精品解析：吉林省四平市名校调研系列卷2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

名校调研系列卷·九年级第一次月考试卷数学（人教版） 一、选择題（每小题2分，共12分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义，必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：．是一元二次方程，该选项正确，符合题意； ． 是二元二次方程，该选项错误，不符合题意； ． 不是一元二次方程，该选项错误，不符合题意； ． 不是一元二次方程，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 2. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. B. 8 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入得到的值，再整体代入求值即可． 【详解】∵是关于的一元二次方程的解， ∴， 整理得， ∴， 故选：A． 3. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 最高点的坐标为 C. 经过点 D. 与y轴的交点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质及与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 由抛物线解析式可求得对称轴、顶点坐标，从而可判断A和B；把代入解析式可判断C；令可判断D． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ， ∴A错误，不符合题意； ∵抛物线开口向上， ∴最低点的坐标为，B错误，不符合题意； 当时，，故C错误，不符合题意； 当时，，故与y轴交点坐标为，选项D正确，符合题意； 故选：D． 4. 抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像的平移规律即可解答． 掌握函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后， 得到的新的抛物线的解析式为：． 故选：B． 5. 对于实数a、b，定义新运算，规则如下：，则等式中的值为（ ） A. 1或 B. 或7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用新运算的规定列出方程，解方程求解即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选B． 6. 如图，抛物线的对称轴是直线，则以下三个结论：①，②，③，其中正确的结论（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像，二次函数的对称轴，二次函数的最值，熟练掌握二次函数图像与各系数的关系，理解最值的意义是解题的关键． 根据二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质即可求出答案． 【详解】∵抛物线的图象开口向下 ∴ ∵抛物线与y轴交于正半轴 ∴ ∴，故①正确； ∵对称轴是直线， ∴ ∴ ∴，故②正确； 由图象可得，当时，，故③正确． 综上所述，其中正确的结论有3个． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 抛物线的开口_________（填“向上”或“向下”）． 【答案】向下 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可解答；掌握，当，抛物线开口方向向下是解题的关键． 【详解】解：在抛物线中，， 则抛物线的开口向下， 故答案为：向下． 8. 一元二次方程的常数项是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式：，其中为常数项，即可得出结果． 【详解】解：一元二次方程的常数项是； 故答案为：． 9. 若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____． 【答案】a＜4 【解析】 【详解】试题分析：根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围． 解：根据题意得：△=42﹣4a＞0，即16﹣4a＞0， 解得：a＜4， 则a的范围是a＜4． 故答案为a＜4． 考点：根的判别式． 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象关于直线＝_________对称． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．其顶点坐标是，对称轴为直线．据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴二次函数的图象关于直线对称． 故答案为：5． 11. 如图，某小区规划在一个长为、宽为的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，若设通道的宽为．请补全关于 的方程：_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，如果设通道的宽度为,那么草坪的总长度和总宽度应该为；那么根据每一块草坪的面积都为，可得出方程 【详解】解：设通道的宽度为，那么草坪的总长度和总宽度应该为； 根据题意即可得出方程为：， 故答案为：． 12. 已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数值的比较大小，能代入函数求出函数值是解题的关键． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； ∴． 13. 对于二次函数，当时，随的增大而减小，那么的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，理解二次函数图像的性质是解题的关键．根据题意知抛物线开口向下，只有抛物线的对称轴小于或等于时，满足当时，随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：二次函数，开口向下，对称轴为直线， 时，满足当时，随的增大而减小， 故答案为：． 14. 如图①是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图②所示，点B该水流的最高点，点C为该冰流的落地点，且，垂足为D，若，，则的长为_________m． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 设抛物线解析式为，将点代入求出的值即可求解． 【详解】解：根据题意，， 设抛物线解析式为， 将点代入，得：， 解得， ∴抛物线解析式为， 所以当时，，即 故答案为：3． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】由，得出，开方得，即可解出 【详解】∵， ∴， ∴或， 则，． 【点睛】本题考查直接开方法求解一元二次方程，将题给式子移项，化为的形式，再利用数的开放直接求解． 16. 用公式法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ∴ 解得：． 17. 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：． ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 ∴原方程没有实数根 根据小明的解题过程，解答下列问题： （1）上述过程中，从第 步开始出现了错误； （2）正确解这个方程． 【答案】（1）一 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）根据一元二次方程的解法依次判断每一步即可； （2）根据一元二次方程的解法写出正确的解方程过程即可． 【小问1详解】 根据一元二次方程的解法可以判断出第一步开始出现了错误． 故答案为：一． 【小问2详解】 正确解答过程如下：． ． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线对应的函数解析式及顶点坐标． 【答案】解析式为，其顶点坐标为 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，由抛物线可配方为，结合题意可得，再进一步可得答案． 【详解】解：抛物线可配方为． ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， ∴， ∴该抛物线的解析式为，其顶点坐标为． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：∵是一元二次方程， ∴， 无论取何实数，总有，， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2），另一根为 【解析】 【分析】（1）根据进行判断； （2）把代入方程即可求得，然后解这个方程即可； 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；还有方程根的意义等； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入方程， 有， 整理，得． 解得， 此时方程可化为． 解此方程，得，． ∴方程的另一根为． 20. 一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），比赛的总局数为78局．求报名本次比赛的人数． 【答案】13人 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有x人报名参赛，利用比赛的总局数=参赛选手数参赛选手数，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】设有x人报名参赛， 由题意，得， 解得（舍去）． 答：报名本次比赛的人数是13人． 21. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为34米，宽为20米，停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为480平方米，求车道的宽度． 【答案】车道的宽度4米 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：设车道的宽度为x米， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 答：车道的宽度为4米． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与轴交于点A，经过点，该抛物线的对称轴是直线，其顶点为C． （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）连接．求的面积． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式和坐标与图形面积等．要熟练掌握才能灵活运用． （1）先根据抛物线的对称轴是直线，求出，把代入，利用待定系数法求解即可． （2）连接、、，求解，由直线轴，根据的面积为即可求解． 【小问1详解】 解：在抛物线中， 抛物线的对称轴是直线，且， ， ， 抛物线经过点， ， ， 抛物线对应的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：连接、、， 抛物线顶点为C， ， ， 直线轴， ． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在店庆期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4． （1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）现在店庆结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价 元，现在的售价是每千克 元． 【答案】（1） （2）5；37.4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这个降价率为x，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）设每千克应涨价y元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【小问1详解】 解:设这个降价率为x， 依题意，得：. 解得 ：， (舍去) 答：这个降价率为. 【小问2详解】 解：设每千克应涨价y元，则每天可售出千克， 依题意，得:. 整理，得: ， 解得: ， 要使顾客得到实惠， ， 现在的售价是（元）， 故答案为：5；37.4． 24. 如图，现打算用的篱笆围成一个矩形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为（篱笆的宽度忽略不计），设的长为，菜园的面积为． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当菜园面积为时，求边的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用； （1）设的长为，菜园的面积为，再利用矩形的面积建立函数关系式即可； （2）结合（1）的关系式，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设的长为，菜园的面积为． ∴； 【小问2详解】 解：当菜园面积为时， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意舍去， 当时，，符合题意， ∴边的长为． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度匀速运动，作，边交折线于点Q．连接，当点Q与点C重合时，点P停止运动，设点P的运动时间为，以点B、C、Q、P为顶点的四边形的面积为S． （1）用含t的代数式表示的长； （2）用含t的代数式表示点Q到边的距离； （3）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，点Q到边的距离为；当时，点Q到边的距离为 （3）当时，；当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）由路程速度时间即可得出； （2）分两种情况：当Q在上，Q在上时，结合图形分别求出点Q到边的距离； （3）分三种情况：①当Q在上时，此时，，②当时，点P在边上，点Q在上，③当时，点P在边的延长线上，点Q在上，结合图形分别求出四边形的面积． 【小问1详解】 解：的运动速度是每秒2个单位长度，运动时间为， ; 【小问2详解】 解：①当Q在上时，如图所示， ， ， 是等边三角形三角形， 此时，， 作于E， ； ②，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度匀速运动， 当时，点Q在上， 如图所示， 作于E，作于F， 在中，， 四边形是矩形， ， 点Q到边的距离为； 【小问3详解】 解：①当Q在上时，此时，， 如图所示， 作于E，作于F，连接， 由（2）可知，，， ，， 中，， ， 是直角三角形， ， 的高为， ; ②当时，点P在边上，点Q在上， 如图所示， 在和中， ， ， ， 矩形中， ， ， ； ③当时，点P在边的延长线上，点Q在上， 如图所示， ， ， 综上所述， ． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，主要考查几何中的动点问题，涉及解直角三角形、平行四边形的性质等知识点，根据题意画出几何图分类讨论是解题关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，与轴的交点的纵坐标为4，点是此抛物线上的点，其横坐标为． （1）求此抛物线对应的函数解析式； （2）当抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而减小时，求的取值范围； （3）连接，当的面积是的面积的2倍时，求点的坐标； （4）抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象记为，抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象记为，图象和图象的最高点的纵坐标分别为，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）且 （3）点的坐标为或 （4） 【解析】 【分析】（1）有待定系数法列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中抛物线，根据二次函数图象与性质求解即可得到答案； （3）数形结合，表示出的面积及的面积，根据题意，列方程求解即可得到答案； （4）根据题中要求，由动点的位置，得到图象和图象的最高点的纵坐标，验证是否满足即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ； 抛物线与轴的交点的纵坐标为4， ，则，解得； 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线的解析式为， ，开口向下；对称轴为； 当时，函数值随的增大而减小， ，点是此抛物线上的点，其横坐标为， 当抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象在抛物线对称轴的右侧时，满足函数值随的增大而减小，则且； 【小问3详解】 解：连接，如图所示： 的面积是的面积的2倍，即， 当时， ，，则，解得，即； 当时， ，，则，解得，即； 综上所述，点的坐标为或； 【小问4详解】 解：抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象记为，抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象记为，如图所示： ，抛物线顶点， 当时，图象的最高点是，图象的最高点的纵坐标；图象的最高点是顶点，其纵坐标，则，不符合题意； 当时，图象的最高点是，图象的最高点的纵坐标；图象的最高点是顶点，其纵坐标，则由得，根据判定此方程无解，不符合题意； 当时，图象的最高点是顶点，图象的最高点的纵坐标；图象的最高点是，其纵坐标，则由得，解得或，不符合题意； 当时，图象的最高点是顶点，图象的最高点的纵坐标；图象的最高点是，其纵坐标，满足，符合题意； 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中三角形面积求法、抛物线与三角形面积等知识，熟记二次函数图象与性质，数形结合处理二次函数与几何综合题是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校调研系列卷·九年级第一次月考试卷数学（人教版） 一、选择題（每小题2分，共12分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. B. 8 C. D. 4 3. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 最高点的坐标为 C. 经过点 D. 与y轴的交点坐标为 4. 抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 对于实数a、b，定义新运算，规则如下：，则等式中的值为（ ） A. 1或 B. 或7 C. D. 6. 如图，抛物线的对称轴是直线，则以下三个结论：①，②，③，其中正确的结论（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 抛物线的开口_________（填“向上”或“向下”）． 8. 一元二次方程的常数项是_______． 9. 若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____． 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象关于直线＝_________对称． 11. 如图，某小区规划在一个长为、宽为的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，若设通道的宽为．请补全关于 的方程：_________． 12. 已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为_________． 13. 对于二次函数，当时，随的增大而减小，那么的取值范围为______． 14. 如图①是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图②所示，点B该水流的最高点，点C为该冰流的落地点，且，垂足为D，若，，则的长为_________m． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程：． 16. 用公式法解方程：． 17. 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：． ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 ∴原方程没有实数根 根据小明的解题过程，解答下列问题： （1）上述过程中，从第 步开始出现了错误； （2）正确解这个方程． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线对应的函数解析式及顶点坐标． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 20. 一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），比赛的总局数为78局．求报名本次比赛的人数． 21. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为34米，宽为20米，停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为480平方米，求车道的宽度． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与轴交于点A，经过点，该抛物线的对称轴是直线，其顶点为C． （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）连接．求的面积． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在店庆期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4． （1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）现在店庆结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价 元，现在的售价是每千克 元． 24. 如图，现打算用的篱笆围成一个矩形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为（篱笆的宽度忽略不计），设的长为，菜园的面积为． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当菜园面积为时，求边的长． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度匀速运动，作，边交折线于点Q．连接，当点Q与点C重合时，点P停止运动，设点P的运动时间为，以点B、C、Q、P为顶点的四边形的面积为S． （1）用含t的代数式表示的长； （2）用含t的代数式表示点Q到边的距离； （3）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 26. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，与轴的交点的纵坐标为4，点是此抛物线上的点，其横坐标为． （1）求此抛物线对应的函数解析式； （2）当抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而减小时，求的取值范围； （3）连接，当的面积是的面积的2倍时，求点的坐标； （4）抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象记为，抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象记为，图象和图象的最高点的纵坐标分别为，当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $