第四章 追梦基础训练卷(一)(函数、一次函数与正比例函数)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（北师大版）

第四章追梦基础训练卷(一) 函数、一次函数与正比例函数 测试时间:120 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分:　 　 　 　 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 在行进路程 s、速度 v 和时间 t 的相关计算中,若保持行驶的速 度不变,则下列说法正确的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 变量只有路程 s B. 变量只有时间 t C. 路程 s 和时间 t 都是变量 D. 速度 v、时间 t、路程 s 都是常量 2. 下列 y 关于 x 的函数中,是正比例函数的为(　 　 ) A. y= x2 B. y= 2 x C. y= x 2 D. y= x +1 2 3. 若函数 y= (m-1)x | m | 是正比例函数,则 m 的值为(　 　 ) A. 1 B. -1 C. ±1 D. 2 4. 生活情境·水库水位 某水库的水位在 5 小时内持续上涨,初始 的水位高度为 6 米,水位以每小时 0. 3 米的速度匀速上升,则水 库的水位高度 y 米与时间 x 小时( 0 ≤ x≤5) 的函数表达式 为(　 　 ) A. y= -0. 3x+6 B. y= -0. 3x-6 C. y= 0. 3x+6 D. y= 0. 3x-6 5. 函数 y= (x+3) -2 中,自变量 x 的取值范围是(　 　 ) A. x≠0 B. x>-3 C. x≠-3 D. 全体实数 6. 若函数 y= -2x+2(x≤2), 2x(x>2),{ 则当 y= 8 时,x 的值是(　 　 ) A. -3 B. 4 C. 3 或 4 D. 4 或-3 7. 跨学科试题·生物 八年级某生物课外兴趣小组 观察一植物生长,得到植物高度y(cm)与观察时 间 t(天) 的关系如图所示,则下列说法正确的 是(　 　 ) A. 该植物从观察时起 60 天以后停止长高 B. 该植物最高长到 16 cm C. 该植物从观察时起 50 天内平均每天长高 1 cm D. 该植物最高长到 18 cm 8. 下列曲线中不能表示 y 是 x 的函数的是(　 　 ) A. B. C. D. 9. 生活情境·邮寄物品 下表是邮寄物品质量 m 与费用 y 的函数关 系,根据表中的规律,若邮寄物品质量为 220 g,则邮寄费用 为(　 　 ) 物品质量 m / g 0<m≤20 20<m≤40 40<m≤60 60<m≤80 … 费用 y / 元 1. 2 2. 4 3. 6 4. 8 … A. 12 元 B. 13 元 C. 13. 2 元 D. 14. 4 元 10. 生活情境·跑步 甲、乙两人从同一地点出发,沿同一方向跑步, 速度分别为 4 米 / 秒和 6 米 / 秒,开始时甲先跑 100 米后乙再追 赶,则从乙出发开始到追上甲的这一过程,甲、乙两人之间的距 离 s ( 米) 与甲跑步所用时间 t ( 秒) 之间的函数关系式 为(　 　 ) A. s= -10t+100(0≤t≤10) B. s= -2t+100(0≤t≤50) C. s= -2t+150(25≤t≤75) D. s= 2t-150(0≤t≤75) 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 生活情境·汽车耗油 某辆汽车油箱中原有汽油 100 L,汽车每 行驶 50 km 耗油 9 L,请写出油箱中剩余油量 y(L)与汽车行驶 路程 x(km)之间的关系式:　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 12. 若函数 y= (m+2)xm 2-3 +m-3 是一次函数,则 m= 　 　 　 　 . 13. 生活情境·蜡烛燃烧 一支蜡烛长 20 cm,每分钟燃烧的长度为 2 cm,蜡烛的剩余长度 y(cm)与燃烧时间 x(分)之间的关系式 为　 　 　 　 　 　 　 (不需要写出自变量的取值范围) . 14. 新定义 定义[p,g]为一次函数 y = px+g 的特征数,若特征数 为[ t, t + 3] 的一次函数为正比例函数,则这个正比例函数 为　 　 　 　 . 15. 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠B= 90°,点 P 从点 A 出发,沿 A→B→ C 以 1 cm / s 的速度运动. 设△APC 的面积为 S( cm2 ),点 P 的 运动时间为 t(s),变量 S 与 t 之间的关系如图 2 所示,则在运 动过程中,S 的最大值是　 　 　 　 . 图 1 　 　 　 　 　 图 2 三、解答题(本大题 8 小题,共 75 分) 16. (8 分)已知 y= (m-2)x+ |m | -2. (1)m 满足什么条件时,y= (m-2)x+ |m | -2 是一次函数? (2)m 满足什么条件时,y= (m-2)x+ |m | -2 是正比例函数? 17. 生活情境·离家 (10 分)小明某天 离家,先在 A 处办事后,再到 B 处 购物,购物后回家. 右图描述了他 离家的距离 s(米)与离家后的时间 t(分钟)之间的函数关系,请根据图象回答下列问题: (1)A 处与小明家的距离是　 　 　 　 米,小明从家到 A 处过程 中的速度是　 　 　 　 米 /分; (2)小明在 B 处购物所用的时间是　 　 　 　 分钟,他从 B 处回 家过程中的速度是　 　 　 　 米 /分; (3)如果小明家、A 处和 B 处在一条直线上,那么小明从离家到 回家这一过程(包括停留时间) 的平均速度是 　 　 　 　 米 /分. ·7· 18. 生活情境·汽车耗油 (9 分)“十一”期间,小明和父母一起开车到 距家 200 千米的景点旅游,出发前,汽车油箱内储油 45 升,当行驶 150 千米时,发现油箱内余油量为 30 升(假设行驶过程中汽车的耗 油量是均匀的). (1)求该车平均每千米的耗油量,并写出行驶路程 x(千米)与 剩余油量 Q(升)的关系式; (2)当 x= 280 时,求剩余油量 Q 的值; (3)当油箱中剩余油量低于 3 升时,汽车将自动报警,如果往 返途中不加油,他们能否在汽车报警前回到家? 请说明 理由. 19. (9 分)如图,在一个边长为 10 cm 的正方形的四个角处,都剪 去一个大小相等的小正方形,当小正方形的边长由小到大变化 时,图中阴影部分的面积也随之发生变化. (1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么? (2)如果小正方形的边长为 x cm,图中阴影部分的面积为 y cm2,请写出 y 与 x 之间的关系式; (3)当小正方形的边长由 1 cm 变化到 2. 5 cm 时,阴影部分的 面积变小了多少? 20. 生活情境·自行车链条 (9 分)如图,某品牌自行车每节链条的 长度为 2. 5 cm,交叉重叠部分的圆的直径为0. 8 cm. (1)观察图形,填写下表; 1 节链条 　 2 节链条 　 n 节链条 链条节数 / x(节) 2 3 4 … 链条长度 / y(cm) 4. 2 5. 9 　 　 　 　 … (2)请你写出 y 与 x 之间的关系式; (3)如果一辆自行车的链条(安装前)共由 40 节链条组成,那 么链条的总长度是多少? 21. (10 分)如图,在△ABC 中,∠C= 90°,AC= 6,BC= 8,点 P 为 BC 上的一动点,且点 P 不与点 B、点 C 重合,设 CP = x,S△APB = y, 求 y 与 x 之间的函数关系式,并求出自变量 x 的取值范围. 22. 生活情境·公交车 (10 分)某公交公司的 16 路公交车每月的支 出费用为 4 000 元,每月的乘车人数 x(人)与这辆公交车每月的 利润 y(元)的变化关系如表所示(每位乘客乘一次公交的票价 是固定不变的) . x(人) 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 … y(元) -3 000 -2 000 -1 000 0 1 000 2 000 … 请回答下列问题: (1)自变量为　 　 　 　 　 　 　 ,因变量为　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)y 与 x 之间的关系式是　 　 　 　 　 　 　 ; (3)当每月乘车人数为 4 000 人时,每月利润为多少元? 23. 生活情境·商都特惠 (10 分)为庆祝商都正式营业,商都推出 了两种购物方案. 方案一:非会员购买的所有的商品价格可获 九五折优惠. 方案二:若充 300 元会费成为该商都会员,则购买 所有商品可获九折优惠. (1)以 x(元)表示商品价格,y(元)表示支出金额,分别写出两 种购物方案中 y 关于 x 的函数关系式; (2)若某人计划在商都购买价格为 5 880 元的电视机一台,请 分析选择哪种方案更省钱. ·8· 它们到直线 y= 1 的距离都是 2,所以点 C 的坐标是(-1, 1+2),即(-1,3) . 故选 B. 9. A 10. A　 【解析】由题意,得变换前点 M 的坐标为(2,2),第 1 次变换后点 M 的对应点 M1(1,-2),第 2 次变换后点 M 的对应点 M2(0,2),第 3 次变换后点 M 的对应点 M3 (-1,-2),第 4 次变换后点 M 的对应点 M4(-2,2)…… 从而得到规律:当 n 为奇数时,Mn(2-n,-2);当 n 为偶数 时,Mn(2-n,2) . 所以当 n= 2 024 时,M2 024(-2 022,2) . 故 选 A. 11. (2,0)　 12. (-4,3)　 13. 9　 x　 14. (3,2) 15. (3,0)或(9,0)　 【解析】已知点 P 在 x 轴上,所以设点 P 的坐标为(x,0) . 因为点 A、B 的坐标分别为(2,4), (6,0),所以 S△ABP = 1 2 ×4× | 6-x | = 6,解得 x= 3 或 x= 9, 所以点 P 的坐标为(3,0)或(9,0) . 16. 解:(1)所画图形如图所示. (5 分) 　 　 　 (2)A′(3,-4),B′(1,-2),C′(5,-1) . (8 分) 17. 解:(1)当点 P 在 y 轴上时,2m+4 = 0,解得 m= -2,m-1 = -3,所以点 P 的坐标为(0,-3); (2 分) (2)当点 P 在 x 轴上时,m-1 = 0,解得 m = 1,2m+4 = 6, 所以点 P 的坐标为(6,0); (4 分) (3)当点 P 的纵坐标比横坐标大 3 时,m-1 = (2m+4) + 3,解得 m= -8,所以点 P 的坐标为(-12,-9); (6 分) (4)由题意,得 2m+4 = 2,解得 m= -1,所以点 P 的坐标 为(2,-2) . (9 分) 18. 解:(1)建立平面直角坐标系如图; (3 分) (2)体育馆( - 9,4)、升旗台 ( - 4,2)、北部湾俱乐部 (-7,-1)、盘龙苑小区(-5,-3)、国际大酒店(0,0); (6 分) (3)小李所在的位置点 A 如图所示. (8 分) 19. 解:(1)点 A,B,C 的位置如图所示; (3 分) (2)如图,连接 AB,BC,AC.依题意,得 S△ABC= 1 2 ×5×2= 5; (6 分) (3)存在.点 P 的坐标为(0,5)或(0,-3) . (9 分) 20. 解:(1)△A1B1C1 如图所示; (3 分) A2(-3,-2),B2(-4,3),C2(-1,1) . (6 分) (2)根据题意,得 3a-2 = 0,b-3 = 0,解得 a= 2 3 ,b = 3,所 以点 P 的坐标为(- 2 3 ,3) . (8 分) 所以点 P( -a,b)关于 y 轴的对称点 P′的坐标为( 2 3 , 3) . (10 分) 21. 解:(1)分别过 C,D 两点作 x 轴的垂线,垂足分别为 E, F. 因为 A(-4,0),B(6,0),C(2,4),D(-3,2),所以 AF = -3-(-4) = 1,DF = 2,EF = 2-(-3) = 5,BE = 6-2 = 4, CE= 4. (4 分) 则 S四边形ABCD =S△ADF +S梯形CDFE +S△BCE = 1 2 AF·DF+ 1 2 FE ·(DF+CE)+ 1 2 BE·CE= 1 2 ×1×2+ 1 2 ×5×(2+4) + 1 2 × 4×4 = 24; (6 分) (2) 设 P ( 0, h ), 因 为 AB = 10, 所 以 由 S△APB = 1 2 S四边形ABCD,得 1 2 ×10× | h | = 1 2 ×24,解得 h= ±2. 4. (9 分) 所以点 P 的坐标为(0,2. 4)或(0,-2. 4). (10 分) 22. 解:(1)AB= (1+2) 2 +(2+3) 2 = 34 ; (3 分) (2)AB= 5-(-1)= 6; (6 分) ( 3 ) 因 为 AB = (0+1) 2 +(4-2) 2 = 5 , AC = (0-4) 2 +(4-2) 2 = 2 5 ,BC= 4-(-1)= 5,所以△ABC 的周长为 5 +2 5 +5,即 3 5 +5. (10 分) 23. 解:(1)△A2B2C2 的三个顶点的坐标分别是 A2(4,0), B2(5,0),C2(5,2); (4 分) (2)因为点 P 与点 P1 关于 y 轴对称,P( -a,0),所以 P1 (a,0) . (6 分) 又因为点 P1 与点 P2 关于直线 l(直线 x = 3)对称,所以 P1M=P2M. 因为 P1(a,0),M(3,0),所以 P1M= | a-3 | = P2M. 设 P2(x,0),则 P2M= | x-3 | ,所以 | a-3 | = | x-3 | , 所以 a- 3 = x- 3 或 a- 3 = -x+ 3,所以 x = a(舍) 或 x = 6-a,所以 P2(6-a,0), (9 分) 则 PP2 = 6-a-(-a)= 6. 即 PP2 的长为 6. (11 分) 第四章追梦基础训练卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B C C D B D C C 1. C　 2. C　 3. B　 4. C　 5. C　 6. D　 7. B　 8. D 9. C　 【解析】由题可得,物品质量 m 每增加 20g,则费用 y 相应增加 1. 2 元,所以当邮寄物品质量为 220g 时,邮寄 费用为 220 20 ×1. 2 = 13. 2(元) . 故选 C. 10. C　 【解析】由题意得,甲先出发 100÷4 = 25(秒) . 所以 甲 t 秒运动的距离为 4t,乙运动的距离为 6( t-25),则 s = 4t-6( t-25)= -2t+150,故可得 s = -2t+ 150(25≤t≤ 75) . 故选 C. 11. y= 100- 9 50 x 12. 2　 【解析】由题知 m+2≠0,m2 -3 = 1,解得 m= 2. 13. y= 20-2x 14. y= -3x　 【解析】根据题意,特征数为[ t,t+3]的一次函 数表达式为:y= tx+( t+3) . 因为此一次函数为正比例函 数,所以 t+3 = 0,解得 t = - 3. 故这个正比例函数为 y = -3x. 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBB·数学　 第 3 页 15. 24cm2 　 【解析】由图 2 可知,当 t= 6s 时,S 取得最大值; 当 t= 14s 时,S = 0. 所以 AB = 6cm,BC = 14- 6 = 8(cm), 因为∠B= 90°,所以 S 的最大值是 1 2 ×6×8 = 24(cm2) . 16. 解:(1)由题意,得 m-2≠0,解得 m≠2; (4 分) (2)由题意,得 |m | -2 = 0,且 m-2≠0,解得 m= -2. (8 分) 17. 解:(1)200　 40 (4 分) (2)5　 160 (8 分) (3)64 (10 分) 18. 解:(1)该车平均每千米的耗油量为(45-30)÷150 = 0. 1 (升 /千米), (2 分) 行驶路程 x(千米)与剩余油量 Q(升)的关系式为 Q = 45-0. 1x(0≤x≤450); (4 分) (2)当 x= 280 时,Q= 45-0. 1×280 = 17(升); (6 分) (3)能, (7 分) 理由:(45-3)÷0. 1 = 420(千米) . 因为 420>400,所以他 们能在汽车报警前回到家. (9 分) 19. 解:(1)自变量是小正方形的边长,因变量为阴影部分 的面积; (3 分) (2)y= 100-4x2 ; (6 分) (3)当 x= 1 时,y= 100-4x2 = 100-4 = 96;当 x = 2. 5 时,y = 100-4x2 = 100- 4×( 5 2 ) 2 = 75,所以面积减小了:96- 75 = 21(cm2 ). (9 分) 20. 解:(1)7. 6 (2 分) (2)根据题意,得 y = 2. 5+(2. 5- 0. 8) ( x- 1) = 1. 7x+ 0. 8. 所以 y 与 x 的关系式为 y= 1. 7x+0. 8; (6 分) (3)当 x= 40 时,y= 1. 7×40+0. 8 = 68. 8 (cm),故链条的 总长度是 68. 8cm. (9 分) 21. 解:因为 BC= 8,CP= x,所以 PB= 8-x. (3 分) 所以 S△APB = 1 2 PB·AC,即 y= 1 2 ×(8-x)×6= -3x+24(0< x<8) . (10 分) 22. 解:(1)每月的乘车人数　 每月的利润 (4 分) (2)y= 2x-4 000 (7 分) (3)当 x= 4 000 时,y= 2×4 000-4 000 = 4 000 (元) . 故 当每月乘车人数为 4 000 人时,每月利润为 4 000 元. (10 分) 23. 解:(1)方案一:y= 0. 95x; (3 分) 方案二:y= 0. 9x+300. (6 分) (2)当 x= 5 880 时,方案一:y= 0. 95x= 5 586(元) . (7 分) 方案二:y= 0. 9x+300 = 5 592(元), (8 分) 因为 5 586<5 592,所以选择方案一更省钱. (10 分) 第四章追梦基础训练卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A B A D D B B B C 1. A　 2. A　 3. B　 4. A　 5. D 6. D　 【解析】因为一次函数 y = 2x-3 中,2> 0,所以 y 随 x 的增大而增大,因为点(a,b),(a+1,c)在一次函数 y = 2x -3 的图象上,且 a<a+1,所以 b<c,所以 c-b>0,所以函数 y= 4x+c-b 的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象 限. 故选 D. 7. B　 8. B 9. B　 【解析】由题意得当 AB⊥OB 时,AB 最短,此时过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D. 因为点 B 在 y = -x 上,则可设 B (a,-a)(a> 0),所以 BD = a,OD = a,OD = BD. ∴ ∠AOB = 45°. 因为 OA = 2 ,∠ABO = 90°,∠ADB = 90°,所以 △ABD 为等腰直角三角形,所以 OD = AD = BD = 1 2 OA = 2 2 . 因 为 点 B 在 第 四 象 限, 所 以 点 B 的 坐 标 为 ( 2 2 ,- 2 2 ) . 故选 B. 10. C　 【解析】当直线 y = -x+b 过点 B(3,0)时,0 = -3+b, 解得 b= 3,t= 2. 当直线 y= -x+b 过点 M(4,3)时,3 = -4 +b,解得 b = 7,0 = -(1+t)+7,解得 t = 6. 故若直线与线 段 BM 有公共点,t 的取值范围是:2≤t≤6. 故选 C. 11. m< 2 3 　 12. (0,-3) 13. (31,16)　 【解析】因为点 B1 的坐标为(1,1),点 B2 的 坐标为(3,2),点 B3 的坐标为(7,4),…所以 Bn 的坐标 是(2n-1,2n -1) . 所以 B5 的坐标是(2 5 -1,24) . 即 B5 的 坐标是(31,16) . 14. 6 15. y= 1 3 x-2　 【解析】因为一次函数 y = 2x-2 的图象分别 交 x 轴、y 轴于点 A、B,所以令 x = 0,得 y = -2,令 y = 0, 则 x= 1,所以 A(1,0),B(0,-2) . 所以 OA= 1,OB = 2. 过 点 A 作 AF⊥AB 交 BC 于点 F,过点 F 作 FE⊥x 轴于点 E. 因为∠ABC= 45°,所以△ABF 是等腰直角三角形. 所 以 AB=AF. 因为∠OAB+∠ABO = ∠OAB+∠EAF = 90°, 所 以 ∠ABO = ∠EAF. 在 △ABO 和 △FAE 中, ∠ABO= ∠EAF ∠AOB= ∠AEF AB=AF{ ,所以△ABO≌△FAE. 所以 AE = OB = 2,EF=OA= 1. 所以 F(3,-1) . 设直线 BC 的函数表达式 为 y= kx+b,则 b= -2,3k-2 = -1,所以 k = 1 3 ,所以直线 BC 的函数表达式为 y= 1 3 x-2. 16. 解:(1)因为直线 OA 过点 A(m,3),所以 3= 3m,m= 1. 所 以 A(1,3) . (2 分) 因为直线 BC 经过点 A(1,3),所以 3=a+4.所以 a= -1; (4 分) (2)因为 a= -1,所以直线 BC 的表达式为 y= -x+4,当 y = 0 时,x= 4,所以 B(4,0), (6 分) 所以 BO= 4,所以△AOB 的面积为 1 2 ×4×3 = 6. (8 分) 17. 解:(1)根据题意,得 4 = -2k-2. 所以 k= -3; (3 分) (2)因为一次函数 y= -3x-2 的图象与 y 轴交于点 N,所 以当 x= 0 时,y= -2,N(0,-2),即 ON= 2. (5 分) 因为 S△ AMN = 2S△ MON,所以 NA= 2ON= 4. (7 分) 所以点 A 的坐标为(0,2)或(0,-6) . (8 分) 18. 解:(1)设射线 BA 对应的函数表达式为 y = kx+b,将 A (-1,3),B(0,1)代入得 b = 1,-k+b = 3,解得 b = 1,k = -2, (2 分) 所以射线 BA 对应的函数表达式为 y= -2x+1(x≤0); (4 分) (2)是 (6 分) (3)如图所示. (9 分) 19. 解:(1)由题意知 0 = k+b,2 = b,解得 k = -2,b = 2,所以 y = -2x+2. (2 分) 因为 k= -2<0,所以 y 随 x 的增大而减小. (3 分) 因为当 x= -2 时,y = 6;当 x = 3 时,y = -4,所以当- 2<x ≤3 时,-4≤y<6; (6 分) (2)由题意知 n= -2m+2,因为 m-n= 4,所以 m-( -2m+ 2)= 4,解得 m = 2. 所以 n = -2. 所以点 P 的坐标为(2, -2) . (9 分) 20. 解:(1)y= -bx+2 (3 分) (2)1 (6 分) (3)函数 y= 2x-b 与 y 轴的交点是(0,-b),函数 y = -bx 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBB·数学　 第 4 页