专题01 勾股定理重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题01 勾股定理重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 以弦图为背景的计算题 题型三 勾股定理的基本计算 题型四 利用勾股定理求长度 题型五 利用勾股定理求面积 题型六 勾股定理与无理数 题型七 用勾股定理解三角形 题型八 勾股定理中的最值问题 题型九 勾股数问题 题型十 以直角三角形三边为边长的图形面积问题 题型十一 勾股定理与网格问题 题型十二 勾股定理与折叠问题 题型十三 利用勾股定理证明线段平方关系 题型十四 用勾股定理构造图形解决问题 知识点一：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 本讲义均可使用实数相关知识点进行计算； 【经典例题一 勾股定理的证明方法】 【例1】（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（    ） A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 1．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，小聪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点，，在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于，，的代数恒等式，则这个恒等式是 ． 3．（23-24八年级上·江西·阶段练习）用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形． 请根据信息解答下列问题： (1)请用含a，b，c的代数式表示大正方形的面积． 方法1：______． 方法2：______． (2)根据图2，求出a，b，c之间的数量关系． (3)如果大正方形的边长为10，且，求小正方形的边长． 【经典例题二 以弦图为背景的计算题】 【例2】（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（　　） ①    ②    ③    ④ A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 1．（2024·福建龙岩·模拟预测）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．如图所示，弦图由四个边长分别为a，b，c的全等的直角三角形围成一个中间镂空的大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和9，则的值等于（    ） A．4 B．2 C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（）．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为 ．    3．（2024·广东清远·模拟预测）三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图 ”．中，， ，， ，大正方形的面积小正方形的面积 个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：． (1)若 ，则 ； (2)如果大正方形的面积是 13， ，求小正方形的面积． 【经典例题三 勾股定理的基本计算】 【例3】（23-24八年级下·湖北十堰·期末）在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和4，则斜边上的中线长是（    ） A．2 B． C．2.5 D．3 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知中，所对的边分别为a、b、c，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·模拟预测）奇异三角形是一个新定义的几何概念．奇异三角形是指一个三角形的三边满足以下关系：两边平方和等于第三边平方的两倍．现假设是奇异三角形，， 则的值为 ． 3．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，，，且，求的面积． 【经典例题四 利用勾股定理求长度】 【例4】（23-24八年级下·重庆大渡口·期末）在中，，，点是内一点，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·福建·期中）如图，中，平分交于于点E，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，点是、的角平分线的交点，且于，则 ． 3．（2024·广东清远·模拟预测）如图，在 中，， (1)在上作一点，使 (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【经典例题五 利用勾股定理求面积】 【例5】（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（    ） A．4 B．5 C．10 D．25 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，，在Rt中，，，，点为边上的中点，交的延长线于点，交的延长线于点，且．若，则的面积为（    ） A．13 B． C．8 D． 2．（23-24八年级下·广西柳州·期末）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，则的周长是 ． 3．（23-24八年级下·广西柳州·开学考试）如图，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积； (3)求证：． 【经典例题六 勾股定理与无理数】 【例6】（23-24八年级下·辽宁营口·期末）如图，数轴上点，表示的数分别是，，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是(    ) A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·宁夏中卫·期中）如图，以原点O为圆心，以长为半径画弧，交数轴于点A，则这个点A表示的实数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知的直角边在数轴上，其中为个单位长度．为的角平分线，则点所对应数轴上的数是 ． 3．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）如图，矩形的一条边在数轴上，长为2个单位长度，宽为1个单位长度，以原点为圆心，以矩形对角线的长为半径画弧，与正负半轴分别交于点、．在点的左侧截取，点表示的数为3，回答下列问题：    (1)点、、表示的实数依次为______，______，______； (2)计算线段和的长度，并用作差法比较它们的大小． 【经典例题七 用勾股定理解三角形】 【例7】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分，平分，且交于，若，则等于（    ） A．6 B．25 C．36 D．49 ．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在对角线互相垂直的四边形中，，．A到距离为6，D到距离为4，则四边形面积等于（   ） A． B． C． D． 2．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）如图，中，，点P为上一个动点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点Q，当点Q落在内部（不包括边上）时，的取值范围为 ． 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）问题提出： （1）如图1，在中，∠，是边上的高，，则＿＿＿＿＿＿． 方法探究： （2）如图2，在中，是边上的高，，设，求x的值． 问题解决： （3）如图3，在中，是边上的中线，，求长． 【经典例题八 勾股定理中的最值问题】 【例8】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图中，，，为的中线，点E，点F分别为线段，上的动点，连接，，则的最小值为（       ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．6 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，点在边上，且，，动点在边上，连接，则的最小值是 ． 3．（23-24九年级上·重庆大渡口·开学考试）如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，等边三角形，顶点从点出发，沿以每秒单位的速度在射线上运动，且点不与点重合，设运动时间为，连接． (1)如图，当时，求证：； (2)如图，当时，此时的周长是否存在最小值？若存在，求出 的最小周长，若不存在，请说明理由． 【经典例题九 勾股数问题】 【例9】（2023八年级上·全国·专题练习）如果正整数满足等式，那么正整数叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（　　）    A．67 B．34 C．98 D．73 1．（2024七年级上·全国·专题练习）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·云南怒江·阶段练习）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①，，；②，，；③，，；④，，…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数为 ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)请叙述勾股定理； 勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件 (2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示 则：______； 【经典例题十 以直角三角形三边为边长的图形面积问题】 【例10】（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为(    ) A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，，分别以为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形．若的面积为，的面积为，则的结果为（    ） A．18 B．12 C．36 D．62 2．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长为 ． 3．（23-24八年级下·广西来宾·期中）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．    (1)如图1，图案1是以Rt的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，请写出之间的数量关系： ． (2)如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，，求该飞镖状图案的面积． (3)如图3，这是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为．若，则 ． 【经典例题十一 勾股定理与网格问题】 【例11】（2024·江西九江·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有格点A，B，则线段AB 的长度在数轴上对应的点位于数轴上的（    ） A．①段 B．②段 C．③段 D．④段 1．（23-24八年级下·山西大同·期中）如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，均在格点上．若，垂足为点，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·北京海淀·期末）磁力棋的棋盘为的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于． 根据以上规则，回答下列问题： （1）如图，小颖在棋盘A，B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是 ； （2）棋盘最多可摆放 颗互不相吸的磁力珠． 3．（23-24八年级下·重庆秀山·阶段练习）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题，图1、图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边分别经过点A，B．她借助此图求出了的面积．    (1)在图1中，小颖所画的的三边长分别是____________________，__________，的面积为__________， (2)解决问题：已知在中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并求出的面积． 【经典例题十二 勾股定理与折叠问题】 【例12】（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接．则线段的长等于（　　） A． B． C． D．4 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，D，E分别为边上的点，沿将进行翻折．若正好为边的中点时，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则 3．（23-24八年级下·广东河源·期中）小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： (1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为，若，，求的长 (2)如图2，小王拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，求： ①的度数； ②若，求的长 【经典例题十三 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例13】（23-24八年级上·四川内江·期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ）    ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2023·广东东莞·一模）如图，在四边形中，，与相交于H，且．①；②；③；④．其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    3．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【经典例题十四 用勾股定理构造图形解决问题】 【例14】（23-24八年级上·山东青岛·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C．6 D． 1．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·广东深圳·一模）如图， 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为，面积是25的正方形的四个顶点分别在这四条直线上，那么的值是 ． 3．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点，，，之间的位置关系有以下三种情形； ①如果轴，则， ②如果轴，则， ③如果与轴、轴均不平行，如图，过点作与轴的平行线与过点作与轴的平行线相交于点，则点坐标为，，由①得；由②得；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式． 小试牛刀：（1）若点坐标为，点坐标为则　5　； （2）若点坐标为，点坐标为则　　； （3）若点坐标为，点坐标为则　　； 【学以致用】若点坐标为，点坐标为，点P是x轴上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值为 ； 【挑战自我】已知， 根据数形结合，直接写出的最小值　　；的最大值　　；    1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为（   ） A．6 B．5 C．11 D．16 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道．已知滑道与的长度相等，滑梯的高度，，则滑道的长为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，分别是边的中点，是上的动点，的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 4．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 5．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，为等腰三角形，过点C作，连接，若，则线段的长为（   ） A． B．4 C． D． 6．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点D，交于点E．已知，，则为 ． 7．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则 ． 8．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为 ． 9．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在 中， ，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若是的中点，P为边上一动点，则的最小值为 10．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知点D为内一点，平分，，．若，则的长为 ． 11．（2024八年级上·江苏·专题练习）请你利用如图图形证明勾股定理：在四边形中，于点E，且．求证：． 12．（2022·浙江丽水·一模）已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且． (1)求证：． (2)已知 ，求的长． 13．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 14．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点D在线段上从点B出发，以的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t． (1) ，边上的高为 ； (2)点D在运动过程中，当为等腰三角形时，求t的值． 15．（2024八年级上·江苏·专题练习）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，若中，，，，，则 ； (2)若中，，，，则 ； (3)若中，，，边上的高为15，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 以弦图为背景的计算题 题型三 勾股定理的基本计算 题型四 利用勾股定理求长度 题型五 利用勾股定理求面积 题型六 勾股定理与无理数 题型七 用勾股定理解三角形 题型八 勾股定理中的最值问题 题型九 勾股数问题 题型十 以直角三角形三边为边长的图形面积问题 题型十一 勾股定理与网格问题 题型十二 勾股定理与折叠问题 题型十三 利用勾股定理证明线段平方关系 题型十四 用勾股定理构造图形解决问题 知识点一：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 本讲义均可使用实数相关知识点进行计算； 【经典例题一 勾股定理的证明方法】 【例1】（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（    ） A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】在①选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故①不能说明勾股定理； 在②选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故②可以证明勾股定理； 在③选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故③可以证明勾股定理； 在④选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故④可以证明勾股定理． ∴能证明勾股定理的是②③④． 故选：D． 1．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，小聪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理得：， 由题意得：， 故①、②、③、④正确， 故选：D 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点，，在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于，，的代数恒等式，则这个恒等式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．先证是等腰直角三角形，由面积和差关系可得结论． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江西·阶段练习）用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形． 请根据信息解答下列问题： (1)请用含a，b，c的代数式表示大正方形的面积． 方法1：______． 方法2：______． (2)根据图2，求出a，b，c之间的数量关系． (3)如果大正方形的边长为10，且，求小正方形的边长． 【答案】(1)；[或] (2) (3)小正方形的边长为2 【分析】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积： （1）直接法和分割法两种方法表示出大正方形的面积即可； （2）根据等积法得到数量关系即可； （3）利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：方法一：大正方形的面积=； 方法二：大正方形的面积=； （2）由（1）可知：， 整理，得：； （3）由（2）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为2． 【经典例题二 以弦图为背景的计算题】 【例2】（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（　　） ①    ②    ③    ④ A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据勾股定理，可判断①正确，如图可判断②正确，根据：大正方形面积4个直角三角形面积小正方形面积，可判断④错误，由，可判断③正确， 本题考查了，勾股定理的证明方法，解题的关键是：从图中提取信息，列出等量关系式． 【详解】解：∵大正方形面积为49，小正方形面积为4， ∴大正方形边长为7，小正方形边长为2， 由勾股定理可得：，故①正确， ∵4个全等直角三角形， ∴，故②正确， ∵大正方形面积4个直角三角形面积小正方形面积， ∴，整理得：故④错误， ∵， ∴，故③正确， 综上所述，①②③正确， 故选：． 1．（2024·福建龙岩·模拟预测）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．如图所示，弦图由四个边长分别为a，b，c的全等的直角三角形围成一个中间镂空的大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和9，则的值等于（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式和勾股定理的结合，根据正方形的面积求出，再根据直角三角形的面积和完全平方公式求出即可． 【详解】解：小正方形和大正方形的面积分别是1和9， 个直角三角形的面积和为， ， ， ∵， ， ． 故选：B． 2．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（）．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为 ．    【答案】13 【分析】根据题意，得是大正方形大的面积，小正方形的面积为，结合公式，计算即可． 本题考查了弦图中公式变形计算，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴． 故答案为：13． 3．（2024·广东清远·模拟预测）三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图 ”．中，， ，， ，大正方形的面积小正方形的面积 个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：． (1)若 ，则 ； (2)如果大正方形的面积是 13， ，求小正方形的面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了勾股定理的证明，和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）根据题意得大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，然后根据，，即可解决问题； （2）根据大正方形的面积，，得，求出，进而可得小正方形的面积． 【详解】（1）∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∵，， ∴ ∴， 故答案为：； （2）∵大正方形的面积，， ∴， ∴（负值已经舍去）， ∴小正方形的面积． 【经典例题三 勾股定理的基本计算】 【例3】（23-24八年级下·湖北十堰·期末）在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和4，则斜边上的中线长是（    ） A．2 B． C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边的中线，关键是掌握勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 由勾股定理求出直角三角形斜边长为，由直角三角形斜边上中线的性质即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得到：直角三角形斜边长， ∴直角三角形斜边上的中线长． 故选：B． 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知中，所对的边分别为a、b、c，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理及完全平方公式，要求的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，．根据勾股定理，结合完全平方公式就可以求出的值，进而得到三角形的面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024·湖南·模拟预测）奇异三角形是一个新定义的几何概念．奇异三角形是指一个三角形的三边满足以下关系：两边平方和等于第三边平方的两倍．现假设是奇异三角形，， 则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理及新定义三角形，根据题意，由勾股定理及奇异三角形定义两边平方和等于第三边平方的两倍，列方程组求解即可得到答案，读懂题意，理解奇异三角形定义是解决问题的关键． 【详解】解：在，，如图所示： 由勾股定理可得，即，则， 假设是奇异三角形， 根据奇异三角形定义，分两种情况：①；②； 当，即，联立，则，解得； 当，即，则，联立，则，解得； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 3．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，，，且，求的面积． 【答案】 【分析】过点作于点，将和分别放在直角三角形中求出的底和高，再根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了30°所对的直角边是斜边的一半、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式，构造辅助线将特殊角放在直角三角形中是解题的关键． 【经典例题四 利用勾股定理求长度】 【例4】（23-24八年级下·重庆大渡口·期末）在中，，，点是内一点，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，延长，过点C作于点E，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，，求出，根据勾股定理求出，． 【详解】解：延长，过点C作于点E，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选：A． 1．（23-24九年级下·福建·期中）如图，中，平分交于于点E，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的性质，由勾股定理可得，再证明，再利用等面积法建立方程得，则，再根据勾股定理求解即可．理解并掌握勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，平分交于于点E， ∴， 则， ∴， ∴，则， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，点是、的角平分线的交点，且于，则 ． 【答案】2 【分析】先根据勾股定理求出的长，再过点作，垂足分别为，连接，再利用三角形的面积公式求解即可． 本题考查的是勾股定理及角平分线的性质，根据题意作出辅助线，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等求解是解题的关键． 【详解】解：， ， 过点作，垂足分别为，连接， 点是、的角平分线的交点，且于， ， ，即， 解得， 故答案为：2． 3．（2024·广东清远·模拟预测）如图，在 中，， (1)在上作一点，使 (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图作线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定及性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定及性质、勾股定理是解答本题的关键． （1）作线段的垂直平分线，交于点，连接，则点即为所求． （2）利用直角三角形的性质结合，可证，进而可得．再利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，连接， 则， 则点即为所求． （2）∵， ∴， ∵，则， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴． 【经典例题五 利用勾股定理求面积】 【例5】（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（    ） A．4 B．5 C．10 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．理解以直角三角形两直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形面积是解决此题的关键．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积． 【详解】解：如图 根据勾股定理得到：正方形C与D的面积的和是正方形P的面积；正方形A与B的面积的和是正方形Q的面积；而正方形P，Q的面积的和是正方形M的面积． 正方形M的面积为， 正方形A，B，C，D的面积的和为25． 故选：D． 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，，在Rt中，，，，点为边上的中点，交的延长线于点，交的延长线于点，且．若，则的面积为（    ） A．13 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，依据题意，连接，然后先证明，从而，由等腰可得，从而在中可以求得，又，而可得的值，进而可以得解，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：如下图，连接， 在中，， ∵， 点为边上的中点， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 在中，， ∴在中，， 又在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级下·广西柳州·期末）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，则的周长是 ． 【答案】14 【分析】本题考查的是勾股定理，半圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ， ， ， ， （负值舍去）， 的周长， 故答案为：14． 3．（23-24八年级下·广西柳州·开学考试）如图，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，等腰三角形的性质， （1）根据题意易证，再根据判定定理即可求证； （2）根据得出，即可得出，然后根据，，求出的面积即可； （3）根据得，进而得到，求出得，即可证明． 【详解】（1）证明： ， 在和中 ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）证明：，， ， ∴， 由（1）知， ， ， ， ， ∴， 则． 【经典例题六 勾股定理与无理数】 【例6】（23-24八年级下·辽宁营口·期末）如图，数轴上点，表示的数分别是，，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，先由勾股定理可求得的长，从而得到的长，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，，， ， ， ， 由勾股定理得：． ． 则点表示的数是， 故选：B． 1．（23-24八年级上·宁夏中卫·期中）如图，以原点O为圆心，以长为半径画弧，交数轴于点A，则这个点A表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，熟练掌握斜边的求法是解题的关键． 根据勾股定理求出，再根据数轴的特点即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴点A所表示的数是：． 故选：C． 2．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知的直角边在数轴上，其中为个单位长度．为的角平分线，则点所对应数轴上的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，实数与数轴，过点作于，由勾股定理得，再证明，可得，，即得，设，则，由勾股定理得，解得，设点所对应数轴上的数为，再利用两点间距离公式即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， ∵， ∴，， ∵为的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 设点所对应数轴上的数为， 则， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）如图，矩形的一条边在数轴上，长为2个单位长度，宽为1个单位长度，以原点为圆心，以矩形对角线的长为半径画弧，与正负半轴分别交于点、．在点的左侧截取，点表示的数为3，回答下列问题：    (1)点、、表示的实数依次为______，______，______； (2)计算线段和的长度，并用作差法比较它们的大小． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数： （1）勾股定理求出的长，两点间的距离求出点、、表示的实数即可； （2）根据两点间的距离公式，求出和的长，作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意和勾股定理，得：， ∴点表示的实数为和， ∵， ∴， ∴点表示的实数为； 故答案为：，， （2）∵点C表示的数为，点D表示的数为3 ∵点B表示的数为 ， ∴， ∵， ∴ ∴． 【经典例题七 用勾股定理解三角形】 【例7】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分，平分，且交于，若，则等于（    ） A．6 B．25 C．36 D．49 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、勾股定理、等角对等边，由角平分线的定义得出，，求出，由平行线的性质得出，，得到，，求出，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． ．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在对角线互相垂直的四边形中，，．A到距离为6，D到距离为4，则四边形面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查勾股定理解三角形，直角三角形的特征，四边形面积，根据题意，作出辅助线，得出，是解题关键． 分别过点A和D作和边上的高，利用勾股定理得出，，然后求解即可． 【详解】解：如图，分别过点A和D作和边上的高． 在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 在中，，， ∴， ∴． ， ∴四边形面积. 故选：C． 2．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）如图，中，，点P为上一个动点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点Q，当点Q落在内部（不包括边上）时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先过点作，垂足为，以为轴折叠得到，点的对应点为点，此时点落在边上，求出，再作的角平分线，交于点，以为轴折叠得到，点的对应点为点，此时点落在边上，求出，结合点落在内部（不包括边上），即可得到的取值范围． 【详解】解：过点作，垂足为，以为轴折叠得到，点A的对应点为点，则点落在边上， , ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 作的角平分线，交于点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点，则点落在边上，   ， ∵由折叠可知：， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点落在内部（不包括边上）时， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称中的折叠问题、含角的直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形的判定，熟知折叠前后两个三角形全等是解答本题的关键． 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）问题提出： （1）如图1，在中，∠，是边上的高，，则＿＿＿＿＿＿． 方法探究： （2）如图2，在中，是边上的高，，设，求x的值． 问题解决： （3）如图3，在中，是边上的中线，，求长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【详解】此题考查了主要考查了勾股定理， （1）先根据勾股定理先求出，再根据等积法求出的长度； （2）运用两个直角三角形根据勾股定理表示出，得关于x的方程求解，然后利用勾勾股定理解题即可； （3）过点A作于点H，设．根据，构建方程，求出x，求出，利用勾股定理可得结论． 【解答】解：（1）在中，， 由面积的两种算法可得： ∴， 故答案为：； （2）∵是边上的高， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 所以， 解得； （3）解：过点A作于点H，设． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵是边上的中线， ∵， ∴， ∴． 【经典例题八 勾股定理中的最值问题】 【例8】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，由勾股定理求出，如图所示，在上截取，连接，证明得到，则可推出当共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：，，， ． 如图所示，在上截取，连接，     ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴此时有， ， 即的最小值为． 故选：A． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图中，，，为的中线，点E，点F分别为线段，上的动点，连接，，则的最小值为（       ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，正确的找出点E，F的位置是解题的关键．作点F关于直线的对称点，则在上，当点A，E，在同一条直线上且AE⊥BC时，，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：∵，为的中线， ∴为的对称轴，且， ∴， ∴， 作点F关于直线的对称点，则在上，当点A，E，在同一条直线上且时，， ， ， ∴的最小值为， 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，点在边上，且，，动点在边上，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，过点作于，延长至，使，连接交于，连接，由等腰直角三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，推出，进而得出，当、、在同一直线上时，的值最小，最小为，由勾股定理求出的值即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于，延长至，使，连接交于，连接， ，在中，，，，， ，， 于，延长至，使， 为的垂直平分线，， ， ， ， ， 当、、在同一直线上时，的值最小，最小为， 由勾股定理得：， 的值最小为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·重庆大渡口·开学考试）如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，等边三角形，顶点从点出发，沿以每秒单位的速度在射线上运动，且点不与点重合，设运动时间为，连接． (1)如图，当时，求证：； (2)如图，当时，此时的周长是否存在最小值？若存在，求出 的最小周长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)的最小周长． 【分析】（）根据证明三角形全等即可； （）当时，先证明得到，于是得到周长，根据等边三角形的性质得到，由垂线段最短得到当时，的周长最小，于是得到结论； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：当时，点在上， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）解：存在，当时， ∵由（）得：， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴周长， ∵是等边三角形， ∴， ∴周长， 由垂线段最短可知，当时，的周长最小， 此时由勾股定理得：， ∴的最小周长． 【经典例题九 勾股数问题】 【例9】（2023八年级上·全国·专题练习）如果正整数满足等式，那么正整数叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（　　）    A．67 B．34 C．98 D．73 【答案】C 【分析】依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值． 【详解】解：由题可得： ， ， ， ∴当时，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股定理求勾股数是解题的关键． 由题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵为正整数， ∴为偶数， 设其股是，则弦为， 由勾股定理得，， 解得， 弦是， 故选：A． 2．（23-24八年级下·云南怒江·阶段练习）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①，，；②，，；③，，；④，，…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股数的规律题、勾股定理等知识点，发现勾股数与组数的规律是解题的关键． 先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，…，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13； 又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1， 故设第二个数为x，第三个数为， 根据勾股定理可得：，解得． ∴第6组数是：． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)请叙述勾股定理； 勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件 (2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示 则：______； 【答案】(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么，（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）；②证明见解析； (2)①3，②结论； (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明及勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用． （1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可； ②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立； （2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案； ②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案； （3）由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，． 【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么． （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．） ②证明： 在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即， 化简得． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即，化简． （2）解：①根据题意，如下图所示： 在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则 由勾股定理，得， ∴； 在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则 ，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则 ，，， ∵，， ∴， ∴； ∴满足的有3个， 故答案为：3； ②结论； ， ； （3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有 由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：， ∴，，， ∴ 故答案为： 【经典例题十 以直角三角形三边为边长的图形面积问题】 【例10】（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理；根据勾股定理可得，再由正方形、三角形面积公式可得，，，， ，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点A作AK⊥HI于点K，交BC于点J， 中，， ， 四边形、四边形、四边形均为正方形， ， 正方形与同底等高， ， ， 正方形与同底等高， ， ， ， ， 故选：A． 1．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，，分别以为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形．若的面积为，的面积为，则的结果为（    ） A．18 B．12 C．36 D．62 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，根据等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式得出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形， ∴由题意知，，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的结果为18， 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查的是勾股定理，熟练掌握与勾股定理有关图形面积计算是解题关键． 根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式由可得，由，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的周长， 故答案为：14． 3．（23-24八年级下·广西来宾·期中）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．    (1)如图1，图案1是以Rt的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，请写出之间的数量关系： ． (2)如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，，求该飞镖状图案的面积． (3)如图3，这是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为．若，则 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理，以直角三角形的三边构成的图形的面积问题： （1）利用圆的面积公式，结合勾股定理进行求解即可； （2）根据周长公式和勾股定理求出的长，分割法求出面积即可； （3）利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∴； （2）设：，由题意，得：， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴飞镖状图案的面积为； （3）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则：， 由题意，得：， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为：． 【经典例题十一 勾股定理与网格问题】 【例11】（2024·江西九江·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有格点A，B，则线段AB 的长度在数轴上对应的点位于数轴上的（    ） A．①段 B．②段 C．③段 D．④段 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算．利用勾股定理求解的长度，再利用无理数的估算即可判断． 【详解】解：， ∵， ∴， 故线段的长度在数轴上对应的点应落在标注的④段， 故选：D． 1．（23-24八年级下·山西大同·期中）如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，均在格点上．若，垂足为点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积的求法，正确利用等面积法求出的长是解题关键．利用勾股定理得出的长，再利用等面积法得出的长． 【详解】由题意，得， 由勾股定理，得， ∵， ∴． ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级下·北京海淀·期末）磁力棋的棋盘为的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于． 根据以上规则，回答下列问题： （1）如图，小颖在棋盘A，B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是 ； （2）棋盘最多可摆放 颗互不相吸的磁力珠． 【答案】 20 【分析】此题考查了网格与勾股定理，正确掌握勾股定理的计算是解题的关键： （1）根据勾股定理计算到点A，B，C的距离即可判断； （2）根据题意画出图形即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴不符合要求； ∵， ∴符合要求， 故答案为； （2）如图所示，连接， 可以发现：四边形为边长为的正方形， 以为边长，在四边形基础上继续做正方形，格点处的点即为满足条件的磁力珠， 故答案为20． 3．（23-24八年级下·重庆秀山·阶段练习）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题，图1、图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边分别经过点A，B．她借助此图求出了的面积．    (1)在图1中，小颖所画的的三边长分别是____________________，__________，的面积为__________， (2)解决问题：已知在中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并求出的面积． 【答案】(1)，，， (2)图见解析，的面积为3 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）利用勾股定理可求出的长，利用正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得的面积； （2）先利用勾股定理和网格特点分别画出，再利用正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得的面积． 【详解】（1）解：由图可知，， ， ， 的面积为， 故答案为：，，，． （2）解：在图2的正方形网格中画出如下：    则的面积为． 【经典例题十二 勾股定理与折叠问题】 【例12】（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接．则线段的长等于（　　） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】如图连接交于，作于．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出、，在中，利用勾股定理即可解决问题．本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型． 【详解】解：如图连接交于，作于． 在中，，， ， ， ， ， ， ， 点在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， 是直角三角形， 垂直平分线段， ， ， ， 在中，， 故选：A． 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，D，E分别为边上的点，沿将进行翻折．若正好为边的中点时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等腰直角三角形的性质与判定，先证明，得到，设，则，则，设，由折叠的性质可得，在中，根据勾股定理，得，解得，则，，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点作于点G， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设， ∴由折叠的性质可得， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 2．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则 【答案】 /90度 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握翻折的性质与勾股定理解三角形．根据翻折的性质得到，，由，即可得到，由折叠的性质可得：，，设，在中，根据勾股定理即可求出， 【详解】解：由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ∴， 故答案为：；． 3．（23-24八年级下·广东河源·期中）小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： (1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为，若，，求的长 (2)如图2，小王拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，求： ①的度数； ②若，求的长 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质，并灵活运用． （1）设，由折叠的性质可知，利用勾股定理建立方程求解，即可解题； （2）①利用直角三角形性质得到，由折叠的性质，即可解题； ②利用折叠的性质得到，再利用直角三角形性质即可解题． 【详解】（1）由折叠可知：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ； （2）①在中， ，， ， 由折叠可知：， ； ②由折叠可知， ，， ， 在中， ，， ； 【经典例题十三 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例13】（23-24八年级上·四川内江·期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ）    ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理． 由和都是等腰直角三角形，可证，进而根据“”可证，故结论①正确；由可得，进而可证结论②正确；由和都是等腰直角三角形可得，从而证得，进而得到，，因此，故结论③正确；在中，，在中，，因此，等量代换即可得到，故结论④正确． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ∵在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴，故结论④正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：D 1．（2023·广东东莞·一模）如图，在四边形中，，与相交于H，且．①；②；③；④．其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①无法证明；②条件不足，无法证明；③依据，运用勾股定理即可得到；④依据，且，运用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到． 【详解】解：在四边形中，与不一定相等， 故①；②都不一定成立， ∵， ∴中，； 中，； 中，； 中，； ∴，故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰三角形，， 是等腰三角形，， ∴ ，故④正确． 综上所述，真命题的个数是2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，解决问题的关键是掌握勾股定理以及等腰三角形的性质． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 3．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 【经典例题十四 用勾股定理构造图形解决问题】 【例14】（23-24八年级上·山东青岛·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索的长是x，则，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】设绳索的长是，则， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即绳索的长是， 故选：B． 1．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点B作，观察图形可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点B作，如图， 观察图形可知：，， 在中，， ∴门口A到藏宝点B的直线距离是， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度． 2．（2022·广东深圳·一模）如图， 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为，面积是25的正方形的四个顶点分别在这四条直线上，那么的值是 ． 【答案】 【分析】过点作构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到关于正方形面积的方程，然后解方程求解即可． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 在正方形中， 又 ∵正方形的面积为25， 或（舍去） 故答案为： 【点睛】本题主要考查全等三角形及勾股定理和正方形面积的关系，通过辅助线构造全等三角形并利用勾股定理列方程是解决本题的关键． 3．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点，，，之间的位置关系有以下三种情形； ①如果轴，则， ②如果轴，则， ③如果与轴、轴均不平行，如图，过点作与轴的平行线与过点作与轴的平行线相交于点，则点坐标为，，由①得；由②得；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式． 小试牛刀：（1）若点坐标为，点坐标为则　5　； （2）若点坐标为，点坐标为则　　； （3）若点坐标为，点坐标为则　　； 【学以致用】若点坐标为，点坐标为，点P是x轴上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值为 ； 【挑战自我】已知， 根据数形结合，直接写出的最小值　　；的最大值　　；    【答案】【小试牛刀】（1）5 ；（2）6；（3）5 ；【学以致用】 ；【挑战自我】    ； 【分析】本题考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题考查学生综合能力，属于中等题型． 小试牛刀：（1）利用两点间的距离公式进行解答； （2）利用两点间的距离公式进行解答； （3）利用两点间的距离公式进行解答； 学以致用：利用轴对称的性质求得点的坐标以及的最小值； 挑战自我：利用、所表示的几何意义解答． 【详解】解：小试牛刀：（1）． 故答案为：5； （2）． 故答案为：6； （3）． 故答案为：5； 学以致用：如图， 点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标是， 此时． 故答案为：． 挑战自我：， 当取最小值时，表示点与点的距离与点与点的距离之和（或表示点与点的距离与点与点的距离之和）， 此时．， 当取最大值时，表示点与点的距离与点与点的距离之差（或表示点与点的距离与点与点的距离之差）， 此时． 故答案为：；． 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为（   ） A．6 B．5 C．11 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．如图，证明得然后利用勾股定理来求解即可． 【详解】解：由于都是正方形，所以 ∵ 即 在和中， ∴， ∴ 在中， 由勾股定理得：， 即， 故选A． 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道．已知滑道与的长度相等，滑梯的高度，，则滑道的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设，则，，在中利用勾股定理列出方程，解方程即可求得答案． 【详解】设，则，， 由题意得：， 在中，， 即， 解得， ∴． 故选：C． 3．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，分别是边的中点，是上的动点，的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理解三角形、求线段和的最值等知识点，通过作辅助线、将转化为是解题的关键． 连接，由题意可得,即是的垂直平分线，即,将转化为，根据三角形三边关系知，故当P、E、C在一条直线时，取最小值，然后解直角三角形求出的长度即可． 【详解】解：如图，连接交BD于点， ∵中，，D是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ， 根据三角形两边和大于第三边可知，即当P、E、C在一条直线时，取最小值，最小值为， ∵中，，E是的中点， ，， ， ∴的最小值为为． 故选：B． 4．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023， 故选：A 5．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，为等腰三角形，过点C作，连接，若，则线段的长为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线间的距离，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握平行线间的距离，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图，作于，作于，作的延长于，则，由，可得，由勾股定理得，，由，可求，则，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于，作于，作的延长于， 又∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， 故选：D． 6．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点D，交于点E．已知，，则为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．可先求得，设，可表示出，又因为，在中可列出方程求得． 【详解】解：∵为直角三角形，且，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得： ， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 7．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了勾股定理，由，，，即可根据计算即可． 【详解】∵， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴ ． 故答案为：45． 8．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，由折叠的性质可得，，可得，，根据勾股定理可求的值． 【详解】将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处， ，， ， ，     ，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：16． 9．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在 中， ，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若是的中点，P为边上一动点，则的最小值为 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，正确找出当点与点重合时，取得最小值是解题关键．过作于，过点作于，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质可得，再两点之间线段最短、垂线段最短可得的最小值为，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过作于，过点作于，连接， ，点是的中点， ， ， ， 为正三角形， ∴ ， ， ， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 即的最小值为的长， ，， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知点D为内一点，平分，，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，勾股定理，延长与交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，即可推出的长度． 【详解】解：延长与交于点E， ， ， ， ， 平分， ， ， 为等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（2024八年级上·江苏·专题练习）请你利用如图图形证明勾股定理：在四边形中，于点E，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，根据四边形面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解．本题考查了勾股定理的证明，解题时，利用了全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 即． 12．（2022·浙江丽水·一模）已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且． (1)求证：． (2)已知 ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据即可证明三角形全等； （2）根据全等三角形的性质，得出，再利用勾股定理即可得出答案． 此题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理，关键是根据证明． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ． （2）解：，， ． 在中，， ， 即， ． 13．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（）根据勾股定理求出，可得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，分别求出，最后根据即可求解； （）由勾股定理得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，可得，，，进而得到，即得，即可得； 本题考查了勾股定理，圆的面积公式，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则，，， ∴； （2）证明：∵， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则， 同理得，，， ∴， ∴， ∴． 14．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点D在线段上从点B出发，以的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t． (1) ，边上的高为 ； (2)点D在运动过程中，当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】(1)50，24 (2)t的值为或或 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形面积的计算；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要进行分类讨论，运用勾股定理和等腰三角形的性质才能得出结果． （1）在中，由勾股定理即可求出；由直角三角形的面积即可求出斜边上的高； （2）分三种情况：①当时，得出，即可得出结果；②当时，作于，则，由（1）得出，由勾股定理求出，即可得出结果；③当时，，证明，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 设边上的高为：， ∵，即：， ∴； 故答案为：50，24； （2）（2）分三种情况： ①当时，， ∴； ②当时，作于，如图所示： 则， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得： ∴； ③当时，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：t的值为或或． 15．（2024八年级上·江苏·专题练习）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，若中，，，，，则 ； (2)若中，，，，则 ； (3)若中，，，边上的高为15，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)13或 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意． （1）求出的长即可解决问题； （2）如图4中，求出高即可解决问题； （3）如图3中，分两种情况讨论：当是锐角三角形时；当是钝角三角形时；利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 故答案为：1； （2）如图4中，作于， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图3中，分两种情况讨论： 当是锐角三角形时： ，，，， ，， ，， ， ； 当是钝角三角形时： 同理可得，， ， ， 综上所述：的值为13或． 学科网（北京）股份有限公司 $$