第十五章 二次根式 追梦基础全练-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（冀教版）

14. A 15. B　 【解析】 3x 2 -1≥ x+4 2 ① a-x>7② { ,解①得,x≥3,解②得,x<a- 7,∵ 不等式组 3x 2 -1≥ x+4 2 a-x>7 { 无解,∴ a- 7≤3,∴ a≤10. 3y 2-y = 1-a +y y-2 ,解分式方程,得 y = a +2 3 . ∵ 分式方程 3y 2-y = 1-a +y y-2 的解为非负整数,∴ y≥0 且 y- 2≠0,∴ a +2 3 ≥0 且 a≠4,解得 a≥-2 且 a≠4. ∵ a 为整数,∴ a = -2,1, 7,10,∴ 整数 a 的和为-2+1+7+10 = 16. 故选 B. 16. C 　 【解析】 在 △ABC 与 △AEF 中,∵ AB = AE,∠B = ∠E,BC=EF,∴ △ABC≌△AEF,∴ AF = AC,则∠AFC = ∠C,①正确;∵ BC = EF,∴ BC = DE +DF,③正确;∵ △AEF≌△ABC,∴ ∠EAF = ∠BAC,∴ ∠EAD = ∠CAF. ∵ ∠B+ ∠BDF+ ∠BFD = 180°,∠E+ ∠EDA+ ∠EAD = 180°,∠EDA= ∠BDF,∴ ∠BFD = ∠EAD = ∠CAF,④正 确;无法得出 DF=CF,∴ 正确的结论有 3 个. 故选 C. 17. 三个内角对应相等的两个三角形全等 18. (1)1　 (2)9≤x<16　 【解析】(1)∵ 1< 2 <2,∴ 【 2 】 = 1;(2)∵ 【3+ x】 = 6,∴ 6≤3+ x <7,解得 9≤x<16. 故 x 的取值范围是 9≤x<16. 19. (1)10-2t　 (2) 12 5 　 【解析】(1)运动 t 秒,P 点运动的 路程为 BP = 2t,∴ PC = BC-BP = 10 - 2t;(2) ∵ ∠B = ∠C,D 为 AB 的中点,∴ BD = 1 2 AB = 6. 当 △BPD 与 △CQP 全等,则有 BP=CQ,BD =CP = 6 或 CQ =BD = 6, CP=BP. 当 BP=CQ,BD=CP= 6,∴ CP= 10-2t = 6,∴ t = 2,∴ CQ= 2a=BP= 4,∴ a= 2(不合题意,舍去) . 当 CQ = BD,CP=BP,∴ 10-2t= 2t. ∴ t= 5 2 . ∴ 5 2 a= 6. ∴ a= 12 5 . 20. 解:(1)原式= 4-9-4 = -9; (2)两边同乘 3(3x- 1),得 3x- 6(3x- 1) = 1,去括 号,得 3x-18x+ 6 = 1,移项,得 3x- 18x = 1- 6,合 并同类项,得-15x= -5,两边都除以(-15),得 x = 1 3 ,检验:当 x= 1 3 时,3(3x-1)= 0,∴ x = 1 3 不 是方程的解,∴ 原方程无实数解. 21. 解:原式 = [ x(x +1) (x+1)(x-1) + 1 x-1 ] ÷( x 2 +3x x-1 -x-1 x-1 ) = x +1 x-1 ÷ x2 +3x-(x-1) x-1 = x+1 x-1 · x -1 (x+1) 2 = 1 x+1 . -1<x< 1. 5 的整数解有 0,1,∵ 分式有意义时,x≠ ±1,∴ x= 0,∴ 原式= 1 0+1 = 1. 22. 解:(1)如图,BA,CN 为所画. (2)如图,∠CMP 为所求. 23. (1)证明:∵ AB∥CD,∴ ∠ABF = ∠DEF,∠BAF = ∠D, ∵ F 为 AD 的中点,∴ AF = DF,在△AFB 和△DFE 中, ∠ABF= ∠DEF ∠BAF= ∠D AF=DF { ,∴ △AFB≌△DFE(AAS); (2)解:∵ △AFB≌△DFE,∴ AB = DE = 6,∵ DC = 4CE, ∴ CE+6 = 4CE,∴ CE = 2. ∴ CD = CE+DE = 2+ 6 = 8. 24. 解:(1)设一名工人每小时可分拣 x 件货物,则一台机 器人每小时可分拣 20x 件货物,根据题意得 8 000 16x -8 000 20x = 2 3 ,解得 x = 150,经检验,x = 150 是原方程的根,∴ 20x = 3 000,故一台机器人每 小时可以分拣 3 000 件货物; (2) 该公司能在规定的时间内完成任务,理由:3× (20×150+20×3 000) +(8-3) ×(35×3 000+20× 150)= 189 000+ 540 000 = 729 000> 720 000,∴ 该公司能在规定的时间内完成任务. 25. 解:(1)∵ 36 < 41 < 49 ,设 41 = 6+k(0<k<1),∴ ( 41 ) 2 = (6+k) 2 ,∴ 41 = 36+12k+k2 ,∴ 41≈36 +12k. 解得 k≈ 5 12 ,∴ 41 ≈6+ 5 12 ≈6+ 0. 42 = 6. 42; (2)a+ b 2a 　 【解析】设 m =a+k(0<k<1),∴ m = a2 + 2ak+k2 ≈a2 +2ak,∵ m = a2 +b,∴ a2 + 2ak = a2 +b, 解得 k= b 2a ,∴ m≈a+ b 2a ; (3) 37 ≈6+ 1 12 ≈6. 08. 26. 【问题提出】 证明: 在 Rt△ADB 中, ∠ABD + ∠BAD + ∠BDA= 180°,∠BDA = 90°,∴ ∠ABD+∠BAD = 90°. 又 ∵ ∠BAC = 90°, ∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°, ∴ ∠ABD = ∠CAE,∵ ∠ABD = ∠CAE,∠BDA = ∠AEC = 90°,AB = AC,∴ △ABD≌△CAE(AAS); 【变式探究】解:DE = BD +CE,理由如下: ∵ ∠CAD = ∠BAC+ ∠BAD = ∠CEA + ∠ACE, ∠CEA = ∠BAC, ∴ ∠ACE= ∠BAD. ∵ ∠AEC = ∠ADB,∠ACE = ∠BAD,AB =AC,∴ △CAE≌△ABD(AAS),∴ AD =CE,AE =DB,∴ DE=AE+AD=BD+CE; 【拓展应用】 (1) 证明:过点 E 作 EM⊥HG 于点 M,作 DN⊥GH,交 GH 的延长线于点 N,∴ ∠EMH = ∠DNH = 90°. 与【问题提出】同理可得△DNA≌△AGB,△EMA≌ △AGC,∴ DN=AG,EM=AG,∴ DN =EM. 即点 D,E 到直 线 HG 的距离相等; (2)解:∵ ∠DNH = ∠EMH,∠DHN = ∠MHE,DN = ME, ∴ △DNH≌△EMH(AAS),∴ DH =HE. ∵ DE = 50cm,∴ HE= 1 2 DE= 25cm. 第十五章　 二次根式 1. A　 2. A　 3. C 4. D　 【解析】由题可知,a≥0,-a≥0,解得 a= 0. 故选 D. 5. (1)6　 (2)8　 (3)3　 (4)45　 (5) 1 6 　 (6)-1. 8 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 7 页 6. <3　 【解析】由题可知,3-a>0,解得 a<3. 7. 解:(1) 27 32 = 54 64 = 6×9 64 = 3 6 8 ; (2) 4+ 4 9 = 40 9 = 4×10 9 = 2 10 3 ; (3) 3 19 27 -1 - (- 1 3 ) 2 - 2. 56 = 3 -8 27 - 1 3 - 1. 6 = - 2 3 - 1 3 -1. 6 = -2. 6. 8. C　 9. C 10. A　 【解析】原式= 18× 4 3 × 4 3 = 32 = 4 2 . 故选 A. 11. D　 【解析】 3的倒数为 1 3 = 3 3 . 故选 D. 12. 12　 【解析】2 6 × 3 × 2 = 12(cm3) . 13. 15 3 　 【解析】 yz÷ xy = yz÷xy = z x = 5 3 = 15 3 . 14. 解:(1)原式= 12×50÷6 = 100 = 10; (2)原式= b a · 1 ab · a2 b2 = 1 b2 = 1 | b | . 15. 解:半径之比是 2Rh1 2Rh2 = h1 h2 = h1 · h2 h2 · h2 = h1h2 h2 . 16. C　 17. D　 18. D　 19. D 20. 2 a 　 【解析】∵ 0<a<1,∴ 1 a >1,∴ 原式 = (a- 1 a ) 2 + (a+ 1 a ) 2 = 1 a -a+ 1 a +a= 2 a . 21. 12 、 48 22. 解:(1)原式= (4 2 + 2 2 -2 3 3 ) -( 2 4 -5 3 )= 4 2 + 2 2 - 2 3 3 - 2 4 +5 3 = 17 4 2 + 13 3 3 ; (2)原式= 2 3 -3 3 +2- 3 = 2-2 3 . 23. A 24. C　 【解析】A. ( 3 + 1) -( 3 + 1)= 0,故本选项不合题 意;B. ( 3 +1)-( 3 - 1)= 2,故本选项不合题意;C. 与 2 3无论是相加,相减,相乘,相除,结果都是无理数,故 本选项符合题意;D. ( 3 +1)(1- 3 )= -2,故本选项不 合题意. 故选 C. 25. C　 【解析】当 n= 2时,n(n+1)= 2 ×( 2 +1)= 2+ 2 < 15;当 n= 2+ 2时,n(n+1)= (2+ 2)(3+ 2 )= 6+5 2 + 2 = 8+5 2 >15,则输出结果为 8+5 2 . 故选 C. 26. 2　 【解析】 (3※2) (8※12)= ( 3 - 2 ) ( 8 + 12 )= ( 3 - 2)×2( 3 + 2)= 2. 27. 解:(1)原式= 5-4-3+2 = 0; (2)原式= 3 2 2 - 2 - 2 2 = 0. 28. 解:(1)( 128 + 50 ) ×2 = (8 2 +5 2 ) ×2 = 13 2 ×2 = 26 2 (米),故长方形 ABCD 的周长为 26 2米; (2) 128 × 50 -2×( 13 +1) ×( 13 -1) = 8 2 × 5 2 -2×(13-1)= 80- 24 = 56(平方米),6× 56 = 336(元),故购买地砖需要花费 336 元. 29. C　 30. B　 31. B 32. 解:(1) 2 2 　 2 - 1　 【解析】 1 2 = 2 2 × 2 = 2 2 ,( 2 + 1) ( 2 -1)= ( 2) 2 -12 = 2-1 = 1,即 2 +1 的有理化 因式是 2 -1; (2) 5 - 3 　 【解析】 2 5 + 3 = 2( 5 - 3) ( 5 + 3)( 5 - 3) = 2( 5 - 3) 5-3 = 5 - 3; (3)原式= 2 -1+ 3 - 2 + 4 - 3 +…+ 100 - 99 = 100 -1 = 10-1 = 9. 33. 解:∵ 长方形的面积为 140π · 35π = 70π(cm2 ),∴ 圆的面积也是 70πcm2 ,∴ 圆的半径 r = 70π÷π = 70 (cm). 第十五章追梦综合演练卷 1. D　 2. C　 3. D　 4. B 5. A　 【解析】 A. 8a3 = 2a 2a,B. 50a4 = 5a2 2,C. 27a = 3 3a,D. 1 a = a a . 故选 A. 6. C　 【解析】∵ x= 2 +1,∴ x-1 = 2,∴ (x-1) 2 = 2,即 x2 - 2x+1 = 2,∴ x2 -2x= 1,∴ x2 -2x+2 = 1+2 = 3. 故选 C. 7. D　 【解析】∵ m - 1 m 成立,∴ - 1 m >0,即 m<0,∴ 原式 = - (-m) 2(- 1 m ) = - -m. 故选 D. 8. B　 【解析】 48n = 4 3n,由于 48n是正整数,∴ n 的 最小正整数值是 3. 故选 B. 9. A　 10. D 11. A　 【解析】-2 3 = - 22 ×3 = - 12,∴ 第一步出错. 故 选 A. 12. D　 【解析】 ∵ x2 + y2 = 1,∴ - 1≤x≤1,- 1≤y≤1,∵ xy-2x+y-2 = x(y-2)+(y-2) = (x+1)(y-2) ,x+1 ≥0,y-2<0,(x+1)(y-2)≥0,∴ x+1 = 0,∴ x = -1,∴ y = 0,∴ x2 -2x+1 + 4y2 +4y+1 + xy-2x+y-2 = 2+1+0 = 3. 故选 D. 13. C 　 【解析】 ∵ ab> 0,a+ b< 0,∴ a< 0,b< 0. ① a b = -a -b ,故错误;② a b · b a = a b · b a = 1,故正 确;③ ab ÷ a b = ab· b a = b2 = - b,故正确. 故 选 C. 14. C 　 【解析】空白部分的长为 12 = 2 3,宽为 25 - 12 = 5-2 3,空白部分的面积为 2 3 ×(5-2 3 )= -12 +10 3 . 故选 C. 15. B　 【解析】①当 2 2为腰长时,2 2 +2 2 = 4 2 = 32, 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 8 页 第十五章　 二次根式 考点 1　 二次根式 1. 化简 ( -5) 2 的结果是(　 　 ) A. 5 B. -5 C. ±5 D. 25 2. 若 x-1有意义,那么字母 x 的取值范围是(　 　 ) A. x≥1 B. x>1 C. x≤1 D. x<1 3. 下列是最简二次根式的是(　 　 ) A. 1 3 B. 2a2 C. 2 3 D. 0. 1 4. 若 a和 -a都是二次根式,则 a 的取值范围是(　 　 ) A. a≥0 B. a≤0 C. a≠0 D. a= 0 5. 直接写出下列各式的结果. (1) 36 = ;　 　 (2)( 8 ) 2 = ; (3) ( -3) 2 = ; (4)(3 5 ) 2 = ; (5) 6-2 = ; (6) - ( -1. 8) 2 = . 6. 当 a 时,式子 4 3-a 在实数范围内有意义. 7. 化简: (1) 27 32 ; (2) 4+ 4 9 ; (3) 3 19 27 -1 - ( - 1 3 ) 2 - 2. 56 . 考点 2　 二次根式的乘除 8. 下列计算正确的是(　 　 ) A. 2 5 ·3 5 = 6 5 　 　 　 　 　 　 B. (2 3 ) 2 = 6 C. 6 ÷ 2 3 = 3 D. 6 3 = 2 2 9. 化简 25 2 -72 27 的结果为(　 　 ) A. 8 9 3 　 　 　 　 B. 4 3 6 　 　 　 　 C. 8 3 3 　 　 　 　 D. 8 3 6 10. 计算 18 ÷ 3 4 × 4 3 的结果为(　 　 ) A. 4 2 B. 5 12 C. 3 2 D. 6 2 11. 3的倒数是(　 　 ) A. - 3 B. - 3 3 C. -3 D. 3 3 12. 若一个长方体的长为 2 6 cm,宽为 3 cm,高为 2 cm,则它的 体积为　 　 　 　 cm3 . 13. 已知 x= 3,y= 4,z= 5,那么 yz ÷ xy的结果为　 　 　 　 . 14. 计算:(1) 12 × 50 ÷ 6 ; (2) b a ÷ ab × a 2 b2 . 15. 跨学科试题·物理 电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播 得越远,从而能收看到电视节目的区域就越广. 电视塔高 h (单位:km)与电视节目信号的传播半径 r(单位:km)之间存 在近似关系 r= 2Rh ,其中 R 是地球半径(单位:km) . 如果两 个电视塔的高分别是 h1 km,h2 km,那么它们的传播半径之比 是多少? (化为最简二次根式) 考点 3　 二次根式的加减 16. 下列各式中,计算正确的有(　 　 ) (1) a + b = a+b 　 (2) 2a + 3a = 5a 　 (3)5 x - x = 4 x (4)a x -b x = (a-b) x 　 (5) 8 + 18 2 = 4 + 9 A. 4 个　 　 　 　 B. 3 个　 　 　 　 C. 2 个　 　 　 　 D. 1 个 17. 下列说法正确的是(　 　 ) A. 2和 18不能合并 B. 只有根指数为 2 的根式才能合并 C. 8和 80可以合并 D. 被开方数相同的二次根式可以合并 18. 若 8与最简二次根式 m+1能合并,则 m 的值为(　 　 ) A. 7 B. 9 C. 2 D. 1 19. 若 5 6 + y = 6 6 ,则 y 的值为(　 　 ) A. 6 B. 1 C. 2 6 D. 6 20. 已知 0<a<1,化简 (a+ 1 a ) 2 -4 + (a- 1 a ) 2 +4得　 　 　 　 . 21. 在 12 , 34 , 48 , 6中能与 3合并的根式有　 　 　 　 . 22. 计算: (1)( 32 + 0. 5 -2 1 3 ) -( 1 8 - 75 ); ·51· (2) 12 -3 3 + | 3 -2 | . 考点 4　 二次根式的混合运算 23. 下列计算正确的是(　 　 ) A. 2 × 1 2 = 1 B. 4 - 3 = 1 C. 6 ÷ 3 = 2 D. 4 = ±2 24. 若 x 为实数,在“( 3 + 1) □x”的“ □”中添上一种运算符号 (在“ +,-,×,÷”中选择)后,其运算的结果为有理数,则 x 不 可能是(　 　 ) A. 3 +1 B. 3 -1 C. 2 3 D. 1- 3 25. 学习情境·程序框图 按如图所示的程序计算,若开始输入的 n 值为 2 ,则最后输出的结果是(　 　 ) A. 14 B. 16 C. 8+5 2 D. 14+ 2 26. 新定义 对于任意的正数 m、 n 定义运算 ※ 为: m ※ n = m - n (m>n) m + n (m<n){ ,计算(3※2) ×(8※12)的结果为　 　 　 　 . 27. 计算: (1)( 5 -2)(2+ 5 ) -( - 3 ) 2 + 8 × 1 2 ; (2) 18 2 - 5 5 × 10 - 3 ÷ 6 . 28. 生活情境·修建花坛 某居民小区有块形状为长方形 ABCD 的 绿地,长 BC 为 128米,宽 AB 为 50米,现在要在长方形绿地 中修建两个形状大小相同的长方形花坛(即图中阴影部分), 每个长方形花坛的长为( 13 +1)米,宽为( 13 -1)米. (1)求长方形 ABCD 的周长. (结果化为最简二次根式) (2)除去修建花坛的地方,其他地方全修建成通道,通道上要 铺上造价为 6 元 /平方米的地砖,要铺完整个通道,则购 买地砖需要花费多少元? 29. (湘西中考)下列正确的是(　 　 ) A. 3 -8 = 2 B. ( -3) 2 = -3 C. 2 5 +3 5 = 5 5 D. ( 2 +1) 2 = 3 30. (重庆中考)估计 3 ×(2 3 + 5 )的值应在(　 　 ) A. 10 和 11 之间 B. 9 和 10 之间 C. 8 和 9 之间 D. 7 和 8 之间 31. 若 x= 3 +2,则代数式 x2 -4x+6 的值为(　 　 ) A. 3 -2 B. 5 C. 6 D. 2 3 32. 跨学科试题·语文 (重庆期末) “双剑合璧,天下无敌”,其意 思是指两个人合在一起,取长补短,威力无比. 在二次根式中 也常有这种相辅相成的“对子”,如:(2+ 3 ) (2- 3 )= 1,( 5 + 2 )( 5 - 2 )= 3,它们的积中不含根号,我们说这两个二次 根式是互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式,于 是,二次根式除法可以这样解: 1 3 = 1× 3 3 × 3 = 3 3 , 2 + 3 2- 3 = (2+ 3 )(2+ 3 ) (2- 3 )(2+ 3 ) = 7+4 3 . 像这样通过分子、分母同乘一个式 子把分母中的根号化去的方法,叫做分母有理化. 解决下列问题: (1)将 1 2 分母有理化得　 　 　 　 ; 2 +1 的有理化因式是 　 　 　 　 (填写一个即可); (2)化简: 2 5 + 3 = 　 　 　 　 ; (3)化简: 1 2 +1 + 1 3 + 2 + 1 4 + 3 +……+ 1 100 + 99 . 33. 学习情境·设计图片 小明在微机课上设计了一幅长方形图 片,已知长方形的长是 140π cm,宽是 35π cm,他想设计一 个面积与其相等的圆,请你帮助小明求出圆的半径. ·61·