精品解析：人教版2023-2024学年八年级数学下册期末提分卷

2023-2024学年人教版八年级数学下册期末模拟卷 一、选择题 1. 下列各式中，是最简二次根式的是( ) A B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. －3－2＝－1 B. C. D. 3. 若干名同学的年龄如表所示： 年龄(岁) 13 14 15 人数 3 3 m 这些同学的平均年龄是14.4岁，则这些同学年龄的众数和中位数分别是( ) A. 14、14 B. 13、14.5 C. 15、15 D. 14、13.5 4. 人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：，，则成绩较为稳定的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定 5. 已知点是直线上一点，的横坐标为1，若点N与点关于轴对称，则点N的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，字母所代表的正方形的边长是（　　） A. 194 B. 144 C. 13 D. 12 7. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A. 25 B. 14 C. 7 D. 7或25 8. □ABCD中，AC、BD两条对角线，如果添加一个条件，可推出□ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　 　） A. AB=CD B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB⊥BD 9. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】 A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2 10. 某公司准备与汽车租凭公司签订租车合同，以每月用车路程计算，甲汽车租凭公司每月收取的租赁费为元，乙汽车租凭公司每月收取的租赁费为元，若、与x之间的函数关系如图所示（其中对应的函数值为月固定租赁费），则下列判断错误的是（　　） A. 当月用车路程为时，两家汽车租赁公司租赁费用相同 B. 当月用车路程为时，租赁乙汽车租赁公司车比较合算 C. 除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙公司多 D. 甲租赁公司每月的固定租赁费高于乙租赁公司 二、填空题 11. 要使二次根式有意义，则的取值范围是________． 12. 两台A、B型号的大米自动封装机包装的质量为的袋食品中各封装了10袋大米，测得其实际质量如下表（单位：）： A B 由上表可以判断________型号自动封装机性能更好． 13. 嘉嘉在超市购买橙子所付金额y（元）与一次性购买质量x（千克）之间的函数图象如图所示，若一次性购买6千克橙子，则所付金额为______________． 14. 如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AC=AD．动点P从点B出发，沿折线B−A−D−C方向以a单位/秒速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积是______． 15. 如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为．其中，，，，则______________． 16. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积是__________． 17. 已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，、交于点O，连接，则的长为__________． 18. 如图，四边形是正方形，延长到，使，连接交于点，则__________． 三、解答题 19. 计算： （1） （2） （3） 20. 如图，四边形中，，，，，．求四边形的面积． 21. 如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，，，垂足分别是F、G 求证：AE=FG 22. 某校为了解八年级学生参加社会实践活动情况，随机调查了本校部分八年级学生在第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题： （Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为________，图①中的m的值为_________； （Ⅱ）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数； （Ⅲ）若该校八年级学生有240人，估计参加社会实践活动时间大于7天的学生人数． 23. 2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元． （1）求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？ （2）甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围． （3）在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？ 24. 如图，在中，，，．点D是中点．点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点C运动，连结，取的中点E，连结，P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为t秒．（） （1）求线段的长． （2）当点Q在上运动时，求的值； （3）当DE与直角边平行时，求的长． （4）若点P从点C沿CA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，其它条件不变，当点Q在上运动，与一边垂直时，直接写出t的值． 25. 如图，轴于点轴于点为中点，直线交轴于点． （1）求直线的函数关系式； （2）过点作且交轴于点，求证：； （3）点是直线上的一个动点，求得的最小值为___________（请直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年人教版八年级数学下册期末模拟卷 一、选择题 1. 下列各式中，是最简二次根式的是( ) A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式满足：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，由此结合选项可得出答案． 【详解】A、含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项错误； B、含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项错误； C、符合最简二次根式的定义，故本选项正确； D、被开方数含分母，故本选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键是熟练掌握最简二次根式满足的两个条件，属于基础题，难度一般． 2. 下列运算正确的是（ ） A. －3－2＝－1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数的运算法则分别判断各选项即可解答. 【详解】解：对于A，－3－2＝－5，所以，错误； 对于B，因为，所以，错误； 对于C，因为，所以，错误； 对于D，有意义，须，所以，，正确. 故选D. 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、平方运算、二次根数运算，熟练掌握是解题的关键. 3. 若干名同学的年龄如表所示： 年龄(岁) 13 14 15 人数 3 3 m 这些同学的平均年龄是14.4岁，则这些同学年龄的众数和中位数分别是( ) A. 14、14 B. 13、14.5 C. 15、15 D. 14、13.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的定义求出m，由表格中的数据可以得出众数，然后将这些数据按照从小到大的顺序排列即可得到中位数，本题得以解决． 【详解】解：14.4(3+3+m)＝13×3+14×3+15m， 解得m＝9， 依题意得15岁的人数最多，所以众数为15， 由于总人数为3+3+9＝15人，数据按照从小到大的顺序排列，第8个数据是15， 故中位数是15． 故选C． 【点睛】本题考查利用统计表获取信息的能力，利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．同时也考查了平均数、众数和中位数的定义． 4. 人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：，，则成绩较为稳定的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方差的意义：一般地设n个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据方差的意义判断．方差越小，波动越小，越稳定． 【详解】解：∵， ∴成绩较为稳定的班级是乙班． 故选：B． 5. 已知点是直线上一点，的横坐标为1，若点N与点关于轴对称，则点N的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“点是直线上一点，的横坐标为1”求出点M的坐标，最后根据“点N与点关于轴对称”求解即可． 【详解】解：∵点是直线上一点，的横坐标为1， ∴ ∴ ∵点N与点关于轴对称 ∴ 故选：D 【点睛】考查关于坐标轴对称的点的规律，关键是掌握点的坐标的变化规律． 6. 如图，字母所代表的正方形的边长是（　　） A. 194 B. 144 C. 13 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，求一个数的算术平方根的运用，根据题意，的面积，可得正方形的面积，再求算术平方根即可． 【详解】解：根据题意可得，的面积， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故选：D ． 7. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A. 25 B. 14 C. 7 D. 7或25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正确分两种情况讨论解题关键． 分两种情况：①边长为4的边是直角边，②边长为4的边是斜边，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：①当边长为4的边是直角边时，第三边长的平方是， ②当边长为4的边是斜边时，第三边长的平方是， 综上，第三边长的平方是25或7， 故选：D． 8. □ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出□ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　 　） A. AB=CD B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB⊥BD 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的定义和判定定理逐项作出判断即可． 【详解】解：A. AB=CD，无法判断四边形ABCD是菱形，不合题意； B. AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断□ABCD是矩形，不合题意； C. AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断□ABCD是菱形，符合题意； D. AB⊥BD，可以得到∠B=90°，根据有一个角是直角的平行四边形叫矩形可以判断□ABCD是矩形，不合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了菱形的判定，熟知菱形的定义和判定定理是解题的关键． 9. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】 A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF∶S△ABF=4∶25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE∶AB的值，由AB=CD即可得出结论． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD ∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE ∴△DEF∽△BAF ∴ ∵， ∴DE：AB=2：5 ∵AB=CD， ∴DE：EC=2：3 故选B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 10. 某公司准备与汽车租凭公司签订租车合同，以每月用车路程计算，甲汽车租凭公司每月收取的租赁费为元，乙汽车租凭公司每月收取的租赁费为元，若、与x之间的函数关系如图所示（其中对应的函数值为月固定租赁费），则下列判断错误的是（　　） A. 当月用车路程为时，两家汽车租赁公司租赁费用相同 B. 当月用车路程为时，租赁乙汽车租赁公司车比较合算 C. 除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙公司多 D. 甲租赁公司每月的固定租赁费高于乙租赁公司 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象和性质，解题的关键是读懂函数图象； 根据已知及函数的图象，可知对于A、两个函数图象的交点为，当月用车路程为，两家汽车租赁公司租赁费用相同，可知A是否正确，对于B、由图象可得超过时，相同路程，乙公司收费便宜，可知B是否正确；对于C、由图象易得2000千米内，甲汽车租赁公司比乙汽车租赁公司的租赁费高，当行驶2000千米时，总收费相同，大于2000千米时，乙汽车租赁公司比甲汽车租赁公司的租赁费高，可得甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多，可知C是否正确；对于D、由图象可得甲、乙每月的固定租赁费的大小． 【详解】解：A、两个函数图象的交点为，当月用车路程为，两家汽车租赁公司租赁费用相同，说法正确； B、由图象可得超过时，相同路程，乙公司收费便宜，说法正确； 由图象易得乙的固定租赁费较高，当行驶2000千米时，总收费相同，可得甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多，故C正确，D错误． 故选：D． 二、填空题 11. 要使二次根式有意义，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题中二次根式列出不等式求解即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：要使二次根式有意义， ，解得， 故答案为：． 12. 两台A、B型号的大米自动封装机包装的质量为的袋食品中各封装了10袋大米，测得其实际质量如下表（单位：）： A B 由上表可以判断________型号自动封装机性能更好． 【答案】B 【解析】 【分析】计算出两个型号自动封装机的平均数和中位数，即可得解． 【详解】解：A型号自动封装机的平均数是， 从大到小排列为，，，，，，，，，，排在中间的两个数是，，中位数为； B型号自动封装机的平均数是， 从大到小排列为，，，，，，，，，，排在中间的两个数是，，中位数为； 从平均数和中位数看，B型号更接近， ∴B型号自动封装机性能更好． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了求平均数和中位数，熟知求方差的公式是解题的关键． 13. 嘉嘉在超市购买橙子所付金额y（元）与一次性购买质量x（千克）之间的函数图象如图所示，若一次性购买6千克橙子，则所付金额为______________． 【答案】28元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法求出函数图象的解析式，再将x的值代入即可求解． 【详解】解：如图， 设所在直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 所在直线的解析式为， 当时，， 若一次性购买6千克橙子，则所付金额为28元， 故答案为：28元． 14. 如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AC=AD．动点P从点B出发，沿折线B−A−D−C方向以a单位/秒速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积是______． 【答案】90 【解析】 【分析】从图2看，AB=3a，AD=8a-3a=5a=AC，过点A作AH⊥CD于点H，在Rt△ADH中，AD=5a，AB=3a=CH=DH，则AH=4a=BC，当点P在点D处时，S△PCB=S△BCD=×BC×CD=×4a×6a=12a2=60，解得a2=5，则四边形ABCD面积=（AB+CD）×AH=×（3a+6a）•4a=18a2=90，即可求解． 【详解】解：从图2看，AB=3a，AD=8a-3a=5a=AC， 过点A作AH⊥CD于点H，则DH=CH=CD， 在Rt△ADH中，AD=5a，AB=3a=CH=DH， 则AH==4a=BC， 当点P在点D处时，S△PCB=S△BCD=×BC×CD=×4a×6a=12a2=60，解得a2=5， 则四边形ABCD的面积=（AB+CD）×AH=×（3a+6a）•4a=18a2=90， 故答案为：90． 【点睛】本题考查的是动点问题函数的图象问题，涉及到等腰三角形性质和勾股定理的运用等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 15. 如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为．其中，，，，则______________． 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形、圆形面积的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、等边三角形面积计算和性质，从而完成求解． 设对应的边长为，根据题意，通过等边三角形和勾股定理的性质，得，从而计算得到；设对应的边长为，通过圆形面积和勾股定理性质，得，从而计算得到，即可得到答案． 【详解】解：分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为， 则对应的边长设为， 过点A作， 则， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ， ， 以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为， 则对应的边长设为， 根据题意得：， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：54． 16. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠性质得到，设，得到线段ED，BE的长度表达式，然后在中根据勾股定理求出AE的长度，最后根据三角形面积公式求出的面积． 【详解】解：∵将长方形折叠，使点B与点D重合， ∴， 设，则， 在中， ， ∴， 解得：， ∴的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，三角形面积．解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，折叠性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式计算三角形面积． 17. 已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，、交于点O，连接，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的判定，勾股定理等，解题的关键是证明是线段的中垂线．根据的周长是平行四边形周长的一半，可得，结合可得是线段的中垂线，推出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴、互相平分， ∴是的中点． ， ∵的周长是平行四边形周长的一半， ∴的周长， ∴， ∵， ∴， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，四边形是正方形，延长到，使，连接交于点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，根据正方形的性质可得，根据，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题 19. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）可运用进行计算. （2）把根式化为最简二次根式，找准同类项，运用合并同类项的方法计算. （3）先利用乘法公式去括号，然后再找准同类项进行合并. 【详解】（1） （2） （3） 故答案为（1）+3 （2）+3 （3）6-8 【点睛】本题考查了根式的加减乘除、去括号、合并同类项等运算以及平方差公式、完全平方公式的运用，需要注意的是分数作除数时，只需乘以它的倒数；去括号时，括号前面有负号，则括号里面要变号；合并同类项时，关键找准同类项，再把系数相加减；运用公式时，应熟练并细心. 20. 如图，四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】四边形的面积为36 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：（1）先确定最长边，算出最长边的平方；（2）计算另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ， 在中，， ， ∴是直角三角形，且， ∴ ， 四边形面积为36． 21. 如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，，，垂足分别是F、G 求证：AE=FG 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】根据题意我们不难得出四边形GEFC是个矩形，因此它的对角线相等．如果连接EC，那么EC=FG，要证明AE=FG，只要证明EC=AE即可．证明AE=EC就要通过全等三角形来实现．三角形ABE和BEC中，有∠ABD=∠CBD，有AB=BC，有一组公共边BE，因此构成了全等三角形判定中的SAS，因此两三角形全等，得AE=EC，即AE=GF． 【详解】解：连接EC． ∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC，EG⊥CD， ∴∠GCF=∠CFE=∠CGE=90°， ∴四边形EFCG为矩形． ∴FG=CE． 又BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠ABE=∠CBE． 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）． ∴AE=EC． ∴AE=FG． 22. 某校为了解八年级学生参加社会实践活动情况，随机调查了本校部分八年级学生在第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题： （Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为________，图①中的m的值为_________； （Ⅱ）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数； （Ⅲ）若该校八年级学生有240人，估计参加社会实践活动时间大于7天的学生人数． 【答案】（Ⅰ）40，20；（Ⅱ）众数为5；中位数为6；平均数是6.4；（Ⅲ）48人． 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用参加社会实践活动9天的人数除以它所占百分比可得调查总人数；利用100%减去各部分所占百分比即可求出m的值； （Ⅱ）根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可得这组样本数据的众数为5；把数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，位置处于中间的是两个数都是6，从而可得中位数为6；求出数据的总和再除以40即可得到平均数； （Ⅲ）利用样本估计总体的方法可得该区八年级学生中参加社会实践活动的时间大于7天的人数比例约为20%，由此即可求解． 【详解】（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为：4÷10%=40， m%=100%-25%-35%-10%-10%=20%， 则m=20， 故答案为：40，20． （Ⅱ）∵在这组样本数据中，5出现了14次，出现的次数最多， ∴这组样本数据的众数为5． ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6，有， ∴这组样本数据的中位数为6． 观察条形统计图，， ∴这组数据的平均数是6.4． （Ⅲ）∵在40名学生中，参加社会实践活动的时间大于7天的人数比例为20%， ∴由样本数据，估计该校240名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于7天的人数比例约为20%，于是，有． ∴该校240名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于7天的人数约为48人． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，以及众数、中位数、加权平均数的计算，关键是正确从统计图中获取正确信息． 23. 2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元． （1）求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？ （2）甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围． （3）在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元 （2） （3）型30台，型120台，最大利润是570元． 【解析】 【分析】（1）列方程组即可求出两种风扇的进价， （2）列一元一次不等式组求出取值范围即可， （3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由关系式求出最大利润． 【小问1详解】 设、型品牌小电器每台的进价分别为元、元，根据题意得： ，解得：， 答：、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元． 【小问2详解】 设购进型品牌小电器台 由题意得：， 解得， 答：购进A种品牌小电器数量的取值范围． 【小问3详解】 设获利为元，由题意得：， ∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元 ∴ 解得： ∴ 随的增大而减小， 当台时获利最大，最大元， 答：型30台，型120台，最大利润是570元． 【点睛】考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件． 24. 如图，在中，，，．点D是中点．点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点C运动，连结，取的中点E，连结，P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为t秒．（） （1）求线段的长． （2）当点Q在上运动时，求的值； （3）当DE与的直角边平行时，求的长． （4）若点P从点C沿CA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，其它条件不变，当点Q在上运动，与一边垂直时，直接写出t的值． 【答案】（1）； （2）； （3）的长为或5； （4）当与一边垂直时t的值为或． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用勾股定理即可求解； （2）先求出，再求出，即可求； （3）分情况讨论：当时，①过P作于点F，过E作于点G，②当时，点Q与B重合，求解即可； （4）分两种情况，当时， ，当时， ，分别求解即可． 【小问1详解】 解：中，，，， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：分情况讨论： ①如图1，当时，过P作于点F，过E作于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为中点，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴； ②当时，如图2，点Q与B重合， ∴； 综上所述，的长为或5； 【小问4详解】 解：当与一边垂直时t的值为或， 当时，如下图，则， ∵， ∴， ∴， ∵， 解得； 当时，如图，则， ∵， ∴， ∴， ∵， 解得； ∵， ∴与边不垂直， 综上所述，当与一边垂直时t的值为或． 25. 如图，轴于点轴于点为的中点，直线交轴于点． （1）求直线的函数关系式； （2）过点作且交轴于点，求证：； （3）点是直线上的一个动点，求得的最小值为___________（请直接写出答案）． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）首先求出D、C两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）利用全等三角形的性质证明CD=CF，由EC⊥DF推出ED=EF，推出∠CDE=∠EFD=∠ADC即可； （3）如图，连接 BD 交直线 CE 于点 P．由（2）可知点 D 与点 F 关于直线 CE 对称，推出PD=PF，因为PB+PF=PB+PD≥BD，可得PB+PF的最小值为BD的长． 【详解】解：（1）∵，轴轴， ， 为的中点， ， ， 设直线解析式为，则有 ，解得 ∴直线的函数关系式为； （2）是的中点， ， ∵AB⊥x轴， ∴AB//y轴 ∵AD⊥y轴 ∴AB⊥AD，AD//x轴 ， 在和中 ， 垂直平分 ； （3）如图，连接交直线于点． 由（2）可知点与点关于直线对称， ， 的最小值为的长， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数综合题、全等三角形的判定和性质、轴对称-最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用对称解决最短问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$