第十三章 全等三角形 追梦基础全练-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（冀教版）

第十三章　 全等三角形 考点 1　 命题与证明 1. 下列命题的逆命题是真命题的是(　 　 ) A. 若 a= b,则 | a | = | b | 　 　 　 　 B. 同位角相等,两直线平行 C. 对顶角相等 D. 若 a>0,b>0,则 a+b>0 2. 老师布置了一项作业,对一个真命题进行证明,下面是小云给 出的证明过程:证明:如图,∵ b⊥a,∴ ∠1 = 90°. ∵ c⊥a,∴ ∠2 = 90°,∴ ∠1 = ∠2,∴ b∥c. 已知该证明过程是正确的,则证明 的真命题是(　 　 ) A. 在同一平面内,若 b⊥a,且 c⊥a,则 b∥c B. 在同一平面内,若 b∥c,且 b⊥a,则 c⊥a C. 同位角相等,两直线平行 D. 两直线平行,同位角相等 3. 与定理“两直线平行,同旁内角互补”互为逆定理的是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 考点 2　 全等图形 4. 下列叙述中错误的是(　 　 ) A. 能够完全重合的两个图形称为全等图形 B. 全等图形的形状和大小都相同 C. 所有正方形都是全等图形 D. 平移、翻折、旋转前后的图形全等 5. 下列右边四个图形中,与左边第一个图形全等的是(　 　 ) 　 　 A 　 B 　 C 　 D 6. (西安期末)如图,已知△ABC≌△DEF,则下列结论不正确的 是(　 　 ) A. ∠A= ∠D　 　 B. ∠C= ∠E　 　 C. AB=DE　 　 D. BC=EF 第 6 题图 　 　 第 7 题图 7. 如图,△ABC≌△BAD,A、C 的对应顶点分别为 B、D,如果 AB = 9 cm,BC= 6 cm,AC= 10 cm,那么 BD 的长是(　 　 ) A. 9 cm B. 10 cm C. 15 cm D. 无法确定大小 8. 如图,若△ABC≌△DEF,B、E、C、F 在同一直线上,BC= 7,EC= 4,则 CF 的长是(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 第 8 题图 　 　 第 9 题图 　 　 第 10 题图 9. 如图, △ABC 中, ∠B = 80°, ∠C = 30°. 若 △ABC ≌ △ADE, ∠DAC= 35°,则∠EAC 的度数为(　 　 ) A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 10. 已知图中的两个三角形全等,则∠1 等于　 　 　 　 . 11. (遵化期中)一个三角形的三边为 3、5、x,另一个三角形的三 边为 y、3、6,若这两个三角形全等,则 x-y= 　 　 　 　 . 考点 3　 全等三角形的判定 12. 如图,在△ABC 和△DEF 中,给出以下六个条件: ①AB=DE　 　 ②BC=EF　 　 ③AC=DF ④∠A= ∠D　 　 ⑤∠B= ∠E　 　 ⑥∠C= ∠F 以其中三个作为已知条件,不能判断△ABC 和△DEF 全等的 是(　 　 ) A. ①②⑤ B. ②③④ C. ①②③ D. ①④⑥ 13. [教材练习 2 变式]如图,小梦做了一个长方形框架,发现很 容易变形,请你帮她选择一个最好的加固方案(　 　 ) A. B. C. D. 第 13 题图 　 　 　 　 第 14 题图 　 　 　 　 第 15 题图 14. 文化情境·传统文化 风筝为中国人发明,相传墨翟以木头制 成木鸟,研制三年有成,是人类最早的风筝起源. 如图,小飞在 设计“风筝”图案中,已知 AB=AD,∠B= ∠D,∠BAE = ∠DAC, 那么 AC 和 AE 相等. 小飞直接证明△ABC≌△ADE,他的证明 依据是(　 　 ) A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 15. 生活情境·隧道测量 如图,某地需要开辟一条隧道,隧道 AB 的长度无法直接测量,李师傅设计了一个方案,补充内容不正 确的是(　 　 ) (1)在地上取一个可以直接到达点 A 和点 B 的点 C; (2)连接 BC 并延长到 E,使得　 　 △　 　 ; (3)连接 AC 并延长到 D,使得　 　 ▽　 　 ; (4)连接　 　 ○　 　 并测量出它的长度,即为 AB 的长; (5)上述方案的依据是　 　 ◇　 　 . A. △代表 CE=BC B. ▽代表 CD=CA C. ○代表 DE D. ◇代表 SSS 16. (张家口期末)如图,已知△ABC,下面甲、乙、丙、丁四个三角 形中,与△ABC 全等的是(　 　 ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 17. 生活情境·配玻璃 (唐山期末)一块三角形玻璃样板不慎被张 宇同学碰破,成了四片完整碎片(如图所示),聪明的他经过仔 细地考虑,认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅 画一块与以前一样的玻璃样板,你认为下列四个答案中考虑最 全面的是(　 　 ) A. 带 1,2 或 2,3 去就可以了 B. 带 1,4 或 3,4 去就可以了 C. 带 1,4 或 2,4 或 3,4 去均可 D. 带其中的任意两块去都可以 第 17 题图 　 　 　 第 18 题图 　 　 　 第 19 题图 18. 在如图所示的 6×6 网格中,△ABC 是格点三角形(即顶点恰 好是网格线的交点),则图中 P1、P2、P3、P4 四个点中,满足以 A、C、P 为顶点的三角形与△ABC 全等,这样的 P 点个数 有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 ·5· 19. 如图,已知 AD 是△ABC 的中线,E,F 分别是 AD 和 AD 延长线 上的点,且 DE=DF,连接 BF,CE,下列说法正确的是(　 　 ) ①BD=CD;②∠BAD = ∠CAD;③△BDF≌△CDE;④BF∥CE; ⑤CE=AE. A. ①② B. ③⑤ C. ①③④ D. ①④⑤ 20. 如图所示,△ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,AC 上的点,已知 DF∥BC, EF∥AB, 请补充一个条件 　 　 　 　 , 使 △ADF ≌△FEC. 第 20 题图 　 　 　 第 21 题图 　 　 　 第 22 题图 21. 数学思想·分类思想 如图,已知 AB = AC,AD = AE, ∠BAC = ∠DAE,B,D,E 三点在一条直线上. 若∠3 = 55°,∠2 = 30°,则 ∠1 的度数为　 　 　 　 . 22. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC= 12 cm,BC= 6 cm,一条线 段 PQ= AB,P,Q 两点分别在线段 AC 和 AC 的垂线 AX 上移 动,若以 A、B、C 为顶点的三角形与以 A、P、Q 为顶点的三角形 全等,则 AP 的长为　 　 　 　 . 23. 如图,已知点 B、E、C、F 在同一条直线上,AB =DE,∠A = ∠D, AC∥DF. 求证:BE=CF. 24. 如图,BD=BC,点 E 在 BC 上,且 BE=AC,DE=AB. (1)求证:△ABC≌△EDB; (2)判断 AC 和 BD 的位置关系,并说明理由. 25. 如图,已知△ABC 和△CDE 均是直角三角形,∠ACB = ∠CED = 90°,AC=CE,AB⊥CD 于点 F. (1)求证:△ABC≌△CDE; (2)若点 B 是 EC 的中点,DE= 10 cm,求 AC 的长. 考点 4　 三角形的尺规作图 26. 已知△ABC,按图示痕迹作△A′B′C′,得到△ABC≌△A′B′C′. 则在作图时,这两个三角形满足的条件是(　 　 ) A. AB=A′B′,AC=A′C′ B. ∠B= ∠B′,AB=A′B′ C. ∠A= ∠A′,∠B= ∠B′, ∠C= ∠C′ D. AB=A′B′,AC=A′C′,BC=B′C′ 27. 已知:两边及其夹角,线段 a,c,∠α,求作:△ABC,使 BC = a, AB= c(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) . 请你根据所学 的知识,说明尺规作图作出的∠ABC = ∠α,用到的是三角形 全等判定定理中的　 　 　 　 ,作出的△ABC 是唯一的,依据三 角形全等判定定理中的　 　 　 　 　 　 　 　 . 28. (长春中考)如图,工人师傅设计了一种测零件内径 AB 的卡 钳,卡钳交叉点 O 为 AA′、BB′的中点,只要量出 A′B′的长度, 就可以知道该零件内径 AB 的长度. 依据的数学基本事实 是(　 　 ) A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 D. 两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 第 28 题图 　 　 　 　 第 29 题图 29. (哈尔滨中考)如图,△ABC≌△DEC,点 A 和点 D 是对应顶 点,点 B 和点 E 是对应顶点,过点 A 作 AF⊥CD,垂足为点 F, 若∠BCE= 65°,则∠CAF 的度数为(　 　 ) A. 30° B. 25° C. 35° D. 65° 30. (张家口二模)嘉淇同学要证 AE=BF,她先用下列尺规作图步 骤作图:①AD∥BC,∠BAD= 90°;②以点 B 为圆心,BC 长为半 径画弧,与射线 AD 相交于点 E,连接 BE;③过点 C 作 CF⊥ BE,垂足为点 F,并写出了如下不完整的已知和求证. 已知:如图,AD∥BC,∠BAD = 90°,BC = 　 　 　 　 ,CF ⊥BE. 求证:AE= 　 　 　 　 . (1)在方框中填空,以补全已知和求证; (2)按嘉淇的想法写出证明过程. 31. 数学思想·分类思想 如图,已知四边形 ABCD 中,AB = 10 cm,BC = 8 cm,CD = 12 cm,∠B = ∠C,点 E 为 AB 的中点. 如果点 P 在线段 BC 上以 3 cm / s 的速度沿 B-C-B 运动,同时,点 Q 在线段 CD 上由 C 点向 D 点运动. 当点 Q 的运 动速度为　 　 　 　 　 　 　 　 cm / s 时,能够使△BPE 与△CQP 全等. ·6· (x-1)(2x+5)+11 x-1 = 2x+5+ 11 x-1 ; (2)由分母为 x+2,可设 5x2 +9x-3 = (x+2)(5x+a) + b,∵ (x+2)(5x+a) +b = 5x2 +ax+10x+2a+b = 5x2 +(a+10)x+2a+b,∴ 5x2 +9x-3 = 5x2 +(a+10)x+ 2a+b,∴ a+10= 9 2a+b= -3{ ,解得 a= -1 b= -1{ ,∴ 5x2 +9x-3 x+2 = (x+2)(5x-1)-1 x+2 = 5x- 1- 1 x+2 ,∴ 5m- 11+ 1 n-6 = 5x-1- 1 x+2 ,因此 5m-11 = 5x-1,n-6 = -x-2,∴ m =x+2,n= -x+4,(其中 x≠2)∴ m2 +n2 +mn= (x+ 2) 2 +(-x+4) 2 +(x+2)( -x+4)= x2 -2x+28 = (x- 1) 2 +27,∵ (x-1) 2 ≥0,∴ (x-1) 2 +27≥27,∴ m2 +n2 +mn 的最小值为 27. 第十三章　 全等三角形 1. B　 2. A 3. 同旁内角互补,两直线平行 4. C　 5. A　 6. B　 7. B　 8. B 9. B　 【解析】∵ ∠B= 80°,∠C= 30°,∴ ∠BAC = 180°-80°- 30° = 70°. ∵ △ABC≌ △ADE,∴ ∠BAC = ∠DAE,又 ∵ ∠EAC= ∠DAE-∠DAC= ∠BAC-∠DAC,∴ ∠EAC = 70°- 35° = 35°. 故选 B. 10. 60°　 11. 1 12. B　 13. C　 14. C　 15. D　 16. B　 17. C　 18. C 19. C　 【解析】①∵ AD 是△ABC 的中线,∴ BD = CD,故① 正确; ② 无法得出 ∠BAD = ∠CAD,故 ② 错误; ③ 在 △BDF 和 △CDE 中, BD=CD ∠BDF= ∠CDE DF=DE { , ∴ △BDF ≌ △CDE(SAS),故③正确;④∵ △BDF≌△CDE,∴ ∠F = ∠DEC,∴ BF∥CE,故④正确;⑤无法得出 CE=AE,故⑤ 错误;综上可知,①③④正确. 故选 C. 20. AF=FC(答案不唯一) 21. 25° 　 【解析】 ∵ ∠BAC = ∠DAE,∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE-∠DAC,即∠BAD = ∠CAE,在△ABD 和△ACE 中, AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { , ∴ △ABD ≌ △ACE ( SAS ), ∴ ∠ABD= ∠2. ∵ ∠3 = ∠ABD+ ∠1,∴ ∠1 = ∠3 - ∠2 = 55°-30° = 25°. 22. 6cm 或 12cm 23. 证明: ∵ AC∥DF, ∴ ∠ACB = ∠F,在△ABC 和△DEF 中, ∠ACB= ∠F ∠A= ∠D AB=DE { ,∴ △ABC≌△DEF( AAS),∴ BC=EF,∴ BC-CE=EF-CE,即 BE=CF. 24. (1)证明:在△EDB 和△ABC 中, BD=BC BE=AC DE=AB { ,∴ △EDB≌ △ABC(SSS); (2)解:AC∥BD. 理由如下:∵ △ABC≌△EDB,∴ ∠ACB = ∠EBD,∴ AC∥BD. 25. (1)证明:∵ AB⊥CD,∴ ∠FAC+∠ACF = 90°. ∵ ∠ACE = 90°,∴ ∠DCB+∠ACF= 90°,∴ ∠FAC= ∠DCB,在 △ABC 和△CDE 中, ∠BAC= ∠DCE AC=CE ∠ACB= ∠CED { , ∴ △ABC≌ △CDE(ASA); (2)解:∵ △ABC≌△CDE,∴ DE =BC = 10cm,∵ 点 B 是 EC 的中点,∴ EC= 2BC= 20cm,∴ AC=EC= 20cm. 26. D 27. 解:△ABC 如图所示. SSS　 SAS 28. C　 29. B 30. 解:(1)BE　 BF (2) 证明: ∵ CF⊥BE, ∴ ∠BFC = 90°, ∵ ∠BAD = 90°. ∴ ∠BAD = ∠BFC. ∵ AD∥BC,∴ ∠AEB = ∠FBC. 在 △ABE 与 △FCB 中, ∠BAE= ∠CFB ∠AEB= ∠FBC BE=CB { ,∴ △ABE≌△FCB,∴ AE=BF. 31. 3 或15 4 或 9 13 或 5 4 　 【解析】设点 P 在线段 BC 上运动的 时间为 ts,①点 P 由 B 向 C 运动时,BP= 3tcm,CP=(8- 3t)cm. ∵ △BPE≌△CQP,∴ BE=CP = 5cm,∴ 5 = 8-3t, 解得 t= 1,∴ BP=CQ= 3cm,此时,点 Q 的运动速度为 3 ÷1 = 3( cm / s);②点 P 由 B 向 C 运动时,∵ △BPE≌ △CPQ,∴ BP=CP,∴ 3t = 8- 3t,∴ t = 4 3 ,此时,点 Q 的 运动速度为 5÷ 4 3 = 15 4 ( cm / s);③点 P 由 C 向 B 运动 时,CP = (3t - 8) cm. ∵ △BPE≌ △CQP,∴ BE = CP = 5cm. ∴ 5 = 3t-8,解得 t = 13 3 . ∴ BP = CQ = 3cm. 此时,点 Q 的运动速度为 3÷13 3 = 9 13 (cm / s);④点 P 由 C 向 B 运 动时,∵ △BPE≌△CPQ,∴ BP =CP = 4cm,∴ 3t-8 = 4. t = 4. ∵ BE = CQ = 5cm,此时,点 Q 的运动速度为 5÷ 4 = 5 4 (cm / s),综上所述:点 Q 的运动速度为 3cm / s 或15 4 cm / s 或 9 13 cm / s 或 5 4 cm / s. 第十三章追梦综合演练卷 1. C　 2. B　 3. C　 4. B 5. D 　 【解析】 ∵ BE⊥AC,AD⊥BC,∴ ∠AEB = ∠ADC = ∠BDF= 90°,∵ ∠AFE = ∠BFD,∠FBD+∠BDF+∠BFD = 180°, ∠AEB + ∠AFE + ∠DAC = 180°, ∴ ∠DAC = ∠DBF, 在 △BDF 和 △ADC 中, ∠DBF= ∠DAC BD=AD ∠BDF= ∠ADC { , ∴ △BDF≌△ADC(ASA),∴ DF = CD = 3,∵ AF+DF = AD = 5,∴ AF= 2. 故选 D. 6. B　 【解析】∵ AB = 2AC,点 D 是线段 AB 的中点,∴ BD = AD=AC,∵ △ADE 为等腰直角三角形,∴ ∠EAD = ∠EDA = 45°,EA = ED,∵ ∠EAC = ∠EAD + ∠BAC = 45° + 90° = 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 3 页