第2章 简单事件的概率（单元测试·培优卷）-2024-2025学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

第2章 简单事件的概率（单元测试·培优卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．诗词是中华文化的瑰宝，是中国文学的璀璨明珠，也是人类文明的共同财富．请指出所给诗词描述的事件属于随机事件的是（   ） A．锄禾日当午，汗滴禾下土 B．春眠不觉晓，处处闻啼鸟 C．白日依山尽，黄河入海流 D．离离原上草，一岁一枯荣 2．下列说法正确的是（   ） A．任何数的0次幂都等于1 B．某彩票中奖率是，买100张彩票一定有一张中奖 C．两个等边三角形是全等图形 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 3．从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：①抽到“K”；②抽到“黑桃”；③抽到“大王”；④抽到“黑色”的，其中，发生可能性最大的事件是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 4．从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 5．将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．如图，是一个等腰直角三角形纸板，，在此三角形内部作一个正方形，使在边上，点，分别在，边上．将一个飞镖随机投掷到这个纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　）    A． B． C． D． 7．对于“深圳人”来说，没有花展的三月就不能称作春天．“绿美湾区，诗意繁花”，2024粤港澳大湾区花展将于3月23日至4月1日在主会场笔架山（体育）公园、莲花山公园、分会场香蜜湖·四季花谷举行．若小明周末想去其中一个公园参观花展，则他去莲花山公园的概率是（    ）. A． B． C． D． 8．九年级（1） 班共有 40 名同学．在一次数学课上，老师提问后要求同学举手回答， 结果有 30 名同学举手，其中男生 10 名，女生 20 名． 若老师在举手的同学中随机选择一名同学回答问题， 恰好选中女生的概率是（   ） A． B． C． D． 9．下列说法正确的是（   ） A．为了了解“嫦娥五号”月球探测器零部件的合格情况，采用抽样调查 B．打开电视，正在播放动画片是必然事件 C．随着实验次数增多，某一事件发生的频率就会不断增大 D．一组数据为，，，，，则这组数据的平均数和中位数都是 10．在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是 ． 12．某纸箱中装有若干个白球，现从中取出3个，并将其染黑后放入纸箱，混合均匀后，从箱中随意摸出黑球的概率为，则箱中原有白球 个． 13．已知是2、3、4、5中的一个数，则关于的方程有解的概率为 ． 14．一个不透明盒子中装有除颜色外均相同的10个白球和a个红球，从盒子中随机摸出1个球，记下颜色后放回去摇匀，再从中摸出一球，重复摸多次，统计出摸到红球的频率接近，则a的值约为 ． 15．现有2个，1个的电阻，若首先将两个并联，然后再和另一个串联，那么整个电路的总电阻恰好为的概率为 ． 16．甲、乙、丙三人在一个完全对称的、有6个座位的桌边入坐，设他们落座的座位分别为、，则是轴对称图形的概率为 ． 17．如图，小球在菱形上自由地滚动，点，分别在，上，且，，点，在上，且，则小球最终停在阴影区域上的概率是 ． 18．中国象棋已有三千多年的历史，因用具简单，趣味性强，在民间广为流传．嘉嘉和淇淇利用象棋棋盘和棋子做游戏，游戏开始时，嘉嘉将四枚外表无差别，且正面分别印有“兵”“兵”“马”“士”的棋子背面朝上洗匀放在棋盘上，由淇淇随机从这四枚棋子中摸出一枚并记下正面的汉字，然后再从剩下的三枚棋子中随机摸出一枚并记下正面的汉字． （1）淇淇摸到棋子正面的汉字为“相”是 事件．（填“不可能”、“必然”或“随机”） （2）淇淇两次摸到棋子正面的汉字都是“兵”的概率为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求盒子中黑球的个数； （2）从中任意摸出一个球，摸出 球的概率最小； （3）能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整黑球数量． 20．（8分）在一个不透明的袋中只装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外都相同． （1）任意摸出一球，摸到黄球是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） （2）从袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是多少？ （3）现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率是，请求出后来放入袋中的黑球的个数． 21．（10分）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， （1）请估计摸到白球的概率将会接近 ； （2）计算盒子里白色的球有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 22．（10分）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了____________名学生； （2）补全条形统计图； （3）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率． 23．（10分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为（小时），阅读总时间分为四个类别：，，，，将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中a的值为______，圆心角的度数为______； （3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？ （4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率． 24．（12分）张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． （1）在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． （2）请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D A C C B D D C 1．B 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】A. 锄禾日当午，汗滴禾下土，是必然事件，故选项不符合题意； B. 春眠不觉晓，处处闻啼鸟是随机事件，故选项符合题意； C. 白日依山尽，黄河入海流，是必然事件，    故选项不符合题意； D. 离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件，    故选项不符合题意； 故选：B． 2．D 【分析】根据判定A；根据概率的意义判定B；根据全等图形的定义判定C；根据平行线的判定判定D． 【详解】解：A、任意非0数的0次幂都等于1，原说法错误，故此选项不符合题意； B、某彩票中奖率是，买100张彩票有可能有一张中奖，原说法错误，故此选项不符合题意； C、两边长相等的等边三角形是全等图形，原说法错误，故此选项不符合题意； D、垂直于同一条直线的两条直线互相平行，说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点拨】本题考查的是零指数幂的条件，概率的意义，全等图形的判定，平行线的判定，熟知以上知识是解题的关键． 3．D 【分析】根据概率公式逐项计算，再比较大小． 【详解】∵从一副扑克牌中任意抽取1张，共有54种等可能结果， ∴①抽到“K”的概率为 = ； ②抽到“黑桃”的概率为 ； ③抽到“大王”的概率为 ； ④抽到“黑色”的概率为 = ， 故答案为：D． 【点拨】此题考查了概率大小，解题的关键是熟记概率公式． 4．A 【分析】此题主要考查了概率计算以及三角形三边关系，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；组成三角形的两条小边之和大于最大的边． 由4条线段中任意取3条，是一个列举法求概率问题，是无放回的问题，共有4种可能结果，每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有3个结果．因而就可以求出概率． 【详解】解：由4条线段中任意取3条，共有4种可能结果， 分别为：2，3，4；2，3，5；3，4，5；2，4，5； 每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有2，3，4；3，4，5；2，4，5；共3个结果， 所以P（能组成三角形）． 故选：A． 5．C 【分析】根据题意，设正面朝上记为，反面朝上记为，根据其和的奇偶性，以及每次同时翻转个不同的硬币，每次不改变和的奇偶性，根据所有的硬币都正面朝上，其和的奇偶性进行判断即可求解． 【详解】解：①如果，而， 则, ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次都改变硬币的正反，不论怎么操作总有个硬币反面朝上或朝下， ∴不能实现目标；故①正确 ②如果，而， 设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数， ∴不能实现目标； 故②不正确； ③如果且（为正整数），若， 同②可知，设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为，是奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数，而目标的结果为偶数， ∴不能实现目标； 故③正确， 故选：C． 【点拨】本题考查了逻辑推理，概率，能够将问题转化是解题的关键． 6．C 【分析】利用阴影的面积除以的面积即可． 【详解】解：如图，   是一个等腰直角三角形，，设， 的面积为，， 四边形为正方形，是一个等腰直角三角形 ∴， ， 阴影区域的面积为， 飞镖落在阴影区域的概率为． 故选：C． 【点拨】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 7．B 【分析】本题主要考查了概率公式，根据题意确定所有等可能结果数和满足题意结果数成为解题的关键. 根据题意可知小明有三种选择，其中去莲花山公园的可能只有一种，然后运用概率公式即可即可. 【详解】解：由题意可得：小明有三种选择，其中去莲花山公园的可能只有一种，则他去莲花山公园的概率是. 故选B. 8．D 【分析】本题主要考查了概率公式的知识，掌握概率公式是解题的关键．用选中女生数除以选中学生数即可解答． 【详解】解：∵结果有 30 名同学举手，其中男生 10 名，女生 20 名， ∴老师在举手的同学中随机选择一名同学回答问题， 恰好选中女生的概率是． 故选：D． 9．D 【分析】依据随机事件的定义、概率的意义，以及抽查的条件，及平均数、中位数即可作出判断． 【详解】解：A、为了了解“嫦娥五号”月球探测器零部件的合格情况，采用全面调查，故此选项不符合题意； B、打开电视，正在播放动画片是随机事件，故此选项不符合题意； C、随着实验次数增多，某一事件发生的频率稳定在一个数附近，故此选项不符合题意； D、一组数据为，，，，，则这组数据的平均数和中位数都是，正确，故此选项符合题意． 故选：D 【点拨】本题考查了随机事件，全面调查与抽样调查，频数与频率，平均数，中位数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 10．C 【分析】本题考查了随机事件，列举法等知识，利用排除法求解即可． 【详解】解：假设两人第一次都摸到红球，若第二次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第二次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故A、B都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小金先摸球，则小金先摸到2个红球，所以一定是小金获胜， 故C正确； 若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第四次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故D不正确． 故选：C． 11．2 【分析】本题考查了必然事件．判断出使两人所取的根数之和为3是解题的关键． 由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根． 【详解】解：由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根火柴，小明一定获胜， ∴小明先取，第一次取走2根， 故答案为：2． 12．9 【分析】本题考查概率公式，设箱中原有白球m个，根据概率公式列出方程，求解即可． 【详解】解：设箱中原有白球m个，染黑后有黑球3个，根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是该方程的解， ∴箱中原有白球9个． 故答案为：9． 13．/0.75 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、简单概率计算等知识，准确确定使方程有解的的取值范围是解题关键．首先根据一元二次方程的根的判别式确定的取值范围，然后根据简单概率计算公式求解即可． 【详解】解：若关于的方程有解， 则有，解得， ∴当或3或4时，方程有解， 当时，方程无实数解， ∴使方程有解的概率为． 故答案为：． 14．5 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】由题意可得，， 解得，， 经检验是原方程的根． 故答案为：5． 15． 【分析】本题主要考查了概率的计算．熟练掌握画树状图法求概率，是解决问题的关键． 先两个并联，再与第三个串联，画出树状图，用总电阻为的可能情况数除以总可能情况数，即得． 【详解】画树状图如下： 共有6种等可能结果，其中恰好为的结果有2种， ∴总电阻恰好为的概率为：． 故答案为：． 16．/ 【分析】本题考查了轴对称图形及求概率，求出所有可能的结果数是解题的关键；按顺时针依次记这6个座位分别为1，2，3，4，5，6；任取其中两个座位共有15种取法，每取的两个座位与其它没取的四个座位中任一个，可以构成一个三角形，共有（个）三角形；其中相同的三个顶点的三角形重复计算了3次，最后可求得所有的三角形数；再求出其中是等腰三角形的个数，即可求得概率． 【详解】解：如图，按顺时针依次记这6个座位分别为1，2，3，4，5，6；任取其中两个座位分别为：12，13，14，15，16；23，24，25，26；34，35，36；45，46；56共15种取法，每取的两个座位与其它没取的四个座位中任一个，可以构成一个三角形，共有（个）三角形；而这60个三角形中，相同的三个顶点的三角形重复计算了3次，如座位为123的，有123、231，132三个三角形，它们只能算作一个三角形，则不同的三角形有（个）；而这些三角形中，是等腰三角形的有两种情况：相邻三个座位连成一个等腰三角形，有123，234，345，456，561，共五个等腰三角形；另一种情况是等边三角形：共有两个：为135，246位置，故总共有8个等腰三角形，则是轴对称图形的概率为； 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了几何概率和概率公式及菱形的性质．由题意可证，根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：，， ，， 、分别是的三等分点， ，， ， ， 同理可得，， 小球最终停在阴影区域上的概率是． 故答案为：． 18． 不可能 【分析】本题主要考查了事件的分类、运用列表法求概率等知识点，根据题意正确列表成为解题的关键． （1）根据事件的分类即可解答； （2）采用列表法求得所有情况结果数和两次都是“兵”的结果数，然后运用概率公式计算即可． 【详解】解：（1）由于四枚棋子中没有“相”，因此淇淇不可能摸到“相”，即为不可能事件； 故答案为：不可能； （2）根据题意列表如下： 兵 兵 马 士 兵 兵，兵 马，兵 士，兵 兵 兵，兵 马，兵 士，兵 马 兵，马 兵，马 士，马 士 兵，士 兵，士 马，士 则共有12种可能，淇淇两次摸到棋子正面的汉字都是“兵”有2次，则淇淇两次摸到棋子．正面的汉字都是“兵”的概率为． 故答案为：． 19．(1)12个 (2)红 (3)能，将盒子中的黑球拿出5个 【分析】本题主要考查了概率公式，正确掌握概率的求法是解题的关键． （1）根据概率公式即可计算出黑球的个数； （2）直接利用概率公式的意义分析出答案； （3）利用概率公式计算得出符合题意的方法． 【详解】（1）解：红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， ， 故盒子中黑球的个数为：； （2）解：因为红球的数量最少，任意摸出一个球是红球的概率最小； 故答案为：红； （3）解：任意摸出一个球是红球的概率为， 可以将盒子中的黑球拿出5个，则任意摸出一个球是红球的概率为． 20．(1)不可能 (2) (3)后来放入袋中的黑球个数为18个 【分析】本题考查了随机事件与不可能事件的定义、简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键． （1）根据随机事件和不可能事件的定义即可得； （2）利用黑球的数量除以袋子中球的总数量即可得； （3）设后来放入袋中的黑球个数为个，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个，利用概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：因为一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，每个球除颜色外都相同， 所以从中任意摸出一个球，摸到黄球是不可能事件， 故答案为：不可能． （2）解：从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为， 答：从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为． （3）解：设后来放入袋中的黑球个数为个，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个， 由题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解， 答：后来放入袋中的黑球个数为18个． 21．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，概率公式的运用，解分式方程等知识点，深刻理解“大量反复试验下频率稳定值即概率”是解题的关键． （1）根据“大量反复试验下频率稳定值即概率”即可得出答案； （2）由即可得出答案； （3）设需要往盒子里再放入个白球，根据题意列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， 大量反复试验下频率稳定值即概率， 估计摸到白球的概率将会接近， 故答案为：； （2）解：盒子里的白球个数（个）， 答：盒子里白色的球有个； （3）解：设需要往盒子里再放入个白球， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入个白球． 22．(1)200 (2)名，补全图见解析 (3)，树状图见解析 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答． （2）利用频数之和等于样本容量，计算补图即可． （3）画树状图，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得(人)， 故答案为：200． （2）解：参加C项活动的人数为：（名）， 补全条形统计图如图： （3）解：画树状图如图： 由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中他们参加同一项活动的情况数有4种， 所以他们参加同一项活动的概率为． 【点拨】本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本容量，画树状图，熟练掌握统计图的意义，画树状图，正确计算样本容量是解题的关键． 23．(1)见解析 (2)20，144°； (3)估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名 (4) 【分析】本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据D组的人数及百分比求出样本容量，用样本容量乘以C的百分比求出人数,然后补全条形统计图即可； （2）用A的人数12除以60，再乘以百分比即可得到a值；用乘以百分比得到圆心角的度数； （3）用A加B的人数和与60的比乘以2000即可得到答案； （4）列树状图得到所有等可能的结果总数及恰好选中甲和乙的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：本次抽样的学生人数为：（人）， 组的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： ． （2）解：组所占的百分比为：， ， 圆心角的度数为：． 故答案为：20，144°． （3）解：（名）． 答：估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名． （4）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种． 恰好选中甲和乙的概率为． 24．(1) (2)选择小彤的方法说明，理由见详解 【分析】（1）用表示三种解题方法，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案； （2）连接，由折叠的性质可得，，，，，由垂直平分线的性质可得，即可证明为等边三角形，得到，由矩形的性质可得，可求出，即可证明结论． 【详解】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种， ∴小明和小峰选择同一种方法的概率为； （2）选择小彤的方法说明，理由如下： 连接，如下图， 由折叠的性质可得，，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了列举法求概率、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识，解题关键是结合折叠的性质和垂直平分线的性质证明为等边三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$