精品解析：沪教版（上海）2023-2024学年九年级数学上册期中复习卷（4）

2023学年第一学期九年级数学学科期中复习卷4 （时间：100分钟 满分：150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号填入括号内】 1. 下列命题中，假命题的是（ ） A 两个等边三角形一定相似； B. 两个全等三角形一定相似； C. 有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似； D. 有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似． 2. 如图，已知，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点、分别在、边上，，若 ， 则等于（ ） A. B. C. D. 4. 关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（　　）． A. 对称轴为直线 B. 顶点坐标为 C. 可以由二次函数 图象向左平移1个单位得到 D. 在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降 5. 如图为二次函数的图像，它与x轴交于、两点．在下列说法中：①；②抛物线在直线的左侧是下降的；③．其中正确的说法有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 、分别是直角梯形两腰、的中点，于点，将沿翻折，与恰好重合，则等于( ) A B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入空格】 7. 如果，那么______． 8. 抛物线与轴的交点坐标是_______． 9. 已知线段，点为线段的黄金分割点，且，则______． 10. 一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为____． 11. 如图，点G是的重心，交于点H，若，那么_________． 12. 如图，、两点分别在、上，且与不平行，请你填上一个合适的条件：_____________，使得 13. 如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是 _____千米． 14. 如图，，，，，，一动点从点向点运动，当的值是________时，与是相似三角形． 15. 已知抛物线y＝x2﹣2x＋c经过点A（﹣1，y1）和B（2，y2），比较y1与y2的大小：y1______y2（选择“＞”或“＜”或“＝”填入空格）． 16. 如图，已知是矩形的边上的点，，与的延长线交于点．如果，那么___________． 17. 将抛物线沿轴向下平移后，所得抛物线与轴交于点，顶点为，如果是等腰直角三角形，那么顶点的坐标是_______________． 18. 如图，中，，，，是边的中点，是边上一动点（点不与、重合），若以、、为顶点的三角形与相似，则线段______． 三、简答题：（本大题共4题，每题10分，满分40分） 19. 已知抛物线y=x2+mx+3的对称轴为x=-2． （1）求m的值； （2）如果将此抛物线向右平移5个单位后，求所得抛物线与y轴的交点坐标． 20. 已知抛物线． （1）把该抛物线写成的形式； （2）写出该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； （3）当取何值时，随的增大而增大；当取何值时，随的增大而减小？ （4）抛物线经过第几象限？ 21. 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点B、C分别作AD的垂线，垂足分别为F、E，CF和EB相交于点P，联结AP． (1)求证：△ABF∽△ACE； (2)求证：EC∥AP． 22. 如图，在中，，，点中点，点在边上，且． （1）求长度； （2）若，求的面积． 四、解答题（本大题共2题，每题12分，满分24分） 23. 在中，D是的中点，且，与相交于点E，与相交于点F． （1）求证：； （2）若，求的面积． 24. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像经过点A（-1,1）和点B（2,2），该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D． （1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴； （2）求证：∠ABO=∠CBO； （3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标． 五、综合题（14分） 25. 如图，已知AMBN，∠A＝∠B＝90°，AB＝4，点D是射线AM上的一个动点（点D与点A不重合），点E是线段AB上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接DE，过点E作DE的垂线，交射线BN于点C，连接DC．设AE＝x，BC＝y． （1）当AD＝1时，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域； （2）在（1）的条件下，取线段DC的中点F，连接EF，若EF＝2.5，求AE的长； （3）如果动点D、E在运动时，始终满足条件AD+DE＝AB，那么请探究：△BCE周长是否随着动点D、E的运动而发生变化？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第一学期九年级数学学科期中复习卷4 （时间：100分钟 满分：150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号填入括号内】 1. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 两个等边三角形一定相似； B. 两个全等三角形一定相似； C. 有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似； D. 有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似． 【答案】D 【解析】 【分析】根据真命题和假命题的定义判断出各题的真假即可． 【详解】解：两个等边三角形，三角相等，一定相似，A是真命题； 有一个锐角相等的两个直角三角形，三角相等，一定相似，B是真命题； 全等三角形是特殊的相似三角形，C是真命题； 有一个锐角相等的两个等腰三角形，其它两角不一定相等，不能判定这两个三角形相似． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．熟练掌握各定理是解题的关键.． 2. 如图，已知，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理分析判断即可． 【详解】解：，， ∴ ∴，故A错误；，故D正确； 不能确定和的值，故B、C错误 故选D． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 3. 如图，在中，点、分别在、边上，，若 ， 则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质：高相等的两个三角形的面积之比等于底之比，根据题意得，，与是同高，底之比等于，从而得出面积之比． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， 故选：B 4. 关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（　　）． A. 对称轴为直线 B. 顶点坐标为 C. 可以由二次函数 的图象向左平移1个单位得到 D. 在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断即可． 【详解】解：A.二次函数 的对称轴为直线，故A选项不符合题意； B. 二次函数 的顶点坐标，故B选项不符合题意； C. 二次函数 的图像可以由二次函数 的图像向上平移1个单位得到，故C选项不符合题意； D. 二次函数 的图像开口向下，在对称轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下降，故D选项符合题意． 故答案为：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，理解二次函数图象与解析式系数的关系是解答本题的关键． 5. 如图为二次函数的图像，它与x轴交于、两点．在下列说法中：①；②抛物线在直线的左侧是下降的；③．其中正确的说法有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决． 【详解】解：二次函数的图象与x轴交于、两点， 该函数的对称轴是直线， ∴抛物线在直线的左侧是下降的，故②错误； ∵， ∴， 由函数图象，可得：，， ∴， ∴，，故①正确，错误； 综上分析可知，正确的有1个，故B正确． 故选：B． 6. 、分别是直角梯形两腰、的中点，于点，将沿翻折，与恰好重合，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设与交于点，由于是、的中点，所以根据梯形中位线定理，可知，在中，，是中点，根据相似三角形的性质可知也是中点，利用三角形中位线定理，可知，又由于沿翻折，重合，可知，在根据四边形是矩形，可知，那么就可求出的值． 【详解】解：连接，设与交于点， 、分别是、上的中点， ， ∴， 又是的中点， ∴ ， 又、重合， ，， ， 故选：A． 【点睛】考查综合运用梯形、三角形中位线定理及矩形、相似三角形的判定与性质等相关知识解决问题的能力． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入空格】 7. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比的性质，根据得，计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 抛物线与轴的交点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，令即可求出抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：∵当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 故答案为：． 9. 已知线段，点为线段的黄金分割点，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，即可得的长． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 故答案为：． 10. 一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为____． 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出原边长为2厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程． 【详解】解：原边长为2厘米的正方形面积为：2×2＝4（平方厘米）， 边长增加x厘米后边长变为：x＋2， 则面积为：（x＋2）2平方厘米， ∴y＝（x＋2）2−4＝x2＋4x． 故答案为：y＝x2＋4x． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积． 11. 如图，点G是的重心，交于点H，若，那么_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，也考查了相似三角形的判定与性质．先根据三角形重心的性质得，则，再证明，利用相似三角形的性质可求出． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， 故答案详为：6． 12. 如图，、两点分别在、上，且与不平行，请你填上一个合适的条件：_____________，使得 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】和中，为公共角，再找出一组对应角相等或者夹的两边对应成比例就可以得到两三角形相似． 【详解】解： 当或或：：时，．（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 13. 如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是 _____千米． 【答案】 【解析】 【分析】根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解． 【详解】解：设A、B两地的实际距离为 则： 解得千米 A、B两地实际距离为千米 故答案为： 【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺=图上距离：实际距离是解题的关键． 14. 如图，，，，，，一动点从点向点运动，当的值是________时，与是相似三角形． 【答案】8或12或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等． 欲证与相似，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可． 【详解】解：设，，则， 分两种情况考虑： 当，有， 又，， ，即， 解得：； 当，有， ，即， 整理得：， 解得：，， 综上，当离的距离为或8或12时，与是相似三角形． 故答案为：8或12或． 15. 已知抛物线y＝x2﹣2x＋c经过点A（﹣1，y1）和B（2，y2），比较y1与y2的大小：y1______y2（选择“＞”或“＜”或“＝”填入空格）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，当抛物线开口向上时，抛物线上距离对称轴越近的点的y值越小即可判断． 【详解】解：∵抛物线y＝x2−2x＋c开口向上，对称轴为x＝＝1， ∴抛物线上距离对称轴越近的点的y值越小， ∵， ∴y1＞y2 故答案为＞． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标满足其解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 16. 如图，已知是矩形的边上的点，，与的延长线交于点．如果，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】在矩形中，有，，，，根据，，可得，即，根据三角形面积比等于相似比的平方即可求出，，问题随之得解． 【详解】在矩形中，有，，，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握三角形的面积比等于相似比的平方，是解答本题的关键． 17. 将抛物线沿轴向下平移后，所得抛物线与轴交于点，顶点为，如果是等腰直角三角形，那么顶点的坐标是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与坐标轴的交点问题，根据题意二次函数的图像与几何变换的关键．设抛物线向下平移个单位，平移后的抛物线为，设对称轴与轴交于点，可得，，然后根据题意得到，即，进而求解即可． 【详解】解：∵， 设抛物线向下平移个单位，平移后的抛物线为， 则，，， 设对称轴与轴交于点，则，可得，， ∵抛物线顶点为，由抛物线对称性可知， ∴， ∴，即， 解得，(舍)， ∴顶点的坐标为． 18. 如图，中，，，，是边的中点，是边上一动点（点不与、重合），若以、、为顶点的三角形与相似，则线段______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况求解，或，利用相似三角形对应边成比例求出PC的长． 【详解】解：①如图，， ∵，且D是AB中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，解得； ②如图，， 此时， ∴，即，解得． 故答案是：或． 【点睛】本题考查相似三角形性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 三、简答题：（本大题共4题，每题10分，满分40分） 19. 已知抛物线y=x2+mx+3的对称轴为x=-2． （1）求m的值； （2）如果将此抛物线向右平移5个单位后，求所得抛物线与y轴的交点坐标． 【答案】(1)4；（2）（0,8）. 【解析】 【分析】（1）根据对称轴方程x=-求m的值； （2）利用（1）的结果求得该抛物线的解析式，然后根据“左加右减”的原则求得平移后的抛物线的解析式；最后令x=0即可求得所得抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】（1）由题意，得-=-2． ∴m=4． （2）由（1）知，m=4， ∴此抛物线的表达式为y=x2+4x+3=（x+2）2-1． ∵向右平移5个单位后，所得抛物线的表达式为y=（x-3）2-1， 即y=x2-6x+8． 当x=0时，y=8， ∴它与y轴的交点坐标为（0，8）． 20. 已知抛物线． （1）把该抛物线写成的形式； （2）写出该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； （3）当取何值时，随的增大而增大；当取何值时，随的增大而减小？ （4）抛物线经过第几象限？ 【答案】（1）； （2）开口向下，顶点坐标，对称轴：直线； （3）当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （4）经过第一、二、三、四象限． 【解析】 【分析】（）通过配方配成顶点式即可； （）根据二次函数的性质即可求解； （）根据二次函数的性质即可求解； （）根据二次函数图象即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【小问1详解】 ∵抛物线， ∴； 【小问2详解】 由， ∴顶点坐标，对称轴为直线， ∵， ∴开口方向向下； 【小问3详解】 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小； 【小问4详解】 如图， 根据图象可知，抛物线经过第一、二、三、四象限． 21. 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点B、C分别作AD的垂线，垂足分别为F、E，CF和EB相交于点P，联结AP． (1)求证：△ABF∽△ACE； (2)求证：EC∥AP． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由AD是△ABC角平分线，过点B、C分别作AD的垂线，可得∠BAF＝∠CAE，∠BFA＝∠AEC＝90°，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△ABF∽△ACE． （2）由相似三角形的对应边成比例，可得，即可得BF∥EC，由平行分线段成比例及其变形，即可得AP∥EC． 【详解】证：（1）∵AD平分∠ABC，∴∠1=∠2 又∵BF⊥BD，CE⊥AD， ∴∠BFA=∠AEC=90 ∴ △ABF∽△ACE （2）由（1）有 ∵ BF⊥AD，CE⊥AD，有BF∥EC ∴ ∴ ∴AP∥EC 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，以及平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用，注意仔细识图． 22. 如图，在中，，，点是中点，点在边上，且． （1）求长度； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2）32 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，灵活运用定理是解答本题的关键： （1）首先根据对应角相等，两三角形相似证明，再根据对应边成比例可求出的长； （2）根据相似三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 证明：在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，D为中点， ∴， 又， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 四、解答题（本大题共2题，每题12分，满分24分） 23. 在中，D是的中点，且，与相交于点E，与相交于点F． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.： （1）由，D是的中点，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由，易得，，即可证得； （2）首先过A作，垂足为G，易得，可求得的长，继而求得的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的面积． 【小问1详解】 证明：∵D是的中点， ∵ ∴ ∴ 【小问2详解】 解：过A作，垂足为G，如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， 又， ∴ 24. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像经过点A（-1,1）和点B（2,2），该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D． （1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴； （2）求证：∠ABO=∠CBO； （3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标． 【答案】（1），对称轴为直线x=1．（2）证明见解析；（3）点P的坐标为（-4,0）或（,）. 【解析】 【详解】分析：（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）利用由直线OA的表达式y=-x，得点C的坐标为（1，-1），进而求出AB=BC，OA=OC即可得出答案； （3）首先得出∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD，进而分析得出P点坐标即可． 详解：（1）由题意，得，解得， ∴所求二次函数的解析式为：y=-x2+x+2， 对称轴为直线x=1； （2）证明：由直线OA的表达式y=-x，得点C的坐标为（1，-1）． ∵AB=，BC=，∴AB=BC． 又∵OA=，OC=，∴OA=OC， ∴∠ABO=∠CBO． （3）由直线OB的表达式y=x，得点D的坐标为（1，1）． 由直线AB的表达式：y=x+， 得直线与x轴的交点E的坐标为（-4，0）． ∵△POB与△BCD相似，∠ABO=∠CBO， ∴∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD． （i）当∠BOP=∠BDC时，由∠BDC=135°，得∠BOP=135°． ∴点P不但在直线AB上，而且也在x轴上，即点P与点E重合． ∴点P的坐标为（-4，0）． （ii）当∠BOP=∠BCD时，连接PO， 由△POB∽△BCD，得． 而BO=2，BD=，BC=， ∴BP=． 又∵BE=2， ∴PE=． 作PH⊥x轴，垂足为点H，BF⊥x轴，垂足为点F． ∵PH∥BF， ∴． 而BF=2，EF=6， ∴PH=，EH=． ∴OH=． ∴点P的坐标为（，）． 综上所述，点P的坐标为（-4，0）或（，）． 点睛：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的性质和二次函数综合应用，利用数形结合以及分类讨论求出是解题关键． 五、综合题（14分） 25. 如图，已知AMBN，∠A＝∠B＝90°，AB＝4，点D是射线AM上一个动点（点D与点A不重合），点E是线段AB上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接DE，过点E作DE的垂线，交射线BN于点C，连接DC．设AE＝x，BC＝y． （1）当AD＝1时，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域； （2）在（1）的条件下，取线段DC的中点F，连接EF，若EF＝2.5，求AE的长； （3）如果动点D、E在运动时，始终满足条件AD+DE＝AB，那么请探究：△BCE的周长是否随着动点D、E的运动而发生变化？请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+4x（0＜x＜4）；（2）AE＝2；（3）△BCE的周长不变，值为8． 【解析】 【分析】（1）由△AED∽△BCE，得出其对应边成比例，进而可得出x与y的关系式； （2）可过D点作DH⊥BN于H，求出BC的值，即y的值，进而可求解x的值； （3）△BCE的周长为一定值，由于题中满足条件AD+DE＝AB，且△AED∽△BCE，由于相似三角形的周长比即为其对应边的比，所以可得其周长不变． 【详解】解：（1）由题中条件可得△AED∽△BCE， ∴， ∵AE＝x，BC＝y，AB＝4，AD＝1 ∴BE＝4﹣x， ∴， ∴y＝﹣x2+4x（0＜x＜4）； （2）∵DE⊥EC， ∴∠DEC＝90°， 又∵DF＝FC， ∴DC＝2EF＝2×2.5＝5， 过D点作DH⊥BN于H，则DH＝AB＝4， ∴Rt△DHC中，HC＝＝＝3， ∴BC＝BH+HC＝1+3＝4，即y＝4， ∴﹣x2+4x＝4 解得：x1＝x2＝2， ∴AE＝2； （3）△BCE的周长不变．理由如下： C△AED＝AE+DE+AD＝4+x，BE＝4﹣x， 设AD＝m，则DE＝4﹣m， ∵∠A＝90°， ∴DE2＝AE2+AD2即，（4﹣m）2＝x2+m2 ∴， 由（1）知：△AED∽△BCE， ∴ ∴ ∴△BCE的周长不变． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及勾股定理的简单运用，能够熟练掌握相似三角形的性质并加以运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$