第十七章 特殊三角形(二) 追梦基础全练-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（冀教版）

第十七章　 特殊三角形(二) 回顾内容:勾股定理和勾股定理的逆定理及它们的应用;直角三角形全 等的判定;反证法. 考点 1　 勾股定理 1. 直角△ABC 的斜边为 5,一条直角边为 4,则此三角形的面积 是(　 　 ) A. 10　 　 　 　 　 B. 20　 　 　 　 　 C. 12　 　 　 　 　 D. 6 2. 文化情境·数学文化 勾股定理是历史上第一个把数与形联系起 来的定理,其证明是论证几何的发端,下面四幅图中不能证明勾 股定理的是(　 　 ) A. B. C. D. 3. 生活情境·大树折断 如图,一棵大树在一次强台风中于离地面 3 m 处折断倒下,树干顶部落在离根部 4 m 处,这棵大树在折 断前的高度为(　 　 )m. A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 第 3 题图 　 　 第 4 题图 　 　 第 5 题图 4. 原创题 如图是小梦家楼梯台阶的部分示意图. 已知每个台阶 的宽度都是 25 cm,每个台阶的高度都是 16 cm,连接 AB,则 AB 等于(　 　 ) A. 170 cm B. 175 cm C. 180 cm D. 185 cm 5. (石家庄期末)如图,在四边形 ABCD 中,∠A= 90°,AD= 3,连接 BD,BD⊥CD,∠ADB = ∠C = 60°,若点 P 为 BC 边中点,则 DP 长为　 　 　 　 . 6. 在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,c = 20,a ∶b = 3 ∶4,则 a = 　 　 　 　 ,b = 　 　 　 　 . 7. 生活情境·卡车过桥洞 一辆装满货物的卡车,高 2. 5 米,宽 1. 6 米,要开进上边是半圆,下边是长方形的桥洞,如图所示,已知 半圆的直径为 2 米,长方形的另一条边长是 2. 3 米. (1)此卡车是否能通过桥洞? 试说明你的理由. (2)为了适应车流量的增加,先把桥洞改为双行道,要使宽为 1. 2 米,高为 2. 8 米的卡车能安全通过,那么此桥洞的宽至 少增加到多少? 考点 2　 勾股定理的逆定理 8. 下列各组数不能作为直角三角形的三边长的是(　 　 ) A. 8,15,17 B. 7,12,15 C. 5,12,13 D. 7,24,25 9. 在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对应边长分别为 a,b,c,若 a,b,c 满足 b2 =a2 +c2,则(　 　 ) A. ∠A= 90° B. ∠B= 90° C. ∠C= 90° D. 无法确定 10. 数学思想·分类思想 若△ABC 的三边 a、b、c 满足(a-b) 2 + | a2 +b2 -c2 | = 0,则△ABC 是(　 　 ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 11. 如图,在△ABC 中,点 D 是 AB 上一点, 连接 CD,AC = 2 3 ,BC = 2,DB = 1,CD = 3 ,则 AB 的长为　 　 　 　 . 12. 已知△ABC 的三边长分别为 5、12、13,则△ABC 的面积为 　 　 　 　 　 　 . 13. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BCA = 90°,AC = 12,AB = 13,点 D 是 Rt△ABC 外一点,连接 DC,DB,且 CD= 4,BD= 3. (1)求 BC 的长; (2)求证:△BCD 是直角三角形. 考点 3　 直角三角形全等的判定 14. 如图,BF=CE,AE⊥BC,DF⊥BC,添加一个条件　 　 　 　 ,即 可证明 Rt △ABE ≌ Rt △DCF. 下列添加的条件不正确的 是(　 　 ) A. AB=DC B. AE=BF C. EA=FD D. ∠A= ∠D 第 14 题图 　 　 　 第 15 题图 15. 如图,已知 AB⊥BD,CD⊥BD,若用“ HL” 判定 Rt△ABD 和 Rt△CDB 全等,则需要添加的条件是(　 　 ) A. AD=CB B. ∠A= ∠C C. BD=DB D. AB=CD 16. (石家庄期末)下列条件不能判定两个直角三角形全等的 是(　 　 ) A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一直角边对应相等 D. 两个锐角对应相等 ·52· 17. (唐山期末)如图,∠B= ∠D= 90°,BC=CD,∠1 = 40°,则∠2 = (　 　 ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 75° 第 17 题图 　 　 　 第 18 题图 18. 如图所示,已知在△ABC 中,∠C = 90°,AD = AC,DE⊥AB 交 BC 于点 E,若∠B= 28°,则∠AEC= (　 　 ) A. 28° B. 59° C. 60° D. 62° 19. (唐山期末)如图,在△ABC 和△DCB 中,∠A = ∠D = 90°,AC =BD,AC 与 BD 相交于点 O. (1)求证:△ABC≌△DCB; (2)△OBC 是何种三角形? 证明你的结论. 20. 按要求完成下列各小题: (1)在△ABC 中,∠A = ∠B+ ∠C,∠B = 2 ∠C- 6°,求∠C 的 度数; (2)如图,∠A= ∠D = 90°,AB =DE,BF =EC. 求证:Rt△ABC≌ Rt△DEF. 考点 4　 反证法 21. 用反证法证明命题“若在△ABC 中,AB≠AC,则∠B≠∠C” 时,首先应假设(　 　 ) A. ∠A= ∠B B. AB=AC C. ∠A= ∠C D. ∠B= ∠C 22. 用反证法证明:“在△ABC 中,已知 AB≠AC,则∠B≠∠C”的 逆命题,应首先假设　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 23. (广西一模)如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的高,∠C = 60°,AB= 6 3 ,AC= 6,则 BC 的长为(　 　 ) A. 9 3 B. 12 3 C. 9 D. 12 第 23 题图 　 　 　 第 24 题图 　 　 　 第 25 题图 24. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为 D、 E,AD、CE 交于点 H,已知 EH = EB = 3,AH = 5,则 CH 的长是(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 25. 如图,∠OAB= ∠OBC = ∠OCD = 90°,AB =BC =CD = 1,OA = 2, 则 OD2 = 　 　 　 . 26. (厦门模拟)用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于 或等于 60°”时,首先应该假设这个三角形中　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 27. 文化情境·传统文化 (泰州中考)象棋历史久远,趣味浓厚. 如 图所示的象棋盘中,各个小正方形的边长均为 1. “马”从图中 的位置出发,不走重复路线,按照“马走日”的规则,走两步后 的落点与出发点间的最短距离为　 　 　 　 　 . 第 27 题图 　 　 　 第 28 题图 28. (福州模拟)一株美丽的勾股树如图所示,其中所有的四边形 都是正方形,所有的三角形都是直角三角形. 若正方形 A,B, C,D 的面积分别为 2, 5, 1, 2,则最大的正方形 E 的面积 是　 　 　 　 . 29. 如图,在△ABC 中,AB = AC,DE 是过点 A 的直线,BD⊥DE 于 点 D,CE⊥DE 于点 E; (1)若 B、C 在 DE 的同侧(如图 1 所示)且 AD =CE. 求证:AB ⊥AC; (2)若 B、C 在 DE 的两侧(如图 2 所示)且 AD=CE,其他条件 不变,AB 与 AC 仍垂直吗? 若是,请给出证明;若不是,请 说明理由. 图 1 　 　 　 图 2 30. (广西模拟)如图,在△ABC 中,∠ABC = 90°,AB = 4,BC = 6,D 为 AC 边上的一个动点,连接 BD,E 为 BD 上的一个动点,连 接 AE,CE,当∠ABD= ∠BCE 时,线段 AE 的最小值是(　 　 ) A. 1 2 B. 1 C. 2 D. 5 2 ·62· 能是等腰三角形,故此选项合题意. 故选 D. 10. D　 11. A 12. B　 【解析】由题意得∠A′B′C′= 60°,AB=A′B′=A′C = 4, ∴ △A′B′C 是等边三角形,∴ B′C = 4,∴ ∠B′A′C = 60°, ∴ BB′= 6-4 = 2,∴ 平移的距离和旋转角的度数分别为: 2,60°. 故选 B. 13. D 14. 解:( 1) △DEF 是等边三角形,理由如下:∵ AB = AD, ∠A= 60°,∴ △ABD 是等边三角形,∴ ∠ABD = ∠ADB = 60°,∵ CE∥AB,∴ ∠CED = ∠A = 60°, ∠DFE = ∠ABD = 60°, ∴ ∠CED = ∠ADB = ∠DFE,∴ △DEF 是等边三角形; (2)连接 AC 交 BD 于点 O,∵ AB = AD,CB = CD,∴ AC 是 BD 的垂直平分线,即 AC⊥BD,∵ AB = AD,∠BAD= 60°,∴ ∠BAC = ∠DAC = 30°,∵ CE ∥AB,∴ ∠BAC = ∠ACE = ∠CAD = 30°,∴ AE = CE= 8,∴ DE=AD-AE= 12-8 = 4,∵ △DEF 是等 边三角形,∴ EF = DE = 4,∴ CF = CE-EF = 8- 4 = 4. 15. A　 16. A　 17. D 18. D　 【解析】∵ ∠A ∶∠B ∶∠C= 1 ∶2 ∶3,设∠A 为 x,∠B 为 2x,∠C 为 3x,可得 x+2x+3x = 180°,解得 x = 30°,∴ ∠A = 30°,∠B= 60°,∠C = 90°,∵ BC = 6,∴ AB = 2BC = 12. 故选 D. 19. C 20. 22. 5°　 【解析】∵ AD 为 BC 边上的高,∴ ∠ADB = 90°, ∵ AD=BD,∴ ∠ABD= ∠BAD= 1 2 (180°-∠ADB)= 45°, ∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠1 = ∠2 = 1 2 ∠ABD = 22. 5°,BE⊥ AC,∴ ∠BEA = 90° = ∠ADB,∵ ∠3 + ∠BEA + ∠AHE = 180°,∠2 + ∠ADB+ ∠BHD = 180°,∠AHE = ∠BHD,∴ ∠3 = ∠2 = 22. 5°. 21. 8　 【解析】∵ AF⊥BC,BE⊥AC,D 是 AB 的中点,∴ DE =DF= 1 2 AB,∵ AB=AC,AF⊥BC,∴ 点 F 是 BC 的中点, ∴ BF=FC = 1 2 BC = 3,∵ BE⊥AC,∴ EF = 1 2 BC = 3,∴ △DEF 的周长=DE+DF+EF=AB+3 = 11,∴ AB= 8. 22. 解:∵ DE⊥AC,∠A = 30°,DE = 4cm,∴ AD = 2DE = 8cm; ∵ D 为 AB 中点,∴ AB = 2AD = 16cm,∴ CD = 1 2 AB = 8cm. 23. C　 24. B 25. B　 【解析】∵ D 是斜边 AB 的中点,△ABC 为直角三角 形,∴ CD= BD = AD. ∴ △DBC 为等腰三角形,∴ ∠B = ∠DCB= α. ∴ ∠ACD = 90° -α. ∵ AE∥CD,∴ ∠EAC = ∠ACD= 90°-α. 故选 B. 26. 65°　 27. 3. 5 28. 45°　 【解析】∵ ∠BAC = 90°,AB = AC,∴ ∠B = ∠ACB = 45°,∵ BD = BA,∴ ∠BAD = ∠BDA = 1 2 ×(180°- 45°)= 67. 5°. ∵ CE = CA,∴ ∠E = ∠CAE = 1 2 × 45° = 22. 5°,∴ ∠DAE= ∠BDA-∠E= 67. 5°-22. 5° = 45°. 29. (1)证明:∵ ∠DBA = ∠CBE,∴ ∠DBA+∠ABE = ∠CBE + ∠ABE, 即 ∠DBE = ∠ABC. 又 ∵ ∠BDE = ∠BAC,DE=AC= 6,∴ △DBE≌△ABC; (2)解:∵ AD = AC =CD = 6,∴ △ADC 是等边三角形,∴ ∠ACD= 60°,AC = CD. 又∵ △ABC≌△DBE,∴ BD=BA,DE=AC. ∵ AC=CD,∴ DE =CD. ∵ BC = BC, ∴ △ACB ≌ △DCB, ∴ ∠BED = ∠ACB = ∠BCD= 30°. 30. 解:(1)= (2)= 理由如下:过点 E 作 EF∥BC,交 AC 于点 F,∵ △ABC 为等边三角形,EF∥BC,∴ △AEF 为等边 三角形,∴ AE = EF = AF,∴ BE = CF,∵ ED = EC, ∴ ∠D = ∠ECD,∵ ∠DEB = ∠ABC-∠D = 60° - ∠D,∠ECF = ∠ACB- ∠ECD = 60° - ∠ECD,∴ ∠DEB = ∠ECF, 在 △DBE 和 △EFC 中, DE=EC ∠DEB= ∠ECF BE=FC { ,∴ △DBE≌ △EFC( SAS),∴ DB=EF,∴ AE=DB. (3)如图所示,过点 E 作 EF ∥BC, 交 AC 延长线于 点 F,此时 CD = 3. 当点 E 在 BA 延长线上时,不 成立. 综上所述 CD= 3. 第十七章　 特殊三角形(二) 1. D　 2. D　 3. D　 4. A　 5. 2 3 　 6. 12　 16 7. 解:(1)如图 1,M,N 为卡车的宽度,过 M,N 作 AB 的垂 线交半圆于 C,D,过 O 作 OE⊥CD,E 为垂足,CD =MN= 1. 6 米,AB= 2 米,由作法得,CE =DE = 0. 8 米,又∵ OC = OA = 1 米,在 Rt △OCE 中,OE = OC2 -CE2 = 0. 6(米),∴ CM = 2. 3 + 0. 6 = 2. 9 (米)>2. 5(米) . ∴ . 这辆卡车能通过. (2)如图 2,根据题意可知:CG =BE = 2. 8 米,BG =OF = 1. 2 米,EF=AD= 2. 3 米,∴ BF= 0. 5 米,∴ 根据 勾股定理有:OA2 =OB2 =BF2 +OF2 = 0. 52 +1. 22 = 1. 32 ,∴ OA= 1. 3 米,∴ 桥洞的宽至少增加到 1. 3 ×2 = 2. 6(米) . 图 1 　 　 图 2 8. B　 9. B　 10. C　 11. 4　 12. 30 13. (1)解:在 Rt△ABC 中,由∠BCA= 90°,AC= 12,AB = 13, ∴ BC= AB2 -AC2 = 132 -122 = 5. (2)证明:在△BCD 中,CD = 4,BD = 3,BC = 5,∴ CD2 + BD2 =BC2 ,∴ △BCD 是直角三角形. 14. B　 15. A　 16. D　 17. B 18. B　 【解析】∵ DE⊥AB,∴ ∠ADE= 90°. ∵ ∠C = ∠ADE = 90°,AD=AC,AE = AE,∴ Rt△ACE≌Rt△ADE,∴ ∠AEC 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 12 页 = ∠AED. ∵ ∠B= 28°,∴ ∠BED= 62°,∴ ∠CED= 118°, ∴ ∠AEC= 59°. 故选 B. 19. (1)证明:在△ABC 和△DCB 中,∠A = ∠D = 90°,AC = BD,BC=CB,∴ Rt△ABC≌Rt△DCB(HL) . (2)解:△OBC 是等腰三角形. ∵ Rt△ABC≌Rt△DCB, ∴ ∠ACB= ∠DBC,∴ OB =OC,∴ △OBC 是等腰 三角形. 20. (1)解:∵ ∠A= ∠B+∠C,∠A+∠B+∠C = 180°,∴ 2∠A = 180°,∴ ∠A = 90°,即∠B+∠C = 90°,∵ ∠B = 2∠C-6°,∵ 2∠C-6°+∠C= 90°,∴ ∠C= 32°; (2)证明:∵ BF=EC,∴ BF+CF=EC+CF,即 BC=EF, ∵ ∠A= ∠D= 90°,∴ 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中, BC=EF AB=DE{ ,∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). 21. D　 22. AB=AC　 23. D 24. A　 【解析】 ∵ AD⊥BC,CE⊥AB,∴ ∠ADB = ∠AEH = 90°,∵ ∠AHE = ∠CHD,∴ ∠BAD = ∠BCE,∵ 在△HEA 和△BEC 中,∠BAD = ∠BCE,∠AEH = ∠BEC = 90°,EH =EB,∴ △HEA≌△BEC(AAS),在 Rt△AEH 中,∵ EH= 3,AH= 5,∴ 由勾股定理可得 AE = 4,∴ AE = EC = 4,则 CH=EC-EH=AE-EH= 4-3 = 1. 故选 A. 25. 7　 26. 每一个内角都大于 60°　 27. 2 　 28. 10 29. (1)证明:∵ BD⊥DE,CE⊥DE,∴ ∠ADB = ∠AEC = 90°, 在 Rt△ABD 和 Rt△CAE 中,∵ AB = AC,AD = CE, ∴ Rt △ABD ≌ Rt △CAE. ∴ ∠DAB = ∠ECA,∵ ∠EAC + ∠ACE = 90°, ∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°. ∴ ∠BAC = 180° - ( ∠BAD + ∠CAE)= 90°. ∴ AB⊥AC. (2)解:AB⊥AC. 证明:由题意,得∠BDA = ∠AEC = 90°. ∵ AD = CE, AB = AC, ∴ Rt △ABD ≌ Rt △CAE (HL) . ∴ ∠DAB = ∠ECA, ∵ ∠CAE + ∠ECA = 90°,∴ ∠CAE+∠BAD = 90°,即∠BAC = 90°,∴ AB⊥AC. 30. C　 【解析】取 BC 的中点 T,连接 AT,ET. ∵ ∠ABC = 90°,∴ ∠ABD + ∠CBD = 90°, ∵ ∠ABD = ∠BCE, ∴ ∠CBD+∠BCE = 90°,∴ ∠CEB = 90°,∵ CT = TB = 3,∴ ET= 3,AT = AB2 +TB2 = 42 +32 = 5. ∵ AE≥AT-ET, ∴ AE≥2,∴ AE 的最小值为 2. 故选 C. 第十七章追梦综合演练卷 1. B　 2. C　 3. D　 4. C　 5. C 6. B　 【解析】连接 AB,设每个小正方形的边长为 a,AB = a2 +(2a) 2 = 5 a, BC = a2 +(2a) 2 = 5 a, AC = a2 +(3a) 2 = 10 a, ∴ AB = BC, AB2 + BC2 = AC2, ∴ △ABC 是等腰直角三角形,∴ ∠ACB = ∠CAB = 45°. 故 选 B. 7. A　 【解析】以 D 为圆心,以 DE 长为半径画圆交 AB 于 F,F′点,连接 DF,DF′,则 DE = DF = DF′,∴ ∠DFF′ = ∠DF′F,∵ BD 平分∠ABC,由图形的对称性可知∠DFB = ∠DEB,∵ DE∥AB,∠ABC= 40°,∴ ∠DEB= 180°-40° = 140°,∴ ∠DFB= 140°. ∵ DF=DF′,∴ ∠DF′B = ∠DFF′= 40°. 故选 A. 8. C　 9. D 10. B 　 【解析】由尺规作图步骤可得,BG 平分∠ABC,∵ ∠C= 90°,∠B= 60°,∴ ∠CBG = ∠ABG = 30°,∵ BG = 8, ∴ CG= 1 2 BG= 4,∴ 点 G 到 AB 的距离等于 GC,∴ GP 的 最小值为 4. 故选 B. 11. B　 12. C 　 【解析】 由题意得 ∠CAB = 30°,∠CBD = 60°,∴ ∠ACB= 30°,∴ BC=BA= 2×20 = 40(海里),∵ ∠CDB = 90°,∴ BD= 1 2 BC= 20(海里),∴ AD=BD+AB= 20+40 = 60(海里),则轮船航程 AD 的距离是 60 海里. 故选 C. 13. B　 【解析】∵ △A1B1A2 为等边三角形,∠MON = 30°,∴ ∠A1OB1 = ∠A1B1O = 30°,OA1 = A1B1 = A2B1 = 1,同理: A2O=A2B2 = 2 = 2 1,A3B3 = A3O = 2A2O = 4 = 2 2,…以此类 推可得△AnBnAn+1 的边长为 AnBn = 2 n-1 . 故选 B. 14. C　 15. A 16. D　 【解析】∵ ∠C= 90°,∠B = 60°,∴ ∠A = 30°,分三种 情况讨论:①当 B′A = B′E 时,∴ ∠B′EA = ∠A = 30°,∴ ∠BEB′= 180° - ∠B′ EA = 150°;② 当 AB′ = AE 时,∴ ∠AEB′= ∠AB′E = 180° -∠A 2 = 75°,∴ ∠BEB′ = 180° - ∠AEB′= 105°;③当 EA = EB′时,∴ ∠A = ∠EB′A = 30°, ∴ ∠BEB′ = ∠A + ∠EB′A = 60°;综上所述,∠BEB′为 150°或 105°或 60°. 故选 D. 17. 8 18. 7　 【解析】∵ MN∥PQ,AB⊥PQ,∴ AB⊥MN,∴ ∠DAE = ∠EBC= 90°,在 Rt△ADE 和 Rt△BCE 中, DE=EC AD=BE{ ,∴ Rt△ADE≌Rt△BEC(HL),∴ AE =BC,∵ AD+BC = 7,∴ AB=AE+BE=AD+BC= 7. 19. (1)4 (2)8　 【解析】∵ ∠ACF = ∠AED = 90°,∴ CF∥DE,∴ ∠AFC= ∠D= 45°,∵ ∠CAF= 45°,∴ CF = AC = 4,∴ 阴影部分面积为 1 2 ×4×4 = 8(cm2) . 20. 解:∵ ∠C= ∠ABC = 2∠A,∴ ∠C+∠ABC+∠A = 5∠A = 180°,∴ ∠A= 36°,则∠C= ∠ABC = 2∠A = 72°. 又∵ BD 是 AC 边上的高,则∠DBC= 90°-∠C= 18°. 21. 解:在△ABC 中,∠A = 40°,AB = AC,∴ ∠ABC = ∠C = 1 2 (180°-∠A) = 70°. ①当 BC =BD 时,∠BDC = ∠C = 70°;②当 BC =CD 时,∠BDC = ∠DBC = 1 2 ×(180°- 70°)= 55°. 综上所述,∠BDC 的度数为 70°或 55°. 22. 解:∵ ∠ADE = 155°,∠ADE+∠CDE = 180°,∴ ∠CDE = 25°. ∵ DE∥BC,∴ ∠C = ∠CDE = 25°. 在△ABC 中, ∠A= 90°,∴ ∠B+∠C= 90°,∴ ∠B= 90°-25° = 65°. 23. 证明:(1)连接 BD,CD. ∵ AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF ⊥AC,∴ ∠AED = ∠BED = ∠AFD = 90°,DE = DF. ∵ 点 D 在 BC 的垂直平分线上,∴ DB = DC. 在 Rt△DEB 和 Rt△DFC 中, DB=DC DE=DF{ ,∴ Rt△DEB≌Rt△DFC(HL),∴ BE=CF. (2) 在 Rt △ADE 和 Rt △ADF 中, AD=AD, DE=DF{ ∴ 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 13 页