第十二章 分式和分式方程 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（冀教版）

第十二章追梦综合演练卷 测试时间:120 分钟　 　 　 测试分数:120 分 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分. 在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1. 下列各式中是分式的是(　 　 ) A. x 2 　 　 　 　 B. 1 π 　 　 　 　 C. x 2 +y　 　 　 　 D. x x+1 2. 当 x= 2 时,下列各项中无意义的是(　 　 ) A. 1 x2 -4 B. x x+1 C. 2 x2 +2x+4 D. x -2 x+4 3. (唐山期末)下列各式与 2 x2 一定相等的是(　 　 ) A. 1 x B. 4 x2 +2 C. 4 x4 D. 6 3x2 4. 下列各式中,是最简分式的是(　 　 ) A. 4 2x B. x -1 x2 -1 C. 1 x+1 D. 1 -x x-1 5. 学习情境·过程纠错 (邯郸一模)在化简 2m m2 -4 + 1 2-m 时,两位同 学分别给出如下方法: 佳佳的方法是: 　 2m m2 -4 + 1 2-m = 2m m2 -4 - 1 m+2 = 2m (m+2)(m-2) - m-2 (m+2)(m-2) = 2m-m+2 (m+2)(m-2) = 1 m-2 音音的方法是: 　 2m m2 -4 + 1 2-m = 2m (m+2)(m-2) + m+2 (2-m)(m+2) = 2m (m+2)(m-2) - m+2 (m-2)(m+2) = 2m-m-2 =m-2 则对于两人的方法,正确的是(　 　 ) A. 两人方法均正确 B. 佳佳正确,音音错误 C. 佳佳错误,音音正确 D. 两人方法均错误 6. 若分式 4x -9 (3x+2)(x-1) = A 3x+2 - B x-1 (A、B 为常数),则 A、B 的 值为(　 　 ) A. A= 4,B= -9 B. A= 7,B= 1 C. A= 1,B= 7 D. A= -35,B= 13 7. 新定义 定义新运算“※”:a※b= 1 a + 1 b . 若 2※(2x-1)= 1,则 x 的值为(　 　 ) A. 5 6 B. 5 4 C. 3 2 D. - 1 6 8. 易错题 已知关于 x 的分式方程 m x-1 + 3 1-x = 1 的解是非负数,则 m 的取值范围是(　 　 ) A. m>2 B. m≥2 C. m≥2 且 m≠3 D. m>2 且 m≠3 9. 若关于 x 的分式方程 7x x-1 + 3 = 2m -1 x-1 有增根, 则 m 的值 为(　 　 ) A. 0 B. 1 2 C. 1 D. 4 10. 如图, 若 x 为正整数, 则表示 (x -3) 2 x2 -6x+9 - 1 x+1 的值的点落 在(　 　 ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 11. 学科素养·推理能力 已知:a1 = x+ 1 ( x≠0 且 x≠ - 1),a2 = 1 1-a1 ,a3 = 1 1-a2 ,…an = 1 1-an-1 ,则 a2 020 等于(　 　 ) A. x B. x+1 C. - 1 x D. x x+1 12. 已知关于 x 的一元一次不等式组 3(3-x) -1<x x+2≥a{ 的解集为 x>2, 且关于 y 的分式方程ay -5 y-3 = 1- 4 3-y 的解为正整数,则满足条件 的所有整数 a 的和为(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分) 13. 如果 a-b= 2,那么(a 2 +b2 a -2b)· a b-a = 　 　 　 　 . 14. 如果分式 |m | -4 m-4 的值等于 0,那么 m 的值为　 　 　 　 . 15. 学习情境·程序框图 依据如图所示的流程图计算 b b2 -a2 - 1 b+a 输出的运算结果是　 　 　 　 . 16. 生产劳动情境·铺设钢轨 现有 6 000 米的钢轨需要铺设,为确 保通车时间,实际施工时每天铺设的长度是原计划的 2 倍,结 果提前 15 天完成任务,设原计划每天铺设钢轨 x 米,那么实 际施工时每天铺设钢轨的长度为　 　 　 　 米. 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 6 分)计算: (1) x 5y ÷( -4x 2 5y2 )·2x 2 y ;　 　 　 　 (2) 4 x2 -4 - 1 x-2 . 18. (本小题满分 8 分)解下列分式方程: (1) 4 y2 -1 +y-3 1-y +1 = 0;　 　 　 　 (2)2(x +1) 2 x2 -x+1 x = 1. ·3· 19. (本小题满分 8 分)先化简,再求值: (x +2 x -x-1 x-2 ) ÷ x -4 x2 -4x+4 ,其中 x 是不等式 3x+7>1 的负整数解. 20. 新定义 (本小题满分 8 分)符号 a　 b c　 d 称为二阶行列式,规定 它的运算法则为: a　 b c　 d =ad-bc. 请你根据上述规定求出下列 等式中 x 的值: 2 1 1 1-x 1 x-1 = 1. 21. (本小题满分 9 分)某工程队对一段全长为 1 200 米的道路进 行改造铺设路面,铺设 400 米后,为了尽快完成道路改造,后 来每天的工作效率比原计划提高 25%,结果共用 13 天完成道 路改造任务. (1)求原计划每天铺设路面多少米; (2)若工程队原来每天支付工人工资为 1 500 元,提高工作效 率后每天支付给工人的工资增长了 20%,完成整个工程 后,工程队共支付给工人的工资为多少元? 22. (本小题满分 8 分)已知方程 y y2 -9 + 1 3-y = 3 y+3 的解为 y = k,求 关于 x 的方程x +3 2 = x+k 3 -1 的解. 23. 生活情境·商品销售 (本小题满分 12 分)某商场准备购进甲、 乙两种商品进行销售,若每个甲商品的进价比每个乙商品的 进价少 2 元,且用 80 元购进甲商品的数量与用 100 元购进乙 商品的数量相同. (1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元? (2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的 3 倍还少 5 个,且购进甲、乙两种商品的总数量不超过 95 个,则商 场最多购进乙商品多少个? (3)在(2) 的条件下,如果甲、乙两种商品的售价分别是 12 元 /个和 15 元 /个,且将购进的甲、乙两种商品全部售出 后,可使销售两种商品的总利润超过 380 元,那么该商场 购进甲、乙两种商品有哪几种方案? 24. 学科素养·运算能力 (本小题满分 13 分)阅读下面的材料,并 解答后面的问题. 材料:将分式3x 2 +4x-1 x+1 拆分成一个整式与一个分式(分子为 整数)的和(差)的形式. 解:由分母为 x+1,可设 3x2 +4x-1 =(x+1)(3x+a)+b. 因为(x+1)(3x+a)+b= 3x2 +ax+3x+a+b = 3x2 +(a+3) x+a +b, 所以 3x2 +4x-1 = 3x2 +(a+3)x+a+b. 所以 a+3 = 4 a+b= -1{ ,解得 a= 1 b= -2{ . 所以 3x2 +4x-1 x+1 = (x+1)(3x+1)-2 x+1 = (x+1)(3x+1) x+1 - 2 x+1 = 3x+1- 2 x+1 . 这样,分式就被拆分成了一个整式 3x+1 与一个分式 2 x+1 的差 的形式. 根据你的理解解决下列问题: (1)请将分式2x 2 +3x+6 x-1 拆分成一个整式与一个分式(分子为 整数)的和(差)的形式; (2)若分式5x 2 +9x-3 x+2 拆分成一个整式与一个分式(分子为整 数)的和(差)的形式为:5m-11+ 1 n-6 ,求 m2 +n2 +mn 的最 小值. ·4· 得 x≥a +2 2 ,∴ a +2 2 ≤x≤7. ∵ 至多有四个整数解,∴ 3< a+2 2 ≤7,∴ 4<a≤12. 解关于 y 的分式方程 2y 2y-4 = 1 2 - a-3 2-y 得,y= 2a-8. ∵ 分式方程有解且为非负数,即 2a-8 ≥0 且 2a-8≠2,∴ a≥4 且 a≠5,综上,整数 a 可取:6, 7,8,9,10,11,12,∴ 和为:6+7+8+9+10+11+12 = 63. 故 选 A. 第十二章追梦综合演练卷 1. D　 2. A　 3. D　 4. C　 5. D　 6. B　 7. C 8. C　 【解析】方程两边同乘(x-1),得 m-3 = x-1,解得 x = m-2,由题意得 m-2≥0,解得 m≥2. ∵ 当 x = 1 时,方程 无解,∴ m-2≠1,m≠3,∴ m 的取值范围是 m≥2 且 m≠ 3. 故选 C. 9. D　 【解析】解分式方程得 x=m +1 5 . ∵ 方程有增根,∴ x-1 = 0,即 x= 1,∴ m +1 5 = 1,∴ m= 4. 故选 D. 10. B 　 【解析】 (x -3) 2 x2 -6x+9 - 1 x+1 = (x-3) 2 (x-3) 2 - 1 x+1 = 1 - 1 x+1 = 1 1+ 1 x . ∵ x 为正整数,∴ 0< 1 x ≤1,∴ 1> 1 1+ 1 x ≥ 1 2 ,∴ 表 示 (x-3) 2 x2 +6x+9 - 1 x+1 的值的点落在②. 故选 B. 11. B　 【解析】 a1 = x+ 1,a2 = 1 1-a1 = 1 1-(x+1) = - 1 x ,a3 = 1 1-a2 = 1 1+ 1 x = x x+1 ,a4 = 1 1-a3 = 1 1- x x+1 = x+1,可以得出规 律,三个式子为一个循环,又∵ 2 020÷ 3 = 673……1,∴ a2 020 =a1 = x+1. 故选 B. 12. C　 【解析】∵ 不等式组 3(3-x)-1<x① x+2≥a②{ 的解集为 x>2, 由①得 x>2,由②得 x≥a-2,∴ a-2≤2,∴ a≤4. 关于 y 的分式方程 ay-5 y-3 = 1- 4 3-y 的解为 y= 6 a-1 . ∵ y= 3 是原分 式方程的增根,∴ 6 a-1 ≠3,a≠3. ∵ 关于 y 的分式方程 ay-5 y-3 = 1- 4 3-y 的解为正整数,∴ 6 a-1 为正整数,∴ a = 2, 4,7. ∵ a≤4,∴ a= 2,4. ∴ 满足条件的所有整数 a 的和 为:2+4 = 6. 故选 C. 13. -2 14. -4　 【解析】由题意可得 m-4≠0, |m | -4 = 0,∴ m= -4. 15. a (b+a)(b-a) 　 16. 400 17. 解:(1)原式= - x 5y ·5y 2 4x2 ·2x 2 y = - x 2 ; ( 2 ) 原 式 = 4 (x+2)(x-2) - x+2 (x+2)(x-2) = 4-(x+2) (x+2)(x-2) = 2-x (x-2)(x+2) = - 1 x+2 . 18. 解:(1)方程两边同乘(y2 -1),得 4-(y-3)(y+1) +y2 -1 = 0,解这个整式方程,得 y = -3. 检验:当 y = - 3 时,y2 -1 = 8≠0. ∴ y= -3 是原分式方程的解; (2)方程两边同乘 x2 ,得 2(x+1) 2 -x(x+1) = x2 . 解 这个整式方程,得 x= - 2 3 . 检验:当 x= - 2 3 时,x2 ≠0,∴ x= - 2 3 是原分式方程的解. 19. 解:原式= x 2 -4-x2 +x x(x-2) ·(x -2) 2 x-4 = x-2 x . 由 3x+7>1 得 x> -2,∴ 负整数解为 x = -1. 当 x = -1 时,原式 = -1-2 -1 = 3. 20. 解:由题意得 2 x-1 - 1 1-x = 1. 解这个方程,得 x = 4,经检验 x= 4 是分式方程的解. ∴ x 的值为 4. 21. 解:(1)设原计划每天铺设路面 x 米,则提高工作效率 后每天铺设路面( 1 + 25%) x 米,根据题意得: 400 x + 1200-400 (1+25%)x = 13,解得:x = 80,经检验,x = 80 是所列方程的解,且符合题意. 答:原计划每天 铺设路面 80 米; (2) 根据题意得: 1500 × 400 80 + 1500 × ( 1 + 20%) × 1200-400 (1+25%)×80 = 21900(元) . 答:完成整个工程后,工程队共支付给工人的工 资为 21900 元. 22. 解:将方程 y y2 -9 + 1 3-y = 3 y+3 的两边同乘 y2 - 9,得 y-(y+ 3)= 3(y-3) . 解得 y= 2. 经检验,y= 2 是原分式方程 的解. ∴ k= 2. ∴ x +3 2 = x+2 3 -1. 方程两边同乘 6,得 3 (x+3)= 2(x+2)-6. 解得 x= -11. 23. 解:(1)设每个乙商品的进价为 x 元,则每个甲商品的 进价为(x-2)元,根据题意,得 80 x-2 = 100 x ,解得 x = 10,经检验,x = 10 是原方程的解,10 - 2 = 8 (元) . 故每个甲商品的进价为 8 元,每个乙商品 的进价为 10 元; (2)设购进乙商品 y 个,则购进甲商品(3y-5)个. 由 题意,得 3y-5+y≤95. 解得 y≤25. 故商场最多 购进乙商品 25 个; (3)由(2)知,(12-8)(3y-5)+(15-10)y>380,解得 y>23 9 17 . ∵ y 为整数,y≤25,∴ y = 24 或 25,∴ 共有 2 种方案. 方案一:购进甲商品 67 个,乙商品 24 个; 方案二:购进甲商品 70 个,乙商品 25 个. 24. 解:(1)由分母为 x-1,可设 2x2 +3x+6 = (x-1)(2x+a) + b. ∵ (x-1)(2x+a) +b = 2x2 +ax- 2x-a+b = 2x2 + (a-2)x-a+b,∴ 2x2 +3x+6 = 2x2 +(a-2) x-a+b, ∴ a-2 = 3 -a+b= 6{ , 解 得 a= 5 b= 11{ , ∴ 2x2 +3x+6 x-1 = 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 2 页 (x-1)(2x+5)+11 x-1 = 2x+5+ 11 x-1 ; (2)由分母为 x+2,可设 5x2 +9x-3 = (x+2)(5x+a) + b,∵ (x+2)(5x+a) +b = 5x2 +ax+10x+2a+b = 5x2 +(a+10)x+2a+b,∴ 5x2 +9x-3 = 5x2 +(a+10)x+ 2a+b,∴ a+10= 9 2a+b= -3{ ,解得 a= -1 b= -1{ ,∴ 5x2 +9x-3 x+2 = (x+2)(5x-1)-1 x+2 = 5x- 1- 1 x+2 ,∴ 5m- 11+ 1 n-6 = 5x-1- 1 x+2 ,因此 5m-11 = 5x-1,n-6 = -x-2,∴ m =x+2,n= -x+4,(其中 x≠2)∴ m2 +n2 +mn= (x+ 2) 2 +(-x+4) 2 +(x+2)( -x+4)= x2 -2x+28 = (x- 1) 2 +27,∵ (x-1) 2 ≥0,∴ (x-1) 2 +27≥27,∴ m2 +n2 +mn 的最小值为 27. 第十三章　 全等三角形 1. B　 2. A 3. 同旁内角互补,两直线平行 4. C　 5. A　 6. B　 7. B　 8. B 9. B　 【解析】∵ ∠B= 80°,∠C= 30°,∴ ∠BAC = 180°-80°- 30° = 70°. ∵ △ABC≌ △ADE,∴ ∠BAC = ∠DAE,又 ∵ ∠EAC= ∠DAE-∠DAC= ∠BAC-∠DAC,∴ ∠EAC = 70°- 35° = 35°. 故选 B. 10. 60°　 11. 1 12. B　 13. C　 14. C　 15. D　 16. B　 17. C　 18. C 19. C　 【解析】①∵ AD 是△ABC 的中线,∴ BD = CD,故① 正确; ② 无法得出 ∠BAD = ∠CAD,故 ② 错误; ③ 在 △BDF 和 △CDE 中, BD=CD ∠BDF= ∠CDE DF=DE { , ∴ △BDF ≌ △CDE(SAS),故③正确;④∵ △BDF≌△CDE,∴ ∠F = ∠DEC,∴ BF∥CE,故④正确;⑤无法得出 CE=AE,故⑤ 错误;综上可知,①③④正确. 故选 C. 20. AF=FC(答案不唯一) 21. 25° 　 【解析】 ∵ ∠BAC = ∠DAE,∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE-∠DAC,即∠BAD = ∠CAE,在△ABD 和△ACE 中, AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { , ∴ △ABD ≌ △ACE ( SAS ), ∴ ∠ABD= ∠2. ∵ ∠3 = ∠ABD+ ∠1,∴ ∠1 = ∠3 - ∠2 = 55°-30° = 25°. 22. 6cm 或 12cm 23. 证明: ∵ AC∥DF, ∴ ∠ACB = ∠F,在△ABC 和△DEF 中, ∠ACB= ∠F ∠A= ∠D AB=DE { ,∴ △ABC≌△DEF( AAS),∴ BC=EF,∴ BC-CE=EF-CE,即 BE=CF. 24. (1)证明:在△EDB 和△ABC 中, BD=BC BE=AC DE=AB { ,∴ △EDB≌ △ABC(SSS); (2)解:AC∥BD. 理由如下:∵ △ABC≌△EDB,∴ ∠ACB = ∠EBD,∴ AC∥BD. 25. (1)证明:∵ AB⊥CD,∴ ∠FAC+∠ACF = 90°. ∵ ∠ACE = 90°,∴ ∠DCB+∠ACF= 90°,∴ ∠FAC= ∠DCB,在 △ABC 和△CDE 中, ∠BAC= ∠DCE AC=CE ∠ACB= ∠CED { , ∴ △ABC≌ △CDE(ASA); (2)解:∵ △ABC≌△CDE,∴ DE =BC = 10cm,∵ 点 B 是 EC 的中点,∴ EC= 2BC= 20cm,∴ AC=EC= 20cm. 26. D 27. 解:△ABC 如图所示. SSS　 SAS 28. C　 29. B 30. 解:(1)BE　 BF (2) 证明: ∵ CF⊥BE, ∴ ∠BFC = 90°, ∵ ∠BAD = 90°. ∴ ∠BAD = ∠BFC. ∵ AD∥BC,∴ ∠AEB = ∠FBC. 在 △ABE 与 △FCB 中, ∠BAE= ∠CFB ∠AEB= ∠FBC BE=CB { ,∴ △ABE≌△FCB,∴ AE=BF. 31. 3 或15 4 或 9 13 或 5 4 　 【解析】设点 P 在线段 BC 上运动的 时间为 ts,①点 P 由 B 向 C 运动时,BP= 3tcm,CP=(8- 3t)cm. ∵ △BPE≌△CQP,∴ BE=CP = 5cm,∴ 5 = 8-3t, 解得 t= 1,∴ BP=CQ= 3cm,此时,点 Q 的运动速度为 3 ÷1 = 3( cm / s);②点 P 由 B 向 C 运动时,∵ △BPE≌ △CPQ,∴ BP=CP,∴ 3t = 8- 3t,∴ t = 4 3 ,此时,点 Q 的 运动速度为 5÷ 4 3 = 15 4 ( cm / s);③点 P 由 C 向 B 运动 时,CP = (3t - 8) cm. ∵ △BPE≌ △CQP,∴ BE = CP = 5cm. ∴ 5 = 3t-8,解得 t = 13 3 . ∴ BP = CQ = 3cm. 此时,点 Q 的运动速度为 3÷13 3 = 9 13 (cm / s);④点 P 由 C 向 B 运 动时,∵ △BPE≌△CPQ,∴ BP =CP = 4cm,∴ 3t-8 = 4. t = 4. ∵ BE = CQ = 5cm,此时,点 Q 的运动速度为 5÷ 4 = 5 4 (cm / s),综上所述:点 Q 的运动速度为 3cm / s 或15 4 cm / s 或 9 13 cm / s 或 5 4 cm / s. 第十三章追梦综合演练卷 1. C　 2. B　 3. C　 4. B 5. D 　 【解析】 ∵ BE⊥AC,AD⊥BC,∴ ∠AEB = ∠ADC = ∠BDF= 90°,∵ ∠AFE = ∠BFD,∠FBD+∠BDF+∠BFD = 180°, ∠AEB + ∠AFE + ∠DAC = 180°, ∴ ∠DAC = ∠DBF, 在 △BDF 和 △ADC 中, ∠DBF= ∠DAC BD=AD ∠BDF= ∠ADC { , ∴ △BDF≌△ADC(ASA),∴ DF = CD = 3,∵ AF+DF = AD = 5,∴ AF= 2. 故选 D. 6. B　 【解析】∵ AB = 2AC,点 D 是线段 AB 的中点,∴ BD = AD=AC,∵ △ADE 为等腰直角三角形,∴ ∠EAD = ∠EDA = 45°,EA = ED,∵ ∠EAC = ∠EAD + ∠BAC = 45° + 90° = 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 3 页