第13章 全等三角形 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（华东师大版）

第 13 章追梦综合演练卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分:　 　 　 　 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 下列命题中属于真命题的是(　 　 ) A. 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B. 两腰对应相等的两个等腰三角形全等 C. “如果 a= b,那么 a3 = b3”的逆命题 D. 经过线段中点的直线上的点到线段两端的距离相等 2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 50°,则这个三角形 的底角是(　 　 ) A. 70° B. 20° C. 70°或 20° D. 40°或 140° 3. 文化情境·数学文化 公元前 6 世纪,古希腊哲学家泰勒斯这样 测得轮船到海岸的距离:如图所示,在海边灯塔上进行测量,直 立一根可以原地转动的竖竿(垂直于地面),在其上一点 A 处连 结一个可以绕 A 转动并固定在任意位置上的横杆,先转动横杆 使其转向船的位置 B,再转动竖竿,使横杆对准岸上的一点 C, 然后测量 D,C 的距离,即得 D,B 的距离,哲学家得到的依据 是(　 　 ) A. S. S. S. B. A. S. A. C. A. A. S. D. S. S. A. 第 3 题图 　 　 第 4 题图 　 　 第 5 题图 4. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,过点 E 作 DE⊥AB 交 AC 于 点 D,且 BE=BC,连结 BD,若 AC= 5 cm,则 AD+DE= (　 　 ) A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm 5. 如图,在△ABC 中,AB = AC,△ADE 的顶点 D、E 分别在 BC,AC 上,且∠DAE = 90°,AD = AE. 若∠C+∠BAC = 145°,则∠EDC 的 度数为(　 　 ) A. 17. 5° B. 12. 5° C. 12° D. 10° 6. 下列说法:①若直线 PE 是线段 AB 的垂直平分线,则 EA = EB, PA=PB;②若 PA=PB,EA=EB,则直线 PE 垂直平分线段 AB;③ 若 PA=PB,则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的点,其中正确 的有(　 　 ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 7. 如图,在△ABC 中,AB = AC = 8,DE 垂直平分 AB. 若△BCE 的周 长为 14,则 BC 的长为(　 　 ) A. 22 B. 6 C. 8 D. 不能确定 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,△ABC 的三边 AB、BC、CA 的长分别为 40,50,60,其三条 角平分线交于点 O,则 S△ABO ∶S△BCO ∶S△CAO 等于(　 　 ) A. 1 ∶2 ∶3 B. 2 ∶3 ∶4 C. 3 ∶4 ∶5 D. 4 ∶5 ∶6 9. 如图所示,∠E = ∠F,∠B = ∠C,AE = AF,以下结论:①∠FAN = ∠EAM;②EM = FN;③ △ACN≌ △ABM;④CD = DN. 其中正确 的有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,等腰△ABC 的底边 BC 长为 6,面积是 18,腰 AC 的垂直平 分线 EF 分别交 AC,AB 边于 E,F 点.若点 D 为 BC 边的中点,点 M 为线段 EF 上一动点,则△CDM 周长的最小值为(　 　 ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 如图,已知 AD=AC,BD=BC,O 为 AB 上一点,则图中共有　 　 　 对全等三角形. 第 11 题图 　 第 13 题图 　 第 14 题图 　 第 15 题图 12. 若 a>b> 0,则 a2 >b2,它的逆命题是 　 　 　 　 (选填“真” 或 “假”)命题. 13. 如图,在△ABC 中,按以下步骤作图:①分别以 B、C 为圆心,以 大于 1 2 BC 的长为半径作弧,两弧相交于两点 M、N;②作直线 MN 交 AB 于点 D,连结 CD. 若 CD = AC,∠B = 25°,则∠ACB 的 度数为　 　 　 　 . 14. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,BC = 2 cm,CD⊥AB,在 AC 上取一点 E,使 EC=BC,过点 E 作 EF⊥AC 交 CD 的延长线于 点 F,若 EF= 5 cm,则 AE= 　 　 　 　 cm. 15. 如图,∠A= ∠B= 90°,AB = 60,E,F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点,若点 E 从点 B 出发向点 A 运动,同时点 F 从点 B 出 发向点 D 运动,二者速度之比为 3 ∶7,运动到某时刻同时停止, 在射线 AC 上取一点 G,使△AEG 与△BEF 全等,则 AG 的长为 　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)如图,AB=AD,AC=AE,∠1 = ∠2,求证:BC=DE. 17. (8 分)如图,已知在四边形 ABCD 中,点 E 在 AD 上,∠BCE = ∠ACD= 90°,∠BAC= ∠D,BC=CE. (1)求证:AC=CD; (2)若 AC=AE,求∠DEC 的度数. 18. (9 分)如图,在△ABC 中,DM 垂直平分 AC,垂足为点 D,交 AB 于点 M,EN 垂直平分 BC,垂足为点 E,交 AB 于点 N. (1)若△CMN 的周长为 21 cm,求 AB 的长; (2)若∠MCN= 28°,求∠ACB 的度数. ·31· 19. 中考新趋势·过程学习 (10 分)如图 1,已知直线 l 及直线外一 点 P,求作过点 P 与直线 l 平行的直线. 图 1 　 图 2 　 图 3 (1)小东设计的尺规作图过程如下(作图痕迹如图 2): ①在直线 l 上取一点 A,连结 PA;②分别以 P、A 为圆心,大于 1 2 PA 的长为半径画弧,分别交于 M、N 两点,作直线 MN,交直 线 l 于点 B,交 PA 于点 O;③以 O 为圆心,OB 长为半径画弧, 交直线 MN 于另一点 Q,作直线 PQ. 则 PQ 就是所求作的直线. 你认为小东作的直线 PQ 是否与 l 平行? 请说明理由. (2)小明设计的尺规作图过程如下(部分作图痕迹如图 3): ①以点 P 为圆心,适当长为半径作弧,分别交直线 l 于点 A、B, 连结 PA、PB,并延长 AP 至点 C;②作∠BPC 的平分线 PQ. 则 PQ 所在的直线就是所求作的直线. 请你在图 3 中将小明的尺 规作图补充完整. 20. (10 分)在△ABC 中,AB = AC,AD⊥BC 于点 D,CE⊥AB 于点 E,AE=CE. (1)求证:△AEF≌△CEB; (2)猜想 AF 与 CD 有怎样的数量关系,并予以证明. 21. (10 分)如图,△OAB 与△OCD 都是等边三角形,连结 AC,BD 相交于点 E. (1)求证:①△OAC≌△OBD;②∠AEB= 60°; (2)连结 OE,EO 是否平分∠AED? 请说明理由. 22. (10 分)已知:∠ACB= 90°,AC=BC,AD⊥CM,BE⊥CM,垂足分 别为点 D,E. (1)如图 1: ①线段 CD 和 BE 的数量关系是　 　 　 　 ; ②请写出线段 AD、BE、DE 之间的数量关系并说明理由; (2)如图 2,上述②中结论还成立吗? 如果不成立,请直接写出 线段 AD、BE、DE 之间的数量关系. 图 1 　 　 　 　 图 2 23. 学习情境·动点探究 (10 分)如图,在△ABC 中,AB =BC = AC = 12 cm,现有两点 M,N 分别从点 A,点 B 同时出发,沿三角形的 边顺时针运动,已知点 M 的速度为 1 cm / s,点 N 的速度为 2 cm / s,当点 N 第一次到达点 B 时,M,N 同时停止运动. (1)点 M,N 运动几秒后,M,N 两点重合? (2)点 M,N 运动几秒后,可得到等边△AMN? (3)当点 M,N 在 BC 边上运动时,能否得到以 MN 为底边的等 腰三角形 AMN? 如存在,请求出此时 M,N 运动的时间;如不 存在,请说明理由. ·41· AB=BD,∴ ∠BAD = ∠BDA = 1 2 (180°-∠B),∴ ∠CAD = ∠BAC-∠BAD= x- 1 2 (180°-∠B)= x-90°+ 1 2 ∠B. ∵ AC = CE, ∴ ∠CAE = 1 2 ∠ACB = 1 2 ∠B, ∴ ∠DAE = ∠CAD+∠CAE= x-90°+ 1 2 ∠B+ 1 2 ∠B = x-90°+∠B,∴ ∠DAE = x - 90° + 1 2 ( 180° - x ) = 1 2 x, 即 ∠DAE = 1 2 ∠BAC. (10 分) 23. 证明:(1)①∵ AD⊥MN,BE⊥MN,∴ ∠ADC = ∠BEC = 90°. ∵ ∠ACB= 90°,∴ ∠ACD+∠BCE = 90°. ∵ ∠DAC+ ∠ACD= 90°,∴ ∠DAC = ∠BCE. 又∵ AC = BC,∴ △ADC ≌△CEB; (4 分) ②由①知△ADC≌△CEB,∴ AD = CE,CD = BE,∴ DE = CE+CD=AD+BE; (6 分) (2)∵ BE⊥MN,AD⊥MN,∴ ∠ADC = ∠BEC = 90°,∴ ∠EBC+∠ECB = 90°. ∵ ∠ACB = 90°,∴ ∠ECB+∠ACD = 90°, ∴ ∠ACD = ∠CBE. 又 ∵ AC = BC, ∴ △ADC ≌ △CEB,∴ AD=CE,CD=BE,∴ DE=CE-CD=AD-BE; (10 分) (3)BE=DE+AD. (11 分) 第 13 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B C D D B D C C 1. C　 2. C　 【解析】当三角形为钝角三角形时,底角 = 1 2 ×(90° - 50°)= 20°;当三角形为锐角三角形时,底角 = 1 2 ×[180° -(90°-50°)] = 70°. 故选 C. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【方法点拨】当题中没有说明三角形的情况时要对三角 形进行分类讨论,以免漏解. 3. B 4. C　 【解析】∵ DE⊥AB,∴ ∠BED = 90°. ∵ ∠ACB = 90°, BE=BC,BD =BD,∴ Rt△BCD≌Rt△BED(H. L. ),∴ CD =DE,∴ AD+DE=AD+CD=AC= 5cm. 故选 C. 5. D　 6. D 7. B　 【解析】∵ DE 垂直平分 AB,∴ BE=AE,∴ △BCE 的周 长为 BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC= 14,∵ AC = 8,∴ BC= 6. 故选 B. 8. D 　 【解析】 ∵ 三角形角平分线交于点 O,∴ △ABO, △BCO,△CAO 的边 AB,BC,AC 上的高相等,∴ S△ABO ∶ S△BCO ∶S△CAO = 4 ∶5 ∶6. 故选 D. 9. C　 【解析】∵ ∠E = ∠F,∠B = ∠C,AE = AF,∴ △ABE≌ △ACF,∴ ∠BAE = ∠CAF,即∠EAM+ ∠MAN = ∠MAN+ ∠FAN,∴ ∠EAM = ∠FAN,①正确;又∵ ∠E = ∠F,AE = AF,∴ △AEM≌ △AFN,∴ EM = FN,AM = AN,∠AME = ∠ANF,②正确;∴ ∠AMB= ∠ANC,又∵ ∠CAN = ∠BAM, AN=AM,∴ △ACN≌△ABM,③正确;根据已知条件无法 得出 CD=DN,④不正确. 综上,正确的有 3 个. 故选 C. 10. C　 【解析】连结 AD,MA. ∵ △ABC 是等腰三角形,点 D 是 BC 边的中点,∴ AD⊥BC,∴ S△ ABC = 1 2 BC·AD = 1 2 × 6×AD = 18,解得 AD = 6. ∵ EF 是线段 AC 的垂直平分 线,∴ 点 A 关于直线 EF 的对称点为点 C,MA = MC,∴ MC+DM=MA+DM≥AD,∴ AD 的长为 CM+MD 的最小 值,∴ △CDM 周长的最小值 = (CM+MD) +CD = AD+ 1 2 BC= 6+ 1 2 ×6 = 9. 故选 C. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质与最 短路径问题,熟知等腰三角形三线合一的性质是解题的 关键. 11. 3　 【解析】 ∵ AD = AC,BD = BC,AB = AB,∴ △ABC≌ △ABD,进一步可证△AOC≌△AOD,△BOC≌△BOD, ∴ 共有 3 对全等三角形. 12. 假 13. 105° 　 【解析】根据题意得 MN 垂直平分 BC,则 CD = BD,∴ ∠DCB= ∠B = 25°,∴ ∠CDA = ∠DCB+∠B = 25° +25° = 50°. ∵ CD=AC,∴ ∠A = ∠CDA = 50°,∴ ∠ACB = 180°-∠A-∠B= 105°. 14. 3　 【解析】∵ CD⊥AB,∴ ∠A+∠ACD = 90°. ∵ ∠ACB = 90°,∴ ∠A+ ∠B = 90°,∴ ∠B = ∠ACD. ∵ EF⊥AC,∴ ∠ACB= ∠FEC= 90°. ∵ BC=CE,∴ △ACB≌△FEC(A. S. A. ),∴ AC=EF. ∵ BC= 2cm,EF= 5cm,∴ AE =AC-EC =EF-BC= 5-2 = 3(cm) . 15. 18 或 70 16. 证明: ∵ ∠1 = ∠2, ∴ ∠1 + ∠DAC = ∠2 + ∠DAC, 即 ∠BAC= ∠DAE. (3 分) 在△ABC 和△ADE 中,AB = AD,∠BAC = ∠DAE,AC = AE,∴ △ABC≌△ADE(S. A. S. ),∴ BC=DE. (8 分) 17. (1) 证明:∵ ∠BCE = ∠ACD = 90°,即∠BCA+ ∠ACE = ∠ACE+∠ECD,∴ ∠BCA = ∠ECD. 在△ABC 和△DEC 中,∠BCA= ∠ECD,∠BAC = ∠D,BC = CE,∴ △ABC≌ △DEC(A. A. S. ),∴ AC=CD; (4 分) (2)解:∵ ∠ACD = 90°,AC = CD,∴ ∠CAD = ∠D = 45°. ∵ AE = AC,∴ ∠ACE = ∠AEC = 1 2 × ( 180° - ∠CAD) = 67. 5°,∴ ∠DEC= 180°-∠AEC= 112. 5°. (8 分) 18. 解:(1) ∵ DM 垂直平分 AC,EN 垂直平分 BC,∴ AM = CM,BN=CN. ∴ C△CMN =CM+MN+CN =AM+MN+BN = AB = 21cm; (4 分) (2)∵ AM=CM,BN =CN,∴ ∠A = ∠ACM,∠B = ∠BCN. ∵ ∠A+∠ACM+∠B+∠BCN+∠MCN = 180°,∠MCN = 28°,∴ 2( ∠A+∠B) = 180° - 28° = 152°,∴ ∠A+∠B = 76°,∴ ∠ACB= 180°-76° = 104°. (9 分) 19. 解:(1)平行, (2 分) 理由如下:由题意可知:直线 MN 是线段 PA 的垂直平 分线,∴ OP = OA. ∵ OB = OQ,∠AOB = ∠POQ,∴ △AOB ≌△POQ(S. A. S. ),∴ ∠ABQ=∠PQB,∴ PQ∥l; (6 分) (2)如图所示. (10 分) 20. ( 1) 证明: ∵ AD⊥BC,CE⊥AB, ∴ ∠ADB = ∠BEF = ∠AEF= 90°,∴ ∠B+∠BAD= 90°,∠B+∠BCE= 90°,∴ ∠BAD = ∠BCE. 在 △AEF 和 △CEB 中, ∠AEF = ∠CEB,AE=CE,∠BAD= ∠BCE,∴ △AEF≌△CEB; (5 分) (2)AF= 2CD. 证明:由( 1) 知△AEF≌△CEB,∴ AF = BC. ∵ AB=AC. ∴ △ABC 为等腰三角形. ∵ AD⊥BC,∴ BD=CD= 1 2 BC,即 BC= 2CD. ∵ AF=BC. ∴ AF= 2CD. (10 分) 21. (1)证明:①∵ △OAB 与△OCD 都是等边三角形,∴ OA =OB,OC=OD,∠AOB = ∠COD = 60°,∴ ∠AOB+∠BOC 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBH·数学　 第 6 页 = ∠COD + ∠BOC, 即 ∠AOC = ∠BOD, ∴ △OAC ≌ △OBD(S. A. S. ); (3 分) ②∵ △OAC≌△OBD,∴ ∠OAC = ∠OBD,在△ABE 中, ∠EAB + ∠ABE = ∠EAB + ∠ABO + ∠OBE = ∠OAB + ∠ABO= 120°,∴ ∠AEB= 180°-120° = 60°; (6 分) (2)解:EO 平分∠AED. 理由如下:分别作 OM⊥AC 于 点 M,ON⊥BD 于点 N,∵ △OAC≌△OBD,∴ AC = BD, S△OAC =S△OBD,∴ 1 2 AC·OM = 1 2 BD·ON,∴ OM = ON, 又∵ OM⊥AC,ON⊥BD,∴ EO 平分∠AED. (10 分) 22. 解:(1)①CD=BE (2 分) ②AD=BE+DE, (3 分) 理由如下:∵ AD⊥CM,BE⊥CM, ∴ ∠BEC = ∠ADC = 90°. 又∵ ∠ACB = 90°,∴ ∠ACD+∠BCE = 90°,∠BCE+ ∠B = 90°, ∴ ∠ACD = ∠B. 在 △ACD 和 △CBE 中, ∠ADC = ∠CEB, ∠ACD = ∠B, AC = CB, ∴ △ACD ≌ △CBE(A. A. S. ),∴ AD=CE,CD=BE. ∵ CE =CD+DE = BE+DE,∴ AD=BE+DE; (7 分) (2)②中结论不成立. DE=AD+BE. (10 分) 【解析】∵ AD⊥CM,BE⊥CM,∴ ∠BEC = ∠CDA = 90°. 又∵ ∠ACB = 90°, ∴ ∠ACD + ∠BCE = 90°, ∠BCE + ∠CBE = 90°,∴ ∠ACD = ∠B. 在 △ACD 和 △CBE 中, ∠ADC = ∠CEB, ∠ACD = ∠B, AC = CB, ∴ △ACD ≌ △CBE,∴ AD=CE,CD=BE. ∵ DE=CD+CE =BE+AD,∴ DE=AD+BE. 23. 解:(1)设点 M、N 运动 x 秒后,M、N 两点重合,则 x×1+ 12 = 2x. 解得 x= 12. ∴ 点 M、N 运动 12 秒后,M、N 两点 重合; (3 分) (2)设点 M、N 运动 t 秒后,可得到等边△AMN. 如图①, AM= t×1 = t,AN=AB-BN = 12-2t. ∵ △AMN 是等边三角 形,∴ t= 12-2t. 解得 t = 4. ∴ 当点 M、N 运动 4 秒后,可 得到等边△AMN; (7 分) 图① 　 　 图② (3)当点 M、N 在 BC 边上运动时,可以得到以 MN 为底 边的等腰三角形. 由(1)知 12 秒时 M、N 两点重合,恰好在点 C 处. 如图 ②,假设△AMN 是等腰三角形,则 AN = AM. ∴ ∠AMC = ∠ANB. ∵ AC=AB,∠C = ∠B,∴ △ACM≌△ABN. ∴ CM =BN. 设当点 M,N 在 BC 边上运动,M,N 运动的时间为 y 秒时,△AMN 是以 MN 为底边的等腰三角形. ∴ CM = y-12,BN= 36-2y. ∵ CM=BN,∴ y-12 = 36-2y,解得 y = 16. 故假设成立. ∴ 当点 M,N 在 BC 边上运动时,能得 到以 MN 为底边的等腰△AMN,此时 M,N 运动的时间 为 16 秒. (10 分) 追梦期中达标测试卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D A D B D D D C D 1. C　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法点拨】本题考查了平方根的定义. 解题的关键是掌 握平方根的定义,不要与算术平方根混淆. 注意一个正数 有两个平方根,它们互为相反数;0 的平方根是 0;负数没 有平方根. 2. D　 【解析】A. ( x+y) 2 = x2 +y2 + 2xy;B. (-3) 2 = 3;C. (2x2) 3 = 8x6;D. (-x) 2·x4 = x2·x4 = x6,故选 D. 3. A　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【方法点拨】本题考查了非负数的性质:几个非负数的和 为 0 时,这几个非负数都为 0. 4. D　 5. B　 6. D　 7. D 8. D　 【解析】由题意得,该长方体的体积为 x(3-2x) (5- 2x)= 4x3 -16x2 +15x,故选 D. 9. C 10. D　 【解析】连结 EF,由折叠可知 AE=A′E. ∵ 点 E 为 AD 的中点,∴ A′E= 1 2 AD,则 A 中的结论正确;∵ DE=A′E, EF=EF,∴ Rt△EFA′≌Rt△EFD,∴ A′F =DF. ∵ 点 F 是 CD 的中点,∴ A′F= 1 2 CD = 1 2 AB,∴ BF =BA′+A′F = AB +CF,则 B,C 中的结论正确,故选 D. 11. 11　 【解析】原式= 7-(-4)= 11. 12. 5　 【解析】- 5, 5两点之间的整数点有-2,-1,0,1,2, 共 5 个. 13. ±10 14. 9　 【解析】∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠ABE = ∠CBE. ∵ MN ∥BC,∴ ∠MEB = ∠CBE,∴ ∠ABE = ∠MEB,∴ MB = ME. 同理可得,EN=NC,∴ MN=ME+EN=MB+NC= 9. 15. ∠C　 8　 【解析】∵ ∠BAD = ∠CAE,∴ ∠BAC = ∠DAE. 在△BAC 和△DAE 中,AB = AD,∠BAC = ∠DAE,AC = AE,∴ △ABC≌△ADE,∴ ∠E = ∠C,BC =DE = 12. ∵ CD = 4,∴ BD=BC-DC= 12-4 = 8. 16. 解:(1)原式= 5+4+(-3)-2-1 = 3; (4 分) (2)原式 = 8x6y3 ·( -3xy2 ) ÷12x4y4 = - 24x7y5 ÷ 12x4y4 = -2x3y. (8 分) 17. 解:(1)原式= (3a5b3 +a4b2 )÷a4b2 -(4-a2 ) -(a2 -5ab)= 3a5b3 ÷a4b2 +a4b2 ÷a4b2 -4+a2 -a2 +5ab = 3ab+1-4+5ab = 8ab-3. (4 分) 当 ab= - 1 2 时,原式= 8×(- 1 2 )-3 = -7; (5 分) (2)原式=a2 - 2ab-b2 -(a2 -b2 ) = a2 - 2ab-b2 -a2 +b2 = -2ab, (8 分) 当 a= 1 2 ,b= -1 时,原式= -2× 1 2 ×(-1)= 1. (9 分) 18. 解:(1)②　 y 与-3y 合并同类项计算错误 (4 分) (2)(3x+y) 2 -(x+3y) 2 = (3x+y+x+3y) (3x+y-x-3y) = (4x+4y)(2x-2y)= 8(x+y)(x-y) . (9 分) 19. (1)解:①②如图. (4 分) (2)证明:连结 AF,∵ AB = AC,∠BAC = 120°,∴ ∠B = ∠C= 30°. ∵ EF 是 AC 的垂直平分线, ∴ AF = CF. ∴ ∠CAF= ∠C = 30°,∴ ∠AFD = 60°. ∵ ∠ADF = 90°- 30° = 60°, ∴ △ADF 是等边三角形, ∴ AF = DF = AD. ∵ ∠BAD= ∠BAC-∠DAC = 30°,∴ ∠B = ∠BAD = 30°,∴ AD=BD,∴ BD=DF=FC,∴ BF= 2CF. (9 分) 20. 证明:(1) ∵ CD⊥AB,∠ABC = 45°,∴ △BCD 是等腰直 角三角形,∴ BD =CD. ∵ ∠DBF = 90°-∠BFD,∠DCA = 90°- ∠EFC,∠BFD = ∠EFC,∴ ∠DBF = ∠DCA. 又∵ ∠BDF= ∠CDA = 90°,BD = CD,∴ △ACD≌△FBD( A. S. A. ); (5 分) (2)BF= 2AE. (6 分) 理由如下: 在 Rt △BEA 和 Rt△BEC 中, ∵ BE 平分 ∠ABC,∴ ∠ABE= ∠CBE. 又∵ BE =BE,∠BEA = ∠BEC = 90°,∴ △BEA≌△BEC(A. S. A. ),∴ CE = AE = 1 2 AC. 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBH·数学　 第 7 页