第13章 全等三角形 追梦基础训练卷(二)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（华东师大版）

第 13 章追梦基础训练卷(二) 等腰三角形、尺规作图、逆命题与逆定理 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分:　 　 　 　 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 下列命题的逆命题是真命题的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 直角都相等 B. 全等三角形的面积相等 C. 若 ab<0,则 a>0,b<0 D. π 是无理数 2. 【易错题】若等腰三角形中有一个角等于 70°,则这个等腰三角 形顶角的度数是(　 　 ) A. 70° B. 40° C. 70°或 40° D. 70°或 55° 3. 学习情境·过程学习 如图,已知∠A 和一条长度为 a 的线段,作 一个以∠A 为底角,a 为腰长的等腰三角形的方法是:①连结 FG;②以点 F 为圆心,a 的长为半径画弧,交射线 DM 于点 G;③ 在∠A 的两边上截取 AB = a,AC = a;④画射线 DM,以点 D 为圆 心,a 的长为半径画弧,在射线 DM 上截取 DE,并以点 E 为圆 心,BC 的长为半径画弧,两弧交于点 F. 以上画法正确的顺序 是(　 　 ) A. ③④①② B. ④③②① C. ③④②① D. ④③①② 第 3 题图 　 第 4 题图 　 第 6 题图 4. 在△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,∠BAD = 35°,则∠C 的度 数为(　 　 ) A. 35° B. 45° C. 55° D. 60° 5. 三角形内有一点到三角形三个顶点的距离相等, 这一点 是(　 　 ) A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条角平分线的交点 C. 三角形三条高线的交点 D. 三角形三边垂直平分线的交点 6. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A = 30°,AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D,则∠CBD 的度数为(　 　 ) A. 30° B. 45° C. 50° D. 75° 7. 等腰三角形的一条边长为 6,另一条边长为 13,则它的周 长为(　 　 ) A. 25 B. 32 C. 25 或 32 D. 19 8. 如图,在△ABC 中,AB = AC,∠A = 36°,BD,CE 分别是∠ABC, ∠BCD 的平分线,则图中的等腰三角形有(　 　 ) A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个 第 8 题图 　 　 第 9 题图 　 　 第 10 题图 9. 如图,在△ABC 中,AB = AC,点 D 在 AC 上,且 BD = BC = AD,则 ∠A 等于(　 　 ) A. 30° B. 40° C. 36° D. 45° 10. 建筑文化情境·筼筜书院 筼筜书院是厦门第一座现代书院,位 于国家重点公园———白鹭洲公园东区. 筼筜是竹之雅称,书院 以竹命名,自此鹭岛筼筜湖畔于竹林环水,桃李缤纷之中,多了 一处可供商量旧学,培养新知之地. 如图,“筼筜书院”的顶端 可看作等腰三角形 ABC,AB=AC,D 是边 BC 上的一点. 下列条 件不能说明 AD 是△ABC 的角平分线的是(　 　 ) A. BD=CD B. ∠ADB= ∠ADC C. S△ABD =S△ACD D. BC= 2AD 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 已知命题:“如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积 相等. ”写出它的逆命题:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ,该命题是　 　 　 　 (选填“真”或“假”)命题. 12. 如图,在△ABC 中,AB = AC,且 D 为 BC 上一点,CD = AD,AB = BD,则∠B 的度数为　 　 　 　 . 第 12 题图 　 　 　 第 13 题图 13. 如图,△ABC 是等边三角形,BD 平分∠ABC,点 E 在 BC 的延长 线上,且 CE= 1,∠E= 30°,则 BC= 　 　 　 　 . 14. 如图,∠AOB= 60°,OC 平分∠AOB,如果射线 OA 上的点 E 满足 △OCE 是等腰三角形,那么∠OEC 的度数为　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 　 第 15 题图 15. 如图,在△ABC 中,D 是 AB 的中点,DE⊥AB,∠ACE+∠BCE = 180°,EF⊥AC 交 AC 于 F,AC= 12,BC= 8,则 AF= 　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)如图,AB∥CD,∠1 = ∠2,求证:AB=AC. 证明:∵ AB∥CD(　 　 　 　 　 　 　 　 ), ∴ ∠B= ∠2(　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ) . 又∵ ∠1 = ∠2(　 　 　 　 　 　 　 　 ), ∴ ∠B= ∠1(　 　 　 　 　 　 　 　 ), ∴ AB=AC(　 　 　 　 　 　 　 　 ) . 17. 中考新趋势·尺规作图 (8 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,AD 是高,AM 是△ABC 外角∠CAE 的平分线. (1)用尺规作图方法,作∠ADC 的平分线 DN;(保留作图痕迹, 不写作法和证明) (2)设 DN 与 AM 交于点 F,判断△ADF 的形状,并说明理由. 18. (9 分)如图,D 是△ABC 的 BC 边的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂 足分别为 E,F,且 DE=DF,求证:△ABC 是等腰三角形. ·11· 19. (9 分)在△ABC 中,AD 平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为点 D,过点 D 作 DE∥AC,交 AB 于点 E,若 AB= 5,求线段 DE 的长. 20. (10 分)【教材呈现】下图是华师版数学八年级上册教材的部 分内容,我们都知道演绎推理的方法是研究图形属性的重要方 法,请你写出完整的证明过程. 13. 5. 2　 线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是线段的对 称轴,如图 1,直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线,P 是 MN 上任一 点,连结 PA、PB,将线段 AB 沿直线 MN 对折,我们发现 PA 与 PB 完全重合. 由此即有:线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分 线上的点到线段两端的距离相等. 请你结合图形把已知和求证补充完整,并写出证明过程. 已知:如图 1,MN⊥AB,垂足为点 C,　 　 　 　 ,点 P 是直线 MN 上的任意一点. 求证:　 　 　 　 　 　 ; 证明: 图 1 【学以致用】如图 2,CD 是线段 AB 的垂直平分线,则∠CAD 与 ∠CBD 有何关系? 请说明理由. 图 2 21. (10 分)如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,分别以 AB,AC 为 直角边向外作等腰直角三角形 ABE,ACF,作 EP⊥AD,FQ⊥ AD,分别交 DA 的延长线于点 P,Q. (1)猜想 EP 与 FQ 的数量关系,并证明; (2)连结 EF,交 DA 延长线于点 M,求证:EM=FM. 22. (10 分) (1)如图,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AB =AC,点 D 在 BC 上,且 BD=AB,点 E 在 BC 的延长线上,且 CE = AC,试求∠DAE 的 度数; (2)如果把第( 1) 题中“ ∠BAC = 90°” 的条件改为“ ∠BAC > 90°”,其余条件不变,那么∠DAE 与∠BAC 有怎样的数量关 系? 请予以证明. 23. (11 分)如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,AC=BC,直线 MN 经过 点 C,且 AD⊥MN 于点 D,BE⊥MN 于点 E. (1)如图 1,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE; (2)如图 2,求证:DE=AD-BE; (3)如图 3,直接写出线段 DE,BE,AD 之间的数量关系. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 ·21· 以(x-2) 2 +1≥1. 所以最小值为 1. (11 分) 第 13 章追梦基础训练卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A A A B D D A D A 1. B 2. A　 【解析】A. 若 | a | = | b | ,则 a= b 或 a= -b. 故选 A. 3. A　 4. A　 5. B 6. D　 【解析】∵ BE⊥AD,CF⊥AD,∴ ∠AEB= ∠CFD= 90°, 选项 A 可利用 A. A. S. 证明 Rt△ABE≌Rt△DCF;选项 B 可得 ∠A = ∠D, 可 利 用 A. A. S. 证 明 Rt △ABE ≌ Rt △DCF;选项 C 可利用 H. L. 证明 Rt△ABE≌Rt△DCF; 选项 D 不能证明 Rt△ABE≌Rt△DCF. 故选 D. 7. D 　 【解析】 ∵ AD = CB,AB = CD,AC = AC,∴ △ADC≌ △CBA. 同 理 △ABD ≌ △CDB. ∵ △ADC ≌ △CBA, ∴ ∠DAO= ∠BCO. ∵ △ABD≌△CDB,∴ ∠ADO = ∠CBO. 又∵ AD = CB,∴ △ADO≌△CBO. 同理△DOC≌△BOA, ∴ 图中全等三角形有 4 对,故选 D. 8. A 　 【解析】 ∵ ∠DBC = 150°,∠ABD = 40°,∴ ∠ABC = 110°. ∵ △ABC≌ △DBE,∴ ∠DBE = ∠ABC = 110°,∴ ∠ABE= ∠DBE-∠ABD= 70°. 故选 A. 9. D　 【解析】∵ 在△ABC 中,∠A ∶∠ABC ∶∠ACB = 3 ∶5 ∶10, ∴ ∠BCA = 100°,∠BCN = 80°. 又∵ △MNC≌△ABC,∴ ∠MCN = ∠ACB = 100°, ∴ ∠BCM = 20°, ∴ ∠BCM ∶ ∠BCN= 20° ∶80° = 1 ∶4. 故选 D. 10. A　 【解析】在△ABE 和△DCE 中,∠A = ∠D,∠AEB = ∠DEC,AB= DC,∴ △ABE≌△DCE(A. A. S. ),∴ AE = DE,BE=CE,故①正确,③正确;∵ EF⊥BC 于点 F,∴ ∠BFE= ∠CFE = 90°∵ BE = CE,EF = EF,∴ △BEF≌ △CEF,∴ BF = CF,故 ② 正确;当 ∠ACB = 30° 时,则 ∠ABC= 60°,∠EBC = ∠ECB = 30°,∴ ∠ABE = ∠ABC- ∠EBC= 30°,∴ ∠ABE= 30°的条件是∠ACB = 30°,显然 与已知条件不符,故④错误. 故选 A. 11. 如果两个三角形全等,那么它们的对应角相等 12. AB=DE(答案不唯一)　 13. 2 14. 10　 【解析】在△ABE 和△CDE 中,∠ABE = ∠CDE,BE =DE,∠AEB= ∠CED,∴ △ABE≌△CDE(A. S. A. ),∴ AB=CD= 10m. 15. 5 或 2. 5 或 6　 【解析】当 P 在 AC 上,Q 在 BC 上时,因 为∠ACB= 90°,所以∠PCE+ ∠QCF = 90°. 因为 PE⊥ l 于 E,QF⊥ l 于 F,所以∠PEC = ∠CFQ = 90°,∠EPC+ ∠PCE= 90°,所以∠EPC = ∠QCF,若△PCE≌△CQF, 则 PC=CQ,所以 6-t= 8-3t,解得 t= 1,所以 CQ= 8-3t = 5;当 P 在 AC 上,Q 在 AC 上时,即 P、Q 重合时,则 CQ= PC,由题意得,6-t= 3t-8,解得 t= 3. 5,所以 CQ = 3t-8 = 2. 5;当 Q 在 AC 上,且点 Q 与 A 重合,点 P 运动到 BC 上且 PC= 6 时,△CQF≌△PCE,所以 CQ=AC= 6. 综上, 当△PEC 与△QFC 全等时,满足条件的 CQ 的长为 5 或 2. 5 或 6. 16. 解:该命题为假命题, (2 分) 添加条件:BE∥DF(添加条件不唯一) . (4 分) ∵ BE∥DF,∴ ∠EBD = ∠FDN. 又∵ ∠1 = ∠2,∴ ∠ABD = ∠CDN,∴ AB∥CD. (8 分) 17. 证明: ∵ AF = CD, ∴ AC = DF. ∵ BC∥EF, ∴ ∠ACB = ∠DFE. (3 分) 在△ABC 和 △DEF 中, ∠A = ∠D, AC = DF, ∠ACB = ∠DFE,∴ △ABC≌△DEF(A. S. A. ),∴ AB=DE. (8 分) 18. (1)解:由①②得到③;由①③得到②;由②③得到①. (2 分) (2) 证明:∵ AB∥CD,∴ ∠B = ∠CDF. ∵ ∠B = ∠C,∴ ∠C= ∠CDF,∴ CE∥BF,∴ ∠E = ∠F,∴ 由①②得到③ 为真命题;∵ AB∥CD,∴ ∠B = ∠CDF. ∵ ∠E = ∠F,∴ CE∥BF,∴ ∠C= ∠CDF,∴ ∠B = ∠C,∴ 由①③得到② 为真命题;∵ ∠E = ∠F,∴ CE∥BF,∴ ∠C = ∠CDF. ∵ ∠B= ∠C,∴ ∠B= ∠CDF,∴ AB∥CD,∴ 由②③得到① 为真命题. (8 分) 19. (1)证明:∵ ∠D= ∠C = 90°,∴ 在 Rt△ACB 和 Rt△BDA 中,BC=AD,AB=BA,∴ Rt△ACB≌Rt△BDA(H. L. ) . (5 分) (2) 解:由 ( 1) 知 Rt △ACB≌ Rt △BDA, ∠ABC = 35°, ∴ ∠BAD= ∠ABC= 35°, 在 Rt△ACB 中, ∠CAB = 55°, ∴ ∠CAO= ∠CAB-∠BAD= 20°. (10 分) 20. 解:(1)①　 S. S. S. (2 分) 在△ABC 和△DEF 中 AC=DF AB=DE BC=EF { ,所以 △ABC≌ △DEF (S. S. S. );(答案不唯一) (6 分) (2)因为△ABC≌△DEF,所以∠A = ∠EDF,所以 AB∥ DE. (10 分) 21. 解:(1) △OCG 与△BOF 全等. 理由如下:由题意可知 ∠CGO= ∠BFO = 90°,OB = OC. 因为∠BOC = 90°,所以 ∠COG+ ∠BOF = ∠BOF + ∠OBF = 90°. 所以∠COG = ∠OBF,在△CGO 与△OFB 中, ∠CGO= ∠OFB ∠COG= ∠OBF OC=BO { ,所以 △CGO≌△OFB(A. A. S. ); (6 分) (2)因为△CGO≌△OFB,所以 CG = OF,OG = BF,所以 FG=OF-OG=CG-BF= 2. 2-1. 8 = 0. 4(m) . 因为妈妈在 距地面 1. 2m 高的 B 处,所以 1. 2+0. 4 = 1. 6( m),即爸 爸是在距离地面 1. 6m 的地方接住小丽的. (10 分) 22. 解:(1)因为 OB⊥OC,所以∠BOD+∠COE = 90°. 因为 BD⊥OA,所以∠ODB = 90°,所以∠BOD+∠B = 90°,所 以∠COE= ∠B; (5 分) (2)因为 BD⊥OA,CE⊥OA,所以∠CEO=∠ODB= 90°.由题 意,得OC=OB=OA=17 cm,由(1)得:∠COE=∠B,在△COE 和△OBD 中, ∠CEO=∠ODB ∠COE=∠B OC=BO { ,所以△COE≌△OBD(A. A. S. ),所以OE=BD=8 cm,所以 AE=OA-OE=17-8=9(cm). (10 分) 23. (1)证明:由题可知∠A+∠ACD = 90°,∠BCD+∠ACD = 90°,∴ ∠A= ∠BCD; (4 分) (2)解:当点 E 运动 5s 或 2s 时 CF=AB. (5 分) 理由如下: ∵ ∠A = ∠BCD, ∠BCD = ∠ECF, ∴ ∠A = ∠ECF. 又∵ CF = AB,∠FEC = ∠ACB = 90°,∴ △ACB≌ △CEF,∴ CE=AC= 7cm. (7 分) 当 E 点沿射线 BC 移动时,BE=BC+CE= 10(cm),t1 = 10 ÷2 = 5(s), (9 分) 当 E 点沿射线 CB 移动时,BE′ = CE′ - BC = 7 - 3 = 4 (cm),t2 = 4÷2 = 2( s) . 故当点 E 运动 5s 或 2s 时 CF = AB. (11 分) 第 13 章追梦基础训练卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C C C D B B A C D 1. C　 2. C　 3. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查了尺规作图和等腰三角形的作图, 解决本题的关键是理解等腰三角形的作图过程,根据尺 规作等腰三角形的过程逐项判断即可求解. 4. C　 【解析】由等腰三角形的三线合一得∠BAC = 2∠BAD = 70°,∵ AB= AC,∴ ∠B = ∠C,∴ ∠C = 1 2 ×(180°- 70°) 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBH·数学　 第 4 页 = 55°. 故选 C. 5. D 6. B　 【解析】∵ AB=AC,∠A= 30°,∴ ∠C = ∠ABC = 75°. ∵ AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D,∴ DA = DB,∴ ∠A = ∠ABD= 30°,∴ ∠CBD= ∠ABC-∠ABD= 45°. 故选 B. 7. B　 【解析】当腰长为 6 时,6+6<13,不符合三角形三边 关系;当腰长为 13 时,6+13>13,符合三角形三边关系, 故周长为 13+13+6 = 32. 故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】当等腰三角形的腰或底边没有明确说明时 要进行分情况讨论,并且要验证每种情况下三边长是否 符合三角形的三边关系,以免出现错解. 8. A　 【解析】∵ ∠A = 36°,AB = AC,∴ △ABC 是等腰三角 形,∠ABC= ∠BCD= 1 2 (180°-∠A)= 72°. ∵ BD、CE 分 别是 ∠ABC, ∠BCD 的 平 分 线, ∴ ∠EBC = ∠ABE = 1 2 ∠ABC= 36°, ∠ECB = ∠ECA = 1 2 ∠BCD = 36°, ∴ ∠EBC= ∠ECB,∴ △BCE 是等腰三角形;∵ ∠ABD = ∠A = 36°,∴ △ABD 是等腰三角形;同理△CDE 和△BCD 是 等腰三角形,综上,图中的等腰三角形有 5 个. 故选 A. 9. C　 【解析】设∠A = x,∵ AD = BD,∴ ∠ABD = ∠A = x, ∠BDC= 2x. ∵ BD = BC,∴ ∠BCD = ∠BDC = 2x. ∵ AB = AC,∴ ∠BCD= ∠ABC= 2x,∴ ∠DBC = x. ∵ 在△BDC 中, ∠DBC+∠BDC+∠BCD= 180°,即 x+2x+2x = 180°,∴ x = 36°,即∠A= 36°,故选 C. 10. D　 【解析】A. ∵ △ABC 是等腰三角形,AB = AC,∴ BD = CD,∴ AD 是 △ABC 的角平分线,不符合题意;B. ∵ ∠ADB+∠ADC= 180°,∴ ∠ADB= ∠ADC= 90°,即 AD 是 △ABC 的高线. ∵ △ABC 是等腰三角形,AB = AC,∴ AD 是△ABC 的角平分线,不符合题意;C. ∵ S△ABD = S△ACD, ∴ BD= CD,∴ AD 是△ABC 的角平分线,不符合题意; D. 若 BC = 2AD,不能说明 AD 是△ABC 的角平分线,符 合题意. 故选 D. 11. 如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等 　 假 12. 36°　 【解析】∵ AB=AC,∴ ∠B = ∠C. ∵ CD = AD,∴ ∠C = ∠DAC,∠BDA = ∠C + ∠DAC = 2∠C. ∵ AB = BD,∴ ∠ADB = ∠BAD = 2 ∠B. 又 ∵ ∠B + ∠BAD + ∠BDA = 180°,即 5∠B= 180°,∴ ∠B= 36°. 13. 2　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ AC=BC,∠ACB = 60°. ∵ ∠E = 30°,∴ ∠CDE = 30°,∴ CD = CE = 1. ∵ BD 平分∠ABC,∴ BD 垂直平分 AC,∴ AC= 2CD = 2,∴ BC = AC= 2. 14. 30° 或 120° 或 75° 　 【解析】 ∵ ∠AOB = 60°,OC 平分 ∠AOB,∴ ∠COA= 30°,△OCE 为等腰三角形有三种情 况:①当 OE 为底边时,∠OEC = ∠COA = 30°;②当 OC 为底边时,∠OEC = 180° -∠COE- ∠OCE = 120°;③当 CE 为底边时,∠OEC = ∠OCE = 1 2 ×(180°-30°)= 75°. 综上所述,△OCE 为等腰三角形时,∠OEC 的度数为 30°或 120°或 75°. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【方法点拨】本题考查了角、等腰三角形的性质,三角形的 内角和定理的应用,以及分类讨论思想. 15. 10　 【解析】连结 AE,BE,过点 E 作 EG⊥BC 交 BC 延长 线于点 G. ∵ D 是 AB 的中点,DE⊥AB,∴ DE 垂直平分 AB,∴ AE=BE. ∵ ∠ACE+∠BCE = 180°,∠ECG+∠BCE = 180°,∴ ∠ACE= ∠ECG. 又∵ EF⊥AC,EG⊥BC,∴ EF =EG. ∵ EC=EC,∴ Rt△EFC≌Rt△EGC,∴ CF =CG. 在 Rt△AEF 和 Rt△BEG 中,AE = BE,EF = EG,∴ Rt△AEF ≌Rt△BEG,∴ AF=BG,设 CF=CG = x,则 AF = AC-CF = 12-x,BG=BC+CG= 8+x,∴ 12-x = 8+x,解得 x = 2,∴ AF = 12-2 = 10. 16. 证明:已知　 两直线平行,同位角相等　 已知 等量代换　 等角对等边 (1+2+1+2+2 = 8 分) 17. 解:(1)如图所示: (3 分) (2)△ADF 是等腰直角三角形. (4 分) 理由如下: ∵ AB = AC, AD 是高, ∴ ∠BAD = ∠CAD = 1 2 ∠BAC. ∵ AD ⊥ BC, ∴ ∠ADC = 90°. ∵ AM 平 分 ∠CAE,∴ ∠CAF = ∠EAF = 1 2 ∠CAE. ∵ ∠BAC+∠CAE = 180°,∴ ∠DAF = ∠DAC+∠CAF = 90°,∴ △ADF 为直 角三角形. (6 分) ∵ DF 平分∠ADC,∴ ∠ADF = 1 2 ∠ADC = 45°,∴ ∠AFD = ∠ADF= 45°,∴ △ADF 是等腰直角三角形. (8 分) 18. 证明:∵ DE⊥AC,DF⊥AB,∴ ∠BFD= ∠CED = 90°. ∵ D 是 BC 的中点,∴ BD=CD, (4 分) 在 Rt △BDF 和 Rt △CDE 中, BD = CD, DF = DE, ∴ Rt△BDF≌Rt△CDE( H. L. ),∴ ∠B = ∠C,∴ AB = AC, ∴ △ABC 是等腰三角形. (9 分) 19. 解:∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD = ∠CAD. ∵ DE∥AC,∴ ∠CAD= ∠ADE,∴ ∠BAD= ∠ADE,∴ AE=DE. (4 分) ∵ AD⊥DB, ∴ ∠ADB = 90°, ∴ ∠EAD + ∠ABD = 90°, ∠ADE+∠BDE = ∠ADB = 90°,∴ ∠ABD = ∠BDE,∴ BE =DE. ∵ AB= 5,∴ DE=BE=AE= 1 2 AB= 2. 5. (9 分) 20. 解:【教材呈现】AC=BC　 PA=PB 证明:∵ MN⊥AB,∴ ∠PCA = ∠PCB = 90°,在△PCA 和 △PCB 中, AC=BC ∠PCA= ∠PCB PC=PC { , ∴ △PCA≌ △PCB ( S. A. S. ),∴ PA=PB; (5 分) 【学以致用】∠CAD = ∠CBD,理由:∵ CD 是线段 AB 的 垂直平分线, ∴ AC = BC,AD = BD, ∴ ∠CAB = ∠CBA, ∠DAB= ∠DBA,∴ ∠CAB- ∠DAB = ∠CBA- ∠DBA,即 ∠CAD= ∠CBD. (10 分) 21. 证明:(1)EP=FQ. (1 分) ∵ AD⊥BC,EP⊥AD,∴ ∠ADB = ∠EPA = 90°,∠ABD+ ∠BAD= 90°. ∵ ∠EAB = 90°,∴ ∠EAP+∠BAD = 90°,∴ ∠ABD = ∠EAP. 又∵ AB = AE,∴ △ABD≌△EAP,∴ EP =AD,同理可得△ACD≌△FAQ,∴ FQ=AD,∴ EP=FQ; (5 分) (2)∵ EP⊥AD,FQ⊥AD,∴ ∠EPM = ∠FQM = 90°. 又∵ ∠EMP= ∠FMQ,EP = FQ,∴ △EPM≌△FQM,∴ EM = FM. (10 分) 22. (1)解:∵ ∠BAC= 90°,AB=AC,∴ ∠B = ∠ACB = 45°. ∵ AB=BD,AC=CE,∴ ∠BAD= ∠BDA= 1 2 ×(180°-45°)= 67. 5°, ∠E = ∠CAE = 1 2 ∠ACB = 22. 5°, ∴ ∠DAE = ∠BDA-∠E= 45°; (4 分) (2)∠DAE= 1 2 ∠BAC. (5 分) 证明:设∠BAC = x,∵ AB = AC,∴ ∠B = 1 2 (180°-x) . ∵ 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBH·数学　 第 5 页 AB=BD,∴ ∠BAD = ∠BDA = 1 2 (180°-∠B),∴ ∠CAD = ∠BAC-∠BAD= x- 1 2 (180°-∠B)= x-90°+ 1 2 ∠B. ∵ AC = CE, ∴ ∠CAE = 1 2 ∠ACB = 1 2 ∠B, ∴ ∠DAE = ∠CAD+∠CAE= x-90°+ 1 2 ∠B+ 1 2 ∠B = x-90°+∠B,∴ ∠DAE = x - 90° + 1 2 ( 180° - x ) = 1 2 x, 即 ∠DAE = 1 2 ∠BAC. (10 分) 23. 证明:(1)①∵ AD⊥MN,BE⊥MN,∴ ∠ADC = ∠BEC = 90°. ∵ ∠ACB= 90°,∴ ∠ACD+∠BCE = 90°. ∵ ∠DAC+ ∠ACD= 90°,∴ ∠DAC = ∠BCE. 又∵ AC = BC,∴ △ADC ≌△CEB; (4 分) ②由①知△ADC≌△CEB,∴ AD = CE,CD = BE,∴ DE = CE+CD=AD+BE; (6 分) (2)∵ BE⊥MN,AD⊥MN,∴ ∠ADC = ∠BEC = 90°,∴ ∠EBC+∠ECB = 90°. ∵ ∠ACB = 90°,∴ ∠ECB+∠ACD = 90°, ∴ ∠ACD = ∠CBE. 又 ∵ AC = BC, ∴ △ADC ≌ △CEB,∴ AD=CE,CD=BE,∴ DE=CE-CD=AD-BE; (10 分) (3)BE=DE+AD. (11 分) 第 13 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B C D D B D C C 1. C　 2. C　 【解析】当三角形为钝角三角形时,底角 = 1 2 ×(90° - 50°)= 20°;当三角形为锐角三角形时,底角 = 1 2 ×[180° -(90°-50°)] = 70°. 故选 C. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【方法点拨】当题中没有说明三角形的情况时要对三角 形进行分类讨论,以免漏解. 3. B 4. C　 【解析】∵ DE⊥AB,∴ ∠BED = 90°. ∵ ∠ACB = 90°, BE=BC,BD =BD,∴ Rt△BCD≌Rt△BED(H. L. ),∴ CD =DE,∴ AD+DE=AD+CD=AC= 5cm. 故选 C. 5. D　 6. D 7. B　 【解析】∵ DE 垂直平分 AB,∴ BE=AE,∴ △BCE 的周 长为 BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC= 14,∵ AC = 8,∴ BC= 6. 故选 B. 8. D 　 【解析】 ∵ 三角形角平分线交于点 O,∴ △ABO, △BCO,△CAO 的边 AB,BC,AC 上的高相等,∴ S△ABO ∶ S△BCO ∶S△CAO = 4 ∶5 ∶6. 故选 D. 9. C　 【解析】∵ ∠E = ∠F,∠B = ∠C,AE = AF,∴ △ABE≌ △ACF,∴ ∠BAE = ∠CAF,即∠EAM+ ∠MAN = ∠MAN+ ∠FAN,∴ ∠EAM = ∠FAN,①正确;又∵ ∠E = ∠F,AE = AF,∴ △AEM≌ △AFN,∴ EM = FN,AM = AN,∠AME = ∠ANF,②正确;∴ ∠AMB= ∠ANC,又∵ ∠CAN = ∠BAM, AN=AM,∴ △ACN≌△ABM,③正确;根据已知条件无法 得出 CD=DN,④不正确. 综上,正确的有 3 个. 故选 C. 10. C　 【解析】连结 AD,MA. ∵ △ABC 是等腰三角形,点 D 是 BC 边的中点,∴ AD⊥BC,∴ S△ ABC = 1 2 BC·AD = 1 2 × 6×AD = 18,解得 AD = 6. ∵ EF 是线段 AC 的垂直平分 线,∴ 点 A 关于直线 EF 的对称点为点 C,MA = MC,∴ MC+DM=MA+DM≥AD,∴ AD 的长为 CM+MD 的最小 值,∴ △CDM 周长的最小值 = (CM+MD) +CD = AD+ 1 2 BC= 6+ 1 2 ×6 = 9. 故选 C. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质与最 短路径问题,熟知等腰三角形三线合一的性质是解题的 关键. 11. 3　 【解析】 ∵ AD = AC,BD = BC,AB = AB,∴ △ABC≌ △ABD,进一步可证△AOC≌△AOD,△BOC≌△BOD, ∴ 共有 3 对全等三角形. 12. 假 13. 105° 　 【解析】根据题意得 MN 垂直平分 BC,则 CD = BD,∴ ∠DCB= ∠B = 25°,∴ ∠CDA = ∠DCB+∠B = 25° +25° = 50°. ∵ CD=AC,∴ ∠A = ∠CDA = 50°,∴ ∠ACB = 180°-∠A-∠B= 105°. 14. 3　 【解析】∵ CD⊥AB,∴ ∠A+∠ACD = 90°. ∵ ∠ACB = 90°,∴ ∠A+ ∠B = 90°,∴ ∠B = ∠ACD. ∵ EF⊥AC,∴ ∠ACB= ∠FEC= 90°. ∵ BC=CE,∴ △ACB≌△FEC(A. S. A. ),∴ AC=EF. ∵ BC= 2cm,EF= 5cm,∴ AE =AC-EC =EF-BC= 5-2 = 3(cm) . 15. 18 或 70 16. 证明: ∵ ∠1 = ∠2, ∴ ∠1 + ∠DAC = ∠2 + ∠DAC, 即 ∠BAC= ∠DAE. (3 分) 在△ABC 和△ADE 中,AB = AD,∠BAC = ∠DAE,AC = AE,∴ △ABC≌△ADE(S. A. S. ),∴ BC=DE. (8 分) 17. (1) 证明:∵ ∠BCE = ∠ACD = 90°,即∠BCA+ ∠ACE = ∠ACE+∠ECD,∴ ∠BCA = ∠ECD. 在△ABC 和△DEC 中,∠BCA= ∠ECD,∠BAC = ∠D,BC = CE,∴ △ABC≌ △DEC(A. A. S. ),∴ AC=CD; (4 分) (2)解:∵ ∠ACD = 90°,AC = CD,∴ ∠CAD = ∠D = 45°. ∵ AE = AC,∴ ∠ACE = ∠AEC = 1 2 × ( 180° - ∠CAD) = 67. 5°,∴ ∠DEC= 180°-∠AEC= 112. 5°. (8 分) 18. 解:(1) ∵ DM 垂直平分 AC,EN 垂直平分 BC,∴ AM = CM,BN=CN. ∴ C△CMN =CM+MN+CN =AM+MN+BN = AB = 21cm; (4 分) (2)∵ AM=CM,BN =CN,∴ ∠A = ∠ACM,∠B = ∠BCN. ∵ ∠A+∠ACM+∠B+∠BCN+∠MCN = 180°,∠MCN = 28°,∴ 2( ∠A+∠B) = 180° - 28° = 152°,∴ ∠A+∠B = 76°,∴ ∠ACB= 180°-76° = 104°. (9 分) 19. 解:(1)平行, (2 分) 理由如下:由题意可知:直线 MN 是线段 PA 的垂直平 分线,∴ OP = OA. ∵ OB = OQ,∠AOB = ∠POQ,∴ △AOB ≌△POQ(S. A. S. ),∴ ∠ABQ=∠PQB,∴ PQ∥l; (6 分) (2)如图所示. (10 分) 20. ( 1) 证明: ∵ AD⊥BC,CE⊥AB, ∴ ∠ADB = ∠BEF = ∠AEF= 90°,∴ ∠B+∠BAD= 90°,∠B+∠BCE= 90°,∴ ∠BAD = ∠BCE. 在 △AEF 和 △CEB 中, ∠AEF = ∠CEB,AE=CE,∠BAD= ∠BCE,∴ △AEF≌△CEB; (5 分) (2)AF= 2CD. 证明:由( 1) 知△AEF≌△CEB,∴ AF = BC. ∵ AB=AC. ∴ △ABC 为等腰三角形. ∵ AD⊥BC,∴ BD=CD= 1 2 BC,即 BC= 2CD. ∵ AF=BC. ∴ AF= 2CD. (10 分) 21. (1)证明:①∵ △OAB 与△OCD 都是等边三角形,∴ OA =OB,OC=OD,∠AOB = ∠COD = 60°,∴ ∠AOB+∠BOC 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBH·数学　 第 6 页