第13章 全等三角形 追梦基础训练卷(一)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（华东师大版）

第 13 章追梦基础训练卷(一) 命题、全等三角形的判定 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分:　 　 　 　 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 对于命题“如果∠1+∠2 = 90°,那么∠1 = ∠2”,能说明它是假命 题的例子是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. ∠1 = 45°,∠2 = 45° B. ∠1 = 70°,∠2 = 20° C. ∠1 = 30°,∠2 = 40° D. ∠1 = 50°,∠2 = 50° 2. 下列命题是假命题的是(　 　 ) A. 若 | a | = | b | ,则 a= b B. 两直线平行,同位角相等 C. 对顶角相等 D. 点到直线的距离就是这点到这条直线所作垂线段的长度 3. 已知图中的两个三角形全等,则∠α 的度数是(　 　 ) A. 72° B. 60° C. 58° D. 50° 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,△ABC≌△BAD,A 和 B,C 和 D 是对应顶点,如果 AB = 5, BD= 6,AD= 4,那么 BC 等于(　 　 ) A. 4 B. 6 C. 5 D. 无法确定 5. 生产劳动情境·角尺 工人师傅常借助“角尺”这个工具来平分一 个角,其背后的依据就是全等三角形的性质. 如图,在∠AOB 的 两边 OA、 OB 上分别取 OC = OD, 适当摆放角尺 ( 图 中 的 ∠CED),使其两边分别经过点 C、D,且点 C、D 处的刻度相同, 这时经过角尺顶点 E 的射线 OE 就是∠AOB 的平分线. 这里判 定两个三角形全等的依据是(　 　 ) A. S. A. S. B. S. S. S. C. A. A. S. D. A. S. A. 第 5 题图 　 　 　 　 　 　 第 6 题图 6. 如图,已知 BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点 E、F,则在下列各组 条件中选择一组,其中不能判定△ABE≌△DCF 的是(　 　 ) A. AB=DC,∠B= ∠C B. AB=DC,AB∥CD C. AB=DC,BE=CF D. AB=DF,BE=CF 7. 如图,已知 AD=CB,AB=CD,AC 与 BD 交于点 O,则图中全等三 角形共有(　 　 ) A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对 第 7 题图 　 　 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,△ABC≌△DBE,∠DBC = 150°,∠ABD = 40°,则∠ABE 的 度数是(　 　 ) A. 70° B. 65° C. 60° D. 55° 9. 如图,N,C,A 三点在同一直线上,在△ABC 中, ∠A ∶ ∠ABC ∶ ∠ACB = 3 ∶5 ∶10, 若 △MNC ≌ △ABC, 则 ∠BCM ∶ ∠BCN 等于(　 　 ) A. 1 ∶2 B. 1 ∶3 C. 2 ∶3 D. 1 ∶4 第 9 题图 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,已知在△ABC 和△DCB 中,∠A = ∠D = 90°,AB = DC,AC 与 BD 相交于点 E,过点 E 作 EF⊥BC 于点 F. 下列说法:①AE =DE; ② BF = CF; ③ BE = CE; ④ ∠ABE = 30°. 其中正确的 是(　 　 ) A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果……,那么 ……”的形式是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 12. 中考新考法·条件开放 如图,AC = DC,BC = EC,请你添加一个 适当的条件　 　 　 　 　 　 　 　 ,使得△ABC≌△DEC. 第 12 题图 　 　 　 　 第 13 题图 13. 生活情境·玻璃 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所 示的四块(即图中标有 1,2,3,4 的四块),他如果要去配一块 与原来一样大小的三角形玻璃,应该带第　 　 　 　 块. 14. 如图所示,A,B 在一水池两侧,若 BE =DE,∠B = ∠D = 90°,CD = 10 m,则水池宽 AB= 　 　 　 　 m. 第 14 题图 　 　 　 第 15 题图 15. 学习情境·动点探究 如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,AC = 6, BC= 8. 点 P 从点 A 出发,沿折线 AC-CB 以每秒 1 个单位长度 的速度向终点 B 运动,点 Q 从点 B 出发沿折线 BC-CA 以每秒 3 个单位长度的速度向终点 A 运动,P、Q 两点同时出发. 分别 过 P、Q 两点作 PE⊥l 于 E,QF⊥l 于 F,当△PEC 与△QFC 全 等时,CQ 的长为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)如图,有命题“如果∠1 = ∠2,那么 AB∥CD”,若该命题 为真命题,请说明理由;若该命题为假命题,请你再添加一个条 件,使该命题为真命题,并说明理由. 17. (8 分)如图,点 A、F、C、D 在同一条直线上,已知 AF =DC,∠A = ∠D,BC∥EF,求证:AB=DE. ·9· 18. 中考新趋势·开放性试题 (8 分)如图,现有以下 3 句话:①AB∥ CD,②∠B= ∠C,③∠E= ∠F,以其中两句话为条件,第三句话 为结论构造命题. (1)能构造哪几个命题? (2)(1)中构造的命题是真命题还是假命题,请加以证明. 19. (10 分)如图,AD、BC 相交于点 O,AD=BC,∠C= ∠D= 90°. (1)求证:△ACB≌△BDA; (2)若∠ABC= 35°,求∠CAO 的度数. 20. 学习情境·过程学习 (10 分)如图,点 A,D,C,F 在同一条直线 上,AB=DE,BC= EF. 有下列三个条件:①AC = DF,②∠ABC = ∠DEF,③∠ACB= ∠DFE. (1)请在上述三个条件中选取一个条件,使得△ABC≌△DEF. 你选取的条件为(填写序号) 　 　 　 　 ,你判定△ABC≌△DEF 的依据是　 　 　 　 (填“S. S. S. ”或“S. A. S. ”或“A. S. A. ”或 “A. A. S. ”);并写出过程; (2)利用(1)的结论△ABC≌△DEF. 试说明:AB∥DE. 21. 生活情境·荡秋千 (10 分)小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千, 如图,小丽坐在秋千的起始位置 A 处,OA 与地面垂直,两脚在 地面上用力一蹬,妈妈在距地面 1. 2 m 高的 B 处接住她后用力 一推,爸爸在 C 处接住她,若妈妈与爸爸到 OA 的水平距离 BF、CG 分别为 1. 8 m 和 2. 2 m,∠BOC= 90°. (1)△CGO 与△OFB 全等吗? 请说明理由; (2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的? 22. 跨学科试题·物理 (10 分)小明同学在物理课上学习了发声物 体的振动实验后,对其作了进一步的探究:在一个支架的横杆 点 O 处用一根细绳悬挂一个小球 A,小球 A 可以自由摆动,如 图,OA 表示小球静止时的位置. 当小明用发声物体靠近小球 时,小球从 OA 摆到 OB 位置,此时过点 B 作 BD⊥OA 于点 D, 当小球摆到 OC 位置时,OB 与 OC 恰好垂直(图中的 A、B、O、C 在同一平面上),过点 C 作 CE⊥OA 于点 E,测得 BD= 8 cm,OA = 17 cm. (1)试说明:∠COE= ∠B; (2)求 AE 的长. 　 　 　 23. (11 分)如图,在 Rt△ABC 中,AC = 7 cm,BC = 3 cm,CD 为斜边 AB 上的高,点 E 从点 B 出发沿直线 BC 以 2 cm / s 的速度移动, 过点 E 作 BC 的垂线交直线 CD 于点 F. (1)求证:∠A= ∠BCD; (2)点 E 运动多长时间时 CF=AB? 试说明理由. ·01· 以(x-2) 2 +1≥1. 所以最小值为 1. (11 分) 第 13 章追梦基础训练卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A A A B D D A D A 1. B 2. A　 【解析】A. 若 | a | = | b | ,则 a= b 或 a= -b. 故选 A. 3. A　 4. A　 5. B 6. D　 【解析】∵ BE⊥AD,CF⊥AD,∴ ∠AEB= ∠CFD= 90°, 选项 A 可利用 A. A. S. 证明 Rt△ABE≌Rt△DCF;选项 B 可得 ∠A = ∠D, 可 利 用 A. A. S. 证 明 Rt △ABE ≌ Rt △DCF;选项 C 可利用 H. L. 证明 Rt△ABE≌Rt△DCF; 选项 D 不能证明 Rt△ABE≌Rt△DCF. 故选 D. 7. D 　 【解析】 ∵ AD = CB,AB = CD,AC = AC,∴ △ADC≌ △CBA. 同 理 △ABD ≌ △CDB. ∵ △ADC ≌ △CBA, ∴ ∠DAO= ∠BCO. ∵ △ABD≌△CDB,∴ ∠ADO = ∠CBO. 又∵ AD = CB,∴ △ADO≌△CBO. 同理△DOC≌△BOA, ∴ 图中全等三角形有 4 对,故选 D. 8. A 　 【解析】 ∵ ∠DBC = 150°,∠ABD = 40°,∴ ∠ABC = 110°. ∵ △ABC≌ △DBE,∴ ∠DBE = ∠ABC = 110°,∴ ∠ABE= ∠DBE-∠ABD= 70°. 故选 A. 9. D　 【解析】∵ 在△ABC 中,∠A ∶∠ABC ∶∠ACB = 3 ∶5 ∶10, ∴ ∠BCA = 100°,∠BCN = 80°. 又∵ △MNC≌△ABC,∴ ∠MCN = ∠ACB = 100°, ∴ ∠BCM = 20°, ∴ ∠BCM ∶ ∠BCN= 20° ∶80° = 1 ∶4. 故选 D. 10. A　 【解析】在△ABE 和△DCE 中,∠A = ∠D,∠AEB = ∠DEC,AB= DC,∴ △ABE≌△DCE(A. A. S. ),∴ AE = DE,BE=CE,故①正确,③正确;∵ EF⊥BC 于点 F,∴ ∠BFE= ∠CFE = 90°∵ BE = CE,EF = EF,∴ △BEF≌ △CEF,∴ BF = CF,故 ② 正确;当 ∠ACB = 30° 时,则 ∠ABC= 60°,∠EBC = ∠ECB = 30°,∴ ∠ABE = ∠ABC- ∠EBC= 30°,∴ ∠ABE= 30°的条件是∠ACB = 30°,显然 与已知条件不符,故④错误. 故选 A. 11. 如果两个三角形全等,那么它们的对应角相等 12. AB=DE(答案不唯一)　 13. 2 14. 10　 【解析】在△ABE 和△CDE 中,∠ABE = ∠CDE,BE =DE,∠AEB= ∠CED,∴ △ABE≌△CDE(A. S. A. ),∴ AB=CD= 10m. 15. 5 或 2. 5 或 6　 【解析】当 P 在 AC 上,Q 在 BC 上时,因 为∠ACB= 90°,所以∠PCE+ ∠QCF = 90°. 因为 PE⊥ l 于 E,QF⊥ l 于 F,所以∠PEC = ∠CFQ = 90°,∠EPC+ ∠PCE= 90°,所以∠EPC = ∠QCF,若△PCE≌△CQF, 则 PC=CQ,所以 6-t= 8-3t,解得 t= 1,所以 CQ= 8-3t = 5;当 P 在 AC 上,Q 在 AC 上时,即 P、Q 重合时,则 CQ= PC,由题意得,6-t= 3t-8,解得 t= 3. 5,所以 CQ = 3t-8 = 2. 5;当 Q 在 AC 上,且点 Q 与 A 重合,点 P 运动到 BC 上且 PC= 6 时,△CQF≌△PCE,所以 CQ=AC= 6. 综上, 当△PEC 与△QFC 全等时,满足条件的 CQ 的长为 5 或 2. 5 或 6. 16. 解:该命题为假命题, (2 分) 添加条件:BE∥DF(添加条件不唯一) . (4 分) ∵ BE∥DF,∴ ∠EBD = ∠FDN. 又∵ ∠1 = ∠2,∴ ∠ABD = ∠CDN,∴ AB∥CD. (8 分) 17. 证明: ∵ AF = CD, ∴ AC = DF. ∵ BC∥EF, ∴ ∠ACB = ∠DFE. (3 分) 在△ABC 和 △DEF 中, ∠A = ∠D, AC = DF, ∠ACB = ∠DFE,∴ △ABC≌△DEF(A. S. A. ),∴ AB=DE. (8 分) 18. (1)解:由①②得到③;由①③得到②;由②③得到①. (2 分) (2) 证明:∵ AB∥CD,∴ ∠B = ∠CDF. ∵ ∠B = ∠C,∴ ∠C= ∠CDF,∴ CE∥BF,∴ ∠E = ∠F,∴ 由①②得到③ 为真命题;∵ AB∥CD,∴ ∠B = ∠CDF. ∵ ∠E = ∠F,∴ CE∥BF,∴ ∠C= ∠CDF,∴ ∠B = ∠C,∴ 由①③得到② 为真命题;∵ ∠E = ∠F,∴ CE∥BF,∴ ∠C = ∠CDF. ∵ ∠B= ∠C,∴ ∠B= ∠CDF,∴ AB∥CD,∴ 由②③得到① 为真命题. (8 分) 19. (1)证明:∵ ∠D= ∠C = 90°,∴ 在 Rt△ACB 和 Rt△BDA 中,BC=AD,AB=BA,∴ Rt△ACB≌Rt△BDA(H. L. ) . (5 分) (2) 解:由 ( 1) 知 Rt △ACB≌ Rt △BDA, ∠ABC = 35°, ∴ ∠BAD= ∠ABC= 35°, 在 Rt△ACB 中, ∠CAB = 55°, ∴ ∠CAO= ∠CAB-∠BAD= 20°. (10 分) 20. 解:(1)①　 S. S. S. (2 分) 在△ABC 和△DEF 中 AC=DF AB=DE BC=EF { ,所以 △ABC≌ △DEF (S. S. S. );(答案不唯一) (6 分) (2)因为△ABC≌△DEF,所以∠A = ∠EDF,所以 AB∥ DE. (10 分) 21. 解:(1) △OCG 与△BOF 全等. 理由如下:由题意可知 ∠CGO= ∠BFO = 90°,OB = OC. 因为∠BOC = 90°,所以 ∠COG+ ∠BOF = ∠BOF + ∠OBF = 90°. 所以∠COG = ∠OBF,在△CGO 与△OFB 中, ∠CGO= ∠OFB ∠COG= ∠OBF OC=BO { ,所以 △CGO≌△OFB(A. A. S. ); (6 分) (2)因为△CGO≌△OFB,所以 CG = OF,OG = BF,所以 FG=OF-OG=CG-BF= 2. 2-1. 8 = 0. 4(m) . 因为妈妈在 距地面 1. 2m 高的 B 处,所以 1. 2+0. 4 = 1. 6( m),即爸 爸是在距离地面 1. 6m 的地方接住小丽的. (10 分) 22. 解:(1)因为 OB⊥OC,所以∠BOD+∠COE = 90°. 因为 BD⊥OA,所以∠ODB = 90°,所以∠BOD+∠B = 90°,所 以∠COE= ∠B; (5 分) (2)因为 BD⊥OA,CE⊥OA,所以∠CEO=∠ODB= 90°.由题 意,得OC=OB=OA=17 cm,由(1)得:∠COE=∠B,在△COE 和△OBD 中, ∠CEO=∠ODB ∠COE=∠B OC=BO { ,所以△COE≌△OBD(A. A. S. ),所以OE=BD=8 cm,所以 AE=OA-OE=17-8=9(cm). (10 分) 23. (1)证明:由题可知∠A+∠ACD = 90°,∠BCD+∠ACD = 90°,∴ ∠A= ∠BCD; (4 分) (2)解:当点 E 运动 5s 或 2s 时 CF=AB. (5 分) 理由如下: ∵ ∠A = ∠BCD, ∠BCD = ∠ECF, ∴ ∠A = ∠ECF. 又∵ CF = AB,∠FEC = ∠ACB = 90°,∴ △ACB≌ △CEF,∴ CE=AC= 7cm. (7 分) 当 E 点沿射线 BC 移动时,BE=BC+CE= 10(cm),t1 = 10 ÷2 = 5(s), (9 分) 当 E 点沿射线 CB 移动时,BE′ = CE′ - BC = 7 - 3 = 4 (cm),t2 = 4÷2 = 2( s) . 故当点 E 运动 5s 或 2s 时 CF = AB. (11 分) 第 13 章追梦基础训练卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C C C D B B A C D 1. C　 2. C　 3. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查了尺规作图和等腰三角形的作图, 解决本题的关键是理解等腰三角形的作图过程,根据尺 规作等腰三角形的过程逐项判断即可求解. 4. C　 【解析】由等腰三角形的三线合一得∠BAC = 2∠BAD = 70°,∵ AB= AC,∴ ∠B = ∠C,∴ ∠C = 1 2 ×(180°- 70°) 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBH·数学　 第 4 页