第十六章 轴对称和中心对称 追梦基础全练-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（冀教版）

第十六章　 轴对称和中心对称 考点 1　 轴对称 1. 第三十三届夏季奥林匹克运动会于 2024 年 7 月 26 日至 8 月 11 日在法国巴黎举行. 下面巴黎奥运会项目图标中是中心对 称图形的是(　 　 ) A. 　 B. 　 C. 　 D. 2. 生活情境·动手操作 将一张长方形纸对折,然后用笔尖在纸上 扎出“B”,再把纸铺平,可以看到的是(　 　 ) A. B. C. D. 3. 学习情境·折叠 如图,将一张长方形的纸片 沿折痕 EF 翻折,使点 B、C 分别落在点 M、N 的位置,且∠AFM= 1 2 ∠EFM,则∠DEF= 　 　 　 　 °. 考点 2　 线段的垂直平分线 4. 如图,在△ABC 中,BC = 9,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,△BCE 的周长为 18,则 AC 的长等于(　 　 ) A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 5. 如图,在△ABC 中,∠A = 60°,P 为△ABC 内一点,过点 P 的直 线 EF 分别交 AB,AC 于点 E,F,若点 E,F 分别在 PB,PC 的垂 直平分线上,则∠BPC 的度数为(　 　 ) A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 6. 如图,△ABC 中 AC 边的垂直平分线 DE 交 AB 于点 E,点 D 为 垂足,若 BC= 8,△EBC 的周长为 18,则直线 DE 上的点到点 C、 点 B 距离之和的最小值为　 　 　 　 . 7. 在△ABC 中,AB = 6,BC = 5,AC = 4,点 D、点 E 分别在 AB 边和 BC 边上,且 AD = 1,BE = 1,请在 AC 边上确定一点 M,使得 △DEM 的周长最小. (保留作图痕迹,不写作法) 8. 如图,已知∠B = ∠ACD,AD⊥BC,AB+BD = DE,求证:点 C 在 AE 的垂直平分线上. 9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,DE 是 AB 的垂直平分线,交 BC 于点 E. (1)已知△ABC 的周长是 14,AD 的长是 3,求△AEC 的周长; (2)已知∠B= 30°,求证:点 E 在线段 CD 的垂直平分线上. 考点 3　 角的平分线 10. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,BD 是∠ABC 的平分线,交 AC 于点 D,DE⊥AB 于点 E,下列结论:①DE=DC;②BE=BC; ③AD=DC;④△BDE≌△BDC. 其中正确的有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 第 10 题图 　 　 　 　 第 11 题图 11. 如图,点 P 在锐角∠AOB 的内部,连接 OP,OP = 3,点 P 关于 OA、OB 所在直线的对称点分别是 P1、P2,则 P1、P2 两点之间 的距离可能是(　 　 ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 12. 如图,已知点 C 是∠AOB 的边 OA 上一动点,MD⊥OB 于点 D,若 MD= 1,由作图痕迹可得,MC 的最小值是(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第 12 题图 　 　 第 13 题图 　 　 第 14 题图 13. 如图,AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于点 E,S△ABC = 7,DE= 2,AB= 4,则 AC 长是　 　 　 　 . 14. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,以顶点 A 为圆心,适当长为半 径画弧,分别交 AC,AB 于点 M,N,再分别以点 M,N 为圆心, 大于 1 2 MN 的长为半径画弧,两弧交于点 P,作射线 AP 交边 BC 于点 D,若 CD= 4,AB= 15,则△ABD 的面积是　 　 　 　 . 15. 如图,在△ABC 中,∠BAC= 70°,∠ACB= 50°,∠ACB 的平分线 交 AB 于点 D. (1)尺规作图:作∠ABC 的平分线 BO 交 CD 于点 O;(保留作 图痕迹,不写作法) ·91· (2)求∠BOD 的度数. 16. 如图,已知在△ABC 中,CD 是 AB 边上的高线,BE 平分∠ABC 交 CD 于点 E,BC= 6,DE= 3,求△BCE 的面积. 考点 4　 中心对称图形 17. 生活情境·垃圾分类 垃圾分类在源头将生活垃圾进行分类投 放,并通过分类收运、分类利用和分类处置,实现垃圾减量化、 资源化,从而改善我们的生活环境. 下列四幅图片上呈现的是 垃圾类型及标识图案,其中标识图案是中心对称图形的是 (　 　 ) A. 厨余垃圾 　 B. 可回收物 　 C. 其他垃圾 　 D. 有害垃圾 18. (邯郸)对于图 1 和图 2,判断正确的是(　 　 ) A. 图 1 是中心对称图形,图 2 是轴对称图形 B. 均为中心对称图形 C. 图 1 是轴对称图形,图 2 是中心对称图形 D. 均为轴对称图形 考点 5　 设计图案 19. (石家庄)在平面内,由图 1 经过两次图形变换后得到图 2,下 列说法错误的是(　 　 ) A. 只需经过两次轴对称变换 B. 只需经过两次中心对称变换 C. 先经过轴对称变换,再进行中心对称变换 D. 先经过中心对称变换,再进行轴对称变换 20. 经过平移或旋转不可能将甲图案变成乙图案的是(　 　 ) A. 　 B. 　 C. 　 D. 21. 下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(　 　 ) A. B. C. D. 22. (张家口)如图,AI、BI、CI 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB,ID ⊥BC,△ABC 的周长为 18,ID= 3,则△ABC 的面积为(　 　 ) A. 18 B. 30 C. 24 D. 27 第 22 题图 　 　 　 第 23 题图 23. 生活情境·台球 如图是一个经过改造的台球桌面的示意图, 图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔,如果一个球 按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反弹),那么该球 最后将落入的球袋是(　 　 ) A. 1 号袋 B. 2 号袋 C. 3 号袋 D. 4 号袋 24. 生活情境·撑伞 (唐山)如图,撑伞时,把伞“两侧的伞骨”和 支架分别看作 AB、AC 和 DB、DC,始终有 AB =AC,DB =DC,请 大家考虑一下伞杆 AD 所在的直线是 B、C 两点的连线 BC 的 　 　 　 　 线. 第 24 题图 　 　 　 第 25 题图 25. 如图,△ABC 中,∠ACB= 90°,AB = 10,AC = 8,CB = 6,I 是三角 形角平分线的交点,ID⊥BC 于 D,则 ID 的长是　 　 　 　 . 26. 如图,方格纸中有三个点 A,B,C,要求作一个四边形使这三个 点在这个四边形的边(包括顶点)上,且四边形的顶点在方格 的顶点上. (1)在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称 图形; (2)在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称 图形; (3)在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称 图形. 27. 生活情境·修建超市 如图,有 A、B、C 三个居民小区的位置成 三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到 三个小区的距离相等,则超市应建在(　 　 ) A. 在 AC、BC 两边高线的交点处 B. 在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处 C. 在 AC、BC 两边中线的交点处 D. 在∠A、∠B 两内角平分线的交点处 ·02· 5 3 = 75,即 2 2 +2 2 <5 3,即 2 2,2 2,5 3 不能构 成三角形;②当 5 3为腰长时,5 3 + 2 2 > 5 3,则此时 周长为:5 3 +5 3 +2 2 = 10 3 +2 2 . 故选 B. 16. C 　 【解析】 ∵ x = 1 2 021 - 2 020 ,∴ x = 2 021 + 2 020,∴ x6 - 2 2 020 x5 - x4 + x3 - 2 2 021 x2 + 2x- 2 021 = x4(x2 -2 2 020 x-1)+x(x2 -2 2 021 x+2)- 2 021 = x4[(x- 2 020) 2 -2 021]+x[(x- 2 021 ) 2 -2 019]- 2 021 = x4 [( 2 021 + 2 020 - 2 020 ) 2 -2 021] +x[( 2 021 + 2 020 - 2 021 ) 2 - 2 019] - 2 021 = x4(2 021-2 021)+x(2 020-2 019)- 2 021 = x- 2 021 = 2 021 + 2 020 - 2 021 = 2 020 . 故选 C. 17. > 18. -2　 【解析】 (3􀱋5) (3☉5)= ( 3 - 5 ) ×( 3 + 5 )= ( 3) 2 -( 5) 2 = 3-5 = -2. 19. (1)1+ 1 n2 + 1 (n+1) 2 　 (2)4 084 440 2 021 　 【解析】(1)a1 = 1+ 1 12 + 1 22 =( 3 2 ) 2,a2 = 1+ 1 22 + 1 32 = ( 7 6 ) 2,a3 = 1+ 1 32 + 1 42 = ( 13 12 ) 2,…an = 1+ 1 n2 + 1 (n+1) 2 = [n(n +1)+1 n(n+1) ] 2; (2) a1 + a2 + a3 +…+ a2 020 = 3 2 + 7 6 +13 12 +…2 020×2 021+1 2 020×2 021 = 1+ 1 2 +1+ 1 6 +1+ 1 12 +…+1+ 1 2 020×2 021 = 2 020+(1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 +…+ 1 2 020 - 1 2 021 )= 2 020+1- 1 2 021 = 4 084 440 2 021 . 20. 解:(1)原式= 4+ 6 -2 6 = 4- 6 ; (2)原式= 49-48-(45-6 5 +1) = 1-46+ 6 5 = 6 5 -45. 21. 解:(1)x= 1 5 -2 = 5 +2,y= 1 5 +2 = 5 -2,x+y= ( 5 +2)+ ( 5 -2)= 2 5 ,xy= ( 5 +2) ×( 5 -2)= 5-4 = 1, x2 +xy+y2 = (x+y) 2 -xy= (2 5 ) 2 -1 = 19; (2)∵ 2< 5 <3,∴ 4< 5 +2<5,0< 5 -2<1,∴ a= 5 + 2-4 = 5 -2,b= 0,∴ ax+by = ( 5 - 2) ( 5 + 2) + ( 5 -2)×0 = 5-4 = 1,∴ ax+by 的平方根是± 1 = ±1. 22. 解:该同学的答案是不正确的. ∵ a+ a2 -2a+1 = a+ | a-1 | ,∴ 当 a≥1 时,原式 = a+a- 1 = 2a- 1;当 a< 1 时,原式=a-a+1 = 1. ∵ 该同学所求得的答案为 1 2 , ∴ 2a-1 = 1 2 ,解得 a= 3 4 ,与 a≥1 不符合,故该同学 的答案是不正确的. 23. 解:对于甲的解答,当 a = 1 5 时, 1 a -a = 5- 1 5 = 24 5 > 0, ( 1 a -a) 2 = 1 a -a,正确;而对于乙的解答,当 a = 1 5 时,a- 1 a = 1 5 -5 = -24 5 <0,∴ (a- 1 a ) 2 ≠a- 1 a , 因此乙的解答是错误的. 24. 解:当 l= 0. 5m,g= 9. 8m / s2 时,r= 2π 0. 5 9. 8 = 2π 5 98 = 2π 5 ×2 98×2 = 2π 2×7 10 = π 7 10 ≈3. 16× 3. 14 7 ≈1. 42 (s),60×1. 42≈85( s),故该座钟发出 60 次嘀嗒声 需要 85s. 25. 解:乙的结论正确,理由如下:由 y = x-8 + 8-x + 18 可得 x = 8,y = 18,因此 M = x +y x - y - 2xy xy( x - y) = x+y x - y - 2 xy x - y = ( x - y) 2 x - y = x - y = 8 - 18 = - 2 ,N= 3 8 -2 18 26 + 10 = 6 2 -6 2 26 + 10 = 0,∴ M<N,即 N 的值比 M 大. 26. 解:(1) ①原式 = 2 ×( 5 - 3 ) ( 5 + 3 )( 5 - 3 ) = 2( 5 - 3 ) ( 5 ) 2 -( 3 ) 2 = 5 - 3 . ②原式= 5 -3 5 + 3 = ( 5 ) 2 -( 3 ) 2 5 + 3 = ( 5 + 3 )( 5 - 3 ) 5 + 3 = 5 - 3 . (2)原式 = 3 -1 2 + 5 - 3 2 + 7 - 5 2 +…+ 99 - 97 2 = 99 -1 2 = 3 11 -1 2 . 第十六章　 轴对称和中心对称 1. D　 2. C　 3. 72 4. B　 【解析】 ∵ DE 是 AB 的垂直平分线,∴ AE = BE,∵ △BCE 的周长等于 18,∴ BE+CE+BC=AE+CE+BC =AC+ BC= 18. ∵ △ABC 中,BC= 9,∴ AC= 18-9 = 9. 故选 B. 5. B　 【解析】∵ 点 E,F 分别在 PB,PC 的垂直平分线上,∴ ∠EBP = ∠EPB, ∠FCP = ∠FPC. ∵ ∠EPB + ∠BPC + ∠FPC= 180°,∴ ∠EBP+∠BPC+∠FCP = 180°. ∵ ∠PBC +∠BPC + ∠PCB = 180°, ∴ ∠EBP + ∠FCP = ∠PBC + ∠PCB. ∵ ∠A+ ∠ACB + ∠ABC = 180°,即∠A+ ∠EBP + ∠FCP+∠PBC+∠PCB = 180°,∴ ∠EBP+∠FCP+∠PBC +∠PCB = 120°,∴ ∠PBC + ∠PCB = 1 2 × 120° = 60°,∴ ∠BPC= 180°-(∠PBC+∠PCB)= 120°. 故选 B. 6. 10 7. 解:如图所示. 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 9 页 8. 证明:∵ AD⊥BC,∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°,在△ADB 与 △ADC 中, ∠B= ∠ACD, ∠ADB= ∠ADC, AD=AD, ì î í ïï ïï ∴ △ADB≌△ADC,AB = AC, BD=DC,∵ AB+BD=DE,∴ AB+BD=DC+CE,∴ AC =AB = CE,∴ 点 C 在 AE 的垂直平分线上. 9. (1)解:∵ DE 是 AB 的垂直平分线,∴ AE = BE,AD = BD. ∵ AD= 3,∴ AB= 6,∵ △ABC 的周长为 14,∴ AC+BC = 8,∵ C△AEC = AC+CE+AE = AC+BC = 8,∴ △AEC 的 周长为 8; (2)证明:∵ AE = BE,∴ ∠BAE = ∠B = 30°. ∵ ∠ACB = 90°, ∴ ∠BAC = 60°, ∴ ∠BAE = ∠CAE = 30°. ∵ ∠ADE = ∠ACE = 90°, AE = AE, ∴ △ADE ≌ △ACE (AAS),∴ DE = CE,即点 E 在线段 CD 的垂直平分 线上. 10. C 11. D 　 【解析】连接 OP1,OP2,P1P2,∵ 点 P 关于 OA、OB 所在直线的对称点分别 是 P1、P2,∴ OP1 = OP = 3,OP = OP2 = 3,∴ OP1 +OP2 >P1P2,0 <P1P2 < 6. 故 选 D. 12. A 13. 3　 【解析】过点 D 作 DF⊥AC 于 F,∵ AD 是△ABC 中 ∠BAC 的平分线,∴ 根据平分线的性质可得:DE =DF = 2,∵ S△ADB = 1 2 ×AB×DE = 1 2 ×4×2 = 4,S△ABC = 7,∴ S△ADC = 7-4 = 3,∴ 1 2 ×AC×DF= 3,∴ AC= 3. 14. 30　 【解析】作 DE⊥AB 于点 E,由基本尺规作图可知, AP 是∠BAC 的平分线. ∵ ∠C = 90°,DE⊥AB,∴ DE = CD= 4,∴ △ABD 的面积= 1 2 ×AB×DE= 30. 15. 解:(1)如图所示,BO 即为所求. (2) ∵ ∠BAC = 70°,∠ACB = 50°,∴ ∠ABC = 180° - 70° - 50° = 60°. ∵ CD 平分 ∠ACB, BO 平分 ∠ABC,∴ ∠OCB = 1 2 ∠ACB = 25°,∠OBC = 1 2 ∠ABC= 30°,∴ ∠BOD = ∠OCB+∠OBC = 25° + 30° = 55°. 16. 解:过 E 作 EF⊥BC 于 F,∵ CD 是 AB 边上的高线,BE 平分∠ABC,∴ EF = DE = 3,∵ BC = 6,∴ S△BCE = 1 2 × BC×EF= 9. 17. D　 18. A　 19. B　 20. C　 21. A 22. D　 【解析】如图,过点 I 作 IE⊥AB 于 E, IF⊥AC 于 F,∵ AI、BI、CI 是 ∠BAC、∠ABC、∠ACB 的平分线,ID ⊥BC,∴ ID= IE= IF = 3,∵ △ABC 的 周长为 18,∴ △ABC 的面积= 1 2 (AB+BC+AC)×3 = 1 2 × 18×3 = 27. 故选 D. 23. B　 24. 垂直平分 25. 2　 【解析】过 I 作 IE⊥AC 于 E,IF⊥AB 于 F,连接 IA, IC,IB,∵ I 是三条角平分线的交点,ID⊥BC,IE = ID = IF,设 IE= ID= IF =R,∵ △ABC 中,∠ACB = 90°,AC = 8, CB= 6,∴ S△ABC = 1 2 ×AC×BC = 1 2 × 8× 6 = 24,∴ S△ACI + S△BCI+S△ABI = 24,∴ 1 2 ×AC×IE+ 1 2 ×BC×ID+ 1 2 ×AB×IF = 24,∴ 1 2 ×8×R+ 1 2 ×6×R+ 1 2 ×10×R = 24,解得 R = 2,即 ID= 2. 26. 如图. (答案不唯一) 27. B 第十六章追梦综合演练卷 1. D　 2. D　 3. C　 4. A 5. C　 【解析】 ∵ DE 是 AB 的垂直平分线,∴ AE = BE,∴ △BCE 的周长=BE+CE+BC = AE+CE+BC = AC+BC = 19. 故选 C. 6. A　 7. D　 8. B　 9. B 10. D　 【解析】连接 PB,∵ 直线 l 是线段 AB 的垂直平分 线,∴ PA=PB,在△BPC 中,PB+PC>BC,∴ PA+PC>BC, 当 BC 经过点 P 时,PB +PC = BC,∴ BC≤AP +PC. 故 选 D. 11. A 12. C　 【解析】过点 D 作 DE⊥BC 于 E,∵ ∠BAD= ∠BDC= 90°, ∠ADB = ∠C, ∴ ∠ABD = ∠CBD, ∵ ∠ABD = ∠CBD,DA⊥AB,DE⊥BC,∴ DE=AD= 2. 即当点 P 与 E 重合时,DP 最小,最小值为 2. 故选 C. 13. B　 14. B　 15. B　 16. D 17. 对　 到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平 分线上 18. 2 ∶3 ∶4　 【解析】过点 O 作 OD⊥AC 于 D,OE⊥AB 于 E, OF⊥BC 于 F,∵ O 是三角形三条角平分线的交点,∴ OD=OE=OF,∵ AB= 10,BC= 15,AC= 20,∴ S△ABO ∶S△BCO ∶S△CAO = 2 ∶3 ∶4. 19. (1)4　 (2)40° 　 【解析】(1)∵ DM,EN 分别垂直平分 AC,BC,∴ CM = AM,CN = BN. ∵ △CMN 的周长 = CN+ CM+MN=BN+AM+MN =BN+AN+MN+MN = AB+ 2MN = 8,∴ AB = 4;(2)∵ ∠MFN = 110°,∴ ∠FNM+∠FMN = 180°-∠MFN= 70°. ∵ CM = AM,CN = BN,DM,EN 分别 垂直 平 分 AC, BC, ∴ ∠CMN = 2 ∠NMF, ∠CNM = 2 ∠FNM,∴ ∠CMN + ∠CNM = 2 ( ∠NMF + ∠FNM) = 140°,∴ ∠MCN= 180°-(∠CMN+∠CNM)= 40°. 20. 解:(1)△A1B1C1 如图. 　 (2)△A2B2C2 如图. 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 10 页