追梦专项总结突破卷(三)二次根式的化简与求值&(四)特殊三角形的性质与判定-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（冀教版）

追梦专项总结突破卷(三) 二次根式的化简与求值 一、选择题 1. ( -3) 2 的相反数是(　 　 ) A. -3　 　 　 　 B. 3　 　 　 　 C. - 6 　 　 　 　 D. -9 2. 实数 a 在数轴上的位置如图所示,则 (a-3) 2 + (a-10) 2 化 简后为(　 　 ) A. 7 B. -7 C. 2a-15 D. 无法确定 3. 化简:(2a-3b) 1 3b-2a = (　 　 ) A. -1 B. 1 C. 3b-2a D. - 3b-2a 4. 若 x= 5 +1 2 ,则 x 2 -x+1+2 3 (x2 -x) 2 +2+ 3 的值等于(　 　 ) A. 2 3 3 B. 3 3 C. 3 D. 3或 3 3 5. 已知 x+y= -5,xy= 4,则 x y x +y x y 的值是(　 　 ) A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 二、填空题 6. 化简: 54 = 　 　 　 　 ; 25 9 = 　 　 　 　 . 7. 计算 18 -4 1 2 的结果是　 　 　 　 . 8. 若 a<1,化简 (a-1) 2 -1 = 　 　 　 　 . 9. 分母有理化: 3 4+ 13 = 　 　 　 　 . 三、解答题 10. 先化简,再求值:(1-a +2 a-2 ) ÷ a 2 -2a a2 -4a+4 ,其中 a= 3 . 11. 已知 x= 1 3 - 2 ,求(x+ 1 x ) 2 +2(x+ 1 x ) +2 的值. 12. 已知 a= 2 +1,b= 2 -1,求下列各式的值. (1)a2 +2ab+b2; (2)a2 -b2 . 13. 已知 x= 1 10 -3 ,y= 1 10 +3 . (1)求 x2 +2xy+y2 的值. (2)求 x 2 -4x+4 x(x-2) - y 2 +2y+1 y(y+1) 的值. 14. 学习情境·过程纠错 求代数式 a+ a2 -2a+1 的值,其中 a = -2 024. 如下是小亮和小芳的解答过程. 小亮:解:原式=a+ (1-a) 2 =a+1-a= 1. 小芳:解:原式=a+ (1-a) 2 =a+a-1 = -4 041. (1)　 　 　 　 的解法是错误的; (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质　 　 　 　 　 　 　 　 ; (3)求代数式 a+ a2 -6a+9的值,其中 a= -2 025. 15. 学科素养·类比思想 像 4-2 3 , 48 - 45 …这样的根式叫 做复合二次根式. 有一些复合二次根式可以借助构造完全平 方 式 进 行 化 简, 如: 4-2 3 = 3-2 3 +1 = 3( ) 2 -2× 3 ×1+12 = ( 3 -1) 2 = 3 -1. 再如: 5+2 6 = 3+2 6 +2 = ( 3 ) 2 +2 3 × 2 +( 2 ) 2 = ( 3 + 2 ) 2 = 3 + 2 . 请用上述方法探索并解决下列问题: (1)化简: 12+2 35 ; (2)化简: 16-4 15 ; (3)若 a+6 5 = (m+ 5 n) 2,且 a,m,n 为正整数,求 a 的值. ·33· 追梦专项总结突破卷(四) 特殊三角形的性质与判定 题型 1　 直角三角形的性质与判定 1. 生活情境·水杯 将一根长 25 cm 的筷子,置于底面直径为 5 cm,高为 12 cm 的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长为 h cm,则 h 的取值范围是(　 　 ) A. 0≤h≤13　 　 　 　 　 　 　 B. 12≤h≤13 C. 11≤h≤12 D. 13≤h≤25 2. 如图,在△ABC 中,∠C = 90°,∠B = 30°,根据尺规作图保留的 痕迹,判断下列结论错误的是(　 　 ) A. AD 是∠BAC 的平分线 B. AD=BD C. AD= 2CD D. 2S△ABD = 3S△ACD 3. 如图,在四边形 ABCD 中,∠B = 90°,AB = 4,BC = 3,CD = 12,AD = 13. (1)已知点 E 是 AD 的中点,∠D= 50°,求∠AEC; (2)求四边形 ABCD 的面积. 4. 如图,已知在△ABC 中,高为 AD,∠BAC 的平分线为 AE,若∠B = 32°,∠ACD= 54°,求∠EAD 的度数. 题型 2　 等腰三角形的性质与判定 5. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,过点 B 作 AD 的垂线,垂足 为点 D,DE∥AC 交 AB 于点 E,CD∥AB. (1)求证:△BDE 是等腰三角形; (2)求证:CD=BE. 6. 如图,在△ABC 中,∠ABC= 70°,AB=AC= 8,D 为 BC 中点,点 N 在线段 AD 上,NM∥AC 交 AB 于点 M,BN= 3. (1)求∠CAD 度数; (2)求△BMN 的周长. 题型 3　 等边三角形的性质与判定 7. 如图,△ABC 是等边三角形,BD 是中线,延长 BC 至点 E,使 CE =CD,DH⊥BE. 求证:BH=HE. 8. 如图,在等边三角形 ABC 中,点 D 是 AB 上一点,作 AE∥BC,且 AE=BD. 求证:(1)△BCD≌△ACE; (2)△CDE 是等边三角形. 9. 已知△ABC 是等边三角形,点 D 在射线 BC 上(与点 B,C 不重 合),点 D 关于直线 AC 的对称点为点 E. (1)如图 1,连接 AD,AE,DE,当 BC= 2BD 时,根据边的关系,可 判定△ADE 的形状是　 　 　 　 　 　 三角形; (2)如图 2,当点 D 在 BC 延长线上时,连接 AD,AE,CE,BE,延 长 AB 到点 G,使 BG =CD,连接 CG,交 BE 于点 F,F 为 BE 的中点,若 AE= 12,求 CF 的长度. 图 1 　 　 　 图 2 ·43· 追梦专项总结突破卷(三) 1. A 2. A　 【解析】由数轴上点的位置,得 4<a<8,∴ (a-3) 2 + (a-10) 2 =a-3+10-a= 7. 故选 A. 3. D 　 【 解 析 】 由 题 意 得, 3b - 2a > 0, ∴ 原 式 = - 1 3b-2a ×(3b-2a) 2 = - 3b-2a . 故选 D. 4. A　 【解析】∵ x= 5 +1 2 ,∴ x2 -x= x(x-1)= 5 +1 2 × 5 -1 2 = 1,∴ x 2 -x+1+2 3 (x2 -x) 2 +2+ 3 = 1+1+2 3 1+2+ 3 = 2 3 3 . 故选 A. 5. B　 【解析】∵ x+y= -5<0,xy= 4>0,∴ x<0,y<0,∴ 原式 = x xy x2 +y xy y2 = -x· xy x -y· xy y = -2 xy, ∵ xy= 4,∴ 原式= -2 4 = -2×2 = -4. 故选 B. 6. 3 6 　 5 3 　 7. 2 8. -a　 【解析】∵ a<1,∴ a-1<0,∴ (a-1) 2 -1 = | a-1 | -1 = -(a-1)-1 = -a+1-1 = -a. 9. 4- 13 10. 解:原式= (a -2 a-2 -a+2 a-2 )÷a(a -2) (a-2) 2 = -4 a-2 ·a -2 a = - 4 a ,当 a = 3时,原式= - 4 3 = -4 3 3 . 11. 解:x= 1 3 - 2 = 3 + 2 ,∴ x+ 1 x = 3 + 2 +( 3 - 2 ) = 2 3 ,∴ (x+ 1 x ) 2 +2(x+ 1 x )+2 = (2 3 ) 2 +2×2 3 +2 = 12+4 3 +2 = 14+4 3 . 12. 解:(1)原式= (a+b) 2 = ( 2 +1+ 2 -1) 2 = (2 2 ) 2 = 8; (2)原式= (a+b)(a-b)= ( 2 +1+ 2 -1)( 2 +1- 2 +1)= 2 2 ×2 = 4 2 . 13. 解:(1)∵ x = 1 10 -3 = 10 +3,y = 1 10 +3 = 10 -3,∴ x2 +2xy+y2 = (x+y) 2 = ( 10 +3+ 10 -3) 2 = 40; (2)∵ x= 10 +3,y = 10 -3,∴ x-2>0,y+1>0,∴ 原式 = x -2 x(x-2) - y+1 y(y+1) = 1 x - 1 y = 10 - 3 - ( 10 +3)= -6. 14. 解:(1)小芳 (2) a2 = | a | (3)∵ a = - 2 025,∴ a- 3 = - 2 028< 0,∴ 原式 = a+ (a-3) 2 =a-a+3 = 3. 15. 解:(1) 12+2 35 = ( 7 + 5 ) 2 = 7 + 5 ; (2) 16-4 15 = 2 × 8-2 15 = 2 ×( 5 - 3 )= 10 - 6 ; (3)∵ a+6 5 = (m+ 5 n) 2 =m2 +5n2 +2 5 mn,∴ a = m2 +5n2 ,6 = 2mn,又∵ a、m、n 为正整数,∴ m= 1, n= 3 或者 m = 3,n = 1,∴ 当 m = 1,n = 3 时,a = 46;当 m= 3,n= 1 时,a= 14,综上所述,a 的值为 46 或 14. 追梦专项总结突破卷(四) 1. B　 2. D 3. 解:(1)在 Rt△ABC 中,∵ ∠B = 90°,AB = 4,BC = 3,∴ 由 勾股定理,得 AC = 5,在△ACD 中,∵ AC = 5,CD = 12,AD = 13,∴ AC2 +CD2 = AD2 ,∴ △ACD 为直角 三角形,∠ACD= 90°,∵ 点 E 是 AD 的中点,∴ EC =ED,∴ ∠ECD = ∠D = 50°,∴ ∠AEC = ∠ECD+ ∠D= 100°; (2)S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD = 1 2 ×3×4+ 1 2 ×5×12 = 36. 4. 解:∵ ∠ADB= 90°,∠B= 32°,∴ ∠BAD = 58°,∵ ∠ACD = 54°,∴ ∠BAC= ∠ACD-∠B = 22°,∵ AE 是角平分线, ∴ ∠BAE= 1 2 ∠BAC = 11°,∴ ∠EAD = ∠BAD-∠BAE = 58°-11° = 47°. 5. 证明:( 1) ∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠CAD = ∠DAB,∵ DE∥ AC, CD ∥AB, ∴ ∠CAD = ∠ADE, ∠CDA = ∠DAB,∴ ∠CAD= ∠DAB= ∠CDA= ∠ADE,∵ ∠DAB+∠ABD = 90°,∠EDB+∠ADE = 90°,∴ ∠EDB= ∠ABD,∴ DE = BE,∴ △BDE 是等腰 三角形; (2)由(1)知,∠ADE = ∠DAB,∴ AE = DE. ∵ AD = AD,∠CAD= ∠ADE,∠CDA = ∠DAB,∴ △ACD ≌△DEA( ASA),∴ CD = AE,∴ CD = AE = DE =BE. 6. 解:(1)∵ AB=AC,∴ △ABC 是等腰三角形,又∵ ∠ABC = 70°,∴ ∠BAC = 180°- 70°× 2 = 40°,又∵ D 为 BC 的中点, ∴ AD 平分 ∠BAC, ∴ ∠CAD = ∠BAD = 20°. (2) ∵ NM∥AC, ∴ ∠ANM = ∠CAD, 又 ∵ ∠CAD = ∠BAD,∴ ∠ANM= ∠BAD,∴ AM =NM,∴ △BMN 的周长=MB+BN+NM=AB+BN,∵ AB = 8,BN = 3, ∴ △BMN 的周长= 8+3 = 11. 7. 证明:∵ △ABC 是等边三角形,BD 是中线,∴ BD 平分 ∠ABC,∠ABC= ∠ACB = 60°. ∴ ∠DBC = 1 2 ∠ABC = 30°. ∵ CE = CD,∴ ∠CDE = ∠E = 30°. ∴ ∠DBC = ∠E. ∴ DB=DE. ∵ DH⊥BE,∴ BH=EH. 8. 证明: ( 1) ∵ △ABC 是等边三角形, ∴ AC = BC = AB, ∠ACB = ∠B = ∠CAB = 60°. ∵ AE∥BC, ∴ ∠BCA= ∠CAE,∴ ∠CAE = ∠B. ∵ AE = BD, 在△BCD 和 △ACE 中, BC = AC, ∠CBD = ∠CAE,BD=AE,∴ △BCD≌△ACE. (2)由(1)得△BCD≌△ACE,∴ CD =CE,∠DCB = ∠ECA. ∵ ∠ACB = 60° = ∠DCB + ∠ACD, ∴ ∠ECD= ∠ECA+∠ACD = 60°,∴ △ECD 是等 边三角形. 9. 解:(1)等边 (2)由题意,得△ACD≌△ACE,∴ CE = CD,∠ACD = ∠ACE. ∵ BG = CD,∴ CE = BG,∵ △ABC 是等边 三角形, ∴ AC = CB, ∠ABC = ∠ACB = 60°, ∴ ∠ACD = ∠GBC = ∠ACE = 120°, ∴ △ACE ≌ 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 16 页 △CBG,∴ AE = CG, ∵ ∠BCE = ∠ACE - ∠ACB = 60°,∴ ∠BCE+ ∠GBC = 180°,∴ BG∥CE,∠G = ∠FCE. ∵ F 为 BE 中点,∴ BF = EF,∵ ∠BFG = ∠CFE,∴ △CEF≌△GBF,∴ CF = GF,∴ CF = 1 2 CG= 1 2 AE= 6. 追梦期末达标测试卷 1. C　 2. C　 3. B　 4. B 5. C　 【解析】 A. 5 与 3 不能进行合并,故 A 错误. B. 4 1 9 = 37 9 = 37 3 , 故 B 错 误. C. 1 2- 3 = 2+ 3 (2- 3)(2+ 3) = 2+ 3,故 C 正确. D. (2- 5) 2 = | 2- 5 | = 5 -2,故 D 错误. 故选 C. 6. D　 7. B　 8. D 9. A　 【解析】原式 = a(b -c)-b(b-c) a-c = (b-c)(a-b) a-c ,根据 题意得:b-c= 0 或 a-b= 0 且 a-c≠0,∴ b = c 或 a = b 且 a ≠c,∴ 此三角形一定是等腰三角形. 故选 A. 10. B　 【解析】连接 BD,∵ DE⊥AB,DF⊥BC,DE = DF,∴ ∠DEB= 90°,BD 平分∠ABC,∵ ∠ABC = 60°,∴ ∠ABD = ∠CBD= 30°,∵ DE= 2,∴ BD = 2DE = 2 2,由勾股定 理得: BE = BD2 -DE2 = (2 2) 2 -( 2) 2 = 6 . 故 选 B. 11. C 12. B　 【解析】∵ AB = AC,且 AD⊥BC,∴ BD = DC = 1 2 BC. ∵ AB+BC+AC= 2AB+2BD= 24,∴ AB+BD= 12,∴ AB+BD +AD= 12+AD= 20,解得 AD= 8. 故选 B. 13. D　 14. D 15. D　 【解析】过点 F 作 FN⊥EH,垂足为 N,且点 N 在线 段 EH 上. ∴ ∠FNE= 90°,∵ 四边形 ABCD 是长方形,∴ AB∥CD,∠B = 90°,由折叠得:∠B = ∠GHE = 90°,∴ ∠GHE= ∠FNE= 90°,∴ GH∥FN,∴ ∠1 = ∠MFN,∵ ∠2 = ∠MFN+∠EFN,∴ ∠1<∠2,故 A 不符合题意;∵ AB∥ CD,∴ ∠2 = ∠FEB,由折叠得:∠FEB = ∠3,∴ ∠2 = ∠3,故 B 不符合题意;∵ ∠FEB = ∠3∴ ∠MEB = 2∠3, ∵ ∠3 = ∠2,∴ ∠MEB = 2 ∠2,故 C 不符合题意. 故 选 D. 16. D 17. x= 3 18. (1)( 35 4 )° 　 (2) ( 1 2 ) n-1 × 70° 　 【解析】在△CBA1 中, ∠B= 40°,A1B= CB,∴ ∠BA1C = 1 2 (180°-∠B)= 70°. ∵ A1A2 =A1D,∠BA1C 是△A1A2D 的外角,∴ ∠DA2A1 = 1 2 ∠BA1C= 1 2 × 70°,同理可得∠EA3A2 = ( 1 2 ) 2 × 70°, ∠FA4A3 =( 1 2 ) 3 ×70°,…∴ 第 n 个等腰三角形中,以 An 为顶点的内角度数是( 1 2 ) n-1 ×70°. 19. ( 1) α 　 ( 2) 5 　 【解析】 ( 1) ∵ ∠ACB = 90°,∴ ∠A + ∠CBD = 90°,∵ CD 为 AB 边上的高,∴ ∠CDB = 90°,∴ ∠BCD + ∠CBD = 90°,∴ ∠A = ∠BCD,∵ ∠BCD= ∠ECF,∴ ∠ECF = ∠A = α;(2)∵ 过点 E 作 BC 的垂线交直线 CD 于点 F,∴ ∠CEF = 90° = ∠ACB,在△CEF 和△ACB 中, ∠ECF= ∠A ∠CEF= ∠ACB CF=AB { ,∴ △CEF≌△ACB(AAS),∴ CE = AC = 7 cm. 当点 E 在射线 BC 上移动时,BE=CE+BC= 7+3 = 10(cm) . ∵ 点 E 从点 B 出发,在射线 BC 上以 2 cm 的速度 移动,∴ E 移动了 10÷2 = 5(s) . 20. 解:(1)原式= 1- 1 4 +3-1+ 2 = 11 4 + 2 . (2)A= ( 1 x+1 - 1 x2 -1 )÷ x -2 x2 +2x+1 = [ x -1 (x+1)(x-1) - 1 (x+1)(x-1) ]·(x +1) 2 x-2 = x-2 (x+1)(x-1) ·(x +1) 2 x-2 = x+1 x-1 ,当 x = 3 +1 时, A= 3 +1+1 3 +1-1 = 3 +2 3 = 3+2 3 3 . 21. 解:(1)如图,点 P 即为所求; (2)过点 P 作 PE⊥AB 于点 E,PF⊥BC 于点 F. ∵ BP 平分∠ABC,∴ PE=PF, ∴ S△ABP S△CBP = 1 2 ·AB·PE 1 2 ·BC·PF =AB BC = 3 2 ,∵ S△ABP =18,∴ S△BCP =12. 22. (1)证明:∵ AD=BE,∴ AD+DB =BE+DB,∴ AB =DE. 在 △ABC 与△EDF 中, AB=DE ∠A= ∠E AC=EF { , ∴ △ABC≌ △EDF(SAS),∴ BC=DF; (2 ) 解: △HDB 是 等 边 三 角 形; 理 由: ∵ △ABC ≌ △EDF,∴ ∠HDB = ∠HBD. ∵ ∠CHD = ∠HDB +∠HBD = 120°,∴ ∠DHB = ∠HDB = ∠HBD = 60°,∴ △HDB 是等边三角形. 23. 证明:(1)∵ DG⊥BC,EF⊥BC. ∴ ∠DGC = ∠EFB = 90°. 在 Rt △DGC 和 Rt △EFB 中, CD=BE DG=EF{ , ∴ Rt△DGC≌Rt△EFB(HL); (2)∵ Rt△DGC≌Rt△EFB,∴ ∠BCD = ∠CBE,在 △BDC 和 △CEB 中, BC = CB, ∠BCD = ∠CBE,CD=BE,∴ △BDC≌△CEB(SAS),∴ BD=CE. 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 17 页