第一章 勾股定理 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（北师大版）

第一章追梦综合演练卷 测试时间:120 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分:　 　 　 　 一、选择题(每小题 3 分,共 36 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1. 在下面每组的三个数中,为勾股数的是(　 　 ) A. 1,2,5　 　 　 B. -3,4,-5　 　 　 C. 6,7,8　 　 　 D. 7,24,25 2. 满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的为(　 　 ) A. ∠A= ∠B-∠C B. ∠A ∶∠B ∶∠C= 1 ∶1 ∶2 C. b2 =a2 -c2 D. a ∶b ∶c= 1 ∶1 ∶2 3. 在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,c 为斜边,a、b 为直角边,a+b = 17,c = 13,则 Rt△ABC 的面积为(　 　 ) A. 30 B. 60 C. 110. 5 D. 169 4. 如图是“赵爽弦图”,由 4 个全等的直角三角形拼成的图形,若 大正方形的面积是 61,小正方形的面积是 1,设直角三角形较长 直角边为 b,较短直角边为 a,则 a+b 的值是(　 　 ) A. 10 B. 11 C. 9 D. 8 第 4 题图 　 　 第 5 题图 　 　 第 6 题图 5. 生活情境·路口相遇 如图所示,是两条相互垂直的公路,一辆自行 车和一辆摩托车在十字路口中心相遇后又分别向北、向东驶去. 若 自行车的速度为 2. 5 米 / 秒,摩托车的速度为 6 米 / 秒,那么 10 秒后 两车相距(　 　 ) A. 55 米 B. 65 米 C. 75 米 D. 85 米 6. 生活情境·海上航行 如图,一艘轮船以 16 海里 /时的速度从港 口 A 出发向东北方向航行,另一艘轮船以 12 海里 /时的速度同 时从港口 A 出发向东南方向航行. 离开港口 2 小时后,两船 相距(　 　 ) A. 25 海里 B. 30 海里 C. 35 海里 D. 40 海里 7. 在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边, 已知 a ∶b= 3 ∶4,c= 10,则△ABC 的面积为(　 　 ) A. 24 B. 12 C. 28 D. 30 8. 在△ABC 中,若 AC= 15,BC= 13,AB 边上的高 CD= 12,则△ABC 的周长为(　 　 ) A. 32 B. 42 C. 32 或 42 D. 以上都不对 9. 文化情境·数学文化 《九章算术》中的“折竹抵地”问题:今有竹 高一丈,末折抵地,去根六尺. 问折高者几何? 意思是:一根竹 子,原高一丈(一丈= 10 尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵 地,抵地处离竹子底部 6 尺远,问折断处离地面的高度是多少? 设折断处离地面的高度为 x 尺,则可列方程为(　 　 ) A. x2 -6 = (10-x) 2 B. x2 -62 = (10-x) 2 C. x2 +6 = (10-x) 2 D. x2 +62 = (10-x) 2 10. 如图,将边长为 8 cm 的正方形纸片 ABCD 折叠,使点 D 落在 BC 边的中点 E 处,点 A 落在点 F 处,折痕为 MN,则线段 CN 的长是(　 　 ) A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm 第 10 题图 　 　 　 　 第 11 题图 　 　 　 　 第 12 题图 11. 如图,在网格图(每个小方格均是边长为 1 的正方形)中,以 AB 为一边作直角三角形 ABC,要求顶点 C 在格点上,则图中不符 合条件的点是(　 　 ) A. C1 B. C2 C. C3 D. C4 12. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,BC= 3,AC= 4,CD⊥AB 于点 D,E 是 AB 的中点,则 DE 的长为(　 　 ) A. 0. 6 B. 0. 7 C. 0. 8 D. 0. 9 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 13. 如图,做一个长 80 cm、宽 60 cm 的长方形木框, 需在相对角的顶点钉一根加固木条,则木条的 长为　 　 　 　 cm. 14. 如图,边长为 1 的正方形网格中点 A,B,C,D 均在格点上,则 ∠AOB+∠COD= 　 　 　 　 °. 第 14 题图 　 第 15 题图 　 第 16 题图 15. 如图,在直线 l 上依次摆放着七个正方形. 已知斜放置的三个 正方形的面积分别是 1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次 是 S1,S2,S3,S4,则 S1 +S2 +S3 +S4 = 　 　 　 　 . 16. 生活情境·蚂蚁爬行 如图,圆柱形玻璃杯高为 12 cm,底面周长 为 18 cm. 在杯内壁离杯底 4 cm 的点 C 处有一滴蜂蜜,此时一 只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿 4 cm 与蜂蜜相对的点 A 处,则 蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　 　 　 　 cm. 三、解答题(本大题 8 小题,共 72 分) 17. (8 分)如图,△ABC 中,已知 CD⊥AB,AC = 20,BC = 13,CD = 12,求 AB 的长. ·1· 18. 生活情境·收绳拉船 (8 分)如图,在离水面高度为 12 米的岸 上有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子 BC 的长为 15 米,此人以 每秒 0. 5 米的速度收绳. 问:4 秒后船向岸边移动多少米? 19. 生活情境·吸管 (9 分)如图,有一个透明的直圆柱状的玻璃 杯,现测得内半径为 3 cm,高为 8 cm. 今有一根 12 cm 长的吸 管任意斜放于杯中,若不考虑吸管的粗细,则吸管露出杯口外 的长度最短为多少? 20. 生活情境·渡船 (9 分)如图,某渡船从点 B 处沿着与河岸垂直 的路线 AB 横渡,由于受水流的影响,实际沿着 BC 航行,上岸 地点 C 与欲到达地点 A 相距 70 米,结果发现 BC 比河宽 AB 多 10 米,求该河的宽度 AB. (两岸可近似看作平行) 21. 生活情境·卡车进门 (9 分)一辆装满货物的卡车,其外形高 2. 5 m,宽 1. 6 m,要开进厂门形状及尺寸如图所示的某工厂, 这辆卡车能否通过该工厂的门? 请做出判断,并说明理由. 22. 生活情境·铺设管道 (9 分)如图,A,B 两个小镇在河岸 CD 的 同侧,到河岸的距离分别为 AC = 10 千米,BD = 30 千米,且 CD = 30 千米. 现在要在河边建一自来水厂,向 A,B 两镇供水,铺 设水管的费用为每千米 3 万元,请你在河岸 CD 上找到水厂的 位置 M,使得铺设水管的总费用最少,并求出最少总费用. (补 充知识:平行线之间的距离处处相等) 23. (10 分)如图,△ABC 的顶点在正方形网格中的格点上,若小方 格边长为 1,请你根据所学的知识解决下列问题. (1)△ABC 的面积为　 　 　 　 ; (2)判断△ABC 的形状,并说明理由. 24. (10 分)如图,在边长为 6 的正方形 ABCD 中,E 是边 CD 的中 点,将△ADE 沿 AE 翻折至△AFE,延长 EF 交 BC 于点 G,连接 AG,且 AG 平分∠BAF. (1)试说明:△ABG≌△AFG; (2)求 BG 的长. ·2· 　 答案详解详析　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 第一章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D A B B D A C D A D B 1. D　 2. D　 3. A 4. B　 【解析】因为大正方形的面积是 61,小正方形的面积 是 1,所以一个直角三角形的面积是(61-1)÷4 = 15,所以 1 2 ab= 15,a2 +b2 = 61. 所以(a+b) 2 =a2 +b2 +2ab = 121. 因为 a+b>0,所以 a+b= 11. 故选 B. 5. B　 【解析】由题意得摩托车行驶了 6×10 = 60(米),自行 车行驶了 2. 5×10 = 25(米),因为 252 +602 = 652,所以 10 秒后两车距离 65 米. 故选 B. 6. D　 【解析】由题知两艘轮船所走的方向构成了直角. 2 小时后,两艘轮船分别行驶了 16×2 = 32(海里),12×2 = 24(海里) . 因为 322 + 242 = 402,所以 2 小时后两船相距 40 海里. 故选 D. 7. A　 【解析】设 a= 3x,b = 4x. 因为在 Rt△ABC 中,a2 +b2 = c2,即(3x) 2 +(4x) 2 = 102,解得 x2 = 4,所以 S△ABC = 1 2 ab = 1 2 ·3x·4x= 6x2 = 24. 故选 A. 8. C　 【解析】因为题中未给出图形,故分两种情况:①如图 1,在 Rt△CDA 中,由勾股定理得 152 = 122 +DA2,即 DA = 9,同理,BD= 5,所以 C△ABC =BC+AC+AD+BD= 13+15+9+ 5 = 42;②如图 2,与①同理得 AD= 9,BD= 5,所以 AB=AD -BD= 4,所以 C△ABC =AB+AC+BC= 4+13+15 = 32. 综上所 述,△ABC 的周长为 42 或 32. 故选 C. 图 1 　 　 　 　 图 2 9. D 10. A　 【解析】由折叠知 DN=EN,设 CN= xcm,则 EN=(8- x)cm. 因为 E 为 BC 的中点,所以 EC = 1 2 BC = 4cm. 在 Rt△ECN 中,EN2 =EC2 +CN2,即(8-x) 2 = 42 +x2,所以 x = 3,即 CN= 3cm. 故选 A. 11. D　 【解析】AB2 = 10,AC21 = 5,BC 2 1 = 5,∴ AB 2 = AC21 +BC 2 1, ∴ △ABC1 是直角三角形,∵ AC 2 2 = 10,AB 2 = 10,BC22 = 20,∴ BC22 =AC 2 2 +AB 2,∴ △ABC2 是直角三角形,∵ AB 2 = 10,AC23 = 20,BC 2 3 = 10,∴ AC 2 3 =AB 2 +BC23,∴ △ABC3 是直 角三角形,∵ AC24 = 16,BC 2 4 = 18,AB 2 = 10,∴ BC24 ≠AC 2 4 + AB2,∴ △ABC4 不是直角三角形,所以△ABC2,△ABC3, △ABC1 是直角三角形,但△ABC4 不是直角三角形,故 选 D. 12. B 　 【解析】 ∵ ∠ACB = 90°, BC = 3, AC = 4, ∴ AB = 　 AC2 +BC2 = 5,∵ CD⊥AB 于点 D,∴ △ABC 的面积 = 1 2 BC·CA = 1 2 AB·CD,∴ 3× 4 = 5CD,∴ CD = 2. 4,∴ BD= 　 BC2 -CD2 = 1. 8,∵ E 是 AB 的中点,∴ BE = 1 2 AB = 2. 5,∴ DE=BE-BD= 0. 7. 故选 B. 13. 100 14. 45　 【解析】连接 BC,由勾股定理,得 OC2 = 12 + 22 = 5, OB2 = 12 + 32 = 10,BC2 = 12 + 22 = 5. 所以 OC = BC,OC2 + BC2 =OB2,所以∠OCB= 90°,即△COB 是等腰直角三角 形,所以∠COB = 45°. 因为∠DOA = 90°,所以∠AOB+ ∠COD= 45°. 15. 4　 【解析】如图,由题易证△ABC≌△CDE,所以 AB = CD. 在 Rt△CDE 中,CD2 +DE2 =CE2,即 AB2 +DE2 =CE2, 而 AB2 = S3,CE 2 = 3,DE2 = S4,所 以 S3 +S4 = 3. 同理 S1 +S2 = 1,所 以 S1 +S2 +S3 +S4 = 1+3 = 4. 16. 15　 【解析】如图,将杯子侧面展 开,过点 D 作 CD⊥AE 于点 D,作点 A 关于 EQ 的对称点 A′,连接 A′C,则 A′C 即为最短 距离. 由题意,得 CD = 1 2 ×18 = 9(cm),A′D =DE+A′E= 12-4+4 = 12(cm) . 在 Rt△A′CD 中,由勾股 定理得 A′C2 = 122 +92 = 225,所以 A′C = 15cm. 即蚂蚁到 达蜂蜜的最短距离为 15cm. 17. 解:因为 CD⊥AB,所以∠ADC= ∠BDC= 90°. (2 分) 在 Rt△ADC 中,AD2 =AC2 -CD2 = 202 -122 = 256,所以 AD = 16. 在 Rt△BDC 中,BD2 =BC2 -CD2 = 132 -122 = 25,所 以 BD= 5, (7 分) 所以 AB=AD+BD= 16+5 = 21. (8 分) 18. 解:收绳前,在 Rt△ABC 中,由勾股定理得 AB= 9m. (2 分) 设 4s 后船移动到点 D 处,连接 CD. DC= 15-0. 5×4 = 13(m), (4 分) 由勾股定理,得 AD2 =CD2 -AC2 = 132 -122 = 25,所以 AD = 5m. (7 分) BD=AB-AD= 4(m). 即 4 秒后船向岸边移动 4 米. (8 分) 19. 解:因为∠ADC= 90°,CD= 2×3 = 6(cm), (2 分) 所以在 Rt△ACD 中,由勾股定理,得 AC2 =CD2 +AD2 = 62 +82 = 100,即 AC= 10cm, (6 分) 则吸管露出杯口外的长度最短为 12-10 = 2(cm). (9 分) 20. 解:设 AB= x 米,则 BC= (x+10)米. (2 分) 在 Rt△ABC 中,根据勾股定理,得 x2 +702 = (x+10) 2 ,解 得 x= 240,即河宽 240 米. (9 分) 21. 解:卡车能通过该工厂的门. (1 分) 理由:如图所示, 由题可知 OD = 1. 6 ÷ 2 = 0. 8(m). (2 分) 过点 D 作 CH⊥AB,与地面交于点 H,与厂 门上方圆弧交于点 C,连接 OC,则 OC = 1m. (4 分) 在 Rt△OCD 中,由勾股定理,得 CD2 = OC2 -OD2 = 12 - 0. 82 = 0. 36,所以 CD= 0. 6m, (6 分) 所以 CH= 0. 6+2. 3 = 2. 9(m). (8 分) 因为 2. 9>2. 5,所以这辆卡车能通过该工厂的门. (9 分) 22. 解:作点 A 关于 CD 的对称点 A′,连接 A′B 与 CD 交于 点 M,点 M 即水厂的位置,A′C=AC= 10 千米, (2 分) 连接 AM,过点 B 作 BK⊥AA′于点 K,因为 AC⊥CD,BD ⊥CD,所以 AC∥BD. 所以 BK =CD = 30 千米,同理可得 CK=BD= 30 千米,则 A′K=CK+A′C= 40 千米. (5 分) 由作图可知∠A′KB = 90°,所以在 Rt△A′KB 中,由勾股 定理,得 A′B2 =A′K2 +BK2 = 502 ,所以 A′B= 50 千米, (8 分) 所以最少总费用为 50×3 = 150(万元) . (9 分) 23. 解:(1)5 (3 分) (2)△ABC 是直角三角形, (4 分) 理由:由勾股定理得,AB2 = 12 +22 = 5,AC2 = 42 +22 = 20, BC2 = 42 +32 = 25,所以 AB2 +AC2 =BC2 . 所以△ABC 是直 角三角形. (10 分) 24. 解:(1)在正方形 ABCD 中,AD =AB =BC =CD = 6,∠D = ∠B= ∠C= 90°. (1 分) 由翻折可知 AD = AF,DE =EF,所以 AB = AF. 又因为 AG 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBB·数学　 第 1 页 平分∠BAF,所以∠BAG= ∠FAG. (4 分) 又因为 AG=AG,所以△ABG≌△AFG; (5 分) (2)因为△ABG≌△AFG,所以 BG=FG. (6 分) 设 BG=FG= x,则 GC = 6-x. 因为 E 为 CD 的中点,所以 CE=EF=DE= 1 2 CD= 3,所以 EG= 3+x. (8 分) 在 Rt△CEG 中,由勾股定理,得 CE2 +CG2 = EG2 ,即 32 + (6-x) 2 = (3+x) 2 , (9 分) 解得 x= 2,所以 BG= 2. (10 分) 第二章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B D A D C B C C B D A 1. B　 2. B　 3. D　 4. A 5. D　 【解析】由数轴可知 a<0,b>0, | a | > | b | ,所以 a+b<0, a-b<0,所以 | a+b | + (a-b) 2 = -(a+b)-(a-b)= -a-b- a+b= -2a. 故选 D. 6. C 7. B　 【解析】36 的平方根是±6,①错误;- 9 没有平方根, ②错误; 16 = 4,③错误;0. 1 是 0. 01 的算术平方根,④ 错误;42 的平方根是±4,⑤错误;81 的算术平方根是 9, ⑥正确. 故选 B. 8. C 9. C　 【解析】原式 = 　 6 × 4 = 4 　 6 = 　 96,∵ 　 81 < 　 96 < 　 100,∴ 9< 　 96 <10,即 9<　 6 × 　 15+1 <10,故选 C. 10. B　 【解析】由题意得 3x+4 = 0,y-6 = 0,解得 x= - 4 3 ,y = 6,则 xy= -8. 故选 B. 11. D　 【解析】甲:要求面积 S 的值,可先求出正方形 ABCD 的边长也可以用大正方形面积减去 4 个直角三角形的 面积,因此甲的说法不正确;乙:由勾股定理可得正方 形 ABCD 的边长是 12 +22 = 5,因此乙的说法正确; 丙:由勾股定理可得正方形 ABCD 的对角线 AC 或 BD 的长为 12 +32 = 10,而 3< 10 <4,因此丙的说法正 确. 综上所述,正确的是乙和丙,故选 D. 12. A　 【解析】 　 S1 = 　 1+1+ 1 4 = 3 2 , 　 S2 = 　 1+ 1 4 + 1 9 = 7 6 , 　 S3 = 　 1+ 1 9 + 1 16 = 13 12 , 　 S4 = 　 1+ 1 16 + 1 25 = 21 20 , …, 　 Sn = 1+ 1 n - 1 n+1 ,∴ 　 S1 + 　 S2 +…+ 　 S24 = 1+1- 1 2 +1+ 1 2 - 1 3 +…+1+ 1 24 - 1 25 = 24+1- 1 25 = 624 25 . 故选 A. 13. 4 14. 121 4 　 【解析】由题意得,a+3+a-8 = 0,解得 a = 5 2 ,所以 a+3 = 11 2 ,a-8 = - 11 2 ,因为( ± 11 2 ) 2 = 121 4 ,所以这个数 为 121 4 . 15. 2　 【解析】因为 3 = 9 < 13 < 16 = 4,所以 13 的整 数部分为 3,所以[ 13 -1] = 2. 16. 11 　 【解析】因为 m= 2+ 3,n = 2- 3,所以 m+n = (2 + 3)+(2- 3 ) = 4,mn = (2+ 3 ) ×(2- 3 ) = 1,所以 m2 +n2 -3mn = (m+n) 2 -5mn = 42 -5×1 = 11 . 17. 解:( 1) 原式 = - 12 + 2 - 3 - 2 = - 2 3 + 2 - 3 - 2 = -3 3 ; (3 分) (2)原式= -4 2 ÷(4 2 × 6 )+1 = - 6 6 +1; (6 分) (3)(2x-1) 2 = 16,2x-1 = ±4,解得 x= 5 2 或 x= - 3 2 . (9 分) 18. 解:由题意得,x= ± 5 ,y= ± 3 . (2 分) 因为 | y-x | = x-y,所以 x≥y. 所以 x = 5 ,y = 3 或 x = 5 ,y= - 3 . (6 分) 所以 x+y= 5 + 3或 x+y= 5 - 3 . (8 分) 19. 解:(1)由题意可得 m= 2- 2 ; (3 分) (2)因为 m= 2- 2 ,所以 |m-1 | +(m+6) 0 = | 2- 2 -1 | + (2- 2 +6) 0 = 2 -1+1 = 2 . (8 分) 20. 解:原式= (6 xy +3 xy)-(4 xy +6 xy)= - xy . (6 分) 当 x= 3 2 ,y= 27 时,原式= - 3 2 ×27 = - 9 2 2 . (9 分) 21. 解:(1)设长方形纸片的长为 3xcm,宽为 2xcm, 由题意得: 3x·2x= 384, (2 分) 解得:x= 8 或 x= -8(舍去). 所以 3x= 24,2x= 16. 所以长方形纸片的长为 24cm,宽为 16cm; (4 分) (2)她能裁出符合要求的长方形, 理由:设新长方形纸片的长为 5acm,宽为 4acm,由题意 得: 5a·4a= 300. (6 分) 解得: a= 15或 a= - 15( (舍去), 所以新长方形的长为 5 15 cm,宽为 4 15 cm. 因为(5 15) 2 = 375,242 = 576,(4 15) 2 = 240,162 = 256, 375<576,240<256,所以 5 15<24,4 15<16. (8 分) 所以她能裁出符合要求的长方形. (9 分) 22. 解:(1)3　 11 -3 (3 分) (2)因为 4 < 5 < 9 , 36 < 41 < 49 ,所以 2< 5 <3, 6< 41 <7. 所以 a= 5 -2,b= 6. 所以 a+b- 5 = 5 -2+6 - 5 = 4; (6 分) (3)因为 2< 5 <3,所以 5<3+ 5 <6,所以 x= 5,y= 3+ 5 -5 = 5 -2,则 x-y= 5-( 5 -2)= 5- 5 +2 = 7- 5 . (9 分) 23. 解:(1)由题意,得 a- 8 = 0,b-5 = 0,c-3 2 = 0, (3 分) 所以 a= 8 = 2 2 ,b= 5,c= 3 2 ; (5 分) (2)能构成三角形. (6 分) 因为 2 2 +3 2 = 5 2 >5,所以能组成三角形, (8 分) 其周长为 2 2 +5+3 2 = 5 2 +5. (10 分) 24. 解:(1) 2( 5 - 3 ) ( 5 + 3 )( 5 - 3 ) = 2( 5 - 3 ) ( 5 ) 2 -( 3 ) 2 = 5 - 3 (3 分) 5-3 5 + 3 = ( 5 ) 2 -( 3 ) 2 5 + 3 = ( 5 + 3 )( 5 - 3 ) 5 + 3 = 5 - 3 (5 分) (2 ) 原 式 = 1 2 ( 2 3 +1 + 2 5 + 3 + 2 7 + 5 + … + 2 2n+1 + 2n-1 ) (7 分) = 1 2 [( 3 - 1) +( 5 - 3 ) +( 7 - 5 ) +… +( 2n+1 - 2n-1 )] (9 分) = 2n+1 -1 2 . (10 分) 第三章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B C B D C B B A A 1. B　 2. B　 3. C　 4. B　 5. D　 6. C　 【解析】因为点 Q(2x+4,x2 -1)在 y 轴上,所以 2x+4 = 0,解得 x= -2,所以 x2 -1 =(-2) 2 -1 = 3,所以点 Q 的坐标 为(0,3) . 故选 C. 7. B 8. B　 【解析】根据题意得点 C 和点 B 关于直线 y= 1 对称, 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBB·数学　 第 2 页