陕西省 西安市经开第一中学2023-2024学年上学期九年级第二次月考数学试卷

2023-2024学年陕西省西安市经开一中九年级（上）第二次月考数学试卷 一、选择题（共10小题，计30分） 1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．x2+y＝2 C．x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0 2．（3分）下列数学曲线中（不含x，y轴），既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）如果a＞b，c＜0，那么下列不等式不成立的是（　　） A．a+c＞b+c B．a﹣c＞b﹣c C．ac﹣1＜bc﹣1 D． 4．（3分）能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A．AB∥CD，∠C＝∠A B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB∥CD，AD＝BC D．AB＝AD，CB＝CD 5．（3分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a＜3 B．a＞3 C．a≤3 D．a≥3 6．（3分）如图，△ABC以每秒2cm的速度沿着射线BC向右平移，平移2秒后所得图形是△DEF，若AD＝2CE，则BC的长为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm 7．（3分）如图，已知直线y＝mx过点A（﹣2，﹣4），过点A的直线y＝nx+b交x轴于点B（﹣4，0），则关于x的不等式组nx+b≤mx＜0的解集为（　　） A．x≤﹣2 B．﹣4＜x≤﹣2 C．x≥﹣2 D．﹣2≤x＜0 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝6，BC＝8，则EF的长为（　　） A．2 B．1 C．4 D． 9．（3分）某商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品（　　） A．10件 B．11件 C．12件 D．13件 10．（3分）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，，则下列结论：①∠CAD＝30°；②；③；④S△BEP＝S△APO．其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（共6小题，计18分） 11．（3分）因式分解：a3﹣6a2+9a＝　 　． 12．（3分）陕西某民间灯会活动中，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，AB与BC为该正多边形的一组相邻边，小丽量得∠BAC＝15°，则这个正多边形的边数为 　 　． 13．（3分）若关于x的分式方程+1有增根，则m＝　 　． 14．（3分）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处，若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠C＝　 　°． 15．（3分）如图，▱ABCD中，∠B＝60°，AB⊥AC，AB＝3，对角线AC绕着对称中心O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AD、BC于点E、F，若BF＝2CF，则图中阴影部分的面积是 　 　． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4．如果在三角形内部有一条动线段MN∥AC，且MN＝2，则AM+BN+CN的最小值为　 　． 三、解答题（共8小题，计72分，解答题应写出必要的解答过程） 17．（12分）（1）解分式方程：； （2）用配方法解一元二次方程：4x2﹣8x﹣3＝0． 18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，请用尺规作图的方法在AC上找一点D，使得DC＝2AD．（不写作法，保留作图痕迹） 19．（7分）先化简，再求值：，其中． 20．（8分）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F．连接BD、AF．请判断四边形ABDF的形状，并说明你的理由． 21．（10分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该商场节前最多购进多少千克A粽子？ 22．（8分）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点．已知AB＝6，CD＝8，求四边形EGFH的周长． 23．（10分）如图，在▱ABCD中，E，F两点分别在边AB，CD上，连接DE，BF，AF，且∠ADE＝∠CBF． （1）判断线段ED和BF的关系，并说明理由； （2）若AF平分∠BAD，DE⊥AB，且AD＝6，AF＝10，求AE的长． 24．（12分）问题提出 （1）如图1，在Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，P为此三角形内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，将△CPB绕点C沿顺时针方向旋转90°至△CQA，则∠BPC的度数为　 　． 问题探究 （2）如图2，在四边形ACBD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AC＝BC，探究线段AD、BD、CD之间的数量关系并写出解答过程． 问题解决 （3）如图3是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知四边形ACBD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AC＝BC，AB＝70m，DC平分∠ADB交AB于点P，PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，若AP的长为30m，则阴影部分的面积为　 　m2． 2023-2024学年陕西省西安市经开一中九年级（上）第二次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，计30分） 1．【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可得到答案． 【解答】解：A、，是分式方程，不符合题意； B、x2+y＝2，该方程是二元二次方程，不符合题意； C、x2﹣1＝0，是一元二次方程，符合题意； D、当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念．解题关键是熟练掌握其概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件． 2．【分析】根据中心对称图形、轴对称图形的定义判断即可． 【解答】解：由各选项图形可知，既是轴对称图形又是中心对称图形的是D选项． 故选：D． 【点评】本题考查中心对称图形、轴对称图形，熟练掌握中心对称图形、轴对称图形的定义是解答本题的关键． 3．【分析】根据不等式的性质解答． 【解答】解：A、由a＞b，c＜0得到：a+c＞b+c，故本选项不符合题意． B、由a＞b，c＜0得到：a﹣c＞b﹣c，故本选项不符合题意． C、由a＞b，c＜0得到：ac﹣1＜bc﹣1，故本选项不符合题意． D、由a＞b，c＜0得到，所以，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 4．【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠C＝∠A， ∴∠B+∠A＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A符合题意； B、∵两组邻角相等也有可能是等腰梯形， ∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意； C、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项C不符合题意； D、∵AB＝AD，CB＝CD， ∴四边形ABCD是筝形，不是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 5．【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的取值范围即可． 【解答】解：∵不等式组无解， ∴a+1≥3a﹣5， 解得：a≤3． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键． 6．【分析】根据平移的性质即可得到结论． 【解答】解：∵△ABC以每秒2cm的速度沿着射线BC向右平移，平移2秒后所得图形是△DEF， ∴AD＝BE＝2×2＝4（cm）， ∵AD＝2CE， ∴CE＝2cm， ∴BC＝BE+CE＝6（cm）， 故选：B． 【点评】本题考查了平移的性质，解题的关键是理解平移的方向，由图形判断平移的方向和距离．注意数形结合思想的应用． 7．【分析】由图象可求解． 【解答】解：由图象可知，当﹣2≤x＜0时，直线y＝nx+b在直线y＝mx下方，且都在x轴下方， ∴当﹣2≤x＜0时，nx+b≤mx＜0， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，理解图象是本题的关键． 8．【分析】根据勾股定理得到AB＝＝10，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE＝AB＝5，根据平行线的性质得到∠DFA＝∠FAB，根据角平分线的定义得到∠DAF＝∠BAF，求得∠DAF＝∠DFA，得到DF＝AD，于是得到结论． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝10， ∵D、E分别为CA、CB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DE＝AB＝5， ∴∠DFA＝∠FAB， ∵AF平分∠BAC， ∴∠DAF＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴DF＝AD＝AC＝×6＝3， ∴EF＝DE﹣DF＝2， 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 9．【分析】设小颖可以购买x件该商品，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过44元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 【解答】解：设小颖可以购买x件该商品， 依题意得：4×5+4×0.8（x﹣5）≤44， 解得：x≤， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为12， ∴小颖最多可以购买该商品12件． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 10．【分析】根据平行四边形的性质即可得∠DAB＝120°，又因为AE平分∠BAD，则可得∠BAE＝∠DAE＝60°＝∠ABE，即三角形ABE为等边三角形，则可判断①；根据S△ABC＝S△ACD＝，结合勾股定理即可判断③；AO＝CO，BE＝CE，则OE为三角形ABC的中位线，利用中位线的性质即可判断②；△AOE 与△BOE为同底等高的三角形，根据面积关系即可判断④． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AD∥BC，AO＝CO， ∴∠DAB＝120°， 又∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝60°＝∠ABE， ∴△ABE为等边三角形， ∴AB＝AE＝BE， 又∵AB＝BC＝2，BC＝4， ∴EC＝2＝AE＝BE， ∴∠BAC＝90°， ∴∠CAD＝∠BCA＝30°， 故①正确； ∵∠BAC＝90°， ∴AC＝＝＝2， ∴AO＝，BO＝＝＝， ∴BD＝2BO＝2，故③正确； ∵AO＝CO，BE＝CE， ∴OE为三角形ABC的中位线， ∴OE∥AB，AB＝2OE， ∴OE＝1， 又∵BC＝4， ∴OE＝BC＝AD，故②正确； ∵△AOE与△BOE为同底等高的三角形， ∴S△AOE＝S△BOE ∴S△AOE﹣S△POE＝S△BOE﹣S△POE， ∴S△BEP＝S△APO，故④正确， 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是 熟练掌握平行四边形的性质，根据已知条件，巧妙运用相关知识判断． 二、填空题（共6小题，计18分） 11．【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝a（a2﹣6a+9）＝a（a﹣3）2， 故答案为：a（a﹣3）2． 【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 12．【分析】由题意知，AB＝BC，则∠BCA＝∠BAC＝15°，可求∠B＝150°，设这个正多边形的边数为n，依题意得，150°n＝180°（n﹣2），计算求解即可． 【解答】解：由题意知，AB＝BC， ∴∠BCA＝∠BAC＝15°， ∴∠B＝180°﹣∠BCA﹣∠BAC＝150°， 设这个正多边形的边数为n， 依题意得，150°n＝180°（n﹣2）， 解得，n＝12， 故答案为：十二． 【点评】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，正多边形的内角和等知识，熟练掌握等边对等角，三角形内角和定理，正多边形的内角和是解题的关键． 13．【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出x的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m的值． 【解答】解：去分母得：3x＝m+3+（x﹣2），整理得：2x＝m+1， ∵关于x的分式方程有增根，即x﹣2＝0， ∴x＝2， 把x＝2代入到2x＝m+1中得：2×2＝m+1， 解得：m＝3； 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值． 14．【分析】由平行四边形的性质得CD∥AB，则∠CDB＝∠ABD，由折叠得∠EBD＝∠ABD，所以∠CDB＝∠EBD，则∠1＝2∠EBD＝2∠ABD＝56°，求得∠ABD＝28°，则∠C＝∠A＝180°﹣∠ABD﹣∠2＝110°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD， 由折叠得∠EBD＝∠ABD， ∴∠CDB＝∠EBD， ∴∠1＝∠CDB+∠EBD＝2∠EBD＝2∠ABD＝56°， ∴∠ABD＝28°， ∵∠2＝42°， ∴∠C＝∠A＝180°﹣∠ABD﹣∠2＝180°﹣28°﹣42°＝110°， 故答案为：110． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、翻折变换的性质等知识，推导出∠CDB＝∠EBD是解题的关键． 15．【分析】连接BD，先求出▱ABCD的面积，根据平行四边形的性质求出△COB的面积，根据BF＝2CF求出△FOC的面积，同理得到△EOA的面积，得到答案． 【解答】解：连接BD， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ACB＝30°， ∴BC＝2AB＝6， ∴AC＝＝3， ∴▱ABCD的面积为3×3＝9， ∵点O是AC的中点， ∴点O在BD上，且点O是BD的中点， ∴△COB的面积＝×▱ABCD的面积＝， ∵BF＝2CF， ∴△FOC的面积＝×△COB的面积＝， 再由旋转性质同理可得，△EOA的面积＝， ∴图中阴影部分的面积＝×2＝． 故答案为： ． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和旋转的性质，熟练掌握平行四边形的性质和旋转的性质是解题的关键． 16．【分析】在AC上取一点A′，使得AA′＝MN＝2，连接A′N．首先证明AM+BN+CN＝A′N+BN+CN，将△NCB绕点C顺时针旋转60°得到△GCT，连接NG，过点T作TH⊥AC交AC的延长线于H．证明A′N+CN+BN＝A′N+NG+GT≥A′T，求出A′T可得结论． 【解答】解：在AC上取一点A′，使得AA′＝MN＝2，连接A′N． ∵AA′＝MN，AA′∥MN， ∴四边形AMNA′是平行四边形， ∴AM＝A′N， ∴AM+BN+CN＝A′N+BN+CN， 将△NCB绕点C顺时针旋转60°得到△GCT，连接NG，过点T作TH⊥AC交AC的延长线于H． ∵CN＝CG，∠NCG＝60°， ∴△NCG是等边三角形， ∴CN＝NG， ∴A′N+CN+BN＝A′N+NG+GT， ∵A′N+NG+GT≥A′T， ∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4， ∴BC＝CT＝AB＝2，AC＝BC＝6， ∴CA′＝6﹣2＝4， ∵∠ACH＝90°，∠BCT＝60°， ∴∠TCH＝30°， ∵∠THC＝90°， ∴TH＝CT＝，CH＝TH＝3， ∴A′H＝4+3＝7， ∴A′T＝＝＝2． ∴AM+BN+CN≥2， ∴AM+BN+CN的最小值为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，旋转变换，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（共8小题，计72分，解答题应写出必要的解答过程） 17．【分析】（1）根据解分式方程的步骤对所给分式方程进行求解即可； （2）根据配方法一元二次方程的步骤对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）﹣1＝， 原方程去分母得：x（x+1）﹣x2+1＝3， 整理得：x2+x﹣x2+1＝3， 解得：x＝2， 当x＝2时，x2﹣1≠0， 所以x＝2是原方程的解； （2）4x2﹣8x﹣3＝0， 移项，得4x2﹣8x＝3， 方程两边都除以4，得x2﹣2x＝， 方程两边都加上12，得x2﹣2x+12＝+12， 即（x﹣1）2＝， 开方，得x﹣1＝±， 解得：x1＝1+，x2＝1﹣． 【点评】本题考查解分式方程及一元二次方程，熟练掌握解方程及一元二次方程的方法是解题的关键． 18．【分析】作∠ABC的平分线即可． 【解答】解：如图：点D即为所求． 【点评】本题考查了复杂作图，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 19．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝， 当x＝2﹣时，原式＝． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 20．【分析】因为平行四边形的对边平行且相等，所以AB∥CD，AB＝CD；又因为点E是AD的中点，易得△ABE≌△DFE，所以AB＝DF，所以四边形ABDF为平行四边形． 【解答】解：四边形ABDF为平行四边形， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABE＝∠BFD， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵∠AEB＝∠DEF， ∴△ABE≌△DFE， ∴AB＝DF， ∵AB∥DF， ∴四边形ABDF为平行四边形． 【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等．此题还考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．解题的关键是准确选择适宜的判定方法． 21．【分析】（1）设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前每千克A粽子的进价是（x+2）元，根据节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进A粽子（400﹣m）千克，根据总费用不超过4600元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前每千克A粽子的进价是（x+2）元， 根据题意得：， 解得 x＝10， 经检验，x＝10 是原分式方程的解，且符合题意， 答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元； （2）由（1）可知，x+2＝12， 设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进A粽子（400﹣m）千克， 根据题意得：12m+10（400﹣m）≤4600， 解得：m≤300， 答：该商场节前最多购进300千克A粽子． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 22．【分析】由E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，AB＝6，CD＝8，根据三角形中位线定理得EG＝FH＝AB＝3，FG＝EH＝CD＝4，即可求得四边形EGFH的周长为14． 【解答】解：∵E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，AB＝6，CD＝8， ∴EG＝FH＝AB＝3，FG＝EH＝CD＝4， ∴四边形EGFH是平行四边形， ∴EG+FH+FG+EH＝2EG+2FG＝2×3+2×4＝14， ∴四边形EGFH的周长为14． 【点评】此题重点考查三角形中位线定理、中点四边形等知识，证明EG＝FH＝3，FG＝EH＝4是解题的关键． 23．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD＝CB，∠DAE＝∠C，根据全等三角形的性质得到AE＝CF，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到∠DAF＝∠BAF，根据平行线的性质得到∠AFD＝∠BAF，求得∠DAF＝∠AFD，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，∠DAE＝∠C， 在△ADE与△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴DF＝BE， ∵DF∥BE， ∴四边形DEBF为平行四边形， ∴ED＝BF； （2）解：∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF＝∠BAF， ∵AB∥CD， ∴∠AFD＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠AFD， ∴AD＝DF， ∵DF＝BE， ∴BE＝6， ∵DE⊥AB，BF∥DE， ∴BF⊥AB， ∴∠AHD＝∠ABF＝90°， ∵四边形DEBF为平行四边形， ∴DE＝BF， ∵AD2﹣AE2＝DE2，AF2﹣AB2＝BF2， ∴AD2﹣AE2＝AF2﹣AB2， ∴62﹣AE2＝102﹣（AE+6）2， ∴AE＝． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 24．【分析】（1）由旋转不变性，可得△AQC≌△APB，∠PAQ＝90°，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理的逆定理可求； （2）利用（1）的解题思路，构造△EAC≌△DBC，利用等腰直角三角形的性质可得结论； （3）利用以上的结论，将△APE逆时针旋转90°至△PMF处，这样，阴影部分的面积就是S△ABC+S△PMB，结论可求． 【解答】解：（1）如图，连接PQ， ∵将△CPB绕点C沿顺时针方向旋转90°至△CQA， ∴△AQC≌△APB，∠PAQ＝90°． ∴CQ＝PB＝1，AQ＝AP＝2． ∴PQ＝． ∵AQ＝AP，∠PAQ＝90°， ∴∠AQP＝∠APQ＝45°． ∵CQ2+PQ2＝1+8＝9，PC2＝32＝9， ∴CQ2+PQ2＝PC2． ∴∠PQC＝90°． ∴∠AQC＝∠AQP+∠PQC＝45°+90°＝135°． ∵△AQC≌△APB， ∴∠APB＝∠AQC＝135°． 故答案为：135°． （2）AD+BD＝CD．理由： 延长DA至点E，使EA＝BD，连接EC，如图2， ∵∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴∠ACB+∠ADB＝180°． ∴A、D、B、C四点在同一个圆上． ∴∠EAC＝∠BDC． ∵AC＝BC， ∴∠ADC＝∠BDC＝45°． 在△EAC和△DBC中， ． ∴△EAC≌△DBC（SAS）． ∴EC＝CD，∠CEA＝∠CDB＝45°． ∴∠ECD＝180°﹣∠CEA﹣∠CDA＝180°﹣45°﹣45°＝90°． ∴△CED为等腰直角三角形． ∴DE＝CD． ∵DE＝AD+AE＝AD+BD， ∴AD+BD＝CD． （3）∵DC平分∠ADB，PE⊥AD，PF⊥BD， ∴PE＝PF． ∵PE⊥AD，PF⊥BD，∠ADB＝90°， ∴四边形PEDF为正方形． ∴∠EPF＝90°． 在FD上截取FM＝AE，连接PM，如图3， ∵ ∴△APE≌△MPF（SAS）． ∴PM＝PA＝30 m，∠APE＝∠MPF． ∵∠EPF＝90°， ∴∠EPM+∠MPF＝90°． ∴∠EPM+∠APE＝90°． ∴∠MPB＝90°． 即MP⊥PB． ∵△APE≌△MPF， ∴S△APE＝S△PMF． ∴S△APE+S△PBF＝S△PMF+S△PBF＝S△PMB． ∵AB＝70m，AP＝30m， ∴PB＝40m． ∴（m2）． ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝70m， ∴AC＝BC＝35m． ∴（m2）． ∴S阴影＝S△ABC+S△APE+S△PBF＝S△ABC+S△PMB＝1225+600＝1825（m2）． 故答案为：1825． 【点评】本题主要考查了正方形的判定与性质，三角形的全等判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识点，是一道综合性很强的题目，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$