 第 2 题图 　 　 第 4 题图 　 　 第 5 题图 3. 下列能确定△ABC 为等腰三角形的是(　 　 ) A. ∠A= 50°,∠B= 80° B. ∠A= 42°,∠B= 48° C. ∠A= 20°,∠B= 70° D. AB= 4,BC= 5,周长为 15 4. 如图,若△ABC 是等边三角形,AB = 6,BD 是∠ABC 的平分线, 延长 BC 到点 E,使 CE=CD,则 BE 的长为(　 　 ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,∠B = 30°,CD 是斜边 AB 上 的高,AD= 3 cm,则 AB 的长度是(　 　 ) A. 3 cm B. 6 cm C. 9 cm D. 12 cm 6. 学科内融合 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 关于直线 m(直 线 m 上各点的横坐标都为 1)对称,点 C 的坐标为(4,1),则点 B 的坐标为(　 　 ) A. ( -2,1) B. ( -3,1) C. (2,-1) D. ( -2,-1) 第 6 题图 　 　 　 　 　 　 第 7 题图 7. 如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB 于点 E,S△ABC = 7,DE = 2,AB= 4,则 AC 的长是(　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点,已知 A、B 是两格点,如果点 C 也是图中的格点,且使得△ABC 为等腰三 角形,则点 C 的个数是(　 　 ) A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 9. 如图,在△ABC 中,IB,IC 分别平分∠ABC,∠ACB,过点 I 作 DE ∥BC,分别交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,给出下列结论:①△DBI 是等腰三角形; ② △ACI 是等腰三角形; ③ AI 平分 ∠BAC; ④△ADE 周长等于 AB+AC. 其中正确的是(　 　 ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 10. 如图,∠AOB= 30°,M,N 分别是边 OA,OB 上的定点,P,Q 分别 是边 OB,OA 上的动点,记∠OPM = α,∠OQN = β,当 MP+PQ+ QN 最小时,则关于 α,β 的数量关系正确的是(　 　 ) A. β-α= 60° B. β+α= 210° C. β-2α= 30° D. β+2α= 240° 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. 如果点 P ( -m,3) 与点 P1 ( - 5,n) 关于 y 轴对称,则 m + n = 　 　 　 　 . 12. 学科内融合 如图,已知△ABC,按以下步骤 作图:①分别以点 A,C 为圆心,以大于 1 2 AC 的长为半径作弧,两弧相交于点 E,F;②作 直线 EF 交 AB 于点 D,连接 CD. 若 CD = CB, ∠A = 25°,则 ∠BCA 的度数为　 　 　 　 . 13. 如图,已知∠AOB= 30°,OC 平分∠AOB,在 OA 上有一点 M,OM = 10 cm,现要在 OC,OA 上分别找点 Q,N,使 QM+QN 最小,则 其最小值为　 　 　 　 . 第 13 题图 　 　 　 　 　 　 图 1　 　 　 　 图 2 第 14 题图 14. 已知△ABC 是等边三角形,点 D 在射线 BC 上(与点 B,C 不重 合),△ACD 和△ACE 关于直线 AC 对称. (1)如图 1,当点 D 在线段 BC 中点时,连接 DE,若 AD = 4,则 DE= 　 　 　 　 ; (2)如图 2,当点 D 在 BC 延长线上时,延长 AB 到点 F,使 BF= CD,连接 CF,交 BE 于点 P. 若 AD= 4,则 CP= 　 　 　 　 . 三、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分) 15. 如图,在△ABC 中,点 D 在 AB 边上, ∠ACD = ∠B,CE 平分 ∠BCD,交 AB 于点 E,点 F 在 CE 上,连接 AF,且 CF = EF. 求 证:AF 平分∠BAC. 16. 如图,在△ABC 中,AB<AC,BC 边上的垂直平分线 DE 交 BC 于 点 D,交 AC 于点 E,AC = 8 cm,△ABE 的周长是 14 cm,求 AB 的长. ·71· 四、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分) 17. 如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D,E,F 分别在边 AB,BC,AC 上, 且 BE=CF,BD=CE. (1)求证:△DEF 是等腰三角形; (2)当∠A= 40°时,求∠DEF 的度数. 18. 如图,在所给网格图(每小格边长均是 1 的正方形)中完成下 列各题: (1)画出格点△ABC(顶点均在格点上) 关于直线 DE 对称 的△A1B1C1; (2)在 DE 上画出点 P,使 PB1 +PC 最小; (3)在 DE 上画出点 Q,使 QA+QC 最小. 五、(本大题共 2 小题,每小题 10 分,满分 20 分) 19. 如图,分别以 Rt△ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边 △ACD,等边△ABE. 已知∠BAC= 30°,EF⊥AB,垂足为 F,连接 DF. 求证: (1)AC=EF; (2)EF∥AD 且 EF=AD. 20. 如图,在 Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC= 90°,O 为 BC 的中点. (1)写出点 O 到△ABC 的三个顶点 A,B,C 的距离关系(不要 求证明); (2)如果点 M、N 分别在线段 AB、AC 上移动,在移动中保持 AN =BM,请判断△OMN 的形状,并证明你的结论. 六、(本题满分 12 分) 21. 如图,已知点 D 为等腰直角三角形 ABC 内一点,AC = BC, ∠ACB= 90°,∠CAD = ∠CBD = 15°,E 为 AD 的延长线上的一 点,且 CE=CA. (1)求证:DE 平分∠BDC; (2)若点 M 在 DE 上,且 DC=DM,求证:ME=BD. 七、(本题满分 12 分) 22. 如图,点 P 是等边△ABC 内一点,将△APC 绕点 C 顺时针旋转 60°得到△BDC,连接 PD. (1)求证:△DPC 是等边三角形; (2)当∠APC= 150°时,试判断△DPB 的形状,并说明理由; (3)当∠APB = 100°且△DPB 是等腰三角形时,求∠APC 的 度数. 八、(本题满分 14 分) 23. 学习情境·动点探究 如图所示,已知在△ABC 中,AB = AC = BC = 10 厘米,M、N 分别从点 A、点 B 同时出发,沿三角形的边运 动,已知点 M 的速度是 1 厘米 /秒,点 N 的速度是 2 厘米 /秒, 当点 N 第一次到达 B 点时,M、N 同时停止运动. (1)M、N 同时运动几秒后,M、N 两点重合? (2)M、N 同时运动几秒后,可得等边三角形 AMN? (3) M、N 在 BC 边上运动时,能否得到以 MN 为底边的等腰 △AMN? 如果存在,请求出此时 M、N 运动的时间. ·81·