精品解析：苏科版2023-2024学年八年级数学下册期末测试题

2023-2024学年苏科版八年级下册期末数学测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列诗句所描述的事件中，属于必然事件的是（　　） A. 黄河入海流 B. 手可摘星辰 C. 锄禾日当午 D. 大漠孤烟直 3. 某个样本频数直方图中，一组数据的频数为50，频率为0.5，则该样本的样本容量是（ ） A. 100 B. 75 C. 25 D. 无法确定 4. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 6. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A. 对边平行且相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 7. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ） A. B. C. D. 4 10. 如图，在矩形中，O为的中点，过点O的直线分别交于F，交于E，点G是的中点，且，，则下列结论：（1）；（2）；（3）四边形为菱形；（4）．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___________． 12. 为了了解某市20000名七年级学生的睡眠时间情况，在该市范围内随机抽取1000名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是_________． 13. “六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为_________． 14. 袋子里有3个红球，4个黄球和2个白球，除颜色外其他均相同．从袋子中任意取出一个球，取到黄球的可能性大小是_____． 15. 如图，在中，，，，于点D，垂直平分，交于点，点P是上一动点，则的周长的最小值是___________． 16. 已知关于的方程有增根，则____________． 17 计算：________． 18. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则k的值为__________ 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算； （2）解方程：． 20. 2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，某校举行了水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表． 成绩x/分 频数 频率 15 a 60 b 45 c （1）表中________，________，________． （2）请补全频数分布直方图； （3）若该校共有360名学生，估计在知识竞赛中取得90分以上的学生大约有多少名？ 21. 如图，在中，，D是边上一点，连接，E是外一点且满足，平分，连接交于点O． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若四边形的周长为20，，求的长． 22. 綦江区旅游资源丰富，为了让旅游者便于观光风景，某风景区准备修一条长6400米步道，在修了1600米后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原来提高了，共用56天完成了全部任务． （1）原来每天修多少米步道？ （2）若承包商计划每天支付给工人的工资为元，加班后每天支付给工人的工资增加了30%，完成整个工程后承包商共支付工人工资204000元，求的值？ 23. 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 15 …… （1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 24. 阅读下面的材料，并解答问题： ； ； ． （1）观察上面等式，请直接写出化简为正整数的结果为          ； （2）计算：          ； （3）请利用上面的规律及解法计算：． 25. 市一中某数学兴趣小组利用正方形硬纸片开展了一次活动，请认真阅读下面的探究片段，完成提出的问题．四边形是边长为3的正方形，点是射线上的动点，，且交正方形外角的平分线于点． 【探究1】当点是中点时，如图1，发现，这需要证明与所在两个三角形全等，但与显然不全等，考虑到点是的中点，取的中点，连接，证明与全等即可．（无需证明） 【探究2】（1）如图2，如果把“点是的中点”改成“点是边上（不与点、重合）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由． （2）如图3，如果点是边延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图象，并判断“”是否成立？　　（填“是”或“否”，如果是，请简述一下辅助线的作法；如果否，也请说明理由． 【探究3】（3）连接交直线于点，连接，试探究线段，，之间的数量关系，请在备用图中作出图形并直接写出结论． 【探究4】（4）当时，此时的面积为　　　　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年苏科版八年级下册期末数学测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 剪纸是中国优秀传统文化．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，“图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故该选项错误； B、不是中心对称图形，故该选项错误； C、不是中心对称图形，故该选项错误； D、是中心对称图形，故该选项正确 故选：D． 2. 下列诗句所描述的事件中，属于必然事件的是（　　） A. 黄河入海流 B. 手可摘星辰 C. 锄禾日当午 D. 大漠孤烟直 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查必然事件，随机事件，不可能事件的概念．根据各诗句的意义，分析其发生的可能性，一定发生的是必然事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件． 【详解】A.黄河入海流，这是必然事件； B.手可摘星辰，这是不可能事件； C.锄禾日当午，这是随机事件； D.大漠孤烟直 ，这是随机事件． 故选：A． 3. 某个样本的频数直方图中，一组数据的频数为50，频率为0.5，则该样本的样本容量是（ ） A. 100 B. 75 C. 25 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据样本容量及频率可进行求解． 【详解】解：该样本样本容量为； 故选A． 【点睛】本题主要考查样本容量及频率，熟练掌握样本容量及频率是解题的关键． 4. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的性质，解题的关键是能准确理解并运用最简二次根式的概念和二次根式的性质． 根据最简二次根式的条件：被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；且被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式和二次根式的性质逐项分析即可求解． 【详解】解：A、，选项A不符合题意； B、是最简二次根式，选项B符合题意； C、，选项C不符合题意； D、，选项D不符合题意， 故选：B． 5. 若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得 且，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且， 故选C． 6. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A. 对边平行且相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质、平行四边形的性质即可判断； 【详解】解：A、矩形、平行四边形的对边都是平行相等的，故本选项不符合题意； B、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故本选项符合； C. 矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的．，故本选项不符合； D、矩形、平行四边形的对角线对角线不一定互相垂直．，故本选项不符合； 故选：B 【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等． 7. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数（）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质，在每个象限内随的增大而减小，而点在第三象限双曲线上，则，进而判断，于是，，对的大小关系做出判断． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象在一、三象限， ∴在每个象限内随的增大而减小， ∵点，在第一象限双曲线上， ∴， ∵点在第三象限双曲线上， ∴， ∴， 故选A． 8. 如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，先利用等腰三角形的性质可得，然后再利用平行线的性质可得． 【详解】解：，， ， ， ， 故选C． 9. 如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解． 【详解】解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB ∵在中，，点G是DE的中点， ∴AG=DG=EG 又∵AG=FG ∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径 ∴∠DFE=90° ∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点， ∴CF=BF=，FN=FM= 又∵FN⊥AC，FM⊥AB， ∴四边形NAMF是正方形 ∴AN=AM=FN= 又∵， ∴ ∴△NFD≌△MFE ∴ME=DN=AN-AD= ∴AE=AM+ME=3 ∴在Rt△DAE中，DE= 故选：A． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 10. 如图，在矩形中，O为的中点，过点O的直线分别交于F，交于E，点G是的中点，且，，则下列结论：（1）；（2）；（3）四边形为菱形；（4）．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 分析】根据条件，是直角斜边上的中线，且，然后利用三角函数求得、以及、之间的关系即可作出判断．本题考查了矩形的性质以及菱形的判定，正确理解图形中，从而确定、以及、之间的关系是关键． 【详解】解：，是的中点， ， ， ∵O为的中点， ∴， 在中，， ，设，则，． ∴，，，， ∵四边形是矩形， ，，故①正确； ，故②错误； 连接， ，，， ， ， 又，， 四边形是菱形，故③正确； ，， ，故④正确； 综上所述正确的有3个． 故选：B． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 为了了解某市20000名七年级学生的睡眠时间情况，在该市范围内随机抽取1000名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是_________． 【答案】1000 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．找到样本，根据样本容量的定义解答． 【详解】解：为了了解某市20000名七年级学生的睡眠时间情况，在该市范围内随机抽取1000名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是1000， 故答案为：1000． 13. “六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算全班共送多少句，首先确定一个人送出多少句是解题关键． 如果全班有名同学，那么每名同学要送出句，共有名学生，那么总共送的名数应该是句，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学，依题意有：． 故答案为：． 14. 袋子里有3个红球，4个黄球和2个白球，除颜色外其他均相同．从袋子中任意取出一个球，取到黄球的可能性大小是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的可能性，根据黄球的个数最多，可知摸到黄球的可能性最大，据此可得答案． 【详解】解：∵三种颜色的球中，黄球的个数最多， ∴从袋子中任意取出一个球，取到黄球的可能性大小是， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，于点D，垂直平分，交于点，点P是上一动点，则的周长的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称−最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．连接，根据垂直平分线的性质以及轴对称的性质即可求解． 【详解】解：如图所示：连接， ，，，于点， ， 垂直平分， 点到，两点的距离相等， 的长度的最小值， 即的最小值为， 故答案为：． 16. 已知关于的方程有增根，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式方程的增根的定义解决此题． 【详解】解：， 方程两边同乘，得． 由分式方程有增根，得到，即， 把代入得，， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 17. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、平方差公式及积的乘方的逆用，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据积的乘方、平方差公式及二次根式的运算法则进行求解． 【详解】解：原式 ； 故答案为． 18. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则k的值为__________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．设，在中，令得，进而得出，，，根据得到，即可得到答案． 【详解】解：设，在中，令得， 令得， ，， ， ，， ， ， ． 故答案：． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解分式方程： （1）先进行乘法，除法，负整数指数幂和去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是增根，分式方程无解． 20. 2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，某校举行了水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表． 成绩x/分 频数 频率 15 a 60 b 45 c （1）表中________，________，________． （2）请补全频数分布直方图； （3）若该校共有360名学生，估计在知识竞赛中取得90分以上的学生大约有多少名？ 【答案】（1）30；； （2）见解析 （3）估计在知识竞赛中取得90分以上的学生大约有108名 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、频数分布图、用样本频数估计整体频数等知识点， （1）由抽取的人数减去其它三个组的频数得出a的值，再由频率的定义求出b、c即可解答； （2）由（1）中a的值，补全频数分布直方图即可； （3）用360乘以90分以上的学生的频率即可解答． 理解频数分布表、频数分布图是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得： ，，， 故答案为：30；；． 【小问2详解】 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 （名）， 答：估计在知识竞赛中取得90分以上的学生大约有108名． 21. 如图，在中，，D是边上一点，连接，E是外一点且满足，平分，连接交于点O． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若四边形的周长为20，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定及性质，勾股定理，等面积法，直角三角形斜边上中线等于斜边一半等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据题意可证四边形是平行四边形，，结合平分，可知，进而可得，证得，进而可证得结论； （2）由菱形的性质可知，进而可知，，，由勾股定理得，再根据等面积法即可求解； 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ， ， ， ∵四边形的周长为20， ， ， ， ， ∴的长为4． 22. 綦江区旅游资源丰富，为了让旅游者便于观光风景，某风景区准备修一条长6400米步道，在修了1600米后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原来提高了，共用56天完成了全部任务． （1）原来每天修多少米步道？ （2）若承包商计划每天支付给工人的工资为元，加班后每天支付给工人的工资增加了30%，完成整个工程后承包商共支付工人工资204000元，求的值？ 【答案】（1）原来每天修100米步道 （2）的值为3000 【解析】 【分析】（1）设原来每天修米步道，则每天加班后修米，由题意列出分式方程，解方程即可； （2）根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解：设原来每天修米步道，则每天加班后修米， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原来每天修100米步道； 【小问2详解】 解：由（1）得：（米， 根据题意得，， 解得， 答：的值为3000 【点睛】此题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题关键． 23. 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… （1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （3）该企业所排污水中硫化物浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 【答案】（1）线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）； （2）y＝（x≥3）； （3）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可； （2）设函数的表达式为：y=，把C点坐标代入，求出k的值即可； （3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可． 【小问1详解】 解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b 把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ， 解得：k=﹣2.5，b=12 ∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12； 【小问2详解】 解：当x≥3时，设y=， 把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=， 解得k=13.5， ∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ； 【小问3详解】 解：能，理由如下： 当x=15时，y==0.9， 因为0.9＜1， 所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键． 24. 阅读下面的材料，并解答问题： ； ； ． （1）观察上面的等式，请直接写出化简为正整数的结果为          ； （2）计算：          ； （3）请利用上面的规律及解法计算：． 【答案】（1） （2）1 （3）2023 【解析】 【分析】此题考查分母有理化，二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则． （1）分子，分母都乘以，再化简即可； （2）直接利用平方差公式计算即可； （3）先计算括号内的运算，再利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：； 故答案为：1； 【小问3详解】 解： ． 25. 市一中某数学兴趣小组利用正方形硬纸片开展了一次活动，请认真阅读下面的探究片段，完成提出的问题．四边形是边长为3的正方形，点是射线上的动点，，且交正方形外角的平分线于点． 【探究1】当点是中点时，如图1，发现，这需要证明与所在的两个三角形全等，但与显然不全等，考虑到点是的中点，取的中点，连接，证明与全等即可．（无需证明） 【探究2】（1）如图2，如果把“点是的中点”改成“点是边上（不与点、重合）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由． （2）如图3，如果点是边延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图象，并判断“”是否成立？　　（填“是”或“否”，如果是，请简述一下辅助线的作法；如果否，也请说明理由． 【探究3】（3）连接交直线于点，连接，试探究线段，，之间的数量关系，请在备用图中作出图形并直接写出结论． 【探究4】（4）当时，此时的面积为　　　　． 【答案】（1）成立，见解析；（2）图见解析，是，见解析；（3）见解析，或；（4）的面积为或． 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造出与全等是解题的关键． （1）在上截取，然后证明，，再利用“角边角”证明和全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明； （2）延长到，使，然后证明，从而得到，再利用两直线平行，内错角相等证明，然后得到，再利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证． （3）分两种情形：如图中，当点在线段上时，结论：．延长到，使得，则，再证明，可得结论；如图中，当点在的延长线上时，结论，证明方法类似； （4）分两种情形，利用探究2中的结论，解决问题即可． 【详解】解：（1）结论成立： 理由：如图2中，在上截取，连接， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）成立， 理由：如图3中，延长到，使，连接， ， ， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：是； （3）或； 如图中，当点在线段上时，结论：． 理由：延长到，使得，则， ，， ， ， ， ， ， ； 如图中，当点在的延长线上时，结论 理由：在上截取，则， ，， ， ， ， ， ， ； （4）如图中，当点在线段上时， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图中，当点在的延长线上时，同法可得． 综上所述，的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$