精品解析：江苏省镇江市实验高级中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷

2022~2023学年度第一学期高一 期中考试数学试卷 一、单选题 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据自然数集、整数集、有理数集、空集的定义判断各选项中元素与集合的关系. 【详解】对于A，因为不是正整数，所以，故A错误； 对于B，因为不是有理数，所以，故B正确； 对于C.，因为0是自然数，所以，故C错误； 对于D，因为不是整数，所以，故D错误. 故选：B. 2. 已知命题，命题，则下列说法中正确的是（ ） A. 命题都是真命题 B. 命题是真命题，是假命题 C. 命题是假命题，是真命题 D. 命题都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题及特称命题的特征判断真假即可. 【详解】因为时,,是假命题； 因为时，,是真命题； 故选：C. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】因为，所以或，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 4. 已知，那么的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质比较大小即可. 【详解】由可得，所以. 故选：A 5. 已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次不等式恒成立问题可转化为二次方程解的情况，可得不等式，解不等式即可. 【详解】因为命题：，为真命题，所以不等式的解集为. 若，则不等式可化为，解得，不等式解集不是； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：，解得， 综上可知：， 故选：D. 6. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数的减区间 B. 函数在上单调递减 C. 函数在上单调递增 D. 函数的增区间是 【答案】C 【解析】 【分析】利用图象的变换知识作出的图象，可得单调区间，进而可得答案. 【详解】由，作出函数的图象， 利用图象的变换可得，如图所示： 所以函数在和上单调递减，在和上单调递增. 故选：C. 7. 如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度，可得问题答案. 【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变； 烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快； 当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢. 故选：D 8. 已知函数的定义域为区间，其中，，若的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分在对称轴的两侧和同侧求它的最大值和最小值. 【详解】因为，所以二次函数的图象是开口向上的抛物线，且过原点，对称轴为：，顶点坐标为：. ① 为使最大，则应该尽量大，尽量小，如下图所示： 此时，因为函数的值域为，所以. 所以，且，即为方程的两根. 由. 所以，所以. 即的最大值为； ② 为使最小，应该在抛物线对称轴的同侧，根据抛物线的对称性，不妨在抛物线右侧.如下图： 此时，且. 由， 由， 所以（当且仅当即时取“”，但所以等号取不到） 所以. 综上可知：. 故选：A 【点睛】方法点睛：求二次函数在给定区间上的值域问题，通常要讨论给定的区间和对称轴的位置关系. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 至少有一个实数，使 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“”的否定是假命题 D. “集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】由在实数范围内，可得A错误；举反例可得必要性不成立，可得B正确；由全称与特称命题的性质和二次函数的性质可得C错误；由集合中只有一个元素可得或，再由必要性可得D正确； 【详解】对于A，在实数范围内，，，故A错误； 对于B，若，则，充分性成立， 若，如，此时，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，命题“”的否定是， 由二次函数的性质可得开口向上，，所以恒成立，故C错误； 对于D，若集合中只有一个元素， 当时，；当时，可得， 所以必要性成立，故D正确； 故选：BD. 10. 下列各式正确的是（ ） A. 设，则 B. 已知，则 C. 若 D. ，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用根式与分数指数幂的运算计算可判断A；由分数指数的运算性质计算可判断B；利用完全平方公式计算可判断C；利用对数的换底公式与对数运算公式计算可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，两边平方得，两边再平方可得，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 11. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值为4 C. 最小值为 D. 最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可求解A，利用乘“1”法即可求解B，利用完全平方式的性质即可求解C，将“1”代换，即可由基本不等式求解D. 【详解】对于A，，解得， 当且仅当，即，时等号成立，故A正确； 对于B，， 当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当，时等号成立，C正确； 对于D，， 当且仅当即时等号成立，故D错误． 故选：ABC． 12. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805～1859）在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”，其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，其中真命题是（ ） A. B. 任取一个不为零的有理数对任意的恒成立 C. 恒成立 D. 存在三个点，使得为等腰直角三角形 【答案】AB 【解析】 【分析】根据所给函数的定义，逐一进行验证判断即可. 【详解】对A：因为，所以.故A正确； 对B：因为对，若，则，此时； 若，则，此时. 综上可知，对任意的恒成立，故B正确； 对C：对，，，但未必就是无理数， 如，，则，所以， 此时不成立.故C错误； 对D：假设存在三个点，使得为等腰直角三角形，则可能出现的情况如下： 第一：点在上，点在上，，如下图： 此时，，且，，所以，，这与矛盾，故此时假设不成立； 第二：同理：在直线上两个点，直线上一个点，如图： 此时为等腰直角三角形亦不成立； 第三：如下图： 轴，则，所以，但，，故此时假设亦不成立； 同理，如下图： 假设不成立. 综上，D错误. 故选：AB 【点睛】知识点点睛：狄利克雷函数是一个处处不连续的函数，它的图象无法做出. 三、填空题 13. 已知函数分别由下表给出 4 5 6 2 3 2 1 2 3 5 4 2 则_____，_____． 【答案】 ①. 2 ②. 2 【解析】 【分析】根据表格给出的函数值计算即可. 【详解】因为：，，所以； 又，，所以. 故答案为：2；2 14. 使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义解不等式即可. 【详解】由题意可知集合是的真子集， 即且等号不同时成立， 解之得，经检验符合题意. 故答案为： 15. 现有含盐的食盐水200克，生产需要含盐在以上且以下的食盐水，设需要加入含盐的食盐水克，则的范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，列不等式，解不等式即可. 【详解】由题意：， 解得：. 故答案为： 16. 设是定义域为，满足，若对任意的，都有不等式成立，且，则不等式解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由已知是奇函数，由，设，可得，令，则在上单调递增，可得在上单调递减，又，即可解得不等式解集. 【详解】是定义域为，关于原点对称, 又，所以是奇函数， 因为，， 设，则， 所以， 所以， 令，则在上单调递增， 又， 所以在上为偶函数， 所以在上单调递减， ， 所以当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以解集是. 故答案为： 四、解答题 17. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质及根式的运算性质化简求值； （2）根据对数的运算性质求解即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 18. 在①“命题”是真命题；②命题是真命题；这两个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合，， （1）当时，求． （2）若选_____，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 若选①，实数的取值范围是；若选②，实数的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）明确集合，根据并集的运算求. （2）根据所选条件，确定集合的关系，根据集合的关系求参数的取值范围. 【小问1详解】 当，，，所以. 【小问2详解】 若选①，则， 因为，所以， 由，所以实数的取值范围是：. 若选②，则，由. 且或或或， 得：或或或.所以 所以实数的取值范围是：. 19. 已知函数． （1）在坐标系中画出函数的图象； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； 【答案】（1） （2） 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 设， 则， 因为， ，， 所以， 所以函数在区间上单调递减； 设， 则， ，， 所以， 所以函数在区间上单调递增. 【解析】 【分析】（1）由的范围去掉绝对值符号，将写成分段函数，画出图象即可； （2）函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，利用单调函数的定义证明即可. 【小问1详解】 函数， 得， 得， 函数的图象如下： 【小问2详解】 略 【点睛】， 20. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）利用利润销售收入－成本公式计算即可得； （2）结合二次函数性质与基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 故； 【小问2详解】 当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元； 当时， 万元， 当且仅当时等号成立， 故当时，万元； 故当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元. 21. 已知二次函数 （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）若且，求的最小值； （3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1）不等式的解集为. （2）的最小值为； （3）的最小值为. 【解析】 【分析】（1）由条件可得是方程的解，由此可求，结合一元二次不等式解法求的解集； （2）由已知可得，结合基本不等式求结论； （3）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式可求其最小值. 【小问1详解】 由已知的解集为，且， 所以是方程的解， 所以，， 所以，， 所以不等式可化为， 所以， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 因为， 所以 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立， 即当且仅当， 时等号成立； 所以的最小值为； 【小问3详解】 因为对任意，不等式恒成立， 所以，， 所以，， ， 令，则，， 所以， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 22. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）求函数在上的值域； （3）设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义与，求出参数即可； （2）由（1）得，再判断单调性，然后求解即可； （3）现将“若对任意的，对任意的，使得成立”转化为“当时，恒成立”然后分类讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意，得到， 所以，整理得到，所以， 又，得到，解得. 所以，. 【小问2详解】 由（1）可知. 设， 则， 因为，所以，则，，， 所以，即. 所以函数在上单调递增. 又，，所以函数在上的值域为. 【小问3详解】 由（2）知，可将问题转化为，当时，恒成立. 若，则在区间上为增函数，由，得到， 若，则，此时在上恒成立， 若，则在上为减函数，由，得到. 综上可知：，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022~2023学年度第一学期高一 期中考试数学试卷 一、单选题 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，命题，则下列说法中正确的是（ ） A. 命题都是真命题 B. 命题是真命题，是假命题 C. 命题是假命题，是真命题 D. 命题都是假命题 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，那么的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数的减区间 B. 函数在上单调递减 C. 函数在上单调递增 D. 函数的增区间是 7. 如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为区间，其中，，若的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 至少有一个实数，使 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“”的否定是假命题 D. “集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 10. 下列各式正确的是（ ） A. 设，则 B. 已知，则 C. 若 D. ，则 11. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值为4 C. 最小值为 D. 最小值为2 12. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805～1859）在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”，其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，其中真命题是（ ） A. B. 任取一个不为零的有理数对任意的恒成立 C. 恒成立 D. 存在三个点，使得为等腰直角三角形 三、填空题 13. 已知函数分别由下表给出 4 5 6 2 3 2 1 2 3 5 4 2 则_____，_____． 14. 使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是_____． 15. 现有含盐的食盐水200克，生产需要含盐在以上且以下的食盐水，设需要加入含盐的食盐水克，则的范围是_____． 16. 设是定义域为，满足，若对任意的，都有不等式成立，且，则不等式解集是_____． 四、解答题 17. 计算． （1）； （2）． 18. 在①“命题”是真命题；②命题是真命题；这两个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合，， （1）当时，求． （2）若选_____，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）在坐标系中画出函数的图象； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； 20. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 21. 已知二次函数 （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）若且，求的最小值； （3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 22. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）求函数在上的值域； （3）设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $