第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（沪科版）

第 13 章追梦综合演练卷 测试时间:120 分钟　 　 测试分数:150 分　 　 得分: 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 每小题都给出 A、B、C、D 四个选项,其中只有一个是正确的. 1. 如图,∠ACB>90°,AD⊥BC,BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为 D,E, F,△ABC 中 AC 边上的高是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. BE B. AD C. CD D. CF 2. 三角形中,三个内角的比为 1 ∶ 2 ∶ 6,则该三角形最大的外 角为(　 　 ) A. 108° B. 120° C. 160° D. 162° 3. 下列条件中,能确定△ABC 是直角三角形的条件有(　 　 ) ①∠A+∠B = ∠C;②∠A ∶ ∠B ∶ ∠C = 1 ∶ 2 ∶ 3;③∠A = 90°- ∠B;④∠A= ∠B= ∠C. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4. 下列命题中,真命题的个数是(　 　 ) ①两条直线被第三条直线所截,同位角相等. ②若 7 的近似值 取 2. 646,则 700的近似值取 26. 46. ③平面直角坐标系内的点 和有序有理数对(x,y)一一对应. ④如果关于 x 的一元一次不等 式 2≤x<m 有 3 个整数解,那么 4<m≤5. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 学习情境·实践探究 在探究证明“三角形的内角和是 180°”时, 综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线,其中不能证明 “三角形内角和是 180°”的是(　 　 ) A. B. 过 C 作 EF∥AB 延长 AC 到 F,过 C 作 CE∥AB C. D. 过 AB 上一点 D 作 DE∥BC, 作 CD⊥AB 于点 D DF∥AC 6. 如图,已知∠CAE 是△ABC 的外角,AD∥BC,且 AD 是∠EAC 的 平分线,若∠B= 71°,则∠BAC 的大小是(　 　 ) A. 19° B. 28° C. 42° D. 38° 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. 如图,在△ABC 中,D,E,F 分别是 BC,AD,CE 的中点,S△ABC = 4 cm2,则 S△BEF 等于(　 　 ) A. 2 cm2 B. 1 cm2 C. 1 2 cm2 D. 1 4 cm2 8. 生活情境·汽车行驶 上午 8 时,一辆汽车从 A 处出发以每小时 60 千米的速度向正北方向行驶,10 时到达 B 处,若已知 C 处在 A 处的北偏西 34°方向上,且∠ACB= 3 2 ∠BAC,那么 C 处在 B 处 的(　 　 ) A. 南偏西 85°方向 B. 北偏西 85°方向 C. 南偏西 65°方向 D. 北偏西 65°方向 9. 如图, △ABC 和 △ABD 是一副直角三角板,其中 ∠C = 60°, ∠ABD= 45°,将它们如图中方式叠放在一起,则∠DEC 的度数 为(　 　 ) A. 90° B. 100° C. 105° D. 135° 第 9 题图 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,在△ABC 中,∠1=∠2,点 G 为 AD 边上的中点,延长 BG 交 AC 于点 E,且满足 BE⊥AC;F 为 AB 上一点,且 CF⊥AD 于点 H. 下列判断:①线段 AG 是△ABE 的角平分线;②BE 是△ABD 边 AD 上的中线;③线段 AE 是△ABG 的边 BG 上的高;④∠1 + ∠FBC+∠FCB= 90°.其中正确的个数是(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. 命题“两直线平行,同位角相等”的逆命题是　 　 　 　 命题. (填 “真”或“假”) 12. 易错题 若一个等腰三角形的两边长分别为 4 和 10,则这个等 腰三角形的周长为　 　 　 　 . 13. 如图,AD 是△ABC 的角平分线,BE 是△ABC 的高,∠BAC= 40°, 且∠ABC 与∠ACB 的度数之比为 3 ∶4,则∠ADC=　 　 　 　 . 第 13 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 14 题图 14. 学习情境·折叠 如图,点 D、E 分别是△ABC 的 AC、AB 边上的 点,将纸片△ABC 沿 DE 折叠,使点 A 落在点 A′处. (1)若∠1= 80°,∠2= 20°,则∠A 的度数为　 　 　 　 ; (2)若 D,E 始终保持在 AC,AB 边上时(不和点 A 重合),∠1 = m,∠2= n,且∠A 为锐角,当点 A 落在∠BAC 内部时,则∠A = 　 　 　 　 . (用含有 m,n 的代数式表示) 三、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分) 15. 在△ABC 中,已知∠A= 1 3 ∠B= 1 5 ∠C,按角判断△ABC 的形状. 16. 如图,在△ABC 中,DE⊥AB 于点 E,DF⊥BC 于点 D,∠AFD = 155°,∠A=∠C,求∠EDF 的度数. 四、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分) 17. 易错题 在△ABC 中,AB= 7,BC= 2. (1)求 AC 的取值范围; (2)若△ABC 的周长为偶数,求△ABC 的周长为多少? ·7· 18. 劳动情境·挖隧道 某工程队准备开挖一条隧道,为了缩短工期, 必须在山的两侧同时开挖,为了确保两侧开挖的隧道在同一条 直线上,测量人员在如图所示的同一高度定出了两个开挖点 P 和 Q,然后在左边定出开挖的方向线 AP,为了准确定出右边开挖 的方向线 BQ,测量人员取一个可以同时看到点 A,P,Q 的点 O, 测得∠A= 28°,∠AOC = 100°,那么∠QBO 应等于多少度才能确 保 BQ 与 AP 在同一条直线上? 五、(本大题共 2 小题,每小题 10 分,满分 20 分) 19. [教材练习 1 变式]如图,已知:∠EAC 是△ABC 的一个外角. (1)请从①AB =AC,②AD 平分∠EAC,③AD∥BC 中任选两个当 条件,第三个当结论构成一个真命题. 条件:　 　 　 　 ;结论:　 　 　 　 ; (2)证明你所构建的命题是真命题. 20. 如图,BD、CE 是△ABC 的两条高,交于 O 点. (1)∠1 和∠2 的大小关系如何? 并说明理由; (2) 若∠A = 50°, ∠ABC = 70°,求∠3 和∠4 的 度数. 六、(本题满分 12 分) 21. 如图,AD 为△ABC 的中线,BE 为△ABD 的中线. (1)若∠ABE= 15°,∠BAD= 40°,求∠BED 的度数; (2)若△ABC 的面积为 40,BD= 5,则△BDE 中 BD 边上的高为多 少? 七、(本题满分 12 分) 22. 数学思想·分类讨论 已知∠MON = 40°,OE 平分∠MON,点 A、 B、C 分别是射线 OM、OE、ON 上的动点(点 A、B、C 均不与点 O 重合),连接 AC 交射线 OE 于点 D,设∠OAC=x°. 图 1 　 　 　 　 　 图 2 (1)如图 1,若 AB∥ON,则①∠ABO 的度数是　 　 　 　 ; ②当∠BAD = ∠ABD 时,x = 　 　 　 　 ;当∠BAD = ∠BDA 时,x =　 　 　 　 ; (2)如图 2,若 AB⊥OM,是否存在这样的 x 值,使得△ADB 中有 两个相等的角? 若存在,求出 x 的值;若不存在,说明理由. 八、(本题满分 14 分) 23. 数学思想·类比思想 问题情景:如图 1,在同一平面内,点 B 和点 C 分别位于一块直角三角板 PMN 的两条直角边 PM,PN 上,点 A 与点 P 在直线 BC 的同侧,若点 P 在△ABC 内部,试问∠ABP, ∠ACP 与∠A 的大小是否满足某种确定的数量关系? (1)特殊探究:若∠A = 55°,则∠ABC + ∠ACB = 　 　 　 　 度, ∠PBC+∠PCB=　 　 　 　 度,∠ABP+∠ACP=　 　 　 　 度; (2)类比探索:请猜想∠ABP+∠ACP 与∠A 的关系,并说明理由; (3)类比延伸:改变点 A 的位置(点 A 在 BC 上方),使点 P 在 △ABC 外,其他条件都不变,判断(2)中的结论是否仍然成立? 若成立,请说明理由;若不成立,请直接写出∠ABP,∠ACP 与∠A 满足的数量关系式. 图 1 　 　 　 　 　 备用图 ·8· 将 y1 = 1 2 x-1 沿 y 轴向上平移,平移的距离大于 3 2 个单 位长度. 第 13 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C B D D B B C C 1. A　 2. C 3. C 　 【解析】 ①若∠A+ ∠B = ∠C,则∠C = 90°,能确定 △ABC 是直角三角形;②若∠A ∶∠B ∶∠C = 1 ∶2 ∶3,则∠C = 180°× 3 1+2+3 = 90°,能确定△ABC 是直角三角形;③若 ∠A= 90°-∠B,则∠A+∠B = 90°,能确定△ABC 是直角 三角形;④∠A= ∠B= ∠C,则∠C= 60°,能确定△ABC 是 等边三角形. 故选 C. 4. B　 5. D 6. D　 【解析】∵ ∠B = 71°,AD∥BC,∴ ∠B = ∠EAD = 71°. 又∵ AD 是∠EAC 的平分线,∴ ∠DAC = ∠EAD = 71°,∴ ∠BAC= 180° - ∠EAD - ∠DAC = 180° - 2 × 71° = 38°. 故 选 D. 7. B　 8. B　 9. C 10. C　 【解析】①∵ ∠1 = ∠2,∴ AD 平分∠BAC,∴ AG 是 △ABE 的角平分线,故①正确;②∵ 点 G 是 AD 的中点, ∴ BG 是△ABD 边 AD 上的中线,故②错误;③∵ BE⊥ AC,∴ AE⊥BG,∴ 线段 AE 是△ABG 的边 BG 上的高,故 ③正确;④根据三角形外角的性质,∠1+∠AFH = ∠1+ ∠FBC+∠FCB= 90°,故④正确,综上所述,正确的个数 是 3 个. 故选 C. 11. 真　 12. 24　 13. 80° 14. (1)30° 　 ( 1) m +n 2 　 【解析】 ( 1) 由于折叠,∠ADE = ∠A′DE,∠AED = ∠A′ ED,∵ ∠1 = 80°,∠2 = 20°,∴ ∠ADE = ∠A′ DE = 1 2 ×(180° - 80°) = 50°, ∠AED = ∠A′ED= 1 2 ×(180°+20°)= 100°,∠A = 180°-100°-50° = 30°;( 2) 由于折叠,∠ADE = ∠A′DE,∠AED = ∠A′ ED,∵ D,E 始终保持在 AC,AB 边上,点 A 落在∠BAC 内部,∴ 0°<∠AEA′<180°,0°<∠ADA′<180°,∵ ∠1 =m, ∠2 = n,∴ ∠ADE = ∠A′DE = 1 2 (180° -m) = 90° - m 2 , ∠AED= ∠A′ED= 1 2 (180°-n)= 90°- n 2 ,∴ ∠A= 180°- (90°- m 2 )-(90°- n 2 )= m +n 2 . 15. 解:∵ ∠A = 1 3 ∠B = 1 5 ∠C,∴ ∠B = 3∠A,∠C = 5∠A, ∵ ∠A+∠B+∠C = 180°,∴ ∠A+ 3∠A+ 5∠A = 180°,∴ ∠A= 20°, ∠B = 60°, ∠C = 100°, ∴ △ABC 是钝角三 角形. 16. 解:∵ DE⊥AB,FD⊥BC,∴ ∠AED = 90°,∠FDC = 90°. ∵ ∠AFD= ∠FDC+∠C= 155°,∴ ∠C = 155°-90° = 65°. ∵ ∠A= ∠C,∴ ∠A = 65°. 在三角形 ABC 中,∠B = 180° -∠A-∠C = 50°,∴ ∠EDB = 90°- 50° = 40°,∵ ∠BDE+ ∠EDF+∠FDC= 180°,∴ ∠EDF= 50°. 17. 解:(1)由题意知,7-2<AC<7+2,即 5<AC<9; (2)∵ 5<AC<9,∴ AC 的值是 6 或 7 或 8,∴ △ABC 的周 长为:7+2+ 6 = 15(舍去)或 7+ 2+ 7 = 16 或 7+ 2+ 8 = 17 (舍去),即该三角形的周长是 16. 18. 解:当点 A、P、Q、B 共线时,即点 P、Q 在△OAB 的边 AB 上,两侧开挖的隧道在同一条直线上。 ∵ ∠A+∠OBQ+ ∠AOB= 180°,∴ ∠QBO= 180°-∠A-∠AOB = 180°-28° -100° = 52°. 19. 解:(1)①②　 ③ (2)证明:已知:∠EAC 是△ABC 的一个外角,AB = AC, AD 平分∠EAC. ∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C. ∵ ∠EAC = ∠B +∠C,∴ ∠EAC = 2∠B. ∵ AD 平分∠EAC,∴ ∠EAC = 2∠EAD,∴ ∠B= ∠EAD,∴ AD∥BC. (答案不唯一) 20. 解:(1)∠1 = ∠2. 理由如下:∵ BD、CE 是△ABC 的两条 高,∴ ∠AEC= ∠ADB = 90°. ∵ ∠A+∠1+∠ADB = 180°, ∠2+∠A+∠AEC= 180°,∴ ∠1 = ∠2; (2) ∵ ∠CEB = 90°, ∠ABC = 70°, ∴ ∠3 = 90° - 70° = 20°. ∵ 在三角形 ABD 中,∠A= 50°,∠ADB = 90°,∴ ∠1 = ∠2 = 40°,∴ ∠4 = 130°. 21. 解:(1)∵ ∠ABE= 15°,∠BAD= 40°,∴ ∠BED = ∠ABE+ ∠BAD= 15°+40° = 55°; (2) 作 EF ⊥ BC 交 BC 于点 F, 由题意, 得 S△BDE = 1 4 S△ABC = 10. ∵ BD = 5,∴ S△BDE = 1 2 × 5×EF = 10,解得 EF= 4. 即△BDE 中 BD 边上高为 4. 22. 解:(1)①20°　 ②120　 60 (2)存在. ①当点 D 在线段 OB 上时,若∠ABD= ∠BAD, 则 x = 20; 若 ∠BDA = ∠BAD, 则 x = 35; 若 ∠ADB = ∠ABD,则 x= 50. ②当点 D 在射线 BE 上时,易知∠ABE = 110°,又∵ 三角形的内角和为 180°,∴ 只有∠BAD = ∠BDA,此时 x = 125. 综上可知,存在这样的 x 值,使得 △ADB 中有两个相等的角,且 x= 20,35,50 或 125. 23. 解:(1)125　 90　 35 (2)猜想:∠ABP+∠ACP= 90°-∠A. 理由:在△ABC 中,∠ABC+∠ACB = 180°-∠A,∵ ∠ABC = ∠ABP+∠PBC,∠ACB = ∠ACP+∠PCB,∴ ( ∠ABP+ ∠PBC)+ ( ∠ACP + ∠PCB) = 180° - ∠A, ∴ ( ∠ABP + ∠ACP) + ( ∠PBC + ∠PCB ) = 180° - ∠A. 又 ∵ 在 Rt△PBC 中, ∠P = 90°, ∴ ∠PBC + ∠PCB = 90°, ∴ (∠ABP+∠ACP) + 90° = 180°-∠A,∴ ∠ABP+∠ACP = 90°-∠A; (3)(2)中的结论不成立. ①当点 A 在点 P 的右上方时,结论:∠A+∠ACP-∠ABP = 90°;②当点 A 在点 P 的左上方时,结论:∠A+∠ABP- ∠ACP= 90°;③当点 A 在点 P 的下方时,结论:∠A- ∠ABP-∠ACP= 90°. 追梦期中达标测试卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D B D C D B C B A 1. B　 2. D　 3. B　 4. D 5. C　 【解析】∵ 第一象限内的点 P(a+3,a)到 y 轴的距离 是 5,∴ a+3 = 5,∴ a= 2. 故选 C. 6. D　 【解析】A. 当 x= 2 时,y= -2+6 = 4≠1,∴ 图象不经过 点(2,1),故 A 错误,不符合题意;B. 图象向上平移 1 个 单位长度后得到的函数解析式为 y= -x+7,故 B 错误,不 符合题意;C. ∵ k = - 1< 0,b = 6> 0,∴ 一次函数 y = -x+ 6 的图象经过第一、二、四象限,∴ 一次函数 y = -x+6 的图 象不经过第三象限,故 C 错误,不符合题意;D. ∵ k = -1< 0,∴ y 随 x 的增大而减小,又∵ 点(1,y1)和(-1,y2)都在 该函数图象上,∴ y1 <y2,故 D 正确,符合题意. 故选 D. 7. B　 8. C 9. B　 【解析】A. 若∠A ∶∠B ∶∠C = 1 ∶2 ∶3,则∠A = 30°,∠B = 60°,∠C= 90°,所以△ABC 是直角三角形,故此选项判 断正确,不符合题意;B. 若∠A = 30°,∠B = 50°,则∠C = 100°,所以△ABC 是钝角三角形,故此选项判断不正确, 符合题意; C. 若 AB = AC,∠B = 40°,则∠B = ∠C = 40°, ∠A= 100°,所以△ABC 是钝角三角形,故此选项判断正 确,不符合题意; D. 若 2∠A = 2∠B = ∠C,则∠A = ∠B = 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBK·数学　 第 4 页