追梦专项总结突破卷(一)分式的化简求值-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（冀教版）

△ADE≌△ADF,∴ AE=AF,∵ BE=CF= 2,AC =12,∴ AE = AF = 14,AB = 16,∵ AB2 +AC2 = 162 +122 = 400,BC2 = 400,∴ AB2 +AC2 = BC2 , ∴ ∠BAC= 90°. ∴ △ABC 是直角三角形. 24. (1)证明:连接 DM,DN,∵ BN、CM 分别是△ABC 的两 条高, ∴ BN ⊥ AC, CM ⊥ AB, ∴ ∠BMC = ∠CNB= 90°,∵ D 是 BC 的中点,∴ DM = 1 2 BC,DN= 1 2 BC,∴ DM = DN,∵ E 为 MN 的中 点,∴ DE⊥MN; (2)解:∵ BC = 26,∴ DM = 1 2 BC = 13,∵ 点 E 是 MN 的 中点,MN = 10,∴ ME = 5,由勾股定理得:DE = DM2 -ME2 = 12. 25. 解:【问题】 连接 AD,∵ AB = BD,∠B = 30°,∴ ∠BAD = ∠BDA = 180°-30° 2 = 75°,∵ EF 垂直平分 AC,∴ AF = FC,∴ ∠CAF= ∠C,∵ ∠B+∠AFB+∠BAF = 180°,∠BAF = 90°,∴ ∠AFB = 90° - 30° = 60°, ∵ ∠AFB = ∠C + ∠CAF = 2 ∠C, ∴ ∠C = ∠CAF = 30°, ∴ ∠CAD = ∠ADB-∠C= 75°-30° = 45°; 【探究】 不会. 理由:连接 AD,∵ AB=BD,∴ ∠BAD= ∠BDA= 90° - 1 2 ∠B, ∵ EF 垂直平分 AC, ∴ AF = FC, ∴ ∠CAF= ∠C,∵ ∠B+∠AFB+∠BAF = 180°,∠BAF = 90°,∴ ∠AFB = 90°-∠B,∵ ∠AFB = ∠C+∠CAF = 2∠C,∴ ∠C = ∠CAF = 45° - 1 2 ∠B, ∴ ∠CAD = ∠ADB-∠C= 90°- 1 2 ∠B-(45°- 1 2 ∠B)= 45°; 【拓展】 1 2 α 26. 解:(1)∵ 在△ABC 中,∠ACB= 90°,AB= 10,BC= 6, ∴ AC= AB2 -BC2 = 102 -62 = 8; (2)设边 AB 上的高为 h,则 S△ABC = 1 2 AC·BC = 1 2 AB·h,∴ 1 2 ×6×8 = 1 2 ×10·h,∴ h= 24 5 ; (3)①16-2t　 ②20 3 追梦专项总结突破卷(一) 1. 解:原式 = 3(x -1)-(x+1) (x+1)(x-1) ·x -1 x-2 = 2(x-2) (x+1)(x-1) ·x -1 x-2 = 2 x+1 ,当 x= -2 时,原式= 2-2+1 = -2. 2. 解:原式= (m +1) 2 (m+1)(m-1) ÷ 1+m m +m-3 m-1 = m+1 m-1 · m m+1 +m-3 m-1 = m m-1 +m-3 m-1 = 2m-3 m-1 ,当 m= 2 时,原式= 2 ×2-3 2-1 = 1. 3. 解:原式 = x +y+x-y (x+y)(x-y) ·(x +y)(x-y) xy = 2x (x+y)(x-y) · (x+y)(x-y) xy = 2 y ,当 y= -2 时,原式= 2-2 = -1. 4. 解:∵ 1 a - 1 b = b-a ab = 4,∴ b-a = 4ab,即 a-b = - 4ab,∴ 原 式= (a -b)+ab 2(a-b)-3ab = -4ab+ab -8ab-3ab = -3ab -11ab = 3 11 . 5. 解:原式= 1 a+1 - 1 (a+1)(a-1) ·(a -1) 2 a+1 = 1 a+1 - a-1 (a+1) 2 = 2 (a+1) 2 ,当 a2 +2a= 4 时,(a+1) 2 = a2 +2a+1 = 5,∴ 原 式= 2 5 . 6. 解:原式= 2 a-b ·(a -b)(a+b) (a+b) 2 ·(a-b) (a+b) = 2(a-b) . ∵ a= b+ 2 024,∴ a- b = 2 024,∴ 原式 = 2 × 2 024 = 4 048. 7. 解:∵ y2 +3y-1 = 0,∴ y2 -1 = -3y,∴ y- 1 y = -3,∴ y2 + 1 y2 = (y- 1 y ) 2 +2 = (-3) 2 +2 = 11,∴ y4 + 1 y4 = (y2 + 1 y2 ) 2 -2 = 112 -2 = 119,∴ 原式= 1 y4 -3+ 1 y4 = 1 119-3 = 1 116 . 8. 解: 原 式 = x -3 2(x-2) ÷ 5-(x+2)(x-2) x-2 = - x-3 2(x-2) · x-2 (x+3)(x-3) = - 1 2(x+3) ,∵ x +3 x+2 = 1 3 + 2 +1 ,∴ x +2 x+3 = 3 + 2 + 1,∴ 1- 1 x+3 = 3 + 2 + 1,∴ - 1 x+3 = 3 + 2 ,∴ 原式= 3 + 2 2 . 9. 解: 原 式 = (m -2) 2 m-1 ÷ 3-(m+1)(m-1) m-1 = (m-2) 2 m-1 · m-1 3-m2 +1 = (m-2) 2 (2+m)(2-m) = 2-m 2+m ,∵ 1≤m< 4,m- 1≠ 0,(2+m)(2-m)≠0,∴ m≠1,m≠± 2,m 可以取整 数 3,∴ 当 m= 3 时,原式= 2 -3 2+3 = - 1 5 . 10. 解:∵ x2 +y2 +8x+6y+25 = 0,∴ (x+4) 2 +(y+3) 2 = 0. ∴ x = -4,y = - 3. 原式 = (x +2y)(x-2y) (x+2y) 2 - x x+2y = x-2y x+2y - x x+2y = -2y x+2y . 当 x= -4,y = -3 时,原式 = -2×(-3) -4+2×(-3) = - 3 5 . 11. 解: 原 式 = [ x -1 (x-2) 2 - x+2 x(x-2) ] ÷ 4 -x x = [ x 2 -x x(x-2) 2 - x2 -4 x(x-2) 2 ]÷ 4 -x x = 4-x x(x-2) 2 · x 4-x = 1 (x-2) 2 ,解不等 式 2x-5 3 ≤x-3,得 x≥4,则不等式的最小整数解为 x= 4,当 x= 4 时,分式无意义,∴ 符合条件的 x 的最 小整数解为 x= 5,则原式= 1 9 . 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 14 页 12. 解: 原式 = x 2 +y2 -2xy xy ÷ y-x xy = - (x-y) 2 xy · xy x-y = y - x, 2x+3y= 5① 3x+2y= 6②{ ,①-②得 y-x= -1,∴ 原式= -1. 13. 解:原式 = a +1-(a-1) a2 -1 ·2(a 2 -1) a = 2 a2 -1 ·2(a 2 -1) a = 4 a , 1 2 x-1≤0 -3x<6 { ,解不等式组得-2<x≤2,∵ a-1≠0, a+1≠0,a≠0,∴ a≠±1,a≠0,∴ 当 a = 2 时,原式 = 4 2 = 2. 14. 解:原式 = a (a+2)(a-2) · a +2 a(a-3) + 1 a-2 = 1 (a-2)(a-3) + 1 a-2 = 1+a-3 (a-2)(a-3) = a-2 (a-2)(a-3) = 1 a-3 ,∵ a 与 2、3 构成△ABC 的三边,∴ 3- 2<a< 3+ 2,∴ 1<a< 5. 又∵ a2 -4≠0 a2 -3a≠0 2-a≠0 { ,∴ a≠±2 且 a≠0 且 a≠3. ∵ a 为整 数,∴ 当 a= 4 时,原式= 1 4-3 = 1. 15. 解: ( 1) ∵ A x + B x+1 = A(x+1) x(x+1) + Bx x(x+1) = (A+B)x+A x(x+1) = 1-x x(x+1) ,∴ A+B= -1,A= 1,∴ B= -2; (2)x= 2 3 　 【解析】由(1)可得 1 -x x(x+1) = 1 x + -2 x+1 ,同 理可得 1-x (x+1)(x+2) = 2 x+1 + -3 x+2 ,解得 x = 2 3 ,经 检验,x = 2 3 是原方程的解,∴ 原方程的解为 x = 2 3 . 追梦专项总结突破卷(二) 1. 证明:∵ EC∥AB,∴ ∠FEC = ∠DBF,∠ECF = ∠BDF. ∵ F 是 CD 的中点,∴ FD = CF,在△FEC 与△FBD 中, ∠FEC = ∠DBF, ∠ECF = ∠BDF, CF = DF, ∴ △FEC≌△FBD,∴ EC=BD. 又∵ CD 是 AB 边上的 中线,∴ BD=AD,∴ EC=AD. 2. ( 1) 证明: ∵ AD∥BC, ∴ ∠DAC = ∠ECB. 在 △DAC 和 △ECB 中,AD =CE,∠DAC = ∠ECB,AC = BC, ∴ △DAC≌△ECB(SAS); (2)解:∵ CA 平分∠BCD,∴ ∠ECB = ∠DCA,且由(1)可 知∠DAC= ∠ECB,∴ ∠DAC = ∠DCA,∴ CD = AD = 3. 又∵ 由(1)可知△DAC≌△ECB,∴ BE = CD = 3. 3. (1)证明:由旋转可得 BC =BD,∠ABC = ∠EBD = 60°. 在 △CBF 和△DBG 中,BC=BD,∠CBF= ∠DBG= 60°,BF= BG,∴ △CBF≌△DBG( SAS),∴ CF =DG; ( 2 ) 解: ∵ △CBF ≌ △DBG, ∴ ∠BCF = ∠BDG. 又 ∵ ∠CFB = ∠DFH, ∴ ∠DHF = ∠CBF = 60°, ∴ ∠FHG= 180°-∠DHF= 180°-60° = 120°. 4. 证明:延长 AD 到点 G,使得 AD = DG,连接 BG. ∵ AD 是 BC 边上的中线, ∴ DC = DB,在△ADC 和 △GDB 中,AD=DG,∠ADC = ∠GDB,DC = DB,∴ △ADC≌ △GDB(SAS),∴ ∠CAD = ∠G,BG = AC. 又∵ BE = AC,∴ BE=BG,∴ ∠BED = ∠G. ∵ ∠BED = ∠AEF, ∴ ∠AEF= ∠CAD,∴ AF=EF. 5. 解:(1)EF=BE+FD (2)成立,理由如下. 延长 FD 到点 G,使 DG = BE,连 接 AG. ∵ ∠B+∠ADF = 180°,∴ ∠B = ∠ADG. 在 △ABE 和△ADG 中,BE = DG,∠B = ∠ADG,AB = AD,∴ △ABE≌△ADG(SAS),∴ AE=AG,∠BAE = ∠DAG. ∵ ∠EAF = 1 2 ∠BAD,∴ ∠GAF = ∠DAG+ ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = ∠EAF. 在△AEF 和△AGF 中,∵ AE = AG,∠EAF =∠GAF,AF=AF,∴ △AEF≌△AGF(SAS),∴ EF =FG. ∵ FG=DG+DF=BE+DF,∴ EF=BE+FD. 6. 解:(1)∵ BD⊥直线 m,CE⊥直线 m,∴ ∠BDA= ∠CEA= 90°. ∵ ∠BAC = 90°, ∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°. ∵ ∠BAD+∠ABD= 90°,∴ ∠CAE = ∠ABD. 在△ADB 和△CEA 中,∠ABD = ∠CAE,∠BDA = ∠AEC,AB =AC,∴ △ADB≌△CEA( AAS) . ∴ AE = BD,AD = CE. ∴ DE=AE+AD=BD+CE; (2) 成立. 证明: ∵ ∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α, ∴ ∠BAD+∠CAE = 180°-α,∠BAD+∠ABD = 180°- α, ∴ ∠CAE = ∠ABD. 在 △ABD 和 △CAE 中, ∠BDA = ∠AEC, ∠ABD = ∠CAE, AB = AC, ∴ △ABD≌△CAE,∴ AD=CE,BD = AE,∴ DE = AD+ AE=CE+BD. 7. 解:在 A 点处小明与游艇的距离为 35 米. 理由:在△ABS 与△CBD 中, ∠A = ∠C = 90°, AB = CB, ∠ABS = ∠CBD,∴ △ABS≌△CBD(ASA),∴ AS =CD,∵ CD = 35 米,∴ AS = CD = 35 米. 故在 A 点处小明与游艇的 距离为 35 米. 8. 解:∵ ∠CPD= 20°,∠APB= 70°,∠CDP= ∠ABP= 90°,∴ ∠DCP= ∠APB = 70°. 在△CPD 和△PAB 中,∠CDP =∠PBA,CD=PB,∠DCP= ∠BPA,∴ △CPD≌△PAB (ASA) . ∴ DP = AB. ∵ BD = 11. 2m,BP = 3m,∴ DP = BD-BP= 8. 2m,∴ AB= 8. 2m. 9. 解:作 A′F⊥BD,垂足为 F. ∵ AC⊥BD,∴ ∠ACB= ∠A′FB = 90°. 在 Rt△A′FB 中,∠A′BF+∠BA′F = 90°. 又∵ A′B ⊥ AB, ∴ ∠A′ BF + ∠ABC = 90°, ∴ ∠ABC = ∠BA′F. 在 △ACB 和 △BFA′ 中, ∠ACB = ∠A′ FB, ∠ABC = ∠BA′ F, AB = A′ B, ∴ △ACB ≌ △BFA′ (AAS),∴ A′F=BC. ∵ AC∥DE,∴ CD = AE = 1. 5m,∴ BC=BD-CD= 2. 5- 1. 5 = 1( m),∴ A′F = 1(m),即 A′ 到 BD 的距离是 1m. 10. 解:(1)如图; (2) 已知条件是 AB⊥CD, ∠ABC= ∠ABD. 战士要 测的是 AD=AC. (3)理由: ∵ AB⊥CD, ∴ ∠BAD = ∠BAC = 90°,在 △ABD 与△ABC 中,∵ ∠ABD = ∠ABC,AB = AB, ∠BAD= ∠BAC,∴ △ABD≌△ABC(ASA),∴ AD =AC. 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 15 页 追梦专项总结突破卷(一) 分式的化简求值 类型一　 直接代入求值 1. 先化简,再求值:( 3 x+1 - 1 x-1 ) ÷x -2 x-1 ,其中 x= -2. 2. 先化简,再求值:m 2 +2m+1 m2 -1 ÷( 1 m +1) +m -3 m-1 ,其中 m= 2. 3. 先化简,再求值:( 1 x-y + 1 x+y ) ÷ xy x2 -y2 ,其中 x= 4,y= -2. 类型二　 整体代入求值 4. 已知 1 a - 1 b = 4,求 a +ab-b 2a-3ab-2b 的值. 5. 已知 a2 +2a= 4,求 1 a+1 - 1 a2 -1 ÷ a+1 a2 -2a+1 的值. 6. 已知 a= b+2 024,求代数式 2 a-b · a 2 -b2 a2 +2ab+b2 ÷ 1 a2 -b2 的值. 7. 已知 y2 +3y-1 = 0,求 y 4 y8 -3y4 +1 的值. 类型三　 倒数法化简求值 8. 数学思想·转化思想 阅读下面的解题过程: 已知 2 2y2 +3y+7 = 1 4 ,求代数式 1 4y2 +6y-1 的值. 解:∵ 2 2y2 +3y+7 = 1 4 ,∴ 2y 2 +3y+7 2 = 4,∴ 2y2 +3y= 1,∴ 4y2 +6y-1 = 2(2y2 +3y)-1 = 2×1-1 = 1,∴ 1 4y2 +6y-1 = 1. 这种解题方法叫做“倒数法”,请你利用“倒数法” 解下面的 题目: 已知 x+3 x+2 = 1 3 + 2 +1 ,求 x -3 2x-4 ÷( 5 x-2 -x-2)的值. 类型四　 利用分数的性质化简求值 9. 先化简m 2 -4m+4 m-1 ÷( 3 m-1 -m-1) . 然后在 1≤m<4 的解集中选 择一个合适的整数代入求值. ·92· 10. 已知 x2 +y2 +8x+6y+25 = 0,求 x 2 -4y2 x2 +4xy+4y2 - x x+2y 的值. 11. 先化简,再求值:( x -1 x2 -4x+4 - x+2 x2 -2x ) ÷( 4 x -1),其中 x 是不等式 2x-5 3 ≤x-3 的最小整数解. 12. 先化简,再求值:( x 2 +y2 xy - 2) ÷( 1 x - 1 y ),其中 x,y 是方程组 2x+3y= 5 3x+2y= 6{ 的解. 13. 先化简( 1 a-1 - 1 a+1 ) ÷ a 2a2 -2 ,然后从不等式组 1 2 x-1≤0 -3x<6 ì î í ï ï ï ï 的整 数解中选择一个合适的数作为 a 的值代入求值. 14. 化简 a a2 -4 · a +2 a2 -3a - 1 2-a ,并求值,其中 a 与 2、3 构成△ABC 的 三边,且 a 为整数. 15. 学科素养·类比思想 数学课堂上,老师提出问题:可以通过通 分将两个分式的和表示成一个分式的形式,是否也可以将一 个分式 3x+1 (x+1)(x-1) 表示成两个分式和的形式? 其中这两个 分式的分母分别为 x+1 和 x-1,小明通过观察、思考,发现可 以用待定系数法解决上面问题,具体过程如下: 设 3x+1 (x+1)(x-1) = A (x+1) + B (x-1) , 则 有 3x +1 (x+1)(x-1) = A(x-1) (x+1)(x-1) + B(x+1) (x+1)(x-1) = (A+B)x+B-A (x+1)(x-1) . 因此 A+B= 3 B-A= 1{ ,解得 A= 1 B= 2{ . 所以 3x+1 (x+1)(x-1) = 1 x+1 + 2 x-1 . 问题解决: (1)设 1 -x x(x+1) = A x + B x+1 ,求 A、B; (2)直接写出方程 1 -x x(x+1) + 1-x (x+1)(x+2) = 1 x+2 的解. ·03·