铺路帮手-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（冀教版）

第一周　 分式、分式的运算 测试时间:50 分钟　 　 测试分数:80 分 一、选择题(每小题 3 分,共 27 分) 1. 下列式子:m, 1 π , x-1 2 , 1 x+y , 其中分式共 有(　 　 ) A. 1 个　 　 B. 2 个　 　 C. 3 个　 　 D. 4 个 2. 要使分式 x 2 -16 x+4 的值为零,则 x 的取值应满 足(　 　 ) A. x≠-4 B. x= 4 C. x= -4 D. x= ±4 3. 如果把 2y 2x-3y 中的 x 和 y 都扩大到 5 倍,那 么分式的值(　 　 ) A. 扩大 5 倍 B. 不变 C. 缩小 5 倍 D. 扩大 4 倍 4. 分式- 5 6x2y 和 3 4xyz 的最简公分母是(　 　 ) A. 12xyz B. 12x2yz C. 24xyz D. 24x2yz 5. 计算 4 a-2 +a+2 2-a 的值是(　 　 ) A. 1 B. -1 C. 2 +a a-2 D. a +2 2-a 6. 计算 a 2 a2 -1 ÷( 1 a-1 +1)的结果是(　 　 ) A. 1 a+1 B. 1 a-1 C. a a+1 D. a a-1 7. 下列运算正确的是(　 　 ) A. 1 2a + 1 a = 2 3a B. 1 a-1 - 1 a+1 = 2 a2 -1 C. 3b 4a · 2a 9b2 = b 6 D. 1 3ab +2b 2 3a = b 2 2 8. 学习情境·接力游戏 老师设计了接力游戏, 用合作的方式完成分式化简,规则是:每人 只能看到前一个人给的式子,并进行一步计 算,再将结果传递给下一个人,最后完成化 简. 过程如图,接力中,自己负责的一步出现 错误的是(　 　 ) 老师 x2 -2x x-1 ÷ x 2 1-x → 甲 x2 -2x x-1 · 1 -x x2 → 乙 x2 -2x x-1 ·x -1 x2 →丙 x(x-2) x-1 ·x -1 x2 →丁 x-2 2 A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁 9. 若 a,b 为实数且满足 a≠-1,b≠-1,设 M = a a+1 + b b+1 ,N = 1 a+1 + 1 b+1 ,有以下 2 个结论: ①若 ab= 1,则 M=N;②若 a+b= 0,则 MN≤ 0. 下列判断正确的是(　 　 ) A. ①对②错　 　 　 　 　 B. ①错②对 C. ①②都错　 　 　 　 　 D. ①②都对 二、填空题(每空 2 分,共 8 分) 10. 要使式子 1 x-2 022 有意义,则 x 的取值范围 为　 　 　 　 . 11. 如果 a2 - 2a- 6 = 0,那么代数式(a- 4 a ) · a2 a+2 的值为　 　 　 　 . 12. 学习情境·阴影覆盖 已知两分式 x 2 -2 x+1 1 x+1 中间被阴影覆盖了运算符号. (1) 若覆盖了 “ +”,其运算结果为 　 　 　 　 ; (2) 若覆盖了 “ ÷”,其运算结果为 　 　 　 　 . 三、解答题(共 45 分) 13. (本小题满分 6 分)计算: (1)(1+ 1 x+1 )·(x 2 +x) x ; 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 1 页 (2) x 2 -4 x2 -4x+4 ÷x 2 +2x 2x-4 - 1 x . 14. (本小题满分 6 分)当 x 取何值时,分式 6-2 | x | (x+3)(x-1) 满足下列要求: (1)值为零;(2)无意义;(3)有意义. 15. (本小题满分 7 分)化简求值:( 5 x-2 -x-2) ÷x 2 -6x+9 x-2 + x x-3 ,再从-1<x<4 的范围内选 取一个你喜欢的值代入求值. 16. (本小题满分 8 分)先化简,再求值:( 1 + 1 x+1 ) ÷ x 2 -4 2x+2 ,其中 x 是整数且满足不等式 组 2x≤x-1 x+1≤4x+10{ . 17. 学习情境·过程纠错 (本小题满分 8 分)化 简: 4x x2 -4 - 2 x-2 . 言言同学的解答如下: 4x x2 -4 - 2 x-2 = 4x-2(x +2) = 2x+ 4. 言言同学的解答正确吗? 如 果不正确,请写出正确的解答过程. 18. 数学思想·类比思想 (本小题满分 10 分) 请仿照例子解题: M x+1 + N x-1 = 1-3x x2 -1 恒成立,求 M,N 的值. 解: ∵ M x+1 + N x-1 = 1-3x x2 -1 , ∴ M(x-1)+N(x+1) (x+1)(x-1) = 1-3x x2 -1 ,则Mx -M+Nx+N x2 -1 = 1-3x x2 -1 , 即 (M +N)x-M+N x2 -1 = -3x+1 x2 -1 , 故 M+N= -3 -M+N= 1{ . 解得 M= -2 N= -1{ . 请你按照上面的方法解题: 若 M x+2 - N x-2 = x-8 x2 -4 恒成立,求 M,N 的值. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 2 页 第二周　 分式方程及应用 测试时间:50 分钟　 　 测试分数:70 分 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 给出下列方程:x -3 4 = 1, 3 x = 2,x +3 x+5 = 1 2 , x 3 - x 2 = 1,其中分式方程的个数为(　 　 ) A. 1 个　 B. 2 个　 C. 3 个　 D. 4 个 2. 解方程 1 3x - 2x+1 x = 1,去分母后得到的方程 是(　 　 ) A. 1-3(2x+1)= x B. 1-3(2x+1)= 1 C. 1-3(2x+1)= 3x D. 1-6x+3 = 3x 3. 分式方程 3 x-2 - 4 2x+3 = 0 的解是(　 　 ) A. x= 1 2 B. x= -17 2 C. x= 7 4 D. x= -1 4. 易错题 已知关于 x 的分式方程 x x-2 - 4 = k 2-x 的解为正数,则 k 的取值范围是(　 　 ) A. k>-8 B. k>-8 且 k≠-2 C. k>-8 且 k≠2 D. k<4 且 k≠-2 5. 在解分式方程 2 x-1 + x x-1 = 1 时,我们第一步 通常是去分母,即方程两边同乘以最简公分 母(x- 1),把分式方程变形为整式方程求 解. 解决这个问题的方法用到的数学思想 是(　 　 ) A. 从特殊到一般 B. 转化思想 C. 数形结合 D. 模型思想 6. 生活情境·汽车行驶 一辆汽车开往距出发 地 420 km 的目的地,若这辆汽车比原计划每 小时多行 10 km,则提前 1 小时到达目的地. 设这辆汽车原计划的速度是 x km / h,根据题 意所列方程是(　 　 ) A. 420 x = 420 x+10 +1 B. 420 x +1 = 420 x+10 C. 420 x = 420 x-10 +1 D. 420 x +1 = 420 x-10 7. 已知关于 x 的分式方程 10 x-1 - m 1-x = 2 的解为 整数,且关于 y 的不等式组 m-5y>2 y-4≤3y+6{ 有 且只有三个整数解,则符合条件的所有整数 m 的和为(　 　 ) A. -18　 　 B. -20　 　 C. -30　 　 D. -22 二、填空题(每空 2 分,共 12 分) 8. 若关于 x 的分式方程 2 x-a - 3 x = 0 的解为 x = 3,则 a 的值为　 　 　 　 . 9. 若关于 x 的方程mx +1 x2 -x - 2 x-1 = 0 无解,则 m= 　 　 　 　 . 10. 生产劳动情境·修路 有一道题:“甲队修路 150 m 与乙队修路 100 m 所用天数相同, 若■■■,求甲队每天修路多少米?”根据 图中 的 解 题 过 程, 被 遮 住 的 条 件 应 是　 　 　 　 . 解:设甲队每天修路 x 米, 依题意得:150 x = 100 2x-30 …… 11. 生活情境·跑步训练 为落实中小学生“十 个一”行动计划,学校举办以“强体质,炼意 志”为主题的体育节,小亮报名参加 3 000 米比赛项目,经过一段时间训练后,比赛时 小亮的平均速度比训练前提高了 25%,少 用 3 分钟跑完全程,设小亮训练前的平均速 度为 x 米 /分,那么 x 满足的分式方程为　 　 　 　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 3 页 12. 已知关于 x 的方程:ax +1 x-1 - 2 1-x = 1. (1)当 a= 3 时,这个方程的解为　 　 　 　 ; (2)若这个方程有增根,直接写出 a 的值 为　 　 　 　 . 三、解答题(共 37 分) 13. (本小题满分 8 分)解分式方程. (1) 2 x = 3 x+2 ; (2)x +1 x-1 + 4 x2 -1 = 1. 14. 学习情境·错解问题 (本小题满分 8 分)王 涵想复习分式方程,由于印刷问题,有一个 数“?”看不清楚: x x-3 = 2- ? x-3 . (1)她把这个数“?”猜成-2,请你帮王涵解 这个分式方程; (2)王涵的妈妈说:“我看到标准答案是:x = 3 是方程的增根,原分式方程无解”, 请你求出原分式方程中“?”代表的数 是多少? 15. 学习情境·过程纠错 (本小题满分 10 分) 小明解分式方程 1- x -3 2x+2 = 3x x+1 时,出现了 错误,他的解答过程如下: 解:方程两边同乘 2x+2,得 2x+2-(x-3)= 3x. …第一步 解得 x= 1 2 . …第二步 所以,原分式方程的解为 x = 1 2 . …第 三步 (1)小明的解答过程是从第　 　 　 　 步开 始出错的,这一步正确的解答结果为 　 　 　 　 　 　 　 ,此步的根据是 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)小明的解答过程缺少的步骤是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (3)请你写出此题正确的解答过程. 16. 生活情境·购买器材 (本小题满分 11 分) 某俱乐部开设了滑雪营,准备购买一批运 动器材,已知甲类器材比乙类器材单价低 120 元,用 20 000 元购买甲类器材与用 30 000 元购买乙类器材的数量相同,求甲 类器材的单价为多少元? 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 4 页 第三周　 命题与证明、全等图形 测试时间:50 分钟　 　 测试分数:70 分 一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 1. 下列各组中的两个图形属于全等图形 的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. B. C. D. 2. 下列说法不正确的是(　 　 ) A. 命题有真命题,也有假命题 B. 要说明一个命题是假命题,只要举出反 例即可 C. 一个定理的逆命题是原定理的逆定理 D. 要说明一个命题是真命题,需要进行 证明 3. 下列说法正确的是(　 　 ) A. 两个面积相等的图形一定是全等图形 B. 两个全等图形形状一定相同 C. 两个周长相等的图形一定是全等图形 D. 两个正三角形一定是全等图形 4. 如图,△ABC≌△ADE, ∠DAC = 90°, ∠BAE = 140°,BC、DE 相交于点 F,则∠DAB 的大小为(　 　 ) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 5. 如图,有① ~ ⑤5 个条形方格图,每个小方 格的边长均为 1,则② ~ ⑤中由实线围成的 图形与 ① 中由实线围成的图形全等的 有(　 　 ) A. ②③④ B. ③④⑤ C. ②④⑤ D. ②③⑤ 6. 如图,△ABE≌△ACD,下列等式不一定正 确的是(　 　 ) A. AB=AC B. ∠BAD= ∠CAE C. BE=CD D. AD=DE 第 6 题图 　 第 7 题图 7. 如图,△ABC≌△DEF,FE⊥BC,垂足为 E, FE 与 AC 交于点 H. 若∠A = α,∠CHE = β, 则∠BED 的大小为(　 　 ) A. α-β B. 90°+α-β C. β-α D. 90°-α+β 8. 有下列四个命题:①对顶角相等;②同位角 相等;③若一个角的两边与另一个角的两边 互相平行,则这两个角相等或互补;④有两 个角是锐角的三角形是直角三角形. 其中是 真命题的个数有( 　 　 ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 二、填空题(每空 2 分,共 8 分) 9. 命题“如果 a>b,那么 a-b>0”的逆命题是 　 　 　 　 命题(填“真”或“假”) . 10. 如图,△ABC≌ △A′B′C′,其中∠A = 36°, ∠C′= 24°,则∠B= 　 　 　 　 . 第 10 题图 　 　 　 第 11 题图 11. 如图,△ABC≌△DEC,∠ACB= 60°,∠BCD = 100°,点 A 恰好落在线段 ED 上,则∠B 的度数为　 　 　 　 度. 12. 数学思想·转化思想 如 图,两个全等的直角三 角形重叠在一起,将其 中的一个三角形沿着点 B 到 C 的方向平 移至△DEF 的位置,AB = 8,DP = 3,平移 距 离 为 6, 则 阴 影 部 分 的 面 积 为 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 5 页 三、解答题 (共 38 分) 13. (本小题满分 6 分)写出下列各命题的逆 命题,并判断原命题和逆命题的真假. (1)同位角相等; (2)如果 | a | = | b | ,那么 a= b; (3)等边三角形的三个角都是 60°. 14. (本小题满分 6 分) 如图,已知△ABC≌ △DEF,判断 AB 与 DE 的位置关系,并说 明理由. 15. (本小题满分 8 分)将△ABC 沿 BC 方向平 移,得到△DEF. (1)若∠B= 74°,∠F= 26°,求∠A 的度数; (2)若 BC= 4. 5 cm,EC = 3. 5 cm,求△ABC 平移的距离. 16. (本小题满分 8 分) 如图,已知△ABC≌ △DEF,∠A = 32°, ∠B = 48°, BF = 3, 求 ∠DFE 的度数和 EC 的长. 17. (本小题满分 10 分)如图,已知△ABC≌ △DEB,点 E 在 AB 上,DE 与 AC 相交于 点 F. (1)当 DE = 9,BC = 5 时,线段 AE 的长为 　 　 　 　 ; (2)已知∠D = 35°,∠C = 60°,求∠AFD 的 度数. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 6 页 第四周　 全等三角形的判定、尺规作图 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:60 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 如图,已知 AD 是△ABC 的 BC 边上的高,下 列能使△ABD≌△ACD 的条件是(　 　 ) A. ∠BAD= ∠CAD　 　 　 B. ∠BAC= 90° C. BD=AC D. ∠B= 45° 第 1 题图 　 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,已知 AC = AD,BC =BD,CE = DE,则图 中全等三角形的对数是(　 　 ) A. 1 对　 　 　 　 　 　 　 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对 3. 如图,在△ABC 和△BDE 中,点 C 在边 BD 上,边 AC 交边 BE 于点 F,若 AC =BD,AB = ED,BC=BE,则∠ACB 等于(　 　 ) A. ∠EDB B. ∠BED C. 1 2 ∠AFB D. 2∠ABF 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. 生活情境·配玻璃 如图,某同学把一块三角 形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去 配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办 法是(　 　 ) A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 5. 已知∠AOB = 20°和射线 MN. 如图,以点 O 为圆心,任意长度为半径画弧分别交∠AOB 的两边于点 P、Q,接着在射线 MN 上以点 M 为圆心,OP 长为半径画弧 l 交射线 MN 于 点 K;以 K 为圆心,PQ 长为半径画两段弧, 分别交弧 l 于 C、D 两点,连接 MC,MD 并延 长. 则∠CMD 的度数为(　 　 ) 　 　 A. 20°　 　 B. 50°　 　 C. 60°　 　 D. 40° 6. 具备下列条件的两个三角形一定是全等三 角形的是(　 　 ) A. 有两个角对应相等的两个三角形 B. 两边及其中一条对应边上的高也对应相 等的两个三角形 C. 两边分别相等,并且第三条边上的中线 也对应相等的两个三角形 D. 有两边及其第三边上的高分别对应相等 的两个三角形 二、填空题(每空 2 分,共 8 分) 7. 如图,小明用直尺和圆规作一个角等于已知 角, 则 说 明 △OCD ≌ △O′ C′ D′ 的 依 据 是　 　 　 　 　 　 　 . 8. 如图,BC∥EF,BC=BE,AB= FB,∠1 = ∠2,若∠1 = 55°, 则∠C 的度数为　 　 　 　 . 9. 在方格纸中,每个小方格的 顶点叫做格点,以格点的连线为边的三角形 叫做格点三角形,解决下列问题. 图 1 　 　 图 2 (1)如图 1,以点 D 和点 E 为两个顶点作格 点三角形, 使所作的格点三角形与 △ABC 全等,那么这样的格点三角形最 多可以画出　 　 　 　 个; (2)如图 2,∠1+∠2 = 　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 7 页 三、解答题(共 34 分) 10. (本小题满分 8 分)求证:全等三角形对应 边上的中线相等. 要求: ( 1 ) 根 据 给 出 的 △ABC 用 尺 规 作 出 △A′B′C′,使得△ABC≌△A′B′C′,不 写作法,保留作图痕迹; (2)在已有的图形上画出一组对应中线, 并据此写出已知、求证和证明过程. 11. 学习情境·测量楼高 (本小题满分 8 分)如 图,小明和小华住在同一个小区不同单元 楼,他们想要测量小明家所在单元楼 AB 的高度,首先他们在两栋单元楼之间,选定 一点 E,然后经过测量发现,小华在自己家 阳台 C 处测得的∠1 与小明站在 E 处测得 的∠2 互余. 过点 F 作 FG⊥AB 于点 G,已 知 BG= 1 米,BE = CD = 20 米,BD = 58 米, 点 B、E、D 在一条直线上,AB⊥BD,FE⊥ BD,CD⊥BD,试求单元楼 AB 的高. (注: BE=FG,BG=EF,∠1 与∠3 互余) . 12. (本小题满分 8 分)如图,在 Rt△ABC 中, ∠ACB= 90°,AC=BC,∠ABC= 45°,点 D 为 BC 的中点,CE⊥AD 于点 E,其延长线交 AB 于 点 F, 连 接 DF. 求 证: ∠ADC = ∠BDF. 13. (本小题满分 10 分)如图,在△ABC 中,D 为 BC 的中点,过 D 点的直线 GF 交 AC 于 点 F,交 AC 的平行线 BG 于点 G,DE⊥GF, 并交 AB 于点 E,连接 EG,EF. (1)求证:BG=CF; (2)请你猜想 BE+CF 与 EF 的大小关系, 并说明理由. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 8 页 第五周　 实数 测试时间:50 分钟　 　 测试分数:80 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 下列各数:-0. 9,π,22 7 , 5 ,0,1. 202 002 000 2 …(每两个 2 之间多一个 0),其中是无理数 的有(　 　 ) A. 1 个　 　 B. 2 个　 　 C. 3 个　 　 D. 4 个 2. 实数 144 的算术平方根是(　 　 ) A. ±12 B. ± 144 C. 12 D. -12 3. 给出下列 4 个说法:①只有正数才有平方 根;②2 是 4 的平方根;③平方根等于它本 身的数只有 0;④27 的立方根是± 3. 其中, 正确的有(　 　 ) A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ②③④ 4. 若 | a | = 4, b2 = 3,且 a+b<0,则 a-b 的值 是(　 　 ) A. 1 或 7 B. -1 或 7 C. 1 或-7 D. -1 或-7 5. 一个正方体木块的体积是 343 cm3,现将它 锯成 8 个同样大小的小正方体木块,则每个 小正方体木块的表面积是(　 　 ) A. 7 2 cm2 B. 49 4 cm2 C. 49 8 cm2 D. 147 2 cm2 6. 实数 a,b,c 在数轴上对应点的位置如图所 示,在下列四个式子中,正确的是(　 　 ) A. | c | > | a | B. -c>a C. ac2 > bc2 D. a-c<b-c 二、填空题(每空 2 分,共 16 分) 7. 已知 a、b 为两个连续整数,且 a< 7 <b,则 a +b= 　 　 　 　 . 8. 近似数 2. 40×104 精确到　 　 　 　 位. 9. 16的算术平方根为　 　 　 　 ,-27 的立方 根为　 　 　 　 . 10. 新定义 对于有理数 a,b,定义一种新运算 “◎”,规定: a◎b= | a+b | + | a-b | . (1)计算: 2◎( -4)= 　 　 　 　 ; (2)若 a,b 在数轴上的位置如图所示. 则 化简 a◎b= 　 　 　 　 . 11. 学科素养·推理能力 在纸上计算:① 13 ; ② 13 +23 ; ③ 13 +23 +33 ; ④ 13 +23 +33 +43 ;…,观察你计算的结果,用 你发现的规律直接写出下面式子的值 13 +23 +33 +…+253 = 　 　 　 　 . 12. 定义新运算“&”如下:对于任意的实数 a,b, 若 a≥b,则 a&b = a-b;若 a<b,则 a&b = 3 a-b .下列结论中一定成立的是 　 　 　 　 . (把正确结论的序号都填在横线上) ①当 a≥b 时,a&b≥0;②当 a<b 时,a&b< 0;③2&1+1&2 = 0; ④2 021&2 005 的值是 无理数. 三、解答题(共 46 分) 13. (本小题满分 8 分)把下列各数写入相应 的集合中: - 1 2 , 3 11 ,0. 1, π 2 , 36 ,0. 121 221 222 1… (相邻两个 1 之间 2 的个数逐次加 1), 3 -8 ,0. (1)正数集合{　 　 　 …}; (2)负数集合{　 　 　 …}; (3)有理数集合{　 　 　 …}; (4)无理数集合{　 　 　 …}. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 9 页 14. (本小题满分 6 分)求下列各式中 x 的值. (1)(x-1) 3 = -27; (2)(x+1) 2 = 4. 15. (本小题满分 10 分)按要求解答下面两个 小题: (1)已知(x-1) 2 +5 y-5x + | x-y+z+1 | = 0, 求 x+y+z 的平方根; (2) 已知: y = x-2 + 2-x + 5,求 2x + 3y 的值. 16. (本小题满分 10 分)已知 a、b 互为相反 数,c、 d 互为倒数, x 是 4 的平方根, 求 5(a+b) a2 +b2 - 2cd +x 的值. 17. (本小题满分 12 分) (1) 学习情境·推理能力 如图是一个无理 数筛选器的工作流程图. ①当 x 为 16 时,y 值为　 　 　 　 ; ②是否存在输入有意义的 x 值后,却 始终输不出 y 值? 如果存在,写出 所有满足要求的 x 值;如果不存在, 请说明理由; ③如果输入 x 值后,筛选器的屏幕显 示“该操作无法运行”,请你分析输 入的 x 值可能是什么情况. (2)阅读下面的文字,解答问题. 　 　 大家知道 2 是无理数,而无理数 是无限不循环小数. 因此, 2 的小数部 分不可能全部地写出来,但可以用 2 - 1 来表示 2 的小数部分. 理由:因为 2 的整数部分是 1,将这个数减去其整数 部分,差就是小数部分. 请解答: 已知:2+ 6的小数部分为 a,5- 6的小 数部分为 b,计算 a+b 的值. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 10 页 第六周　 二次根式、二次根式的乘除 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:70 分 一、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 下列二次根式中,化简结果为-5 的是(　 　 ) A. ( -5) 2 　 　 　 　 B. ( - 5 ) 2 C. - 52 D. 52 2. 下列式子中,最简二次根式是(　 　 ) A. 5x3 B. 4π C. a2 +3 D. 1 x 3. 5 -m m+1 = 5-m m+1 成立的条件是(　 　 ) A. m≥-1 B. m≤-5 C. -1<m≤5 D. -1≤m≤5 4. 学习情境·过程纠错 下面的计算和推导过 程中, ∵ 27 = 9×3 ,(第一步) ∴ 27 = 3 3 ,(第二步) ∵ -3 3 = ( -3) 2 ×3 ,(第三步) ∴ -3 3 = 3 3 . (第四步) 其中首先错误的一步是(　 　 ) A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 5. 化简 ( 3 - 2) 2 025 · ( 3 + 2) 2 026 的结果 为(　 　 ) A. -1 B. 3 -2 C. 3 +2 D. - 3 -2 二、填空题(每空 2 分,共 10 分) 6. 若分式 x +3 x-2 有意义, 则 x 的 取值范围 是　 　 　 　 . 7. 比较大小: 5 3 　 　 　 　 3 2 . 8. 已知 m= 18 . (1)将 m 化为最简二次根式为　 　 　 　 ; (2 ) 若 m ÷ ■ = 6 , 则 “ ■ ” 表 示 的 数 是　 　 　 　 . 9. 已知实数 a 满足 | 2 024-a | + a-2 025 = a, 则 a-2 0242 = 　 　 　 　 . 三、解答题(共 45 分) 10. (本小题满分 8 分) (1) 1 2 3 ÷ 2 1 3 × 1 2 5 ; (2) - 8 3 ×2 54 ÷7 6 5 . 11. (本小题满分 8 分)已知 m = 3+ 5 ,n = 3- 5 ,求 mn+m n 的值. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 11 页 12. 学习情境·过程纠错 (本小题满分 9 分)老 师让同学们化简 1 8 ,两名同学得到的结 果不同,请你检查他们的化简过程,指出谁 的做法是错误的及错误的步骤,并改正. 小丽的做法: 1 8 = 1×2 8×2 ① = 2 16 ② = 2 16 ③ = 2 4 ④ 小明的做法: 1 8 = 1 8 ① = 1 2 2 ② = 1×2 2 2 2 × 2 ③ = 2 2 ④ 13. 学习情境·课堂讨论 (本小题满分 9 分)老 师在复习“二次根式”时,在黑板上写出下 面的一道题作为练习: 已知 7 = a, 70 = b,用含 a,b 的代数式表 示 4. 9 . 小豪、小麦两位同学跑上讲台,板 书了下面两种解法: 小豪: 4. 9 = 49 10 = 49×10 10×10 = 490 100 = 7×70 10 = 7 × 70 10 = ab 10 . 小麦: 4. 9 = 49×0. 1 = 7 0. 1 . 因为 0. 1 = 1 10 = 7 70 = 7 70 = a b ,所以 4. 9 = 7 0. 1 = 7a b 老师看罢,提出问题:两位同学的解法都正 确吗? 请你说明理由. 14. 学科素养·推理能力 (本小题满分 11 分) (1) 计算填空: 42 = 　 　 　 　 , 0. 82 = 　 　 　 　 , ( -3) 2 = 　 　 　 　 , ( - 2 3 ) 2 = 　 　 　 　 ; (2)根据计算结果,回答: a2 一定等于 a 吗? 你发现其中的规律了吗? 并请你 把得到的规律描述出来. (3)利用你总结的规律,计算: (π-3. 15) 2 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 12 页 第七周　 二次根式的加减及混合运算 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:60 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 下列计算正确的是(　 　 ) A. 2 3 x+ 12 x= 4 3 x B. 3 + 7 = 10 C. 48 - 27 3 = 16 - 9 = 1 D. ( -5) 2 = -5 2. 若 3 + = 48 ,则横线处应为(　 　 ) A. 27 　 　 B. 24 　 　 C. 12 　 　 D. 3 3. 如果最简二次根式 3a+6与 2-a是同类二 次根式,那么 a 的值为(　 　 ) A. 1 B. -1 C. 0 D. -2 4. 学习情境·接力游戏 老师设计了接力游戏, 用合作的方式完成二次根式运算,规则是: 每人只能看到前一人给的式子,并进行一步 计算,再将结果传递给下一人,最后完成化 简,过程如图所示: 接力中,自己负责的一步出现错误的是(　 　 ) A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁 5. 计算: 12 - 27 = 2 a +b 3 = c 3 ,则 a+b+c = (　 　 ) A. -5 B. -1 C. 2 D. 5 6. 学科素养·推理能力 观察下列等式: 第 1 个等式:a1 = 1 1+ 2 = 2 -1 第 2 个等式:a2 = 1 2 + 3 = 3 - 2 第 3 个等式:a3 = 1 3 +2 = 2- 3 第 4 个等式:a4 = 1 2+ 5 = 5 -2 按照上述规律,计算:a1+a2+a3+…+an =(　 　 ) A. n+1 -1 B. n+1 - n C. n+1 D. n-1 二、填空题(每空 2 分,共 10 分) 7. 若一个梯形的上底为 32 ,下底为 50 ,高 为 96 ,则该梯形的面积是　 　 　 　 . 8. 若 m、n 为整数,a、b 分别为 4- 3 的整数部 分和小数部分,且 abm+b2n= 2,则 m-4n的 值为 . 9. 已知 x= 5 +2,y= 5 -2,求下列各式的值: (1)x+y= 　 　 　 　 ; (2)x2 -2xy+y2 = 　 　 　 　 ; (3)x2 -y2 = 　 　 　 　 . 三、解答题(共 32 分) 10. (本小题满分 8 分)计算或化简: (1) 24 ÷ 3 - 1 2 × 54 -( 12 + 8 ); (2)(4 54 -6 2 27 +3 12 ) ÷2 3 +( - 1 3 ) -1 . 11. (本小题满分 7 分)在一个长为 4 5 ,宽为 3 5的长方形内部挖去一个边长为(2 15 - 5 )的正方形,求剩余部分的面积. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 13 页 12. 学科素养·推理能力 (本小题满分 8 分)阅 读下列解题过程: 1 2 +1 = 2 -1 ( 2 +1)( 2 -1) = 2 -1; 1 3 + 2 = 3 - 2 ( 3 + 2 )( 3 - 2 ) = 3 - 2 ; 1 4 + 3 = 4 - 3 ( 4 + 3 )( 4 - 3 ) = 4 - 3 = 2- 3 ;…,则: (1) 1 10 + 9 = 　 　 　 　 ; 1 100 + 99 = 　 　 　 　 ; (2)观察上面的解题过程,请直接写出式 子 1 n + n-1 = 　 　 　 　 ; (3) 利用上面的规律,比较 12 - 11 与 13 - 12的大小. 13. 数学思想·类比思想 (本小题满 9 分)阅读 下面的材料,解答后面给出的问题: 　 　 两个含有二次根式的代数式相乘,如 果它们的积不含有二次根式,我们就说这 两个代数式互为有理化因式,例如 a 与 a , 2 +1 与 2 -1. 这样,化简一个分母含 有二次根式的式子时,采用分子、分母同乘 以分母的有理化因式的方法就可以了,例 如: 2 3 = 2× 3 3× 3 = 6 3 , 2 3- 3 = 2(3+ 3) (3- 3)(3+ 3) = 2(3+ 3) 9-3 =2(3+ 3) 6 =3+ 3 3 . (1)请你写出 3+ 11 的有理化因式:　 　 　 　 (填写一个即可); (2)请仿照上面的方法化简 1 -b 1- b (b≥0 且 b≠1); (3)已知 a = 1 3 -2 ,b = 1 3 +2 ,求 a2 +b2 +2 的值. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 14 页 第八周　 轴对称、线段的垂直平分线 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:60 分 一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 1. 下列图形中是轴对称图形的为(　 　 ) A. 　 　 　 　 　 B. C. D. 2. 下列四种图形中,对称轴条数最多的是(　 　 ) A. 等边三角形 B. 圆 C. 长方形 D. 正方形 3. 如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线分别交 AB、BC 于点 D、E,连接 AE,若 AE = 4,EC = 2,则 BC 的长是(　 　 ) A. 2　 　 　 B. 4　 　 　 C. 6　 　 　 D. 8 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,在△ABC 中,AC>BC,分别以点 A,B 为 圆心,以大于 1 2 AB 的长为半径画弧,两弧交 于D,E,经过D,E 作直线分别交 AB,AC 于点 M,N,连接 BN,下列结论正确的是(　 　 ) A. AN=NC B. AN=BN C. MN= 1 2 BC D. BN 平分∠ABC 5. 如图,在△ABC 中,DE 垂直平分 AC,若 BC=20 cm,AB=12 cm,则△ABD 的周长为(　 　 ) A. 20 cm B. 22 cm C. 26 cm D. 32 cm 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 6. 如图,△ABC 与△A′B′C′关于直线 MN 对 称,P 为 MN 上任一点,下列结论中错误的 是(　 　 ) A. AP=A′P B. MN 垂直平分 A′A,CC′ C. △ABC 与△A′B′C′面积相等 D. 直线 AB、A′B′的交点不一定在 MN 上 7. 如图所示,在△ABC 中,∠BAC = 144°,MG、 NH 分别垂直平分 AB、AC,交 BC 边于点 G、 H,则∠GAH 的度数为(　 　 ) A. 108° B. 72° C. 58° D. 36° 第 7 题图 　 第 8 题图 8. 生活情境·绳网 在国家精准扶贫政策的指 导下,在镇党委的大力扶持下,有两个村庄 P、Q 都开发了绳网项目,生产体育绳网、安 全绳网等. 为了让绳网通过互联网迅速销 往各地,当地政府准备在两个村庄的公路 m 旁建立公用 5G 移动通信基站,要使基站到 两个村庄的距离相等,那么基站应该建立 在(　 　 ) A. A 处 B. B 处 C. C 处 D. D 处 二、填空题(每空 2 分,共 6 分) 9. 如图,在△ABC 中,BC= 8,AB 的垂直平分线 交 BC 于点 D,AC 的垂直平分线交 BC 于点 E,则△ADE 的周长等于　 　 　 　 . 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,△ABC 中,∠B = 55°,∠C = 30°,分别 以点 A 和点 C 为圆心,大于 1 2 AC 的长为半 径画弧,两弧相交于点 M、N,作直线 MN, 交 BC 于点 D,连接 AD,则∠BAD 的度数为 　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 15 页 11. 如图,在长方形 ABCD 中,AD=BC= 3,AB= CD= 4,AC = 5,动点 M 在线段 AC 上运动 (不与端点重合),点 M 关于边 AD,DC 的 对称点分别为 M1,M2,连接 M1M2,点 D 在 M1M2 上,则在点 M 的运动过程中,线段 M1M2 长度的最小值是　 　 　 　 . 三、解答题(共 30 分) 12. (本小题满分 9 分)嘉淇要证明命题“线段外 一点到线段两端点相等的点在该线段的垂直 平分线上”是正确的,她先画出了如图所示的 图形,并写出了不完整的已知和求证. 已知:∠AOB,点 C 是射线 OA 上一点,点 D 是射线 OB 上一点,OC= 　 　 　 　 . 求证:点 C 在线段 OD 的　 　 　 　 上. (1)在方框中补全已知和求证; (2)请你根据嘉淇的想法写出证明过程. (提示:等腰三角形的两个底角相等) 13. (本小题满分 10 分) 如图, △ABC 和△ A′B′C′的顶点都在边长为 1 的正方形网格 的格点上,且△ABC 和△A′B′C′关于直线 m 成轴对称. (1)求△ABC 的面积; (2)请在如图所示的网格中作出对称轴直 线 m; (3)请在直线 m 上作一点 D,使得 AD+CD 最小. (保留必要的作图痕迹) 14. (本小题满分 11 分)如图,点 P 在∠AOB 的内部,点 C 和点 P 关于 OA 对称,点 P 关 于 OB 的对称点是点 D,连接 CD 交 OA 于 点 M,交 OB 于点 N. (1)①若∠AOB= 60°,求∠COD 的度数. ②若∠AOB=n°,则∠COD = ° (用含 n 的代数式表示) . ( 2 ) 若 CD = 4, 则 △PMN 的 周 长 为 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 16 页 第九周　 角的平分线、中心对称、设计图案 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:60 分 一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 1. 文化情境·历史文化 围棋起源于中国,古代 称之为“弈”,至今已有四千多年的历史. 下 列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形 的是(　 　 ) A. 　 　 　 　 　 　 B. C. D. 2. 文化情境·历史文化 如图是“一带一路”示 意图,若记北京为 A 地,莫斯科为 B 地,雅 典为 C 地,分别连接 AB、AC、BC,形成了一 个三角形. 若想建立一个货物中转仓,使其 到三边的距离相等,则中转仓的位置应选 在(　 　 ) A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 3. 在平面内,由图 1 经过两次图形变换得到图 3,下列说法正确的是(　 　 ) A. 只经过平移 B. 只经过中心对称 C. 只经过旋转 D. 只经过轴对称 4. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,CD = 2,BD = 3,Q 为 AB 上一动点,则 DQ 的最小值为(　 　 ) A. 1　 　 　 B. 2　 　 　 C. 2. 5　 　 　 D. 3 5. 文化情境·历史文化 中国“二十四节气”已 被正式列入联合国教科文组织人类非物质 文化遗产代表作品录,下列四幅作品分别 代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”,其中既 是轴对称又是中心对称图形的是(　 　 ) A. B. C. D. 6. 下列尺规作图. 能得到∠ADC = 2 ∠B 的 是(　 　 ) A. B. C. D. 7. 如图,已知 OP 平分∠AOB,PC⊥OB 于点 C,PD⊥OA 于点 D,延长 CP,与 OA 交于点 E,则下列结论不一定正确的是(　 　 ) A. PC=PD B. PC=DE C. ∠CPO= ∠DPO D. OC=OD 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. 如图所示,在△ABC 中, ∠C = 90°,AD 是 △ABC 的角平分线,若 CD = 3,点 F 是 AB 上一动点,则 DF 的长度不可能为(　 ) A. 5　 　 　 B. 4　 　 　 C. 3　 　 　 D. 2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 17 页 二、填空题(每空 2 分,共 6 分) 9. 如图,点 P 是∠AOC 的平分线上一点,PD⊥ OA,垂足为点 D,且 PD = 8,点 M 是射线 OC 上一动点,则 PM 的最小值为　 　 　 　 . 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,在△ABC 中,∠C = 90°,AB = 10,AD 是△ABC 的一条角平分线,若 CD = 3,则 △ABD 的面积为　 　 　 　 . 11. 如图,若 P 是∠BAC 的平分 线 AD 上一点,PE⊥AC 于 点 E,且 PE= 3,AE= 4,点 F 在射线 AB 上运动,当运动 到某一位置时,△FAP 的面积恰好是△EAP 面积的 1 2 ,则此时 AF 的长是　 　 　 　 . 三、解答题(共 30 分) 12. (本小题满分 10 分)如图,BD 是△ABC 的 角平分线,DE⊥AB,垂足为 E,△ABC 的面 积为 70,AB= 16,BC= 12,求 DE 的长. 13. (本小题满分 10 分)已知,∠AOB 和两点 C、D,求作一点 P,使 PC = PD,且点 P 到 ∠AOB 的两边的距离相等. (要求:用尺规 作图,保留作图痕迹,不写作法,不要求证 明) 14. (本小题满分 10 分)如图所示的三种拼块 A、B、C,每个拼块都是由一些大小相同、面 积为 1 个单位的小正方形组成,如编号为 A 的拼块的面积为 3 个单位. 现用若干个这三种拼块拼正方形,拼图时 每种拼块都要用到,且这三种拼块拼图时 可平移、旋转或翻转. (1)若用 1 个 A 种拼块,2 个 B 种拼块,4 个 C 种拼块,则拼出的正方形的面积 为 个单位. (2)在图 1 和图 2 中,各画出了一个正方 形,拼图中有 1 个 A 种拼块和 1 个 B 种拼块,请分别用不同的拼法将图 1 和图 2 中的正方形拼图补充完整. 要 求:所用的 A,B,C 三种拼块的个数与 (1)不同,用实线画出边界线,拼块之 间无缝隙,且不重叠. 　 　 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 18 页 第十周　 等腰三角形 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:55 分 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 如图,在△ABC 中,AB =AC,D 是 BC 边上的 中点,∠B= 30°,则∠DAC 等于(　 　 ) A. 30°　 　 B. 40°　 　 C. 50° 　 　 D. 60° 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,等腰△ABC 中,AB = AC,∠A = 36°. 用 尺规作图作出线段 BD,则下列结论错误的 是(　 　 ) A. AD=BD B. ∠DBC= 36° C. S△ABD =S△BCD D. △BCD 的周长=AB+BC 3. 在△ABC 中,已知∠B = ∠C = 50°,AD 是 △ABC 的中线,则∠BAD 的度数是(　 　 ) A. 40° B. 30° C. 35° D. 50° 4. 数学思想·分类思想 在等腰三角形中,已知 一个角是另一个角的 2 倍,则这个等腰三角 形的顶角为(　 　 ) A. 36° B. 30°或 100° C. 90° D. 36°或 90° 5. 数学思想·分类思想 (遵化期末)若实数 m、 n 满足等式 | m-2 | + n-4 = 0,且 m、n 恰好 是等腰△ABC 的两条边的边长,则△ABC 的 周长是(　 　 ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 8 或 10 6. 如图,在△ABC 中,∠B = ∠C,D 为 BC 边上 的一点,E 点在 AC 边上,∠ADE= ∠AED,若 ∠BAD= 20°,则∠CDE= (　 　 ) A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. 如图所示,△ABC 是等边三角形,AQ = PQ, PR⊥AB 于 R 点,PS⊥AC 于 S 点,PR = PS, 则四个结论:①点 P 在∠BAC 的平分线上; ②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP,正 确的结论是(　 　 ) A. ①②③④ B. 只有①② C. 只有②③ D. 只有①③ 二、填空题(每空 2 分,共 8 分) 8. 如图,正三角形的三个内角平分线交于 O 点,则∠2-∠1 = 　 　 　 　 . 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 9. 如图,∠EAF = 15°,AB = BC = CD,则∠ECD 等于　 　 　 　 . 10. 数学思想·分类思想 如果等腰三角形一腰 上的高与另一腰的夹角为 45°,那么它的 顶角为　 　 　 　 度. 11. 易错题 如图,O 是等 边△ABC 内一点,连接 OA,OB,OC, ∠AOB = 100°, ∠BOC = α, 将 △BOC 绕 点 C 顺 时 针 旋 转 60°, 得 到 △ADC,连接 OD. 若 △AOD 是等腰三角 形,则 α 的度数为　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 19 页 三、解答题(共 26 分) 12. (本小题满分 8 分)如图,在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,连接 AD,AB=AD=CD. (1)求证:∠ABC= 2∠C; (2)过点 B 作 AD 的平行线,交 CA 的延长 线于点 E, 若 AD 平分 ∠BAC, 求证: △ABE 是等腰三角形. 13. (本小题满分 9 分) 如图,在等边△ABC 中,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,且 DE∥ AB,过点 E 作 EF⊥DE,交 BC 的延长线于 点 F. (1)求∠F 的度数; (2)若 CD= 3,求 DF 的长. 14. 学科素养·推理能力 (本小题满分 9 分) (唐山期末)数学课上,张老师举了下面的 例题: 例 1:等腰三角形 ABC 中,∠A = 110°,求 ∠B 的度数. (答案:35°) 例 2:等腰三角形 ABC 中,∠A= 40°,求∠B 的度数. (答案:40°或 70°或 100°) 张老师启发同学们进行变式,小敏编了如 下一题: 变式:等腰三角形 ABC 中, ∠A = 80°,求 ∠B 的度数. (1)请你解答以上的变式题; (2)解(1)后,小敏发现,∠A 的度数不同, 得到的∠B 度数的个数也可能不同, 如果在等腰三角形 ABC 中,设∠A = x°,当∠B 有三个不同的度数时,请你 探索 x 的取值范围. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 20 页 第十一周　 直角三角形 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:55 分 一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 1. Rt △ABC 中, ∠C = 90°, ∠A = 30°, BC = 3 cm,则 AB 的长度为(　 　 ) A. 9 cm　 　 　 　 　 　 B. 6 cm C. 4. 5 cm　 　 D. 3 cm 2. 如图,把一副三角板叠放在一起,则∠1 的 大小为(　 　 ) A. 105°　 　 B. 115°　 　 C. 120°　 　 D. 125° 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,BC⊥ AC, ∠ABC = 56°,BD∥AC,则 ∠ABD 的度数为(　 　 ) A. 34° B. 46° C. 36° D. 44° 4. 在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,CD 是 AB 边上的 中线,下列结论正确的是(　 　 ) A. CD⊥AB B. CD=BC C. BD=CD D. ∠ACD= ∠BCD 5. 如图,△ABC 是等边三角形,点 D 是 AC 的 中点,DE⊥BC,CE= 3,则 AB 等于(　 　 ) A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 6. 如图,在△ABC 中, ∠ACB = 90°, ∠ABC = 60°,BD 平分∠ABC,P 点是 BD 的中点,若 AD= 6,则 CP 的长为(　 　 ) A. 3 B. 3. 5 C. 4 D. 4. 5 7. (唐山期末)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,CD⊥AB 于点 D,∠ACD= 3∠BCD,E 是 斜边 AB 的中点,则∠ECD= (　 　 ) A. 22. 5° B. 30° C. 36° D. 45° 第 7 题图 　 　 第 8 题图 8. 如图,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AD 是高, BE 是中线,CF 是角平分线,CF 交 AD 于点 G,交 BE 于点 H,下列结论: ①S△ABE = S△BCE;②∠AFG = ∠AGF;③BH = CH;④∠FAG= 2∠ACF. 正确的是(　 　 ) A. ①②③ B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题(每空 2 分,共 6 分) 9. △ABC 中,∠C = 90°,CD⊥AB,∠B = 63°,则 ∠DCA= 　 　 　 　 . 10. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,∠A= 30°, BD 是 ∠ABC 的平分线, CD = 5, 则 AD = 　 　 　 　 . 第 10 题图 　 　 第 11 题图 11. 如图,△ABC 中,∠ACB = 90°,沿 CD 边折 叠△CBD,使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处,若∠A =m°,则∠BDC 等于　 　 　 　 °. (用含 m 的式子表示) 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 21 页 三、解答题(共 25 分) 12. (本小题满分 8 分)如图,已知 Rt △ABC 中,∠ACB = 90°,∠B = 15°,边 AB 的垂直 平分线交边 BC 于点 E,垂足为点 D,取线 段 BE 的中点 F,连接 DF. 求证:AC=DF. 13. (本小题满分 8 分) 如图, 已知在等边 △ABC 中,D 是 AB 的中点,DE⊥AC 于点 E,EF⊥BC 于点 F,AB= 12. 求 BF 的长. 14. 生活情境·海上航行 (本小题满分 9 分) (福建期末)如图,一条船上午 8 时从海岛 A 出发,以 15 海里 /时的速度向正北方向 航行,上午 10 时到达海岛 B 处,分别从 A, B 处望灯塔 C,测得∠NAC = 30°, ∠NBC = 60°. (1)求海岛 B 到灯塔 C 的距离; (2)若这条船继续向正北航行,问什么时 间小船与灯塔 C 的距离最短? 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 22 页 第十二周　 勾股定理、直角三角形全等的判定、反证法 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:50 分 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 在△ABC 中,∠C = 90°,AC = 4,BC = 3,则斜 边上的中线为(　 　 ) A. 7 　 　 　 　 　 　 　 　 B. 5 C. 5 2 D. 7 2 2. 选择用反证法证明“已知:在△ABC 中,∠C = 90°. 求证:∠A,∠B 中至少有一个角不大 于 45°. ”时,应先假设(　 　 ) A. ∠A>45°,∠B>45° B. ∠A≥45°,∠B≥45° C. ∠A<45°,∠B<45° D. ∠A≤45°,∠B≤45° 3. 满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的 是(　 　 ) A. a ∶b ∶c= 3 ∶4 ∶5 B. ∠A ∶∠B ∶∠C= 9 ∶12 ∶15 C. ∠C= ∠A-∠B D. b2 -a2 = c2 4. △ABC 中,AB = 13,AC = 15,高 AD = 12,则 BC 的长为(　 　 ) A. 14 B. 4 C. 14 或 4 D. 以上都不对 5. 如图,OD⊥AB 于 D,OP⊥AC 于 P,且 OD = OP,则△AOD 与△AOP 全等的理由是(　 　 ) A. SSS B. AAA C. SSA D. HL 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 6. 如图,四边形 ABCD 中,∠B= ∠D= 90°,AB= 3 2 ,BC= 4 2 ,AD=CD,则 AD·CD=(　 　 ) A. 12 2 B. 24 C. 12 3 D. 25 7. 如图,在四边形 ABCD 中,AB = 1,BC = 1,CD = 2,DA = 6 ,且∠ABC = 90°,则四边形 AB- CD 的面积是(　 　 ) A. 2 B. 1 2 + 2 C. 1+ 2 D. 1 + 2 2 二、填空题(每空 2 分,共 6 分) 8. 如图,∠B= ∠D= 90°,BC=DC,∠2 = 30°,则 ∠1 = 　 　 　 　 度. 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 9. 生活情境·铺地毯 如图,是一段楼梯,高 BC 是 3 m,斜边 AC 是 5 m,如果在楼梯上铺地 毯,那么至少需要地毯　 　 　 　 m. 10. (北京中考)如图所示的网格是正方形网 格,则∠PAB+∠PBA= 　 　 　 　 °(点 A,B, P 是网格线交点). 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 23 页 三、解答题(共 23 分) 11. (本小题满分 8 分)如图,点 C 是线段 BD 上的一点,∠B = ∠D = 90°,AB = 3,BC = 2, CD = 6, DE = 4, AE = 65 . 求证: ∠ACE = 90°. 12. (本小题满分 6 分)在△ABC 中,AB = CB, AB⊥CB,F 为 AB 延长线上一点,点 E 在 BC 上,且 AE=CF. 求证:BE=BF. 13. 生活情境·噪音 (本小题满分 9 分)如图, 有两条公路 OM,ON 相交成 30°,沿公路 OM 方向离 O 点 80 米处有一所学校 A,当 重型运输卡车 P 沿道路 ON 的方向行驶 时,以 P 为圆心,50 米长为半径的圆形区 域内都会受到卡车噪声的影响,且卡车 P 与学校 A 的距离越近噪声影响越大,若重 型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶的速度 为 5 米 /秒. (1)求卡车 P 对学校 A 的噪声影响最大 时,卡车 P 与学校 A 的距离; (2)求卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次,它 给学校 A 带来噪声影响的总时间. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBJ·数学　 第 24 页 24. 解:设 B 款套装的单价是 x 元,则 A 款套装的单价是 1. 2x 元,依题意得:9 900 1. 2x -7 500 x = 5,解得 x = 150,经 检验,x = 150 是原方程的解,且符合题意,∴ 1. 2x = 1. 2×150 = 180. 故 A 款套装的单价是 180 元,B 款套 装的单价是 150 元. 25. 解:(1)连接 AC,技术人员测量的是 A,C 两点之间的距 离,确定∠ABC= 90°的依据是勾股定理逆定理; (2) ∵ ∠ABC = 90°, AB = 9m, BC = 12m, ∴ AC = AB2 +BC2 = 15( m),∵ CD = 17m,AD = 8m,∴ AD2 +AC2 = DC2 ,∴ ∠DAC = 90°,∴ S△DAC = 1 2 × AD· AC = 1 2 × 8 × 15 = 60 ( m2 ), S△ACB = 1 2 ×AB·BC= 1 2 ×9×12 = 54(m2 ),∴ S四边形ABCD = 60+54= 114(m2),∴ 150×114= 17 100(元),故绿 化这片空地共需花费 17 100 元. 26. 解:(1)BD⊥CE　 BC=CD+CE (2)BD⊥CE 成立,数量关系不成立,关系为 BC =CE -CD. 理由如下: ∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°, ∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD, 即 ∠BAD = ∠CAE,在△ABD 和△ACE 中, AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { , ∴ △ABD≌ △ACE( SAS),∴ BD = CE,∠ACE = ∠ABC,∴ BD= BC+CD,∠ACE+∠ACB = 90°,∴ BD⊥CE,BC=CE-CD; (3) ∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°, ∴ ∠BAC - ∠BAE = ∠DAE-∠BAE,即∠BAD = ∠EAC,∵ AB = AC, AD=AE,∴ △ABD≌△ACE(SAS),∴ BD =CE = 4,∠ACE = ∠ABD,∵ AB = AC,∠BAC = 90°,∴ ∠ABC= ∠ACB= 45°,∴ ∠ACE = ∠ABD = 135°, ∴ CD= 16,∠DCE = 90°,在Rt△DCE 中,由勾股 定理得,DE= CD2 +CE2 = 162 +42 = 4 17 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂《铺路帮手》答案 第一周　 分式、分式的运算 1. A　 2. B　 3. B　 4. B　 5. B 6. C　 【解析】原式= a 2 (a+1)(a-1) ÷1+a-1 a-1 = a a+1 . 故选 C. 7. B 8. D　 【解析】原式= x 2 -2x x-1 ·1 -x x2 = - x(x-2) x-1 ·x -1 x2 = -x-2 x . 故选 D. 9. D 10. x≠2 022 11. 6　 【解析】原式 = a 2 -4 a · a 2 a+2 = a2 - 2a. ∵ a2 - 2a- 6 = 0, ∴ a2 -2a= 6. 12. (1)x-1　 (2)x2 -2 13. 解:(1)原式= x +2 x+1 ·x(x +1) x = x+2; (2) 原式 = (x +2)(x-2) (x-2) 2 · 2(x -2) x(x+2) - 1 x = x+2 x-2 · 2(x-2) x(x+2) - 1 x = 1 x . 14. 解:(1)根据分式值为 0 的条件,得 6-2 | x | = 0 且(x+3) (x-1)≠0,解得 x= 3; (2)要使该分式无意义,则(x+ 3) (x- 1) = 0,解得 x = -3 或 x= 1; (3)要使该分式有意义,则(x+3) (x-1) ≠0,解得 x ≠-3 且 x≠1. 15. 解:原式=( 5 x-2 -x 2 -4 x-2 ) ÷(x -3) 2 x-2 + x x-3 = -(x+3)(x-3) x-2 · x-2 (x-3) 2 + x x-3 = -x+3 x-3 + x x-3 = - 3 x-3 ,∵ x-2≠0,x-3≠0, ∴ x≠2 且 x≠3,∴ 取 x= 1,则原式= - 3 1-3 = 3 2 . (x 的 取值答案不唯一) 16. 解:原式 = x +2 x+1 · 2(x +1) (x-2)(x+2) = 2 x-2 . 解不等式组可得 -3≤x≤-1. ∵ x 是整数,∴ x = -1,-2,-3. ∵ x+1≠ 0,x+2≠0,x- 2≠0,∴ x = - 3. 当 x = - 3 时,原式 = - 2 5 . 17. 解: 不 正 确, 原 式 = 4x (x-2)(x+2) - 2(x+2) (x-2)(x+2) = 4x-2(x+2) (x-2)(x+2) = 2(x-2) (x-2)(x+2) = 2 x+2 . 18. 解:∵ M x+2 - N x-2 = x-8 x2 -4 ,∴ M(x -2)-N(x+2) (x+2)(x-2) = x-8 x2 -4 ,∴ (M-N)x-2M-2N x2 -4 = x-8 x2 -4 , ∴ M-N= 1 -2M-2N= -8{ , 解 得 M= 2. 5 N= 1. 5{ . 第二周　 分式方程及应用 1. B　 2. C　 3. B　 4. B　 5. B　 6. A 7. B　 【解析】解分式方程,得 x= 12 +m 2 ,∵ 分式方程的解为 整数,∴ 12 +m 2 为整数且 12+m 2 ≠1,∴ 12 +m 2 为整数且 m≠ -10, m-5y>2① y-4≤3y+6②{ ,解不等式①得:y< m-2 5 ,解不等式② 得:y≥-5,∵ 不等式组有且只有三个整数解,∴ -3<m -2 5 ≤-2,解得-13<m≤- 8,综上所述:符合条件的整数 m 的值为:-8,-12. 符合条件的所有整数 m 的和为:-8-12 = -20. 故选 B. 8. 1 9. 1 或 2　 【解析】分式方程去分母,化简得(m-2)x+1 = 0; 当方程有增根为 x= 0 时,m 不存在;当方程有增根为 x = 1 时,m-2+1 = 0,m= 1;当 m-2 = 0,即 m= 2 时,原方程无 解,综上所述,m= 1 或 2. 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 18 页 10. 乙队每天修路比甲队 2 倍还少 30m 11. 3 000 x -3 000 1. 25x = 3　 12. (1)x= -2　 (2)-3 13. 解:(1)方程两边同乘 x(x+2),得 2(x+2)= 3x,解得 x= 4. 检验:当 x = 4 时,x(x+2) ≠0,∴ 原分式方程 的解为 x= 4. (2)方程两边同乘(x+1)(x-1),得(x+1) 2 +4 = (x+ 1)(x-1),解得 x= -3. 检验:当 x= -3 时,(x+1) (x-1)≠0,∴ 原分式方程的解为 x= -3. 14. 解:(1)方程两边同乘(x-3),得 x = 2(x-3) -( -2),解 得 x= 4. 经检验,x= 4 是原分式方程的解. (2)设原分式方程中“?”代表的数为 m,则有 x x-3 = 2 - m x-3 . 方 程 两 边 同 时 乘 ( x - 3 ), 得 x = 2(x-3)-m. ∵ x= 3 是原分式方程的增根,∴ 把 x= 3 代入上面的等式,得 m = -3. ∴ 原分式方程 中“?”代表的数是-3. 15. 解:(1)一　 2x+2-(x-3)= 6x　 等式的性质 (2)检验 (3)方程两边同乘 2x+2,得 2x+2-(x-3)= 6x,解得 x= 1. 检验:当 x= 1 时,2x+ 2≠0. ∴ 原分式方程 的解为 x= 1. 16. 解:设甲类器材的单价为 x 元,则乙类器材的单价为(x +120)元,由题意得20 000 x = 30 000 x+120 ,解得 x = 240,经 检验,x= 240 是原分式方程的解,故甲类器材的单 价为 240 元. 第三周　 命题与证明、全等图形 1. B 2. C　 【解析】一个定理的逆命题不一定是真命题,只有真 命题才可以是定理,C 错误. 故选 C. 3. B 4. C 　 【解析】 ∵ △ABC ≌ △ADE,∴ ∠BAC = ∠DAE, ∴ ∠BAC- ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC,即 ∠BAD = ∠CAE,∵ ∠DAC= 90°,∠BAE = 140°,∴ ∠BAD + ∠CAE = 50°,∴ ∠BAD= ∠CAE= 25°. 故选 C. 5. C 6. D　 【解析】∵ △ABE≌△ACD,∴ AB = AC,BE =CD,AD = AE,∠BAE = ∠CAD,∴ ∠BAE-∠DAE = ∠CAD-∠DAE, ∴ ∠BAD= ∠CAE,A、B、C 均正确,D 无法得出. 故选 D. 7. A　 【解析】∵ FE⊥BC,垂足为 E,∴ ∠CEH = ∠BEF = 90°,∴ ∠C = 90° - ∠CHE = 90° -β,∴ ∠B = 180° - ∠A- ∠C= 180°-α-(90°-β)= 90°-α+β. ∵ △ABC≌△DEF, ∴ ∠DEF= ∠B = 90°-α+β,∴ ∠BED = ∠BEF-∠DEF = 90°-(90°-α+β)= α-β. 故选 A. 8. C 9. 真　 10. 120° 11. 50 　 【解析】 ∵ △ABC≌ △DEC,∴ ∠DCE = ∠ACB = 60°,AC=CD,∠D = ∠BAC,∴ ∠D = ∠DAC,∵ ∠BCD = 100°,∠ACB = 60°,∴ ∠ACD = ∠BCD-∠ACB = 40°,∴ ∠BAC= ∠D = 1 2 × (180° - 40°) = 70°,∴ ∠B = 180° - ∠ACB-∠BAC= 180°-60°-70° = 50°. 12. 39　 【解析】由平移的性质可知△ABC≌△DEF,BE = 6, DE=AB= 8,∴ PE =DE-DP = 5,∴ S△ABC = S△DEF,∴ S△ABC -S△PEC =S△DEF-S△PEC,即 S阴影部分 = S梯形ABEP = 1 2 (AB+PE) ·BE= 39. 13. 解:(1)逆命题:相等的角是同位角,原命题和逆命题都 是假命题; (2)逆命题:如果 a= b,那么 | a | = | b | ,原命题是假命 题,逆命题是真命题; (3) 逆命题:三个角都是 60°的三角形是等边三角 形,原命题和逆命题都是真命题. 14. 解:AB∥DE. 理由如下:∵ △ABC≌△DEF,∴ ∠BAC = ∠EDF,∴ AB∥DE. 15. 解:(1)由平移的性质可知△ABC≌△DEF,∴ ∠2 = ∠F = 26°,∵ ∠B= 74°,∴ ∠A = 180°-( ∠2+∠B) = 180°-(26°+74°)= 80°; (2)∵ BC= 4. 5cm,EC = 3. 5cm,∴ BE =BC-EC = 4. 5 -3. 5 = 1(cm),∴ △ABC 平移的距离为 1cm. 16. 解:∵ △ABC≌△DEF,∠A= 32°,∠B= 48°,∴ ∠D = ∠A = 32°,∠E= ∠B= 48°,∴ ∠DFE = 180°-∠D-∠E = 100°. ∵ △ABC≌△DEF,∴ BC = EF,∴ BC-CF = EF -CF,即 BF=EC,∵ BF= 3,∴ EC= 3. 17. 解:(1)4 (2)∵ △ABC≌△DEB,∠C = 60°,∠D = 35°,∴ ∠C = ∠DBE = 60°, ∠A = ∠D = 35°, ∵ ∠AEF = ∠ABD+∠D = 60° + 35° = 95°,∴ ∠AFD = ∠A+ ∠AEF= 35°+95° = 130°. 第四周 全等三角形的判定、尺规作图 1. A　 2. C 3. C　 【解析】在△ABC 和△DEB 中,AC=BD,AB=ED,BC = BE,∴ △ABC≌ △DEB ( SSS),∴ ∠ACB = ∠DBE. 又 ∵ ∠AFB= ∠ACB+∠DBE,∴ ∠ACB= 1 2 ∠AFB. 故选 C. 4. C 5. D　 【解析】由作法得∠CMN = ∠DMN = ∠AOB,∵ ∠AOB = 20°,∴ ∠CMD= 2∠AOB= 40°. 故选 D. 6. C 7. SSS 8. 55°　 【解析】∵ ∠1 = ∠2,∴ ∠1+∠ABE= ∠2+∠ABE,即 ∠ABC= ∠FBE. 在△ABC 和△FBE 中, AB=FB ∠ABC= ∠FBE BC=BE { , ∴ △ABC≌△FBE,∴ ∠C = ∠FEB. 又∵ BC∥EF,∠1 = 55°,∴ ∠FEB= ∠1 = 55°,∴ ∠C= 55°. 9. (1)2　 (2)45° 10. 解:(1)如图,△A′B′C′即为所求. 　 　 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 19 页 (2)已知:如图,△ABC≌△A′B′C′,D 是 AB 的中点, D′是 A′B′的中点,求证:CD=C′D′. 证明:∵ △ABC≌ △A′B′C′,∴ AB = A′B′,AC = A′C′,∠A= ∠A′. ∵ D 是 AB 的中点,D′是 A′B′的 中点,∴ AD= 1 2 AB,A′D′ = 1 2 A′B′,∴ AD = A′D′, ∴ △CAD≌△C′A′D′(SAS),∴ CD=C′D′. 11. 解:∵ FG⊥AB,CD⊥BD,∴ ∠AGF = ∠EDC = 90°. ∵ BE =CD,BE = FG,∴ FG = CD. ∵ ∠1 + ∠2 = 90°,∠1 + ∠3 = 90°, ∴ ∠2 = ∠3. 在 △AFG 与 △ECD 中, ∠AGF= ∠EDC FG=CD ∠2 = ∠3 { ,∴ △AFG≌△ECD( ASA),∴ AG = DE=BD-BE = 38(米),∴ AB = AG+BG = 38+ 1 = 39 (米),故单元楼 AB 的高为 39 米. 12. 证明:过点 B 作 BG⊥BC 交 CF 的延长线于点 G,∵ ∠ACB= 90°,∴ ∠CAD+∠ADC = 90°. 又∵ CE⊥ AD,∴ ∠CED = 90°, ∴ ∠BCG + ∠ADC = 90°, ∴ ∠CAD= ∠BCG. 在△ADC 和△CGB 中,∠ACD = ∠CBG= 90°,AC = BC,∠CAD = ∠BCG,∴ △ADC ≌△CGB( ASA),∴ ∠ADC = ∠G,CD = BG. ∵ D 为 BC 的中点,∴ CD=BD,∴ BD =BG. ∵ ∠DBG = 90°,∠DBF = 45°, ∴ ∠GBF = ∠DBG - ∠DBF = 45°,∴ ∠DBF = ∠GBF. 在△BDF 和△BGF 中, BD= BG, ∠DBF = ∠GBF,BF = BF, ∴ △BDF≌ △BGF ( SAS ), ∴ ∠BDF = ∠G, ∴ ∠ADC = ∠BDF. 13. (1)证明:∵ BG∥AC,∴ ∠C = ∠GBD. ∵ D 是 BC 的中 点, ∴ BD = DC. 在 △CFD 和 △BGD 中 ∠C= ∠GBD CD=BD ∠CDF= ∠BDG { ,∴ △CFD≌△BGD( ASA), ∴ BG=CF; (2)解:BE+CF>EF,理由如下:∵ △CFD≌△BGD,∴ CF=BG,GD = DF. 在△BGE 中,BG+BE>EG. ∵ DE⊥GF,∴ ∠EDG= ∠EDF= 90°. 又∵ ED =ED, ∴ △EDG≌△EDF( SAS),∴ EF =EG,∴ BE+CF >EF. 第五周　 实数 1. C　 2. C　 3. C 4. D　 【解析】∵ | a | = 4, b2 = 3,且 a+b<0,∴ a= -4,b = -3 或 a= -4,b= 3,则 a-b= -1 或-7. 故选 D. 5. D　 6. D 7. 5　 8. 百　 9. 2　 -3 10. (1)8　 (2)-2a 11. 325　 【解析】 13 = 1, 13 +23 = 9 = 3, 13 +23 +33 = 36 = 6, 13 +23 +33 +43 = 100 = 10,…以此类推, 13 +23 +33 +43 +…+n3 = n(n+1) 2 , 当 n = 25 时, 13 +23 +33 +…+253 = 25×(25+1) 2 = 25×13 = 325. 12. ①②③　 【解析】当 a≥b 时,a&b = a-b . ∵ 一个非负 数的算术平方根为非负数,∴ ①正确;当 a<b 时,a&b = 3 a-b,∵ 负数的立方根为负数,∴ ②正确;2&1+1&2 = 2-1 + 3 1-2 = 1 - 1 = 0,∴ ③ 正确; 2 021&2 005 = 2 021-2 005 = 16 = 4,4 是有理数,∴ ④错误. 故结 论中一定成立的是①②③. 13. 解:(1)正数集合{0. 121 221 222 1…(相邻两个 1 之间 2 的个数逐次加 1), 3 11 ,0. 1, π 2 , 36 …}; (2)负数集合{- 1 2 , 3 -8 …}; (3)有理数集合{- 1 2 ,0. 1, 36 , 3 -8 ,0…}; (4)无理数集合{0. 121 221 222 1…(相邻两个 1 之 间 2 的个数逐次加 1), 3 11 , π 2 …}. 14. 解:(1)开立方,得 x-1 = -3,解得 x= -2; (2)开平方,得 x+1 = 2 或 x+1 = -2,解得 x = 1 或 x = -3. 15. 解:(1)根据题意得 x-1 = 0 y-5x= 0 x-y+z+1 = 0 { ,解得 x= 1 y= 5 z= 3 { ,∴ x+y+z= 1+5+3 = 9,而 9 的平方根为±3,∴ x+y+z 的平方 根为±3; (2)根据题意得:x-2≥0,2-x≥0,解得 x = 2,∴ y = 5,∴ 2x+3y= 2×2+3×5 = 19. 16. 解:由题意得,a+ b = 0,cd = 1,x = 2 或- 2. ∴ 5(a +b) a2 +b2 - 2cd+x= 0- 2 ±2 = 2- 2或-2- 2 . 17. 解:(1)① 2 ②当输入的 x= 0 和 1 时,取它们的算术平方根, 是 0 和 1,再输入 0 和 1,是有理数,结果仍是 0 和 1,是有理数,∴ 输入的 x= 0 和 1 时,始终 输不出 y 值; ③∵ 负数没有算术平方根,∴ 当 x<0 时,开平方 无法计算,∴ 输入 x<0 时,筛选器的屏幕显示 “该操作无法运行”; (2)∵ 4 < 6 < 9 ,∴ 2< 6 <3,-2>- 6 >-3,∴ 4<2+ 6 <5,3>5- 6 > 2,∴ 2+ 6 的小数部分 a 为 2+ 6 -4 = 6 -2,5- 6的小数部分 b 为 5- 6 -2 = 3 - 6 ,∴ a+b= 6 -2+3- 6 = 1. 第六周　 二次根式、二次根式的乘除 1. C　 2. C 3. C　 【解析】根据题意,得 5-m≥0,m+1>0,∴ -1<m≤5. 故选 C. 4. C 5. D　 【解析】原式=( 3 -2) 2 025·( 3 +2) 2 025·( 3 +2)= [( 3 -2)( 3 +2)] 2 025·( 3 + 2)= (3- 4) 2 025 ·( 3 + 2) = - 3 -2. 故选 D. 6. x≥-3 且 x≠2 7. >　 【解析】( 5 3 ) 2 = 5 3 ,( 3 2 ) 2 = 3 4 ,∵ 5 3 > 3 4 ,∴ 5 3 > 3 2 . 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 20 页 8. (1)3 2 　 (2) 3 9. 2 025　 【解析】根据二次根式有意义的条件得 a- 2 025 ≥0,∴ a≥2 025,∴ 2 024-a<0,∴ 原式可化为:a-2 024+ a-2 025 =a,∴ a-2 025 = 2 024,∴ a-2 025 = 2 0242, ∴ a-2 0242 = 2 025. 10. 解:(1)原式= 5 3 × 3 7 × 7 5 = 1; (2)原式 = - 2 2 3 × 2× 3 6 ÷ 7 30 5 = - 8 3 × 5 7 30 = - 4 7 10 . 11. 解:∵ m= 3+ 5 ,n = 3- 5 ,∴ mn = (3+ 5 ) (3- 5 ) = 4, m n = 3+ 5 3- 5 = (3+ 5 ) 2 (3- 5 )(3+ 5 ) = 14+6 5 4 = 7+3 5 2 ,mn + m n = 4+7 +3 5 2 = 15+3 5 2 . 12. 解:小明的解法是错误的,错误的步骤是③. 改正: 1 8 = 1 8 = 1 2 2 = 2 2 2 × 2 = 2 4 . 13. 解:都正确. 理由如下:观察两位同学的解答过程可知, 均符合二次根式运算法则,所得结果可以互相转 换,ab 10 = 7 × 70 10 = 7 ×70 10× 70 = 7× 7 70 = 7a b . 14. 解:(1)4　 0. 8　 3　 2 3 (2) a2 不一定等于 a,规律: a2 = | a | ; (3) (π-3. 15) 2 = | π-3. 15 | = 3. 15-π. 第七周　 二次根式的加减及混合运算 1. A　 【解析】A. 2 3 x+ 12 x = 2 3 x+2 3 x = 4 3 x,故选项 A 计算正确;B. 3与 7不是同类二次根式,不能加减,故 选项 B 计算错误;C. 48 - 27 3 = 4 3 -3 3 3 = 3 3 ≠1,故 选项 C 计算错误;D. (-5) 2 = 5≠-5,故选项 D 计算错 误. 故选 A. 2. A　 3. B 4. A　 【解析】 6 ×2 3 - 12 ÷ 6 = 2 18 - 12 ÷ 6 = 6 2 - 2 = 5 2 . 故运算错误的是乙. 故选 A. 5. B　 【解析】 12 - 27 = 2 3 -3 3 = - 3,又 12 - 27 = 2 a+b 3 = c 3,∴ a= 3,b= -3,c= -1,因此 a+b+c= -1. 故选 B. 6. A　 【解析】由题意得第 n 个等式:an = 1 n+1 + n = n+1 - n,∴ a1 +a2 +a3 +…+an = 2 - 1+ 3 - 2 + 2- 3 +…+ n+1 - n = n+1 -1,故 A 正确. 故选 A. 7. 36 3 　 【解析】 32 + 50 2 × 96 = 4 2 +5 2 2 × 4 6 = 36 3 . 8. 2 3 　 【解析】∵ a、b 分别为 4- 3 的整数部分和小数部 分,∴ a= 2,b= 2- 3,又∵ abm+b2n = 2,∴ am+bn = 2 b ,将 a= 2,b= 2- 3代入,得 2m+(2- 3 )n = 2 2- 3 ,∴ 2m+2n- 3n= 2 2- 3 = 4+2 3,∵ m、n 为整数,∴ 2m+2n= 4, - 3n= 2 3{ ,∴ m= 4, n= -2{ ,∴ m-4n = 4-4×(-2) = 12 = 2 3 . 9. (1)2 5 　 (2)16　 (3)8 5 10. 解:(1) 原式 = 8 - 27 - 12 - 8 = - 27 - 12 = -3 3 -2 3 = -5 3 ; (2)原式= 4 54 2 3 - 6 2 2 27×3 +3 12 2 3 -3 = 6 2 - 2 3 +3 -3 = 17 3 2 . 11. 解:4 5 ×3 5 -(2 15 - 5 ) 2 = 60-(60-20 3 +5)= 60- 60 + 20 3 - 5 = 20 3 - 5, 故 剩 余 部 分 的 面 积 为 20 3 -5. 12. 解:(1) 10 -3　 10-3 11 (2) n- n-1 ( 3 ) 13 - 12 = 1 13 + 12 , 12 - 11 = 1 12 + 11 . ∵ 13 > 11 ,∴ 13 + 12 > 12 + 11 , ∴ 1 13 + 12 < 1 12 + 11 , ∴ 13 - 12 < 12 - 11 . 13. 解:(1)3- 11 (答案不唯一) (2) 1 -b 1- b = (1-b)(1+ b) (1- b)(1+ b) = (1-b)(1+ b) 1-b = 1+ b; (3) ∵ a = 1 3 -2 = - 3 - 2,b = 1 3 +2 = 2 - 3 ,a+ b = -2 3 ,ab= -1,∴ a2 +b2 +2 = (a+b) 2 -2ab+2 = (-2 3 ) 2 -2×(-1)+2 = 16 = 4. 第八周　 轴对称　 线段的垂直平分线 1. B　 2. B 3. C　 【解析】∵ DE 是 AB 的垂直平分线,AE = 4,∴ EB =EA = 4,∴ BC=EB+EC= 4+2 = 6. 故选 C. 4. B　 5. D　 6. D 7. A　 【解析】∵ MG、NH 分别垂直平分 AB、AC,∴ GA =GB, HA= HC,∴ ∠B = ∠BAG, ∠C = ∠HAN,而 ∠B + ∠C + ∠BAC= 180°,∴ ∠B+∠C = 36°,∴ ∠GAH = 144°- 36° = 108°. 故选 A. 8. B 9. 8 10. 65° 　 【解析】 ∵ △ABC 中,∠B = 55°, ∠C = 30°, ∴ ∠BAC= 180°-55°-30° = 95°. ∵ 直线 MN 是线段 AC 的 垂直平分线,∴ ∠C = ∠CAD = 30°,∴ ∠BAD = ∠BAC- 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 21 页 ∠CAD= 65°. 11. 24 5 　 【解析】过 D 作 DM′⊥AC 于 M′,连接 DM. 长方形 ABCD 中,AD = BC = 3,AB = CD = 4,AC = 5,∴ S△ADC = 1 2 AD·CD= 1 2 AC·DM′,∴ DM′= 12 5 . ∵ M 关于边 AD, DC 的对称点分别为 M1,M2,∴ DM1 = DM = DM2,∴ M1M2 = 2DM,线段 M1M2 长度最小即是 DM 长度最小, 此时 DM⊥AC,即 M 与 M′重合,M1M2 最小值为 2DM′= 24 5 . 12. 解:(1)CD　 垂直平分线 (2)过点 C 作 OD 的垂线,垂足为点 E,则∠CEO = ∠CED = 90°. ∵ CO = CD, ∴ ∠O = ∠CDO. 在 △COE 和△CDE 中, ∠CEO= ∠CED ∠O= ∠CDO CO=CD { ,∴ △COE ≌△CDE( AAS),∴ OE = DE,∴ CE 是线段 OD 的垂直平分线,∴ 点 C 在线段 OD 的垂直平分 线上. 13. 解:(1)S△ABC = 4×4- 1 2 ×1×2- 1 2 ×2×4- 1 2 ×3×4 = 5; (2)如图,直线 m 为所作; (3)如图,点 D 为所作. 14. 解: ( 1) ① ∵ 点 C 和点 P 关于 OA 对称, ∴ ∠AOC = ∠AOP,∵ 点 P 关于 OB 对称点是 D. ∴ ∠BOD= ∠BOP,∴ ∠COD= ∠AOC+∠AOP+ ∠BOP + ∠BOD = 2 ( ∠AOP + ∠BOP ) = 2∠AOB= 120°. ②2n (2)4 第九周　 角的平分线、中心对称、设计图案 1. A　 2. C　 3. D 4. B　 【解析】作 DH⊥AB 于 H. ∵ AD 平分∠BAC,DH⊥AB, DC⊥AC,∴ DH=DC= 2. ∵ Q 为 AB 上一动点,∴ DQ 的最 小值为 DH 的长,即 DQ 的最小值为 2. 故选 B. 5. D　 6. B　 7. B 8. D　 【解析】作 DF⊥AB 于 F,AD 是△ABC 的角平分线, ∠C= 90°,DF⊥AB,∴ DF =DC = 3. ∴ DF 的最小值为 3, 不可能为 2. 故选 D. 9. 8　 10. 15 11. 2　 【解析】过 P 作 PM⊥AB 于 M. 由题意,得 PM =PE = 3,∠PEA= 90°. ∵ AE= 4,∴ S△PEA = 1 2 ×AE×PE = 1 2 ×4× 3 = 6,∴ 1 2 ×AF×PM= 1 2 ×6. ∵ PM= 3,∴ AF= 2. 12. 解:过点 D 作 DF⊥BC 于 F. ∵ BD 是△ABC 的角平分 线,DE⊥AB,∴ DE=DF,S△ABC = 1 2 ×16·DE+ 1 2 ×12 ·DF= 70,∴ DE= 5. 13. 解:点 P 即为所求. 14. 解:(1)25 (2)图形如图所示: 　 　 (答案不唯一) 第十周　 等腰三角形 1. D　 2. C　 3. A　 4. D　 5. C 6. A　 【解析】由题意,得∠ADC = ∠B+∠BAD = ∠B+ 20°, ∠AED= ∠C+ ∠EDC,∵ ∠B = ∠C,∠ADE = ∠AED,∴ ∠C+∠EDC = ∠ADC- ∠EDC = ∠B+ 20° - ∠EDC,解得 ∠EDC= 10°. 故选 A. 7. A　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,PR⊥AB,PS⊥AC,且 PR=PS,∴ P 在∠BAC 的平分线上,∴ ①正确;由①可知, PB = PC,∵ PR ⊥ AB,PS⊥ AC,PS = PR,∴ Rt△BPR ≌ Rt△CPS,∴ BR = CS,∴ AS = AR,②正确;∵ AQ = PQ,∴ ∠PQC=2∠PAC=60° =∠BAC,∴ PQ∥AR,③正确;由③得, △PQC 是等边三角形,∴ △PQS≌△PCS,又由②可知, △BRP≌△QSP,④也正确.故选 A. 8. 90°　 9. 45°　 10. 45 或 135 11. 100°或 160°或 130°　 【解析】由题意,得△COD 为等边 三角形,∴ ∠COD= 60°,则 α+100°+60°+∠AOD= 360°. 即 α + ∠AOD = 200°. ∵ △BOC ≌ △ADC, ∴ ∠ADC = ∠BOC=α. ∵ △COD 为等边三角形,∴ ∠ADO =α-60°. 当 OD=OA 时,∠OAD= ∠ODA=α-60°,∴ ∠AOD= 180° -2(α-60°),解得 α = 100°,当 OD = AD 时,α+∠AOD = 200°,∠AOD = 180° -(α-60°) 2 ,解得 α = 160°,当 OA = AD 时,α+∠AOD= 200°,∠AOD=α-60°,解得 α= 130°. 12. 证明:(1) ∵ AB = AD,∴ ∠ABC = ∠ADB. ∵ AD = CD,∴ ∠DAC= ∠C. ∵ ∠ADB = ∠DAC+∠C = 2∠C, ∴ ∠ABC= 2∠C; (2)∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠DAB = ∠CAD. ∵ BE∥ AD,∴ ∠DAB= ∠ABE,∠E = ∠CAD,∴ ∠ABE = ∠E,∴ AE=AB,∴ △ABE 是等腰三角形. 13. 解:(1) ∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠B = 60°. ∵ DE∥ AB,∴ ∠EDC = ∠B = 60°. ∵ EF⊥DE,∴ ∠DEF = 90°,∴ ∠F= 30°; (2)∵ ∠ACB = 60°,∠EDC = 60°,∴ △EDC 是等边 三角形. ∴ ED=DC=EC = 3. ∵ ∠F = 30°,∠ACB = 60°,∴ ∠CEF = 30°,∴ EC = CF,∴ DF = DC+ CF= 6. 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 22 页 14. 解:(1)当∠A= 80°为顶角时,∠B = 50°;当∠B 是顶角, ∠A 是底角,则∠B = 180° - 80° - 80° = 20°;当 ∠B 与∠A 都是底角,则∠B = ∠A = 80°,综上所 述,∠B 的度数为 50°或 20°或 80°; (2)分两种情况:①当 90≤x<180 时,∠A 只能为顶 角,∴ ∠B 的度数只有一个;②当 0<x<90 时,若 ∠A 为顶角,则∠B = ( 180 -x 2 )°;若∠A 为底角, ∠B 为顶角,则∠B = ( 180 - 2x)°;若∠A 为底 角,∠B 为底角,则∠B = x°. 当180 -x 2 ≠180 - 2x 且 180-2x≠x 且180 -x 2 ≠x,即 x≠60 时,∠B 有 三个不同的度数. 综上所述,可知当 0<x<90 且 x ≠60 时,∠B 有三个不同的度数. 第十一周　 直角三角形 1. B　 2. A　 3. A　 4. C 5. B　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB = AC,∠C = 60°. ∵ DE⊥BC,∴ ∠DEC = 90°,∴ ∠CDE = 30°,∴ CD = 2CE= 6. ∵ 点 D 是 AC 的中点,∴ AC = 2CD = 12,∴ AB = AC= 12. 故选 B. 6. A 7. D　 【解析】∵ ∠ACB = 90°,∠ACD = 3∠BCD,∴ ∠BCD = 22. 5°,∠ACD= 67. 5°. ∵ CD⊥AB,∴ ∠B = 90°- 22. 5° = 67. 5°. ∵ E 是 AB 的中点,∠ACB = 90°,∴ CE = BE,∴ ∠BCE= ∠B= 67. 5°,∴ ∠ECD = ∠BCE-∠BCD = 45°. 故 选 D. 8. C 9. 63° 10. 10　 【解析】∵ ∠C = 90°,∠A = 30°,∴ ∠ABC = 180° - ∠A-∠C = 60°. ∵ BD 是∠ABC 的平分线,∴ ∠ABD = ∠CBD= 30°,∴ ∠A = ∠ABD = 30°,∴ AD = BD = 2CD = 10. 11. (45+m) 12. 证明:连接 AE. ∵ DE 是 AB 的垂直平分线,∴ AE = BE, ∠EDB= 90°,∴ ∠EAB = ∠EBA = 15°,∴ ∠AEC = 30°,在 Rt△EDB 中,∵ F 是 BE 的中点,∴ DF = 1 2 BE,Rt△ACE 中,∵ ∠AEC = 30°,∴ AC = 1 2 AE, ∴ AC=DF. 13. 解:等边△ABC 中,D 是 AB 的中点,AB = 12,∴ AD = 6, BC = AC = 12,∠A = ∠C = 60°,由题意,得∠AED = ∠CFE= 90°,∴ ∠ADE= ∠CEF= 30°,∴ AE= 1 2 AD = 3,∴ CE= 12-3 = 9,∴ CF= 1 2 CE= 9 2 ,∴ BF= 15 2 . 14. 解:(1)由题意得 AB = 15×2 = 30(海里). ∵ ∠NBC = 60°, ∠NAC= 30°,∴ ∠ACB = ∠NBC-∠NAC = 30°,∴ ∠ACB=∠NAC,∴ AB=BC=30(海里). (2) 过点 C 作 CP⊥AB 于点 P. ∵ ∠NBC = 60°,∴ ∠PCB= 90° - 60° = 30°. ∴ PB = 1 2 BC = 15 (海 里),∴ AP=AB+BP= 45(海里) . 45÷15 = 3(时), 8+3 = 11(时) . ∴ 若这条船继续向正北航行,上 午 11 时小船与灯塔 C 距离最短. 第十二周 勾股定理、直角三角形全等的判定、反证法 1. C　 2. A　 3. B 4. C　 【解析】(1)锐角△ABC 中,AB = 13,AC = 15,BC 边上 高 AD= 12,在 Rt△ABD 中,AB = 13,AD = 12,由勾股定理 得 BD2 =AB2 -AD2 = 132 -122 = 25,则 BD = 5,在 Rt△ACD 中,AC= 15,AD= 12,由勾股定理得 CD2 =AC2 -AD2 = 152 - 122 = 81,则 CD= 9,故 BC = BD+DC = 9+ 5 = 14;(2)钝角 △ABC 中, AB = 13, AC = 15, BC 边 上 高 AD = 12, 在 Rt△ABD 中 AB = 13,AD = 12,由勾股定理得 BD2 = AB2 - AD2 = 132 -122 = 25,则 BD= 5,在Rt△ACD 中,AC = 15,AD = 12,由勾股定理得 CD2 =AC2 -AD2 = 152 -122 = 81,则 CD = 9,故 BC 的长为 DC-BD= 9-5 = 4. 故选 C. 5. D　 6. D　 【解析】连接 AC,∵ ∠B = 90°,AB = 3 2,BC = 4 2,∴ AC2 =AB2 +BC2 = 50. ∵ ∠D = 90°,AD = CD,∴ AC2 = AD2 + CD2 = 50,∴ AD2 = 25,∴ AD·CD=AD2 = 25. 故选 D. 7. B　 【解析】在 Rt△ABC 中,AB = 1,BC = 1,根据勾股定理 得 AC= 12 +12 = 2,在△ACD 中,CD = 2,AD = 6,∴ AC2 +CD2 = AD2,∴ △ACD 为直角三角形,则 S四边形ABCD = S△ABC+S△ACD = 1 2 ×1×1+ 1 2 ×2× 2 = 1 2 + 2 . 故选 B. 8. 60　 9. 7 10. 45　 【解析】延长 AP 交格点于 D,连接 BD,则 PD2 =BD2 = 12 + 22 = 5,PB2 = 12 + 32 = 10,∴ PD2 +DB2 = PB2,∴ ∠PDB= 90°,∴ ∠DPB= ∠PAB+∠PBA= 45°. 11. 证明:在 Rt△ABC 中,∠B = 90°,AB = 3,BC = 2,∴ AC = AB2 +BC2 = 13 . 在 Rt△EDC 中,∠D= 90°,CD = 6,DE= 4,∴ CE = 62 +42 = 2 13 . ∵ AC2 = 13, CE2 = 52,AE2 = 65,∴ AE2 = AC2 +CE2,∴ △ACE 是 直角三角形,AE 是斜边,∴ ∠ACE= 90°. 12. 证 明: ∵ AB ⊥ CB, ∴ ∠ABC = 90°, ∠CBF = 90°. 在 Rt△ABE 和 Rt △CBF 中, AB=BC AE=CF{ ,∴ Rt△ABE ≌Rt△CBF(HL),∴ BE=BF. 13. 解:(1)过点 A 作 AH⊥ON 于 H. ∵ ∠O = 30°,OA = 80 米,∴ AH= 1 2 OA= 40,∴ 卡车 P 与学校 A 的距离 为 40 米; (2)以点 A 为圆心 50m 为半径画圆,交 ON 于 C、D 两点. 当 AC=AD= 50 米时,则卡车在 CD 段对学 校 A 有 影 响, 由 ( 1) 知 AH = 40 米, ∴ CH = AC2 -AH2 = 30(米),∴ CD = 2CH = 60(米),∴ 60÷5 = 12(秒),∴ 卡车 P 沿道路 ON 方向行驶 一次,它给学校 A 带来噪声影响的总时间为 12 秒. 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 23 页