宁夏贺兰县第一中学2024-2025学年高三上学期数学限时训练（3）1

贺兰一中2024-2025学年第一学期高三年级数学限时训练（3） 一、单选题 1．已知集合 ​， 则​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式求集合A，根据指数函数单调性求集合B，进而求交集. 【详解】因为集合​， ​， 所以​． 故选：D． 2．已知函数，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据函数的图象关于轴对称求出，再由必要不充分条件的定义判断可得答案. 【详解】若函数的图象关于轴对称， 则， 可得，所以，可得， 当时，， 因为定义域为，， 所以是偶函数，图象关于轴对称， 当时，， 定义域为，定义域关于原点对称， ， 是偶函数，图象关于轴对称， 综上所述，若函数的图象关于轴对称，则； 又当时，，是偶函数，图象关于轴对称， 则“函数的图象关于轴对称”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．若函数，在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数性质判断上的单调性和值域，结合其区间单调性及分式型函数的性质，讨论参数确定参数范围. 【详解】当时，单调递增且值域为，而在上单调递增， 则在上单调递增，且， 当时，在上单调递增，满足题设； 当时，在上单调递增，此时只需，即； 综上，. 故选：A 4．已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，求得且，结合函数的周期性，即可求解. 【详解】因为且，可得， 由，可得， 所以函数的一个周期为，则. 故选：B. 5．函数在区间的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用奇偶函数的定义判断奇偶性，可排除A，B，再利用导函数求时，的单调性可排除D. 【详解】当时，， 故在为奇函数， 因此的图象关于对称，故可以排除A，B， 又， ， 当时，， 因此可得在单调递增，故， 即当时，， 因此可得在单调递增，结合图象知C正确， 故选：C. 6．设函数，若，则a的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值. 【详解】函数定义域为，而，，， 要使，则二次函数，在上，在上， 所以为该二次函数的一个零点，易得， 则，且开口向上， 所以，只需，故a的最小值为. 故选：B 7．已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（    ）（，）． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意，得到和，结合对数的运算性质，即可求解. 【详解】由题意知，火箭在时刻的速度为，质量为，满足， 因为经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克， 可得，火箭耗尽燃料时速度为， 两式相除得. 故选：C． 8．已知，且满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，结合二倍角公式及余弦函数图象计算即可. 【详解】 令， 则， 所以均单调递增， 又，所以， ， 由，即为的零点， 而，即为的零点， 作出大致图象如上，易知， 因为，综上. 故选：A 【点睛】方法点睛：对于比大小问题，通常利用构造函数的方法，利用导数研究其单调性，还可以通过数形结合的方法比较大小. 二、多选题 9．下列命题正确的有（    ） A．函数定义域为，则的定义域为 B．函数是奇函数 C．已知函数存在两个零点，则 D．函数在上为增函数 【答案】AB 【分析】根据抽象函数定义域求解法则判断A，根据奇函数定义判断B，根据零点定义建立方程，数形结合，判断C，根据对勾函数单调性判断D. 【详解】对于A，由函数定义域为，则， 因此在中，，解得，即的定义域为，故A正确； 对于B，函数定义域为R， 且，所以函数为奇函数，故B正确； 对于C，由函数存在两个零点，即为的两根， 则可得，令，， 结合函数图象可设，，则，    所以，所以，而k不一定为1，故C不正确； 对于D，函数为对勾函数，在区间单调递减，在单调递增，故D不正确. 故选：AB. , 10．若正实数a，b满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的取值范围为 【答案】BC 【分析】利用配凑法，结合基本不等式求解最值判断AB；利用二次函数求解判断CD. 【详解】正实数a，b满足，， 对于A，，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 11．定义在上的函数满足，则（    ） A．是周期函数 B． C．的图象关于直线对称 D． 【答案】ABC 【分析】对于A，由已知，可得，则的周期为4，即可判断；对于B，令，可得，则，即可判断；对于C，由已知，可得函数关于对称，关于对称，则的的图象关于直线对称，即可判断；由已知，得，，代值可推得，即可判断. 【详解】由可得， 所以，所以的周期为4，故A正确； 由，令， 则，所以， 又，故B正确； 由，可知函数关于对称， 又的周期为4，则， 所以，即函数关于对称， 则的图象关于直线对称，故C正确； 由，且关于对称， 则，所以， 又，且， 则，又， 所以， ，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用绝对值的定义化简函数解析式，结合不等式的性质，可得答案. 【详解】由函数， 当时，；当时，. 综上所述，函数的值域为. 故答案为：. 13．已知，则的解集为 ． 【答案】 【分析】探讨给定函数的奇偶性及单调性，再解不等式即得. 【详解】函数的定义域为R，，则是R上的奇函数， 函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减， 不等式，因此， 即，解得或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 14．已知集合，函数.若函数满足：对任意，存在，使得，则的解析式可以是 .（写出一个满足条件的函数解析式即可） 【答案】（满足，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确） 【分析】根据，求得，则满足的一次函数或二次函数均可. 【详解】，， ，， ，， 所以，则的解析式可以为. 经检验，满足题意. 故答案为：（答案不唯一）. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的形式，确定函数的关键特征和条件. 四、解答题 15．已知二次函数满足，顶点为. (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数顶点为可设，由即可求出a，则求出的解析式. （2）根据二次函数的开口和对称轴即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）设， 则由得：， ， . （2）由（1）知，开口向上，对称轴为， 则若函数在区间上单调递增， 需满足， ， ∴实数a的取值范围为. 16．（1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）化简即可求出该式子的值； （2）解对数方程求出，即可得出的值. 【详解】（1）由题意， （2）由题意， 在中， ，化简得， 两边同除得，解得：或1（舍）， ∴. 17．已知，且.证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由均值不等式和根式的运算即可证明； （2）由均值不等式结合不等式的性质和根式的运算即可证明. 【详解】（1）证明： 因为，有 ， 则 ，即，所以 ， 当且仅当 即 时取等号. （2）证明：因为，有 ， ， ， 则有，，， 得， 当且仅当时取等号. 18．已知函数（其中，为常量，且，，）的图象经过点，． (1)求，的值 (2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把两点坐标代入函数解析式，求，的值； （2）证明函数在上单调递增，有，可求的取值范围． 【详解】（1）函数的图象经过点，， 得，解得； （2）由（1）得，， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以在上的最大值为， 因为关于的不等式在上有解， 所以，解得， 即的取值范围为 19．已知函数，其中. (1)求证：是奇函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合奇偶性的定义以及对数函数运算法则即可得证； （2）分离参数，将原问题等价转换为在上有解，由此转换为求函数值域问题. 【详解】（1）函数的定义域为 ， 在中任取一个实数，都有，并且. 因此，是奇函数. （2）等价于即在上有解. 记，因为在上为严格减函数， 所以，，， 故的值域为，因此，实数的取值范围为. 20．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围； (3)若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得； （2）将函数有两个零点，转化为与有两个交点问题，利用导数研究并作出函数的图象，即得的取值范围； （3）由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围. 【详解】（1）的定义域为， 当时，时，时，； 当时，时，； 当时，时，；时； 当时，时；时； 综上，时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. （2）令得， 设，则， 当时，在上递减；当时，在上递增， 则. 又因时，时，作出函数的图象， 由图可得，要使直线与函数的图象有两个交点，须使， 即，故的取值范围是. （3）由得， 因，即得，（*）， 易得时，不等式成立， 设，， 则， 当时，，函数在上单调递增，故，（*）恒成立； 当时，设， 则方程有两根，，可得 当时，，则，在上单调递减； 又，所以当时，，不满足条件， 综上，的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的零点和不等式恒成立问题，属于难题. 对于函数零点的探究，一般考虑参变分离法，不易分离变量的则考虑根据参数，分析讨论函数的图象性质判断求解；对于由不等式恒成立的求参问题，一般是分离变量后，将其转化为求函数的最值问题解决，对于不易转化时，可以通过构造函数，根据参数范围，讨论函数不等式何时恒成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贺兰一中2024~2025学年第一学期高三年级数学限时训练（3） 一、单选题 1．已知集合 ​， 则​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 2．已知函数，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若函数，在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 5．函数在区间的大致图象为（    ） A．B．C． D． 6．设函数，若，则a的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 7．已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（    ）（，）． A．4 B．5 C．6 D．7 8．已知，且满足，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题正确的有（    ） A．函数定义域为，则的定义域为 B．函数是奇函数 C．已知函数存在两个零点，则 D．函数在上为增函数 10．若正实数a，b满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的取值范围为 11．定义在上的函数满足，则（    ） A．是周期函数 B． C．的图象关于直线对称 D． 三、填空题 12．函数的值域为 ． 13．已知，则的解集为 ． 14．已知集合，函数.若函数满足：对任意，存在，使得，则的解析式可以是 .（写出一个满足条件的函数解析式即可） 四、解答题 15．已知二次函数满足，顶点为. (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 16．（1）求值：； （2）已知，求的值. （3）已知，且.证明：①；②. 17．已知函数（其中，为常量，且，，）的图象经过点，． (1)求，的值 (2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 18．已知函数，其中. (1)求证：是奇函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 19．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围； (3)若对任意恒成立，求的取值范围. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$