第十二章 分式和分式方程 追梦基础全练-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（冀教版）

第十二章　 分式和分式方程 考点 1　 分式的概念及基本性质 1. 在 1 4n ,2a -b 5 , a π ,3x 2y 2x , 1 5+a ,m 2 -n2 m-n 中,分式的个数有(　 　 ) A. 1 个　 　 　 　 B. 2 个　 　 　 　 C. 3 个　 　 　 　 D. 4 个 2. (唐山期末)若分式 x x-1 有意义,则 x 的取值应满足(　 　 ) A. x≠1 B. x>1 C. x≠0 D. x<1 3. 下列各式从左到右的变形一定正确的是(　 　 ) A. A B = A·M B·M B. A B = A÷M B÷M C. b 2a = b+1 2a+1 D. 1 x+2 = 3 3x+6 4. 分式 2 x2 -4 与 2 4-2x 的最简公分母为(　 　 ) A. -2(x2 -4) B. x2 -4 C. 2(2-x) D. (x2 -4)(4-2x) 5. 已知 a= 2b≠0,则代数式a 2 -2ab+b2 a2 -ab 的值为(　 　 ) A. 1 B. 1 2 C. 3 2 D. 2 6. 已知 M 表示一个整式,若2x M 是最简分式,则 M 可以是(　 　 ) A. 7 B. 8x C. x2 -2x D. y2 7. 把分式 2x x+y 中的 x、y 都扩大 3 倍,则分式的值(　 　 ) A. 扩大 3 倍 B. 扩大 6 倍 C. 缩小为原来的 1 3 D. 不变 8. 若分式 |m | -2 m+2 的值为 0,则 m 的值为　 　 　 　 . 9. 当 x= 　 　 　 　 时,分式 3 x-2 无意义. 考点 2　 分式的乘除 10. 计算x 2 y · y x ÷( - y x )的结果是(　 　 ) A. x 2 y 　 　 　 　 B. -x 2 y 　 　 　 　 C. x y 　 　 　 　 D. - x y 11. 下列各式中,计算结果正确的有(　 　 ) ①3x x2 · x 3x = 1 x ; ② a ÷ b = b a ; ③ a a2 -1 ÷ a 2 a2 +a = 1 a-1 ; ④ 8a2b2 ÷ ( - 3a 4b2 )= -6a3b;⑤( -a 2 b )·( -b 2 a )= ab. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 12. 教材例 4 变式 某商店有 A、B 两箱水果,A 箱水果重为(a+1) 2 千克,B 箱水果重为(a2 -1)千克(其中 a>1),两箱水果均卖 了 120 元,那么 A 箱水果的单价是 B 箱水果单价的(　 　 ) A. a +1 a-1 B. 1 a+1 C. 1 a-1 D. a -1 a+1 13. 先化简,再求值: (1) a 2 -4 a2 +6a+9 ÷ a-2 2a+6 ,其中 a= -5. (2)a 2 -3a a2 +a ÷ a-3 a2 -1 ·a +1 a-1 ,其中 a= 2 021. 考点 3　 分式的加减 14. 已知 a+b= 2,ab= -5,则 a b + b a 的值为(　 　 ) A. - 2 5 B. -19 5 C. -14 5 D. -24 5 15. 学习情境·错解问题 嘉嘉在做“先化简,再求值:x -3 x+3 -2x+3 2x+6 ,其 中 x= 1. ”时,误将 2x+3 中 2x 前的系数 2 漏掉,那么他的计算 结果与正确结果(　 　 ) A. 相等 B. 相差 1 8 C. 和为 0 D. 积为-1 16. 代数式M÷1 +x 2+x 化简的结果是 x+2,则整式M= 　 　 　 　 . 当 x< -2 时,1 +x 2+x 　 　 　 　 1 2 (填“ >”“ <”或“ = ”). 17. 计算: (1)x 2 +4x x2 +2x - x 2 -4 x2 +4x+4 ;　 　 　 　 　 (2) x -3 x2 -1 - 2 1+x . 18. 已知 x 为整数,且 2 x+3 + 2 3-x +2x+18 x2 -9 为整数,求所有符合条件的 x 的值的和. 考点 4　 分式的混合运算 19. 化简:( x x-3 + 2 3-x )·x -3 x-2 = 　 　 　 　 . 20. 如果实数 x 满足 x2 +2x-3 = 0,那么代数式( x 2 x+1 +2) ÷ 1 x+1 的值 为　 　 　 　 . 21. 先化简,再求值: (x 2 -4x+3 x-3 - 1 3-x )(x 2 -2x+1 x2 -3x+2 - 2 x-2 ),其中 x= 4. ·1· 考点 5　 分式方程及应用 22. 下列方程是分式方程的是(　 　 ) A. x -1 5 + 3 4 = 1 B. 3 π +2x= 3 C. 1 x-1 = 2 D. x +2 x +x+3 3 23. 学习情境·过程纠错 解方程 x +1 3x-2 -1 = 2 -x 2-3x 时: 小燕认为:方程两边都乘以 3x-2,得 x+1-(3x-2)= -(2-x) . 小红认为:方程两边都乘以 2-3x,得-(x+1) -(2-3x)= 2-x. 小杰认为:方程两边都乘以 3x-2,得 x+1-3x-2 = -(2-x) . 以上三位同学的理解,错误的是(　 　 ) A. 小燕 B. 小红 C. 小杰 D. 没有错误,三位同学都正确 24. 若 x= 3 是分式方程a -2 x - 1 x-2 = 0 的解,则 a 的值是(　 　 ) A. 5 B. -5 C. 3 D. -3 25. 生活情境·美的认识 美是一种感觉,当人体下 半身长与身高的比值越接近 0. 618 时,越给人 一种美感. 如图,某女士身高 165 cm,下半身长 x 与身高 l 的比值是 0. 60,为尽可能达到好的 效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为(　 　 ) A. 4 cm B. 6. 5 cm C. 7. 8 cm D. 10 cm 26. 关于 x 的分式方程 k -1 x2 -1 - 1 x-1 = k x+1 无解,则 k= 　 　 　 　 . 27. 生产情境·零件加工 甲、乙两人加工某种零件,若单独工作, 则乙比甲多用 12 天才能完成. 若两人合作,8 天可以完成,设 甲单独完成工作需要 x 天,则可得方程　 　 　 　 　 　 　 　 . 28. 解方程: (1) 2x 2x-5 - 2 2x+5 = 1; (2) 3 x2 -1 - 2 x2 -x = 3 2x2 +2x . 29. 科技情境·北京大兴国际机场 (北京期中)北京大兴国际机场 被誉为“世界新七大奇迹”之首. 某校组织初二年级同学到距 学校 30 公里的北京大兴国际机场进行参观. 同学们乘坐大巴 车前往,张老师因学校有事晚出发了 5 分钟,开私家车沿相同 路线行进,结果和同学们同时到达. 已知私家车的速度是大巴 车速度的 1. 2 倍. 求大巴车的速度是多少? 30. 分式方程 3 x = 2 x-2 的解是(　 　 ) A. x= 2 B. x= -6 C. x= 6 D. x= -2 31. 学习情境·墨汁覆盖 (威海中考)试卷上一个正确的式子( 1 a+b + 1 a-b )÷★= 2 a+b 被小颖同学不小心滴上墨汁. 被墨汁遮住部分 的代数式为(　 　 ) A. a a-b B. a -b a C. a a+b D. 4a a2 -b2 32. 分式方程 x 的方程 3 x-2 +1 = m 4-2x 有增根,则 m 的值是(　 　 ) A. 3 B. -3 C. 6 D. -6 33. 文化情境·数学文化 《四元玉鉴》 是一部成就辉煌的数学名 著,是宋元数学集大成者,也是我国古代水平最高的一部数学 著作. 该著作记载了“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩 人去买几株椽. 每株脚钱三文足,无钱准与一株椽” . 大意是: 现请人代买一批椽,这批椽的总售价为 6 210 文. 如果每株椽 的运费是 3 文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于 一株椽的价钱,试问 6 210 文能买多少株椽? 设 6 210 元购买 椽的数量为 x 株,则符合题意的方程是(　 　 ) A. 6 210 x-1 = 3x B. 3(x-1)= 6 210 C. 3(x-1)= 6 210 x D. 3(x-1)= 6 210 x-1 34. 学习情境·过程纠错 (江西中考) 以下是某同学化简分式 ( x +1 x2 -4 - 1 x+2 ) ÷ 3 x-2 的部分运算过程: 解:原式= [ x +1 (x+2)(x-2) - 1 x+2 ] ×x -2 3 ① = [ x +1 (x+2)(x-2) - x-2 (x+2)(x-2) ] ×x -2 3 ② = x+1-x-2 (x+2)(x-2) ×x-2 3 ③… (1)上面的运算过程中第　 　 　 　 步出现了错误; (2)请你写出完整的解答过程. 35. 社会发展情境·电动汽车 (山西中考)目前,我国已成为全球 最大的电动汽车市场,电动汽车在保障能源安全,改善空气质 量等方面较传统汽车都有明显优势. 经过对某款电动汽车和 某款燃油车的对比调查发现,电动汽车平均每公里的充电费 比燃油车平均每公里的加油费少 0. 6 元. 若充电费和加油费 均为 200 元时,电动汽车可行驶的总路程是燃油车的 4 倍,求 这款电动汽车平均每公里的充电费. 36. 若整数 a 使关于 x 的不等式组 3+x 2 -1≤4 a-2x≤-2 ì î í ï ï ïï 有解且至多有四个 整数解,且使关于 y 的分式方程 2y 2y-4 = 1 2 -a-3 2-y 的解为非负数, 则满足条件的所有 a 的值之和为(　 　 ) A. 63 B. 67 C. 68 D. 72 ·2· 　 答案详解详析　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 第十二章　 分式和分式方程 1. D　 2. A　 3. D　 4. A　 5. B　 6. D　 7. D　 8. 2　 9. 2 10. B 11. C　 【解析】②a÷b= a b ,错误;④8a2b2 ÷(- 3a 4b2 )= 8a2b2· (-4b 2 3a )= -32ab 4 3 ,错误. 故正确的有①③⑤,共 3 个. 故 选 C. 12. D 13. 解: ( 1) 原 式 = (a +2)(a-2) (a+3) 2 · 2(a +3) a-2 = 2(a+2) a+3 = 2a+4 a+3 . 当 a= -5 时,原式= 2 ×(-5)+4 (-5)+3 = 3. (2)原式=a(a -3) a(a+1) ·(a +1)(a-1) a-3 ·a +1 a-1 = a+ 1. 当 a= 2 021 时,原式=a+1 = 2 022. 14. C 　 【解析】 ∵ a + b = 2, ab = - 5, ∴ 原 式 = a 2 +b2 ab = (a+b) 2 -2ab ab = 2 2 -2×(-5) -5 = -14 5 . 故选 C. 15. B　 16. 1+x　 > 17. 解:(1)原式= x(x +4) x(x+2) -(x+2)(x-2) (x+2) 2 = x+4 x+2 -x-2 x+2 = 6 x+2 ; (2)原式= x -3 (x+1)(x-1) - 2(x-1) (x+1)(x-1) = -x-1 (x+1)(x-1) = - 1 x-1 = 1 1-x . 18. 解:原式= 2(x -3) x2 -9 -2(x+3) x2 -9 +2x+18 x2 -9 = 2x+6 x2 -9 = 2 x-3 ,当 x- 3 = 2 或 1 或-2 或-1,即 x = 5 或 4 或 1 或 2 时, 2 x-3 的值是整数,∴ 所有符合条件的 x 的值的和为 5+4+ 2+1 = 12. 19. 1 20. 5　 【解析】原式= x 2 +2x+2 x+1 ·(x+1)= x2 +2x+2. ∵ 实数 x 满足 x2 +2x-3 = 0,∴ x2 +2x= 3,∴ 原式= 3+2 = 5. 21. 解:原式 = ( x 2 -4x+3 x-3 + 1 x-3 ) · [ (x -1) 2 (x-1)(x-2) - 2 x-2 ] = (x-2) 2 x-3 ·(x -1 x-2 - 2 x-2 )= (x -2) 2 x-3 ·x -3 x-2 = x-2. 当 x = 4 时,原式= 4-2 = 2. 22. C　 23. C 24. A　 【解析】∵ x = 3 是分式方程a -2 x - 1 x-2 = 0 的解,∴ a-2 3 - 1 3-2 = 0,∴ a -2 3 = 1,∴ a-2 = 3,a= 5. 故选 A. 25. C 26. 3 或 1 3 或-1　 【解析】方程两边都乘(x+1)(x-1),得 k -1-(x+1)= k(x-1),化简得(k+1) x = 2k- 2,当 k = - 1 时,此一元一次方程无解,即原方程无解. 又∵ 当 x = ±1 时原方程无解,∴ 当 x= 1 时,k= 3,当 x= -1 时,k= 1 3 . 27. 8 x + 8 x+12 = 1 28. 解:(1)方程两边同乘(2x- 5) (2x+ 5),得 2x(2x+ 5) - 2(2x-5)= (2x+5)(2x-5) . 解这个整式方程,得 x= -35 6 . 检验:当 x= -35 6 时,(2x-5)(2x+5)≠0, ∴ 原分式方程的解为 x= -35 6 . (2)方程两边同乘 2x(x+1)(x-1),得 3·2x-2×2(x +1)= 3( x- 1),解这个整式方程,得 x = - 1. 检 验:当 x= -1 时,2x(x+1)(x-1)= 0,∴ x = -1 不 是该方程的解,该分式方程无解. 29. 解:设大巴车的速度为 x 公里 /小时,则私家车的速度为 1. 2x 公里 /小时. 由题意可得30 x - 30 1. 2x = 5 60 ,解这个 方程,得 x = 60. 经检验,x = 60 是原方程的解. 故大 巴车的速度为 60 公里 / 小时. 30. C 31. A　 【解析】( 1 a+b + 1 a-b )÷★ = 2 a+b ,∴ 被墨水遮住部分的 代数式是( 1 a+b + 1 a-b )÷ 2 a+b = a-b+a+b (a+b)(a-b) ·a +b 2 = a a-b . 故选 A. 32. D　 【解析】解分式方程得 x = -m +2 2 . ∵ 分式方程有增 根,∴ x= 2,把 x= 2 代入 x = -m +2 2 中,则 2 = -m +2 2 ,解得 m= -6. 故选 D. 33. C 34. 解:(1)③ (2)原式= [ x +1 (x+2)(x-2) - 1 x+2 ]×x -2 3 = [ x +1 (x+2)(x-2) - x-2 (x+2)(x-2) ]×x -2 3 = x+1-x+2 (x+2)(x-2) ×x-2 3 = 3 (x+2)(x-2) ×x-2 3 = 1 x+2 . 35. 解:设这款电动汽车平均每公里的充电费为 x 元,根据 题意,得200 x = 200 x+0. 6 × 4,解这个方程,得 x = 0. 2,经 检验,x = 0. 2 是原方程的根,即这款电动汽车平均 每公里的充电费为 0. 2 元. 36. A　 【解析】不等式组 3+x 2 -1≤4①, a-2x≤-2②, { 解①得 x≤7,解② 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 1 页 得 x≥a +2 2 ,∴ a +2 2 ≤x≤7. ∵ 至多有四个整数解,∴ 3< a+2 2 ≤7,∴ 4<a≤12. 解关于 y 的分式方程 2y 2y-4 = 1 2 - a-3 2-y 得,y= 2a-8. ∵ 分式方程有解且为非负数,即 2a-8 ≥0 且 2a-8≠2,∴ a≥4 且 a≠5,综上,整数 a 可取:6, 7,8,9,10,11,12,∴ 和为:6+7+8+9+10+11+12 = 63. 故 选 A. 第十二章追梦综合演练卷 1. D　 2. A　 3. D　 4. C　 5. D　 6. B　 7. C 8. C　 【解析】方程两边同乘(x-1),得 m-3 = x-1,解得 x = m-2,由题意得 m-2≥0,解得 m≥2. ∵ 当 x = 1 时,方程 无解,∴ m-2≠1,m≠3,∴ m 的取值范围是 m≥2 且 m≠ 3. 故选 C. 9. D　 【解析】解分式方程得 x=m +1 5 . ∵ 方程有增根,∴ x-1 = 0,即 x= 1,∴ m +1 5 = 1,∴ m= 4. 故选 D. 10. B 　 【解析】 (x -3) 2 x2 -6x+9 - 1 x+1 = (x-3) 2 (x-3) 2 - 1 x+1 = 1 - 1 x+1 = 1 1+ 1 x . ∵ x 为正整数,∴ 0< 1 x ≤1,∴ 1> 1 1+ 1 x ≥ 1 2 ,∴ 表 示 (x-3) 2 x2 +6x+9 - 1 x+1 的值的点落在②. 故选 B. 11. B　 【解析】 a1 = x+ 1,a2 = 1 1-a1 = 1 1-(x+1) = - 1 x ,a3 = 1 1-a2 = 1 1+ 1 x = x x+1 ,a4 = 1 1-a3 = 1 1- x x+1 = x+1,可以得出规 律,三个式子为一个循环,又∵ 2 020÷ 3 = 673……1,∴ a2 020 =a1 = x+1. 故选 B. 12. C　 【解析】∵ 不等式组 3(3-x)-1<x① x+2≥a②{ 的解集为 x>2, 由①得 x>2,由②得 x≥a-2,∴ a-2≤2,∴ a≤4. 关于 y 的分式方程 ay-5 y-3 = 1- 4 3-y 的解为 y= 6 a-1 . ∵ y= 3 是原分 式方程的增根,∴ 6 a-1 ≠3,a≠3. ∵ 关于 y 的分式方程 ay-5 y-3 = 1- 4 3-y 的解为正整数,∴ 6 a-1 为正整数,∴ a = 2, 4,7. ∵ a≤4,∴ a= 2,4. ∴ 满足条件的所有整数 a 的和 为:2+4 = 6. 故选 C. 13. -2 14. -4　 【解析】由题意可得 m-4≠0, |m | -4 = 0,∴ m= -4. 15. a (b+a)(b-a) 　 16. 400 17. 解:(1)原式= - x 5y ·5y 2 4x2 ·2x 2 y = - x 2 ; ( 2 ) 原 式 = 4 (x+2)(x-2) - x+2 (x+2)(x-2) = 4-(x+2) (x+2)(x-2) = 2-x (x-2)(x+2) = - 1 x+2 . 18. 解:(1)方程两边同乘(y2 -1),得 4-(y-3)(y+1) +y2 -1 = 0,解这个整式方程,得 y = -3. 检验:当 y = - 3 时,y2 -1 = 8≠0. ∴ y= -3 是原分式方程的解; (2)方程两边同乘 x2 ,得 2(x+1) 2 -x(x+1) = x2 . 解 这个整式方程,得 x= - 2 3 . 检验:当 x= - 2 3 时,x2 ≠0,∴ x= - 2 3 是原分式方程的解. 19. 解:原式= x 2 -4-x2 +x x(x-2) ·(x -2) 2 x-4 = x-2 x . 由 3x+7>1 得 x> -2,∴ 负整数解为 x = -1. 当 x = -1 时,原式 = -1-2 -1 = 3. 20. 解:由题意得 2 x-1 - 1 1-x = 1. 解这个方程,得 x = 4,经检验 x= 4 是分式方程的解. ∴ x 的值为 4. 21. 解:(1)设原计划每天铺设路面 x 米,则提高工作效率 后每天铺设路面( 1 + 25%) x 米,根据题意得: 400 x + 1200-400 (1+25%)x = 13,解得:x = 80,经检验,x = 80 是所列方程的解,且符合题意. 答:原计划每天 铺设路面 80 米; (2) 根据题意得: 1500 × 400 80 + 1500 × ( 1 + 20%) × 1200-400 (1+25%)×80 = 21900(元) . 答:完成整个工程后,工程队共支付给工人的工 资为 21900 元. 22. 解:将方程 y y2 -9 + 1 3-y = 3 y+3 的两边同乘 y2 - 9,得 y-(y+ 3)= 3(y-3) . 解得 y= 2. 经检验,y= 2 是原分式方程 的解. ∴ k= 2. ∴ x +3 2 = x+2 3 -1. 方程两边同乘 6,得 3 (x+3)= 2(x+2)-6. 解得 x= -11. 23. 解:(1)设每个乙商品的进价为 x 元,则每个甲商品的 进价为(x-2)元,根据题意,得 80 x-2 = 100 x ,解得 x = 10,经检验,x = 10 是原方程的解,10 - 2 = 8 (元) . 故每个甲商品的进价为 8 元,每个乙商品 的进价为 10 元; (2)设购进乙商品 y 个,则购进甲商品(3y-5)个. 由 题意,得 3y-5+y≤95. 解得 y≤25. 故商场最多 购进乙商品 25 个; (3)由(2)知,(12-8)(3y-5)+(15-10)y>380,解得 y>23 9 17 . ∵ y 为整数,y≤25,∴ y = 24 或 25,∴ 共有 2 种方案. 方案一:购进甲商品 67 个,乙商品 24 个; 方案二:购进甲商品 70 个,乙商品 25 个. 24. 解:(1)由分母为 x-1,可设 2x2 +3x+6 = (x-1)(2x+a) + b. ∵ (x-1)(2x+a) +b = 2x2 +ax- 2x-a+b = 2x2 + (a-2)x-a+b,∴ 2x2 +3x+6 = 2x2 +(a-2) x-a+b, ∴ a-2 = 3 -a+b= 6{ , 解 得 a= 5 b= 11{ , ∴ 2x2 +3x+6 x-1 = 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBJ·数学　 第 2 页