江西省南昌市江西科技学院附属中学2023-2024学年上学期九年级期末数学试卷

2023-2024学年江西科技学院附中九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.实数的相反数是(    ) A. B. C. D. 2.某零件由两长方体组合而成如图所示，则它的左视图是(    ) A. B. C. D. 3.下列运算中正确的是(    ) A. B. C. D. 4.已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是(    ) A. 0，4 B. 1，5 C. 1， D. ，5 5.如图，是的外接圆，AC是的直径，点P在上，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 6.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为(    ) A. 5 B. 6 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7.若分式的值为零，则x的值为______. 8.节俭办赛是北京申奥的一大理念和目标．根据此次冬奥会财政预算，赛事编制预算约为亿美元，亿可用科学记数法表示为______. 9.若a，是方程的两个根，则的值为______. 10.《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为__________. 11.如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，则点D到BC的距离是______. 12.平面内有四个点A、O、B、C，其中，，，则满足题意的OC长度为整数的值可以是______. 三、计算题：本大题共1小题，共3分。 13.计算： 四、解答题：本题共11小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题3分 如图，在中，，点E是BC的中点，在AE的延长线上取点D，使 求证： 15.本小题6分 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 16.本小题6分 《小猪佩奇》这部动画片，估计同学们都非常喜欢．周末，小猪佩奇一家4口人小猪佩奇，小猪乔治，小猪妈妈，小猪爸爸来到一家餐厅就餐，包厢有一圆桌，旁边有四个座位 小猪佩奇随机到A座位的概率是______； 若现在由小猪佩奇，小猪乔治两人先后选座位，用树状图或列表的方法计算出小猪佩奇和小猪乔治坐对面的概率． 17.本小题6分 如图，四边形ABCD为正方形，点E在BC边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图： 在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形； 在图2中，在CD上找一个点M，使 18.本小题6分 如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接AC， 求该反比例函数的解析式； 求的面积； 19.本小题8分 暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩得分取整数，满分为100分，整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图. 其中A组的频数a比B组的频数b小请根据以上信息，解答下列问题： 本次共抽取______名学生， a的值为______； 在扇形统计图中，______， E组所占比例为______； 补全频数分布直方图； 若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数. 20.本小题8分 2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，，，，机械臂端点C到工作台的距离 求A、C两点之间的距离； 求OD长． 结果精确到，参考数据：，，， 21.本小题8分 如图，点O是的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F， 连接AF，求证：AF是的切线； 若，，求FD的长． 22.本小题9分 为了迎接“十一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表： 运动鞋 价格 甲 乙 进价元/双 m 售价元/双 240 160 已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同． 求m的值； 要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润利润=售价-进价不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ 在的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 23.本小题9分 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为，点在抛物线上. 求抛物线的表达式； 如图①，点P在y轴上，且点P在点C的下方，若，求点P的坐标； 如图②，E为线段CD上的动点，射线OE与线段AD交于点M，与抛物线交于点N，求的最大值. 24.本小题12分 如图1，四边形ABCD中，，，，，，于点将与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中，， 求证：≌； 从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移图，当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转图，当边PM旋转时停止． ①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积； ②如图2，点K在BH上，且若右移的速度为每秒1个单位长度，绕点D旋转的速度为每秒，求点K在区域含边界内的时长； ③如图3，在旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若，直接写出CF的长用含d的式子表示 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：的相反数是 故选： 根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：从左面看，视图是一个矩形，由于物体正面看有上下两层，从左边看不到凹槽的棱，用虚线表示， 故选： 找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在左视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 3.【答案】D  【解析】解：，故此选项不合题意； B.，无法合并同类项，故此选项不合题意； C.，故此选项不合题意； D.，故此选项符合题意． 故选： 直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别化简，进而得出答案． 此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4.【答案】D  【解析】解：抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 方程可以写成， ， ， 解得，， 故选： 【分析】根据抛物线的对称轴为直线，可以得到m的值，然后解方程即可． 本题考查二次函数的性质、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出m的值． 5.【答案】C  【解析】解：是的直径， ， ， ， 由圆周角定理，得 故选： 根据直径所对的圆周角是直角得到，进而求出，根据圆周角定理解答即可． 本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似． 证明∽，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果． 【解答】 解：， ∽， ， ， 故选： 7.【答案】3  【解析】解：，， ， 故答案为： 根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案． 本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是分子等于0且分母不等于0是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：亿 故答案为： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 此题考查科学记数法的表示方法，正确记忆科学记数法的表示形式和a，n的值的取值要求是解题关键． 9.【答案】7  【解析】解：，是方程的两个根， ，， 故答案为： 根据根与系数的关系，即可得出、的值，整体代入此题得解． 本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 设每只雀有x斤，每只燕有y斤，根据五只雀、六只燕，共重1斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可． 【解答】 解：设每只雀有x斤，每只燕有y斤， 由题意得， 故答案为： 11.【答案】2  【解析】解：如图，连接BD，过点D作于H， 将绕点A逆时针旋转， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 点D到BC的距离是2， 故答案为： 由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可求解． 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 12.【答案】2，3，4  【解析】解：如图1，，， ， 点C在以点O为圆心的圆上，且在优弧AB上． ； 如图2，，， ， 四个点A、O、B、C共圆． 设这四点都在上．点C在优弧AB上运动． 连接OM、AM、AB、 ， ， 又， 是等边三角形， ， ，即， 可以取整数3和 综上所述，OC可以取整数2，3， 故答案是：2，3， 分类讨论：如图1，根据圆周角定理可以推出点C在以点O为圆心的圆上； 如图2，根据已知条件可知对角，则四个点A、O、B、C共圆．分类讨论：如图1，如图2，在不同的四边形中，利用垂径定理、等边的性质来求OC的长度． 本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质．此题需要分类讨论，以防漏解．在解题时，还利用了圆周角定理，圆周角、弧、弦间的关系． 13.【答案】解：原式   【解析】利用负整数指数幂的意义，零指数幂的意义和绝对值的意义解答即可． 本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义和绝对值的意义，正确利用上述法则与性质化简运算是解题的关键． 14.【答案】证明：， ， 点E是BC的中点，， ， ，   【解析】根据等腰三角形的性质证明，即可解决问题． 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质． 15.【答案】解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式的解集表示在数轴上如下：   【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 16.【答案】  【解析】解：小猪佩奇随机到A座位的概率； 故答案为； 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中小猪佩奇和小猪乔治坐对面的结果数为4， 所以小猪佩奇和小猪乔治坐对面的概率 直接利用概率公式计算； 先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出小猪佩奇和小猪乔治坐对面的结果数，然后根据概率公式计算． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 17.【答案】解：如图1，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，连接CF， 则平行四边形AECF即为所求． 如图2，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，连接CF交BD于点G，连接AG并延长，交CD于点M， 则点M即为所求．   【解析】结合正方形的性质以及平行四边形的判定，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，连接CF，则平行四边形AECF即为所求． 结合正方形的性质，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，连接CF交BD于点G，连接AG并延长，交CD于点M，则点M即为所求． 本题考查作图-复杂作图、平行四边形的判定与性质、正方形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18.【答案】解：把点代入得：， ， 反比例函数的解析式为； 反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B， ， 点C是点A关于y轴的对称点， ， ，   【解析】把点代入可得k的值，求得反比例函数的解析式； 根据对称性求得B、C的坐标然后利用三角形面积公式可求解． 本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 19.【答案】； ； 人， “C组”频数为：人， “E组”频数为：人， 补全频数分布直方图如图所示： 人， 答：估计成绩在80分以上的学生人数大约为660人．  【解析】解：组的频数a比B组的频数b小15，A组的频率比B组的频率小， 因此调查人数为：人， 人， 故答案为：150，12； ，即， “E组”所占的百分比为， 故答案为：144，4； 见答案； 见答案. 组的频数a比B组的频数b小15，而A组的频频率比B组的频率小，可求出调查人数，再根据频数、频率、总数之间的关系求出a的值即可； 求出“D组”所占的百分比即可求出相应的圆心角度数及“E组”所占的百分比； 求出b的值，“C组”频数以及“E组”频数即可； 求出样本中成绩在80分以上的学生所占的百分比，即可估计整体中成绩在80分以上的学生人数． 本题考查频数分布直方图，扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决问题的关键． 20.【答案】解：如图，过点A作，垂足为E， 在中，，， ，， ，， ，， ， 在中，由勾股定理 故A，C两点之间距离为 过点A作，垂足为F， ，， ， 在中，由勾股定理 的长为  【解析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点A作，垂足为E，在中，由，，可求AE和BE，即可得出AC的长； 过点A作，垂足为F，在中，由勾股定理可求出AF，即OD的长． 21.【答案】证明：在和中， ， ≌， ， 与相切， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； 解：在中，，，， ， ，， ∽， ， 设的半径为r，则， 解得， 在中，，，， ， ， 即FD的长为  【解析】根据SAS证≌，得出，即可得出结论； 根据勾股定理求出AF，证∽，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据求出即可． 本题主要考查切线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键． 22.【答案】解：依题意得，， 整理得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 所以，； 设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋双， 根据题意得，， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，不等式组的解集是， 是正整数，， 共有11种方案； 设总利润为W，则， ①当时，，W随x的增大而增大， 所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双； ②当时，，，中所有方案获利都一样； ③当时，，W随x的增大而减小， 所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．  【解析】用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可； 设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答； 设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可． 本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，要根据一次项系数的情况分情况讨论． 23.【答案】解：点，在抛物线上， ， 解得：， 抛物线的表达式为 解法一： 如图，过点P作交DC的延长线于点E，过点P作x轴的平行线FG，过点D作于点F，过点E作于点G， ，， 又， 为等腰直角三角形，， 设点P坐标为， 点D坐标为， ，， ，， 又 ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 为抛物线与y轴交点， 当时，， ， 又点D坐标为， 设直线CD的表达式为， ， 解得：， 直线CD的表达式为， 把代入， 得：， 解得：， 点P的坐标为 解法二： 把CD绕点C逆时针旋转得到线段CF，连接DF， 为等腰直角三角形，，， 与y轴的交点即为P点， 作轴于G，作轴于H， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， 为抛物线与y轴交点， ， 点D坐标为， ，， ，， ， 坐标为， 设直线CF的表达式为， ， 解得：，， 直线CF的表达式为， 当时，， 点P的坐标为 解法三： 过P作于点E，过点D作于F， ， 为抛物线与y轴交点， ， 点D坐标为， ， ，， ， ， 又， ∽， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 点P的坐标为 解法一： 过点N作轴，交直线AD于点H，则， 又， ∽， ， 由点A坐标为，点D坐标为， 可求得直线AD的表达式为， 当时，， 直线AD与y轴的交点坐标为， ， 设， 的坐标为，其中， ， ， ，， 时，取最大值，最大值为 解法二： 过点N作轴，交直线AD于点Q，则， 又， ∽， ， 由点A坐标为，点D坐标为， 可求得直线AD的表达式为， 设点N坐标为， 点Q坐标为，其中， ， ， ，， 时，取最大值，最大值为  【解析】利用待定系数法求抛物线的解析式即可； 解法一：如图，过点P作交DC的延长线于点E，过点P作x轴的平行线FG，过点D作于点F，过点E作于点G，设点P坐标为，先证明≌，可得出，再求出直线CD的表达式为，最后把代入求解即可； 解法二：把CD绕点C逆时针旋转得到线段CF，连接DF，先证明≌，再求出直线CF的表达式为，即可求解； 解法三：过P作于点E，过点D作于F，利用勾股定理求出，然后证明∽，再利用勾股定理求出，即可求解； 解法一：过点N作轴，交直线AD于点H，则，由∽得到，利用待定系数求得直线AD的表达式为，设，得到N的坐标，其中，可得出，所以，再根据二次函数的性质即可求解； 解法二：过点N作轴，交直线AD于点Q，则，由∽得出，利用待定系数法求得直线AD的表达式为，设点N坐标为，得出点Q坐标为，其中，可得出，再根据二次函数的性质即可求解． 本题考查函数的综合应用，解题的关键是掌握函数的相关应用和性质． 24.【答案】证明：，， ， ， ， ， ， 四边形ABHD是矩形， ，， 在中，，，， ， ， ，， 在和中， ， ≌； 解：①如图1中，PQ扫过的面积=平行四边形的面积+扇形的面积． 设交AM于点 ，， ， 扫过的面积； ②如图中，连接当DM运动到与DH重合时， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点K在区域含边界内的时长； ③如图3中， 在中，，， ， ， ，， ， ，， ， ，， ∽， ， ， ，   【解析】解直角三角形求出QM，再根据AAS证明三角形全等即可； ①如图1中，PQ扫过的面积=平行四边形的面积+扇形的面积； ②如图中，连接当DM运动到与DH重合时，求出，可得结论； ③利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出EF，可得结论． 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$