第十七章 特殊三角形(一) 追梦基础全练-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（冀教版）

第十七章　 特殊三角形(一) 回顾内容:等腰三角形的性质与判定;等边三角形的性质与判定;直角 三角形的性质与判定. 考点 1　 等腰三角形 1. 数学思想·分类思想 已知等腰三角形的两边长分别为 3 和 6,则 它的周长等于(　 　 ) A. 12　 　 　 　 B. 12 或 15　 　 　 　 C. 15　 　 　 　 D. 15 或 18 2. 等腰三角形的一个内角是 50°,则另外两个角的度数分别 是(　 　 ) A. 65°,65° B. 50°,80° C. 65°,65°或 50°,80° D. 50°,50° 3. 如图,∠A = 36°,∠DBC = 36°,∠C = 72°,则图中等腰三角形 有(　 　 ) A. 0 个　 　 　 　 B. 1 个　 　 　 　 C. 2 个　 　 　 　 D. 3 个 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 4. 如图,直线 l1、l2 相交于点 A,点 B 是直线外一点,在直线 l1、l2 上找一点 C,使△ABC 为一个等腰三角形. 满足条件的点 C 有(　 　 ) A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个 5. (武汉期末)如图,△ABC 中,AB = 6,AC = 7,BD、CD 分别平分 ∠ABC、∠ACB,过点 D 作直线平行于 BC,交 AB、AC 于 E、F,则 △AEF 的周长为　 　 　 　 　 . 6. 在△ABC 中,∠B= ∠C,∠A+∠B= 115°,则∠B= 　 　 　 　 　 . 7. 如图,在△ABC 中,AB=AC,BC= 4,△ABC 的面 积是 16,AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC,AB 边于 E、F 点,若点 D 为 BC 边的中点,点 M 为 线段 EF 上一动点,则△CDM 周长的最小值为　 　 　 　 　 . 8. 如图,在△ABC 中,AB=BC,点 D 是 BC 边上一点,且满足 BD = AD,CE 平分∠ACB 交 AD 于点 E. (1)若∠ADC= 80°,求∠2 的度数; (2)过点 E 作 EF∥AB,交 BD 于点 F,请说明∠FEC= 3∠3. 考点 2　 等边三角形 9. (唐山期末)下列三角形,不一定是等边三角形的是(　 　 ) A. 有两个角等于 60°的三角形 B. 有一个外角等于 120°的等腰三角形 C. 三个角都相等的三角形 D. 边上的高也是这边的中线的三角形 10. (邯郸期末)如图,△ABC 是等边三角形,点 D 在 AC 边上, ∠DBC= 35°,则∠ADB 的度数为(　 　 ) A. 25° B. 60° C. 85° D. 95° 第 10 题图 　 　 第 11 题图 　 　 第 12 题图 11. 如图,△ABC 中,∠B = 60°,AB = AC,BC = 3,则△ABC 的周长 为(　 　 ) A. 9 B. 8 C. 6 D. 12 12. 如图,△ABC 中,AB= 4,BC= 6,∠B= 60°,将△ABC 沿射线 BC 方向平移,得到△A′B′C′,再将△A′B′C′绕点 A′逆时针方向旋 转一定角度后,点 B′恰好与点 C 重合,则平移的距离和旋转 角的角度分别为(　 　 ) A. 4,30° B. 2,60° C. 1,30° D. 3,60° 13. 等边三角形中,两条中线所夹的锐角的度数为(　 　 ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 14. 如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD,CB =CD,∠A = 60°,点 E 为 AD 上一点,连接 BD,CE 交于点 F,CE∥AB. (1)判断△DEF 的形状,并说明理由; (2)若 AD= 12,CE= 8,求 CF 的长. 考点 3　 直角三角形 15. 在△ABC 中,∠A= ∠B= 45°,则△ABC 是(　 　 ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都不是 16. 已知直角三角形中,斜边 AB 的长为 5,则斜边上的中线 CD 长 是(　 　 ) A. 2. 5 B. 5 C. 7. 5 D. 10 17. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,CD⊥AB,垂足为 D. 下列结 论中,不一定成立的是(　 　 ) A. ∠A 与∠1 互余 B. ∠B 与∠2 互余 C. ∠A= ∠2 D. ∠1 = ∠2 18. 在△ABC 中,∠A ∶∠B ∶∠C=1 ∶2 ∶3,若 BC=6,则 AB 等于(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 9 D. 12 ·32· 19. 数学思想·分类思想 等腰三角形一腰上的高与腰之比 1 ∶2,则 等腰三角形顶角的度数为(　 　 ) A. 30° B. 60°或 120° C. 30°或 150° D. 150° 20. 如图,在△ABC 中,AB =BC,BE 平分∠ABC,AD 为 BC 边上的 高,且 AD=BD. 则∠3 = 　 　 　 　 °. 第 20 题图 　 　 　 　 　 第 21 题图 21. 如图,△ABC 中,AB=AC,BC= 6,△DEF 的周长是 11,AF⊥BC 于 F,BE⊥AC 于 E,且点 D 是 AB 的中点,则 AB= 　 　 　 　 . 22. 已知,Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,DE = 4 cm,D 为 AB 中点,DE ⊥AC 于 E,∠A= 30°,求 AB 和 CD 的长. 23. (石家庄期末)如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,D 是 AB 的中 点,则下列结论不一定正确的是(　 　 ) A. CD=BD B. ∠A= ∠DCA C. BD=AC D. ∠B+∠ACD= 90° 第 23 题图 　 　 　 第 24 题图 　 　 　 第 25 题图 24. 如图,直线 l1∥l2,等腰直角△ABC 的两个顶点 A、B 分别落在 直线 l1、 l2 上, ∠ACB = 90°, 若 ∠1 = 15°, 则 ∠2 的 度 数 是(　 　 ) A. 35° B. 30° C. 25° D. 20° 25. 在如图所示的 Rt△ABC 纸片中,∠ACB = 90°,D 是斜边 AB 的 中点,把纸片沿着 CD 折叠,点 B 到点 E 的位置,连接 AE. 若 AE∥DC,∠B=α,则∠EAC 等于(　 　 ) A. α B. 90°-α C. α 2 D. 90°-2α 26. 如图,在△ABC 中,AB =AC,D 是 BC 的中点,DE⊥AC,垂足为 E,∠BAC= 50°,则∠ADE 的度数是　 　 　 . 第 26 题图 　 　 　 第 27 题图 27. 如图,△ABC 中,AC= 7,∠A = ∠B = 30°,CD 是△ABC 的中线, 过点 D 作 BC 的平行线与∠BCD 的平分线交于点 E,则 DE 的 长度为　 　 　 　 . 28. (西安中考)如图,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AB=AC,点 D 在 BC 上,且 BD=BA, 点 E 在 BC 的延长线上,且 CE = CA,则 ∠DAE= 　 　 　 　 . 29. 将两个三角形纸板△ABC 和△DBE 按如图所示的方式摆放, 连接 AD,DC,CE. 已知∠DBA = ∠CBE,∠BDE = ∠BAC,且 AC =DE= 6. (1)求证:△ABC≌△DBE; (2)若 DA=DC= 6,且∠EDB = ∠CDB. 求∠BED 的度数. 30. 创新题 (北京期末)已知,在等边三角形 ABC 中,点 E 在 AB 上,点 D 在 CB 的延长线上,且 ED=EC. (1)【特殊情况,探索结论】 如图 1,当点 E 为 AB 的中点时,确定线段 AE 与 DB 的大 小关系,请你直接写出结论:AE　 　 　 　 DB. (填“ >” “ <” 或“ = ”) (2)【特例启发,解答题目】 如图 2,当点 E 为 AB 边上任意一点时,确定线段 AE 与 DB 的大小关系,请你直接写出结论,AE 　 　 　 　 　 DB (填“ >”“ <”或“ = ”); 理由如下,过点 E 作 EF∥BC,交 AC 于点 F. (请你完成以 下解答过程) (3)【拓展结论,设计新题】 在等边三角形 ABC 中,点 E 在直线 AB 上,点 D 在线段 CB 的延长线上,且 ED=EC,若△ABC 的边长为 1,AE= 2, 求 CD 的长. (请你画出相应图形,并直接写出结果) 图 1 　 　 　 图 2 ·42· (3)如图:点 P 即为所求作的点. 21. 证明:∵ OM 平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,∴ AM = BM,在 △AOM 和 △BOM 中, ∠AOM= ∠BOM ∠OAM= ∠OBM AM=BM { , ∴ △AOM≌△BOM( AAS),∴ OA = OB,在△AON 和 △BON 中, OA=OB ∠AON= ∠BON ON=ON { , ∴ △AON ≌ △BON. ∴ ∠OAB= ∠OBA. 22. 解:如图所示,点 C 即为所求. 23. 证明:∵ △ABO 与△CDO 关于 O 点成中心对称,∴ OB= OD,OA=OC. ∵ AF=CE,∴ OF =OE. 又∵ ∠BOE = ∠DOF,∴ △BOE ≌ △DOF ( SAS) . ∴ FD = BE, ∠FDO= ∠EBO,∴ FD∥BE. 24. 解:设 AE 与 DC 交于点 P. ∵ ∠1 ∶∠2 ∶∠3 = 13 ∶3 ∶2,∴ ∠1 = 130°,∠3 = 20°. ∴ ∠DCA = 20°,∠BAE = 130°. ∴ ∠EAC = 360° - 2 ∠1 = 100°,∴ ∠APC = ∠EPD = 180°-100°-20° = 60°. ∵ ∠E = ∠3 = 20°,∴ ∠EOC = 180°-20°-60° = 100°. 25. 解:(1)∵ l1 是 AB 边的垂直平分线,∴ DA =DB,∵ l2 是 AC 边的垂直平分线,∴ EA = EC,∴ BC = BD+DE +EC= DA+DE+EA,∵ △ADE 的周长为 6cm,∴ BC= 6cm; (2)∵ l1 是 AB 边的垂直平分线,∴ OA =OB,∵ l2 是 AC 边的垂直平分线,∴ OA = OC,∵ OB+OC+BC = 16cm,BC= 6cm,∴ OA=OB=OC= 5cm; (3)∵ ∠BAC= 100°,∴ ∠ABC+∠ACB = 80°,∵ l1 垂 直平分 AB,l2 垂直平分 AC,∴ ∠BAD = ∠ABC, ∠EAC = ∠ACB, ∴ ∠DAE = ∠BAC - ∠BAD - ∠EAC= 20°. 26. 解:(1)过点 C 作 CF⊥AN 于点 F,∵ AC 平分∠MAN, CE⊥AB,CF⊥AD,∴ CE = CF,∵ ∠ABC+∠ADC = 180°, ∠ADC + ∠CDF = 180°, ∴ ∠ABC = ∠CDF. 在 △BCE 和 △DCF 中, ∠CBE= ∠CDF ∠CEB= ∠CFD= 90° CE=CF { ,∴ △BCE≌△DCF,∴ BC =DC. (2)AD-AB = 2BE. 理由如下:过点 C 作 CF⊥AD 于 F. ∵ AC 平分 ∠MAN, CE ⊥ AB, CF ⊥ AD, ∴ ∠CFA= ∠CEA = 90°,∠CAN = ∠CAM,CE = CF. ∴ △CAF≌△CAE,∴ AF = AE. ∵ ∠ABC+∠ADC = 180°, ∠ABC + ∠CBE = 180°, ∴ ∠ADC = ∠CBE. 在 △BCE 和 △DCF 中, ∠CBE= ∠CDF ∠CEB= ∠CFD CE=CF { , ∴ △BCE ≌ △DCF, ∴ DF = BE. ∴ AD=AF+DF = AE+DF = AB+BE+DF = AB+ 2BE,∴ AD-AB= 2BE. (3)DB = 3. 　 【解析】在 BD 上截取 BH = BG,连接 OH,∵ BH = BG,∠OBH = ∠OBG,OB = OB. 在 △OBH 和 △OBG 中, BH=BG ∠OBH= ∠OBG OB=OB { , ∴ △OBH≌ △OBG( SAS),∴ ∠OHB = ∠OGB,∵ AO 是∠MAN 的平分线,BO 是∠ABD 的平分线, ∴ 点 O 到 AD,AB,BD 的距离相等,∴ ∠ODH = ∠ODF,∴ ∠OHB = ∠ODH + ∠DOH, ∠OGB = ∠ODF + ∠DAB, ∴ ∠DOH = ∠DAB = 60°, ∴ ∠GOH = 120°, ∴ ∠BOG = ∠BOH = 60°, ∴ ∠DOF = ∠BOG = 60°, ∴ ∠DOH = ∠DOF, 在 △ODH 和 △ODF 中, ∠DOH= ∠DOF OD=OD ∠ODH= ∠ODF { , ∴ △ODH≌△ODF(ASA),∴ DH=DF,∴ DB=DH+ BH=DF+BG= 2+1 = 3. 第十七章　 特殊三角形(一) 1. C　 2. C　 3. D　 4. D 5. 13 　 【解析】 ∵ EF∥BC,∴ ∠EDB = ∠DBC,∠FDC = ∠DCB,∵ △ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 D, ∴ ∠EBD = ∠DBC, ∠FCD = ∠DCB, ∴ ∠EDB = ∠EBD,∠FDC= ∠FCD,∴ ED = EB,FD = FC,∵ AB = 6, AC= 7,∴ △AEF 的周长为:AE+EF+AF =AE+ED+FD+AF =AE+EB+FC+AF=AB+AC= 6+7 = 13. 6. 65° 7. 10　 【解析】∵ AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC,AB 边于 E,F,∴ 点 A,C 关于 EF 对称. 连接 AD,交 EF 于点 M,则 △CDM 周长的最小值是 AD+DC. 由题意得 AD⊥BC,DC = 2, 1 2 BC×AD= 1 2 ×4×AD= 16,解得 AD = 8,∴ △CDM 周 长的最小值为 AD+DC= 8+2 = 10. 8. (1) 解:∵ BD = AD,∴ ∠B = ∠1. ∵ ∠ADC = ∠B+ ∠1 = 2∠B= 80°,∴ ∠B = 40°. ∵ AB = BC,∴ ∠BAC = ∠ACB= (180°-40°)÷2 = 70°. ∵ CE 平分∠ACB, ∴ ∠2 = ∠3 = 35°; (2)证明:设∠B= x,则∠1 = x. ∵ EF∥AB,∴ ∠DEF = ∠1 = x. ∵ AB=BC,∴ ∠BAC = ∠ACB = (180°-x) ÷ 2 = 90°- 1 2 x. ∴ ∠2 = ∠3 = 45°- 1 4 x,∴ ∠DEC = 180°-(∠EDC+∠3)= 180°-(2x+45°- 1 4 x) = 135° - 7 4 x,∴ ∠FEC = ∠DEF+ ∠DEC = x+ 135°- 7 4 x= 135°- 3 4 x. ∴ ∠FEC= 3∠3. 9. D　 【解析】D. 边上的高也是这边的中线的三角形,也可 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 11 页 能是等腰三角形,故此选项合题意. 故选 D. 10. D　 11. A 12. B　 【解析】由题意得∠A′B′C′= 60°,AB=A′B′=A′C = 4, ∴ △A′B′C 是等边三角形,∴ B′C = 4,∴ ∠B′A′C = 60°, ∴ BB′= 6-4 = 2,∴ 平移的距离和旋转角的度数分别为: 2,60°. 故选 B. 13. D 14. 解:( 1) △DEF 是等边三角形,理由如下:∵ AB = AD, ∠A= 60°,∴ △ABD 是等边三角形,∴ ∠ABD = ∠ADB = 60°,∵ CE∥AB,∴ ∠CED = ∠A = 60°, ∠DFE = ∠ABD = 60°, ∴ ∠CED = ∠ADB = ∠DFE,∴ △DEF 是等边三角形; (2)连接 AC 交 BD 于点 O,∵ AB = AD,CB = CD,∴ AC 是 BD 的垂直平分线,即 AC⊥BD,∵ AB = AD,∠BAD= 60°,∴ ∠BAC = ∠DAC = 30°,∵ CE ∥AB,∴ ∠BAC = ∠ACE = ∠CAD = 30°,∴ AE = CE= 8,∴ DE=AD-AE= 12-8 = 4,∵ △DEF 是等 边三角形,∴ EF = DE = 4,∴ CF = CE-EF = 8- 4 = 4. 15. A　 16. A　 17. D 18. D　 【解析】∵ ∠A ∶∠B ∶∠C= 1 ∶2 ∶3,设∠A 为 x,∠B 为 2x,∠C 为 3x,可得 x+2x+3x = 180°,解得 x = 30°,∴ ∠A = 30°,∠B= 60°,∠C = 90°,∵ BC = 6,∴ AB = 2BC = 12. 故选 D. 19. C 20. 22. 5°　 【解析】∵ AD 为 BC 边上的高,∴ ∠ADB = 90°, ∵ AD=BD,∴ ∠ABD= ∠BAD= 1 2 (180°-∠ADB)= 45°, ∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠1 = ∠2 = 1 2 ∠ABD = 22. 5°,BE⊥ AC,∴ ∠BEA = 90° = ∠ADB,∵ ∠3 + ∠BEA + ∠AHE = 180°,∠2 + ∠ADB+ ∠BHD = 180°,∠AHE = ∠BHD,∴ ∠3 = ∠2 = 22. 5°. 21. 8　 【解析】∵ AF⊥BC,BE⊥AC,D 是 AB 的中点,∴ DE =DF= 1 2 AB,∵ AB=AC,AF⊥BC,∴ 点 F 是 BC 的中点, ∴ BF=FC = 1 2 BC = 3,∵ BE⊥AC,∴ EF = 1 2 BC = 3,∴ △DEF 的周长=DE+DF+EF=AB+3 = 11,∴ AB= 8. 22. 解:∵ DE⊥AC,∠A = 30°,DE = 4cm,∴ AD = 2DE = 8cm; ∵ D 为 AB 中点,∴ AB = 2AD = 16cm,∴ CD = 1 2 AB = 8cm. 23. C　 24. B 25. B　 【解析】∵ D 是斜边 AB 的中点,△ABC 为直角三角 形,∴ CD= BD = AD. ∴ △DBC 为等腰三角形,∴ ∠B = ∠DCB= α. ∴ ∠ACD = 90° -α. ∵ AE∥CD,∴ ∠EAC = ∠ACD= 90°-α. 故选 B. 26. 65°　 27. 3. 5 28. 45°　 【解析】∵ ∠BAC = 90°,AB = AC,∴ ∠B = ∠ACB = 45°,∵ BD = BA,∴ ∠BAD = ∠BDA = 1 2 ×(180°- 45°)= 67. 5°. ∵ CE = CA,∴ ∠E = ∠CAE = 1 2 × 45° = 22. 5°,∴ ∠DAE= ∠BDA-∠E= 67. 5°-22. 5° = 45°. 29. (1)证明:∵ ∠DBA = ∠CBE,∴ ∠DBA+∠ABE = ∠CBE + ∠ABE, 即 ∠DBE = ∠ABC. 又 ∵ ∠BDE = ∠BAC,DE=AC= 6,∴ △DBE≌△ABC; (2)解:∵ AD = AC =CD = 6,∴ △ADC 是等边三角形,∴ ∠ACD= 60°,AC = CD. 又∵ △ABC≌△DBE,∴ BD=BA,DE=AC. ∵ AC=CD,∴ DE =CD. ∵ BC = BC, ∴ △ACB ≌ △DCB, ∴ ∠BED = ∠ACB = ∠BCD= 30°. 30. 解:(1)= (2)= 理由如下:过点 E 作 EF∥BC,交 AC 于点 F,∵ △ABC 为等边三角形,EF∥BC,∴ △AEF 为等边 三角形,∴ AE = EF = AF,∴ BE = CF,∵ ED = EC, ∴ ∠D = ∠ECD,∵ ∠DEB = ∠ABC-∠D = 60° - ∠D,∠ECF = ∠ACB- ∠ECD = 60° - ∠ECD,∴ ∠DEB = ∠ECF, 在 △DBE 和 △EFC 中, DE=EC ∠DEB= ∠ECF BE=FC { ,∴ △DBE≌ △EFC( SAS),∴ DB=EF,∴ AE=DB. (3)如图所示,过点 E 作 EF ∥BC, 交 AC 延长线于 点 F,此时 CD = 3. 当点 E 在 BA 延长线上时,不 成立. 综上所述 CD= 3. 第十七章　 特殊三角形(二) 1. D　 2. D　 3. D　 4. A　 5. 2 3 　 6. 12　 16 7. 解:(1)如图 1,M,N 为卡车的宽度,过 M,N 作 AB 的垂 线交半圆于 C,D,过 O 作 OE⊥CD,E 为垂足,CD =MN= 1. 6 米,AB= 2 米,由作法得,CE =DE = 0. 8 米,又∵ OC = OA = 1 米,在 Rt △OCE 中,OE = OC2 -CE2 = 0. 6(米),∴ CM = 2. 3 + 0. 6 = 2. 9 (米)>2. 5(米) . ∴ . 这辆卡车能通过. (2)如图 2,根据题意可知:CG =BE = 2. 8 米,BG =OF = 1. 2 米,EF=AD= 2. 3 米,∴ BF= 0. 5 米,∴ 根据 勾股定理有:OA2 =OB2 =BF2 +OF2 = 0. 52 +1. 22 = 1. 32 ,∴ OA= 1. 3 米,∴ 桥洞的宽至少增加到 1. 3 ×2 = 2. 6(米) . 图 1 　 　 图 2 8. B　 9. B　 10. C　 11. 4　 12. 30 13. (1)解:在 Rt△ABC 中,由∠BCA= 90°,AC= 12,AB = 13, ∴ BC= AB2 -AC2 = 132 -122 = 5. (2)证明:在△BCD 中,CD = 4,BD = 3,BC = 5,∴ CD2 + BD2 =BC2 ,∴ △BCD 是直角三角形. 14. B　 15. A　 16. D　 17. B 18. B　 【解析】∵ DE⊥AB,∴ ∠ADE= 90°. ∵ ∠C = ∠ADE = 90°,AD=AC,AE = AE,∴ Rt△ACE≌Rt△ADE,∴ ∠AEC 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 12 页