专题03 勾股定理的应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题03 勾股定理的应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 梯子滑落高度问题 题型二 旗杆高度问题 题型三 小鸟飞行距离问题 题型四 大树折断前高度问题 题型五 水杯中筷子问题 题型六 航海距离问题 题型七 河宽问题 题型八 台阶上地毯长度问题 题型九 汽车是否超速问题 题型十 是否受台风影响问题 题型十一 选址问题 题型十二 最短路径问题 知识点一：勾股定理的应用 勾股定理的作用 1、已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2、用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 本讲义均可使用实数相关知识点进行计算； 【经典例题一 梯子滑落高度问题】 【例1】（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高．若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了，木板顶端向下滑动了，则小猫在木板上爬动的距离为（   ）m ． A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 米．    3．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，李师傅在两墙，之间施工（两墙与地面垂直），他架了一架长为的梯子，此时梯子底端距离墙角点． (1)此时梯子的顶端点距离地面有多高？ (2)若梯子底端点没有固定好，向后滑动到墙角处，使梯子顶端沿墙下滑了到点处，求梯子底端向后滑动的距离． 【经典例题二 旗杆高度问题】 【例2】（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（    ）． A．17 B．16 C．15 D．14 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．风云岭的大草坪上，视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 则如图，风筝的垂直高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”小明同学根据原文题意，画出示意图如图所示．已知：秋千静止时，踏板离地1尺，将它推送2步（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的曾记一样高，秋千的绳索始终拉得很直．若小明同学根据题意计算出秋千的绳索长为14.5尺，则文中“两步”是 尺．      3．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送3m，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．    (1)求秋千的长度； (2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【经典例题三 小鸟飞行距离问题】 【例3】（23-24八年级下·山西阳泉·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． ．（八年级下·山东潍坊·期中）在水平地面上有一棵高米的大树， 和一棵高米的小树，两树之间的水平距离是米，一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行(   )    A．12米 B．13米 C．9米 D．17米 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．    3．（23-24八年级下·广西崇左·期中）如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【经典例题四 大树折断前高度问题】 【例4】（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）我国秦汉时期，数学成就十分显著．当时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？类似的问题被写入《九章算术》．它的意思是：一根竹子原本高12尺，从处折断，竹梢触地处离竹根的距离尺，试问折断处与地面的距离（    ）尺． A． B． C．4 D． 1．（23-24八年级下·山东德州·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题： “一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？” （说明：1丈10尺 ）．如图，根据题意，设折断后竹子顶端落在点A 处，竹子底端为点B，尺，折断处为点 C，可以求得折断处离地面的高度为（     ） A．4尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．（23-24八年级下·甘肃陇南·阶段练习）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少高 m？ 3．（23-24八年级下·吉林白城·期末）“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度． 【经典例题五 水杯中筷子问题】 【例5】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·山东济宁·期末）将一支长为的铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高为，若这只铅笔露在笔筒外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）一支长为厘米的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4厘米、3厘米和厘米的细长的长方形水槽中，那么水槽至少要放进 厘米深的水才能完全淹没筷子． 3．（23-24八年级上·广东深圳·开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，，；    (1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ (2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？ 【经典例题六 航海距离问题】 【例6】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知一轮船以18海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另有一轮船以12海里/时的速度也从港口A出发向东南方向航行，都离开港口2小时后，两船相距多少海里？（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，0.5小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若两岛相距17海里，则乙船的航速是（    ）    A．15海里/时 B．30海里/时 C．16海里/时 D．32海里/时 2．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，一艘小船以24海里/时的速度从港口A出发，向东北方向航行，另一小船以10海里/时的速度同时从港口A出发，向东南方向航行，离开港口1小时后，两船相距 海里． 3．（23-24八年级下·广西钦州·期中）如图，某港口P有甲，乙两艘渔船．两船同时离开港口后，甲船沿北偏东方向以每小时的速度航行，乙船沿南偏东某方向以每小时的速度航行，它们两个小时后分别位于R，Q处，且相距．请求出乙船沿哪个方向航行．    【经典例题七 河宽问题】 【例7】（23-24八年级下·天津河西·期中）如图，池塘边有两点A、B，点是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离是（    ）. A． B． C．30 D．70 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m，则从点A穿过湖到点B的距离是(    ) A．48 m B．90 m C．96 m D．69 m 2．（23-24九年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长 m（结果精确到）．    3．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米． (1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行） (2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间． 【经典例题八 台阶上地毯长度问题】 【例8】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在一个高是3m，长是5 m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度是(     ) A．5 m B．7 m C．8 m D．9 m 1．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（  ）    A．65 B．85 C．90 D．150 2．（2021八年级下·全国·专题练习）如图所示，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 的路程． 3．（八年级下·浙江台州·期末）如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？ 【经典例题九 汽车是否超速问题】 【例9】（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．    1．（2024八年级下·全国·专题练习）某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 2．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）随着人们生活水平的不断提升，汽车已成为每个家庭的常用交通工具．随着车辆的增多，道路交通管理更需要科学规范，如图，一辆家用小汽车在城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方的C处，过了小汽车到达B点，测得B与A距离为． 根据“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过． 通过计算说明，这辆家用小汽车是否超速了？（，） 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，． (1)求的距离，（取） (2)试判断此车是否超过了的限制速度？ 【经典例题十 是否受台风影响问题】 【例10】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）若有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B，点C为一所学校，，，，已知距离火车以内会受到噪音的影响．       （1）学校C到铁路AB的距离是 ． （2）火车在AB路段行驶时，学校C受到火车噪音影响的时间是 ． （3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（），那么其行驶速度至少应增加到 ． 1．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）今年，第十五号台风登陆江苏，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）去年第号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 3．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域处，在沿海城市的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 试问： (1)城市是否会受到台风影响？ (2)若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？ (3)若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【经典例题十一 选址问题】 【例11】（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是 ．    1．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距，C、D为两村庄，，，于点A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求 km． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 3．（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，开州大道上两点相距为两商场，于于．已知．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 【经典例题十二 最短路径问题】 【例12】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计，结果保留根号） 1．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，地上有一圆柱，在圆柱下底面的A点处有一蚂蚁，它想沿圆柱表面爬行，吃到上底面与A点相对的B点处的食物，当圆柱的高厘米，底面半径厘米时，蚂蚁沿侧面爬行的最短路程是 ． 2．（2024八年级下·安徽·专题练习）如图：正方体的棱长为，一只蜗牛想沿最短路线从点爬向点．请求出这条最短路线的长度．    3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 1．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点爬到点的最短距离为（　　）．    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，有一长方体容器， ，，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点 A爬到点的最短爬行路程是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（23-24八年级上·江苏·课后作业）如图，在中，，，，点E是边上一点．将沿直线折叠到，使点B与点F重合．当时，线段的长为（    ）． A．3 B．2 C．4 D．1 4．（23-24八年级下·广西来宾·期中）如图，一架梯子AB长为5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是3米，梯子下滑后停在DE的位置上，这时测得BE为1米，则梯子顶端A下滑了（    ）    A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 5．（23-24八年级上·云南文山·期末）白日登山望烽火，黄香饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若点A到水平直线l（l表示小河）的距离为3，点B到水平直线l的距离为2，A、B两点之间的水平距离是3，则最小值为（   ） A． B．4 C．5 D．― 6．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口及以内时（图②中），门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．②图所示，一个身高的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该学生头顶C到门铃A的距离为 ． 7．（11-12八年级上·江苏无锡·期中）如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米． 8．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，，，、分别是、上的动点，且，连接、，则的最小值为 ． 9．（2023八年级下·全国·专题练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是 寸． 10．（23-24八年级下·河北承德·期末）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮沿北偏东30°的方向航行15min到达点，乙客轮沿南偏东60°的方向航行20min到达点．则、两点的直线距离为 m． 11．（2024八年级上·江苏·专题练习）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离公里，B到河岸的距离公里，公里，求将军最短需要走多远． 12．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面， 并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 13．（23-24八年级上·陕西西安·期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 14．（23-24八年级下·江苏南通·期中）（1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ； A．     B．       C．       D． （2）【实践操作】如图1，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，长为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点表示的数是 ； （3）【延伸应用】如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长． 15．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． (1)当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度＝______米． (2)当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽； (3)当他在丙房间时，测得米，且，．求丙房间的宽． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理的应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 梯子滑落高度问题 题型二 旗杆高度问题 题型三 小鸟飞行距离问题 题型四 大树折断前高度问题 题型五 水杯中筷子问题 题型六 航海距离问题 题型七 河宽问题 题型八 台阶上地毯长度问题 题型九 汽车是否超速问题 题型十 是否受台风影响问题 题型十一 选址问题 题型十二 最短路径问题 知识点一：勾股定理的应用 勾股定理的作用 1、已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2、用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 本讲义均可使用实数相关知识点进行计算； 【经典例题一 梯子滑落高度问题】 【例1】（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高．若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设梯子的长度为，则墙高为，由勾股定理可得，求解即可，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：设梯子的长度为，则墙高为， 由勾股定理可得：， 解得：， 梯子的长度为， 故选：A． 1．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了，木板顶端向下滑动了，则小猫在木板上爬动的距离为（   ）m ． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，要求小猫在木板上爬动的距离，即求木板长，可以设，，则根据木板长不会变这个等量关系列出方程组，即可求的长度，在中，根据即可求． 【详解】解：如图， 已知， 设， 则， 则在中，， 在中，， 联立方程组解得：， 故选：B． 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 米．    【答案】2.7 【分析】在中，根据勾股定理求出的长，再在中，求出的长，最后由进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，   ， 根据题意得：， 在中，米，米， 米， 在中，米，米， 米， 米， 小巷的宽度为2.7米， 故答案为：2.7． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． 3．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，李师傅在两墙，之间施工（两墙与地面垂直），他架了一架长为的梯子，此时梯子底端距离墙角点． (1)此时梯子的顶端点距离地面有多高？ (2)若梯子底端点没有固定好，向后滑动到墙角处，使梯子顶端沿墙下滑了到点处，求梯子底端向后滑动的距离． 【答案】(1)梯子的顶端点距离地面有高 (2)梯子底端向后滑动的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求解即可； （2）由（1）知，进而勾股定理求得，根据即可求解． 【详解】（1）解：本题题意得：， ， 梯子的顶端点距离地面有高； （2）解：由（1）知， 根据题意得：， ， ， ， 梯子底端向后滑动的距离为 【经典例题二 旗杆高度问题】 【例2】（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（    ）． A．17 B．16 C．15 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，勾股定理的应用，作辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点，设旗杆的高度为，则，，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，标注各点，过点作于点， ，， 设旗杆的高度为，则，， 在中，， ， 解得：， 故选：A 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．风云岭的大草坪上，视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 则如图，风筝的垂直高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由勾股定理得，， ∴（米）， 故选：B． 2．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”小明同学根据原文题意，画出示意图如图所示．已知：秋千静止时，踏板离地1尺，将它推送2步（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的曾记一样高，秋千的绳索始终拉得很直．若小明同学根据题意计算出秋千的绳索长为14.5尺，则文中“两步”是 尺．      【答案】10 【分析】由题意可知，，，从而可求出，进而可求出．再根据勾股定理求出，即得出． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴． 在中，， ∴，即文中“两步”是10尺． 故答案为：10． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键是理解题意，构造直角三角形，利用勾股定理求解． 3．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送3m，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．    (1)求秋千的长度； (2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【答案】(1)秋千的长度是； (2)此时踏板离地的垂直高度为． 【分析】本题考查勾股定理的应用等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键． （1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 即秋千的长度是； （2）解：设时，， ∵， ∴， 由（1）可知，，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，则， 解得， 即此时踏板离地的垂直高度为． 【经典例题三 小鸟飞行距离问题】 【例3】（23-24八年级下·山西阳泉·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示：    由题意可知，， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， 它要飞回巢中所需的时间至少是（）， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键． ．（八年级下·山东潍坊·期中）在水平地面上有一棵高米的大树， 和一棵高米的小树，两树之间的水平距离是米，一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行(   )    A．12米 B．13米 C．9米 D．17米 【答案】B 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】如图，设大树高为AB=9m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，    ∴EB=4m，EC=12m，AE=AB-EB=9-4=5m， 在Rt△AEC中，． 故小鸟至少飞行13m． 故选：B. 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．    【答案】13 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】如图所示，    AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米， 过C作CE⊥AB于E， 则CE＝BD＝12，AE＝AB−CD＝5， 在直角三角形AEC中， AC＝＝＝13． 答：小鸟至少要飞13米． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题． 3．（23-24八年级下·广西崇左·期中）如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：在中，， ， 故答案为：12； （2）∵琪琪收绳后，船到达处， ， ， ． 【经典例题四 大树折断前高度问题】 【例4】（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）我国秦汉时期，数学成就十分显著．当时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？类似的问题被写入《九章算术》．它的意思是：一根竹子原本高12尺，从处折断，竹梢触地处离竹根的距离尺，试问折断处与地面的距离（    ）尺． A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：由题意知，尺，尺， ∴， 由勾股定理得，， 即， 解得． 故选：B． 1．（23-24八年级下·山东德州·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题： “一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？” （说明：1丈10尺 ）．如图，根据题意，设折断后竹子顶端落在点A 处，竹子底端为点B，尺，折断处为点 C，可以求得折断处离地面的高度为（     ） A．4尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、根据勾股定理得出方程是解题的关键．设尺，则尺，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设尺，则尺， 在直角三角形中，根据勾股定理可得， 即， 解得：，即的长为尺； 故选：C． 2．（23-24八年级下·甘肃陇南·阶段练习）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少高 m？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理，计算，后根据树高为计算即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴米， ∴这根旗杆被吹断裂前高为米， ∴这根旗杆被吹断裂前至少有米高． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·吉林白城·期末）“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度． 【答案】折断后竹子的高度是尺 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，根据勾股定理列出关于未知数的方程． 已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为，通过勾股定理建立方程，求出答案． 【详解】解：设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子长度为尺． 由勾股定理得：， 解得：， 答：折断后竹子的高度是尺． 【经典例题五 水杯中筷子问题】 【例5】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．根据杯子内牙刷长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中， ∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于牙刷斜边长度， ∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，， 最长时等于牙刷斜边长度是：， ∴h的取值范围是：， 即， 故选：A． 1．（23-24八年级下·山东济宁·期末）将一支长为的铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高为，若这只铅笔露在笔筒外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理可求得这只铅笔露在笔筒外面的最小长度，当铅笔垂直于底面放置时可求得这只铅笔露在笔筒外面的最大长度，由此即可得解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：，这只铅笔露在笔筒外面的最小长度为：， 当铅笔垂直于底面放置时，这只铅笔露在笔筒外面的长度为：， ∴这只铅笔露在笔筒外面的长度的取值范围是， 故选：． 2．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）一支长为厘米的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4厘米、3厘米和厘米的细长的长方形水槽中，那么水槽至少要放进 厘米深的水才能完全淹没筷子． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题目信息画出示意图并熟练运用勾股定理是解题的关键． 根据题中所给出的条件构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，；为筷子，即， 为水的深度， 由勾股定理得， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·广东深圳·开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，，；    (1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ (2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？ 【答案】(1)最短路程是20cm (2)筷子的最大长度是cm 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）求得长方体盒子的体对角线即可求解。 【详解】（1）解：如图1所示：    图1 由题意得：，， ∴， 在中，由勾股定理得； ∴最短路程是20cm； （2）将筷子斜着放，    ∵，， ∴ ∴， 即筷子的最大长度是cm． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活利用勾股定理进行求解。 【经典例题六 航海距离问题】 【例6】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知一轮船以18海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另有一轮船以12海里/时的速度也从港口A出发向东南方向航行，都离开港口2小时后，两船相距多少海里？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角，熟练运用勾股定理进行计算是解题的关键． 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程速度时间，得两条船分别走了36，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：如图， 两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ， 两小时后， (海里)，(海里)， 根据勾股定理得：(海里)． 故选：A． 1．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，0.5小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若两岛相距17海里，则乙船的航速是（    ）    A．15海里/时 B．30海里/时 C．16海里/时 D．32海里/时 【答案】B 【分析】本题考查了方向角，勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理求直角三角形的线段长是解题的关键． 由题意知，，，，由勾股定理得，根据乙船的航速是，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，，， 由勾股定理得， ∴乙船的航速是（海里/时）， 故选：B． 2．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，一艘小船以24海里/时的速度从港口A出发，向东北方向航行，另一小船以10海里/时的速度同时从港口A出发，向东南方向航行，离开港口1小时后，两船相距 海里． 【答案】26 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是关键． 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了24海里和10海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：设两艘船航行1小时后分别到达B、C的位置，连接，如图所示： ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了（海里），（海里）， 根据勾股定理得：（海里）， 即离开港口1小时后，两船相距26海里． 故答案为：26． 3．（23-24八年级下·广西钦州·期中）如图，某港口P有甲，乙两艘渔船．两船同时离开港口后，甲船沿北偏东方向以每小时的速度航行，乙船沿南偏东某方向以每小时的速度航行，它们两个小时后分别位于R，Q处，且相距．请求出乙船沿哪个方向航行．    【答案】乙船航行的方向是南偏东 【分析】本题考查了方位角问题，勾股定理的逆定理；分别求出、、的值，可得，由勾股定理的逆定理得为直角三角形，即可求解； 理解方位角，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， ， ， 甲船航行的距离∶ （）， 乙船航行的距离∶ （）， ， ， ， 为直角三角形， ， ， 故乙船航行的方向是南偏东． 【经典例题七 河宽问题】 【例7】（23-24八年级下·天津河西·期中）如图，池塘边有两点A、B，点是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离是（    ）. A． B． C．30 D．70 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键． 根据题意直接运用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理得：． 故选：A． 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m，则从点A穿过湖到点B的距离是(    ) A．48 m B．90 m C．96 m D．69 m 【答案】C 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB即可得出答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°， 由勾股定理得，AB2+BC2=AC2， ∴AB2=AC2-BC2， =1602-1282=9216， ∴AB=96（m）， 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 2．（23-24九年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长 m（结果精确到）．    【答案】24 【分析】由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：， ，为直角三角形． ， ， ， ， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理，由含角的直角三角形的性质求出的长是解题的关键． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米． (1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行） (2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间． 【答案】(1)米 (2)航行总时间为67.5秒 【分析】（1）根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的距离． （2）根据时间路程速度，求出行驶的时间即可． 【详解】（1）解：设米，则米， 在中，根据勾股定理得： ， 解得：， 答：河宽240米． （2）解：（秒）， （秒）， （秒）， 答：航行总时间为67.5秒． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是解题的关键． 【经典例题八 台阶上地毯长度问题】 【例8】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在一个高是3m，长是5 m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度是(     ) A．5 m B．7 m C．8 m D．9 m 【答案】B 【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度 ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是3+4=7（m）． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 1．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（  ）    A．65 B．85 C．90 D．150 【答案】B 【分析】勾股定理求出，平移的性质推出防滑毯的长为，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解： 由图可知：， ∵米，米， ∴米， 由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度（米），铅直的防滑毯的长度（米）， ∴至少需防滑毯的长为：（米）， ∵防滑毯宽为5米 ∴至少需防滑毯的面积为：（平方米）． 故选：． 【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和． 2．（2021八年级下·全国·专题练习）如图所示，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 的路程． 【答案】 【分析】将原立体图形展开为平面图形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加，原图长度增加米， 则，连接． ∵四边形是长方形， ，宽， ∴． ∴蚂蚱从点爬到点，它至少要走的路程． 故答案为：13 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意将立体图形转化为平面图形是解题关键． 3．（八年级下·浙江台州·期末）如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？ 【答案】最短路程是150cm． 【分析】展开后得到下图的直角，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可． 【详解】展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90， 由勾股定理得：AB＝＝＝150cm， 答：最短路程是150cm． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解决这类问题的基本思路是化曲面问题为平面问题，再用所学的知识解决． 【经典例题九 汽车是否超速问题】 【例9】（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得：， 故小汽车的速度为s． 故答案为：． 1．（2024八年级下·全国·专题练习）某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【答案】超速了，理由见解析 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出汽车的速度是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，进而得出汽车的速度，即可比较得出答案． 【详解】解：由题意知，米，米，且在中，是斜边， ∴，即 ∴米千米， 且2秒时，所以速度为千米/时， ∵， ∴该小汽车超速了． 2．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）随着人们生活水平的不断提升，汽车已成为每个家庭的常用交通工具．随着车辆的增多，道路交通管理更需要科学规范，如图，一辆家用小汽车在城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方的C处，过了小汽车到达B点，测得B与A距离为． 根据“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过． 通过计算说明，这辆家用小汽车是否超速了？（，） 【答案】未超速，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，利用勾股定理解得是解题的关键． 由题意知，为直角三角形，且是斜边，已知根据勾股定理可以求，然后求得速度与比较即可． 【详解】解：未超速，理由如下： 由题意知，， 由勾股定理可得， 则． 所以． 所以这辆家用小汽车未超速． 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，． (1)求的距离，（取） (2)试判断此车是否超过了的限制速度？ 【答案】(1) (2)此车超过的限制速度． 【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． （1）先说明，然后根据含30度角直角三角形的性质可得，再运用勾股定理可求得的长，然后再根据等腰直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可解答； （2）先求出从A处行驶到B处的速度，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴, ∴． （2）解：小车的速度为： ∴此车超过的限制速度． 【经典例题十 是否受台风影响问题】 【例10】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）若有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B，点C为一所学校，，，，已知距离火车以内会受到噪音的影响．       （1）学校C到铁路AB的距离是 ． （2）火车在AB路段行驶时，学校C受到火车噪音影响的时间是 ． （3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（），那么其行驶速度至少应增加到 ． 【答案】 240 12 60 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再通过直角三角形面积的两种表示方法求解即可； （2）利用勾股定理求出长度，继而得出长，再利用时间等于路程除以速度求解即可； （3）用长加上火车长，除以10分钟即可求解． 【详解】（1）过点C作，垂足为D，如图，    ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， 解得， 故答案为：240； （2）如图，    当时，正好影响学校， ∴， ∴， ∵有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B， ∴， 故答案为：12； （3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（）， ∴， ∴其行驶速度至少应增加到． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，有理数混合运算的应用，准确理解题意是解题的关键． 1．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）今年，第十五号台风登陆江苏，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 【答案】(1)台风中心从B点移到D点经过6小时． (2)A市受台风影响的时间为3.75小时． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形三线合一性质，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键． （1）在中，根据勾股定理求出，台风的速度已知，即可得出台风中心从B点移到D点所经过长时间； （2）假设A市从P点开始受到台风的影响，到Q点结束，根据题意在图中画出图形，可知，A市在台风从P点到Q点均受影响，即得出两点的距离，便可求出A市受台风影响的时间． 【详解】（1）解：由题意得，在中， ， ∴， ∴小时， 即台风中心从B点移到D点需要6小时； （2）解：以A为圆心，以为半径画弧，交于P、Q， 则A市在P点开始受到影响，Q点恰好不受影响（如图）， 由题意，，在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴（小时） ∴A市受台风影响的时间为3.75小时． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）去年第号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响；理由见详解 (2)小时 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理、直角三角形的性质和勾股定理的相关知识． （1）先根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后计算出高的值，再进行判断即可； （2）先通过勾股定理计算出，从而得到的值，最后通过速度计算出时间即可． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由： ，，， ， 是直角三角形； 如下图所示，过点作于点D， 是直角三角形， ， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为千米小时， （小时）． 故台风影响该海港持续的时间为小时． 3．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域处，在沿海城市的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 试问： (1)城市是否会受到台风影响？ (2)若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？ (3)若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响 (2)7级 (3)16小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂线段最短，等腰三角形三线合一，熟练掌握勾股定理，理解题意，从实际问题中抽象出直角三角形是解题的关键． （1）根据提示可得到的长度，再由题意求得受台风影响范围的半径，即可判断； （2）风力最大时，台风中心应该位于点，再由题目给出的条件判断出此时是几级台风即可； （3）由（1）可知，受台风影响范围的半径为200千米，则以为圆心，200千米为半径作交于、，然后利用勾股定理求得，从而得到，最后根据时间路程速度，即可求得答案． 【详解】（1）解：城市会受到台风的影响． 理由：在中，，（千米） （千米） 城市受到的风力超过4级，则称受台风影响 受台风影响范围的半径为（千米） 城市会受到台风的影响． （2）解：台风到达时台风中心距离城市最近，（千米） 又 则（级） 答：该城市受到台风影响的最大风力为7级． （3）解：由（1）可知，受台风影响范围的半径为200千米 则以为圆心，200千米为半径作交于、，如图 则（千米） ，（千米） （千米） 则（小时） 答：台风影响该城市的持续时间为16小时． 【经典例题十一 选址问题】 【例11】（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据于A，于B，，列式，解出的值，即可作答． 【详解】 解：由题意知，，，， 设，则， 因为于A，于B， 所以在与中， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 1．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距，C、D为两村庄，，，于点A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求 km． 【答案】// 【分析】设，即可得到，结合于点A，于B根据勾股定理列式求解即可得到答案； 【详解】解：设，则， ∵，，，， ∴，， ∵C、D两村到E站的距离相等， ∴，解得：， 故答案为：； 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据相等列等式求解． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 【答案】(1)小明所在的E站应在离A站处 (2)则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等角对等边的性质，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． （2）作点D关于的对称点，连接交于点，即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F，证明，由勾股定理得出，的最小值即为，再得出，根据等角对等边得出． 【详解】（1）解：∵使得两活动点到地点站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 则小明所在的E站应在离A站处． （2）作点D关于的对称点，连接交于点， 即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F， 则，，， ∴， ∴． ∴的最小值即为，即 此时， ∴， ∴， ∴， 则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 3．（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，开州大道上两点相距为两商场，于于．已知．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 【答案】(1)站应建在离站处 (2)需要2小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得； （2）由勾股定理求出，用路程除以速度即可得出时间． 【详解】（1）解：∵使得两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， 答：站应建在离站处； （2）解：， （小时） 答：需要2小时． 【经典例题十二 最短路径问题】 【例12】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计，结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，再根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图： 将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，连接，当时点、F、B在同一条直线上，则为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即的长度， 由题意可得：， ∵． ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为． 故答案为． 1．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，地上有一圆柱，在圆柱下底面的A点处有一蚂蚁，它想沿圆柱表面爬行，吃到上底面与A点相对的B点处的食物，当圆柱的高厘米，底面半径厘米时，蚂蚁沿侧面爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．首先画出圆柱的平面展开图，求出长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：圆柱的展开图如下：连接， 由题意得：， ， ∴． 故答案为：． 2．（2024八年级下·安徽·专题练习）如图：正方体的棱长为，一只蜗牛想沿最短路线从点爬向点．请求出这条最短路线的长度．    【答案】 【分析】本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意画出正方体的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．先把正方体的侧面展开，连接，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：把长方体的侧面展开如图所示：    连接， 正方体的棱长为， ，， 在中， ． 答：这条路线的最短长度是． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm 【分析】本题考查勾股定理最短路径问题： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由勾股定理，得：； 故答案为：25； （2）将圆柱体展开，如图，由题意，得： ，， 由勾股定理得：； 故答案为：17 cm． （3）如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 1．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点爬到点的最短距离为（　　）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，把圆柱的侧面展开，找出最短路径，利用勾股定理解答即可求解，把圆柱的侧面展开，找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，线段的长度即为蚂蚁从点爬到点的最短距离，    ∵圆柱底面的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴蚂蚁从点爬到点的最短距离为， 故选：． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，有一长方体容器， ，，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点 A爬到点的最短爬行路程是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，画出展开图找到最短路径是解题的关键． 画出展开图，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在长方体容器，，，， ，，， ①当从正面和右侧面爬行时，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度，如图， 在中 ， ②当从前面和上面爬行时，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度，如图 在中 ， ③如图，当从上面和右侧面爬行时，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度，， 在中 ， ， 从点 A爬到点的最短爬行路程是10， 故选：C 3．（23-24八年级上·江苏·课后作业）如图，在中，，，，点E是边上一点．将沿直线折叠到，使点B与点F重合．当时，线段的长为（    ）． A．3 B．2 C．4 D．1 【答案】B 【分析】设与交于点H，由勾股定理得，根据三角形等面积知，设，，在中，根据勾股定理渴求的结果． 【详解】解：设与交于点H， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴， 由折叠可知：， ∴HF=CF-CH=， 在△BCH中， =， 设，则=， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程． 4．（23-24八年级下·广西来宾·期中）如图，一架梯子AB长为5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是3米，梯子下滑后停在DE的位置上，这时测得BE为1米，则梯子顶端A下滑了（    ）    A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 【答案】A 【分析】在中，根据勾股定理可得米，由于梯子的长度不变，在中，根据勾股定理可得米，进而可得答案． 【详解】在中，米，米， 根据勾股定理可得（米）， 在中，米，米， 根据勾股定理可得（米）， 米， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．（23-24八年级上·云南文山·期末）白日登山望烽火，黄香饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若点A到水平直线l（l表示小河）的距离为3，点B到水平直线l的距离为2，A、B两点之间的水平距离是3，则最小值为（   ） A． B．4 C．5 D．― 【答案】A 【分析】作点A关于直线l的对称点，连接B交直线l于点P，此时AP＋PB最小，且的最小值为B的长度，然后求出EB和E，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时AP＋PB最小； ∵PA＝P， ∴AP＋PB＝P＋PB＝B， 过点B作BE⊥AC于点E， ∵AC⊥CD， ∴BECD， 又∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴CE＝BD＝2， 同理可得：EB＝CD＝3， ∵AC＝C＝3， ∴E＝2＋3＝5， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的判定，平行线间的距离处处相等，轴对称最短路径问题以及勾股定理，准确找到点P的位置是解此题的关键． 6．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口及以内时（图②中），门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．②图所示，一个身高的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该学生头顶C到门铃A的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确识图，理清题目中各线段的长度，运用勾股定理解题是本题的关键． 根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】如图，由题意知：，， ， ， 在中 ， 该学生头顶C到门铃A的距离为， 故答案为：5 7．（11-12八年级上·江苏无锡·期中）如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米． 【答案】15 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解题关键．设米，则米，结合两只猴子所经过的距离相等，可得米，然后在中，利用勾股定理列式并求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，米，米， 设米，则米， ∵两只猴子所经过的距离相等， ∴，即， ∴米， 在中，可有， 即， 解得， ∴米， 即这棵树高15米． 故答案为：15． 8．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，，，、分别是、上的动点，且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查最短路径，勾股定理，全等三角形等知识，解题的关键是根据，把拼接到，连接交于点，根据全等三角形的性质，则，，，，根据运动轨迹，当点与点重合时，点，，三点共线，即有最小值，，过点作的延长线交于点，根据勾股定理，求出，即可． 【详解】∵ ∴把拼接到，连接交于点， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，点，，三点共线，即有最小值， ∴， 过点作的延长线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 9．（2023八年级下·全国·专题练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是 寸． 【答案】25 【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度． 【详解】解：将台阶展开矩形，线段恰好是直角三角形的斜边，两直角边长分别为24寸，7寸， 由勾股定理得寸． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键． 10．（23-24八年级下·河北承德·期末）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮沿北偏东30°的方向航行15min到达点，乙客轮沿南偏东60°的方向航行20min到达点．则、两点的直线距离为 m． 【答案】1000 【分析】先画出草图，根据∠COA=30°，∠EOB=60°，∠EOC=180°，得到∠AOB=90°，根据路程=速度×时间，得到OA=40×15=600，OB=40×20=800，利用勾股定理计算AB即可． 【详解】画出草图如下， ∵∠COA=30°，∠EOB=60°，∠EOC=180°， ∴∠AOB=90°， ∵路程=速度×时间， ∴OA=40×15=600，OB=40×20=800， ∴=1000， 故答案为：1000． 【点睛】本题考查了方位角，勾股定理，正确理解方位角的意义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 11．（2024八年级上·江苏·专题练习）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离公里，B到河岸的距离公里，公里，求将军最短需要走多远． 【答案】13公里 【分析】此题考查了轴对称中最短路径问题在生活中的应用，将此题转化为轴对称问题，作出点关于河岸的对称点，根据两点之间线段最短得出的长即为将军要走的最短路程，利用勾股定理解答即可． 【详解】作点关于河岸的对称点，连接交河岸与，连接，则， 则最短，故将军应将马赶到河边的地点． 作，且， ，，， 四边形是矩形， ， 在中， ， 答：将军最短需要走13公里． 12．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面， 并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【答案】(1)旗杆的高度为米 (2)绳结离地面米高 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． （1）由旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，然后根据勾股定理求解即可； （2）首先得到米，米，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解∶如图，由旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得∶， 解得∶， 故旗杆的高度为米； （2）解：由题可知，米，米． 在中，由勾股定理得∶， 解得∶， ∴米， ∴米． 故绳结离地面米高． 13．（23-24八年级上·陕西西安·期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析； (2) 【分析】（1）作，中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，根据勾股定理求出的长，即可， 此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：会受到台风的影响. 理由：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：农场A会受到台风的影响， （2）解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，，由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 14．（23-24八年级下·江苏南通·期中）（1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ； A．     B．       C．       D． （2）【实践操作】如图1，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，长为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点表示的数是 ； （3）【延伸应用】如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长． 【答案】（1）C；（2）；（3）竹竿长尺 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用、实数与数轴，理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）观察图形，根据各个图形面积之间的和差关系，列出等式整理，逐个判断即可； （2）根据勾股定理求得，根据交点在数轴负半轴，得出答案即可； （3）设竹竿长尺，根据题意，则尺，门高尺，门宽尺，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵A图形中，四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； ∵B图形中，四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； ∵C图形中，大正方形的面积两个小正方形的面积两个长方形的面积， ∴，不能证明勾股定理： ∵D图形中，两个小直角三角形的面积大直角三角形的面积整个梯形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； 综上所述，不能证明勾股定理的是C， 故答案为：C； （2）∵由题意得：，，， 在中，， ∴， ∵交点在数轴负半轴， ∴点表示的数为， 故答案为：； （3）设竹竿长尺，则尺，门高尺，门宽尺， 在中， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 答：竹竿长尺． 15．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． (1)当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度＝______米． (2)当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽； (3)当他在丙房间时，测得米，且，．求丙房间的宽． 【答案】(1)； (2)； (3)丙房间的宽是米． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，解直角三角形的应用，根据以及的度数得到为等边三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）证明，从而得到米，米， 即可求出； （3） 根据以及的度数得到为等边三角形利用相应的三角函数表示出，的长，可得到房间宽和长相等． 【详解】（1）解：在中， ∵，米，米， ∴， ∵， ∴甲房间的宽度米， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴米． （3）解：过点作垂线，垂足点，连接， 设，且． ∵梯子的倾斜角为， ∴为等腰直角三角形，为等边三角形，梯子长度相同，， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴米，即丙房间的宽是米． 学科网（北京）股份有限公司 $$