追梦专项总结突破卷(二)全等三角形性质和判定的综合应用-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（冀教版）

追梦专项总结突破卷(二) 全等三角形性质和判定的综合应用 类型一　 利用全等三角形证明线段或角相等 1. 如图,在△ABC 中,CD 是 AB 边上的中线,点 F 是 CD 的中点, 过点 C 作 AB 的平行线交 BF 的延长线于点 E,连接 AE. 求证:EC=DA. 2. 在梯形 ABCD 中,AD∥BC,连接 AC,且 AC=BC,在对角线 AC 上 取点 E,使 CE=AD,连接 BE. (1)求证:△DAC≌△ECB; (2)若 CA 平分∠BCD,且 AD= 3,求 BE 的长. 3. 如图,把一个直角三角形 ACB( ∠ACB = 90°)绕着顶点 B 顺时 针旋转 60°,使得点 C 旋转到 AB 边上的点 D 处,点 A 旋转到点 E 的位置. F、G 分别是 BD、BE 上的点,BF =BG,延长 CF 与 DG 交于点 H. (1)求证:CF=DG; (2)求出∠FHG 的度数. 类型二　 利用中点添加辅助线构造全等三角形 4. 已知:在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 上的中点, BE=AC,延长 BE 交 AC 于点 F,求证:AF=EF. 类型三　 探究性问题的证明 5. 学科素养·推理能力 (1)如图①,在四边形 ABCD 中,AB = AD, ∠BAD= 120°,∠B= ∠ADC = 90°. E,F 分别是 BC、CD 上的点, 且∠EAF= 60°. 探究图中线段 BE,EF,FD 之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是,延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连 接 AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出 结论,他的结论应是　 　 　 　 　 ; (2)如图②,若在四边形 ABCD 中,AB=AD,∠B+∠D= 180°,E, F 分别是 BC,CD 上的点,且∠EAF= 1 2 ∠BAD,上述结论是否仍 然成立,并说明理由. 图① 　 　 图② ·13· 6. (1)如图(1),在△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = AC,直线 m 经过 点 A,BD⊥直线 m,CE⊥直线 m,垂足分别为点 D、E. 求证:DE=BD+CE; (2)如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC 中,AB=AC,D、A、 E 三点都在直线 m 上,并且有∠BDA= ∠AEC= ∠BAC=α,其中 α 为任意锐角或钝角. 请问结论 DE =BD+CE 是否成立? 若成 立,请给出证明;若不成立,请说明理由. 图(1) 　 　 　 图(2) 类型四　 利用全等三角形解决实际问题 7. 生活情境·游艇 如图,小明站在堤岸的 A 点处,正对他的 S 点 停有一艘游艇,他想知道这艘游艇距离他有多远,于是他沿着 堤岸走到电线杆 B 旁,接着再往前走相同的距离,到达 C 点. 然后他向左直行,当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下 来,此时他位于 D 点,量得 CD 的距离是 35 米. 你知道在 A 点 处小明与游艇的距离吗? 请说出他这样做的理由. 8. 生活情境·测路灯 小明利用一根长 3 m 的竿子来测量路灯 AB 的高度. 他的方法如下:如图,在路灯前选一点 P,使 BP = 3 m, 并测得∠APB= 70°,然后把竖直的竿子 CD(CD= 3 m)在 BP 的 延长线上左右移动,使∠CPD = 20°,此时测得 BD = 11. 2 m. 请 根据这些数据,计算出路灯 AB 的高度. 9. 生活情境·荡秋千 如图 2,是小朋友荡秋千的侧面示意图,静止 时秋千位于铅垂线 BD 上,转轴 B 到地面的距离 BD = 2. 5 m. 乐乐在荡秋千过程中,当秋千摆动到最高点 A 时,测得点 A 到 BD 的距离 AC= 1. 5 m,点 A 到地面的距离 AE = 1. 5 m,当他从 A 处摆动到 A′处时,若 A′B⊥AB,求 A′到 BD 的距离. 图 1 　 　 　 图 2 10. 跨学科试题·历史 小光的爷爷为我们讲述了一个他亲身经历 的故事: 　 　 在抗日战争期间,为了炸毁与我军阵地隔河相望的日军 碉堡,需要测出我军阵地到日军碉堡的距离,由于没有任何测 量工具,我军战士为此绞尽脑汁. 这时,一位聪明的战士想出 了办法,成功炸毁了碉堡. 那么他是怎样做到的? 方法是:战士面向碉堡的方向站好,调 整帽子,使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部;然后,他转过 一个角度,保持刚才的姿势,这时,视线落在了自己所在岸的 某一点上;接着,他用步测的方法量出自己与那个点的距离, 这个距离就是他与碉堡的距离. 你能根据战士所用的方法,画出相应的图形吗? (1)画出相应的图形; (2)战士用的方法中,已知条件是什么? 战士要测的是什么? (结合图形写出) (3)请用所学的数学知识说明战士这样测的理由. ·23· 12. 解: 原式 = x 2 +y2 -2xy xy ÷ y-x xy = - (x-y) 2 xy · xy x-y = y - x, 2x+3y= 5① 3x+2y= 6②{ ,①-②得 y-x= -1,∴ 原式= -1. 13. 解:原式 = a +1-(a-1) a2 -1 ·2(a 2 -1) a = 2 a2 -1 ·2(a 2 -1) a = 4 a , 1 2 x-1≤0 -3x<6 { ,解不等式组得-2<x≤2,∵ a-1≠0, a+1≠0,a≠0,∴ a≠±1,a≠0,∴ 当 a = 2 时,原式 = 4 2 = 2. 14. 解:原式 = a (a+2)(a-2) · a +2 a(a-3) + 1 a-2 = 1 (a-2)(a-3) + 1 a-2 = 1+a-3 (a-2)(a-3) = a-2 (a-2)(a-3) = 1 a-3 ,∵ a 与 2、3 构成△ABC 的三边,∴ 3- 2<a< 3+ 2,∴ 1<a< 5. 又∵ a2 -4≠0 a2 -3a≠0 2-a≠0 { ,∴ a≠±2 且 a≠0 且 a≠3. ∵ a 为整 数,∴ 当 a= 4 时,原式= 1 4-3 = 1. 15. 解: ( 1) ∵ A x + B x+1 = A(x+1) x(x+1) + Bx x(x+1) = (A+B)x+A x(x+1) = 1-x x(x+1) ,∴ A+B= -1,A= 1,∴ B= -2; (2)x= 2 3 　 【解析】由(1)可得 1 -x x(x+1) = 1 x + -2 x+1 ,同 理可得 1-x (x+1)(x+2) = 2 x+1 + -3 x+2 ,解得 x = 2 3 ,经 检验,x = 2 3 是原方程的解,∴ 原方程的解为 x = 2 3 . 追梦专项总结突破卷(二) 1. 证明:∵ EC∥AB,∴ ∠FEC = ∠DBF,∠ECF = ∠BDF. ∵ F 是 CD 的中点,∴ FD = CF,在△FEC 与△FBD 中, ∠FEC = ∠DBF, ∠ECF = ∠BDF, CF = DF, ∴ △FEC≌△FBD,∴ EC=BD. 又∵ CD 是 AB 边上的 中线,∴ BD=AD,∴ EC=AD. 2. ( 1) 证明: ∵ AD∥BC, ∴ ∠DAC = ∠ECB. 在 △DAC 和 △ECB 中,AD =CE,∠DAC = ∠ECB,AC = BC, ∴ △DAC≌△ECB(SAS); (2)解:∵ CA 平分∠BCD,∴ ∠ECB = ∠DCA,且由(1)可 知∠DAC= ∠ECB,∴ ∠DAC = ∠DCA,∴ CD = AD = 3. 又∵ 由(1)可知△DAC≌△ECB,∴ BE = CD = 3. 3. (1)证明:由旋转可得 BC =BD,∠ABC = ∠EBD = 60°. 在 △CBF 和△DBG 中,BC=BD,∠CBF= ∠DBG= 60°,BF= BG,∴ △CBF≌△DBG( SAS),∴ CF =DG; ( 2 ) 解: ∵ △CBF ≌ △DBG, ∴ ∠BCF = ∠BDG. 又 ∵ ∠CFB = ∠DFH, ∴ ∠DHF = ∠CBF = 60°, ∴ ∠FHG= 180°-∠DHF= 180°-60° = 120°. 4. 证明:延长 AD 到点 G,使得 AD = DG,连接 BG. ∵ AD 是 BC 边上的中线, ∴ DC = DB,在△ADC 和 △GDB 中,AD=DG,∠ADC = ∠GDB,DC = DB,∴ △ADC≌ △GDB(SAS),∴ ∠CAD = ∠G,BG = AC. 又∵ BE = AC,∴ BE=BG,∴ ∠BED = ∠G. ∵ ∠BED = ∠AEF, ∴ ∠AEF= ∠CAD,∴ AF=EF. 5. 解:(1)EF=BE+FD (2)成立,理由如下. 延长 FD 到点 G,使 DG = BE,连 接 AG. ∵ ∠B+∠ADF = 180°,∴ ∠B = ∠ADG. 在 △ABE 和△ADG 中,BE = DG,∠B = ∠ADG,AB = AD,∴ △ABE≌△ADG(SAS),∴ AE=AG,∠BAE = ∠DAG. ∵ ∠EAF = 1 2 ∠BAD,∴ ∠GAF = ∠DAG+ ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = ∠EAF. 在△AEF 和△AGF 中,∵ AE = AG,∠EAF =∠GAF,AF=AF,∴ △AEF≌△AGF(SAS),∴ EF =FG. ∵ FG=DG+DF=BE+DF,∴ EF=BE+FD. 6. 解:(1)∵ BD⊥直线 m,CE⊥直线 m,∴ ∠BDA= ∠CEA= 90°. ∵ ∠BAC = 90°, ∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°. ∵ ∠BAD+∠ABD= 90°,∴ ∠CAE = ∠ABD. 在△ADB 和△CEA 中,∠ABD = ∠CAE,∠BDA = ∠AEC,AB =AC,∴ △ADB≌△CEA( AAS) . ∴ AE = BD,AD = CE. ∴ DE=AE+AD=BD+CE; (2) 成立. 证明: ∵ ∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α, ∴ ∠BAD+∠CAE = 180°-α,∠BAD+∠ABD = 180°- α, ∴ ∠CAE = ∠ABD. 在 △ABD 和 △CAE 中, ∠BDA = ∠AEC, ∠ABD = ∠CAE, AB = AC, ∴ △ABD≌△CAE,∴ AD=CE,BD = AE,∴ DE = AD+ AE=CE+BD. 7. 解:在 A 点处小明与游艇的距离为 35 米. 理由:在△ABS 与△CBD 中, ∠A = ∠C = 90°, AB = CB, ∠ABS = ∠CBD,∴ △ABS≌△CBD(ASA),∴ AS =CD,∵ CD = 35 米,∴ AS = CD = 35 米. 故在 A 点处小明与游艇的 距离为 35 米. 8. 解:∵ ∠CPD= 20°,∠APB= 70°,∠CDP= ∠ABP= 90°,∴ ∠DCP= ∠APB = 70°. 在△CPD 和△PAB 中,∠CDP =∠PBA,CD=PB,∠DCP= ∠BPA,∴ △CPD≌△PAB (ASA) . ∴ DP = AB. ∵ BD = 11. 2m,BP = 3m,∴ DP = BD-BP= 8. 2m,∴ AB= 8. 2m. 9. 解:作 A′F⊥BD,垂足为 F. ∵ AC⊥BD,∴ ∠ACB= ∠A′FB = 90°. 在 Rt△A′FB 中,∠A′BF+∠BA′F = 90°. 又∵ A′B ⊥ AB, ∴ ∠A′ BF + ∠ABC = 90°, ∴ ∠ABC = ∠BA′F. 在 △ACB 和 △BFA′ 中, ∠ACB = ∠A′ FB, ∠ABC = ∠BA′ F, AB = A′ B, ∴ △ACB ≌ △BFA′ (AAS),∴ A′F=BC. ∵ AC∥DE,∴ CD = AE = 1. 5m,∴ BC=BD-CD= 2. 5- 1. 5 = 1( m),∴ A′F = 1(m),即 A′ 到 BD 的距离是 1m. 10. 解:(1)如图; (2) 已知条件是 AB⊥CD, ∠ABC= ∠ABD. 战士要 测的是 AD=AC. (3)理由: ∵ AB⊥CD, ∴ ∠BAD = ∠BAC = 90°,在 △ABD 与△ABC 中,∵ ∠ABD = ∠ABC,AB = AB, ∠BAD= ∠BAC,∴ △ABD≌△ABC(ASA),∴ AD =AC. 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 15 页