第一章 勾股定理（十大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

第一章 勾股定理 内容导航 知识点 类型一、两点间距离公式的应用 类型二、以直角三角形的边为边的图形面积问题 类型三、勾股定理在网格图中的应用 类型四、折叠背景下的勾股定理应用 类型五、应用勾股定理证明线段的平方关系 类型六、勾股定理的证明 类型七、勾股定理与弦图 类型八、应用勾股定理构造图形解决问题 类型九、勾股定理的实际应用 类型十、综合问题中的勾股定理应用 知识点1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点3．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点4．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 知识点5．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 知识点6．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 类型一、两点间距离公式的应用 1．如图，动点从（0，3）出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，同时动点从出发，沿轴以每秒2个单位长度的速度向右移动，当点移动到点时，点、同时停止移动．点在第一象限内，在、移动过程中，始终有，且．则在整个移动过程中，点移动的路径长为（    ） A． B． C． D． 2．已知为实数，则代数式的最小值为 ． 3．在纸片中，，，.如图，直角顶点在原点，点在轴负半轴上，当点在轴上向上移动时，点也随之在轴上向右移动，当点到达原点时，点停止移动.在移动过程中，点到原点的最大距离是 ． 4．阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的位置关系有以下三种情形； ①如果AB∥x轴，则y1＝y2，AB＝|x1﹣x2| ②如果AB∥y轴，则x1＝x2，AB＝|y1﹣y2| ③如果AB与x轴、y轴均不平行，如图，过点A作与x轴的平行线与过点B作与y轴的平行线相交于点C，则点C坐标为（x2，y1），由①得AC＝|x1﹣x2|；由②得BC＝|y1﹣y2|；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式AB＝． 小试牛刀： （1）若点A坐标为（﹣2，3），B点坐标为（3，3）则AB＝　 　； （2）若点A坐标为（3，2），B点坐标为（3，﹣4）则AB＝　 　； （3）若点A坐标为（3，2），B点坐标为（7，﹣1）则AB＝　 　； 学以致用： 若点A坐标为（2，2），点B坐标为（4，4），点P是x轴上的动点，当AP+PB取得最小值时点P的坐标为　 并求出AP+PB最小值＝　 ； 挑战自我： 已知M＝，N＝根据数形结合，直接写出M的最小值＝　 　；N的最大值＝　 　； 5．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离． 如图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，， ∴． (1)由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为：______． (2)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为______． (3)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值： (4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）． (5)应用拓展：如图，若点D在上运动，，，连接，，求的周长的最小值． 6．数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 探究一：求方程|x﹣1|＝5的解 （1）探究|x﹣1|的几何意义 如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应点的数为x﹣1，由绝对值的定义可知，点A′与O的距离为|x﹣1|，可记为：A′O＝|x﹣1|． 将线段A′O向右平移一个单位，得到线段AB，此时点A对应的数为x，点B的对应数是1，因为AB＝A′O，所以AB＝|x﹣1|． 因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB． （2）求方程|x﹣1|＝5的解 因为数轴上　 　所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，所以方程的解为　 　． 探究二：探究的几何意义 （1）探究的几何意义 如图②，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则点P点坐标（x，0），Q点坐标（0，y），|OP|＝x，|OQ|＝y， 在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，则 MO＝＝＝ 因此的几何意义可以理解为点M（x，y）与原点O（0，0）之间的距离MO． （2）探究的几何意义 如图③，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（二） （1）可知，A′O＝，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5）． 因为AB＝A′O，所以AB＝，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB． （3）探究的几何意义 请仿照探究二（2）的方法，在图④中画出图形，并写出探究过程． （4）的几何意义可以理解为：　 　． 拓展应用： （5）的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（2，﹣1）的距离与点A（x，y）与点F　 　（填写坐标）的距离之和． （6）的最小值为　 　．（直接写出结果） 类型二、以直角三角形的边为边的图形面积问题 7．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 8．如图，中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．则等于（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24       9．如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点在上，若，则图中阴影的面积为 ． 10．如图，在直角三角形中，直角边，，以它的三边分别作出了正方形、、，把、、的面积分别记为、、，则 ． 11．在中，，如图1，分别以，，为边向外作等边三角形，， （1）若，，则______． （2）如图2，将沿翻折，点的对应点记为， ①连接，请求出的度数． ②若保持不变，随着的长度变化，点也随之运动，试探究的值是否变化，若不变，求出的值；若改变，求出的最小值． 12．[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 13．问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观， 从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直 观推导和解释． 如图 1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式： 如图 2，在中，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论 ． 如图 3，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么第问的结论 是否成立？请说明理由． 如图 4，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直 径向上作半圆，求图 4 中阴影部分的面积． 14．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）； ②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积． (2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； (3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______． 类型三、勾股定理在网格图中的应用 15．在正方形网格图形中，每个小正方形的边长为，将其顶点称为格点．从一个格点运动到与之相距的另一个格点之间的一次移动，因类似中国象棋中马的“日”字型跳跃，故称为一次“跳马”变换． （1）如图1，在4×4的正方形网格图形中，从格点A经过一次“跳马”变换可以到达的格点为 （填“B” “C”或“D”）； （2）如图2，现有6×6的正方形网格图形，若从该正方形的格点M经过三次“跳马变换到达格点N，则共有 中不同的跳法． 16．如图，是由边长为1的小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．五边形ABCDE的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）五边形ABCDE的周长为　 　． （2）在AB上找点F，使E，C两点关于直线DF对称； （3）设DF交CE于点G，连接AG，直接写出四边形AEDG的面积； （4）在直线DF上找点H，使∠AHB＝135°． 17．【问题探究】    (1)构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． ①请结合图1，试说明； ②在图2中，请尝试构造三角形，比较与的大小； ③在图3中，请尝试构造四边形，比较与的大小； 【迁移运用】 (2)如图4，线段，为线段上的任意一点，设线段．则是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点的位置；如果没有，请说明理由． 18．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上.请用无刻度尺按要求作图： (1)在图1中，作的高； (2)在图2中作图： ①找一格点使，且； ②连接，在上画出一点，连，使将四边形的面积平分． 19．提出问题： 在4×4的正方形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有几个？ 问题探究： 为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法． 探究一： 在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取2个数值：1，，以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下一种情况：1、1、． 当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为4个． 探究二： 在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取5个数值：1，2，，，．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下三种情况：1、1、；、、2；2、2、． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有6条，其中有4条在2×2正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有2条在2×2正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有4×1+2×2=8个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为16+8+4=28个． 探究三： 在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取 个数值．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下五种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2=36个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有 条在3×3正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有 条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有 个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个． （4）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形； 有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2=16个． （5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 个． 问题解决： 在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 个． 拓展延伸： 在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直角三角形为底面的直三棱柱的个数为 个． 20．现场学习题：问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．    （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．　 　 思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积是：　 　． 类型四、折叠背景下的勾股定理应用 21．如图，在等腰中，，，点和分别是和上两点，连接，将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处，与交于点，则折痕的长度为（　　） A． B． C． D． 22．如图，在中，，以各边为斜边分别向外作等腰、等腰、等腰，将等腰和等腰按如图方式叠放到等腰中，已知，，则长为（   ） A．2 B． C．6 D．8 23．如图，在中，，D在上，将沿直线翻折后，点A落在点E处，如果，那么的面积是 ． 24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则的面积为 ． 25．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°．点E是BC上的一点，D为AC中点，连接ED，将△CED沿ED翻折，得到△EDC′，连接AC′，BC′．若DC′⊥AB，AC′＝2，则△ABC的面积为 ． 26．如图，长方形中，，，点P在边上（不含端点B，C），直线与的延长线交于点E． (1)当点P是的中点时， 的长为 ， 的长为 ； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①在（1）的条件下，求出的长；（小陈不完整的求解过程如下，请你帮他补充完整．） （只需在答题卡对应区域写出剩余求解过程） ②连接，求周长的最小值． 连接，， 27．如图①，在长方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） (1)如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值； (2)当射线PE与边AB交于点F时，是否存在这样的t的值，使得FE=FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由； (3)在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线AB的距离等于3，则此时t=___________． 28．折叠问题是几何变换常见的数学问题，其本质是轴对称图形，而长方形的折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：在长方形纸片中，，，点M在边上，． 【活动探究1】 （1）如图1，将长方形纸片沿折叠，点B落在点处，与交于点E，求线段的长． 【活动探究2】 （2）如图2，在图1的基础上将纸片左边部分沿折叠，使恰好落在直线上，点C，D的对称点为，． ①求折痕的长； ②连接，求的长． 类型五、应用勾股定理证明线段的平方关系 29．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”． （1）若一个三角形的三边长分别是，和2，次三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由； （2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）； （3）如图，中，，，为的中线，若是平方倍三角形，求的面积． 30．如图，△ABC中AC=BC，点D，E在AB边上，连接CD，CE． (1)如图1，如果∠ACB=90°，把线段CD逆时针旋转90°，得到线段CF，连接BF， ①求证：△ACD≌△BCF； ②若∠DCE=45°， 求证：DE2=AD2+BE2； (2)如图2，如果∠ACB=60°，∠DCE=30°，用等式表示AD，DE，BE三条线段的数量关系，说明理由．    31．如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 32．我们定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“奇异三角形”． （1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题：“等边三角形一定是奇异三角形”  是 命题．(填写“真命题、假命题”) （2）在RtΔABC 中， ∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtΔABC 是“奇异三角形”，则a：b：c＝ ． （3）如图，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若在四边形ACBD内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE． ①求证：ΔACE是“奇异三角形”； ②当ΔACE是直角三角形时，且AC＝，求线段AB 的长． 33．如图，在等腰直角中，，D是线段上一点（），连接，过点C作的垂线，交的延长线于点E，交的延长线于点F. （1）依题意补全图形； （2）若，求的大小（用含的式子表示）； （3）若点G在线段上，，连接. ①判断与的位置关系并证明； ②用等式表示之间的数量关系.    34．如图，在中，，，． (1)如图1，求的长； (2)如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明； (3)如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于时，求的值． 类型六、勾股定理的证明 35．本学期我们接触到了几何学上的明珠——勾股定理． 千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有国家总统，下面试举三例，一起领略其魅力． (1)【验证】图1是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理； (2)【应用】如图2，和都是等边三角形，点在内部，连接、、． 若，，，求的长； (3)【提升】如图，在一般三角形中，，，，是边的中线． 在一般三角形中，如何用、、表示． 36．【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：，得，则，得到：． 从而得到了勾股定理的推论：己知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则 【问题解决】如图2，已知的三边长分别为，如何计算的面积？据记载，古人是这样计算的：作边上的高．以的长为斜边和直角边作（如图3），其中．                (1)用古人的方法计算的值，完成下面的填空： =[（__________）（__________）]-[（__________）-（__________）] =__________ (2)试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成面积的计算过程； (3)你还有其他计算的面积的方法吗？写出解答过程． 37．经典证明：欧几里得在《原本》中证明勾股定理的思路如下：如图1，首先分别以三边为边长作正方形，正方形，正方形．过点C作的垂线，交于点D，交于点G，然后证明正方形的面积与长方形的面积相等，正方形的面积与长方形的面积相等，最后得出正方形的面积等于正方形与正方形的面积之和，从而完成勾股定理的证明． 方法点拨：如图2，连接、，可证明，从而得到，利用平行线的相关性质可以得到，，于是得到……．    问题解决： (1)请你结合“经典证明”的思路与“方法点拨”证明勾股定理． (2)如图3，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．请在网格中，只用无刻度的直尺，画出一个以为一边的长方形，使该长方形的面积等于，井简要说明画图方法（保留画图痕迹，无需证明） 38．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2），连接，并延长交于点K，连接．若，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 类型七、勾股定理与弦图 39．如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图，连接AC，FN交EF，GH分别于点M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD，则图中阴影部分的面积之和为（  ） A． B． C． D． 40．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 41．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是    42．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为 ，，，若，则的值是 ． 43．拼图是一种研究代数恒等式的重要方法，所谓的拼图指的是把所给的图形以不同的方式拼成不同形状的图形，把图形面积用不同的代数式表示，由于拼图前后的面积相等，从而相应的代数式的值也相等，进而得到代数恒等式 (1)智慧学习小组探索了用4个如图1所示的全等的长方形（长、宽分别为a、b）拼成不同的图形．在研究过程中，他们用这4个长方形拼成了一个如图2所示的“回形”正方形．拼图前后，请写出该小组所用图形（4个长方形）的面积的计算方法：拼图前：___________ ；拼图后：__________ ；因为拼图前后的面积不变，所以可得代数恒等式：_____________. (2)利用（1）中得到的恒等式，解决下面的问题：已知求的值． (3)超人学习小组受智慧学习小组的启发，用4个如图3所示的全等的直角三角形（三边长分别为a、b、c）拼成了两种“中空”的正方形.请你画出这两种图形：由上面的图形可得代数恒等式：________________ . (4)利用（3）中得到的代数恒等式，解决下面的问题：在中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8，求AC的长. 44．阅读材料：面积是几何图形中的重要度量之一，在几何证明中具有广泛应用．出入相补原理是中国古代数学中一条用于推证几何图形面积的基本原理，它包含以下基本内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积保持不变，总面积等于所有分割成的小图形的面积之和．基于以上原理，回答问题： (1)把边长为8的正方形按图1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把图形重新拼成图2中长为13，宽为5的长方形； (2)如图3，a，b，c分别表示直角三角形的三边，比较大小：a2＋b2________c2；（a＋b）2________2ab； (3)观察图4，写出（ac＋bd）2与（a2＋b2）（c2＋d2）的大小关系：______． 45．阅读理解： 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． (1)【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ； (2)【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 ； (3)【初步运用】如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积． (4)【初步运用】如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ． (5)【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程（知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k）． 46．如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形如图2． （1）你能在方格图（图3）中，连接四个格点（网格线的交点）组成面积为5的正方形吗？若能，请用虚线画出． （2）你能把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形． （3）如图，是由两个边长不等的正方形纸片组成的一个图形，要将其剪拼成一个既不重叠也无空隙的大正方形，则剪出的块数最少为________块．请你在图中画出裁剪线，并说明拼接方法． 类型八、应用勾股定理构造图形解决问题 47．[探究] （1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________； ②据此求出的最小值； [类比] （2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________． 48．十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图1，在一个长、宽、高分别为的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙，苍蝇正好在左面墙高度一半的位置（即N点处），并且距离后面墙，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少m？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！ 【基础研究】如图2，在长、宽、高分别为a，b，c的长方体一个顶点A处有一只蚂蚁，欲从长方体表面爬行去另一个顶点处吃食物，探究哪种爬行路径是最短的？ (1)观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线，即图3、图4、图5所示. 填空：图5是由______面与______面展开得到的平面图形；（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”） (2)推理验证：如图3，由勾股定理得，， 如图4，由勾股定理得，， 如图5，． 要使得的值最小， ∵ ……（请补全推理过程） ∴ ∴选择如图______情况，此时的值最小，则的值最小，即这种爬行路径是最短的． (3)【简单应用】如图6，长方体的长，宽，高分别为，点P是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点P，则爬行的最短路程长为______cm． (4)【问题回归】 最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图1），那只蚂蚁所走的最短路程是______m． 49．【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图． 【小试牛刀】 把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，则它们满足的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为__________米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值． 50．在直线上摆放着三个正方形 (1)如图1，已知水平放置的两个正方形的边长依次是，斜着放置的正方形的面积_ ；两个直角三角形的面积之和为____ (均用表示) (2)如图2，小正方形面积， 斜着放置的正方形的面积，求图中两个钝角三角形的面积_ ；_ (3)图3是由五个正方形所搭成的平面图，与分别表示所在地三角形与正方形的面积，试写出_ ；_ .(均用表示) 类型九、勾股定理的实际应用 51．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为（  ） A． B． C． D． 52．2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗缓缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（　　） A．10m B．11m C．12m D．13m 53．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域 B 处，在沿海城市 A 的正南方向 240 千米，其中心风力为12 级，每远离台风中心 25 千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以 20 千米/时的速度沿 BC 方向移动．已知 AD⊥BC 且AD= AB，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过 4 级，则称受台风影响．试问： （1）A 城市是否会受到台风影响？请说明理由． （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 54．【问题探究】 (1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF=AE，并说明理由； (2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值； 【问题解决】 (3)如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号)    55．受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图．    根据以下素材，探索完成任务， 探究雨伞中的数学问题 素材1 图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄， 伞骨且，， D点为伞圈． 伞完全张开时，如图1所示．    素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图， 此时伞圈D滑动到的位置， 且三点共线． 测得（参考值：）．    素材3 同学们经过研究发现： 雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为， 小田站在伞圈D点的正下方点G处， 记为， 此时发现身上被雨淋湿， 测得．    问题解决 任务1 判断AP位置 求证：是的角平分线． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢， 求伞圈D移动的距离（精确到）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离_____，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案） 在图2中， 56．【问题提出】 （1）如图，在中，，，，为边的中点，连接，则的长为____________． 【问题探究】 （2）如图，在四边形中，，，，，且为的中点，连接，求线段的最大值． 【问题解决】 （3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某学校计划利用学校内一块四边形空地规划建立劳动教育综合实践基地．如图，是的中点，把四边形分成了两部分，其中四边形内种植油葵，内种植豌豆，是步行通道．为方便种植，要让步行通道最长．若米，，，且，修建步行通道每米花费元，则学校修建步行通道最多需要花费多少钱？（参考数据：）       类型十、综合问题中的勾股定理应用 57．【问题呈现】“一直线三等角”，是几何证明的常见模型． （1）如图1，和均为等边三角形，点D为边上一个动点，，点O为边中点，连接，写出图中全等的三角形______．线段的最小值______． 【问题探索】 （2）是等腰直角三角形，，点E是上一点，，交于D． ①如图①试探究数量关系，并给予证明； ②如图②，若，点F是的中点，求的长． 【灵活运用】 （3）如图3，四边形中，对角线相交于点E，，，求四边形的面积． 58．【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，点为中点，点在线段上（点E不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，求的长．    59．如图，中，，，点是中点，的两边，分别与直线，交于点，，且，连接 (1)如图1，当点，分别在，上时，猜想形状是三角形；线段、、的数量关系是______ (2)如图2，当点，分别在，延长线上时，上述两个结论成立吗?若成立，请完成证明；若不成立，请说明理由． (3)在(2)的条件下， ①连接，直接写出______ ②当时，求的长 60．如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在中，，；中，，． (1)如图，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，请在图中找出一对全等三角形，并说明理由； (2)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想线段、、的数量关系，并说明理由； (3)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为 ． 61．数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角和摆在一起，其中直角顶点A重合，，，． (1)用数学的眼光观察． 如图1，连接，，判断与的数量关系，并说明理由； (2)用数学的思维思考． 如图2，连接，，若F是中点，判断与的数量关系，并说明理由； (3)用数学的语言表达． 如图3，延长至点F，满足，然后连接，，当，，绕A点旋转得到三点共线时，求线段的长． 62．综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】 （1）操作一：如图1，第一小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为．根据以上操作，求； 【拓展探究】 （2）操作二：如图2，第二小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．若，求线段的长； 【迁移应用】 （3）如图3，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若，，，请求出线段的长． 63．已知中，．点D由点A出发沿向点C匀速运动，同时点E由点B出发沿向点A匀速运动，它们的速度相同，点F在上且，且点F在点E的下方，当点D到达点C时，点E，F也停止运动，连接．设AD=x．解答下列问题：    (1)________．________（用含x的代数式表示）． (2)如图1，当x为何值时，为直角三角形． (3)如图2，把沿翻折，点D落在点处． ①当x为何值时，四边形为菱形？并求出菱形的面积； ②如图3，分别取的中点M，N，在整个运动过程中，线段扫过的区域的形状为________，其面积为________． 试卷第4页，共134页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理 内容导航 知识点 类型一、两点间距离公式的应用 类型二、以直角三角形的边为边的图形面积问题 类型三、勾股定理在网格图中的应用 类型四、折叠背景下的勾股定理应用 类型五、应用勾股定理证明线段的平方关系 类型六、勾股定理的证明 类型七、勾股定理与弦图 类型八、应用勾股定理构造图形解决问题 类型九、勾股定理的实际应用 类型十、综合问题中的勾股定理应用 知识点1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点3．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点4．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 知识点5．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 知识点6．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 类型一、两点间距离公式的应用 1．如图，动点从（0，3）出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，同时动点从出发，沿轴以每秒2个单位长度的速度向右移动，当点移动到点时，点、同时停止移动．点在第一象限内，在、移动过程中，始终有，且．则在整个移动过程中，点移动的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意过P点作交于D点，作交于E点，并利用全等三角形判定,得出，从而分当时，有（0，3），，设P点坐标为以及当时，有、O（0，0），、H，设P点坐标为，求出P点坐标，继而由点移动的路径为一条线段利用两点间距离公式求得点移动的路径长. 【详解】解：由题意过P点作交于D点，作交于E点，如图， ∵， ∴, ∴, ∵, ∴,即有, 由题意可知， 当时，有（0，3），，设P点坐标为， 由，即有，解得， 即此时P点坐标为； 当时，有、O（0，0），、H，设P点坐标为， 由即图上，即有， 解得，即此时P点坐标为； 由图可知点移动的路径为一条线段， 则点移动的路径长为：. 故选：A. 【点睛】本题考查平面直角坐标系点的运动问题，熟练掌握全等三角形的性质和判定以及两点间距离公式是解题的关键. 2．已知为实数，则代数式的最小值为 ． 【答案】13 【分析】根据的几何意义结合图象求出最小值即可． 【详解】∵， 如图所示，由代数式的结构构造点P（m，0），A（8，3），B（3，9）， 则， 作点B关于x轴的对称点A'（3，-9）， 则， ∴代数式的最小值为13. 【点睛】本题考查了图形与坐标求最值问题，解题的关键是根据代数式的几何意义，利用数形结合思想转化为求最值问题． 3．在纸片中，，，.如图，直角顶点在原点，点在轴负半轴上，当点在轴上向上移动时，点也随之在轴上向右移动，当点到达原点时，点停止移动.在移动过程中，点到原点的最大距离是 ． 【答案】 【分析】取B1C1的中点E，连接OE、A1E，利用直角三角形的性质得到OE=2，再根据勾股定理求出A1E的长度，即可得到O、E、A1三点在一条直线上时，点A到原点的距离最大. 【详解】如图，取B1C1的中点E，连接OE、A1E，当O、E、A1三点在一条直线上时，点A到原点的距离最大， ∵△B1C1O是直角三角形，点E是B1C1的中点， ∴OE=B1C1=2，C1E=2， ∵A1C1=2，∠A1C1B1=90， ∴A1E=, ∴点A到原点的最大距离是， 故答案为：. 【点睛】此题考查坐标与图形的性质，勾股定理，题中OE的长度是定值，正确理解O、E、A1三点在一条直线上时，点A到原点的距离最大是解题的关键. 4．阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的位置关系有以下三种情形； ①如果AB∥x轴，则y1＝y2，AB＝|x1﹣x2| ②如果AB∥y轴，则x1＝x2，AB＝|y1﹣y2| ③如果AB与x轴、y轴均不平行，如图，过点A作与x轴的平行线与过点B作与y轴的平行线相交于点C，则点C坐标为（x2，y1），由①得AC＝|x1﹣x2|；由②得BC＝|y1﹣y2|；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式AB＝． 小试牛刀： （1）若点A坐标为（﹣2，3），B点坐标为（3，3）则AB＝　 　； （2）若点A坐标为（3，2），B点坐标为（3，﹣4）则AB＝　 　； （3）若点A坐标为（3，2），B点坐标为（7，﹣1）则AB＝　 　； 学以致用： 若点A坐标为（2，2），点B坐标为（4，4），点P是x轴上的动点，当AP+PB取得最小值时点P的坐标为　 并求出AP+PB最小值＝　 ； 挑战自我： 已知M＝，N＝根据数形结合，直接写出M的最小值＝　 　；N的最大值＝　 　； 【答案】小试牛刀：（1）5；（2）6；（3）5；学以致用：（，0），2；挑战自我： 3；2． 【分析】小试牛刀：（1）利用两点间的距离公式AB=|x1-x2|进行解答； （2）利用两点间的距离公式AB=|y1-y2|进行解答； （3）利用两点间的距离公式AB= 进行解答； 学以致用：利用轴对称的性质求得点P的坐标以及AP+PB的最小值； 挑战自我：利用M、N所表示的几何意义解答． 【详解】小试牛刀：（1）AB＝|x1﹣x2|＝|3﹣（﹣2）|＝5． （2）AB＝|y1﹣y2|＝|﹣4﹣2|＝6． （3）AB＝＝ ＝5． 学以致用：如图， ∵点A坐标为（2，2）， ∴点A关于x轴对称的点A′的坐标是（2，﹣2）， 连接A′B，直线A′B与x轴的交点即为点P． 设直线A′B为y＝kx+b（k≠0），则 ， 解得 ． ∴直线A′B为y＝3x﹣8． 令y＝0，则x＝， 即P（，0）， 此时AP+PB＝A′B＝ ． 挑战自我：M＝， 当M取最小值时，M表示点（x，0）与点（6，4）的距离与点（x，0）与点 （3，2）的距离之和（或M表示点（x，0）与点（6，﹣4）的距离与点（x，0）与点 （3，﹣2）的距离之和）， 此时M最小值＝． N＝ ， 当N取最大值时，N表示点（x，0）与点（6，﹣4）的距离与点（x，0）与点 （3，2）的距离之差（或M表示点（x，0）与点（6，﹣4）的距离与点（x，0）与点 （3，2）的距离之差）， 此时M最小值＝ ． 【点睛】考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案. 5．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离． 如图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，， ∴． (1)由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为：______． (2)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为______． (3)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值： (4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）． (5)应用拓展：如图，若点D在上运动，，，连接，，求的周长的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． （1）由即可求解； （2）直接利用两点之间距离公式，把两点代入求解即可； （3）作点B关于x轴对称的点，连接，直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段，求出的坐标，再利用两点之间距离公式求解即可； （4）代数式表示点到点和的距离之和，由两点之间线段最短可知点在以点和为端点的线段上时，其距离之和最小，再利用两点之间距离公式求解即可； （5）过A作，作B关于直线的对称点，连接，，由对称性可证的周长的最小值为，利用勾股定理求解即可； 【详解】（1）由题意知：、， ， ， 故答案为：； （2），， ， 故答案为：5； （3）作点B关于x轴对称的点，连接，直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段，如图， B关于x轴对称的点， 点的坐标为， ， ， 的最小值为； （4）代数式表示点到点和的距离之和， 由两点之间线段最短可知，点在以点和为端点的线段上时，其距离之和最小， 的最小值为：； （5）过A作，作B关于直线的对称点，连接，， B，关于直线对称， ，， ， 的最小值为， 的周长的最小值为， ，，， ， ， 在中， ， 的周长的最小值为． 6．数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 探究一：求方程|x﹣1|＝5的解 （1）探究|x﹣1|的几何意义 如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应点的数为x﹣1，由绝对值的定义可知，点A′与O的距离为|x﹣1|，可记为：A′O＝|x﹣1|． 将线段A′O向右平移一个单位，得到线段AB，此时点A对应的数为x，点B的对应数是1，因为AB＝A′O，所以AB＝|x﹣1|． 因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB． （2）求方程|x﹣1|＝5的解 因为数轴上　 　所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，所以方程的解为　 　． 探究二：探究的几何意义 （1）探究的几何意义 如图②，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则点P点坐标（x，0），Q点坐标（0，y），|OP|＝x，|OQ|＝y， 在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，则 MO＝＝＝ 因此的几何意义可以理解为点M（x，y）与原点O（0，0）之间的距离MO． （2）探究的几何意义 如图③，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（二） （1）可知，A′O＝，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5）． 因为AB＝A′O，所以AB＝，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB． （3）探究的几何意义 请仿照探究二（2）的方法，在图④中画出图形，并写出探究过程． （4）的几何意义可以理解为：　 　． 拓展应用： （5）的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（2，﹣1）的距离与点A（x，y）与点F　 　（填写坐标）的距离之和． （6）的最小值为　 　．（直接写出结果） 【答案】探究一：（2）﹣4或6，x＝﹣4或6；探究二：（3）见解析；（4）点（x，y）与点（a，b）之间的距离；（5）（﹣1，5）；（6）3 【分析】探究一：（2）因为数轴上的-4或6所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，即可求解；探究二：（3）参考（1）的过程画出函数图象即可求解；（4）根据前面的探究可知几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离，即可求解；拓展应用：（5）由探究二（4）可知：+表示点A（x，y）与点F（-1，5）的距离之和；（6）当点A位置线段EF之间时，此时EF=AF+AE，进而求解． 【详解】解：探究一： （2）因为数轴上的﹣4或6所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，所以方程的解为x＝﹣4或6， 故答案为：﹣4或6，x＝﹣4或6； 探究二： （3）如图④， 在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x+3，y+4），由探究二（1）可知，A′O＝， 将线段A′O先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（﹣3，﹣4）， 因为AB＝A′O，所以AB＝， 因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（﹣3，﹣4）之间的距离AB； （4）根据前面的探究可知的几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离， 故答案为点（x，y）与点（a，b）之间的距离； 拓展应用： （5）由探究二（4）可知：+表示点A（x，y）与点E（2，﹣1）的距离和点A（x，y）与点F（﹣1，5）的距离之和， 故答案为（﹣1，5）； （6）当A（x，y）位于直线EF外时，此时点A、E、F三点组成△AEF， ∴　由三角形三边关系可知：EF＜AF+AE， 当点A位置线段EF之间时，此时EF＝AF+AE， ∴　+的最小值为EF的距离， ∴　EF＝， 故答案为． 【点睛】本题考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题也考查了学生的综合能力，属于中等题型． 类型二、以直角三角形的边为边的图形面积问题 7．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】D 【分析】此题考查的是勾股定理的证明；过点作于点，交于点，由正方形的性质可知、的长，利用直角三角形面积公式可得的长，再勾股定理可得、的长，最后利用勾股定理可得答案．正确作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】解：过点作于点，交于点， 正方形面积为5，正方形面积为1， ，，，， 是直角三角形，， ， ， 即， ， ， ， ， 以为边长的正方形面积为10． 故选：． 8．如图，中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．则等于（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理．过F作于D，先证明得到，再证明，得到，进一步证明，，则可证明，由此求解即可． 【详解】解：过F作于D，连接，    ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 同理可证， ∴．    由可得：， ∴， ∵，即，且，， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 故选：A． 9．如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点在上，若，则图中阴影的面积为 ． 【答案】6 【分析】如图，连接，过点作，证明，从而得到、、在一条直线上，在类比赵爽弦图可得，，，现只需求出边的长度即可计算面积． 【详解】如图，连接，过点作， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴ ∴ 在与中： ∴（AAS） ∴ 又∵是正方形， ∴，， ∴， ∴是平行四边形， ∴ ∴、、在一条直线上， 故：也是直角三角形且，由四边形是正方形，是正方形，是正方形，、是全等的三角形，类比赵爽弦图已知，即可证明（此处证明略） 则： ∵， ∴ ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题是考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 10．如图，在直角三角形中，直角边，，以它的三边分别作出了正方形、、，把、、的面积分别记为、、，则 ． 【答案】18 【分析】过点A作AM⊥EH交EH延长线于点M，连接MG，FM，根据题意可证得△AEM≌ADEF，从而得到AM=DF，进而S△AHE=S△DEF，同理S△BDC=S△GFM=S△DEF，可得到S△AHE +S△BDC+S△GFL=3×S△DEF，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作AM⊥EH交EH延长线于点M，连接MG，FM， ∵正方形、、， ∴DF=DC，DE=DB，AE=DE，EF=FG，FL=DF，∠GFL=90°，∠EDF+∠BDC=180°， ∴∠AME=∠DFE=90°， ∵∠AEM+∠DEM=90°，∠DEM+∠DEF=90°， ∴∠AEM=∠DEF， ∵AE=DE， ∴△AEM≌ADEF（AAS）， ∴AM=DF， ∵EH=EF， ∴ ， ∴S△AHE=S△DEF， 同理：S△BDC=S△GFM=S△DEF， ∵S△GFL= FG×FL， ∴S△GFL=DF×EF= S△DEF， ∵直角边，， ∴S△AHE +S△BDC+S△GFL=3×S△DEF=3××3×4=18， ∴． 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了正方形性的性质，求三角形的面积，全等三角形的判定和性质，得到S△AHE +S△BDC+S△GFL=3×S△DEF是解题的关键． 11．在中，，如图1，分别以，，为边向外作等边三角形，， （1）若，，则______． （2）如图2，将沿翻折，点的对应点记为， ①连接，请求出的度数． ②若保持不变，随着的长度变化，点也随之运动，试探究的值是否变化，若不变，求出的值；若改变，求出的最小值． 【答案】（1）；（2）①30°；②变化，的最小值为 【分析】（1）过F作AB的垂线，垂足为H，得出等边的面积,同理得出另两个等边三角形的面积,由勾股定理易得的面积等于另两个等边三角形的面积的和,从而可求得结果; (2)①由翻折易得：，从而可证得≌，即得PE⊥CE，从而可求得; ②连接PF，与①同，可证得，且求得，表明点P在定直线FP上，根据垂线段最短即可求得AP的最小值． 【详解】（1）过作于， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴. （2）①∵、都是等边三角形， ∴，，， ∵沿翻折得到， ∴，， ∴. ∴. 在和中， ， ∴≌（SAS）， ∴. ∵， ∴， ②连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形，翻折得到， ∴，. ∴， ∴. 在和中， ， ∴≌（SAS）， ∴. ∴， ∴点在过点且垂直的直线上移动，故的值会发生改变，由点到直线的距离垂线段最短可知，当且仅当时,取得最小值. 在中,的最小值为. ∴的最小值为. 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质、勾股定理、图形面积的计算、求最值，涉及了图形的变换，辅助线的作法，是一个综合性的问题，对学生的知识进行了全面而综合的考查．把翻折，实质是把分别绕点C、B 顺时针和逆时针旋转60°而得到和．另外，②小题也可以这样解：易得，则由①的结论可知：∥，且可得，所以四边形为平行四边形，则,表明点在定直线上，余下同原题解法． 12．[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 【答案】[方法储备]，；[思考探究] ；[拓展延伸]①见解析；② 【分析】[方法储备] 由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， [思考探究] 延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， [拓展延伸] ①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证， ②延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，作，， ，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是：熟练应用“倍长中线法”． 【详解】[方法储备]解： 在和中，， ， ， 在中，，即：， ， ， ， 故答案为： ，， [思考探究]解： 延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在中，， 而，， 垂直平分， ， 故答案为：， [拓展延伸]解： ①延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， 又， ， ，， 又， ， 为等腰直角三角形， ②如图，延长至点，使得，连结，，， 为中点，同上“倍长中线”方法可得， ，， 设， ， ，， ，，， 分别过，作，，，为垂足， ， 设，，，， ，，， 解得， ， ， 故答案为：． 13．问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观， 从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直 观推导和解释． 如图 1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式： 如图 2，在中，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论 ． 如图 3，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么第问的结论 是否成立？请说明理由． 如图 4，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直 径向上作半圆，求图 4 中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）结论仍成立，理由见详解；（4）30 【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加两个长方形的面积即可得出答案； （2）分别求出三个正方形的面积，再用勾股定理求解即可； （3）分别求出三个半圆的面积，计算即可； （4）阴影部分的面积为两个小半圆的面积减去大的半圆的面积再加上三角形的面积． 【详解】解：（1）由正方形的面积可得出：； 故答案为： ； （2）由图可得：, 在直角三角形中有： ∴； 故答案为：； （3）结论仍成立，理由如下： 由图可得出： ∴ 在直角三角形中有： ∴． 因此，结论仍成立． （4）由图可知： 阴影部分的面积为两个小半圆的面积减去大的半圆的面积再加上三角形的面积，由（3）可知为两个小半圆的面积等于大的半圆的面积，因此，阴影部分的面积等于三角形的面积， ∵． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的拓展，巧妙利用数形结合思想方法，借助这种方法将抽象的数学知识变得直观是解此题的关键． 14．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）； ②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积． (2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； (3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3) 【分析】（1）①将图中各个几何图形的面积用两种方法表示出来，再利用面积相等列等式证明即可；②图1中：，，即可得，图2中大正方形的面积为：，据此即可作答； （2）根据题意得：，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解； （3）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、以c为直径的半圆面积、三角形的面积，根据图形特点表示出（+），结合勾股定理，即可得到答案． 【详解】（1）①证明： 在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即，化简得． ②在图1中：，， 图2中大正方形的面积为：， ∵，， ∴，， ∴， ∴图2中大正方形的面积为29． （2）根据题意得：， 如图4： 即有：，，， ∴； 如图5： ，，， ∵， ∴； 如图6： 下面推导正三角形的面积公式： 正的边长为u，过顶点x作，V为垂足，如图， 在正中，有，， ∵， ∴，， ∴在中，有， ∴正的面积为：， ∴，， ∵ ∴； ∴三个图形中面积关系满足的有3个 故答案为：3； （3）关系：，理由如下： 以a为直径的半圆面积为：， 以b为直径的半圆面积为：， 以c为直径的半圆面积为：， 三角形的面积为：， ∴， 即：， 结合（1）的结论： ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解． 类型三、勾股定理在网格图中的应用 15．在正方形网格图形中，每个小正方形的边长为，将其顶点称为格点．从一个格点运动到与之相距的另一个格点之间的一次移动，因类似中国象棋中马的“日”字型跳跃，故称为一次“跳马”变换． （1）如图1，在4×4的正方形网格图形中，从格点A经过一次“跳马”变换可以到达的格点为 （填“B” “C”或“D”）； （2）如图2，现有6×6的正方形网格图形，若从该正方形的格点M经过三次“跳马变换到达格点N，则共有 中不同的跳法． 【答案】 C 12 【分析】本题考查了勾股定理的运用，圆的概念等知识，根据网格的特征和勾股定理可求出，，，然后根据新定义判断即可；以M为圆心，为半径作，该圆经过6个格点，然后再以每一个格点为圆心，为半径作圆，判断此圆经过的各点到N的距离是否等于即可． 【详解】解：∵，，， ∴从格点A经过一次“跳马”变换可以到达的格点为C； 以M为圆心，为半径作，则经过格点A、B、C、D、E、F、G、H， 以A为圆心，为半径作，则经过6个格点，其中，， ∴或两种跳法符合“跳马变换； 以H为圆心，为半径作，则经过6个格点，每个格点到N的距离都不等于， 故此种情况不存在； 以G为圆心，为半径作，则经过6个格点，其中，， ∴或两种跳法符合“跳马变换； 以F为圆心，为半径作，则经过6个格点，其中，， ∴或两种跳法符合“跳马变换； ∴在左侧的格点中有种， 同理在右侧格点中有6种， ∴一共有种， 故答案为：C，12． 16．如图，是由边长为1的小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．五边形ABCDE的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）五边形ABCDE的周长为　 　． （2）在AB上找点F，使E，C两点关于直线DF对称； （3）设DF交CE于点G，连接AG，直接写出四边形AEDG的面积； （4）在直线DF上找点H，使∠AHB＝135°． 【答案】（1）;（2）见解析；（3）10；（4）见解析． 【分析】（1）根据勾股定理求出五边形ABCDE各边的长，相加即可； （2）连接EC，作DF⊥EC交AB于点F即可； （3）分成两个三角形求面积即可； （4）利用等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）由题意， ，，， ∴五边形ABCDE的周长=20+， 故答案为： ． （2）如图，连接EC，作DF⊥EC交AB于点F，点F即为所求作． ∵，DF⊥EC， ∴， ∴点D，G是CE垂直平分线上的点， ∴DF是CE的垂直平分线， ∴E，C两点关于直线DF对称； （3）∵，， ∴， ∴是直角三角形； ∴． （4）如图，过点A作AH⊥DF于H，连接BH，则点H即为所求作． ∵，， ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17．【问题探究】    (1)构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． ①请结合图1，试说明； ②在图2中，请尝试构造三角形，比较与的大小； ③在图3中，请尝试构造四边形，比较与的大小； 【迁移运用】 (2)如图4，线段，为线段上的任意一点，设线段．则是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点的位置；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②图见解析，；③图见解析， (2)有最小值，最小值为10 【分析】（1）①根据三角形的三边关系进行判断即可； ②构建边长为，，的三角形即可判断； ③构建边长为，，，的四边形，根据三角形的三边关系和不等式的性质即可判断； （2）设，故存在边长为，2的直角三角形和边长为，4的直角三角形，根据，边长为和边长为的两条线段的和满足，即可判断这两条边在上，即可作图，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． 故在中，，即； ②如图：在正方形方格纸中构建，，， 故在中，，即；    ③如图：在正方形方格纸中构建，，，，连接，      故在中，，则， 在中，，故， 即； （2）解：有最小值； 理由如下：设，则，如图：    ， 当，，三点共线时，的值最小， ∴的最小值， 即的最小值为10． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理，最值问题等，解题的关键是借助数形结合的思想解决问题． 18．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上.请用无刻度尺按要求作图： (1)在图1中，作的高； (2)在图2中作图： ①找一格点使，且； ②连接，在上画出一点，连，使将四边形的面积平分． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②见解析． 【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可； （2）①结合勾股定理和网格图即可；②在上取格点，使，再取线段的中点，即可． 【详解】（1）如图1，线段为所求； 证明：取网格点M、N、P，连接PN、PB、AM，如图， 结合网格易得：△BNP≌△APM，即有∠PAM=∠PBN， ∵∠PAM+∠MPA=90°， ∴∠PBN+∠MPA=90°， ∴在△PBH中，∠PHB=90°， 即AH⊥BC， AH符合要求； （2）①如图2，点为所求； ②如图2，点为所求． ①证明：结合网格图和勾股定理，可得，， 即，， 即△ACD是直角三角形，∠CAD=90°， 即有：AC⊥AD，，即D点满足要求； ②证明：由割补法，可求得的面积为， 根据，则的面积， ∴与的面积相等， 根据网格作图可知，线段的中点为， ∴， ∴， 则线段平分四边形的面积． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，三角形的高，中线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19．提出问题： 在4×4的正方形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有几个？ 问题探究： 为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法． 探究一： 在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取2个数值：1，，以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下一种情况：1、1、． 当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为4个． 探究二： 在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取5个数值：1，2，，，．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下三种情况：1、1、；、、2；2、2、． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有6条，其中有4条在2×2正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有2条在2×2正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有4×1+2×2=8个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为16+8+4=28个． 探究三： 在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取 个数值．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下五种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2=36个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有 条在3×3正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有 条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有 个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个． （4）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形； 有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2=16个． （5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 个． 问题解决： 在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 个． 拓展延伸： 在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直角三角形为底面的直三棱柱的个数为 个． 【答案】探究三：9，8，8，24，96；问题解决：244；拓展延伸：48 【分析】问题解决：按探究一、二的规律，先确定所有线段，然后确定所有符合等腰直角三角形的边长组合，再逐个确定每一个组合对应的等腰直角三角形个数，进而可确定等腰直角三角形的总个数． 拓展延伸：在2×2×1的长方体中，只需要确定正面、侧面、上面所有的等腰三角形的个数即可得到答案． 【详解】解：探究三：在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取9个数值： 。以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下五种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2=36个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有8条在3×3正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有8条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有24个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个． （4）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形； 有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2=16个． （5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为96个． 问题解决：在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取14个数值： 这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下八种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、；、、4；、、； 4、4、 ． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有32条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有32×2=64个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有30条，其中有12条在4×4正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有18条在4×4正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有12+36=48个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2=36个． （4）当斜边长为时，图形中长为的线段有32条，其中有16条对应着一个等腰直角三角形； 有16条对应着两个等腰直角三角形，共有16×1+16×2=48个． （5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个． （6）当斜边长为4时，图形中长为4的线段有10条，其中有8条每条对应着一个等腰直角三角形；另有2条每条对应着两个等腰直角三角形，共有8+4=12个． （7）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条每条对应着一个等腰直角三角形；另有4条每条对应着两个等腰直角三角形，共有8+8=16个． （8）当斜边长为时，图形中长为的线段有2条，每条对应着两个等腰直角三角形，共有4个． 故在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为： 64+48+36+48+16+12+16+4=244个． 拓展延伸：在2×2×1的长方体中： （1）在正面的2×1的方格上，以格点为顶点的线段长度可取3个数值：1，,2．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下两种情况：1、1、；、、2． 当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有4条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有4×2=8个； 当斜边长为2时，长为2的线段有2条，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形，共有2个； 故正面共有10个等腰直角三角形． （2）在侧面的2×1的方格上，等腰直角三角形的个数与（1）相同，共10个。 （3）在上面的2×2的方格上，由探究二得知有28个等腰直角三角形． 故在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直角三角形为底面的直三棱柱的个数为48个． 【点睛】本题考查规律探索，并按规律解决问题，懂得按题意研究和总结规律，并按规律解决问题是解题的关键． 20．现场学习题：问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．    （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．　 　 思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积是：　 　． 【答案】（1）2.5；（2）见解析，3a2 【分析】（1）把△ABC所在长方形画出来，再用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可 （2）是直角边长为a、a的直角三角形的斜边；是直角边长为4a，2a的直角三角形的斜边；是直角边长为a，5a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积． 【详解】（1）S△ABC＝4×2﹣×4×1﹣×1×1﹣×2×3＝2.5； （2）S△ABC＝5a×2a﹣×a×a﹣×2a×4a﹣×a×5a＝3a2； 故答案为：2.5；3a2．    【点睛】此题考查在网格中画图，勾股定理计算边长，构建矩形求网格中三角形的面积，根据三角形三边的长度在网格中画出三角形是关键，需掌握直角三角形的勾股数才能正确画图. 类型四、折叠背景下的勾股定理应用 21．如图，在等腰中，，，点和分别是和上两点，连接，将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处，与交于点，则折痕的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在 Rt 中， 求出 ， 设 ， 则 ， 在 中， 由勾股定理得 ， 求得 ， 在 中， 求出 ， 过点怍 于点 ， 则 ， 设 ， 则 ， 在 Rt 中， ， 可求 ， 在 Rt 中， ， 可求 ， 则 ． 【详解】解∶ 由折叠可知， ， 等腰Rt 中， ， ， 是 的中点， ， 在Rt 中， ， ， 设 ， 则 ， 在 中， ， ， ， 在 Rt 中， ， 过点 作 于点 ， ， ， 设 ， 则 ， 在 Rt 中， ， 在 Rt 中， ， ， ， ， 故选∶ C． 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 22．如图，在中，，以各边为斜边分别向外作等腰、等腰、等腰，将等腰和等腰按如图方式叠放到等腰中，已知，，则长为（   ） A．2 B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由 ，可求b＝4，即可求解． 【详解】解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c， ∴ABa，ACb，BCc， ∵∠BAC＝90°， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴2a2+2b2＝2c2， ∴a2+b2＝c2， ∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC， ∴BG＝GH＝a， ∵， ∴（a+c）（c﹣a）＝16， ∴c2﹣a2＝32， ∴b2＝32， ∴b＝4， ∴ACb＝8， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键． 23．如图，在中，，D在上，将沿直线翻折后，点A落在点E处，如果，那么的面积是 ． 【答案】1 【分析】先根据勾股定理计算出AB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC=30°，在根据折叠的性质得BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，由于AD⊥ED得，所以∠CBF=∠BED=30°，在RtBCF中可计算出，，则，在RtDEF中计算出，，然后利用计算即可． 【详解】解：∵∠C=90°，AC=，BC=1， ∴， ∴∠BAC=30°， ∵ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处， ∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE， ∵AD⊥ED， ∴， ∴∠CBF=∠BED=30°， 在RtBCF中，，， ∴， 在RtDEF中，，， ∴ ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度的直角三角形三边的关系，平行线的性质及折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等． 24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据折叠性质和余角定理可知△CEF是等腰直角三角形，△B′FD是直角三角形，运用勾股定理求出DF和B′F的值，再求出∠B′FD是直角，即可得出B′DF的面积． 【详解】解：连接DF，如图： 根据折叠的性质可知，CD＝AC＝3，B′C＝BC＝4，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B′CF，CE⊥AB， ∴B′D＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECF＝45°， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴EF＝CE，∠EFC＝45°， ∴∠BFC＝∠B′FC＝135°， ∴∠B′FD＝90°， ∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE， ∴AC•BC＝AB•CE， ∵根据勾股定理求得AB＝5， ∴CE＝， ∴EF＝，ED＝AE＝＝， ∴AD＝2×＝，DF＝EF﹣ED＝， ∴B'F＝BF＝AB﹣AD﹣DF＝， ∵∠B＝∠B′，∠A＝∠CDE＝∠B′DF， 又∵∠A+∠B＝90°， ∴∠B′+∠B′DF＝90°， ∴∠B′FD＝180°﹣（∠B′+∠B′DF）＝180°﹣90°＝90°， ∴S△B′DF＝DF•B′F＝×＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠性质与勾股定理的应用，解题的关键是掌握折叠性质及勾股定理，运用等面积法求出CE的值． 25．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°．点E是BC上的一点，D为AC中点，连接ED，将△CED沿ED翻折，得到△EDC′，连接AC′，BC′．若DC′⊥AB，AC′＝2，则△ABC的面积为 ． 【答案】 【分析】设AB与C′D交于O点，根据等腰直角三角形以及折叠找到三角形AOC′的三边关系利用勾股定理计算即可. 【详解】 ∵等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点 ∴DB=DC=DA，∠BAD=45° ∵将△CED沿ED翻折，得到△EDC′， ∴DC= DC′ 设DB=DC=DA= DC′=x ∵DC′⊥AB ∴△AOD是等腰直角三角形 ∴ ∴ 在Rt△AOC′中， ∵AC′＝2 ∴ 解得 ∴ 故答案为 【点睛】本题综合考察勾股定理与等腰直角三角形，解题过程中与二次根式有关的运算也是解题的关键. 26．如图，长方形中，，，点P在边上（不含端点B，C），直线与的延长线交于点E． (1)当点P是的中点时， 的长为 ， 的长为 ； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①在（1）的条件下，求出的长；（小陈不完整的求解过程如下，请你帮他补充完整．） （只需在答题卡对应区域写出剩余求解过程） ②连接，求周长的最小值． 【答案】(1)，3 (2)①；②6 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据，可得，，利用即可证明，得到； （2）①设，则，，在中，由勾股定理得，即； ②可得的周长，当点恰好位于对角线上时，最小，在中，由勾股定理得，则的最小值，即可得周长的最小值． 【详解】（1）∵当点P是的中点时， ∴， ∴ ， ，， 点是的中点， ， ∴， ∴， 故答案为：；． （2）①由折叠得，，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即； ②由折叠得，， 的周长， 连接，， 由两点之间线段最短可知， 当点恰好位于对角线上时，最小． 连接，在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键． 27．如图①，在长方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） (1)如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值； (2)当射线PE与边AB交于点F时，是否存在这样的t的值，使得FE=FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由； (3)在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线AB的距离等于3，则此时t=___________． 【答案】(1)1 (2)或13 (3)或10 【分析】（1）由长方形性质得知，，，，再证，则，然后由勾股定理得，则，由此得出结论． （2）分两种情况：E在矩形内部和外部两种情况，分别根据等量关系列出方程即可解答． （3）分两种情况：E在AB上方和下方两种情况，由折叠性质与勾股定理即可解答． 【详解】（1） 四边形ABCD是长方形， ，，，， ， 由翻折性质可知：， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ． （2）存在，分两种情况： 如图③，当点E在长方形内部时： 作于G，设，则 由翻折可知，， 在中，由勾股定理可得：，即 ， 解得：，即， 在与 中： ，解得：． 如图④，当点P运动至与点C重合时，在与中： ， ． 综上，当或时，有． （3）过点E作交AB于点M，交CD于点N． 如图⑤，点E在长方形内部： 则， 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： ，即 解得： 如图⑥，点E在长方形外部：则， 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： ，即 解得： 综上，若点E到直线AB的距离等于3，或． 【点睛】本题是几何综合题目，考查了轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，综合性强，熟练掌握轴对称的性质及勾股定理，进行分类讨论解题是本题的解题关键． 28．折叠问题是几何变换常见的数学问题，其本质是轴对称图形，而长方形的折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：在长方形纸片中，，，点M在边上，． 【活动探究1】 （1）如图1，将长方形纸片沿折叠，点B落在点处，与交于点E，求线段的长． 【活动探究2】 （2）如图2，在图1的基础上将纸片左边部分沿折叠，使恰好落在直线上，点C，D的对称点为，． ①求折痕的长； ②连接，求的长． 【答案】（1）（2）①② 【分析】（1）根据折叠的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论； （2）①根据折叠的性质得到，求得，由（1）知，，根据勾股定理即可得到结论； ②如图，根据全等三角形的判定和性质定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）∵将长方形纸片沿折叠， ， ∵ 解得 （2）①：将纸片左边部分沿折叠，使恰好落在直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图2，    ∵， ∴， ∴， 有 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 类型五、应用勾股定理证明线段的平方关系 29．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”． （1）若一个三角形的三边长分别是，和2，次三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由； （2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）； （3）如图，中，，，为的中线，若是平方倍三角形，求的面积． 【答案】（1）此三角形是平方倍三角形，理由见详解；（2）1：1：；（3）或 【分析】（1）根据平方倍三角形的定义判断，即可； （2）结合勾股定理和平方倍三角形的定义，列出等式，进而即可得到答案； （3）先根据直角三角形的性质，可设：CD=AB=AD=BD=x，再根据平方倍三角形的定义，分两种情况：①当，②当，分别求解，即可． 【详解】（1）此三角形是平方倍三角形，理由如下： ∵，满足是平方倍三角形的定义， ∴三边长分别是，和2的三角形是平方倍三角形； （2）在Rt∆ABC中，如图所示，则①， ∵Rt∆ABC是平方倍三角形， ∴②， 把①代入②得：，即：a=b， 把a=b代入①得：c=， ∴该直角三角形的三边之比=1：1：； （3）∵中，，为的中线， ∴CD=AB=AD=BD， 设CD=AB=AD=BD=x，则AB=2x， ∵AB＞BC， ∴2x＞5，即：x＞， ∵是平方倍三角形， ①当，则，解得：， ∴AB=2x=，AC=， ∴的面积=， ②当，则，解得：， ∴AB=2x=，AC=， ∴的面积=， 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查的是勾股定理、平方倍三角形的定义，熟练掌握勾股定理以及分类讨论的思想方法，是解题的关键． 30．如图，△ABC中AC=BC，点D，E在AB边上，连接CD，CE． (1)如图1，如果∠ACB=90°，把线段CD逆时针旋转90°，得到线段CF，连接BF， ①求证：△ACD≌△BCF； ②若∠DCE=45°， 求证：DE2=AD2+BE2； (2)如图2，如果∠ACB=60°，∠DCE=30°，用等式表示AD，DE，BE三条线段的数量关系，说明理由．    【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE2= EB2+AD2+EB·AD，证明详见解析 【分析】（1）①根据旋转的性质可得CF=CD，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明△ACD≌△BCF； ②连接EF，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE≌△FCE得到EF=DE即可证明； （2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD，DE，BE之间的关系． 【详解】解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD，∠DCF=90° ∵∠ACD=90° ∴∠ACD=∠BCF 又∵AC=BC ∴△ACD≌△BCF ②证明：连接EF， 由①知△ACD≌△BCF ∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD ∴∠EBF=90° ∴EF2=BE2+BF2， ∴EF2=BE2+AD2 又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45° ∴∠FCE=∠DCE=45° 又∵CD=CF，CE=CE ∴△DCE≌△FCE ∴EF=DE ∴DE2= AD2+BE2    ⑵DE2= EB2+AD2+EB·AD 理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接EF， ∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD ∵AC=BC，∠ACB=60° ∴∠CAB=∠CBA =60° ∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30° ∴BG=BF，FG=BF ∵∠ACB=60°，∠DCE=30°， ∴∠ACD+∠BCE=30°， ∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30° ∵CD=CF，CE=CE ∴△ECF≌△ECD ∴EF=ED 在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2 又∵EG=EB+BG ∴EG=EB+BF， ∴EF2=（EB+BF）2+（BF）2 ∴DE2= （EB+AD）2+（AD）2 ∴DE2= EB2+AD2+EB·AD      【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系． 31．如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 【答案】(1) (2)不变，，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，在中，有，即； （2）作，且截取，连接，连接，先证明，再证明，则，在 中，，即． 【详解】（1）解：， ∵中，， ∴， 将沿折叠，得，连接 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，有，即． （2）解：结论不变， 作，且截取，连接，连接， ∵ ， ∴，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 在 中，，即． 32．我们定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“奇异三角形”． （1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题：“等边三角形一定是奇异三角形”  是 命题．(填写“真命题、假命题”) （2）在RtΔABC 中， ∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtΔABC 是“奇异三角形”，则a：b：c＝ ． （3）如图，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若在四边形ACBD内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE． ①求证：ΔACE是“奇异三角形”； ②当ΔACE是直角三角形时，且AC＝，求线段AB 的长． 【答案】（1）真；（2）；（3）①证明见解析；②或． 【分析】（1）等边三角形三边长相等，可判断符合“奇异三角形”定义； （2）先根据勾股定理，可得出a、b、c的关系，再根据“奇异三角形”可得出a、b、c的关系，化简可求得a：b：c的值； （3）①先在Rt△ABD和Rt△ACB中，利用勾股定理得出边的关系，再利用边长之间的转化，推导得出△ACE是“奇异三角形”； ②设BC=a，AD=b，根据“奇异三角形”ACE，可得出a、b之间的关系，在Rt△ACE中，利用勾股定理也可得a、b的关系式，从而求出a、b的值，进而得出AB的长． 【详解】（1）设等边三角形的边长为a 则两边平方和=，第三边平方的两倍为：2 ∵2 ∴结论为：真； （2）∵△ABC是直角三角形，∴ ∵△ABC是“奇异三角形”，∴ 化简得：， 解得b=，c= ∴a：b：c＝； （3） ①证明： ， 是“奇异三角形” ②设， 由①得： 为直角三角形 或 当时 由上述得 当时 由上述得 或 【点睛】本题考查勾股定理和一种新的定义的理解，解题关键是结合勾股定理和“奇异三角形”的定义，得出边长之间的关系，推导来求解． 33．如图，在等腰直角中，，D是线段上一点（），连接，过点C作的垂线，交的延长线于点E，交的延长线于点F. （1）依题意补全图形； （2）若，求的大小（用含的式子表示）； （3）若点G在线段上，，连接. ①判断与的位置关系并证明； ②用等式表示之间的数量关系.    【答案】（1）补全图形，如图见解析；（2）；（3）①DG与BC的位置关系: DG⊥BC.见解析；②2CG2=DG2+AB2. 【分析】（1）根据题意画出图形解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质进行解答即可； （3）①根据全等三角形的判定和性质以及垂直的判定解答即可；如图：构造等腰Rt△BPD得PD2=2BD2．利用三角形全等证明△PGD为直角三角形，PG=AB即可得到结论. 【详解】解：（1）补全图形，如图所示：    （2），， ， ， ， 交BD的延长线于点E， ， ， ， ； （3）①与BC的位置关系：，证明如下： 连接BG交AC于点M，延长GD交BC于点H，如图2，    ，，， ≌， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②如图：作等腰Rt△BPD，连接PG、PD，    由①得BG⊥AC，∠PBD=90°， ∴∠ADB+∠DBM=90°，∠DBM+∠GBP=90°， ∴∠ADB=∠GBP， 在△ADB和△GBP中， , ∴△ADB≌△GBP（SAS）， ∴AB=PG，∠PGB=∠DAB=45°， 由①得， ∴∠PGB+∠MGD=90°，即△PGD为直角三角形， ∴PD2+DG2=PD2 ∵PD2=2BD2,BD=CG ∴ 【点睛】此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答． 34．如图，在中，，，． (1)如图1，求的长； (2)如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明； (3)如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于时，求的值． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定； （1）过作的垂线，垂足是，在中，设，根据勾股定理得出，进而得出，在中，勾股定理，即可求解； （2）先证明，进而证明，得出，同理，则，在，，根据勾股定理得出，，即可得出结论； （3）过作于点，作于点，作，与交于点，则，①当点在线段上时，证明，根据，建立方程，解方程，即可求解．②当点在的延长线上时，同理，即可求解． 【详解】（1）解：过作的垂线，垂足是，在中， ∵， ∴， ∴， ∴，设， 在中， ，， ∵， ∴， ∴， 在中． （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 在中，， 在中，， ∴ （3）解：过作于点，作于点，作，与交于点，则， ①当点在线段上时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； ②当点在的延长线上时，如图，则， ∵， ∴， ∴， 综上，当点到直线的距离等于时，或． 类型六、勾股定理的证明 35．本学期我们接触到了几何学上的明珠——勾股定理． 千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有国家总统，下面试举三例，一起领略其魅力． (1)【验证】图1是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理； (2)【应用】如图2，和都是等边三角形，点在内部，连接、、． 若，，，求的长； (3)【提升】如图，在一般三角形中，，，，是边的中线． 在一般三角形中，如何用、、表示． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键是利用运用这些知识． （1）利用梯形面积公式和图形由三个直角三角形拼成表示出面积，再简单计算即可； （2）先证明，进而可得，由可证明，在中，求即可解答； （3）由是边的中线，可得，设，则，，由勾股定理得：，，即，可得，进而得到，，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）过点作于点， 是边的中线， ， 设，则，， 由勾股定理得：，， 即， 得：， ， ， ， ， 即， ． 36．【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：，得，则，得到：． 从而得到了勾股定理的推论：己知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则 【问题解决】如图2，已知的三边长分别为，如何计算的面积？据记载，古人是这样计算的：作边上的高．以的长为斜边和直角边作（如图3），其中．                (1)用古人的方法计算的值，完成下面的填空： =[（__________）（__________）]-[（__________）-（__________）] =__________ (2)试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成面积的计算过程； (3)你还有其他计算的面积的方法吗？写出解答过程． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）由题中勾股定理的推论将空格补充完整即可； （2）根据材料中勾股定理的推论，完成面积的计算过程即可； （3）设，根据勾股定理列出方程求出x的值，最后用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1） 故答案为：； （2）在中， 由勾股定理的推论，可知：． ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）如图2，设， 由勾股定理，得， ， 解得， ， ∴， ∴． 37．经典证明：欧几里得在《原本》中证明勾股定理的思路如下：如图1，首先分别以三边为边长作正方形，正方形，正方形．过点C作的垂线，交于点D，交于点G，然后证明正方形的面积与长方形的面积相等，正方形的面积与长方形的面积相等，最后得出正方形的面积等于正方形与正方形的面积之和，从而完成勾股定理的证明． 方法点拨：如图2，连接、，可证明，从而得到，利用平行线的相关性质可以得到，，于是得到……．    问题解决： (1)请你结合“经典证明”的思路与“方法点拨”证明勾股定理． (2)如图3，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．请在网格中，只用无刻度的直尺，画出一个以为一边的长方形，使该长方形的面积等于，井简要说明画图方法（保留画图痕迹，无需证明） 【答案】(1)证明见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）过点C作的垂线，分别交和于点，．连接，，再结合全等三角形的性质与平行线的性质证明，，，，，，从而可得结论； （2）分别以、、为一边作正方形，正方形，正方形；延长交于点Q，连接，平移至，位置，直线分别交，于点T，S，则四边形即为所求． 【详解】（1）证明：过点C作的垂线，分别交和于点，．连接，，    ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形，四边形是长方形， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2）分别以、、为一边作正方形，正方形，正方形； 延长交于点Q，连接，平移至，位置，直线分别交，于点T，S，则四边形即为所求，如图，   ．   【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线的性质，正方形的性质，勾股定理的证明，复杂作图，熟练的利用全等三角形的判定与性质解决问题是关键． 38．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2），连接，并延长交于点K，连接．若，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】过点K作，与的延长线交于点M，由图形关系求得，再求得，，求得与，进而由勾股定理求得结果． 【详解】解：过点K作，与的延长线交于点M， ∵，， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴中，． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，关键是构造直角三角形． 类型七、勾股定理与弦图 39．如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图，连接AC，FN交EF，GH分别于点M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD，则图中阴影部分的面积之和为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出DH和AH，根据全等三角形的性质可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2，根据全等三角形的判定可证AEM≌CGN，AHN≌CFM，从而得出S△AEM= S△CGN，S△AHN = S△CFM，即可求出S四边形MFGN，最后根据S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN即可求出结论． 【详解】解：∵AH=3DH，且S正方形ABCD， ∴AH2＋DH2=AD2=21 即（3DH）2＋DH2=21 解得：DH=， ∴AH= 由全等三角形的性质可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2 ∴正方形EFGH的边长EH=AH－AE=，S△FGN=2S△CGN ∵AH∥CF ∴∠HEN=∠FCM ∵∠AEM=∠CGN=90°，AE=CG，∠AHN=∠CFM=90°，AH=CF ∴AEM≌CGN，AHN≌CFM ∴S△AEM= S△CGN，S△AHN = S△CFM ∴S四边形MFGN= S△CFM－S△CGN= S△AHN－S△AEM=S四边形EMNH=S正方形EFGH=×= ∵S△FGN=2S△CGN ∴S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN = S△MNF＋2S△CGN = S△MNF＋S△FGN = S四边形MFGN = 故选B． 【点睛】此题考查的是勾股定理和全等三角形的判定及性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定及性质和各图形的面积公式是解决此题的关键． 40．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知八个全等的直角三角形，则设出三边，根据勾股定理可知三边的关系，然后用三边分别将三个正方形的面积表示出来，直接求和即可． 【详解】设中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是找到三个正方形边长之间的关系，直接列方程求解． 41．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是    【答案】①②③ 【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可． 【详解】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，，． ∴． ∴． 故①正确； ∵， ∴． ∴． ∴． 故②正确； ∵，， ∴． 即． ∴． ∴． 故③正确； ∵点A是线段的中点， ∴． 即． ∴． ∴． ∴． 故④不正确； 故答案是①②③． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，用表示出相关线段的长度，从而解决问题． 42．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为 ，，，若，则的值是 ． 【答案】48 【分析】用a和b表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出的面积． 【详解】解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a，较短的长度为b，即图中的，， 则，，， ∵， ∴ ， ∴． 故答案是：48． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用． 43．拼图是一种研究代数恒等式的重要方法，所谓的拼图指的是把所给的图形以不同的方式拼成不同形状的图形，把图形面积用不同的代数式表示，由于拼图前后的面积相等，从而相应的代数式的值也相等，进而得到代数恒等式 (1)智慧学习小组探索了用4个如图1所示的全等的长方形（长、宽分别为a、b）拼成不同的图形．在研究过程中，他们用这4个长方形拼成了一个如图2所示的“回形”正方形．拼图前后，请写出该小组所用图形（4个长方形）的面积的计算方法：拼图前：___________ ；拼图后：__________ ；因为拼图前后的面积不变，所以可得代数恒等式：_____________. (2)利用（1）中得到的恒等式，解决下面的问题：已知求的值． (3)超人学习小组受智慧学习小组的启发，用4个如图3所示的全等的直角三角形（三边长分别为a、b、c）拼成了两种“中空”的正方形.请你画出这两种图形：由上面的图形可得代数恒等式：________________ . (4)利用（3）中得到的代数恒等式，解决下面的问题：在中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8，求AC的长. 【答案】(1)；； (2)； (3)画图见解析， (4)AC= 10 【分析】（1）通过观察可以得大正方形边长为，小正方形边长为，利用大正方形面积减去小正方形面积即为阴影部分的面积，得出答案； （2）由（1）的结论变形后即可得出xy的值； （3）通过两个组合正方形的面积之间相等的关系即可证明勾股定理； （4）根据勾股定理：如何在一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，即，结合BC=10，AB=6，可求出另一条直角边AC的长度． 【详解】（1）解：（1）拼图前：， 拼图后: ， 观察图形得：大正方形面积-小正方形面积=阴影部分面积得： ， 可得代数恒等式： ， 故答案为： ； （2）由（1）可得， ∴ ∴ 又∵ ， ∴ ， ∴； （3）如图所示， 解：选用（1） 证明：∵ S大正方形=c2 ∴ 选用（2）： 证明：∵S大正方形=， ∴ ∴， 故答案是：； （4）∵在中，∠ABC=90°， ∴ ， 又∵ AB=6，BC=8， ∴ ∴ AC= 10． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长和面积关系进行组合图形． 44．阅读材料：面积是几何图形中的重要度量之一，在几何证明中具有广泛应用．出入相补原理是中国古代数学中一条用于推证几何图形面积的基本原理，它包含以下基本内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积保持不变，总面积等于所有分割成的小图形的面积之和．基于以上原理，回答问题： (1)把边长为8的正方形按图1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把图形重新拼成图2中长为13，宽为5的长方形； (2)如图3，a，b，c分别表示直角三角形的三边，比较大小：a2＋b2________c2；（a＋b）2________2ab； (3)观察图4，写出（ac＋bd）2与（a2＋b2）（c2＋d2）的大小关系：______． 【答案】(1)不能 (2)＝；＞ (3)（ac＋bd）2＜（a2＋b2）（c2＋d2） 【分析】（1）分别计算正方形的面积和长方形的面积，比较两个图形的面积大小即可得解； （2）如图3中，分别计算左边大正方形的面积和右边大正方形的面积，即可得a2+b2= c2，再利用 (a+b)2=a2+2ab+b2变形得； （3）如图4，先由完全平方公式和整式的乘法计算得，，，进而可得． 【详解】（1）解：如图1，图2， ∵S正方形=82=64，S长方形=5×13=65， ∴S正方形S长方形， 故答案为：不能； （2）解：如图3中， 左边大正方形的面积：S大正方形=(a+b)2=a2+2ab+b2，右边大正方形的面积：S大正方形=c2+4× ab=c2+2ab， ∴a2+2ab+b2= c2+2ab， ∴a2+b2= c2， ∵(a+b)2=a2+2ab+b2， ∴a2+b2 =(a+b)2-2ab， ∵， ∴， ∴， 故答案为：=， ； （3）解：如图4， ，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式及勾股定理，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 45．阅读理解： 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． (1)【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ； (2)【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 ； (3)【初步运用】如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积． (4)【初步运用】如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ． (5)【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程（知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k）． 【答案】(1)5：9 (2)28 (3)24 (4) (5)，见解析 【分析】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可； （3）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可； （5）根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可． 【详解】（1）∵，b＝2a， ∴c＝a， ∴小正方形面积：大正方形面积＝(a)2：(3a)2＝5：9， 故答案为：5：9； （2）根据题意可求， ∵空白部分的面积为=小正方形的面积-两个三角形的面积， ∴空白部分的面积为=52-2××4×6＝28． 故答案为：28； （3）根据题意可知AB+AC=24÷4＝6，OB=OC=3． 设AC＝x，则OA＝3+x，AB＝6-x． 在中，，即， 解得x＝1， ∴OA=4， ∴该风车状图案的面积=； （4）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y． ∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，且S1+S2+S3＝40， ∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40， ∴x+4y＝， ∴S2＝x+4y＝． 故答案为：； （5）结论：． 由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积 可得：， ∴ ∴． 【点睛】本题考查勾股定理的证明和应用，根据图形得出面积关系是解题的关键． 46．如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形如图2． （1）你能在方格图（图3）中，连接四个格点（网格线的交点）组成面积为5的正方形吗？若能，请用虚线画出． （2）你能把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形． （3）如图，是由两个边长不等的正方形纸片组成的一个图形，要将其剪拼成一个既不重叠也无空隙的大正方形，则剪出的块数最少为________块．请你在图中画出裁剪线，并说明拼接方法． 【答案】（1）能，作图见解析；（2）能，作图见解析；（3）5，作图及说明见解析 【分析】（1）画出边长为的正方形即可； （2）结合例题，画出边长为的正方形即可； （3）在AB上截取AM＝BE，连接DM、MF，然后拼成大正方形即可． 【详解】解：（1）能，如图所示，正方形ABCD即为所求； （2）能，如图所示，正方形ABCD即为所求； （3）如图所示， 在AB上截取AM＝BE，连接DM、MF， DM、FM即为裁剪线， 将△DAM拼接△DCH处，使DA与DC重合，将△MEF拼接至△HGF处，使ME和HG重合，EF与FG重合，得到正方形DMFH， ∴剪出的块数最少为5块， 故答案为：5． 【点睛】本题考查图形的拼接，全等三角形的判定与性质，勾股定理，确定正方形的边长是解题的关键． 类型八、应用勾股定理构造图形解决问题 47．[探究] （1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________； ②据此求出的最小值； [类比] （2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________． 【答案】（1）①，；②； （2） 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． （1）①根据图形，运用勾股定理即可求解． ②运用材料提示，构造图形后，用两点之间线段最短得出直角三角形，运用勾股定理即可求解． （2）运用材料提示，构造图形后，用两点之间线段最短得出直角三角形，运用勾股定理即可求解． 【详解】和是直角三角形，， 在中，，， ， 在中，，， ， 故答案为：，． ②如图所示，过点做的平行线交延长线于点， ∴，， 当点，，三点共线时，有最小值， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． （2）如图所示，，，，，，设，则， ∴，， 当，，三点共线时，的值最小， ∴由上证明可得，，， ∴在直角中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 48．十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图1，在一个长、宽、高分别为的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙，苍蝇正好在左面墙高度一半的位置（即N点处），并且距离后面墙，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少m？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！ 【基础研究】如图2，在长、宽、高分别为a，b，c的长方体一个顶点A处有一只蚂蚁，欲从长方体表面爬行去另一个顶点处吃食物，探究哪种爬行路径是最短的？ (1)观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线，即图3、图4、图5所示. 填空：图5是由______面与______面展开得到的平面图形；（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”） (2)推理验证：如图3，由勾股定理得，， 如图4，由勾股定理得，， 如图5，． 要使得的值最小， ∵ ……（请补全推理过程） ∴ ∴选择如图______情况，此时的值最小，则的值最小，即这种爬行路径是最短的． (3)【简单应用】如图6，长方体的长，宽，高分别为，点P是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点P，则爬行的最短路程长为______cm． (4)【问题回归】 最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图1），那只蚂蚁所走的最短路程是______m． 【答案】(1)图5是由右、下或左、上展开得到的平面图形 (2)补全推理过程见解析，4 (3)50 (4)13 【分析】（1）根据图象观察即可得到答案； （2）根据可得，再根据得到进而即可得证，即可得到结论； （3）根据结论画出最短距离的情况，并根据勾股定理和矩形的性质求解即可； （4）根据结论画出最短距离的情况，并根据勾股定理和矩形的性质求解即可； 【详解】（1）由图可得，图5是由右、下或左、上展开得到的平面图形， 故答案为：右；下或左；上； （2）∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴情况为图4时，此时的值最小，则的值最小， 故答案为：4； （3）根据（2）可得，当为下图展开时为最短路程，作于， ∴， ∴ ∴在中，， 故答案为：； （4）由题意可得，当路线为如下所示时，为最短距离， ∵一个长方体的长、宽、高分别为且一只蚂蚁在右面墙的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙，苍蝇正好在左面墙高度一半的位置（即N点处），并且距离后面墙， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴那只蚂蚁所走的最短路程是， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短、勾股定理和矩形的性质，解决本题的关键是找到两点之间距离最短的情况并求解． 49．【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图． 【小试牛刀】 把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，则它们满足的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为__________米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值． 【答案】（小试牛刀），，， ；（知识运用）200；（知识迁移）15 【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可； （知识运用）作点关于的对称点，连接，则，由三角形三边关系可得当三点共线时，距离最小； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小． 【详解】解：（小试牛刀）； ； ， 满足的关系式为：． （知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图： 由题意可得：， ，则的最小值，即为的最小值， 由三角形三边关系可得：，当三点共线时， ∴的最小值为， 作交延长线于点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴米， 故答案为：； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点， 设，则， ∴， 由上可得当三点共线时，距离最小，最小为， 作交延长线于点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∴代数式的最小值为15． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 50．在直线上摆放着三个正方形 (1)如图1，已知水平放置的两个正方形的边长依次是，斜着放置的正方形的面积_ ；两个直角三角形的面积之和为____ (均用表示) (2)如图2，小正方形面积， 斜着放置的正方形的面积，求图中两个钝角三角形的面积_ ；_ (3)图3是由五个正方形所搭成的平面图，与分别表示所在地三角形与正方形的面积，试写出_ ；_ .(均用表示) 【答案】（1）=，；（2）=，=；（3）=,=. 【分析】（1）根据题意，可先证明中间两个三角形全等，再根据勾股定理求解即可； （2）求出两个钝角三角形的底边和高，再根据三角形面积公式求解即可； （3）连接BC，由（1）可得S，由（2）可得T=，然后利用大的不规则图形面积减去一个图中的梯形面积即可算出的值，进而得出答案即可. 【详解】（1）如图1所示，先将各点标记于图上； ∵三个四边形均为正方形， ∴∠ACB＋∠BAC=90°，∠ACB＋∠DCE=90°，AC=CE， ∴∠BAC=∠DCE， ∵∠ABC=∠CDE=90°， ∴△ABC≌△CDE ∴BC=DE=b，AB=CD=， △ABC面积＋△CDE面积=， 同时：=， 即=， 所以斜着放置的正方形的面积；两个直角三角形的面积之和为； （2）如图2所示，用虚线画出m1，m2的高， ∵小正方形面积为1，∴， 又∵斜正方形面积为4，∴斜正方形边长为2，，即， 易得：∠2=30°（30°角所对应的直角边是斜边的一半）， ∴∠1=60°， ∵∠3＋∠4=90°， ∴∠4＝∠1=60°， ∴∠5=30°， 又∵斜放的正方形边长为2， ∴钝角三角形m1的高为， 同理可得钝角三角形m2的高为1， ∴钝角三角形m1的面积=， 钝角三角形m2的面积=,. （3）如图3所示，标识出各点，连接BC， 由（1）可得：=， 由（2）可得：T= 又由（1）、（2）可得：图中四个小三角形面积， ∴== 即=. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际运用，观察图形，找出其中的规律是解题关键. 类型九、勾股定理的实际应用 51．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度． 【详解】解：如图，由题意可得： AD2=0.72+2.42=6.25， 在Rt△ABC中， ∵∠ABC=90°，BC=1.5米，BC2+AB2=AC2，AD=AC， ∴AB2+1.52=6.25， ∴AB=±2， ∵AB＞0， ∴AB=2米， ∴小巷的宽度为：0.7+2=2.7（米）． 故选：D. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 52．2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗缓缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（　　） A．10m B．11m C．12m D．13m 【答案】B 【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x． 【详解】设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m， 根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+22， 如图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52， ∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11， 故选：B． 【点睛】此题考查勾股定理，题中有两种拉绳子的方式，故可以构建两个直角三角形，形状不同大小不同但都是直角三角形且绳子的长度是不变的，因此根据绳子建立勾股定理的等式，由此解答问题． 53．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域 B 处，在沿海城市 A 的正南方向 240 千米，其中心风力为12 级，每远离台风中心 25 千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以 20 千米/时的速度沿 BC 方向移动．已知 AD⊥BC 且AD= AB，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过 4 级，则称受台风影响．试问： （1）A 城市是否会受到台风影响？请说明理由． （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 【答案】（1）该城市会受到这次台风的影响． （2）台风影响该市的持续时间16小时 （3）该城市受到这次台风最大风力为7.2级． 【分析】（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A作AD⊥BC于D，AD就是所求的线段． （2）以A为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆与BC有两个交点E、F，E即开始影响，F是结束影响，求出EF长度再除以台风速度即为影响持续时间． （3）风力最大时，台风中心应该位于D点，然后根据题目给出的条件判断出时几级风． 【详解】解：（1）该城市会受到这次台风的影响． 理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中， ∵∠ABD=30°，AB=240， ∴AD=AB =120， ∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响， ∴受台风影响范围的半径为25×（12-4）=200． ∵120＜200， ∴该城市会受到这次台风的影响． （2）如图以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F． 则AE=AF=200，ED=FD． ∴台风影响该市持续的路程为：EF=2DF=2=320． ∴台风影响该市的持续时间t=320÷20=16（小时）． （3）∵AD距台风中心最近， ∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把实际问题转换成我们熟悉的几何图形是解题的关键． 54．【问题探究】 (1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF=AE，并说明理由； (2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值； 【问题解决】 (3)如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号)    【答案】（1）详见解析；（2）；（3）AM=(480−)km． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠BAD=30°，得出EF=AE； （2）根据题意得出C，M，N在一条直线上时，此时AM+MC最小，进而求出即可； （3）作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN=30°，作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求，在Rt△ABD中，求出AD的长，在Rt△MBD中，得出MD的长，即可得出答案． 【详解】解：(1)如图①，作EF⊥AB，垂足为点F，点F即为所求。    理由如下：∵点E是正△ABC高AD上的一定点， ∴∠BAD=30∘， ∵EF⊥AB， ∴EF=AE； (2)如图②,作CN⊥AB,垂足为点N,交AD于点M,此时AM+MC最小，最小为CN的长。 ∵△ABC是边长为2的正△ABC， ∴CN=BCsin60∘=2×= ∴MN+CM=12AM+MC= 即AM+MC的最小值为 (3)如图③,作BD⊥AC,垂足为点D,在AC异于点B的一侧作∠CAN=30 作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求。 在Rt△ABD中,AD=(km) 在Rt△MBD中,∠MBD=∠MAF=30∘,得MD=BDtan30∘=(km)， 所以AM=(480−)km． 【点睛】此题主要考查了正三角形的性质以及锐角三角函数关系和勾股定理等知识，利用特殊角的三角函数关系得出是解题关键． 55．受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图．    根据以下素材，探索完成任务， 探究雨伞中的数学问题 素材1 图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄， 伞骨且，， D点为伞圈． 伞完全张开时，如图1所示．    素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图， 此时伞圈D滑动到的位置， 且三点共线． 测得（参考值：）．    素材3 同学们经过研究发现： 雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为， 小田站在伞圈D点的正下方点G处， 记为， 此时发现身上被雨淋湿， 测得．    问题解决 任务1 判断AP位置 求证：是的角平分线． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢， 求伞圈D移动的距离（精确到）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离_____，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案） 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：72 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，弄清题意、将实际问题转化为数学问题是解题的关键． （1）利用证明即可得到答案； （2）过点E作于点P，求出的长，即可利用据此解答即可； （3）设与交于点O，与交于点Q，先求出，可得，再求出，进而可求出即可解答． 【详解】解：任务1:∵且，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 任务2：如图：过点E作于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 在图2中， ∵, ∴, ∴在中,, ∴, ∴, ∴伞圈D移动的距离为. 任务3:如图：设与交于点O，与交于点Q， 在中，， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∵, ∴,解得：， ∴， 在中，，则， 由勾股定理得：． 故答案为：72． 56．【问题提出】 （1）如图，在中，，，，为边的中点，连接，则的长为____________． 【问题探究】 （2）如图，在四边形中，，，，，且为的中点，连接，求线段的最大值． 【问题解决】 （3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某学校计划利用学校内一块四边形空地规划建立劳动教育综合实践基地．如图，是的中点，把四边形分成了两部分，其中四边形内种植油葵，内种植豌豆，是步行通道．为方便种植，要让步行通道最长．若米，，，且，修建步行通道每米花费元，则学校修建步行通道最多需要花费多少钱？（参考数据：）    【答案】（1）；（2）；（3）元 【分析】（1）用勾股定理可得，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得； （2）连接，取中点为点，连接，，用勾股定理可得，用中位线定理和直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，的值，根据图象即可得出的最大值为． （3）连接，，延长交于点H，根据，得；证明，得，根据，，，，又因为，所处的位置为的垂直平分线，此时取最大值；设，根据勾股定理可得，，，在直角中由勾股定理求得，在直角中，由勾股定理建立方程求得，代入中可求出，从而得出最长为米，则求出学校修建步行通道最多需要花费的钱数． 【详解】解：（1）∵，，， ， ∵为边的中点， ∴， ∴， 故答案为． （2）连接，取中点为点，连接，，    ∵，，， ∴， ∵中点为点，且点为的中点，， ∴， ∵，中点为点， ∴， 由图象可得，的最大值为， 故线段的最大值为． （3）如图，连接，，延长，相交于H点， ∵，E为中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， 即当时，最大，从而最大，此时垂直平分， 故； 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，    ∵， 即， 化简可得， ∴， ∴最长为米， ∴则学校修建步行通道最多需要花费（元）． 【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质和判定，垂直平分线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 类型十、综合问题中的勾股定理应用 57．【问题呈现】“一直线三等角”，是几何证明的常见模型． （1）如图1，和均为等边三角形，点D为边上一个动点，，点O为边中点，连接，写出图中全等的三角形______．线段的最小值______． 【问题探索】 （2）是等腰直角三角形，，点E是上一点，，交于D． ①如图①试探究数量关系，并给予证明； ②如图②，若，点F是的中点，求的长． 【灵活运用】 （3）如图3，四边形中，对角线相交于点E，，，求四边形的面积． 【答案】（1），；（2）①，证明见解析；②；（3）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等： （1）连接，证明，得到，则，可得点E在射线上运动，故当时，有最小值，此时，据此求解即可； （2）①如图所示，过点C作交延长线与F，连接，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，，得到，则，由勾股定理即可得到；②如图所示，过点C作于G，则，进而得到，再求出，由勾股定理得； （3）如图所示，在延长线上截取，连接，过点A作于H证明，得到，在中，，则，可得，，再由即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E在射线上运动， ∴当时，有最小值， ∴此时， ∵点O为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （2）①，证明如下： 如图所示，过点C作交延长线与F，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得， 在中， 由勾股定理得， ∴； ②如图所示，过点C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； （3）如图所示，在延长线上截取，连接，过点A作于H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 58．【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，点为中点，点在线段上（点E不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形综合应用，解题的关键是灵活应用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会添加常用的辅助线，构建全等三角形． （1）根据证明与全等即可； （2）连接，利用证明与全等，可得，，从而，又，故，即得； （3）延长到，使得，连接，延长交于点，证明是等腰直角三角形，即可求出的长． 【详解】（1）证明：点是线段，的中点， ，， 在与中， ， ， ， ∴； （2）解：，理由如下： 连接，如图：   是等腰三角形，是底边上的高线， ， 在与中， ， ， ，， ∴， ， ， ， ； （3）解：延长到，使得，连接，延长交于点，如图：   为的中点， ， 在与中， ， ， ，， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 59．如图，中，，，点是中点，的两边，分别与直线，交于点，，且，连接 (1)如图1，当点，分别在，上时，猜想形状是三角形；线段、、的数量关系是______ (2)如图2，当点，分别在，延长线上时，上述两个结论成立吗?若成立，请完成证明；若不成立，请说明理由． (3)在(2)的条件下， ①连接，直接写出______ ②当时，求的长 【答案】(1)等边． (2)是等边三角形成立；不成立，应为 (3)①；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质； （1）由可证，可得，，可得结论； （2）由可证，可得，，可得结论； （3）①由全等三角形的性质可得，由面积的和差关系可求解； ②由线段的和差关系可求解． 【详解】（1）解：如图，取的中点，连接，， ，，点是中点， ，，， 点是的中点， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：等边，； （2）是等边三角形仍然成立，不成立，理由如下： 如图2，取的中点，连接，， ，，点是中点， ，， 点是的中点， ， 是等边三角形， ，， ∴， ， ，， 是等边三角形， ， ； （3）①，， ， ， ， 故答案为： ② ． 60．如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在中，，；中，，． (1)如图，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，请在图中找出一对全等三角形，并说明理由； (2)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想线段、、的数量关系，并说明理由； (3)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为 ． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用、互余，、互余可推得，再根据“角角边”即可证明； （2）由、互余，、互余推得，再根据“角角边”即可证明，再根据全等三角形的性质即可推得、、的数量关系； （3）作延长线交于点，同理证明后，求得垂线的长度，根据即可得解． 【详解】（1）解：，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ． （2）解：猜想，证明如下： ， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ． （3）解：作延长线交于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 中，， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质与判定、勾股定理，解题关键是熟练掌握一线三等角模型的全等判定方法． 61．数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角和摆在一起，其中直角顶点A重合，，，． (1)用数学的眼光观察． 如图1，连接，，判断与的数量关系，并说明理由； (2)用数学的思维思考． 如图2，连接，，若F是中点，判断与的数量关系，并说明理由； (3)用数学的语言表达． 如图3，延长至点F，满足，然后连接，，当，，绕A点旋转得到三点共线时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用三角形的判定来判定三角形全等是解题的关键． （1）利用证明，从而得解； （2）点B作交的延长线于点Q，证明得到，再证明，得到，即得证； （3）分①当点在直线下方时，②当点在直线上方时两种情况讨论即可得解． 【详解】（1）解：，理由： ∵，，， ∴， ∴； （2），理由： 点B作交的延长线于点Q， ∴，， ∵F是中点，则， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）旋转得到三点共线， ①当点在直线下方时，如图所示，过点A作于M， ∵是等腰三角形，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 即旋转得到三点共线时，； ②当点在直线上方时，如图所示，过点A作于N， 同理，， 即旋转得到三点共线时，， 综上所述，线段的长为：或． 62．综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】 （1）操作一：如图1，第一小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为．根据以上操作，求； 【拓展探究】 （2）操作二：如图2，第二小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．若，求线段的长； 【迁移应用】 （3）如图3，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若，，，请求出线段的长． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】对于（1），根据正方形和折叠的性质求出，可得答案； 对于（2），根据正方形和折叠的性质说明 是等腰直角三角形，进而求出，然后证明，再求出，，可设，根据求出a，即可得出答案； 对于（3，）作正方形，先说明 ，可求出，再由（1）可知：，然后根据勾股定理求出答案. 【详解】解：（1）四边形是正方形， ． 由折叠的性质得：，． ，即， . （2）四边形是正方形， ． 由折叠的性质得：，，， ． 由（1）可知：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 在和中， （ASA）， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设， ，， ， ， 解得：， ， ； （3）如图3中，在上取一点J，使得，过点J作于点T，交于点K，连接，得正方形， 当时，，， ， ， ， ， ， 由（1）可知：，则， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理等，作出辅助线是解题的关键． 63．已知中，．点D由点A出发沿向点C匀速运动，同时点E由点B出发沿向点A匀速运动，它们的速度相同，点F在上且，且点F在点E的下方，当点D到达点C时，点E，F也停止运动，连接．设AD=x．解答下列问题：    (1)________．________（用含x的代数式表示）． (2)如图1，当x为何值时，为直角三角形． (3)如图2，把沿翻折，点D落在点处． ①当x为何值时，四边形为菱形？并求出菱形的面积； ②如图3，分别取的中点M，N，在整个运动过程中，线段扫过的区域的形状为________，其面积为________． 【答案】(1)， (2)或 (3)①时，菱形的面积为，②平行四边形， 【分析】对于（1），先求出，，再根据，得出答案； 对于（2），分两种情况：当，根据，求出，即可得出关于x的方程，求出解即可； 当，再根据，求出，进而得出答案；对于（3）①，当AD=DF时，四边形为菱形，可知，再表示出，可求x，即可得出，，，然后根据求出，最后根据计算即可； 对于②，根据中位线的性质得，可知线段MN扫过的区域的形状是平行四边形，得出 ，再根据，设点M到的距离为，根据勾股定理求出 ，即可得出答案. 【详解】（1），； ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴，． 故答案为：，； （2）分两种情况：①当，如图， ∵， ∴， ∴， ∴．                    ②当，如图2，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，当x的值为或时，为直角三角形． （3）①∵，， ∴当AD=DF时，四边形为菱形． 连接交AF于点O，如图3．则． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，，． ∴， ∴， ∴． 所以当时，四边形为菱形，且面积是． ②平行四边形，． ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴线段MN扫过的区域的形状是平行四边形，当点D运动到点C，则点F正好运动到点A，此时． ∵， ∴． 设点M到的距离为，则， 解得， ∴， ∴线段MN扫过的区域的面积． 故答案为：平行四边形，． 【点睛】本题主要考查了动点在直角三角形中的应用，直角三角形的判定，菱形的性质和判定，中位线的性质，折叠的性质等，由运动的特点得出运动扫过图形是解题的关键． 试卷第4页，共134页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$