追梦期中达标测试卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（冀教版）

追梦期中达标测试卷 测试时间:120 分钟　 　 　 测试分数:120 分 一、选择题(本大题共 16 个小题共 38 分. 1~ 6 小题各 3 分,7 ~ 16 小题各 2 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1. 下列各式属于分式的是(　 　 ) A. 2 3 　 　 　 　 B. 1 a 　 　 　 　 C. 1 π+1 　 　 　 　 D. a 2 2. 下列各式中,计算正确的是(　 　 ) A. ± 125 = ±15 B. 9 = ±3 C. 25 = 5 D. 3 -27 = 3 3. 下列说法正确的是(　 　 ) A. 任何非负数都有两个平方根 B. 一个正数的平方根仍然是正数 C. 只有正数才有平方根 D. 负数没有平方根 4. 下列各式从左往右变形正确的是(　 　 ) A. a +2 b+2 = a b B. a b =a 2 b2 C. a b =a-3 b-3 D. a b = 1 3 a 1 3 b 5. 若代数式 2 x-3 有意义,则实数 x 的取值范围是(　 　 ) A. x= 0 B. x= 3 C. x≠0 D. x≠3 6. 如图是两个全等三角形,图中字母 表示三角形的边长,则∠α 的度数 为(　 　 ) A. 50° B. 58° C. 60° D. 62° 7. 用直尺和圆规画一个角等于已知角,是运用了“全等三角形的 对应角相等”这一性质,其运用全等的方法是(　 　 ) A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 8. 若 3 1-2x和 3 3x-5互为相反数,则(1- x ) 2 024 的值为(　 　 ) A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 024 9. 如果实数 a= 11 ,且 a 在数轴上对应点的位置如图所示,其中 正确的是(　 　 ) A. B. C. D. 10. 下列说法:① 36 1-x = 18 x 是分式方程;②x= -1 是分式方程x -1 x+1 = 0 的解;③分式方程 3 x-3 = 2- 3 3-x 转化成一元一次方程时,方程 两边需要同乘(x-3);④解分式方程时一定会出现增根. 其中 正确的有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 11. 如图,AB⊥CD,且 AB =CD,CE⊥AD 于点 E,BF⊥AD 于点 F. 若 CE= 6,BF= 3,EF= 2,则 AD 的长为(　 　 ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 第 11 题图 　 　 第 12 题图 　 　 第 13 题图 12. 生活情境·啦啦队 为了在明天的篮球比赛中给同学们加油助 威,啦啦队每个人都提前制作了一面同一规格的三角形彩旗. 嘉琪放学回家后,发现自己的彩旗破损了一角(如图所示), 她准备用直尺与圆规在彩纸上作出一个与破损前完全一样的 彩旗,你认为她作图的根据是(　 　 ) A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA 13. 如图所示,点 A 在 DE 上,AB 与 CD 交于点 F,且 AC =CE,∠1 = ∠2 = ∠3,则 DE 的长等于(　 　 ) A. AC B. BC C. AB+AC D. AB 14. 生活情境·高速 (河北模拟)连接河北省雄安新区与山西省 忻州的雄忻高铁全长 342 km,通过高速路里程为 366 km,建 成后通过高铁出行将比高速路出行节省 3 个小时. 已知该段 高铁的平均运行速度为汽车在高速路上平均速度的 3 倍,设 汽车在该段高速路上的速度为 x km / h,则所列方程为(　 　 ) A. 342 3x = 366 x -3 B. 342 3x = 366 x +3 C. 342 x = 366 3x -3 D. 342 x = 366 3x +3 15. 易错题 若关于 x 的不等式组 3x 2 -1≥x +4 2 a-x>7 ì î í ï ï ï ï 无解,且关于 y 的 分式方程 3y 2-y = 1-a +y y-2 的解为非负整数,则符合条件的所有整 数 a 的和为(　 　 ) A. 6 B. 16 C. 18 D. 20 16. 如图,△ABC 与△AEF 中,AB = AE,BC = EF,∠B= ∠E,AB 交 EF 于点 D. 给出下 列结论:①∠AFC = ∠C;②DF = CF;③ BC= DE + DF; ④ ∠BFD = ∠CAF. 其中正确的结论的个数 是(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(本大题共 3 个小题,共 10 分. 17 小题 2 分,18 ~ 19 小 题各 4 分,每空 2 分) 17. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 18. 新定义 我们用【m】表示不大于 m 的最大整数,如:【2】 = 2, 【4. 1】 = 4,【3. 99】 = 3. (1)【 2 】 = 　 　 　 　 ; (2)若【3+ x 】 = 6,则 x 的取值范围是　 　 　 　 . 19. 数学思想·分类思想 如图, 在 △ABC 中, ∠B = ∠C,AB= 12,BC= 10,点 D 为 AB 的中点,点 P 在 线段 BC 上以每秒 2 个单位长度的速度由 B 点向 C 点运动,同时,点 Q 在线段 CA 上以每秒 a 个单位长度的速 度由 C 点向 A 点运动,设运动时间为 t(0≤t≤5)(秒) . (1)用含 t 的代数式表示线段 PC 的长为　 　 　 　 ; (2)若点 P、Q 的运动速度不相等,当△BPD 与△CQP 全等 时,a 的值为　 　 　 　 . ·31· 三、解答题(本大题共 7 个小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 20. (本小题满分 9 分) (1)计算:( -2) 2 - 81 + 3 -64 ; (2)解方程: x 3x-1 -2 = 1 9x-3 . 21. (本小题满分 9 分)先化简,再求值:( x 2 +x x2 -1 - 1 1-x ) ÷( x 2 +3x x-1 - 1),其中-1<x<1. 5 且是整数. 22. (本小题满分 9 分)如图,已知点M 在射线 BC 上,点 A 在直线 BC 外. (1)画线段 BA,连接 AC 并延长 AC 到 N,使 CN= 3AC; (2)在(1)的条件下用尺规作∠CMP = ∠A,且点 P 在线段 AC 的延长线上. (保留作图痕迹,不写作法) 23. (本小题满分 10 分)如图,在△ACD 中,E 为边 CD 上一点,F 为 AD 的中点,过点 A 作 AB∥CD,交 EF 的延长线于点 B. (1)求证:△AFB≌△DFE; (2)若 AB= 6,DC= 4CE,求 CD 的长. 24. 生产劳动情境·分拣货物 (本小题满分 10 分)某快递仓库使 用机器人分拣货物,已知一台机器人的工作效率相当于一名 分拣工人工作效率的 20 倍,若用一台机器人分拣 8 000 件货 物,比原先 16 名工人分拣这些货物要少用 2 3 小时. (1)求一台机器人一小时可分拣多少件货物? (2)受“双十一”影响,该仓库 11 月 11 日当天收到快递 72 万 件,为了在 8 小时之内分拣完所有快递,公司调配了 20 台机器人和 20 名分拣工人,工作 3 小时之后,又调配了 15 台机器人进行增援,该公司能否在规定的时间内完成 任务? 请说明理由. 25. 数学思想·类比思想 (本小题满分 12 分)阅读材料: 学习了无理数后,某数学兴趣小组开展了一次探究活动: 估算 13 的近似值. 小明的方法:∵ 9 < 13 < 16 ,设 13 = 3 + k (0 < k < 1),∴ ( 13 ) 2 =(3+k) 2,∴ 13 = 9+6k+k2,∴ 13≈9+6k. 解得 k≈ 2 3 , ∴ 13 ≈3+ 2 3 ≈3. 67. 问题: (1)请你依照小明的方法,估算 41的近似值; (2)请结合上述具体实例,概括出估算 m的公式:已知非负 整数 a、b、m,若 a< m <a+1,且 m= a2 +b,则 m≈　 　 　 (用含 a、b 的代数式表示); (3)请用(2)中的结论估算 37的近似值. 26. (本小题满分 13 分)【问题提出】如图①,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AB=AC,直线 l 经过点 A,分别从点 B,C 向直线 l 作垂 线,垂足分别为 D,E. 求证:△ABD≌△CAE; 【变式探究】如图②,在△ABC 中,AB=AC,直线 l 经过点 A,点 D,E 分别在直线 l 上,如果∠CEA = ∠ADB = ∠BAC,猜想 DE, BD,CE 有何数量关系,并给予证明; 【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案, 大致图形如图③所示,以△ABC 的边 AB,AC 为一边向外作 △BAD 和△CAE,其中∠BAD = ∠CAE = 90°,AB = AD,AC = AE, AG 是边 BC 上的高. 延长 GA 交 DE 于点 H. (1)求证:点 D,E 到直线 HG 的距离相等; (2)经测量,DE= 50 cm,求 HE 的长. 图① 　 图② 　 图③ ·41· 5. B　 【解析】A. 0. 04 的平方根是±0. 2,故 A 错;B. -23 的 立方根是 3 -23,故 B 正确;C. 36 = 6,故 C 错误;D. 负 数的立方根还是负数,故错误. 故选 B. 6. C　 【解析】∵ 1< 2 <2,∴ A、B 两点之间表示整数的点共 有 4 个:2、3、4、5. 故选 C. 7. C　 8. C　 9. A　 10. C 11. A　 【解析】1< 3 7 <2, 5 >2,∴ 3 7 <2< 5 . 故选 A. 12. D　 【解析】由题可得 x-2 =(±4) 2 = 16,则 x = 18,2x-y+ 8 = 43 = 64,则 y= -20,∴ (x+y) 2 = (18-20) 2 = 4,4 的平 方根为±2. 故选 D. 13. A　 【解析】 b a + a b = b 2 ab + a 2 ab = b 2 +a2 ab = (a+b) 2 -2ab ab ,∵ 两 个不等于 0 的实数 a、b 满足 a+b= 0,∴ ab≠0,当 a+b= 0 时,原式= 0 2 -2ab ab = -2. 故选 A. 14. D　 【解析】∵ 3 x-1 = x-1,∴ x-1 = 0 或 1 或-1,解得 x = 1 或 2 或 0,∴ x2 +x 的值为 2 或 6 或 0. 故选 D. 15. B 16. D　 【解析】∵ a,b 互为倒数,c 的绝对值为 2,d 的算术 平方根是 8,∴ ab= 1,c= ± 2,d= 64,故 1 2 ab+c2 + 3 d = 1 2 +2+4 = 13 2 . 故选 D. 17. 0 　 【 解 析 】 由 题 意 得 a + b = 19, ∴ 原 式 = ( 19 - 19) 2 4 = 0. 18. 8　 【解析】设盒子棱长为 acm,∵ 387+ 53 = 512( cm3), 则 a3 = 512,a= 3 512 = 8(cm) . 19. 3　 255　 【解析】①【 81 】 = 9,【 9 】 = 3,【 3 】 = 1,故 为 3;②最大的是 255,【 255 】 = 15,【 15 】 = 3,【 3 】 = 1,而【 256】 = 16,【 16】 = 4,【 4 】 = 2,【 2 】 = 1,即 只需进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中,最大的正 整数是 255. 20. 解:(1)原式= 2+0- 1 2 = 3 2 ; (2)原式= 5-(2- 2 )-(-3)= 5-2+ 2 +3 = 6+ 2 . 21. 解:(1)∵ 4x2 -81 = 0,∴ 4x2 = 81,∴ x2 = 81 4 . 解得 x= 9 2 或 x= - 9 2 . (2)∵ 8(x- 1) 3 = - 125 8 ,∴ ( x- 1) 3 = - 125 64 ,∴ x- 1 = - 5 4 ,∴ x= - 1 4 . 22. 解:根据题意,可得 a- 6 = 0,b+3 = 0,c-7 = 0,则 a= 6 , b= -3,c= 7,a2 +b2 +c2 = ( 6 ) 2 +( -3) 2 +72 = 64, 3 64 = 4,故 a2 +b2 +c2 的立方根为 4. 23. 解:(1)2- 2 (2)∵ m = 2 - 2 ,则 m+ 1 > 0,m- 1 < 0,∴ | m+ 1 | + |m-1 | =m+1+1-m= 2; (3) ∵ | 2c+ 4 | 与 d-4 互为相反数, ∴ | 2c + 4 | + d-4 = 0,∴ | 2c+ 4 | = 0,且 d-4 = 0,解得 c = -2,d= 4,∴ 2c+3d= 8,∴ 2c+3d 的立方根为 2. 24. 解:(1) ∵ 2+( - 2) = 0,而且 23 = 8,( - 2) 3 = - 8,有 8+ (-8)= 0,∴ 结论成立,即“若两个数的立方根 互为相反数,则这两个数也互为相反数. ”是成 立的. (2)由(1)验证的结果知,1-2x+3x-5 = 0,∴ x= 4,∴ 1- x = 1-2 = -1. 25. 解:(1)1　 2 -1　 3　 11 -3 (2) ∵ 5 的整数部分是 2, 101 的整数部分是 10, ∴ 〈 5 〉 =a= 5 -2,【 101 】 = b = 10,∴ a+b- 5 = 5 -2+10- 5 = 8,又∵ 8 的立方根为 2,∴ a+b - 5的立方根是 2. 26. 解:(1) ∵ 1 000< 59 319< 1 000 000,∴ 10< 3 59 319 < 100,∴ 3 59 319是两位数. (2)∵ 只有个位数是 9 的立方数的个位数依然是 9, ∴ 3 59 319的个位数是 9. (3) ∵ 27< 59< 64,∴ 30< 3 59 319 < 40,∴ 3 59 319 的十位数是 3. (4) ∵ 1 000< 42 875< 1 000 000,∴ 10< 3 42 875 < 100,∴ 3 42 875 是两位数. ∵ 只有个位数是 5 的立方数的个位数是 5,∴ 3 42 875 的个位是 5. ∵ 27 < 42 < 64, ∴ 30 < 3 42 875 < 40, ∴ 3 42 875的十位数是 3,∴ 3 42 875的值是 35. 追梦期中达标测试卷 1. B　 2. C　 3. D　 4. D　 5. D 6. C　 【解析】∵ 两个三角形全等,∴ ∠α= 180°-58°-62° = 60°. 故选 C. 7. D　 8. B　 9. C 10. B　 【解析】① 36 1-x = 18 x 是分式方程,正确;②解分式方程 可知,x= 1 是分式方程x -1 x+1 = 0 的解,错误;③分式方程 3 x-3 = 2- 3 3-x 转化成一元一次方程时,方程两边需要同 乘(x-3),正确;④解分式方程时不一定会出现增根,错 误. 则正确的有 2 个. 故选 B. 11. A　 【解析】∵ AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴ ∠A+∠D = 90°,∠C+∠D= 90°,∠CED= ∠AFB= 90°,∴ ∠A= ∠C, 在△ABF 和△CDE 中, ∠A= ∠C ∠AFB= ∠CED= 90° AB=CD { ,∴ △ABF ≌△CDE(AAS),∴ AF=CE= 6,BF =DE = 3,∴ AD =AF- EF+DE= 6-2+3 = 7. 故选 A. 12. D 13. D　 【解析】∵ ∠AFD = ∠BFC,∠2 = ∠3,∴ ∠D = ∠B, ∵ ∠1 = ∠3,∴ ∠ECD = ∠ACB,在△ACB 和△ECD 中, ∠ACB= ∠ECD ∠B= ∠D AC=EC { ,∴ △ACB ≌ △ECD, ∴ DE = AB. 故 选 D. 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 6 页 14. A 15. B　 【解析】 3x 2 -1≥ x+4 2 ① a-x>7② { ,解①得,x≥3,解②得,x<a- 7,∵ 不等式组 3x 2 -1≥ x+4 2 a-x>7 { 无解,∴ a- 7≤3,∴ a≤10. 3y 2-y = 1-a +y y-2 ,解分式方程,得 y = a +2 3 . ∵ 分式方程 3y 2-y = 1-a +y y-2 的解为非负整数,∴ y≥0 且 y- 2≠0,∴ a +2 3 ≥0 且 a≠4,解得 a≥-2 且 a≠4. ∵ a 为整数,∴ a = -2,1, 7,10,∴ 整数 a 的和为-2+1+7+10 = 16. 故选 B. 16. C 　 【解析】 在 △ABC 与 △AEF 中,∵ AB = AE,∠B = ∠E,BC=EF,∴ △ABC≌△AEF,∴ AF = AC,则∠AFC = ∠C,①正确;∵ BC = EF,∴ BC = DE +DF,③正确;∵ △AEF≌△ABC,∴ ∠EAF = ∠BAC,∴ ∠EAD = ∠CAF. ∵ ∠B+ ∠BDF+ ∠BFD = 180°,∠E+ ∠EDA+ ∠EAD = 180°,∠EDA= ∠BDF,∴ ∠BFD = ∠EAD = ∠CAF,④正 确;无法得出 DF=CF,∴ 正确的结论有 3 个. 故选 C. 17. 三个内角对应相等的两个三角形全等 18. (1)1　 (2)9≤x<16　 【解析】(1)∵ 1< 2 <2,∴ 【 2 】 = 1;(2)∵ 【3+ x】 = 6,∴ 6≤3+ x <7,解得 9≤x<16. 故 x 的取值范围是 9≤x<16. 19. (1)10-2t　 (2) 12 5 　 【解析】(1)运动 t 秒,P 点运动的 路程为 BP = 2t,∴ PC = BC-BP = 10 - 2t;(2) ∵ ∠B = ∠C,D 为 AB 的中点,∴ BD = 1 2 AB = 6. 当 △BPD 与 △CQP 全等,则有 BP=CQ,BD =CP = 6 或 CQ =BD = 6, CP=BP. 当 BP=CQ,BD=CP= 6,∴ CP= 10-2t = 6,∴ t = 2,∴ CQ= 2a=BP= 4,∴ a= 2(不合题意,舍去) . 当 CQ = BD,CP=BP,∴ 10-2t= 2t. ∴ t= 5 2 . ∴ 5 2 a= 6. ∴ a= 12 5 . 20. 解:(1)原式= 4-9-4 = -9; (2)两边同乘 3(3x- 1),得 3x- 6(3x- 1) = 1,去括 号,得 3x-18x+ 6 = 1,移项,得 3x- 18x = 1- 6,合 并同类项,得-15x= -5,两边都除以(-15),得 x = 1 3 ,检验:当 x= 1 3 时,3(3x-1)= 0,∴ x = 1 3 不 是方程的解,∴ 原方程无实数解. 21. 解:原式 = [ x(x +1) (x+1)(x-1) + 1 x-1 ] ÷( x 2 +3x x-1 -x-1 x-1 ) = x +1 x-1 ÷ x2 +3x-(x-1) x-1 = x+1 x-1 · x -1 (x+1) 2 = 1 x+1 . -1<x< 1. 5 的整数解有 0,1,∵ 分式有意义时,x≠ ±1,∴ x= 0,∴ 原式= 1 0+1 = 1. 22. 解:(1)如图,BA,CN 为所画. (2)如图,∠CMP 为所求. 23. (1)证明:∵ AB∥CD,∴ ∠ABF = ∠DEF,∠BAF = ∠D, ∵ F 为 AD 的中点,∴ AF = DF,在△AFB 和△DFE 中, ∠ABF= ∠DEF ∠BAF= ∠D AF=DF { ,∴ △AFB≌△DFE(AAS); (2)解:∵ △AFB≌△DFE,∴ AB = DE = 6,∵ DC = 4CE, ∴ CE+6 = 4CE,∴ CE = 2. ∴ CD = CE+DE = 2+ 6 = 8. 24. 解:(1)设一名工人每小时可分拣 x 件货物,则一台机 器人每小时可分拣 20x 件货物,根据题意得 8 000 16x -8 000 20x = 2 3 ,解得 x = 150,经检验,x = 150 是原方程的根,∴ 20x = 3 000,故一台机器人每 小时可以分拣 3 000 件货物; (2) 该公司能在规定的时间内完成任务,理由:3× (20×150+20×3 000) +(8-3) ×(35×3 000+20× 150)= 189 000+ 540 000 = 729 000> 720 000,∴ 该公司能在规定的时间内完成任务. 25. 解:(1)∵ 36 < 41 < 49 ,设 41 = 6+k(0<k<1),∴ ( 41 ) 2 = (6+k) 2 ,∴ 41 = 36+12k+k2 ,∴ 41≈36 +12k. 解得 k≈ 5 12 ,∴ 41 ≈6+ 5 12 ≈6+ 0. 42 = 6. 42; (2)a+ b 2a 　 【解析】设 m =a+k(0<k<1),∴ m = a2 + 2ak+k2 ≈a2 +2ak,∵ m = a2 +b,∴ a2 + 2ak = a2 +b, 解得 k= b 2a ,∴ m≈a+ b 2a ; (3) 37 ≈6+ 1 12 ≈6. 08. 26. 【问题提出】 证明: 在 Rt△ADB 中, ∠ABD + ∠BAD + ∠BDA= 180°,∠BDA = 90°,∴ ∠ABD+∠BAD = 90°. 又 ∵ ∠BAC = 90°, ∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°, ∴ ∠ABD = ∠CAE,∵ ∠ABD = ∠CAE,∠BDA = ∠AEC = 90°,AB = AC,∴ △ABD≌△CAE(AAS); 【变式探究】解:DE = BD +CE,理由如下: ∵ ∠CAD = ∠BAC+ ∠BAD = ∠CEA + ∠ACE, ∠CEA = ∠BAC, ∴ ∠ACE= ∠BAD. ∵ ∠AEC = ∠ADB,∠ACE = ∠BAD,AB =AC,∴ △CAE≌△ABD(AAS),∴ AD =CE,AE =DB,∴ DE=AE+AD=BD+CE; 【拓展应用】 (1) 证明:过点 E 作 EM⊥HG 于点 M,作 DN⊥GH,交 GH 的延长线于点 N,∴ ∠EMH = ∠DNH = 90°. 与【问题提出】同理可得△DNA≌△AGB,△EMA≌ △AGC,∴ DN=AG,EM=AG,∴ DN =EM. 即点 D,E 到直 线 HG 的距离相等; (2)解:∵ ∠DNH = ∠EMH,∠DHN = ∠MHE,DN = ME, ∴ △DNH≌△EMH(AAS),∴ DH =HE. ∵ DE = 50cm,∴ HE= 1 2 DE= 25cm. 第十五章　 二次根式 1. A　 2. A　 3. C 4. D　 【解析】由题可知,a≥0,-a≥0,解得 a= 0. 故选 D. 5. (1)6　 (2)8　 (3)3　 (4)45　 (5) 1 6 　 (6)-1. 8 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 7 页